Mat 140 questoes resolvidas vol iii

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Mat 140 questoes resolvidas vol iii

  1. 1. QUESTÕES DE MATEMÁTICA Este CD contém 302 questões de vestibulares sobre os seguintes conteúdos: Álgebra Geometria Porcentagem Geometria Analítica Trigonometria Noções de estatística Esse banco de questões é subsídio aos professores para elaborar revisão eavaliação de conteúdos. José Roberto Bonjorno SumárioUnidade A: Álgebra ............................................................ 1 Cap. 4: Relações e identidades trigonométricas .............. 25Cap. 1: Revisão ................................................................... 1 Cap. 5: Transformações trigonométricas ........................ 25Cap. 2: Conjuntos numéricos ............................................ 3 Cap. 6: Equações trigonométricas ................................... 25Cap. 3: Funções .................................................................. 3 Cap. 7: Inequações trigonométricas ................................ 26Cap. 4: Função polinomial do 1º grau ............................... 5 Cap. 8: Resolução de triângulos quaisquer ..................... 26Cap. 5: Função polinomial do 2º grau ............................... 6Cap. 6: Função modular ..................................................... 7 Unidade D: Geometria ..................................................... 28Cap. 7: Função exponencial ............................................... 8 Cap. 1: Semelhança de figuras geométricas planas ........ 28Cap. 8: Função logarítmica ................................................ 9 Cap. 2: Relações métricas no triângulo retângulo .......... 28Cap. 9: Sucessão ou seqüência ........................................ 11 Cap. 3: Polígonos regulares inscritos na circunferência .... 29Cap. 10: Progressões aritméticas ..................................... 12 Cap. 4: Área das figuras geométricas planas ................... 29Cap. 11: Progressões geométricas ................................... 13 Cap. 5: Noções sobre poliedros ........................................ 32Cap. 12: Estudo das matrizes ........................................... 13 Cap. 6: Estudo do prisma ................................................. 32Cap. 13: Determinantes ................................................... 14 Cap. 7: Estudo da pirâmide .............................................. 34Cap. 14: Sistemas lineares ............................................... 14 Cap. 8: Estudo do cilindro ............................................... 35Cap. 15: Análise combinatória ......................................... 16 Cap. 9: Estudo do cone .................................................... 35Cap. 16: Binômio de Newton ........................................... 17 Cap. 10: Estudo da esfera ................................................. 36Cap. 17: Teoria das probabilidades ................................... 17Cap. 18: O conjunto dos números complexos ................. 18 Unidade E: Geometria analítica ...................................... 37Cap. 19: Polinômios ......................................................... 20 Cap. 1: Introdução à Geometria analítica plana .............. 37Cap. 20: Equações polinomiais ou algébricas ................. 21 Cap. 2: Estudando a reta no plano cartesiano ................. 37 Cap. 3: Estudando a circunferência no plano cartesiano .... 40Unidade B: Porcentagem ................................................. 21 Unidade F: Noções de estatística ..................................... 42Unidade C: Trigonometria ............................................... 23 Cap. 1: Organizando dados em tabelas ............................ 42Cap. 1: A trigonometria no triângulo retângulo ............. 23 Cap. 2: Média e mediana .................................................. 43Cap. 2: Conceitos básicos ................................................. 24Cap. 3: As funções circulares ........................................... 24 Respostas das questões .................................................... 46
  2. 2. QUESTÕES DE MATEMÁTICA Plano B Ideal para quem faz chamadas locais. Mensalidade ................................. R$ 27,50 Custo das ligações p/min Local Fixo .................................... R$ 0,33Unidade A: Álgebra Local Móvel .................................. R$ 0,44 Estadual ....................................... R$ 0,86 Nacional ....................................... R$ 1,00Capítulo 1: Revisão 3. (UEL-PR) O percurso de Londrina a Flores- 1. (PUC-SP) No esquema abaixo, o número ta, passando por Arapongas e Mandaguari, se- 14 é o resultado que se pretende obter rá feito em um automóvel cujo consumo mé- para a expressão final encontrada ao efe- dio é de 1 litro de gasolina para cada 10 km. tuar-se, passo a passo, a seqüência de ope- Considere o preço de R$ 1,30 por litro de rações indicadas, a partir de um dado nú- gasolina e as informações contidas na tabe- mero x. la abaixo. Distância entre Tarifa do pedágio multiplicar subtrair multiplicar dividir as cidades (km) no trecho (R$) por 6 por 5 por 2 por 7 Londrina – Arapongas: 40 2,30 X 14 Arapongas – Mandaguari: 38 2,30 Mandaguari – Floresta: 60 3,60 O número x que satisfaz as condições do pro- blema é: Então, uma expressão para o cálculo do to- a) divisível por 6 tal de despesas, em reais, com combustível b) múltiplo de 4 e pedágios, para fazer essa viagem, é: x c) um quadrado perfeito