Mat conicas exercicios resolvidos

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Mat conicas exercicios resolvidos

  1. 1. 1Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – CURVAS CÔNICAS 1. ENCONTRAR OS FOCOS DE UMA ELIPSE SENDO DADOS O EIXO MAIOR E O MENOR. Sejam os eixos AA e BB dados que se intersectam no ponto O (centro da elipse). Coloque a ponta seca do compasso no ponto B e com abertura igual à OA trace um arco que corte o eixo AA, encontrando assim os pontos F e F (focos da elipse). 2. ENCONTRAR O EIXO MENOR DE UMA ELIPSE SENDO DADOS O EIXO MAIOR E A DISTÂNCIA ENTRE OS FOCOS. Sejam dados o eixo AA e a distância focal FF. Trace a mediatriz de AA encontrando assim o centro O da elipse. Centre a ponta seca do compasso no ponto F e com abertura igual à OA trace um arco que corte a reta mediatriz nos pontos B e B. O eixo menor procurado é o segmento BB.
  2. 2. 2Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 3. TRAÇAR UMA ELIPSE PELO MÉTODO DO JARDINEIRO (BARBANTE) SENDO DADOS O EIXO MAIOR E OS FOCOS. Sejam o eixo menor BB e a distância focal FF dados que se intersectam no ponto O (centro da elipse). Prolongue o segmento FF para a esquerda e para a direita. Coloque aponta seca do compasso em O e com abertura igual à distância FB trace um arco que corte a reta que passa por FF em A e A, encontrando assim o eixo maior da elipse. 4. TRAÇAR UMA ELIPSE PELO MÉTODO DO JARDINEIRO (BARBANTE) SENDO DADOS O EIXO MAIOR E OS FOCOS. Sejam dados o eixo maior AA e a distância focal FF. Corte um barbante que tem por comprimento a distância do eixo maior AA e fixe-o em F e F. Coloque a ponta do lápis no ponto B tomando o cuidado de esticar o barbante.
  3. 3. 3Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 Movimente o lápis sempre com o barbante esticado de forma a marcar vários pontos no papel. Em seguida, trace a elipse movimentando o lápis que se encontra preso no ponto B do barbante. 5. TRAÇAR UMA ELIPSE PELO MÉTODO DE "SCHOOTEN" (TIRA DE PAPEL) SENDO DADOS OS DOIS EIXOS. Sejam dados os eixos AA e BB. Corte uma tira de papel como indicado abaixo, e marque nela os pontos P, A e B. O segmento PB deve ser igual ao eixo maior e o segmento PA deve ser igual ao eixo menor. Coloque a tira de papel posicionada de tal forma que o ponto A fique sobre o eixo AA e o ponto B fique sobre o eixo BB e marque um ponto onde estiver o ponto P. Mude a posição da tira de papel, mas tomando o cuidado de deixar o ponto A sempre sobre o eixo AA e o ponto B sempre sobre o eixo BB.
  4. 4. 4Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 Assim vá mudando sucessivamente a posição da tira e marcando os pontos da elipse. Ao marcar todos os pontos, trace a elipse. 6. TRAÇAR A ELIPSE PELO MÉTODO DOS PONTOS SENDO DADOS OS DOIS EIXOS. Sejam os eixos AA e BB dados. Encontre os focos F e F. Marque a partir do ponto F os pontos 1, 2, 3, 4, 5 e a partir do ponto F os pontos 1, 2, 3, 4 e 5. Coloque a ponta seca do compasso no ponto F e com abertura igual a 1A , 2A, 3A, 4A e 5A trace cinco arcos.
  5. 5. 5Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 Coloque a ponta seca do compasso no ponto F e com abertura igual a 1A , 2A, 3A, 4A e 5A trace mais cinco arcos. Depois, coloque a ponta seca no ponto F e com abertura igual a 1A, 2A, 3A, 4A e 5A, trace mais cinco arcos que cortam os anteriores, encontrando assim dez pontos da elipse. Com centro em F e abertura 1A , 2A, 3, 4A e 5A trace arcos que cortam os anteriores encontrando assim os pontos da elipse.
  6. 6. 6Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 20057. TRAÇAR A ELIPSE PELO MÉTODO DOS CÍRCULOS PRINCIPAIS SENDO DADOS OS DOIS EIXOS. Sejam os dois eixos AA e BB. Encontre os Focos F e F. Trace um dos círculos principais: centre o compasso no ponto O e trace uma circunferência de raio OA. Trace o outro círculo principal com centro em O e raio OB. Divida o círculo maior em n partes iguais (n = 16, por exemplo). Divida o círculo menor no mesmo número de partes. Em seguida, trace retas perpendiculares ao eixo AA pelos pontos que dividem a circunferência maior. Em seguida trace retas perpendiculares ao eixo BB pelos pontos que dividem a circunferência menor.
