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Mat estudo das matrizes
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Mat estudo das matrizes

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  • 1. Matemática MárioMatrizes Observação: Matrizes retangulares não possuem nenhuma diagonal, portanto não podem ser matrizes diagonais ou identidades.Definição: Uma matriz é um conjunto de elementosagrupados em uma “tabela” de m linhas por n colunas tal É importante lembrarmos que existem outrosque m e n pertençam aos N*. tipos de matrizes, mas não são tão comuns.Igualdade: Uma matriz é igual a outra se são de mesma Operações:ordem, ou seja, possuem o mesmo número linhas ecolunas, além disso os respectivos elementos devem ser Soma e subtração: Para somar ou subtrair matrizes, asiguais. mesmas devem ser de mesma ordem. A soma ou subtração é feita elemento a elemento correspondente.Tipos de matrizes: A soma e subtração possuem propriedades que podem e devem ser usadas. Suponhamos A, B e CMatriz linha: A matriz só possui uma linha. matrizes de mesma ordem.Matriz coluna: A matriz só possui uma coluna. A + B = B + A (comutativa)Matriz nula: Matriz que possui todos os seus elementos (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)iguais a zero. A + 0 = 0 + A = A (elemento neutro) A + (-A) = -A + A = 0 (elemento oposto) t t tMatriz quadrada: Matriz em que o nº de linhas é igual ao (A+B) = A + Bnº de colunas. Quando uma matriz não é quadrada ela échamada de matriz retangular, é fácil, basta ver seuformato. Multiplicação: Pode ser feita entre matrizes e entre matriz e números reais. A multiplicação feita com umMatriz oposta: A matriz é oposta a alguma outra quando número real resulta em uma matriz em que todos oso sinal de todos seus elementos é trocado. elementos ficam multiplicados por tal número, já a multiplicação entre matrizes é mais complicada, vamosMatriz transposta: Matriz em que as linhas e as colunas t ver:foram trocadas entre si. É tida como A . Para multiplicar duas matrizes, uma com a outra, é necessário que o número de colunas da primeira sejaMatriz simétrica: Uma matriz é dita simétrica se for igual igual ao número de linhas da segunda. O resultado éa sua transposta. uma matriz com o nº de linhas da primeira e o nº de colunas da segunda. Veja o exemplo:Matriz anti-simétrica: A matriz é anti-simétrica se suaoposta for igual a sua transposta. Por fim temos a matriz identidade e matrizdiagonal, mas para falarmos sobre elas é necessáriodescrever as diagonais de uma matriz. Uma matriz, quadrada possui diagonais, sendoduas, a diagonal principal e a diagonal secundária. Écomo se fizéssemos a diagonal de um quadrado. Adiagonal principal é composta pelo primeiro elemento daprimeira linha e coluna, o segundo da segunda linha ecoluna e assim sucessivamente, já a diagonalsecundaria possui o ultimo elemento da primeira linha eprimeiro elemento da ultima coluna, o penúltimoelemento da segunda linha e o segundo elementopenúltima coluna e assim sucessivamente. A multiplicação também possui propriedadesMatriz diagonal: É composta por elementos na diagonal importantes, suponhamos A, B e C matrizesprincipal, não importando quais sejam, mas os demais convenientes para a multiplicação:elementos da matriz devem ser iguais a zero. (A.B).C = A.(B.C) (associativa)Matriz identidade: Para que uma matriz seja identidade C.(A+B) = C.A + C.B (distributiva)ela precisa que os componentes da diagonal principal A.I=I.A=Asejam iguais a um e que os demais elementos da matriz t t t (A.B) = A . Bsejam iguais a zero. Observação: A.B não é sempre igual a B.A. 1
  • 2. Matemática MárioDeterminantes: 3 – Se uma matriz quadrada for multiplicada por um número real, o determinante da matriz que resultará É necessário compreender o método de calculo é igual ao determinante da matriz original multiplicadode determinantes de matrizes de ordem igual ou inferior pelo mesmo número real elevado a ordem da matriz.a 3. 4 – Se uma fila de uma matriz quadrada for multiplicada por um numero real, o seu determinante é Determinantes de matrizes de ordem 1: É a multiplicado pelo mesmo número real.própria matriz. 5 – Se duas filas paralelas forem trocadas de lugar entre si, o determinante troca de sinal. Determinantes de matrizes de ordem 2: É 6 – Sendo A uma matriz, podemos escrever suasimples, basta fazer o seguinte: Multiplique os elementos determinante da seguinte forma: det(A).da diagonal principal, agora multiplique os elementos da 7 – det(A.B) = det(A).det(B)diagonal secundária, subtraia o primeiro resultado do n n 8 – det(A ) = (detA)segundo, o resultado será a determinante. 