a) (40 2,30) 0,13 (38 2,30) 0,13 d) racional não inteiro (60 3,60) 0,13 e) primo x b) 138 0,13 2,30 2,30 3,60 c) 138 10 1,30 8,20 2. (UFP-RS) Dois usuários da mesma opera- d) 40 1,30 2,30 38 1,30 2,30 dora de celular, um do plano A e outro do 60 1,30 3,60 plano B, gastaram, respectivamente, e) 138 1,30 2,30 3,60 R$ 43,50 e R$ 46,10 durante o mês de outu- 4. (UFRN) Uma pessoa que pesa 140 quilos bro. A conta desses usuários, nesse mês, foi submete-se a um regime alimentar, obten- composta apenas pela mensalidade, ligações do o seguinte resultado: nas quatro primei- locais fixas e nacionais. Sabendo que ambos ras semanas, perde 3 quilos por semana; nas utilizaram o mesmo tempo em minutos para quatro seguintes, 2 quilos por semana; daí ligações locais fixas e nacionais, e de posse em diante, apenas 1 quilo por semana. das tarifas dos dois planos (tabela abaixo), 2 calcule o tempo de uso, no mês de outubro, Calcule em quantas semanas a pessoa esta- para esses usuários. 32,4 min rá pesando: a) 122 quilos 7 semanas Plano A b) 72 quilos 104 semanas É o plano para quem mais recebe do que faz Na questão 5 a resposta é dada pela soma das ligações. afirmativas corretas. Mensalidade ................................. R$19,90 5. (UFAL) Analise as afirmativas abaixo, sendo Custo das ligações p/min x e y números reais não-nulos e distintos entre si. 55 Local Fixo ...................................... R$ 0,58 Local Móvel .................................... R$ 0,58 (00) x 2 7 (x 7 ) (x 7 ) Estadual ......................................... R$ 0,90 (01) 2 2 1 1 Nacional ......................................... R$ 1,00 3x 2x x 1
  3. 3. José Roberto Bonjorno (02) 8 : 4 2x 9. (UERJ) Para a realização de um baile, foi x y x 2 xy veiculada a seguinte propaganda: (03) x 2x 3x 19x 3y y 2y 6y (04) x3y2 x2y3 x2y2 x2y2(x y)6. (UFSC) A soma dos dígitos do número in- teiro m, tal que 5 m 24 5 500 e 8 m 700 42 m, é: 16 57. (UFSCar-SP) Para as apresentações de uma Após a realização do baile, constatou-se que peça teatral (no sábado e no domingo, à noi- 480 pessoas pagaram ingressos, totalizando te) foram vendidos 500 ingressos e a arreca- uma arrecadação de R$ 3 380,00. dação total foi de R$ 4 560,00. O preço do Calcule o número de damas e de cavalhei- ingresso no sábado era de R$ 10,00 e no ros que pagaram ingresso nesse baile. d 230; c 250 domingo, era de R$ 8,00. O número de in- gressos vendidos para a apresentação do sá- 10. (UFPE) Em uma festa de aniversário cada bado e para a do domingo, nesta ordem, foi: convidado deveria receber o mesmo núme- a) 300 e 200 d) 270 e 230 ro de chocolates. Três convidados mais b) 290 e 210 e) 260 e 240 apressados se adiantaram e o primeiro co- x c) 280 e 220 meu 2, o segundo 3 e o terceiro 4 chocolates8. (UERJ) Utilize os dados abaixo para respon- além dos que lhes eram devidos, resultando der à questão: no consumo de metade dos chocolates da festa. Os demais chocolates foram divididos Os ricos da receita igualmente entre os demais convidados e cada um recebeu um a menos do que lhe Entre os brasileiros, há 2 745 com rendimento su- perior a meio milhão de reais por ano. Apenas um era devido. Quantos foram os chocolates em cada 60 000 brasileiros está nessa categoria. distribuídos na festa? Veja como eles se dividem. a) 20 c) 28 x e) 36 b) 24 d) 32 Renda anual Total Patrimônio (em reais) de pessoas médio (em reais) 11. (Unama-AM) Um executivo contrata um táxi Mais de 10 milhões 9 200 milhões para levá-lo a uma cidade que fica a 200 km do local onde se encontra. Na metade da via- Entre 5 milhões gem, ao parar em um posto de gasolina, 27 31 milhões e 10 milhões encontra um amigo que lhe pede carona e Entre 1 milhão viaja com ele os últimos 100 km. Na viagem 616 23 milhões e 5 milhões de volta, retorna com o amigo, deixando-o Entre meio milhão 2 093 6 milhões no mesmo local onde o tinha apanhado. e 1 milhão Chegando de volta a sua cidade, entrega ao Fonte: Receita Federal motorista a importância de R$ 240,00. Sa- (Adaptado de Veja, 12/07/2000) bendo-se que o executivo e seu amigo con- tribuíram para a despesa, proporcionalmen- a) Com os dados apresentados no texto introdutório da tabela, calcule a popula- te aos respectivos percursos, calcule o valor ção do Brasil considerada pela Receita que cada um pagou. executivo: 4x R$ 160,00; amigo: 2x R$ 80,00 Federal. 164 700 000 habitantes 12. (Vunesp-SP) Dois produtos químicos P e Q b) Suponha que cada uma das 9 pessoas são usados em um laboratório. Cada 1 g (gra- com renda anual de mais de 10 milhões ma) do produto P custa R$ 0,03 e cada 1 g de reais ganhem, exatamente, 12 milhões do produto Q custa R$ 0,05. Se 100 g de uma de reais em um ano. Com a quantia total recebida por essas mistura dos dois produtos custam R$ 3,60, 9 pessoas nesse ano, determine o nú- a quantidade do produto P contida nessa mero aproximado de trabalhadores que mistura é: poderiam receber um salário mensal de x a) 70 g c) 60 g e) 30 g R$ 151,00, também durante um ano. b) 65 g d) 50 g 59 602 pessoas2