  7. 7. 7Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 Na interseção das retas temos os pontos da elipse. Ligue os pontos para obter a elipse.8. TRAÇAR A ELIPSE PELO MÉTODO DO PARALELOGRAMO. Sejam os dois eixos AA e BB da elipse inscrita no paralelogramo que tem os lados iguais aos eixos maior e menor da elipse: AA e BB. Trace o paralelogramo PQRS. Divida o lado RS em seis partes iguais. Divida o lado PQ em seis partes iguais transportando os pontos 2, 1 e 1, 2 (com o uso dos esquadros) fazendo paralelas aos lados PS e QR.
  8. 8. 8Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 Divida os segmentos OB e OB em três partes iguais cada um e em seguida, divida os segmentos PQ e SR em seis partes iguais cada. Para obter os pontos da elipse ligue o ponto A ao ponto 2 e o ponto B ao ponto 3 e prolongue até encontrar o segmento A2. No cruzamento dessas duas retas tem-se um ponto da elipse. Em seguida, ligue o ponto A ao ponto 1 e o ponto B ao ponto 4 e prolongue até encontrar o segmento A1. No cruzamento dessas duas retas tem-se mais um ponto da elipse. Repita o mesmo procedimento para as outras três partes do paralelogramo obtendo assim, todos os pontos da elipse.
  9. 9. 9Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 20059. TRAÇAR A ELIPSE PELO MÉTODO DO RETÂNGULO. Primeiro trace os eixos maior e menor (AA e BB) da elipse inscrita no retângulo. Depois trace o retângulo PQRS cujos lados são retas paralelas aos dois eixos da elipse. Divida os lados do retângulo em n partes iguais (no caso n = 6). Transporte essas 6 divisões para o eixo BB e em seguida trace retas partindo de A que chegam nos pontos do lado SR e depois trace retas que partem de A e passam pelas divisões do eixo BB. No cruzamento das retas teremos os pontos da elipse. Ligue os pontos encontrados obtendo assim a elipse.
  10. 10. 10Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 200510. ENCONTRAR O FOCO DE UMA PARÁBOLA, SENDO DADOS O EIXO, A DIRETRIZ E O VÉRTICE. Sejam a diretriz d e o vértice V contido no eixo da parábola. Centre o compasso no ponto V e com abertura VO trace um arco que corta o eixo no ponto F. As distâncias OV e VF são semiparâmetro e a distância OF é o parâmetro.11. TRAÇAR A PARÁBOLA PELO MÉTODO DOS PONTOS, SENDO DADOS O FOCO E A DIRETRIZ. Sejam dados a diretriz d e o foco F da parábola. Para construir a parábola, primeiro encontre o vértice, que está no ponto médio do segmento FO que é a distância entre o foco e a diretriz. Marque pontos no eixo a partir de F (no caso 5 pontos a uma distância arbitrária). Trace retas perpendiculares ao eixo pelos pontos F, 1, 2, 3, 4 e 5. Centre a ponta seca do compasso no ponto F e com abertura igual a medida de F até a diretriz, trace um arco que corte a reta que passa pelo ponto F em dois pontos da parábola. Depois, sempre com centro do compasso no ponto F e com abertura igual à distância que vai do ponto até a diretriz d, trace arcos que cortem as retas que passam pelos mesmos pontos, encontrando assim os pontos da parábola.
  11. 11. 11Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 Ligue os pontos e obtenha a parábola (em cor azul).12. TRAÇAR A PARÁBOLA PELO MÉTODO DO RETÂNGULO, SENDO DADOS O VÉRTICE, O EIXO E UM PONTO DA CURVA (ARCO PARABÓLICO). Seja o vértice A e o ponto P da parábola. Trace duas retas perpendiculares entre si e que passam pelo ponto A. Em seguida, trace uma reta pelo ponto P que seja perpendicular à reta horizontal que passa pelo ponto A.
  12. 12. 12Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 Trace uma reta paralela àquela que passa pelo ponto P, a uma mesma distância. Depois, trace pelo ponto P uma reta paralela à reta horizontal que passa pelo ponto A, formando assim o retângulo PP RR. Divida os lados PR e PR em N partes iguais (no caso N = 4). Divida os segmentos PQ e QP em quatro partes iguais.
  13. 13. 13Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 Trace retas perpendiculares ao lado RR pelos pontos 4, 5, 6, 6, 5 e 4. Ligue o ponto A aos pontos 1, 2, 3 e 1, 2 e 3. Na intersecção das retas têm-se os pontos da parábola. Ligue os pontos obtendo assim a parábola inscrita no retângulo13. TRAÇAR AS "ASSINTOTAS" DE UMA HIPÉRBOLE SENDO DADOS OS EIXO REAL E IMAGINÁRIO. Sejam os eixos AA e BB. Trace por B e B retas paralelas ao eixo real AA.
