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# Mat exercicios resolvidos 004

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• 1. 18/11/2003. 26/10/2005 00:22:49h24/4/2006, 18:46:21Produto de Matrizes _____________________________________________________ 1 Exercício: _________________________________________________________________ 1Matriz Involutiva _______________________________________________________ 1 Exercício__________________________________________________________________ 1Matriz Simétrica _______________________________________________________ 2 Exercício__________________________________________________________________ 2Matriz anti-simétrica: ___________________________________________________ 2 Exercício__________________________________________________________________ 2Determinante de uma matriz de ordem 2 _____________________________________ 2Determinante de uma matriz de ordem 3 — Regra de Sarrus_____________________ 3 Definição _________________________________________________________________ 3 Exercício: _________________________________________________________________ 3Respostas: ____________________________________________________________ 4Produto de MatrizesExercício: 1 1 2  1. Seja a matriz A =  1 3 1  , determine 4 1 1   a matriz polinomial, 2. A + 3. A + 5.I . 2 a) −1 1 2 5 3 b) A matriz inversa A-1 usando a fórmula A =− A + A + .I . 17 17 17Matriz InvolutivaUma matriz A quadrada é involutiva quando A = I 2Exercício  a 02. Uma matriz diagonal A, de ordem 2, é involutiva. Determine-a. Sugestão: faça A =   .   0 b
• 2. Arquivo: aula2matriz.doc Page 2/4Matriz Simétrica — é uma matriz quadrada A = aij [ ]nxn , diz-se simétrica quando aij = a ji para todo i, 1 ≤ i ≤ n , para todoj, 1 ≤ j ≤ n .Obs: Se A é simétrica então A = A t .Exercício 3 2b  Determine o número b ∈ R, para que a matriz A =    , seja simétrica. b3. 2 b  aii = 0  [ ]4. Seja a matriz A = aij 4x4 , para a qual aij = a ji . Determine A e At. A é  aij = i + j, se1 ≤ i < j ≤ 4 simétrica?  sen 2α (sen α + cosα )2  1   b5. Se   = , determine os números a, b e c.  cos 4α  sen3 α + cos3 α   2  a  cMatriz anti-simétrica:— é uma matriz quadrada A = aij [ ] nxn , diz-se anti-simétrica quando aij = −a ji para todo i, 1 ≤ i ≤ n ,para todo j, 1 ≤ j ≤ n .Obs: Se A é anti-simétrica então A = − A t ; os elementos da diagonal principal são todos nulos.Exercício  0 a b  6. A matriz A =  − a 0 c  é anti-simétrica.  − b − c 0    a 2 −3   7. Determine os números reais a, b, c, x, y e z para que a matriz A =  x − 1 b 2 y − 4  seja anti-  z c   4  simétrica.Determinante de uma matriz de ordem 2A toda matriz quadrada está associado um número real chamado determinante.Exemplos: Calcular os determinantes das matrizes:  4 − 2a) A =    o determinante dessa matriz é: detA= 4.7 – 6(-2) = 28 + 12 =40  6 7   5 3b) B =   o determinante dessa matriz é: detB= 5.2 – 3. 4 = 10 – 12 = -2  4 2c) Calcule o polinômio característico det(A – x.I)=0, onde x∈R;
• 3. Arquivo: aula2matriz.doc Page 3/4Determinante de uma matriz de ordem 3 — Regra de Sarrus8. Calcular os determinantes das matrizes pela regra de Sarrus: 2 3 −1 2 −1 1 2 3 0 a) 4 1 2 b) 1 0 0 c) 0 1 2 −3 2 1 0 1 0 1 3 2 π log 2 8 tg sec(− π ) π 4 sen − 12 1 1 29. Calcule os determinantes a) 4 2 sen8π 30 b) log1 0 −1 − 12 3π ln e 1 cos 2 −1 30 2Matriz InversaDefiniçãoSeja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz quadrada B, de ordem n, diz-se uma inversa de A, se esomente se: A.B = B. A = I n .Propriedade:A inversa de uma matriz A existe se o det A ≠ 0 .Exercício: 1 210. Seja a matriz A =    , pede-se:  3 0 a) verificar se existe a inversa A-1 da matriz A, det A ≠ 0 . b) A inversa da A-1 usando a definição. Resolução: 1 2  a b   1 0 A. A −1 = I →   3 0 . c d  =  0 1           1 111. Seja a matriz A =    . Determine A-1, se existir.  0 0  2 − 112. Encontrar a matriz inversa B-1 da matriz B =   3 0  a) usando a definição. b) usando o “artifício”. c) usando escalonamento 2 -1 d) a partir da equação B =2.B-3.I, determine a matriz inversa B , (obs: 2=2+0 e 3=det B).
• 4. Arquivo: aula2matriz.doc Page 4/4 Resolução: B2=2.B-3.I à 1 0 1   13. Encontre a matriz inversa C-1 da matriz C = 0 − 1 2 , usando o escalonamento.   2 0 1  Respostas:  28 15 16  8) a) -47 b) 1 c)-2  1)  19 36 15  9) a) -8 b) 1/2  30 19 28     0 1  1 0 1 0   − 1 0  3   0 1  ,  0 −1 ,2)      0 1 ,   10) 1 1  −        2 6  −1 0  11) Não existe, pois a matriz é singular.   0 − 1  0 − 1 / 3 −1   12) B = 3) 0 ou 2 1 2 / 3  0 3 4 5 1 0 1 1 0 0   3 0 5 6 13) 0 − 1 2 0 1 0 à A= 74) , A é uma matriz 4 5 0 2 0 1 0 0 1   5 0 − 1 0 1  6 7  simétrica. −1 B =  4 − 1 − 2 5) a = 1 , b= 3 e c= 3 6  2 0 − 1   2 2 86) Quaisquer que sejam a, b e c pertenceste a R.7) a=b=c=0; x=-1 e y=0; z=3