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Mat geometria espacial 001

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Mat geometria espacial 001

  1. 1. Matemática RETAS E PLANOS NO ESPAÇO lela ou reversa com qualquer reta do plano. ANOTAÇÕES 1. POSTULADOS (sem d emonstraç ões) Planos s paralelos (distintos) Definição: intersecção vazia Teorema: dois planos são paralelos se umEuclides: Por um ponto fora de uma contiver duas retas CONCORRENTES paralelasreta existe uma única paralela a essa a outro.reta. Dois planos sendo paralelos distintos. Posição relativas de Duas Retas Toda reta que fura um fura o outro. Todo plano que corta um corta o outro em re- Coincidenteparalelas reversas concorrentes tas paralelas. (paralelos) Toda reta de um é paralela a outro. Intersecção de Planos 2. ÂNGULOSSe dois planos distintos tem um ponto comumeles tem uma reta comum. Para se obter o ângulo entre re-Então: os planos acima chamam-se secantes. tas reversas ou não; traça-se por um ponto qualquer paralelas às duas; o Intersecção de 3 Planos ângulo obtido é o ângulo das reversas.Ou os três se encontram numa única reta ouas intersecções dão paralelas, ou concorren- Definição: uma reta é perpen-tes num único ponto. dicular a um plano quan-do fura (pé) e é perpendicular a todas retas do Reta x Plano plano que passam pelo pé. Paralelos Incidentes pertencentes Teorema: uma reta é perpen- Plano x Reta dicular a um plano quando formar ân- Coincidentes gulo reto com duas retas Paralelos Secantes CONCORRENTES do plano. (paralelos)Teorema de Tales: Se um feixe de 3. PLANOSplanos para-lelos é cortado por duas PERPENDICULAREStransversais (paralelas ou não) entãoa razão entre os segmentos de uma é contém uma reta per-igual à razão entre os corresponden- pendicular a â.tes de outra. A recíproca é garantida pelo Reta paralela a plano Teorema: se um plano contém umaDefinição: a intersecção é vazia perpendicular ao outro plano, esseTeorema: uma reta é paralela a um plano sefor paralela a uma reta do plano E NÃO outro contém uma perpendicular aoESTIVER NELE CONTIDA. 1º. Teorema: por uma reta nãoPor um ponto fora do plano existem infinitas perpendicular a um plano só existeretas paralelas a este plano.Se uma reta é paralela a um plano ela é para- um plano perpendicular ao plano da- do. COLÉGIO VIA MEDICINA PSS 2 PÁGINA 1
  2. 2. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL I. Num ângulo poliédrico qualquer ANOTAÇÕES face é menor que a soma das de- mais. II. A soma das faces é menor que 360º Superfície poliédrica Convexa aberta V-A+F=1 Poliédro Convexo soma dos ângu-Diedro: los das faces de um poliedro euleriano Seção: qualquer ângulo óbito S=(V-2).360ºpela intersecção de um plano com odiedro (deve encontrar a aresta) Platão Seção reta ou ângulo reto: se Faceso plano for perpendicular à aresta Euleriano com P Vértices com q ares-(fornece a medida do diedro) tas lados THODI Poliedros regulares Convexos Faces re- Vértices regula- gulares res côngruas côngruas THODI – regulares POLIEDROSTriedro: As faces do triedro são ângulos. Denomina-se poliedro o sólidoO Triedro possui 3 diedros e 3 faces. limitado por polígonos planos que têm, dois a dois, um lado comum. E- xemplos:Seções paralelas de um ângulo polié-dricoSão polígonos semelhantes (mesma forma)A razão da semelhança: K=H/hA razão entre as áreas é: Os polígonos são denominados faces do poliedro. Os lados e os vértices dos polí- gonos denominam-se, respectivamen- te, arestas e vértices do poliedro. 1. Poliedros convexos e não convexo Um poliedro é dito convexo quando o segmento de reta que une os dois quaisquer de seus pontos este- ja contido no poliedro. Em caso con- trário, é não convexo.PÁGINA 2 COLÉGIO VIA MEDICINA