  14. 14. 14Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 Trace por A e A retas paralelas ao eixo imaginário BB. Construído o retângulo, trace as duas diagonais. Agora, prolongue as diagonais do retângulo. As assíntotas da hipérbole passam pelas diagonais do retângulo.14. ENCONTRAR OS FOCOS DE UMA HIPÉRBOLE SENDO DADOS O EIXO REAL E O EIXO IMAGINÁRIO Sejam dados os vértices AA que se encontram no eixo real xx e o eixo imaginário BB.
  15. 15. 15Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 Centre o compasso no ponto O (que está na interseção dos dois eixos) e com abertura igual à distância AB trace um arco que corte o eixo real nos pontos F e F encontrando assim os focos da hipérbole (F e F’).15. ENCONTRAR O EIXO REAL DE UMA HIPÉRBOLE SENDO DADOS OS FOCOS E O EIXO IMAGINÁRIO. Sejam dados o eixo imaginário BB, a distância focal FF e o eixo real que passa pelos pontos F e F. Pede-se encontrar o segmento AA (vértices da hipérbole) conhecido por eixo real.
  16. 16. 16Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 Centre a ponta seca do compasso no ponto O e com a distância FB trace um arco que corte o eixo real nos pontos A e A que são os vértices da hipérbole.16. ENCONTRAR O EIXO IMAGINÁRIO DE UMA HIPÉRBOLE SENDO DADOS O EIXO REAL E A DISTÂNCIA ENTRE OS FOCOS. Sejam dados a distância focal e o eixo imaginário BB. Para encontrar os vértices AA da hipérbole, centre a ponta seca do compasso no ponto B e com raio igual à distância OF trace um arco que corte o eixo real nos pontos A e A.17. TRAÇAR A HIPÉRBOLE PELO MÉTODO DOS PONTOS SENDO DADOS OS DOIS EIXOS. Sejam dados o eixo imaginário BB, os vértices AA e os focos FF da hipérbole.
  17. 17. 17Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 Marque a partir do ponto F para a esquerda os pontos 1, 2 e 3. Marque a partir de F para a direita os pontos 1, 2 e 3. Centre o compasso no ponto F e com abertura igual à F1, F2 e F3 trace três arcos. Proceda da mesma forma do outro lado centrando o compasso em F.
  18. 18. 18Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 Agora com a ponta seca do compasso no ponto F e com abertura igual a 1A, 2A e 3A trace arcos que cortam os anteriores encontrando assim os pontos de um ramo da hipérbole. Proceda da mesma forma do outro lado centrando o compasso em F. Ligue os pontos obtendo assim os dois ramos da hipérbole.
  19. 19. 19Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 200518. TRAÇAR A HIPÉRBOLE PELO MÉTODO DOS PONTOS SENDO DADOS OS DOIS EIXOS. Sejam os vértices A e A e um ponto P da hipérbole e seus dois eixos: real e imaginário. Trace pelo ponto P uma paralela ao eixo real e uma paralela ao eixo imaginário e com os valores PP1 e PP3 construa o retângulo P, P1, P2, P3 encontrando os pontos A e Q no eixo imaginário. Trace pelos pontos A e A retas paralelas ao eixo imaginário encontrando R, R, R e R.
  20. 20. 20Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 Divida o segmento P1R em N partes iguais (no caso N = 4). Em seguida divida os segmentos QP1 e QP2 também em quatro partes iguais. Transporte com os esquadros estas divisões para os outros lados paralelos dos retângulos. Ligue o vértice A aos pontos do segmento PP3.
  21. 21. 21Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 Ligue o vértice A aos pontos dos segmentos PR e P3R encontrando na interseção das linhas os pontos de um dos ramos da hipérbole. Repita o mesmo procedimento do outro lado para encontrar o outro ramo da hipérbole. Ligue A aos pontos de P1P2. Ligue A aos pontos de P1R e P2R e na interseção das linhas marque os pontos.
  22. 22. 22Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 Os dois ramos da hipérbole aparecem em cor azul.19. TRAÇAR A HIPÉRBOLE PELO MÉTODO DOS PONTOS SENDO DADOS OS DOIS EIXOS. Seja a elipse dada abaixo. Trace uma reta secante que corta a elipse em dois pontos A e B. Trace outra reta secante que seja paralela à primeira e corte a elipse nos pontos C e D. Encontre os pontos médios M e M das cordas AB e CD respectivamente.
  23. 23. 23Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 Ligue os pontos M e M encontrando o diâmetro DD. Encontre o ponto médio O do diâmetro DD. Centre o compasso no ponto O e com um raio arbitrário trace um arco que corte a elipse em três pontos: H, I e J estabelecendo as cordas HI e IJ da elipse. O eixo maior AA da elipse será a mediatriz da corda IJ o eixo menor BB da elipse será a mediatriz de HI.
  24. 24. 24Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS www.mat.uel.br/geometrica CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005BIBLIOGRAFIABRAGA, Theodoro. Desenho Linear Geométrico. São Paulo : Ícone. 13° ed. 230 p.MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geométrico e Elementar. São Paulo:Livraria Francisco Alves, 460p, 1951.RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados em DesenhoGeométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.

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