Mat geometria espacial 002

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Mat geometria espacial 002

  1. 1. MATEMÁTICA GEOMETRIA ESPACIAL chamados bases do cilindro. ANOTAÇÕES1. Cilindro A reta OO’ é chamada eixo do ci- lindro. Considere dois planos σ e γ pa-ralelos, C um círculo em α de raio r, A altura h do cilindro é a distân-e s uma reta secante aos planos σ e cia entre os planos que contém as bases. γ . Chamamos de cilindro circular, ouapenas cilindro, a figura geométrica Área da Baseformada pela reunião de todos os A área da base de um cilindro ésegmentos de reta paralelos à reta s, exatamente a área do círculo C, istocom uma as extremidades em um é,ponto de C e a outra em um ponto de Ab = πr 2 . γ. Área Lateral Observe que as extremidades quepertencem ao plano σ formam umcírculo C’ congruente a C. Elementos do Cilindro A área lateral de um cilindro de raio da base r e altura h é dada por Al = 2 πrh Área Total At = 2 AB + Al At = 2 πr 2 + 2 πrh os círculos C e C’ de raio r e cen- tros O e O’, respectivamente, são At = 2 πr ( r + h ) COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 1
  2. 2. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL Volume do cilindro c) 10 ANOTAÇÕES O volume de um cilindro é calcu- d) 20lado como se fosse um prisma, multi-plicando-se a área da base pela sua e) 40altura. Assim, V = πr 2 h 3. (Unesp) Num tonel de forma cilíndri- ca, está depositada uma quantidade de vinho que ocupa a metade de suaObservação: Quando a secção meridi- capacidade. Retirando-se 40 litros deana de um cilindro é um quadrado, seu conteúdo, a altura do nível do vi-chamamos este cilindro de eqüilátero. nho baixa de 20%. O número que ex-Isto significa que a altura mede o do- pressa a capacidade desse tonel, embro da medida do raio da base. Veja a litros é:figura. a) 200 b) 300. c) 400. d) 500. e) 800. 4. Um cilindro reto mede 8 m de altura e a área total de sua superfície mede EXERCÍCIOS PROPOSTOS 306π m3. determine, em m3, o volu- me desse cilindro.1. A área total de um cilindro de altura 4 cm e diâmetro da base 6 cm, em 5. Se aumentarmos o raio da base ou a m 2 , é: altura de um cilindro reto em 4 cm, os volumes dos novos cilindros coinci-a) 24 dirão. Calcule o raio da base, em cm, do cilindro inicial sabendo que a altu-b) 36 ra mede 2 cm.c) 33 6. (Uel) Dois recipientes cilíndricos têm altura de 40 cm e raios da base me-d) 47 dindo 10 cm e 5 cm. O maior deles contém água até 1/5 de sua capaci-e) 9 dade.2. (UFPB – 2006) Uma tora de madeira, em forma de um cilindro circular re- to, com 4m de altura e 2m de diâme- tro, foi serrada, formando uma sec- ção plana ABCD, conforme ilustra a figura ao lado. Se AB e CD são, respectivamente, diâmetros das bases inferior e superior, a área da região ABCD, em m2, é igual a: Essa água é despejada no recipiente menor, alcançando a altura h, de a) 32 cm b) 24 cm c) 16 cma) 6 d) 12 cmb) 8 e) 10 cmPÁGINA 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
  3. 3. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira7. (UFRS) Um pedaço de cano de 30 cm d) 40 ANOTAÇÕES de comprimento e 10 cm de diâmetro interno encontra-se na posição verti- e) 50 cal e possui a base inferior vedada. Colocando-se dois litros de água em EXERCÍCIOS TAREFA seu interior, e água.a) ultrapassa o meio do cano. 1. (Ita – SP) O raio de um cilindro de re- volução mede 1,5m. Sabe-se que ab) transborda. área da base do cilindro coincide com a área da secção determinada por umc) não chega ao meio do cano. plano que contém o eixo do cilindro. Então, a área total do cilindro, emd) enche o cano até a borda. m 2 , vale:e) atinge exatamente o meio do cano a) 3 π 2/48. (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 b) 9 π (2+ π )/4 cm de altura e área da base igual a 1 200 cm2, está com água até a metade c) π (2+ π ) de sua capacidade. Colocando-se pe- dras dentro desse aquário, de modo d) π 2/2 que fiquem totalmente submersas, o nível da água sobe para 16,5 cm. En- tão, o volume das pedras é e) 3 π ( π +1)/2a) 1 200 cm 3 . 2. (Fuvest – SP) A uma caixa dágua de forma cúbica com 1 metro de lado, está acoplado um cano cilíndrico comb) 2 100 cm 3 . 4cm de diâmetro e 50m de compri- mento. Num certo instante, a caixac) 1 500 cm 3 está cheia de água e o cano vazio. Solta-se a água pelo cano até que fi- que cheio. Qual o valor aproximadod) 1 800 cm 3 da altura da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio?9. (Unirio) Seja um cilindro de revolu- ção obtido da rotação de um quadra- a) 90 cm. do, cujo lado está apoiado no eixo de rotação. Determine a medida deste b) 92 cm. lado (sem unidade), de modo que a área total do cilindro seja igual ao c) 94 cm. seu volume. d) 96 cm.10. (Ufpe) Um queijo tem a forma de um cilindro circular reto com 40 cm de raio e 30cm de altura. Retira-se do e) 98 cm. mesmo uma fatia, através de dois cortes planos contendo o eixo do ci- 3. (Fatec – SP) Um tanque tem a forma lindro e formando um ângulo de 60°. de um cilindro circular reto de altura Se V é o volume, em cm¤, do que res- 6m e raio da base 3m. O nível da água tou do queijo (veja a figura a seguir), nele contida está a 2/3 da altura do tanque. Se π =3,14, então a quanti- determine, em cm 3 , o valor de dade de água, em litros, que o tanque V contém é: . 10 3 ⋅ π a) 113 040 b) 169 560 c) 56 520a) 10 d) 37 680b) 20 e) 56 520c) 30 COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 3