  4. 4. QUESTÕES DE MATEMÁTICACapítulo 2: Conjuntos numéricos (02) moças que trabalham e não estudam é9Nas questões 13 e 14 a resposta é dada pela soma (03) rapazes que trabalham e estudam é 9das afirmativas corretas. (04) moças que estudam e não trabalham13. (UFBA) Numa academia de ginástica que ofe- é4 rece várias opções de atividades físicas, foi 15. (Unifor-CE) Indica-se por n(X) o número de feita uma pesquisa para saber o número de elementos do conjunto X. Se A e B são con- pessoas matriculadas em alongamento, juntos tais que n(A 6 B) 24, n(A B) 13 hidroginástica e musculação, chegando-se e n(B A) 9, então: ao resultado expresso na tabela a seguir. 19 a) n(A 6 B) n(A 5 B) 20 b) n(A) n(B) n(A B) Atividade Número de pessoas matriculadas c) n(A 5 B) 3 x d) n(B) 11 Alongamento 109 e) n(A) 16 Hidroginástica 203 Musculação 162 Capítulo 3: Funções Alongamento e hidroginástica 25 16. (Uepa-PA) O empregado de uma empresa ga- Alongamento e musculação 28 nha mensalmente X reais. Sabe-se que ele Hidroginástica e musculação 41 paga de aluguel R$ 120,00 e gasta 3 de seu 4 As três atividades 5 salário em sua manutenção, poupando o Outras atividades 115 restante. a) Encontre uma expressão matemática que Com base nessas informações, pode-se con- defina a poupança P em função do seu cluir: x salário X. P 4 120 (01) A pesquisa envolveu 500 pessoas. b) Para poupar R$ 240,00, qual deverá ser (02) 61 pessoas estavam matriculadas ape- o seu salário mensal? x R$ 1 440 nas em alongamento. (04) 259 pessoas estavam matriculadas em 17. (Furg-RS) Seja g uma função do tipo alongamento ou musculação. g(x) ax b, com x R. Se g( 2) 4e (08) 89 pessoas estavam matriculadas em 2g(3) 12, os valores de a e b são, respecti- pelo menos duas das atividades indi- vamente: cadas na tabela. 1 e0 a) d) 1 e 0 (16) O número de pessoas matriculadas 2 2 apenas em hidroginástica corresponde b) 0 e 1 x e) 2 e 0 a 28,4% do total de pessoas envolvidas 2 na pesquisa. c) 0 e 214. (UFAL) O resultado de uma pesquisa mos- 18. (UFOP-MG) Seja a função f: R R, dada trou que, em um grupo de 77 jovens, há: 11 por: 1 23 – um total de 32 moças 10x 5, se x 1 44 – 4 moças que trabalham e estudam f(x) x2 1, se 1 x 1 – 13 moças que não estudam nem trabalham 5x, se x 1 – 15 rapazes que trabalham e não estudam – 10 rapazes que estudam e não trabalham Então, o valor de f ( 2) f(2 2) f 2 2 – 25 jovens que não trabalham nem estudam é um número: – 15 jovens que estudam e não trabalham a) inteiro Nesse grupo, o número de: b) par (00) rapazes é 50 x c) racional (01) rapazes que não trabalham nem estu- d) ímpar dam é 12 e) irracional 3
  5. 5. José Roberto Bonjorno19. (UFMG) Observe a figura. (04) a função que ao peso x de uma carta, y 0 x 50, associa o preço de sua pos- tagem, em reais, tem o gráfico abaixo: 6 44 preço 5 4 3,50 3 2,50 2 1 1,70 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x 1,00 0,50 1 2 0 10 20 30 40 50 x 3 22. (UFAC) O gráfico mostrado na figura é de Ela representa o gráfico da função y f(x), uma função f definida no intervalo [ 2, 4]. que está definida no intervalo [ 3, 6]. Observe-o atentamente e considere as afir- A respeito dessa função, é incorreto afirmar mações. que: a) f(3) f(4) 4 b) f(f(2)) 1,5 c) f(x) 5,5 para todo x no intervalo [ 3, 6] x d) o conjunto { 3 x 6 f(x) 1,6} con- tém exatamente dois elementos20. (EEM-SP) Uma função f: R* R satisfaz à seguinte propriedade: f(a b) f(a) f(b). a) Determine f(1). f(1) 0 2 b) Sabendo-se que f(2) 1, determine f(8). f(4) 2; f(8) 3 1 0 1 4Na questão 21 a resposta é dada pela soma dasafirmativas corretas.21. (UFAL) Tem-se abaixo parte da tabela de pre- 2 ços da postagem de cartas em uma Agência dos Correios. I – A função é crescente somente no in- tervalo [ 2, 1]. Peso x da carta Preço da postagem (gramas) (reais) II – A função g(x) f(x) 2, 2 x 4, é tal que g( 2) 0. 0 x 10 0,50 III – No intervalo [ 1, 1] a função é cons- 10 x 20 1,00 tante. 20 x 30 1,70 IV – A função possui exatamente três raízes no intervalo [ 2, 4]. 30 x 40 2,50 Com relação às afirmações I, II, III e IV, é 40 x 50 3,50 correto afirmar que: Nessa agência: a) todas são verdadeiras b) todas são falsas (00) para postar duas cartas, com pesos de c) apenas a IV é falsa 25 g e 12 g, deve-se pagar R$ 2,70 x d) apenas a I é falsa (01) para postar três cartas, com pesos de e) a I e a II são falsas 10 g, 30 g e 45 g, deve-se pagar R$ 5,70 (02) se uma pessoa pagou R$ 3,50 pela 23. (UFSM-RS) Sendo as funções f: R R defi- postagem de duas cartas, uma delas nida por f(x 5) 3x 8 e g: R R defi- pode ter pesado 45 g nida por g(x) 2x 1, assinale verdadeira (03) paga-se R$ 5,40 para postar três cartas (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações de 32 g cada a seguir.4
  6. 6. QUESTÕES DE MATEMÁTICA • f(x 6) 3x 11 28. (UERJ) Utilize o texto abaixo para respon- 1x 1 der à questão. • g x 1 () 2 2 Uma calculadora apresenta, entre suas te- • f(2) g 1(7) 10 clas, uma tecla D, que duplica o número A sequência correta é: digitado, e uma outra T, que adiciona uma a) F – V – F d) V – V – F unidade ao número que está no visor. As- b) F – V – V e) V – F – V sim, ao digitar 123 e apertar D, obtém-se x c) F – F – V 246. Apertando-se, em seguida, a tecla T,24. (UFF-RJ) Dada a função real de variável real obtém-se 247. x 1 , x 1: a) Uma pessoa digita um número N, e, após f, definida por f x () x 1 apertar, em seqüência, D, T, D e T, obtém a) determine (f o f)(x) (f o f)x x como resultado 243. Determine N. N 60 b) escreva uma expressão para f 1(x) b) Determine o resultado obtido pela cal- f 1 (x) x 1 culadora se uma pessoa digitar 125 e25. (UFOP-MG) Sejam as funções: x 1 apertar, em seqüência, D, T, D. D(251) 502 f: V 4 V e g: V 2 V 29. (FGV-SP) A receita mensal de vendas de uma 3 3 2x 3 x empresa (y) relaciona-se com os gastos men- x f(x) g(x) 3 4x sais com propaganda (x) por meio de uma 3x 4 2 3x Então, resolva a equação: x 1 função do 1o grau. Quando