  3. 3. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira Hexaedro regular (cubo) ANOTAÇÕES De acordo com o número de fa- Faces: quadradosces temos os seguintes poliedros:tetraedro poliedro convexo com Octaedro regularquatro facespentaedro poliedro convexo comcinco faceshexaedro poliedro convexo comseis faces Faces: triângulos equilaterosheptaedro poliedro convexo comsete faces Dodecaedro regularoctaedro poliedro convexo comoito facesicosaedro poliedro convexo comvinte faces Faces: pentágonos regulares Relação de EulerEm todo poliedro convexo, vale a re- Icosaedro regularlação:V = número de vértices Faces: triângulos equiláterosA = número de arestasF = número de faces Chamando de: Propriedade M = número de arestas concorrentes em cada vérticesNum poliedro convexo, a soma dos n = número de lados em cada faceângulos de todas as faces é dada por: V = número de vértices do poliedro A = número de arestas do poliedro F = número de faces do poliedro Poliedros regulares ou poliedros Temos: de Platão Um poliedro convexo é dito re- Nome m n V A F Sgular quando as suas faces são polígo- Tetraedro 3 3 4 6 4 720ºnos regulares e congruentes, e todos Hexaedro 3 4 8 1 6 2160os ângulos poliédricos são congruen- 2 ºtes. Octaedro 4 3 6 1 8 1440 Há somente cinco poliedros re- 2 ºgulares, que são: Dodecaedro 3 5 2 3 1 6480 0 0 2 ºTetraedro regular Icosaedro 5 3 1 3 2 3600 2 0 0 º Faces: triângulos equiláteros COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 3
  4. 4. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL 2. PIRÂMIDES g) ( )ANOTAÇÕESdivide a reta Um ponto em duas semi-retas.1. PRISMAS 2.1. PIRÂMIDES REGULARES h) ( ) O triângulo é um con-1.1. PARALELEPÍPEDO RETO- 1. Área lateral: junto convexo. RETÂNGULO N: número de faces1. Cálculo da diagonal (d): : área uma face 2. Área total: d=2. Cálculo da superfície total 3. Volume:(3. Cálculo do volume (V): V = a . b . Relação fundamental: m² = h² + a²c1.2. CUBO1. Diagonal:2. Área total: 2.2. TETRAEDRO REGULAR3. Volume: V= a³ 1. Altura: 2. Área total: 3. Volume:1.3. PRISMA REGULAR1. Área lateral:N: número de faces área de uma face2. Área total:B: área da base EXERCÍCIOS3. Volume: V = B . h 1. Assinale como verdadeiro (V) ou falso (F) nas sentenças abaixo: a) ( ) O ponto tem dimensão. b) ( ) A reta não tem espessura. c) ( ) Numa reta existem tantos pon- tos quantos quisermos. d) ( ) Por um ponto P existe uma úni- ca reta passando por ele. e) ( ) Fora de um plano existem infi- nitos pontos. f) ( ) Um ponto divide o plano em dois semiplanos.PÁGINA 4 COLÉGIO VIA MEDICINA
  5. 5. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira( ) Todo quadrilátero é sempre a) ( ) Uma reta e um plano que têm ANOTAÇÕESum conjunto convexo. um único ponto em comum são parale- las.i) ( ) Um segmento é um conjunto b) ( ) Se uma reta é paralela a um convexo. plano, então ela é paralela a uma reta do plano.j) ( ) O plano tem dimensões. c) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, ela é reversa a todas as retask) ( ) Todo plano contém, no mínimo, deste plano. três pontos alinhados. d) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então existe no plano uma retal) ( ) Dois planos secantes têm em concorrente com a reta dada. comum duas retas distintas. 