9 – det(I) = 1 Determinantes de matrizes de ordem 3: Para -1 10 – det(A ) = 1/det(A)calcular o determinante neste caso também é simples,veja o exemplo: Matriz inversa: Suponha A uma matriz, B será sua matriz inversa se e somente se A.B = B.A = Identidade conveniente. Sendo a matriz B dita como matriz inversa -1 de A e representada por A . Nem toda matriz é inversível, quando a matriz em questão é inversível a chamamos de matriz não- singular, já quando ela não é inversível e tida como matriz singular. As matrizes inversas possuem algumas propriedades, então considere A e B matrizes convenientes, daí temos: Outra forma de calcular o determinante é a -1 . A A=Iseguinte: escolhe-se uma linha ou coluna, de preferência -1 -1 (A ) = Aa que contenha maior número de zeros, para facilitar as -1 t t -1 (A ) = (A )contas. Distingui-se o primeiro número da linha ou -1 -1 (A.B) = B . A -1coluna escolhida, depois, forme outra matriz com os Se a matriz inversa existir ela é única.números que não estejam na mesma linha e coluna donúmero escolhido. O número escolhido então devemultiplicar (-1) elevado a soma das linhas e colunas em Observação: O determinante de uma matriz inversível éque o mesmo esta e tudo isso deve multiplicar o sempre diferente de zero.determinante da pequena matriz restante, faça isso paraos outros números. Esse método é extremamente válidoquando a matriz original possui zeros, pois agiliza as Sistemas Linearescontas. Veja um exemplo de uma matriz onde convémesta forma: Uma equação linear é dada na seguinte forma: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... +anxn = b Onde a1, a2,...,an e b são números reais e os demais são incógnitas (variáveis). O número representado por b é chamado de termo independente. Exemplo: x+4y = 2 As soluções são dadas pelo conjunto deObservações: números que satisfaz as equações, no exemplo anterior podemos citar (0,1/2). 1 – O determinante de uma matriz é igual aodeterminante da sua transposta. Observação: uma equação linear é dita homogênea 2 – Uma matriz que possui duas linhas ou quando seu termo independente for nulo.colunas iguais possui determinante igual a zero. 2
  • 3. Matemática Mário Pode ser que encontremos um problema que Exercícios:envolva duas restrições, ou até mais, bom, sendo estasrestrições entendidas como equações lineares, como 01 – Calcule o resultado das seguintes operações comresolver? matrizes: Bata fazer um sistema de equações, mas comoresolver? Bom, existem alguns métodos. 2 3 0 4 A)  +  Substituição: basta isolar uma variável de uma  4 5  7 3 das equações e substituir em outra, por exemplo: 7 6   2 0  x+y=2 B) 5 4 − 9 10 x+2y = 3 => x = 3 – 2y    Voltando a equação x+y=2 e substituindo o x temos: 3-2y+y = 2 => y = 1 => x = 1 02 – Muitas das vezes antes de começar a resolver um exercício pode ser interessante perder algum tempo Soma ou subtração: Em alguns casos convém pensando como fazê-lo. Veja a operação abaixo, quesomar ou subtrair as equações, veja como seria isso neste caso é simples e defina dois métodos decom o exemplo anterior resolução (lembrando que um deles é o mesmo do exercício anterior, ou seja, somar termo a termo). x+y=2 Se subtrairmos a x+2y = 3 2ª da 1ª 0 3 4  0 3 4  x+2y – (x+y) = 3-2 6 10 13 + 6 10 13 => x+2y-x-y = 1     7 21 9  7 21 9     Perceba que o x e o -x vão se anular, e diretamente játeremos o valor de y 03 – Tire suas conclusões dos seguintes casos: => y = 1 => x = 1 45 97 25Tente você, verá que na maioria das vezes, quando  48 0temos esta possibilidade, as contas ficam reduzidas, A) 32 1  3+  44 0 79 2 0   diminuindo o tempo gasto para a resolução.   As vezes você poderá encontrar sistemas quenão poderão ser resolvidos,eles são chamados sistemas 0 0 0 0impossíveis ou incompatíveis, por exemplo: 0 1 2    0 0 0 0 B) 1 1 0 −   x+y=1   0 0 0 1 x+y=2 2 0 2    0   0 0 1Observação: Um sistema é dito possível determinadose possuir uma única solução e possível indeterminado 04 – De o resultado das operações abaixo, quando forse possuir infinitas soluções. possível.Matriz associada a um sistema linear 2 3 1 1 A)   x  Podemos associar um sistema linear a uma 0 0 1 0matriz, veja como ficaria: 1 0 3 1 2 1  B)  x 3 1 0  6 4 3    0 0 1     1   0 10  29,5 7 11    C) 25 19 x  0  45 2     4 7  43,74   23 9      3
  • 4. Matemática Mário 205 - Calcule o determinante de A . Veja que alguns y = quantidade ingerida do alimento 2, em gramas.números pertencem aos complexos. A matriz M é? Tal que 3 + i 2  A=  5 3 − i 6 – (UFU – 2005) Considere a matriz 11 – Quando possível, calcule o determinante das matrizes abaixo: 1 2 3  4 1 2  Então A + 2A³ + 4A² + 8A é igual a A)   B) 2 0 0   3 4 1 1 1  A) A 6   8 B) A 10 C) A 5 D) A 0 0 0 0 2 2 1 4 1 0 907 – (UFU – 2006) Considere a matriz C)   D) 8 7 9 9 0 7 3     5 5 5 8 1 + a − 1  12 – Para que o determinante da matriz  3 1 − a  Determine quantas soluções tem o sistema linear. seja nulo, o valor da variável “a” deve ser: A) 4 ou 509 – (UFU – 2007) Sejam A e P matrizes quadradas de B) 1 -1ordem 3, com P inversível, e B = P A P . Assinale a C) 2 ou -2única alternativa incorreta. D) 3 ou -3 10 10 -1 A) B = P A P B) Se det A = 2, então, det (-3B) = -6 p 2 2 C) Se A não é inversível, então det B = 0  13 – (UESP) Se o determinante da matriz p 4 4 é -1 D) A = P B P   p 4  1 10 – (UFU – 2006 / adaptada) Por recomendação  p −1 2médica, João está cumprindo uma dieta rigorosa com  -18, então o determinante da matriz p − 2 4 éduas refeições diárias. Estas refeições são compostas  por dois tipos de alimentos, os quais contêm vitaminas p − 2  1 dos tipos A e B nas quantidades fornecidas na seguinte igual a:tabela: A) -9 Vitamina A Vitamina B B) -6 C) 3Alimento 1 20 uni./ grama 30 uni./ grama D) 6Alimento 2 50 uni./ grama 45 uni./ grama E) 9De acordo com sua dieta, João deve ingerir em cada Gabarito:refeição 13.000 unidades de vitamina A e 13.500unidades de vitamina B. 06. A 09. BConsidere nesta dieta: 12. Cx = quantidade ingerida do alimento 1, em gramas. 4