  4. 4. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL4. (UFPE) Um contêiner, na forma de estimado, sendo necessário, na ver- dade, o dobro do volume inicialmente ANOTAÇÕES um cilindro circular reto, tem altura igual a 3m e área total (área da previsto. Qual deverá ser a medida do superfície lateral mais áreas da base raio da base, sabendo que a altura do e da tampa) igual a 20 π m2. Calcule, reservatório não poderá ser alterada? em metros, o raio da base deste con- têiner. a) 4 m5. (UFPE) O trapézio 0ABC da figura a b) 3 m seguir gira completamente em torno do eixo 0x. Calcule o inteiro mais próximo do volume do sólido obtido. c) 2 2 m d) 2 m e) 6 m 9. (Fatec – SP) abe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6 cm des- se eixo, apresenta uma secção retan-6. (FGV – SP) Um produto é embalado gular equivalente à base. O volume em recipientes com formato de cilin- desse cilindro, em centímetros cúbi- dros retos. cos, éO cilindro A tem altura 20cm e raio da base a) 1250 πde 5cm.O cilindro B tem altura 10cm e raio da base 2de 10cm. b) 1250 πa) Em qual das duas embalagens gasta-se 2 menos material? c) 6,25 πb) O produto embalado no cilindro A é d) 625 π vendido a R$4,00 a unidade, e o do ci- 2 lindro B a R$7,00 a unidade. Para o e) 625 π consumidor, qual a embalagem mais vantajosa? 10. (Fei – SP) Um líquido que ocupa uma altura de 10cm num determinado7. (Faap – SP) Sabendo-se que uma lata recipiente cilíndrico será transferido de azeite cilíndrica tem 8cm de diâ- para outro recipiente, também cilín- metro e 18,5cm de altura e ainda que drico, com diâmetro 2 vezes maior nela vem marcado o conteúdo 900ml, que o primeiro. Qual será a altura o- o volume de ar contido na lata "cheia" cupada pelo líquido nesse segundo e "fechada" é: recipiente? (Adote π = 3,14)a) 29,44 ml a) 1,5 cmb) 10,0 ml b) 2 cmc) 15,60 ml c) 2,5 cmd) 21,72 ml d) 4,5 cme) 35,50 ml e) 5 cm8. (Fei – SP) No projeto de um prédio foi 11. (Unesp) Suponha que o raio e a inicialmente prevista a construção de altura de um recipiente cilíndrico um reservatório de água com formato meçam, respectivamente, r cm e h cilíndrico, cujas medidas seriam: raio cm. Vamos supor ainda que, manten- da base igual a 2m e altura igual a do r fixo e aumentando h de 1cm, o 3m. Depois foi constatado que o vo- volume do recipiente dobre e que, lume do reservatório havia sido sub- mantendo h fixo e aumentando r dePÁGINA 4 COLÉGIO VIA MEDICINA
  5. 5. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira1cm, o volume do recipiente quadrupli- artesã forma cilindros e, em seguida, ANOTAÇÕESque. Nessas condições, calcule: os preenche completamente com pa- rafina.a) o valor de h;b) o valor de r.12. (UECE) O volume de um cilindro circular reto é 36 6 πcm 3 . Se a altura desse cilindro mede 6 6 cm , então a área total desse cilindro, em cm2 , é: Supondo-se que o custo da vela seja dire- tamente proporcional ao volume de parafi-a) 72 π na empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, seráb) 84 π a) o triplo.c) 92 π b) o dobro.d) 96 π c) igual.13. (UFG) Uma empresa de engenha- d) a metade. ria fabrica blocos na forma de um prisma, cuja base é um octógono re- e) a terça parte. gular de lado 20 cm e altura 1 m. Pa- ra fabricar esses blocos, a empresa utiliza um molde na forma de um ci- 16. (UERJ) Para a obtenção do índice lindro circular reto, cujo raio da base pluviométrico, uma das medidas de e a altura medem 1 m, conforme a fi- precipitação de água da chuva, utili- gura abaixo. Calcule o volume do ma- za-se um instrumento meteorológico terial necessário para fabricar o mol- denominado pluviômetro. A ilustração de para esses blocos. abaixo representa um pluviômetro com área de captação de 0,5 m2 e raio interno do cilindro de depósito de 10 cm.14. (Cefet – MG) O diâmetro da base de um reservatório cilíndrico mede 2 metros. Sabendo-se que sua altura Considere que cada milímetro de água da mede 60 centímetros, sua capacidade chuva depositado no cilindro equivale a 1 aproximada, em litros, é de L/m2. No mês de janeiro, quando o índice pluviométrico foi de 90 mm, o nível de água no cilindro, em dm, atingiu a altura de, a-a) 1.884 proximadamente:b) 1.970 a) 15c) 2.764 b) 25d) 3.140 c) 3515. (Enem – 2006) Uma artesã con- d) 45 fecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm × 10 cm (conforme ilustram as 17. (UEL) Um fabricante de latas figuras abaixo). Unindo dois lados o- com formato de um cilindro possui postos do cartão, de duas maneiras, a chapas retangulares de alumínio com COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 5