a empresa gasta 2 (f o g)(x) 1 x R$ 10 000,00 por mês de propaganda sua receita naquele mês é de R$ 80 000,00; se oCapítulo 4: Função polinomial do gasto mensal com propaganda for o dobro daquele, a receita mensal cresce 50% em1o grau relação àquela. y R$ 160 000,0026. (UFF-RJ) Um motorista de táxi cobra, em a) Qual a receita mensal se o gasto mensal cada corrida, o valor fixo de R$ 3,20 mais com propaganda for de R$ 30 000,00? R$ 0,80 por quilômetro rodado. b) Obtenha a expressão de y em função de x. y 4x 40 000 a) Indicando por x o número de quilôme- 30. (UFMG) A função contínua y f(x) está de- tros rodados e por P o preço a pagar pela finida no intervalo [ 4, 8] por corrida, escreva a expressão que relacio- x 6 se 4 x 0 1 23 na P com x. P 3,20 0,80x 44 f(x) ax b se 0 x 4 b) Determine o número máximo de quilô- 2x 10 se 4 x 8 metros rodados para que, em uma corri- sendo a e b números reais. da, o preço a ser pago não ultrapasse R$ 120,00. x 146 O número máximo é 146 km. Calcule os valores de a e b e esboce o gráfico da função dada no plano cartesiano repre-27. (Unitau-SP) O gráfico mostra o custo de uma sentado na figura abaixo. a 2; b 6 linha de produção de determinada peça em Ver resolução. y função do número de unidades produzidas. Sabendo-se que o preço de venda de cada 8 peça é de R$ 5,00, determine o número mí- 7 nimo de peças que precisam ser comerciali- 6 zadas para que haja lucro. x 750 peças 5 4 R$ 3 2 1 1 512 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 1 506 1 1 500 2 Número de peças 3 0 2 4 produzidas 4 5
  7. 7. José Roberto Bonjorno31. (Unicamp-SP) Três planos de telefonia ce- 34. (UFSM-RS) Na produção de x unidades lular são apresentados na tabela abaixo: mensais de um certo produto, uma fábrica a) Qual é o plano mais vantajoso para al- tem um custo, em reais, descrito pela fun- guém que utilize 25 minutos por mês? ção de 2o grau, representada parcialmente Plano C b) A partir de quantos minutos de uso men- na figura. sal o plano A é mais vantajoso que os C(R$) outros dois? 51 minutos 1 300 Custo fixo Custo adicional Plano mensal por minuto A R$ 35,00 R$ 0,50 900 B R$ 20,00 R$ 0,80 700 C 0 R$ 1,20Capítulo 5: Função polinomial do 0 10 40 x2o grau O custo mínimo é, em reais:32. (UFSCar-SP) Uma bola, ao ser chutada num a) 500 c) 660 e) 690 tiro de meta por um goleiro, numa partida b) 645 x d) 675 de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) 2t2 8t(t 0), onde t é o 35. (UFAL) Sejam a parábola p e a reta r, repre- tempo medido em segundos e h(t) é a altura sentadas na figura abaixo. em metros da bola no instante t. Determi- p y R ne, após o chute: a) o instante em que a bola retornará ao solo. t 4 h(2) 8 b) a altura máxima atingida pela bola.33. (UFPB) Um míssil foi lançado acidental- mente do ponto A, como mostra a figura, 1 tendo como trajetória o gráfico da função 1 1 0 x 3 1 f(x) x2 70x, onde x é dado em km. 2 y Q y f(x) r 4 B Determine os pontos Q e R, intersecções de g(x) p e r. Q( 2, 3) e R(2,5) y Na questão 36 a resposta é dada pela soma das afirmativas corretas. A 40 x 36. (UFG) Uma agência de turismo deseja fre- tar um ônibus de 50 lugares. Duas empresas, Desejando-se destruí-lo num ponto B, que A e B, candidatam-se para fazer a viagem. está a uma distância horizontal de 40 km de Se for contratada a empresa A, o custo da A, utiliza-se um outro míssil que se movi- viagem terá uma parte fixa de R$ 280,50, menta numa trajetória descrita, segundo o gráfico da função g(x) kx. Então, para que mais um custo, por passageiro, de R$ 12,00. ocorra a destruição no ponto determinado, Se for contratada a empresa B, o custo te- deve-se tomar k igual a: rá um valor fixo de R$ 250,00, mais um a) 20 d) 50 custo (C), por passageiro, dado por x b) 30 e) 60 C(n) 35 0,5n, onde n é o número de c) 40 passageiros que fará a viagem.6
  8. 8. QUESTÕES DE MATEMÁTICA De acordo com essas informações, julgue os de desconto na sua compra”. Qual a maior itens a seguir. 8 quantia que se pagaria à mercearia nesta (01) Se todos os lugares do ônibus forem promoção? ocupados, será mais caro contratar a a) R$ 300,50 d) R$ 304,50 empresa B. x b) R$ 302,50 e) R$ 305,50 (02) Caso contrate a empresa B, o custo má- c) R$ 303,50 ximo da viagem será de R$ 862,50. (03) Para um mesmo número de passagei- Na questão 41 a resposta é dada pela soma das ros, os valores cobrados pelas empre- afirmativas corretas. sas A e B serão diferentes. 41. (UEM-PR) Considere uma parábola de equa- (04) Para um custo de R$ 700,50, a empre- ção y ax2 bx c, sendo a, b e c núme- sa A levará mais que o dobro de passa- ros reais e a 0. Se o seu gráfico é o dado a geiros que a empresa B. seguir, assinale o que for correto. 6137. (UFMG) A seção transversal de um túnel tem y a forma de um arco de parábola, com 10 m de largura na base e altura máxima de 6 m, que ocorre acima do ponto médio da base. De cada lado, são reservados 1,5 m para pas- sagem de pedestres, e o restante é dividido em duas pistas para veículos. A B As autoridades só permitem que um veícu- 0 1 5 x lo passe por esse túnel caso tenha uma altu- V ra de, no máximo, 30 cm a menos que a al- (01) Sendo o vértice da parábola o ponto tura mínima do túnel sobre as pistas para V(p, q), o valor de p é 3. veículos. (02) A soma das raízes da equação y 0 é 4. Calcule a altura máxima que um veículo (04) A área do triângulo ABV, sendo V o vér- pode ter para que sua passagem pelo túnel tice da parábola, é dada por seja permitida. 