  • 5. Matemática MárioTrigonometria Tangente: Cateto oposto sobre hipotenusa ou seno sobre cosseno. Na trigonometria, estudamos os triângulos, seus“componentes” e algumas aplicações, muitas das vezes Observação: Cateto oposto e cateto adjacente sãopraticas, mas para isso, vamos ver antes alguns vistos com relação ao ângulo que se quer a informação,conceitos. o cateto oposto ao ângulo é aquele que se encontra a frente dele, ou seja, dos três lados do triângulo, é aqueleArco: Tendo uma circunferência escolhemos dois pontos que não tem “contato” com o ângulo. Por eliminação osobre a mesma, o pedaço da circunferência contido cateto adjacente é o lado que sobra, ou seja, para saberentre estes dois pontos é dito um arco da circunferência qual é ele, basta excluir a hipotenusa e o cateto oposto.e recebe o nome dos pontos escolhidos, ex.: AB. É possível com estas relações encontrar algunsÂngulos: Dados dois segmentos ou mesmo duas retas valores dos “componentes” do triângulo, como porcom um ponto em comum é possível medir a inclinação exemplo, a medida de um dos lados, mas antes deentre os dois segmentos ou retas partindo do ponto em vermos um exemplo disso, é necessário saber osquestão. Esse seria o ângulo. Existem alguns tipos de valores destas relações para os ângulos ditos notáveis.ângulo, citados a seguir: O que são ângulos notáveis? São aqueles primordiais para a resolução de vários exercícios. Quais - Ângulo reto: ângulo cuja medida é exatamente são? 30°, 45°, 60°.90°. Os ângulos de 0° e 90° também são importantes, - Ângulo agudo: ângulo cuja medida está entre mas vamos falar sobre eles em um tópico posterior.0°(maior que 0°) e 90° (menor que 90°). Existe uma tabela muito comum para os valores - Ângulo obtuso: ângulo cuja medida está entre dos ângulos notáveis, veja abaixo:90° (maior que 90°) e 180° (menor que 180°). - Ângulo raso: ângulo cuja medida é exatamente 30° 45° 60°180°. seno 1/2 √2 / 2 √3 / 2Observação: grau é uma unidade de ângulo, que pode cosseno √3 / 2 √2 / 2 1/2ser medido também em radianos (aquela representaçãousada com um “pi”). Veremos isso ainda. tangente √3 /3 1 √3Relação e conversão de ângulos Agora podemos partir para um exemplo. Encontre o valor de x e y. Imagine 360 arcos iguais em uma circunferênciae segmentos ligando suas extremidades a origem dacircunferência. Um grau corresponde a inclinação entredois segmentos que ligam as extremidades de um únicoarco destes. Bom, alem dos graus temos os radianos, bastasaber que qualquer circunferência possui comprimentode 2π. Vale a igualdade: π = 180°. Então paratransformarmos graus em radianos ou o contrario, bastafazer regra de três.Relações trigonométricas no triângulo retângulo Um triângulo retângulo é um triângulo quepossui um ângulo reto. Ele é formado por dois catetos euma hipotenusa, que são os lados do mesmo. Comosaber quais são os catetos e qual é a hipotenusa? É fácil,a hipotenusa está sempre oposta ao ângulo de 90 graus(ângulo reto), os outros lados são os catetos. Veja que não é complicado encontrar o valor de X e Y, pois temos um ângulo notável acompanhado da É possível relacionarmos os lados de um medida do seu cateto adjacente. Nas relações ditastriângulo desses citados acima. E quais relações são anteriormente, quais as que nos interessa, ou seja, quaisessas? Bom, vamos vê-las agora. envolvem a hipotenusa e o cateto oposto juntamente ao ângulo de 30°?Seno: Cateto oposto sobre hipotenusa Note que:Cosseno: Cateto adjacente sobre hipotenusa 5
  • 6. Matemática Máriocos 30° = √3 / 2 Observação 2: Essa é muito importante, pois as vezes esquecemos dos valores das tangentes para os ângulos Mas o cosseno de algum ângulo também é igual notáveis. Quando isso acontecer, recorram a formula daa: tangente, “seno sobre cosseno”. Pegue os valores dos senos e cossenos correspondentes ao ângulo e cateto adjacente substitua na formula para obter a tangente desejada. hipotenusa Portanto não existe a necessidade de memorizar os valores das tangentes dos ângulos notáveis, a não ser Nesse caso o cateto oposto é Y e a hipotenusa é para agilizar a resolução de problemas.x, então temos Redução ao primeiro quadrantecos 30° = √3 / 2 = cateto adjacente = 20 hipotenusa X Sabemos que existem quatro quadrantes angulares, o que são estes quadrantes? Veja abaixo a Logo temos: figura e entenderão perfeitamente. Detalhe: já estão numerados em ordem. √3 = 20 2 X Para descobrir o valor de X temos que isolá-lo,daí: X = 20 . 2 √3 É comum racionalizar, mas não é errado deixardesta forma. Agora vamos encontrar o valor de Y, tendo emmãos os valores da hipotenusa e do cateto adjacente. É Reduzir para o primeiro quadrante as vezespossível encontrar Y de duas formas, a primeira usando favorece o calculo de senos, cossenos ou tangentes deseno e a segunda usando tangente, vamos ver. ângulos que estão nos demais, veja que na tabela não possuímos os valores para ângulos nos quadrantes queSen 30° = ½ = cateto oposto = Y = Y não sejam o primeiro. Veja abaixo a figura mostrando as hipotenusa X 40/√3 formulas de reduções. Daí, 1= Y 2 40/√3 Basta isolar o Y, como fizemos a pouco com o X. Agora usando a tangente.Tg 30° = √3 = cateto oposto = Y 3 cateto adjacente 20 Logo temos: É necessário ficar atento ao que estamos Y = √3 querendo, pois dependendo do quadrante em que o 20 3 ângulo original está o sinal seno, cosseno ou tangente, muda, quando calculamos reduzindo ao primeiro Novamente basta isolar o Y, veja que usando o quadrante. Olhe abaixo os sinais e os quadrantes:seno e a tangente o resultado é o mesmo. 1° 2° 3° 4°Observação 1: Para memorizar a tabela de senos e Sen + + - -cossenos para ângulos notáveis, existe uma pequenafrase. Após posicionar a primeira linha e coluna Cos + - - +(seno/cosseno e ângulos) é só lembrar: “um dois três, Tg + - + -três dois um, todos sobre dois, só não tem raiz onde temum”. Observe a formação da tabela. Então se formos calcular o seno de 210°, reduzindo ao primeiro quadrante temos: 6
