Mat exercicios resolvidos  007
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  • 1. Matemática Fascículo 03Álvaro Zimmermann Aranha
  • 2. ÍndiceProgressão Aritmética e GeométricaResumo Teórico .................................................................................................................................1Exercícios ...........................................................................................................................................3Dicas .................................................................................................................................................4Resoluções ........................................................................................................................................5
  • 3. Progressão Aritmética e GeométricaResumo teóricoProgressão Aritmética (P.A.)DefiniçãoUma seqüência numérica (a1; a2; a3;....; an–1; an; an+1;...) será denominada P.A. se um termo qualquer(an), a partir do segundo (a2 ) for obtido pela soma do termo imediatamente anterior (an–1) com umvalor constante (r) denominado razão da P.A.; ou seja, numa P.A.:an = an–1+r para n Î IN / n ³ 2Exemplo: (1,3,5,7,9,....) seqüência dos números ímpares positivos é uma P.A. de razão r = 2 e primeiro termo a1 = 1Conseqüências:1. A diferença entre dois termos consecutivos é constante e igual à razão da P.A., ou seja: a4 – a3 = a3 – a2 = an – an–1 = r2. Um termo qualquer, a partir do segundo, é a média aritmética dos termos que lhe são eqüidistantes, ou seja: a1 + a3 a + a 13 a n–p + a n+ p a2 = ; a 10 = 7 ; an = 2 2 2Fórmula do Termo Geral da P.A. (an)Numa P.A. de razão r e primeiro termo a1 , podemos obter um termo qualquer an através da seguinterelação: an = a1 + (n – 1).r para n Î IN / n ³ 1Exemplo: para encontrarmos o 10º termo fazemos n = 10, logo: a10 = a1 + 9.rConseqüência:1. Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p (ap) devemos fazer: an = ap + (n – p).r Exemplo: a10 = a7 + 3r ou a10 = a4 + 6r, etc... 1
  • 4. Soma dos Termos de uma P.A.A soma dos n primeiros termos de uma P.A. pode ser obtida pela seguinte relação: (a 1 + a n ) × nS= 2onde a1 é o primeiro termo,an é o último termo,n é o n.o de termos somados eS é o valor da soma dos termos.Progressão Geométrica (P.G.)DefiniçãoUma seqüência numérica (a1; a2; a3;....; an–1; an; an+1;...) será denominada P.G. se um termo qualquer(an), a partir do segundo (a2) for obtido pela multiplicação do termo imediatamente anterior (an–1) poruma constante numérica (q) denominada razão da P.G.; ou seja, numa P.G.:an = an–1 . q para n Î IN / n ³ 2Exemplo: (2, 6, 18, 54, 162) é uma P.G. onde q=3Conseqüências:1. O quociente entre dois termos consecutivos é constante e é igual à razão (q) da P.G., ou ainda: a3 a2 a = = n =q (para q ¹ 0) a 2 a 1 a n–12. Um termo qualquer, a partir do segundo (a2) é a média geométrica dos termos que lhe são eqüidistantes, ou: (a 3 ) 2 = a 2 × a 4 ou (a n ) 2 = a n –p × a n+ pFórmula do Termo Geral da P.G. (an)Numa P.G. de primeiro termo a1 e razão q, um termo qualquer pode ser obtido através da seguinterelação:an = a1 . qn–1 para n Î IN / n ³ 1Exemplo: para obtermos o quinto termo fazemos n=5, daí: a5=a1.q4Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer (an) a partir de um termo de ordem p devemos usara seguinte relação:an = ap . qn–pExemplo: a10 = a7 . q3 ou a10=a6 . q4, etc...2
  • 5. Soma Finita de Termos de uma P.G. A soma dos n primeiros termos de uma P.G. é dada pela seguinte relação: a 1(qn – 1) S= q–1 Soma Infinita de Termos de uma P.G. Convergente Quando a soma infinita converge, ou seja, na P.G. |q|< 1 , podemos obter o limite da soma fazendo a1 S= 1– q Produto dos n Primeiros Termos de uma PG. É dado pelas seguintes relações: n(n–1) n n IP = a 1 × q 2 ou IP = (a 1 × a n ) 2 Exercícios01. (FUV-83-Modificado) Calculando um dos ângulos de um triângulo retângulo, sabendo que os mesmos estão em P.G. obtemos: a. ( 2 – 1).90º b. ( 3 – 1).45º c. ( 5 – 1).45º d. ( 7 – 1).90º e. (2+ 2).45º02. (FUV-85-Modificado) Os números x, x, log210x são, nesta ordem, os três primeiros termos de uma progressão geométrica. Calculando o valor de x obtemos: 1 1 1 a. b. 2 c. 5 d. e. 2 5 303. (FUV-92-Modificado) Três números distintos formam uma P.A. crescente, cuja soma é três. Seus quadrados, mantendo a respectiva ordem, formam uma P.G.. Qual é a razão da P.A.? 2 a. 1 b. 2 c. 2 d. 3 e. 204. Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são 1 – a, – a, 11- a . O quarto termo desta P.A. é: a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 605. A seqüência de números reais a, b, c, d forma, nessa ordem, uma progressão aritmética cuja soma dos termos é 110; a seqüência de números reais a, b, e, f forma, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 2. A soma d + f é igual a: a. 96 b.102 c. 120 d. 132 e. 142 3