6. Quais as posições relativas entre r e s, se :2. Marque verdadeiro (V) ou falso (F):a) ( ) A circunferência é um conjunto a) á // r e s á; convexo. b) r áes á;b) ( ) O circulo é um conjunto conve- c) á r = {P} e s á xo.c) ( ) Duas retas distintas sempre di- 7. Dê o nome de cada posição entre r e s videm o plano em três regiões conve- nos casos: xas. a)d) ( ) Se dois pontos pertencem a se- miplanos opostos, então o segmento entre eles intercepta a origem.e) ( ) Existe um único plano que con- tém um triângulo dado no espaço.f) ( ) Três pontos distintos não coli- neares determinam um plano.g) ( ) Três pontos distintos determi- b) nam um plano.h) ( ) Dado um ponto P, existe uma única reta que possui.i) ( ) Três pontos num plano são coli- neares.j) ( ) Os vértices de um triângulo de- terminam um plano. c)3. Por que uma mesa com três pernas as- senta perfeitamente em qualquer tipo de chão? E as de quatro pernas nem sempre, por quê?4. Assinale verdadeiro (V) ou falso(F): d)a) ( ) Se a intersecção de duas retas é o vazio, então elas são paralelas.b) ( ) Duas retas distintas e não para- lelas são reversas.c) ( ) Se duas retas não são coplana- res, então elas são reversas.d) ( ) duas retas coplanares são para- lelas ou concorrentes. e)e) ( ) é condição necessá- ria para que r e s sejam paralelas.f) ( ) Duas retas que formam um ân- gulo reto são ortogonais ou perpendi- culares.g) ( ) Duas retas distintas são sempre coplanares.5. Classifique como verdadeiro (V) ou fal- 8. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F): so (F): a) ( ) Duas retas no espaço são para- lelas ou congruentes. COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 5
  6. 6. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIALb) ( ) se duas retas estão no mesmo d) Ou um ponto, ou um segmento, ou um ANOTAÇÕES plano, então elas são reversas. triângulo, ou um quadrângulo.c) ( ) duas retas reversas que formam e) Ou um ponto, ou um segmento, ou um um ângulo reto são ortogonais. triângulo, ou um quadrângulo, ou va-d) ( ) Se a intersecção de duas retas é zio. o vazio, então elas são reversas.e) ( )r é condição necessá- 13. e s//α. Quais as possíveis po- ria para que r e s sejam paralelas. sições de r e s?f) ( ) duas retas que formam um ân- gulo reto são ortogonais ou perpendi- 14. . Quais as possí- culares. veis posições entre r e s?g) ( ) Duas retas reversas podem ser obliquas. 15. Classifique em verdadeiro (V) ou falsoh) ( ) Se duas retas formam um ângu- (F): lo reto e uma terceira é paralela a uma delas, então essa terceira reta a) ( ) Dois planos paralelos distintos forma ângulo reto com a outra. têm um ponto em comum.i) ( ) Duas retas não reversas são co- planares. b) ( ) Se dois planos são paralelos e distintos, então toda reta de um delesj) ( ) Duas retas coplanares e distin- é paralela ao outro. tas são paralelas. c) ( ) Dois planos que têm uma únicak) ( ) Duas retas coplanares e distin- reta comum são secantes. tas são paralelas. d) ( ) Se dois planos são secantes, en- tão qualquer reta de um deles é con-9. (MACK) a reta r paralela ao plano α corrente a do outro. são paralelas a r. e) ( ) Se dois planos são secantes, en- tão a reta de um deles pode ser con-a) Todas as retas de á são paralelas a r. corrente com outro.b) A reta r não pode ser coplanar com nenhuma reta em á. 16. Quais as posições relativas entre r e s,c) Existem em á retas paralelas a