2,76 m S 2 9a 3 b c .38. (UEL-PR) Sejam f e g funções tais que, para (08) O número b é negativo. qualquer número real x, f(x) x2 e g(x) (16) O produto ac é positivo. f(x a) a2. O gráfico de g é uma pará- (32) Se o ponto P(6, 2) pertencesse à pará- bola, conforme a figura a seguir. Então, o bola, o valor de c seria 2. valor de a é: a) 0 y Capítulo 6: Função modular b) 1 2 x c) 2 x 42. (UFF-RJ) Considere a função f definida por d) 3 123 4x, x 4 e) 4 f(x) x3, x 4 4 Pede-se: a) f(0) f(0) 039. (Furg-RS) Dadas as funções reais definidas b) (f o f)( 2) 512 por f(x) x 2 e g(x) x2 x 12, c) o valor de m tal que f(m) 125 m 5 podemos dizer que o domínio da função 1 1 1 f(x) d) f h(x) é: 4 16 g(x) 43. (UERJ) O volume de água em um tanque x a) {x R x 2} varia com o tempo de acordo com a seguin- b) {x R x 2} te equação: c) {x R 2 x 2} d) {x R x 2} V 10 4 2t 2t 6,t R e) {x R x 2} Nela, V é o volume medido em metros cúbi-40. (UFPE) Uma mercearia anuncia a seguinte cos após t horas, contadas a partir de 8 h de promoção: “Para compras entre 100 e 600 uma manhã. Determine os horários inicial % reais compre (x 100) reais e ganhe x e final dessa manhã em que o volume per- 10 manece constante. entre 10 h e 11 h 7
  9. 9. José Roberto Bonjorno44. (UFSC) Determine a soma dos números as- (08) A função f admite inversa. sociados à(s) proposição(ões) verdadeira(s). (16) O ponto (0, 2) pertence ao gráfico de 27 (01) O domínio da função f : D R, D 3 R, g(x) 1 f(x 1). (32) O gráfico da função f( x ) é x23x 10 definida por f(x) ,é y x 6 D {x R x 2 ou x 5} {6}. (02) A função inversa da função g(x) 2x 1 é definida por x 3 g (x) 3x 1 . 1 1 x 2 (04) A função f: R R, definida por 3 2 1 0 1 2 3 x f(x) x 2, é uma função decres- cente. (08) Sejam h e k duas funções dadas por h(x) 2x 1 e k(x) 3x 2. Então, h(k(1)) é igual a 9. Capítulo 7: Função exponencial (16) A função g: R R, definida por g(x) x2 1, é uma função par. 47. (Vunesp-SP) Uma instituição bancária ofe- (32) O conjunto-imagem da função h: rece um rendimento de 15% ao ano para de- R R, definida por h(x) x2 4x pósitos feitos numa certa modalidade de apli- 3 , é Im(h) {y R y 1}. cação financeira. Um cliente deste banco de- posita 1 000 reais nessa aplicação. Ao final45. (UFAC) Qualquer solução real da inequação de n anos, o capital que esse cliente terá em x 1 3 tem uma propriedade geométri- reais, relativo a esse depósito, é: ca interessante, que é: a) 1 000 0,15n a) A sua distância a 1 é maior que 3. b) 1 000 0,15n b) A sua distância a 1 é maior que 3. c) 1 000 0,15n x c) A sua distância a 1 é menor que 3. d) 1 000 1,15n d) A sua distância a 1 é menor que 3. x e) 1 000 1,15n e) A sua distância a 3 é menor que 1. 48. (UFSM-RS) Um piscicultor construiu umaNa questão 46 a resposta é dada pela soma das represa para criar traíras. Inicialmente, co-afirmativas corretas. locou 1 000 traíras na represa e, por um des-46. (UFBA) Com base no gráfico da função cuido, soltou 8 lambaris. Suponha que o f : R R, pode-se afirmar: 50 aumento das populações de lambaris e traí- y ras ocorre, respectivamente, segundo as leis L(t) L010t e T(t) T02t, onde L0 é a popu- lação inicial de lambaris, T0, a população ini- cial de traíras, e t, o número de anos que se conta a partir do ano inicial. Considerando-se log 2 0,3, o número de 1 lambaris será igual ao de traíras depois de quantos anos? 0 1 2 3 x a) 30 c) 12 x e) 3 b) 18 d) 6 49. (Vunesp-SP) Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente a área, em (01) A imagem de f é o intervalo ]0, 1]. metros quadrados, da superfície corporal de (02) A equação f(x) 1 tem infinitas solu- 2 ções. uma pessoa, é dada por: S(p) 11 p 3 , em 2 100 (04) A equação f(x) não tem solução. 2 que p é a massa da pessoa em quilogramas.8
  10. 10. QUESTÕES DE MATEMÁTICA Considere uma criança de 8 kg. Determine: Capítulo 8: Função logarítmica a) a área da superfície corporal da criança. Nas questões 53 e 54 a resposta é dada pela soma b) a massa que a criança terá quando a área das afirmativas corretas. de sua superfície corporal duplicar (use a aproximação 2 1,4 ). a) 0,44 m 2 53. (UFAL) Analise as afirmações seguintes. 99 b) 22,4 kg 2x 5 2x 5 550. (UERJ) Utilize os dados abaixo para respon- (00) Se 5 5 , então 5 x 8. der às questões. (11) Para todo x real, logx x 1. (22) A função dada por f(x) 4 x é decres- Em um município, após uma pesquisa de opinião, constatou-se que o número de eleitores dos can- cente para todo x real. didatos A e B variava em função do tempo t, em (33) log4 9 log2 3. anos, de acordo com as seguintes funções: (44) Um domínio para a função dada por A(t) 2 105(1,6)t B(t) 4 105(0,4)t f(x) logx (x2 4) é o conjunto {x R x 2}. Considere as estimativas corretas e que t 0 re- fere-se ao dia 1o de janeiro de 2000. 54. (UFMT) (...) A van- tagem de lidar com 104 10 000 metros candidato A: 200 000 eleitores; candidato B: 400 000 eleitores os logaritmos é que a) Calcule o número de eleitores dos can- eles são números didatos A e B em 1o de janeiro de 2000. mais curtos do que b) Determine em quantos meses os can- didatos terão o mesmo número de elei- as potências. Imagi- tores. 