  6. 6. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL as dimensões: 25 cm de largura por 9 b) 10.000 π . cm de comprimento, conforme a figura ANOTAÇÕES que segue. Ele deseja saber como utili- c) 5.500 π . zar essas chapas de forma a ter maior capacidade para as latas oriundas de tais chapas. Ele pensou em duas formas d) 5.000 π . deconfeccionar essas latas: unindo o lado AD da chapa de alumínio no lado e) 1.100 π . BC formando uma lata que tem o for- mato de um cilindro circular reto C1 ou unindo o lado AB ao lado DC formando 19. (FGV – SP) O sólido da figura 1 foi obtido a partir de duas secções em uma lata cujo formato é um cilindro um cilindro circular reto de altura 24 circular reto C2 . cm e raio da base 10 cm. As secções foram feitas na intersecção do cilin- dro com um diedro de 60°, como mostra a figura 2:Com base nessas informações, considere asafirmativas a seguir.I. A área da superfície lateral do cilindro C1é igual à área da superfície lateral do cilin-dro C2II. A capacidade do cilindro C1 é maior quea capacidade do cilindro C2 . Sabendo que os pontos A, B, C, A, B e CIII. Se o fabricante dobrar as dimensões da pertencem às faces do diedro e às circunfe-chapa, a capacidade do cilindro C1 dobra. rências das bases do cilindro, como mostraIV. Se o fabricante dobrar as dimensões da a figura 2, a área da superfície BBCC, con-chapa, a área da superfície lateral do cilin- tida na face lateral do cilindro, em cm2, édro C2 dobra. igual aEstão corretas apenas as afirmativas: a) 60 πa) I e II. b) 40 3πb) I e III. c) 80 πc) II e IV. d) 90 3πd) I, III e IV.e) II, III e IV. e) 160 π18. (Unifesp) A figura indica algumas 20. (UFV) Preparou-se gelatina que das dimensões de um bloco de con- foi colocada, ainda em estado líqui- creto formado a partir de um cilindro do, em recipientes, como mostram as circular oblíquo, com uma base no so- figuras a seguir. lo, e de um semicilindro. Sabendo que toda a quantidade de gelatina que foi preparada coube em cinco recipien-Dado que o raio da circunferência da base tes cilíndricos e em dois recipientes emdo cilindro oblíquo mede 10 cm, o volume forma de paralelepípedo, como representa-do bloco de concreto, em cm¤, é do na figura acima, a quantidade prepara- da, em litros, foi de:a) 11.000 π . (Use π = 3,14)PÁGINA 6 COLÉGIO VIA MEDICINA
  7. 7. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveiraa) 1,01 gua derramada, em dm3, é aproxima- ANOTAÇÕES damente de:b) 1,19 a) 155c) 1,58 b) 263d) 1,64 c) 353e) 1,95 d) 39221. (Fatec – SP) Um cilindro circular reto tem volume igual a 250 π cm3. Gabarito Um plano, paralelo ao eixo desse ci- lindro, à distância de x cm desse ei- 01. B 02. C 03. A xo, determina uma seção retangular 04. 2m 05. 29 de área igual a 60 cm2. Se a medida 06. a) As áreas totais das embalagens A e da altura do cilindro é igual ao dobro B são, respectivamente, 250 π cm2 e da medida do raio da base, então x é 400 π cm2. Portanto, gasta-se menos ma- igual a terial na embalagem A. b) Sendo PA e PB, respectivamente, osa) 9/2 preços do cm3 nas embalagens A e B, te- mos:b) 4 PA = 8/(1000 π )R$/cm3 e PB = 7/(1000 π )R$/cm3. Como PB < PA, a embalagem B é a maisc) 2 3 vantajosa para o consumidor. 07. A 08. C 09. Ed) 13/4 10. C 11. h = 1 e r = 1 12. B 13. (π − 0,1928 ) m 3 14. Ae) 10 15. B 16. A 17. A 18. A 19. A 20. A22. (UFRN) Nove cubos de gelo, cada 21. E 22. D 23. B um com aresta igual a 3 cm, derre- 24. A 25. D tem dentro de um copo cilíndrico, i- nicialmente vazio, com raio da base 2. Cone também igual a 3 cm. Considere um círculo C de cen- tro O e raio r em um plano α , e V um ponto não pertencente ao plano α . A reunião de todos os segmentos de re- ta com uma das extremidades em V e outra no círculo C é denominada cone circular, ou simplesmente cone.Após o gelo derreter completamente, a al-tura do nível da água no copo será de apro-ximadamentea) 8,5 cm.b) 8,0 cm.c) 7,5 cm.d) 9,0 cm.23. (UERJ) Um tonel cilíndrico, sem tampa e cheio de água, tem 10 dm de altura e raio da base medindo 5 dm. Considerando π = 3,14, ao inclinar- Os cones podem ser classificados em mos o tonel em 45°, o volume de á- retos ou oblíquos. COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 7