r e, se: também, existem em á retas reversas a r. a) á//â; r áes âd) Existem em á retas paralelas a r e re- tas perpendiculares a r. b) á â = {i}; r âes âe) Todo plano que contem r é paralelo a á. 17. (PUC) Qual das afirmações é verda- deira?10. (MACK) r e r’ são retas reversas. O número de planos paralelos a r que a) Se duas retas concorrentes de um pla- podem passar por r’ é: no são respectivamente paralelas a duas retas do outro plano, então essesa) Um. planos são paralelos.b) Dois. b) Por uma reta dada pode-se conduzirc) Infinitos. um plano paralelo a um plano dado.d) Nenhum. c) Por qualquer ponto é possível conduzir uma reta que se apóia em duas retase) N.d.a. reversas dadas. d) Se uma reta é paralela a dois planos,11. (MACK) Se r e s são duas retas parale- então esses planos são paralelos. las a um plano α, então: e) Existem planos reversos.a) r//s. 18. Assinale verdadeiro (V) ou falso(F):b) r s.c) r e s são concorrentes. a) ( ) Se dois planos são paralelos dis-d) R e s são reversas. tintos, toda reta de um é paralela aoe) Nada se pode concluir. outro. b) ( ) Se dois planos possuem um pon-12. (USP – SÃO CARLOS) São dados um to em comum, então eles possuem in- tetraedro e um plano no espaço. A in- finitos pontos comuns. tersecção dos dois será: c) ( ) Se dois planos são paralelos, to- da reta que é secante com u deles seráa) um triângulo. secante com outro.b) Ou um ponto, ou um segmento, ou um triângulo, ou vazio. 19. (CESCEM) Uma condição necessária ec) Ou um triângulo ou um quadrângulo. suficiente para que dois pontos sejam paralelos é que :PÁGINA 6 COLÉGIO VIA MEDICINA
  7. 7. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveiraa) Uma reta de um seja paralela ao ou- ANOTAÇÕES tro. 24. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F):b) Duas retas de um seja paralela ao ou- tro. a) ( ) Se dois planos são secantes, e-c) Duas retas paralelas de um sejam pa- les são perpendiculares. ralelas ao outro. b) ( ) Se dois planos são perpendicula-d) Toda reta de um seja paralela a qual- res, eles são secantes. quer reta do outro. c) ( ) Se dois planos são perpendicula-e) Um deles contenha retas concorrentes, res, então toda reta de um deles é paralelas ao outro. perpendicular ao outro. d) ( ) Se uma reta é perpendicular a20. (PUC) Qual das propor-sições abaixo é um plano, por ela passam infinitos falsa? planos perpendiculares ao primeiro. e) ( ) Dois planos perpendiculares aa) As intersecções de dois planos parale- um terceiro são perpendiculares entre los, com um terceiro plano, são retas si. paralelas.b) Se dois planos distintos são paralelos, 25. Considere um quadrado ABCD contido toda reta contida em um deles é para- no plano α,o segmento VA perpendicu- lela ao outro plano. lar a α e os segmentos VB,VC,VD.c) Um plano â, paralelo a outro plano á por um ponto A á, é único.d) Dois planos distintos paralelos a um terceiro são paralelos entre si.e) Se dois planos são paralelos, toda reta paralela a um deles é paralela a outro.21. Um plano α contem duas retas r e s concorrentes em A. Existe fora de α um ponto P. Qual é a intersecção dos pla- nos β = (Pr) e = (Os)? Assinale (V) verdadeiro ou (F) falso:22. Assinale verdadeiro(V) ou falso(F): a) ( ) VA AB.a) ( ) Uma reta é perpendi-cular a um b) ( ) VA AD. plano, quando é perpendicular a uma reta do plano. c) ( ) VA BC.b) ( ) Uma reta é perpendi-cular a um d) ( ) VA CD. plano, quando é perpendicular a duas e) ( ) VBA = 90º retas distintas do plano. f) ( ) VBC = 90ºc) ( ) Uma reta é perpendicular a um g) ( ) VDC = 90º plano, quando é perpendicular a todas as retas do plano. 