6 meses ne que elas indi- c) Mostre que, em 1o de outubro de 2000, a quem a altura de 103 1 000 metros razão entre os números de eleitores de A um foguete que, de- e B era maior que 1o. 2 1 pois de lançado,51. (UNI-RIO-ENCE-RJ) Conforme dados obti- atinge 10 metros dos pelo IBGE, relativos às taxas de analfa- em 1 segundo, 100 metros em 2 segun- 102 100 metros betismo da população brasileira de 15 anos ou mais, a partir de 1960, foi possível ajus- dos e assim por di- 101 10 metros tar uma curva de equação y 30kx 10, ante. Nesse caso, o onde k 0, representada a seguir: tempo (t) em segun- segundos após o lançamento Taxa (%) dos é sempre o logaritmo decimal da altura (h) em metros. (Adaptado da Revista SuperInteressante, maio de 2000, p. 86) 20 A partir das afirmações dadas, julgue os itens. 01 (00) Pode-se representar a relação descrita 0 10 20 30 40 50 Tempo (anos) por meio da função h log t. a) Determine o valor de k. 30 1 (01) Se o foguete pudesse ir tão longe, atin- 3 b) Obtenha as taxas relativas aos anos de giria 1 bilhão de metros em 9 segun- 1960 e 2020 (valor estimado), usando o dos. gráfico e a equação anterior. 40%; 13,33% (02) Em 2,5 segundos o foguete atinge 55052. (Unifor-CE) No universo R, a equação metros. 3x 33 x 6 admite: 55. (UFRN) Os habitantes de um certo país a) duas raízes positivas são apreciadores dos logaritmos em bases b) duas raízes de sinais contrários potência de dois. Nesses país, o “Banco ZIG” c) uma única raiz, que é negativa oferece empréstimos com a taxa (mensal) d) uma única raiz, que é um quadrado per- de juros T log8 225, enquanto o “Ban- feito co ZAG” trabalha com a taxa (mensal) x e) uma única raiz, que é um número primo S log2 15. 9
  11. 11. José Roberto Bonjorno Com base nessas informações: T 2S Com base no cálculo da intensidade (mag- 3 a) estabeleça uma relação entre T e S. nitude) do terremoto, a ser medida pela es- b) responda em qual dos bancos um cida- cala Richter, verifique se o valor da energia dão desse país, buscando a menor taxa liberada, citado no texto, corresponde aos de juros, deverá fazer empréstimo. Jus- efeitos descritos pela notícia. I 3,6 não corresponde aos efeitos descritos pela notícia. tifique. banco ZIG56. (UFAC) Dadas as funções f(x) 2x, x real, e 58. (UFOP-MG) Se f(x) log 2 1 , então g(x) log 1 x, x 0. Os gráficos de f e g x 2 o domínio de f é: interceptam-se em um único ponto. Assim, a) ]1, [ a equação f(x) g(x) possui uma única so- b) ]0, [ lução real. O intervalo a que a solução da c) ] , 0[6]0, [ equação pertence é: x d) ] , 0[6[1, [ a) ]2, ) c) ]1, 2[ e) ( , 0[ e) ] , 1[ 1 , 1] 1[ 59. (UFSCar-SP) A altura média do tronco de b) ] x d) ]0, 2 2 certa espécie de árvore, que se destina à pro-57. (UFP-RS) A intensidade de um terremo- dução de madeira, evolui, desde que é plan- to, medida na escala Richter, é uma fun- tada, segundo o seguinte modelo matemá- ção logarítmica determinada por tico: h(t) 1,5 log3 (t 1), I 2 log E , em que E é a energia com h(t) em metros e t em anos. Se uma 3 7 10 3 liberada no terremoto, em kWh. dessas árvores foi cortada quando seu tron- co atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em Magnitude Richter Efeitos anos) transcorrido do momento da planta- ção até o do corte foi de: Menor que 3,5 Geralmente não sentido, mas gravado. a) 9 c) 5 e) 2 x b) 8 d) 4 Entre 3,5 e 5,4 Às vezes sentido, mas rara- mente causa danos. Nas questões 60 e 61 a resposta é dada pela soma das afirmativas corretas. Entre 5,5 e 6,0 No máximo causa pequenos danos a prédios bem cons- 60. (UFBA) Considerando-se as funções truídos, mas pode danificar f(x) log3 (1 x2) e g(x) 27x 1, é cor- seriamente casas mal cons- truídas em regiões próximas. reto afirmar: 54 (01) O domínio da função f é R* . Entre 6,1 e 6,9 Pode ser destrutivo em áreas em torno de até 100 quilôme- 3 tros do epicentro. (02) f 1 log 3 2 3 Entre 7,0 e 7,9 Grande terremoto; pode cau- log (1 x 2 ) sar sérios danos numa gran- (04) f(x) de faixa de área. log 3 (08) O conjunto-solução da inequação 8,0 ou mais Enorme terremoto; pode cau- sar grandes danos em muitas g(x) 2 é o intervalo [0, [. áreas, mesmo que estejam a (10) A função g é crescente em todo o seu centenas de quilômetros. domínio. Analise o texto abaixo, adaptado do jornal O (32) g 1 (x) log 3 3 x 1 2 ( 3 ) Estado de S. Paulo, 1999. (x 1) (64) g(f(x)) “Um dos mais fortes terremotos das últimas déca- 27 das atingiu a Turquia na madrugada de ontem, causan- 61. (UEM-PR) Dadas as funções f e g definidas do a morte de pelo menos 2 mil pessoas e ferimentos em outras 10 mil segundo cálculos iniciais [...] O tre- por f(x) log x e g(x) x2 1, é correto mor liberou uma energia de 7 102,4 kWh, de acordo afirmar: 71 com o registro nos EUA, e foi sentido em várias cidades (01) A imagem da função g é o conjunto vizinhas... Em pânico, a população da capital turca, de [1, ). 7,7 milhões de pessoas, foi para as ruas. Cerca de 250 pequenos abalos se seguiram ao primeiro e mais inten- 1 , para todo x real, tal so, que durou 45 segundos... pontes ruíram e fendas no (02) g(x) x2 g asfalto dificultaram a chegada do socorro...” x que x 0.10