  8. 8. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL ANOTAÇÕES 1 V = πr 2h . 3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Determine a área total e o volume de Cone Reto Cone Oblíquo um cone que possui altura 12 cm e diâmetro da base 10 cm.É notável a relação: 2. Determine a medida do ângulo cen- tral de um setor circular obtido pela g 2 = h2 + r 2 planificação da superfície lateral de um cone reto cuja geratriz mede 60 cm e o raio da base é 10 cm. Área lateral do Cone Para o cálculo da área lateral 3. (Fatec – SP) A altura de um cone cir- cular reto mede o triplo da medida dodo cone é preciso que planifiquemo- raio da base. Se o comprimento dano, como a figura abaixo. circunferência dessa base é 8 π cm, então o volume do cone, em centíme- tros cúbicos, é a) 64 π b) 48π c) 32π d) 16π e) 8π 4. (Uel) Um cone circular reto tem altu- Usando a expressão do compri- ra de 8cm e raio da base medindomento de um arco, temos o resultado: 6cm. Qual é, em centímetros quadra- 2 πr dos, sua área lateral? α= g a) 20π Como a área de um setor circu- 1 b) 30πlar é dada por ( ângulo ) ⋅ ( raio )2 , te- 2 c) 40πmos: 1 2 πr 2 d) 50π Al = ⋅ ⋅g 2 g e) 60πOu seja, Al = πrg 5. (Ufpb) A figura abaixo representa uma secção meridiana de um cone Volume de um cone circular reto. Calcule o volume desse cone. 6. (Fuvest – SP) Deseja-se construir um cone circular reto com 4cm de raio da base e 3cm de altura. Para isso, re-O volume de um cone é dado por corta-se, em cartolina, um setor cirPÁGINA 8 COLÉGIO VIA MEDICINA
  9. 9. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveiracular para a superfície lateral e um círcu- EXERCÍCIOS TAREFA ANOTAÇÕESlo para a base. A medida do ângulo cen-tral do setor circular é: 1. Calcule a medida da altura de um co-a) 144° ne circular reto em que o raio da base mede 8 cm e uma geratriz mede 17b) 192° cm.c) 240° 2. Cada geratriz de um cone circular re- to de raio da base 4 cm forma com o plano da base um ângulo de 30º. Cal-d) 288° cule a medida da altura desse cone.e) 336° 3. Uma secção meridiana de um cone circular reto é uma região limitada7. (Fuvest – SP) Um pedaço de cartolina por um triângulo isósceles de lados possui a forma de um semi-círculo de raio 20cm. Com essa cartolina 2 2 cm , 2 2 cm e 4 cm . Calcule a um menino constrói um chapéu côni- medida do ângulo que uma geratriz co e o coloca com a base apoiada so- forma com o plano da base do cone. bre uma mesa. Qual a distância do bi- co do chapéu à mesa? 4. Dado um cone circular reto de raio da base 5 cm e geratriz 13 cm, calcule:a) 10 3 cm. a) a área lateral do coneb) 3 10 cm. b) a área total do cone c) a medida, em radianos, do ângulo cen-c) 20 2 cm. tral do setor circular equivalente à su- perfície lateral do cone.d) 20 cm.e) 10 cm. 5. Um plano α paralelo à base de um cone circular de altura 15 cm deter- mina nesse cone uma secção de área8. (UNESP) No trapézio ABCD da figura a 3 cm². Sabendo que a área da base do seguir, os ângulos internos em A e B cone é 27 cm², calcule a distância do são retos, e o ângulo interno em D é plano α ao vértice do cone. tal que sua tangente vale 5/6. Se åî=2.åæ, o volume do sólido obtido ao se girar o trapézio em torno da re- 6. Uma secção meridiana de um tronco de cone circular reto é um trapézio ta por B e C é dado por: isósceles de lados 5 cm, 5 cm, 2 cm e 8 cm. Determine o volume, a área la- teral e a área total desse tronco. 7. (Mack – SP) O setor circular da figura a seguir é a superfície lateral de um cone cuja base tem diâmetro 4 e área igual a k% da área total do cone. En- tão k vale:a) (3/4) π a3b) (5/8) π a3c) (6/5) π a3 a) 20.d) (20/13) π a3 b) 25.e) (8/5) π a3 c) 30. d) 35. e) 40. COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 9
  10. 10. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL8. (Faap – SP) Um copo de chope é um b) 144π ANOTAÇÕES cone (oco), cuja altura é o dobro do diâmetro. Se uma pessoa bebe desde c) 108π que o copo está cheio até o nível da bebida fica exatamente na metade da d) 72π altura do copo, a fração do volume total que deixou de ser consumida é: e) 36πa) 3/4b) 1/2 11. (UFLA) Parte do líquido de um cilindro completamente cheio é transferido para dois cones idênticos,c) 2/3 que ficam totalmente cheios.d) 3/8e) 1/89. (Faap – SP) Um chapéu de papel em forma de cone tem 10 centímetros de diâmetro e 10 centímetros de profun- didade. Seu vértice é empurrado para A relação entre as alturas do líquido res- baixo e para dentro conforme a figura tante no cilindro (h1) e a altura (H) do ci- a seguir. Que distância sua ponta pe- lindro é: netra no espaço interno do chapéu se o novo volume do chapéu é 4/5 do vo- a) h1 = H/4 lume original? b) h1 = H/2 c) h1 = H /2 d) h1 = H/3 12. (UFRS) Um cone circular reto é tal que cada seção obtida pela inter- seção de um plano que passa por seu vértice e pelo centro da sua base é um triângulo retângulo de catetos i-a) 3 200 guais. Se cortarmos esse cone ao lon- go de uma geratriz, abrindo e planifi- 3 cando sua superfície lateral, será ob-b) 80 tido um setor circular cujo ângulo central tem medida α . Então,c) 3 100 a) α < 180°.d) 3 300 b) 180° ≤ α < 200°.e) 3 150 c) 200° ≤ α < 220°.10. (Mack – SP) Na rotação do triân- d) 220° ≤ α < 240°. gulo ABC da figura a seguir em torno da reta r, o lado AB descreve um ân- gulo de 270°. Desta forma, o sólido e) α ≥ 240°. obtido tem volume: 13. (Unesp) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de 1,5 ml/min. O fras- co do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cô- nica, cujas medidas são dadas na fi- gura, e estava cheio quando se iniciou a medicação.a) 48πPÁGINA 10 COLÉGIO VIA MEDICINA