26. (POLI) Seja P o pé da reta r perpendi-d) ( ) Se r á, então r forma ângulo cular a um plano β e s uma reta de β de 90º com todas as retas de á. que não passa por P. Traçando-se por P uma perpendicular a s, esta encon- tra s em um ponto Q. se A é um ponto23. (FUVEST) O segmento é um diâ- qualquer de r, diga: qual é o ângulo de metro de uma circunferência e C um AQ com s? Justifique. ponto dela, distinto de A e B.A reta , V ≠ A, é perpendicular ao plano 27. (FUVEST) Dada uma circunferência de da circunferência. O número de faces diâmetro , levanta-se por A um do sólido VABC, que são triângulos re- tângulos, é: segmento perpendicular ao plano da circunferência e une-se P a um ponto C qualquer da circunferência, C distinto de B. a) Prove que as retas BC e PC são perpendiculares. b) Sabendo que AB = AP = 8 e que Ca) 0 é o ponto médio do arco AB, de-b) 1 termine a medida do ângulo CPB.c) 2d) 3 28. (FUVEST) São dados cinco pontos nãoe) 4 coplanares A, B, C, D e E. Sabe-se que COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 7
  8. 8. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL ABCD é um retângulo . AE AB e AE 36. (Cesgranrio) Um poliedro convexo é ANOTAÇÕESAD.Pode-se concluir que são perpendicu- formado por 80 faces triangulares e 12lares as retas. pentagonais. O número de vértices do a) EA e EB. poliedro é: b) EB e BA. c) EA e AC 37. (Acafe) Um poliedro convexo tem 15 d) EC e CA faces triangulares, 1 face quadrangu- lar, 7 faces pentagonais e 2 faces he- e) AC e BE xagonais. O número de vértices desse poliedro é:29. (PUC) São dadas as proposições: a) 25I. Uma reta é perpendicular a um plano quando ela é perpendicular a todas as b) 48 retas desse plano. c) 73II. Se um plano é perpendicular a outro, d) 96 então ele é perpendicular a qualquer e) 71 reta desse outro.III. Se dois planos distintos são paralelos, 38. (PUUC-SP) O “cubo octaedro” é um então toda reta de um é paralela ao poliedro que possui 6 faces quadrangu- outro. lares e 8 triangulares. O número deÈ correto afirmar-se que: vértices desse poliedro é: a) I, II e III são verdadeiras. a) 12 b) I, II e III são falsas. b) 16 c) Apenas II é verdadeira. c) 10 d) Apenas III é verdadeira. d) 14 e) Apenas II e III são verdadeiras. e) n.d.a.30. Um poliedro convexo tem 8 vértices e 39. (UEPG-PR) Um poliedro convexo pos- 12 arestas. Quantas são suas faces? sui 2 faces triangulares e 4 pentago- nais. Sobre ela se afirma:31. U poliedro convexo tem 20 arestas e I. O número de arestas excede o número 12 faces. Determine: de vértices em cinco unidades. a) O número de vértices; II. A soma dos ângulos das faces é igual a b) A soma dos ângulos da face. 28 retos. III. O número de vértice é 9. IV. O número de arestas é 12.32. Num poliedro convexo, o número de Estão corretas as afirmativas: vértices é igual ao das faces. Tenho 30 a) I, II e III arestas, determine a soma dos ângulos b) II e III das faces desse poliedro. c) II, III e IV d) I e II33. (PUC) O número de vértices de um e) Todas as afirmativas estão corretas. poliedro convexo, que possui 12 faces triangulares, é: 40. (UC-RS) Se a soma dos ângulos das fa-a) 4 ces de um poliedro regular é 1440º,b) 12 então o número de vértices desse poli-c) 10 edro é:d) 6 a) 12e) 8 b) 8 c) 634. (UFPA) Um poliedro convexo tem 6 d) 20 faces e 8 vértices. O número de ares- e) 4 tas é:a) 6 41. (UNIRIO) Um geólogo encontrou, nu-b) 8 ma de suas explorações u cristal dec) 10 rocha no formato de um poliedro, qued) 12 satisfaz a relação de Euler, de 60 facese) 14 triangu-lares. O número de vértices desde cristal é igual a:35. (PUC-SP) O número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces a) 35 triangulares é: b) 34 c) 33a) 4 d) 32b) 12 e) 31c) 10d) 6e) 8PÁGINA 8 COLÉGIO VIA MEDICINA