  • 6. 06. Se a soma dos termos da progressão geométrica dada por 0,3 : 0,03 : 0,003 : ... é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três termos, então a soma dos termos da progressão aritmética vale 1 2 1 a. b. c. 1 d. 2 e. 3 3 207. Para todo n natural não nulo, sejam as sequências (3, 5, 7, 9, ..., an, ...) (3, 6, 9, 12, ..., bn, ...) (c1, c2, c3, ..., cn, ...) com cn = an + bn. Nessas condições, c20 é igual a a. 25 b. 37 c. 101 d. 119 e. 149 Dicas01. Use a P.G. de 3 termos (x, xq, xq2) Num triângulo retângulo o maior ângulo mede 90º (faça x = 90º, acima, e note que q < 1) Faça a soma dos termos acima igual a 180º (soma dos ângulos internos num triângulo). a3 a202. Numa P.G. (a1, a2, a3): = a2 a1 Lembre-se das condições de existência para os valores de x03. Use a P.A. de três termos (1– r, { , 1+ r ) x23 x x2 3 a1 a2 a3 a2 a2 Pelo enunciado (a12; a22; a32) é P.G., então: 3 = 2 a2 2 a2 1 Se a P.A. é crescente, então r > 0 Calcule a razão, fazendo r = a2 – a1, (por exemplo)04. Dados três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio é igual à média aritmética dos outros a +c dois, ou seja, se (a, b, c) é P.A., então b = . 205. Numa PA qualquer an – an–1 = r, onde r é a razão da PA an Numa PG qualquer = q, onde q é a razão da PG a n–1 4
  • 7. 06. a1 1. A soma dos termos de uma P.G. infinita é dada por S = , –1 < q < 1 1– q 2. Para três termos em P.A. vale a propriedade: “o termo do meio é a média aritmética dos outros dois”.07. A primeira seqüência dada é uma P.A. de razão 2 e a segunda seqüência dada é uma P.A. de razão 3. O termo geral de uma P.A. é dado pela fórmula an = a1 + (n – 1)r. Resoluções01. Alternativa c. Usando a P.G. de 3 termos: (x, xq, xq2 ) faremos x = 90º; então as medidas serão (90º, 90ºq, 90ºq2) onde 0 < q < 1, pois o maior ângulo no triângulo retângulo mede 90º. Mas: 90º + 90ºq + 90ºq2 = 180º (Soma dos ângulos no triângulo) –1 + 5 –1– 5 daí q = ou q = (não convém) 2 2 Logo, os ângulos medirão: (90º; 45º ( 5 – 1 45º(3 – 5) ),02. Alternativa d. Se (x, x, log210x) é P.G., então: log2 10x x = Þ x × log2 10x = ( x) 2 x x Þ x × log2 10x = x , mas x = x pois x > 0 (condição de existência) Þ x × log2 10x = x 1 Þ log2 10x = 1 Þ 10x = 2 Þ x = 503. Alternativa c. Usando a P.A. de três termos (x – r, x, x + r) teremos: x – r + x + x + r = 3 (enunciado), onde x = 1 Logo, a P.A. fica (1– r, 1, 1 + r) mas ((1– r) 2 ,1,(1 + r) 2 ) é P.G. (enunciado) 1 (1+ r) 2 daí = Þ (1+ r) 2 × (1– r) 2 = 1 (1– r) 2 1 5
  • 8. ì r = 0,ou 2 2 ï Þ (1 – r ) = 1, logo ír = 2,ou ïr = – 2 î então r = 2 ou r = – 204. Alternativa b. Como (1 – a, – a, 11- a) é uma P.A., temos: (1 - a) + 11 - a –a= Þ 2 Þ – 2a = 1 – a + 11- a Þ – a – 1 = 11- a (*) Elevando ao quadrado os dois membros, temos: ìa = 2 a2 + 2a + 1 = 11 – a Þ a2 + 3a – 10 = 0 í îa = -5 Como elevamos ao quadrado, temos que fazer a verificação dos valores encontrados na equação (*). Para a = 2, temos: – 2 – 1 = 11- 2 (falso) Para a = – 5, temos: + 5 – 1 = 11 + 5 (verdadeiro) Como a = – 5, a P.A. fica (6, 5, 4). O quarto termo será 3.05. Alternativa d. Seja (a, b, c, d) uma PA de razão r Þ b – a = r (I) b Seja (a, b, e, f) uma PG de razão q = 2 Þ = 2 Þ b = 2a (II) a Substituindo II em I, temos 2a – a = r Þ r = a Assim sendo a PA poderá ser escrita como (a, 2a, 3a, 4a), cuja soma dos termos é igual a 110. a + 2a + 3a + 4a = 110 Þ 10a = 110 Þ a = 11 A PG fica com primeiro termo a = 11 e razão q = 2 e pode ser escrita como (11, 22, 44, 88). Assim d + f = 44 + 88 = 132 a b d f06. Alternativa c. a1 0,3 0,3 1 A soma dos termos da PG infinita (0,3 ; 0,03 ; 0,003 ; ...) é dada por S = = = = 1– q 1 - 0,1 0,9 3 Uma PA de três termos com termo médio x e razão r pode ser escrita como (x – r, x, x + r). 1 1 1 1 Sabendo que x = , temos a PA æ - r, , + r ö então a soma de seus termos vale ç ÷ 3 è3 3 3 ø 1 1 1 3 -r+ + +r = =1 3 3 3 3 6
  • 9. 07. Alternativa c. A sequência (3, 5, 7, 9, ... an, ...) é uma PA de razão 2, então an = a1 + (n – 1) . r Þ an = 3 + (n – 1) . 2 A sequência (3, 6, 9, 12, ... bn, ...) é uma PA de razão 3, então bn = b1 + (n – 1) . r Þ bn = 3 + (n – 1) . 3 Como cn = an + bn c20 = a20 + b20 c20 = [3 + (20 – 1) . 2] + [3 + (20 – 1) . 3] c20 = 101 7