  11. 11. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira a) 2,0 ANOTAÇÕES b) 2,8 c) 3,0 d) 3,8 e) 4,0Após 4h de administração contínua, a medi- 17. (Ita – SP) Um dos catetos de umcação foi interrompida. Dado que 1 cm3 = 1ml, e usando a aproximação π = 3, o volu- triângulo retângulo mede 3 2 cm . Ome, em ml, do medicamento restante no volume do sólido gerado pela rotaçãofrasco após a interrupção da medicação é, deste triângulo em torno da hipotenu-aproximadamente, sa é π cm 3 . Determine os ângulos a) 120. deste triângulo. b) 150. 18. (UFV) Um chapéu, no formato de um cone circular reto, é feito de uma c) 160. folha circular de raio 30 cm, recor- tando-se um setor circular de ângulo d) 240. 2π θ= radianos e juntando os la- 3 e) 360. dos. A área da base do chapéu, em 14. (PUC – SP) Considere o triângulo cm 2 , é: isósceles ABC, tal que AB = BC = 10 cm e CA = 12 cm. A rotação desse tri- a) 140 π ângulo em torno de um eixo que con- tém o lado AB gera um sólido cujo vo- b) 110 π lume, em centímetros cúbicos, é c) 130 π a) 256 π d) 100 π b) 298,6 π e) 120 π c) 307,2 π 19. (UERJ) Para revestir externamen- d) 316 π te chapéus em forma de cones com 12 cm de altura e diâmetro da base e) 328,4 π medindo 10 cm, serão utilizados cor- tes retangulares de tecido, cujas di- 15. (Ita – SP) As medidas, em metros, mensões são 67 cm por 50 cm. Admita do raio da base, da altura e da gera- que todo o tecido de cada corte po- triz de um cone circular reto formam, derá ser aproveitado. O número mí- nesta ordem, uma progressão aritmé- nimo dos referidos cortes necessários tica de razão 2 metros. Calcule a área para forrar 50 chapéus é igual a: total deste cone em m2. a) 3 16. (UFG) A terra retirada na escava- ção de uma piscina semicircular de 6 b) 4 m de raio e 1,25 m de profundidade foi amontoada, na forma de um cone c) 5 circular reto, sobre uma superfície horizontal plana. Admita que a gera- d) 6 triz do cone faça um ângulo de 60° com a vertical e que a terra retirada tenha volume 20% maior do que o vo- 20. (Ita – SP) A área total da superfí- cie de um cone circular reto, cujo lume da piscina. raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um círculo deNessas condições, a altura do cone, em me- diâmetro igual ao perímetro da seçãotros, é de COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 11
  12. 12. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL meridiana do cone. O volume deste cone, b) 192°em cm3, é igual a ANOTAÇÕES c) 240° 3a) πR d) 288°b) πR 3 2 e) 336° πR 3 23. (Fuvest – SP) Um pedaço de car-c) tolina possui a forma de um semi- 2 círculo de raio 20cm. Com essa carto- lina um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiadad) πR 3 3 sobre uma mesa. Qual a distância do bico do chapéu à mesa? πR 3 a) 10 3 cm.e) 3 b) 3 10 cm.21. (PUC – RS) A figura abaixo mostra um cone inscrito num cilindro. Ambos têm raio da base x e altura 2x. Reti- c) 20 2 cm. rando-se o cone do cilindro, o volume do sólido resultante é d) 20 cm. e) 10 cm. 24. (Unesp) No trapézio ABCD da fi- gura a seguir, os ângulos internos em A e B são retos, e o ângulo interno em D é tal que sua tangente vale 5/6. Se AD = 2AB, o volume do sólido obtido ao se girar o trapézio em torno da re- ta por B e C é dado por: 2πx 3a) 3 4 πx 3b) 3 8πx 3 a) (3/4) π a3c) 3 b) (5/8) π a3 2πx 2 c) (6/5) π a3d) 3 d) (20/13) π a3 8πx 2 e) (8/5) π a3e) 3 25. (Fuvest – SP) Um cálice com a22. (Fuvest – SP) Deseja-se construir forma de cone contém V cm3 de uma um cone circular reto com 4 cm de bebida. Uma cereja de forma esférica raio da base e 3cm de altura. Para is- com diâmetro de 2cm é colocada so, recorta-se, em cartolina, um setor dentro do cálice. Supondo-se que a circular para a superfície lateral e um cereja repousa apoiada nas laterais círculo para a base. A medida do ân- do cálice e o líquido recobre exata- gulo central do setor circular é: mente a cereja a uma altura de 4cm a partir do vértice do cone, determi- nar o valor de V.a) 144°PÁGINA 12 COLÉGIO VIA MEDICINA