  • 7. Matemática Mário Com o teorema de Pitágoras e o circulo 210 = 180 + X trigonométrico podemos chegar a seguinte relação, muito importante por sinal:Onde X é o ângulo correspondente a 210 no primeiroquadrante. sen²(x) + cos²(x) = 1Estamos seguindo as formulas anteriores. Isolando o X, Identidades trigonométricas X = 210 – 180 X = 30° sen2x + cos2x = 1 O seno de X é então o seno de 30° que na sen (-x) = -sen xverdade é ½, mas como nosso ângulo “original” (210°)está no terceiro quadrante temos que a resposta não é cos (-x) = cos x½ e sim -½ . sec (x) = 1 / cos (x)Observação: cada quadrante é composto de 90°. cossec (x) = 1 / sen (x) Certo, mas e se o ângulo for 0°, 90°, 180°, 270°ou 360°. cotg (x) = 1/ tg (x) Aí entra o circulo trigonométrico, que na verdadejá está implícito nos outros valores dos ângulos. O tg (a-b) = tg (a) – tg (b)circulo trigonométrico é um circulo no plano cartesiano, 1 + tg (a) . tg (b)com origem no ponto (0,0) e raio igual a 1 sempre. O seno é “medido” no eixo Y e o cosseno no tg (a+b) = tg (a) + tg (b)eixo X. Como o raio do circulo trigonométrico é 1, o valor 1 - tg (a) . tg (b)máximo do seno e do cosseno é o próprio 1. cos (a + b) = cos(a).cos(b) – sen(a).sen(b) cos (a - b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b) sen (a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a) sen (a - b) = sen(a).cos(b) – sen(b).cos(a) cos² (x) = 1+ cos(2x) 2 sen² (x) = 1 – cos(2x) Temos que o 360° coincide com o 0° logo os 2valores de seno e cosseno serão iguais. Logo, sen(a/2) =± √ (1-cos(a))/2 cos(a/2) = ± √ (1+cos(a))/2 0° 90° 180° 270°sen 0 1 0 -1 Lei dos senoscos 1 0 -1 0 sen(A) = sen(B) = sen(C) ou a b cA tangente é medida por fora, como mostra a figuraanterior. a = b = c = 2rObservação: os gráficos serão feitos na sala de aula. sen(A) sen(B) sen(C)Teorema de Pitágoras onde r é o raio da circunferência em que o triângulo está inscrito. Veja na figura: H² = A² + B² A soma dos quadrados dos catetos é igual aoquadrado da hipotenusa (para os que gostam, ta numamúsica dos Mamonas Assassinas). 7
  • 8. Matemática Mário Exercícios: 01 - (Fuvest-SP) Qual das afirmações a seguir é verdadeira? A) sen 210° < cos 210° < tg 210° B) cos 210° < sem 210° < tg 210° C) tg 210° < sen 210° < cos 210° D) tg 210° < cos 210° < sem 210° E) sen 210° < tg 210° < cos 210°Lei dos cossenos 02 – (UEA-AM) Sabendo que sen x = 2/3 e que x está no 1° quadrante, o valor de cotg x é: Considerando ainda os lados e ângulos dotriângulo anterior, a lei dos cossenos fica da seguinte A) 5/2forma: B) 1/3 C) 5 /3 a² = b² + c² – 2.b.c.cos(A) D) 5/3 E) 5/2 03 – (UFPA) Qual das expressões a seguir é idêntica a 1 − sen 2 ( x) ? cot g ( x).sen( x) A) sen(x) B) cos (x) C) tg (x) D) cossec (x) E) cotg (x) 04 – (PUC-BA) Qualquer que seja o número real x, a expressão cos 4 ( x) − sen 4 ( x) é equivalente a: A) sen² (x) - 1 B) 2(senx).(cosx) C) 2cos²(x) – 1 D) 2 – cos²(x) E) (sen x + cos x). cos x 05 – Se f é uma função real definida por f(x) = (2tgx)/(1+tg²x) então f(x) é igual a: A) cossec 2x B) sec 2x C) tg 2x D) cos 2x E) sen 2x 06 – (Fuvest – SP) Se cos(x/2) = 2/4 então cos(x) vale: A) -3/8 B) 3/8 C) 14 / 4 D) 1/8 E) 32 / 4 07 – (PUC-RJ) Se tg 3x = 4, então tg 6x é igual a: 8
  • 9. Matemática Mário A) 8 18 – (UFU) Num triângulo ABC, o ângulo  é reto. A B) -8/15 altura ha divide a hipotenusa a e, dois segmentos, m e n C) 3/4 D) -3/4 (com m > n). Sabendo que o cateto b é o dobro do cateto c, podemos afirmar que m/n vale: E) 5/8 2 A) 4  x x B) 308 – (Unifor-CE) A expressão  sen + cos  é C) 2  2 2 D) 7/2equivalente a: E) 5 A) 1 19 – (UFU – 2007) O valor de tg 10° (sec 5°+cossec 5°) B) 0 (cos 5° - sen 5°) é igual a: C) cos²(x/2) D) 1 + sen x A) 2 B) ½09 – (UFJF) O conjunto solução da equação |cos2x| = 0 C) 1é: D) 2 A) {x є R; x = 2kπ, k є Z} B) {x є R; x = 2kπ ± π/2, k є Z} C) {x є R; x = kπ ± π/4, k є Z} Gabarito: D) {x є R; x = kπ, k є Z} 01. B10 – Quando Resolvida no intervalo [0; 2π], o número de 02. E 03. Bquadrantes nos quais a desigualdade 2cos x < 3 04. Capresenta soluções é: 05. E 06. D A) 0 07. B B) 1 08. D C) 2 09. C D) 3 10. E E) 4 18. A 19. A11 – Sabendo que o triângulo ABO é retângulo em B,que o lado oposto ao ângulo OÂB mede 5 unidades eque o ângulo AÔB mede 12 unidades. Determine o valordo seno, cosseno e tangente dos dois últimos ânguloscitados.12 – Num campeonato de asa-delta, um participante seencontra a uma altura de 160m e vê o ponto de chegadaa um ângulo de 60°. Calcular a componente horizontal xda distância aproximada em que ele está desse ponto dechegada.13 – Quais valores k pode assumir para tornar possível aigualdade sen x = 2k – 5?14 – Quais valores k pode assumir para tornar possível aigualdade cos x = 2k – 9?15 – Determine o conjunto verdade da equação 2sen² (x)+ sen (x) – 1 = 0 (Dica: veja que esta é uma equação dosegundo grau).16 – Determine o conjunto verdade da equação sem x +cos x = 1.17 – Mostre sen² (x) + cos²(x) = 1. 9