  12. 12. QUESTÕES DE MATEMÁTICA (04) f 1 (0) 1 de temperatura do cadáver com o meio am- (08) f(g(3)) 10 biente num instante t qualquer; e é uma (16) Os gráficos de f e g se interceptam no constante positiva. Os dados obtidos pelo ponto de abscissa x 10. médico foram colocados na tabela seguinte. (32) (g o f)(x) (2 log x) 1 Temperatura Temperatura Diferença de (64) f x Hora f(x) f(y) , para todos x e y do corpo ( C) do quarto ( C) temperatura ( C) y reais, tais que x 0 e y 0. t ? morte 36,5 16,5 D(t) 2062. (UFOP-MG) Resolva o sistema t 0 22h 30min 32,5 16,5 D(0) D0 16 123 x y t 1 23h 30min 31,5 16,5 D(1) 15 2 8 32 x 2ey 1 44 ou log 8 xy 1 x 3ey 2 3 Considerando os valores aproximados 3 log2 5 2,3 e log2 3 1,6, determine:63. (UFF-RJ) Considere log b 1 x, sendo a) a constante 0,05 a b) a hora em que a pessoa morreu 19h 30min a 0, a 1, b 0 e b 1. Calcule o valor de loga b2. 2 66. (Unicamp-SP) As populações de duas cida- x des, A e B, são dadas em milhares de habi-64. (PUC-SP) A energia nuclear, derivada de tantes pelas funções A(t) log8 (1 t)6 e isótopos radioativos, pode ser usada em veí- B(t) log2 (4t 4), onde a variável t repre- culos espaciais para fornecer potência. Fon- senta o tempo em anos. Ver resolução. tes de energia nuclear perdem potência gra- a) Qual é a população de cada uma das ci- dualmente, no decorrer do tempo. Isso pode dades nos instantes t 1 e t 7? ser descrito pela função exponencial b) Após certo instante t, a população de uma t P P0 e 250 , na qual P é a potência ins- dessas cidades é sempre maior que a da tantânea, em watts, de radioisótopos de um outra. Determine o valor mínimo desse veículo espacial; P0 é a potência inicial do veí- instante t e especifique a cidade cuja po- culo; t é o intervalo de tempo, em dias, a pulação é maior a partir desse instante. partir de t0 0; e é a base do sistema de 67. (UFRJ) Resolvendo a inequação logarítmica logaritmos neperianos. Nessas condições, log 1 (x 3) 3 , qual a solução encontrada? quantos dias são necessários, aproximada- 2 3 x 25 mente, para que a potência de um veículo 8 espacial se reduza à quarta parte da potên- Capítulo 9: Sucessão ou seqüência cia inicial? (Dado: ºn2 0,693) a) 336 c) 340 x e) 346 Na questão 68 a resposta é dada pela soma das b) 338 d) 342 afirmativas corretas. 6665. (Vunesp-SP) O corpo de uma vítima de as- 68. (UFAL) Se n é um número natural não-nulo, sassinato foi encontrado às 22 horas. Às 22h o termo geral da seqüência 30min o médico da perícia chegou e imedi- (00) 1, 1 , 1 , 1 , ... é a n 1 atamente tomou a temperatura do cadáver, 2 3 4 n que era de 32,5 C. Uma hora mais tarde, 1, 1, 1, 1 ... é a 1 tomou a temperatura outra vez e encontrou (11) n 2 4 6 8 2n 31,5 C. A temperatura do ambiente foi mantida constante a 16,5 C. Admita que a (22) 1 , 2 , 3 , 4 , ... é a n n temperatura normal de uma pessoa viva seja 2 3 4 5 n 1 36,5 C e suponha que a lei matemática que 1, 1, 1 , 1 , ... é a 1 descreve o resfriamento do corpo é dada por (33) n 2 4 8 16 2n D(t) D0 2( 2 t), (44) 1, 1 , 1, 1 , 1 , ... é onde t é o tempo em horas; D0 é a diferença 4 9 16 25 de temperatura do cadáver com o meio am- ( 1)n biente no instante t 0; D(t) é a diferença an n2 11
  13. 13. José Roberto BonjornoCapítulo 10: Progressões aritméticas a) mais de 300 bolitas x b) pelo menos 230 bolitas69. (UFRJ) A concessionária responsável pela c) menos de 220 bolitas manutenção de vias privatizadas, visando a d) exatamente 300 bolitas instalar cabines telefônicas em uma rodo- e) exatamente 41 bolitas via, passou a seguinte mensagem aos seus 73. (Unifor-CE) Uma pessoa comprou certo ar- funcionários: “As cabines telefônicas devem tigo a prazo e efetuou o pagamento dando ser instaladas a cada 3 km, começando no 100 reais de entrada e o restante em parce- início da rodovia”. Quantas cabines serão las mensais que, sucessivamente, tiveram instaladas ao longo da rodovia, se a mesma seu valor acrescido de 20 reais em relação tem 700 quilômetros de comprimento? ao do mês anterior. Se a primeira parcela 234 cabines70. (UFMT) Suponha que a cada três meses o foi de 15 reais e o montante de sua dívida número de cabeças de gado aumenta em ficou em 3 430 reais, quantas parcelas ela pagou? quatro. Em quantos trimestres serão obti- a) 12 c) 20 e) 36 das 340 reses a partir de uma dúzia? 83 trimestres x b) 18 d) 2471. (UERJ) Utilize a tabela abaixo para respon- 74. (Furg-RS) Sendo g: R R, definido por g(x) der às questões, 2x 3, então g(1) g(2) .... g(30) é igual a: FÁBRICA Y — ANO 2000 a) 525 x c) 1 020 e) 2 040 Produção Preços unitários de venda b) 725 d) 1 375 Produtos (em mil unidades) (em R$) 75. (UEL-PR) Qual é o menor número de ter- maio junho maio junho mos que deve ter a progressão aritmética de A 100 50 15 18 razão r 8 e primeiro termo a1 375, B 80 100 13 12 para que a soma dos n primeiros termos seja C 90 70 14 10 positiva? a) 94 c) 48 e) 750 a) Considere que o acréscimo na produção x b) 95 d) 758 B, de maio para junho, seja estendido aos Na questão 76 a resposta é dada pela soma das meses subseqüentes. 220 produtos afirmativas corretas. Calcule a quantidade de produtos B que 76. (UFBA) Um agricultor plantou uma série de serão fabricados em dezembro de 2000. mamoeiros, distando 3 m um do outro e b) Todos os produtos A, B e C produzidos formando uma fila, em linha reta, com nos meses de maio e junho foram vendi- 72 m de comprimento. Alinhado com os ma- dos pelos preços da tabela. moeiros, havia um depósito, situado a 20 m Calcule o total arrecadado nessa venda, de distância do primeiro. O agricultor, para em reais. R$ 6 600,00 fazer a colheita, partiu do depósito e,72. (UFSM-RS) Tisiu ficou sem parceiro para margeando sempre os mamoeiros, colheu jogar bolita (bola de gude); então pegou sua os frutos do primeiro e levou-os ao depósi- coleção de bolitas e formou uma seqüência to; em seguida, colheu os frutos do segun- do, levando-os para o depósito; e, assim, de “T” (a inicial de seu nome), conforme a sucessivamente, até colher e armazenar os figura: frutos do último mamoeiro. Considere que o agricultor anda 50 metros por minuto, gasta 5 minutos para colher os ... frutos de cada mamoeiro, e mais 5 para armazená-los no depósito. Nessas condições, pode-se concluir que o agricultor: 25 Supondo que o guri conseguiu formar 10 (01) plantou 25 pés de mamão “T” completos, pode-se, seguindo o mesmo (02) plantou o 12o mamoeiro a 56 metros padrão, afirmar que ele possuía: do depósito12