  13. 13. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira 4 3 ANOTAÇÕES V= πr 3 Superfície esférica A superfície esférica de cen- tro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R. Gabarito Se considerarmos a rotação 4 3 completa de uma semicircunferência01. 15 cm 02. cm 03. 45º 3 em torno de seu diâmetro, a superfí- 10π cie esférica é o resultado dessa rota-04. a) 65 π cm2 b) 90 π cm2 c) rad 13 ção.05. 5 cm 06. V = 28 π cm³ 07. B08. E 09. C 10. E 11. D12. E 13. A 14. C 15. 96π m 216. C 17. 30º, 60º e 90º 18. D19. B 20. E 21. B 22. D 423. A 24. E 25. πcm 3 A área da superfície esférica é 3 dada por:3. Esfera As = 4 πr 2 Zona esférica É a parte da esfera gerada do seguinte modo: Chamamos de esfera de centroO e raio R o conjunto de pontos doespaço cuja distância ao centro é me- A área da zona esférica é dadanor ou igual ao raio R. por: Considerando a rotação com- S = 2 πrhpleta de um semicírculo em torno de Calota esféricaum eixo e, a esfera é o sólido geradopor essa rotação. Assim, ela é limita- É a parte da esfera gerada doda por uma superfície esférica e for- seguinte modo:mada por todos os pontos pertencen-tes a essa superfície e ao seu interior. Ä área da calota esférica é da- da por:Volume O volume da esfera de raio R é S = 2 πrhdado por: COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 13
  14. 14. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIALFuso esférico ANOTAÇÕES O fuso esférico é uma parte da EXERCÍCIOS PROPOSTOSsuperfície esférica que se obtém aogirar uma semi-circunferência de um 1. Calcule a área e o volume de cadaângulo α , (0 < α < 2π ) em torno de uma das esferas cujas medidas estão indicadas abaixo.seu eixo: a) R = 1,6 cm b) O raio de uma secção feita a 3 cm do seu centro mede 4 cm. 2. Determine a área e o volume de uma esfera de 58 cm de diâmetro. 3. Um fabricante de sucos vende seu produto em embalagens cilíndricas, todas com 6 cm de diâmetro da base e 12 cm de altura. Ele pretende subs- tituir essas embalagens por outras de forma esférica. Qual deve ser o diâ- metro da nova embalagem para que A área do fuso esférico pode ser possa conter a mesma quantidade deobtida por uma regra de três simples: suco que a primeira? 4. Determine o raio de uma esfera de superfície 36π cm². 5. Determine a área de uma esfera, sen- do 2304π cm³ o seu volume.Cunha esférica 6. Considerando a Terra uma esfera cujo Parte da esfera que se obtém diâmetro é 12 800 km e considerandoao girar um semicírculo em torno de 1 a Lua uma esfera cujo diâmetro éseu eixo de um ângulo 4α, (0 < α < 2π ) : do da Terra, calcule a razão entre os volumes dos dois astros. 7. Considere uma esfera de raio 6 cm, feita com massa de modelar. Divide- se essa massa em quatro partes iguais e são construídas quatro novas esfe- ras. Qual o raio de cada uma dessas quatro esferas? 8. Obtenha o raio de uma esfera, saben- do que um plano determina na esfera um círculo de raio 20 cm, sendo 21 cm a distância do plano ao centro da esfera. O volume da cunha pode serobtido por uma regra de três simples: 9. Um plano seciona uma esfera de 34 cm de diâmetro. Determine o raio da seção obtida, sendo 8 cm a distância do plano ao centro da esfera. 10. Pretende-se transportar 100 boli- nhas esféricas, maciças e feitas de vidro, em caixas que comportam, ca- da uma, um “peso” máximo 0,50 kg. Sabendo-se que o diâmetro de cada bolinha é 2,1 cm e que a densidade do vidro é 2,60 g/cm³, qual o número mínimo de caixas necessárias para oPÁGINA 14 COLÉGIO VIA MEDICINA
  15. 15. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira 22 silo, sabendo que o raio do cilindro ANOTAÇÕEStransporte de 100 bolinhas? (use π = ). mede 2 m e que a altura do silo mede 7 8 m.11. Um aquecedor a gás tem a forma de um cilindro com duas semi-esferas 20. Um depósito de grãos num arma- acopladas em suas extremidades, zém tem o formato de um cilindro re- conforme mostra a figura ao lado. Se to encimado por um hemisfério. o diâmetro do aquecedor é 0,90 m e seu comprimento total é 1,50 m, cal- a) Se o raio da base do cilindro for 2 m e cule: o volume do recipiente for de 50π m³, qual será a altura do cilindro?a) a área de sua superfície. 47b) o volume máximo de gás que o seu in- b) Se o volume do recipiente for π m³ 3 terior pode conter. e o cilindro tiver 15 m de altura, qual será o raio da base do cilindro (que é o12. A secção plana de uma esfera fei- mesmo do hemisfério)? ta a 35 cm do centro tem 144π cm² de área. Calcule a área do círculo máximo dessa esfera. 21. Calcule com os dados abaixo: π a) A área de um fuso de α = rad em13. Determine a área de uma super- 6 fície esférica, sendo 36π cm o com- uma esfera de raio 5. primento da circunferência do círculo máximo. b) A área total e o volume da cunha de π α= rad em uma esfera de raio 6.14. Uma vasilha tem a forma de uma 6 semi-esfera com diâmetro interno de 12 cm. Se ela tem 0,25 cm de espes- sura e a densidade da madeira é 0,87 22. Qual é a área de um fuso de 28º g/cm³, qual o “peso” aproximado pertencente a uma esfera de 4 π m² de superfície? dessa vasilha? (use π = 3)15. Determine a área da superfície e 23. Um fuso de 10º de uma esfera de o volume de uma esfera, sabendo que 1 cm de raio é equivalente a uma se- ção plana da esfera. Determine a dis- 1 o raio mede do raio de outra esfe- tância da seção ao centro da esfera. 