  • 10. Matemática MárioGeometria plana 3 – Dois ângulos são suplementares se a soma dos dois é igual a 180°.Paralelismo: Uma reta ou um segmento de reta éparalelo a outro quando a distancia entre dois pontos Teorema de Tales(um de cada reta) for igual, sendo estes pontos,pertencentes a um seguimento perpendicular a ambas O teorema de Tales afirma que, tendo duasas retas. Isso deve ser válido para todo par de pontos retas paralelas e duas retas transversais a estasdas retas que seguirem esse perfil, porém, para se paralelas, os segmentos correspondentes formadoscertificar basta analisar dois pares, veja abaixo na figura: pelas retas transversais, são proporcionais, observe:Perpendicularismo: Duas retas, semi-retas e/ou Daí o teorema de Tales diz que:segmentos são perpendiculares entre si quando têm umponto em comum e alem disso, o ângulo formado entre AB = AE = ACos dois é reto, ou seja, de 90° BC ED ADCongruência de figuras planas: Duas figuras planas são Classificar triângulos quanto aos ladoscongruentes quando possuem lados e ângulos iguais. Triângulo isósceles: possui dois lados iguais e os doisSemelhança de figuras planas: Duas figuras planas são ângulos formados com o lado “diferente” também sãosemelhantes se possuem a mesma forma, mas não iguais.necessariamente o mesmo tamanho. Triângulo eqüilátero: possui os três lados iguais e os trêsSemelhança de triângulos ângulos também. Existem alguns casos de semelhanças de Triângulo escaleno: todos os lados diferentes.triângulos, vamos ver alguns deles: Algumas definições AA: Se dois ângulos (por conseqüência trêsângulos também) correspondentes de um triângulo são Polígono regular: um polígono é regular quando seuscongruentes então os dois triângulos são semelhantes. lados e ângulos são congruentes. Por exemplo, o quadrado, todos os seus ângulos internos medem 90° e LLL: Se dois triângulos possuem seus lados os lados são todos de mesma medida. Um polígonocorrespondentes, sendo proporcionais, então estes regular pode ser inscrito em uma circunferência, detriângulos são semelhantes. forma que seus vértices estejam sobre a circunferência. Cuidado, nem todo polígono inscrito em uma LAL: Se dois triângulos possuem dois lados circunferência é regular.correspondentes semelhantes, de forma que estes doislados formem entre si um ângulo correspondente ao do Apótema: o segmento que liga o centro de um polígonooutro triângulo que seja congruente, existe também o regular a um lado, fazendo 90° com esse lado é ditocaso de semelhança. apótema. Os casos citados acima são os principaiscritérios usados para verificar a semelhança entre Diagonal de um retângulo: A diagonal de um retângulo,triângulos. ou quadrado, pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras.Observações: Corda: Segmento que une dois pontos de uma1 - A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. circunferência.2 - Dois ângulos são complementares se a soma dos Diâmetro: o diâmetro é um “componente” dadois é igual a 90°. circunferência, é uma corda que passa pelo centro. 10
  • 11. Matemática Mário Ou seja, para a área total da circunferência temos 360°,Setor circular: é realmente o setor de um circulo, ou para a área do setor circular temos X graus. Ésejam uma parte dele, como se fosse uma fatia de uma simplesmente uma “comparação” de áreas com graus.pizza. Outras fórmulasPerímetros Cordas se interceptando dentro de uma circunferência: O perímetro de um polígono é simplesmente asoma de todos os seus lados, mas e o perímetro (na Fica válido nesse caso, dizer que:verdade chamado de comprimento) da circunferência?Existe uma formula que nos responde isso. C = 2.π.rObservação: π vale aproximadamente 3,14. Nasrespostas das questões, a não ser que seja realmentenecessário, não é interessante gastar tempo substituindoa letra por esse valor. a.d=c.bÁreas Secantes se interceptando fora de uma circunferência:Área de um triângulo: A=b.h 2onde b é o tamanho da base e h o tamanho da altura dotriângulo.Área de um quadrado: A = lado x ladoÁrea de um retângulo: Fica valido nesse caso, dizer que: A=b.h (a+b).b = (c+d).donde b é o tamanho da base e h é o tamanho da alturado retângulo. Secante e tangente se interceptando fora da circunferência:Área de um polígono regular: veja que um polígonoregular possui todos os lados iguais, portanto tentedividi-lo em triângulos e calcular a área de um deles,depois multiplicar pela quantidade de triângulos divididas.Como um polígono regular pode ser inscrito em umacircunferência, dois dos lados desses triângulos citadosserão do mesmo tamanho do raio da circunferência.Temos então triângulos isósceles.Área de uma circunferência: A = π . r² Fica valido nesse caso, dizer que:onde r é o raio da circunferência. a² = (b+c).cÁrea do setor circular: Para calcular a área de um setorcircular basta fazer uma regra de três. Ângulo inscrito e central: área da circunferência ---------- 360° área do setor ----------------- graus 11