  9. 9. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira42. (FUVEST) O número de faces triangu- ta VA, V ≠ A, é perpendicular ao plano ANOTAÇÕES lares de uma pirâmide é 11. Pode-se, da circunferência. O número de faces então, afirmar que esta pirâmide pos- do tetraedro VABC que são triângulos sui: retângulos é: a) 0a) 33 vértices e 22 arestas. b) 1b) 12 vértices e 11 arestas. c) 2c) 22 vértices e 11 arestas. d) 3d) 11 vértices e 22 arestas. e) 4e) 12 vértices e 22 arestas. 48. Calcule o número de diagonais do ico-43. (MACK) Considere uma pirâmide cuja saedro regular. base é um polígono convexo. Se a so- ma das medidas dos ângulos internos 49. (FUVEST) O volume de um paralele- de todas as suas faces é 3600º, o nú- pípedo reto-retângulo é de 240cm³. As mero de lados da base dessa pirâmide áreas de duas de suas faces são 30cm² é igual a: e 48cm². A área total do paralelepípe- do, em cm², é:a) 11 a) 96b) 12 b) 118c) 9 c) 236d) 10 d) 240e) 8 e) 47244. (MACK) Um poliedro convexo tem 15 50. (PUC) Um cubo tem área total igual a faces. De dois de seus vértices partem 72m². sua diagonal mede: 5 arestas, de quatro outros partem 4 arestas e dos restantes partem 3 ares- a) 2 m tas. O número de arestas do poliedro b) 6m é: c) ma) 75 d) mb) 53 e) mc) 31d) 45 51. (UESB-BA) Diminuindo-se de 1 unida-e) 25 de de compri-mento a aresta de um cubo, o seu volume diminui 61 unida-45. (PUC) Quantas diagonais possui um des de volume. A área total desse cu- prisma pentagonal? bo, em unidades de área, é igual a: a) 75a) 5 b) 96b) 10 c) 150c) 15 d) 294d) 18 e) 600e) 24 52. (FAAP) Em um prisma triangular regu-46. (UNESP) A sentença falsa a respeito lar a altura mede m e a área late- da perpendiculari-dade é: ral é o quádruplo da área da base. Calcule o volume do prisma.a) Se uma reta é perpendicular a duas re- tas concorrentes de um plano, então é 53. (PUC) Um prisma reto é tal que sua perpendicular a esse plano. base é um triângulo equilátero, cujob) Existem 4 retas passando por um pon- to, tais que sejam perpendiculares du- lado mede cm e o seu volume é as a duas. igual ao volume de um cubo de arestac) Se uma reta é perpendicular a um pla- medindo cm. A área total desse no, existem infinitas retas desse plano prisma, em centímetros quadrados, é: perpendicular a ela.d) Retas distintas perpendiculares ao a) mesmo plano são paralelas. b)e) Dados uma reta e um ponto, podemos c) passar um e apenas um plano perpen- d) dicular à reta e passando pelo ponto. e)47. (FUVEST) O segmento AB é um diâ- metro de uma circunferência e C um ponto dela, distinto de A e de B. A re- COLÉGIO VIA MEDICINA PÁGINA 9
  10. 10. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL54. (MACK) Um paralelepípedo retângulo ANOTAÇÕES tem 142cm² de área total e a soma dos comprimentos de suas arestas vale 60cm. Sabendo que os seus lados estão em progressão aritmética, eles valem (em cm):a) 2, 5, 8.b) 1, 5, 9.c) 12, 20, 28.d) 4, 6, 8.e) 3, 5, 7.PÁGINA 10 COLÉGIO VIA MEDICINA

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