5 ra cujo volume é 4 500π cm³. 24. Determine o volume de uma cu- nha cujo ângulo mede 60º, em uma16. Os raios de duas esferas concên- esfera cujo volume vale 288π m³. tricas medem, respectivamente, 15 cm e 8 cm. Calcule a área da secção feita na esfera maior por um plano 25. Considerando uma esfera de raio R, avalie cada uma das afirmações a tangente à outra esfera. seguir:17. Duas esferas de ferro de raios 4 a) Duplicando-se o raio, o volume da es- cm e 3 61 cm fundem-se para formar fera quadruplica. uma esfera maior. Determine: b) Duplicando-se o raio, a área da ficaa) o raio da nova esfera duplicada.b) o “peso” da nova esfera, sabendo que c) Se V m³ é o volume da esfera é S m², a a densidade do ferro é 7,8 g/cm³ e sua área, então V < S sempre que 0 < R considerando π = 3. < 3.18. Uma esfera tem 25 π cm² de su- d) Se R = 3 m, o volume da cunha esféri- perfície. Em quanto devemos aumen- π tar o raio para que a área passe a ser ca de ângulo rad é 6π m³. 3 64π cm²? e) Se R = 3 m, a área do fuso esférico de19. Um silo tem a forma de um cilin- π dro circular reto (com fundo) encima- ângulo rad é 6π m². do por uma semi-esfera. Determine o 3 volume e a área da superfície desse COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 15
  16. 16. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL01. * 10. três 19. V02. ** 11. *** 20. V* 2 πr 3 ANOTAÇÕES b) .03. 6 3 3 12. 1369π 21. V** 3 m²cm04. 3 cm 13. 676π 14π c) πr 3 . cm² 22. m² 4505. 576π 14. 49 g 23. 2 2 cm d) 2r 3 .cm² 306. 1/64ou 64 15. *V 24.48 π m³ e) 2πr 3 .07. 3 3 2 16. 161π 25. FFVVV cm² 3. (Unitau) Aumentando em 10% o raiocm de uma esfera a sua superfície au-08. 29 cm 17. a) 5 cm 26. V*** mentará: b) 3900g09. 15 cm 18. 1,5 cm 2.10 8 a) 21 %. 27. 3π km² b) 11 %. 256 2048 c) 31 %.01. a) A = π cm²; V = π cm³ 25 375 500π d) 24 %.b) A = 100π cm²; V = cm³ 3 e) 30 %. 97556π02. A = 3364π cm²; V = cm³ 311. a) 1,35π m²; b) 0,234π m³ 4. (UFPE) Um triângulo equilátero tem lado 18 3 cm e é a base de um15. A = 36π cm²; V = 36π cm³ prisma reto de altura 48 cm. Calcule 88π o raio da maior esfera contida neste19. V = m³; A = 36π m² prisma. 3 6720. a) 6 m b) r = 1 m 5. (Mack – SP) A razão entre os volumes das esferas circunscrita e inscrita a 25π um mesmo cubo é:21. a) b) AT = 48π c) V = 24π 326. AT = 27π m² c) V = 18π m³ a) 3 EXERCÍCIOS TAREFA b) 2 31. (Fuvest – SP) Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do c) 3 3 centro da superfície esférica, deter- minando uma circunferência. 4 3O raio desta circunferência, em cm é: d)a) 1. 3b) 2. 3 3 e)c) 3. 2d) 4. 6. (Mack – SP) A altura de um cone reto é igual ao raio da esfera a ele cir-e) 5. cunscrita. Então o volume da esfera é: a) o dobro do volume do cone.2. (Unitau) Uma esfera de raio R está inscrita em um cilindro. O volume do cilindro é igual a: b) o triplo do volume do cone. 3 πr c) o quádruplo do volume do cone.a) . 3 d) 4/3 do volume do cone.PÁGINA 16 COLÉGIO VIA MEDICINA
  17. 17. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveirae) 8/3 do volume do cone. Calcule, usando a aproximação considera- ANOTAÇÕES da, os raios das duas esferas.7. (UFF) Na figura estão representados três sólidos de mesma altura h - um 10. (Mack – SP) A razão entre a área cilindro, uma semi-esfera e um pris- lateral do cilindro eqüilátero e da su- ma - cujos volumes são perfície esférica, da esfera nele ins- crita, é: V1 , V2 e V3 , respectivamente. a) 1 b) 1/2 c) 1/3A relação entre V1 , V2 e V3 é: d) 1/4a) V3 < V2 < V1 e) 2/3b) V2 < V3 < V1 11. (Puc Campinas/SP) Considere as sentenças:c) V1 < V2 < V3 I. Se um plano intercepta uma superfície esférica, a intersecção é um ponto ou umad) V3 < V1 < V2 circunferência. II. Se os segmentos åæ e èî são dois diâ- metros de uma esfera, então o quadriláte-e) V2 < V1 < V3 ro ABCD é um retângulo. III. Todo plano tangente a uma superfície esférica é perpendicular ao raio que con-8. (Puc – MG) Uma esfera de raio r = 3 tém o ponto de tangência. cm tem volume equivalente ao de um cilindro circular reto de altura h = 12 É correto afirmar que cm. O raio do cilindro, em cm, mede:a) 1 a) somente I é verdadeira.b) 2 b) somente II é verdadeira.c) 3 c) somente III é verdadeira. d) somente I e III são verdadeiras.d) 3 e) I, II e III são verdadeiras.e) 13 12. (UFRS) Uma esfera de raio 2 cm é9. (UFRJ) Ping Oin recolheu 4,5m¤ de mergulhada num copo cilíndrico de 4 neve para construir um grande bone- cm de raio, até encostar no fundo, de co de 3m de altura, em comemoração modo que a água do copo recubra e- à chegada do verão no Pólo Sul. O xatamente a esfera. boneco será composto por uma cabe- ça e um corpo ambos em forma de es- fera, tangentes, sendo o corpo maior que a cabeça, conforme mostra a fi- gura a seguir. Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin apro- ximou π por 3. Antes da esfera ser colocada no copo, a altura de água era a) 27/8 cm b) 19/6 cm c) 18/5 cm COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 17