  • 12. Matemática Mário Exercícios: 1 – Mostre a fórmula da diagonal de um quadrado de lado “a”. 2 – Mostre a fórmula de área de um triangulo eqüilátero de lado “a”. 3 – Um triângulo eqüilátero possui 6 cm de lado. Qual é o perímetro e a área deste triângulo?Fica valido nesse caso, dizer que: 4 – (UFU – 2007) Na figura abaixo, a área do triângulo ADE corresponde a 20% da área do quadrado ABCD. 2b = aMais definiçõesNos triângulos também podemos encontrar:Mediana: Mediana é o segmento que une o ponto médiode um lado ao seu ângulo oposto. O ponto de encontrodas medianas é chamado baricentro. O tamanho dosegmento do baricentro ao vértice é de 2/3 do tamanhototal da mediana.Mediatriz: reta que sai de forma perpendicular do pontomédio do segmento, ou no caso, do lado do triângulo. Para que a área do triângulo EBC seja igual a 30cm², o lado do quadrado ABCD deve ser igual aBissetriz: reta que divide o ângulo em dois iguais. A) 10cm. B) 10√2 cm. C) 5√3 cm. D) 5cm. 5 – (UFU – 2006) Na figura abaixo, O é o centro da circunferência de raio 1 cm. Sabendo-se que ABCD é um quadrado e que “alpha” é igual a 60º, a área da região sombreada é igual a 12
  • 13. Matemática Mário A) ( π + 2 – 2√3) cm² B) ( π - 1 - √3) cm² C) ( π + 1 - √3) cm² D) ( π - 2 – 2√3) cm²6 – (UFU – 2004) Na figura abaixo o ângulo x, em graus, A) 20°pertence ao intervalo B) 30° C) 50° D) 60° E) 90° 10 – No triângulo ADE da figura, em que B e C são pontos dos lados AD e AE, respectivamente, AB=AC, BC=BD e CD=CE. A) (0º, 15º) B) (15º, 20º) C) (20º,25º) D) (25º, 30º)7 – Da figura abaixo deduza (considerando as basesparalelas) a formula da área de um trapézio, usando asformulas para as áreas de retângulos e triângulos. A) x = 48° B) x = 50° C) x = 52° D) x = 54° E) x = 56° Gabarito:8 – (UFU – 2004) Sabendo-se que, na figura abaixo, CD= 1 cm e BD = √3 cm, determine: 04. A 05. A 06. B 09. A 10. CA) os ângulos “alpha” e “beta”.B) a área do triângulo ABC.9 – (Fuvest – 2001) Na figura abaixo, tem-se queAD=AE, CD=CF e BA=BC. Se o ângulo EDF mede 80°,então o ângulo ABC mede: 13
  • 14. Matemática MárioGeometria espacial Se o sólido possui ponta, por exemplo, o cone, ou uma pirâmide, basta fazer: Por dois pontos no espaço passa uma única 1/3 (área da base x altura)reta e por três pontos não colineares um único plano. O que é um plano? Um conjunto de retas que Se o sólido não possuir ponta, como o cubo, opodem ser concorrentes ou paralelas entre si. Indo mais paralelepípedo ou o cilindro, basta retirar daalem, as retas são conjuntos de pontos, se um plano é formula anterior o “1/3”, ou seja, o volume é dado por:um conjunto de retas, um plano também é um conjuntode pontos. (área da base x altura) Se dois planos diferentes se interceptam, ainterseção é uma reta. Note que alguns sólidos são formados por alguns mais simples, como por exemplo, oPosições relativas entre retas “classiquissimo” balão de São João, daqueles pequenos feito em escolas, aqueles de papel. Têm a forma deRetas concorrentes: interceptam-se em um único ponto. duas pirâmides, uma de cabeça para baixo e outra de cabeça para cima, dividindo a mesma base.Retas paralelas: já foram citadas anteriormente. Para calcular o volume de um sólido desse tipo, basta calcular o volume de uma das pirâmides de dobrarRetas reversas: não são coplanares (não pertencem a (considerando que as duas são iguais).um único plano). Mas e o volume e área da esfera? E a área doRetas ortogonais: não reversas e apresentam um ângulo cone? Vamos falar deles agora.reto entre si. Área de um conePosições relativas entre retas e planos Agora a pouco vimos que a área de um sólidoConcorrentes: uma reta e um plano são concorrentes geométrico é a soma das áreas de suas faces.quando possuem apenas um ponto em comum, pode-se A base de um cone é uma circunferência, cujadizer também que a reta é secante ao plano. formula para a área já foi mencionada quando tratamos da geometria plana.Paralelos: uma reta é paralela a um plano quando Falta agora ver a área daquela parte que ficaambos não possuem nenhum ponto em comum. “em volta”.Perpendiculares: se uma reta é perpendicular a duasretas concorrentes de um plano, então ela é concorrenteao plano.Posições relativas entre planosPlanos concorrentes: dois planos são concorrentequando possuem apenas uma reta em comum.Planos paralelos: dois planos são paralelos se nãopossuem nenhuma reta em comum.Planos perpendiculares: dois planos são perpendicularesse algum deles contem uma reta perpendicular ao outro. Na figura acima “g” é a geratriz do cone, é comoÁreas e volumes se fizéssemos a projeção desta vista lateral em um plano, ficaria um triângulo, g é um dos lados desse Como calcular a área e volume de sólidos triângulo.geométricos? Para isso precisamos usar os conceitos eformulas de áreas da geometria plana, que vimos Observe que o cone estando “aberto” vira umanteriormente. setor circular, novamente, para calcular sua área basta Repare que não é tão difícil quanto parece. fazer uma regra de três. A área se resume em somar as áreas das facesdo sólido. As faces são geralmente retângulos ou Área e volume da esferatriângulos, salvo o cone, que veremos com mais calma. E o volume? Para todos os sólidos que iremos A = 4.π.r²estudar, exceto a esfera, as formulas são fáceis. V = 4.π.r² 3 14
  • 15. Matemática MárioExercícios: 4 – (UFU – 2004) Bóias de sinalização marítima são construídas de acordo com a figura abaixo, em que um1 – (UFU – 2006) Uma esfera maciça de ferro de raio 10 cone de raio da base e altura r é sobreposto a umcm será fundida e todo o material derretido será usado hemisfério de raio r.na confecção de um cilindro circular e de um conecircular ambos, maciços com raio da base r cm e alturatambém r cm. Não havendo perda de material durante oprocesso, r será igual aA) 4 cm.B) 8 cm.C) 5 cm.D) 10 cm.2 – (UFU – 2005) Uma certa empresa dispõe de doisreservatórios, um com formato cônico e outro cilíndrico,ambos com o mesmo raio da base circular. Oreservatório cônico está totalmente cheio de álcool etodo seu conteúdo será transferido para o reservatóriocilíndrico, inicialmente vazio. O restante do reservatóriocilíndrico será preenchido com gasolina. Sabendo-seque a altura do reservatório cilíndrico é igual a 10 m, eque a mistura resultante deve conter 30% de álcool e70% de gasolina, a altura do reservatório cônico deveser igual aA) 9 metros. Aumentando-se r em 50%, o volume da bóia éB) 3 metros. multiplicado porC) 7 metros.D) 1 metro. A) 8. B) 27/8.3 – (UFU – 2004) Cubos são colocados uns sobre os C) 9/4.outros, do maior para o menor, para formar uma coluna, D) 4.como mostra a figura abaixo. 5 – Deduza a fórmula da diagonal do cubo usando o Teorema de Pitágoras. 6 – (UFU – 2008) Dispõe-se de um cilindro maciço circular reto, feito de alumínio, cujo raio da base mede 4 cm e a altura 10 cm. Esse cilindro será derretido e com o material fundido serão fabricadas esferas de aço de raio 2 cm. Supondo que nesse processo não ocorra perda de material, então o número de esferas a ser fabricadas, a partir do cilindro dado, é igual a: A) 13 B) 15 C) 14 D) 16 Gabarito:O volume do cubo maior é 1 m³ e o volume de cada umdos cubos seguintes é igual a 1/27 do volume do cubo 01. Dsobre o qual ele está apoiado. Se fosse possível colocar 02. Auma infinidade de cubos, a altura da coluna seria igual a 03. C 04. BA) (27/26) m. 06. BB) 2 m.C) 1,5 m.D) 4,5 m. 15
  • 16. Matemática Mário Análise combinatória Existem muitas coisas clássicas nessa vida, por exemplo: uma manhã de domingo, frango no almoço, Este conteúdo é tido por muitos como complicado e alguns desenhos, algumas séries... e... aquelana verdade realmente não é tão fácil, muitas das vezes brincadeira de dançar em volta da cadeira! É sobre elapela sua simplicidade. Por isso vamos tentar abordá-la que vamos falar... imagine, o quão perigoso pode serda maneira mais didática possível. aquele jogo em que se ouve uma música e quando a Iremos nos deparar com 3 tipos de situações: mesma para, todos correm para sentar nas cadeiras, aquilo lá sim, é danado! Então vamos imaginar uma1ª situação: aventura dessas, mas para tornar tudo mais emocionante teremos 3 cadeiras a menos que o número Imagine que você vá ao cinema com seu (sua) de pessoas. Vamos de novo imaginar 10 pessoas nanamorado(a), as coisas estão muito paradas e o filme brincadeira, portanto 7 cadeiras, quando a musica para,está muito chato, daí você olha para o lado e vê mais um quantas são as possibilidades de grupos se sentarem?tanto de gente e imagina... “de quantas maneiras seria O importante é se sentar, não importa em quepossível todos nós sentarmos nesta fileira?” Ahh, agora cadeira seja, portanto, não importa a ordem dossim as coisas ficam divertidas. Então vamos pensar, elementos nesse caso.imaginando que naquela fileira estejam 10 poltronas, Isso se classifica como uma permutação. Temostodas elas com pessoas. menos cadeiras do que pessoas e não importa a ordem Vamos imaginar quando todos estavam entrando e que se sentem. É extremamente aconselhável o uso daas poltronas ainda estavam vazias. A primeira pessoa a fórmula:chegar, teria quantas opções de lugar? 10 correto, poisnão havia ninguém sentado até então. 10! C7 = 10 Pronto, a primeira pessoa já se sentou, aí lá vem a 7!(10 − 7)!segunda, que da aquela clássica tropeçada na escadadevido a pouca luz, quando ela chega a fileira, quantasopções restam? Por certo que são 9 opções. Resumindo: Bom, esse raciocínio continua, até que toda a fileiraseja preenchida com a chegada da ultima pessoa e sua Nome Ordem Fórmulaúnica opção, que por certo não será no meio. Permutação Importa Pn = n! E daí!? E daí que tivemos uma seqüênciadecrescente de números: 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. E a Arranjo Importa n!resposta para a pergunta que você havia feito é Ap = njustamente a multiplicação destes números, ou seja, (n − p)!10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 10! (dez fatorial) Combinação Não importa n! Isso é o que chamam de permutação! Cp = n p!(n − p)!2ª situação: Pronto, imagine agora a mesma situação anterior, Exercícios:mas desta vez teremos 15 pessoas para 10 poltronas. Aílascou, alguns vão rodar! Agora é como se ao invés daspessoas escolherem as poltronas, na verdade as 01 – (ITA) Determine quantos números de 3 algarismospoltronas escolheriam as pessoas, pois estas estão em poder ser formados com 1,2,3,4,5,6 e 7, satisfazendo amenor quantidade, é como se fosse um sorteio. seguinte regra: O número não pode ter algarismos O sorteio funcionaria assim, para a primeira poltrona, repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso emquantas pessoas poderiam ganhar o direito de sentar que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez.nela? Se pensarmos um pouco, a resposta é 15. O Assinale o resultado obtido.mesmo acontece para a segunda poltrona, no caso,como uma pessoa já se sentou na primeira, então resta A) 