  18. 18. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIALd) 10/3 cm circular reto de raio 2cm e altura 8cm. Serão administradas ao paciente ANOTAÇÕESe) 7/2 cm 30 gotas por minuto. Admitindo-se que uma gota é uma esfera de raio 0,2cm, determine:13. (Puc – SP) Um cone circular reto, cujo raio da base é 3cm, está inscrito em uma esfera de raio 5cm, conforme a) o volume, em cm 3 , do frasco e de ca- mostra a figura a seguir. da gota (em função de π ). b) o volume administrado em cada minu- to (considerando a quantidade de go- tas por minuto) e o tempo gasto para o paciente receber toda a medicação. 16. (UEL) Considere um cone circularO volume do cone corresponde a que por- reto e um cilindro circular reto, am-centagem do volume da esfera? bos com diâmetro da base igual a 12 cm e também uma esfera com diâme- tro de 12 cm, todos com volumes i-a) 26,4 % guais. A altura do cone e a altura do cilindro devem ser respectivamenteb) 21,4 % iguais a:c) 19,5 % a) 12 cm e 4 cmd) 18,6 % b) 30 cm e 10 cme) 16,2 % c) 24 cm e 8 cm14. (UFMG) Observe esta figura: d) 9 cm e 3 cm e) 18 cm e 6 cm 17. (Cefet – MG) Considere uma bola de sorvete de 36π cm 3 de volume e uma casquinha cônica de 3 cm de rai- o. A altura da casquinha, para que oNessa figura, ABC é um quadrante de cír- sorvete, ao derreter, ocupe todo oculo de raio 3cm e ADEF é um quadrado, seu espaço, em cm, écujo lado mede 1cm. Considere o sólidogerado pela rotação de 360°, em torno da a) 8reta AB, da região hachurada na figura.Sabe-se que o volume de uma esfera de b) 9 4 3raio r é igual a πr . Assim sendo, esse 3 c) 10sólido tem um volume de: d) 12a) 14π cm 3 18. (UFU – 2006) Uma esfera maciça 3 de ferro de raio 10 cm será fundida eb) 15π cm todo o material derretido será usado na confecção de um cilindro circular e de um cone circular ambos, maciçosc) 16π cm 3 com raio da base r cm e altura tam- bém r cm. Não havendo perda de ma- terial durante o processo, r será iguald) 17π cm 3 a15. (UNESP) Um paciente internado a) 4 cm. em um hospital tem que receber uma certa quantidade de medicamento in- b) 8 cm. jetável (tipo soro). O frasco do medi- camento tem a forma de um cilindro c) 5 cm.PÁGINA 18 COLÉGIO VIA MEDICINA
  19. 19. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveirad) 10 cm. tamente a metade da bola ficou sub- ANOTAÇÕES mersa, o que elevou o nível da água do reservatório em 0,5 cm (ver dese-19. (UFRS) Duas esferas de raio r fo- nho). O raio dessa bola é: ram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r, raio da base r e espessura desprezível, como na figura abaixo.Nessas condições, a razão entre o volumedo cilindro não ocupado pelas esferas e ovolume das esferas é a) 10 cma) 1/5. b) 11 cmb) 1/4. c) 12 cmc) 1/3. d) 13 cmd) 1/2. e) 14 cme) 2/3. 22. (UFPB) Suponha que a área da superfície lateral de um determinado20. (UFPB) Se V1 , V2 e V3 são, cilindro circular reto é igual à área da superfície de uma esfera de raio 3cm. respectivamente, os volumes dos co- nes circular, hemisfério e cilindro cir- Sabendo-se também que o volume desse cilindro é igual ao volume dessa cular representados abaixo. esfera, qual o raio do cilindro? a) 1 cm b) 3 cm c) (2/3) cmEntão é correto afirmar que: d) 2 cm V1 V2 V3a) = = e) 1,5 cm 1 2 3b) V1 = 2V2 = 3V3 23. (UFPB) Na venda de bolas de tê- nis, são utilizadas embalagens em forma de um cilindro circular reto, V3 V2 V1 cujo diâmetro interno medec) = = 128 1 2 3 cm e corresponde a um terço πd) V3 = 2V2 = 3V1 da altura interna. A área, em cm2, da superfície lateral interna de cada embalagem é: V1 + V2e) = V3 a) 96 2 b) 12821. (UFPB) Depois de desistir de reti- rar a pipa do poste, João foi jogar fu- tebol no quintal da casa. Ao c) 128 π chutar a bola com muita força, fez com que a mesma caísse num reser- d) 384 vatório de água com a forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro é e) 384 π de 96 cm. Maria percebeu que exa- COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 19
  20. 20. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL24. (UFPB) Uma bola esférica está ANOTAÇÕES apoiada em um aro circular cujo raio interno R mede 9 c m, conforme a fi- gura ao lado. Sabendo-se que a dis- tância entre o centro do aro e o da bola é igual a 12 c m, é correto afir- mar que o diâmetro externo da bola mede:a) 24 cmb) 25 cmc) 26 cmd) 28 cme) 30 cm25. (Ita – SP) Os quatro vértices de um tetraedro regular, de volume 8 3 cm , encontram-se nos vértices de 3 um cubo. Cada vértice do cubo é cen- tro de uma esfera de 1 cm de raio. Calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas. Gabarito01. E 02. E 03. A04. 09 05. C 06. C07.E 08.C 09.r = 0,5 e R = 110. A 11. E 12. D 13. E14. D 15. a) V frasco = 32π cm 3 e 4π 3V gota = cm 16. C 17. D 37518. D 19. D 20. A 21. C22. D 23. D 24. E 25.4 ( 6 − π) cm 33PÁGINA 20 COLÉGIO VIA MEDICINA

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