204apenas 14 possibilidades. Isso se repete, assim como na B) 206situação anterior, mas quando chegar na ultima poltrona, C) 208teremos 6 possibilidades e não apenas uma, como D) 210ocorreu na primeira situação. Logo, sempre cinco E) 212pessoas ficarão de fora. Essa é a diferença entre permutação (caso anterior) 02 – (UFU - 2003) Um sério problema enfrentado pelase arranjo (este caso), ou seja, na permutação todos os autoridades de saúde é diagnosticar a chamadaelementos são usados enquanto no arranjo isso não pneumonia asiática. Atualmente são conhecidos 7acontece. Mas a forma de resolver é a mesma, sintomas dessa doença. Se em um paciente foremmultiplicando as possibilidades. detectados 5 ou mais desses possíveis sintomas, a doença é diagnosticada. Diante disso, pode-se afirmar3ª situação: que o número total de combinações distintas dos 16
  • 17. Matemática Máriosintomas possíveis para que o diagnóstico da Progressão Aritméticapneumonia asiática seja efetivado é igual a: A) 21 Observe a seqüência abaixo: B) 29 ( 2, 5, 8, 11, ...) C) 147 D) 210 Notemos que a diferença entre um termo qualquer dessa seqüência e seu antecedente é sempre igual a 3:03 – (FUVEST) Uma lotação possui três bancos parapassageiros, cada um com três lugares e deve 5–2=3transportar os três membros da família Sousa, o casal 8–5=3Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Alem disso, 11 – 8 = 3 1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco; 2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. Assim:Nessas condições, o número de maneiras distintas de Progressão Aritmética (P.A) é uma seqüência dedispor os nove passageiros na lotação é igual a números reais em que a diferença entre um termo qualquer ( a partir do segundo) e o tremo antecedente é A) 918 sempre a mesma (constante). B) 1152 Essa constante é chamada de razão da P.A C) 1828 representada por r. D) 2412 E) 3456 Exemplos:04 – (UFU – 2007) A prova de um concurso é composta • (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ...) é P.A de razão r = 2.somente de 10 questões de múltipla escolha, com asalternativas A, B,C e D por questão. Sabendo-se que, no • (23, 20, 17, 14,...) é P.A de razão r = -3.gabarito da prova, não aparece a letra A e que a letra Daparece apenas uma vez, quantos são os gabaritos • (5, 5, 5, 5,...) é P.A de razão r = 0.possíveis de ocorrer? A razão tem algumas particularidades como: A) 410 • r > 0, dizemos que a P.A é crescente B) 2 10 • r < 0, dizemos que a P.A é decrescente 9 • r = 0, todos os termos da P.A são iguais, ou seja, a P.A C) 2 é constante. 9 D) 10.2 TERMO GERAL DA P.A.5 – (UFU – 2004) De quantas maneiras distintas umfazendeiro pode escolher, entre 12 vacas selecionadas Considerando a P.A (a1, a2, a3, a4, ...., an) de razão r.de seu rebanho, 4 vacas e distribuí-las entre as 4 Temos:instituições de caridade de sua cidade, sendo uma vaga • a2 - a1 = r → a2 = a1 + rpara cada instituição? • a3 - a2 = r → a3 = a2 + r → a3 = a1 + 2r A) 495 B) 11880 • a4 – a3 = r → a4 = a3 + r → a4 = a1 + 3r C) 1980 . . . D) 5940 . . . . . . Assim: an = a1 + ( n – 1) . rGabarito: Essa fórmula acima é conhecida como a fórmula do 01. E termos geral de uma P.A. 02. B 03. E Exemplo: 04. D 05. B Vamos calcular o 20º termo da P.A (26, 31, 36, 41, ...): Para efetuarmos os cálculos é necessário que retiremos os dados necessários. Como: a1 = 26 e r = 31 – 26 = 5 Utilizando a fórmula do termo geral caculemos o 20º termo da P.A. 17
  • 18. Matemática Márioa20 = 26 + ( 20 – 1) . 5 •a20 = 26 + 19 . 5a20 = 26 + 95 É fácil demonstrar por indução matemática que:a20 = 121Concluímos que o 20º termo dessa P.A é 121.NOTAÇÕES ESPECIAIS Soma dos termos de uma P.G.Para determinar uma P.A apartir de seus elementosutilizamos de algumas notações que facilitam a A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, éresolução de alguns exercícios. definida por: • Para três termos em P.A, podemos escrever: (x–r,x,x+r)Exemplo: DemonstraçãoDetermine três números em P.A, sabendo que oelemento central é 4 e o produto entre eles é 28. Essa fórmula pode ser deduzida do seguinte modo.Para efetuarmos os calculos é necessário que retiremos Escreva:os dados:Como a P.A tem 3 termos ( x – r , x , x + r ) e x = 4(x – r) . x . (x + r) = 28.Então: Multiplique por q:(4 – r) . 4 . (4 + r) = 28r = +3 e r = -3Assim iremos obter duas P.APara r = +3 a P.A será ( 1, 4, 7) Subtraia a primeira soma da segunda, cancelando osPara r = -3 a P.A será ( 7, 4, 1) termos repetidos:SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.AA fórmula que nos permite calcular a soma dos nprimeiros termos de uma P.A qualquer é preciso: o que é equivalente a:Considere a P.A (a1, a2, a3, ..., an - 2, an – 1 , ... , an, … )Indiquemos a soma dos n primeiros termos por Sn.Temos então:Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an – 2 + an - 1 + an ouSn = an + an - 1 + an - 2 + ... +a3 + a2 + a1 Divida ambas os termos por: : eo resultado segue.Somando essas igualdades membro a membro,obtemos: Soma dos infinitos termos de uma P.G. A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando | q | < 1. Sua soma é:Progressão GeométricaCostuma-se denotar por an n-ésimo termo de umaprogressão geométrica. Assim, a progressão ficatotalmente definida pelo valor de seu termo inicial a1 esua razão q.A sucessão dos termos é obtida por recursão: • 18