  14. 14. QUESTÕES DE MATEMÁTICA (04) quando fez a colheita dos frutos do 10o mamoeiro, havia passado 6 vezes pelo (04) O oitavo termo da P.G. ( ) 2, 2, ... é a8 16. 5o mamoeiro (08) ao completar a tarefa de colheita e ar- (08) A soma dos termos da P.G. 1, 2, mazenamento dos frutos de todos os 3 9 mamoeiros, tinha andado 2 800 metros 4 , ... é igual a 1. (16) para realizar toda a tarefa de colheita e 27 armazenamento, gastou 5 horas e 6 81. (Furg-RS) Um quadrado tem lado m. Unin- minutos do-se os pontos médios de seus lados, ob- tém-se um segundo quadrado e assim su-Capítulo 11: Progressões geomé- cessivamente. Sabe-se que a área do décimotricas quadrado vale 1 . Então o lado m do primei- 877. (Mack-SP) A seqüência de números reais e ro quadrado vale: positivos dada por (x 2, x 2 11, a) 4 cm c) 4 2 cm e) 16 cm 2x 2, ...) é uma progressão geométrica cujo sétimo termo vale: x b) 8 cm d) 8 2 cm a) 96 c) 484 e) 384 x b) 192 d) 252 82. (UFOP-MG) Sendo a, b, 10 uma progressão78. (PUC-SP) A soma dos n primeiros termos aritmética e 2 , a, b uma progressão geo- 3 da seqüência (6, 36, 216, ..., 6n, ...) é 55 986. métrica, em que a e b são números inteiros Nessas condições, considerando log 2 0,30 positivos, calcule a e b. a 2 e b 6 e log 3 0,48, o valor de log n é: x a) 0,78 c) 1,26 e) 1,68 b) 1,08 d) 1,56 Capítulo 12: Estudo das matrizes79. (UFSM-RS) Assinale verdadeira (V) ou falsa 83. (UEL-PR) Sabendo-se que a matriz (F) em cada afirmativa. 5 x2 2 y • No primeiro semestre do ano 2000, a pro- 49 y 3x dução mensal de uma fábrica de sapatos cresceu em progressão geométrica. Em 1 21 0 janeiro, a produção foi de 3 000 pares e, é igual à sua transposta, o valor de x 2y é: em junho, foi de 96 000 pares. Então, a) 20 c) 1 e) 20 pode-se afirmar que a produção do mês x b) 1 d) 13 de março e abril foi de 12 000 e 18 000 pares, respectivamente. Na questão 84 a resposta é dada pela soma das • A sequência (xn 4, xn 2, xn, xn 2), x 0, é afirmativas corretas. uma progressão geométrica de razão x2. • Uma progressão geométrica de razão q, 84. (UFMT) Um projeto de pesquisa sobre die- com 0 q 1 e a1 0, é uma progressão tas envolve adultos e crianças de ambos os geométrica crescente. sexos. A composição dos participantes no A seqüência correta é: projeto é dada pela matriz 2 a) V – F – F d) V – V – F Adultos Crianças x b) F – V – F e) V – F – V 80 120 Masculino c) F – V – V 100 200 Feminino80. (UFSC) Determine a soma dos números as- O número diário de gramas de proteínas, de sociados à(s) proposição(ões) verdadeira(s). gorduras e de carboidratos consumidos por 15 (01) Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e cada criança e cada adulto é dado pela matriz 500. Proteínas Gorduras Carboidratos (02) O valor de x que satisfaz a equação 20 20 20 Adultos (x 1) (x 4) (x 7) ... (x 28) 155 é x 1. 10 20 30 Crianças 13
  15. 15. José Roberto Bonjorno A partir dessas informações, julgue os itens. 89. (Vunesp-SP) Dadas as matrizes (00) 6 000 g de proteínas são consumidos 1 3 1 2 diariamente por adultos e crianças do A e B 2 4 3 1 sexo masculino. (01) A quantidade de gorduras consumida o determinante da matriz A B é: diariamente por adultos e crianças do a) 1 c) 10 x e) 14 sexo masculino é 50% menor que a b) 6 d) 12 consumida por adultos e crianças do 90. (Unifor-CE) Seja a matriz A (aij)3 3, com sexo feminino. 13 x j, se i j 2 (02) As pessoas envolvidas no projeto conso- aij i, se i j mem diariamente um total de 13 200 g Os números reais x que anulam o determi- de carboidratos. nante de A: a) são 4 e 9Capítulo 13: Determinantes x b) são menores do que 6 c) têm soma igual a 985. (UFF-RJ) Numa progressão aritmética, de d) têm produto igual a 14 e) têm sinais contrários termo geral an e razão r, tem-se a 1 r 1 . 2 91. (UFOP-MG) Considere a matriz a5 a4 S11 S12 S13 S {x R 4 Calcule o determinante da matriz x 4} a 4 a 12 S S21 S22 S23 1186. (UFRJ) Dada a matriz A (aij)2 2, tal que S31 S32 S33 123 2, se i j dada por aij 123 3i j, se i j, encontre o determi- 0, se i j 44 nante da matriz At. 18 sij i j, se i j87. (UFAC) Considere as afirmações: i j, se i j I – O inteiro a 615, quando dividido pelo Então, resolva a inequação det S 3x2. inteiro b 3, deixa resto zero. 92. (UFP-RS) No triângulo retângulo isósceles II – Seja qual for o valor de a, a real, o abaixo, a área é 8 u a e os vértices estão numerados no sentido horário. det A 128 2 a 1 determinante da matriz nun- 1 1 a ca se anula. III – Os valores que a função f(x) x2 1, x real, assume são todos os números do intervalo [1, ). Com relação a tais afirmações, é correto di- zer que: 3 2 a) todas são verdadeiras Associe a essa figura uma matriz A, 3 3, b) todas são falsas sendo aij igual à distância entre os vértices i c) a afirmação I é falsa e j, e calcule det (A). x d) as afirmações I e II são verdadeiras e) as afirmações II e III são verdadeiras Capítulo 14: Sistemas lineares88. (UEL-PR) O determinante 1 0 1 é po- 93. (UEM-PR) Dado o sistema de equações li- 0 x 0 neares 7 123 x 0 1 4x 3y z 9 44 sitivo sempre que: 8x 6y 2z 18 x 3y z 6 a) x 0 d) x 3 x b) x 1 e) x 3 sabe-se que (a, b, 20) é solução do mesmo. c) x 1 Nessas condições, o valor a 4b é...14
  16. 16. QUESTÕES DE MATEMÁTICA94. (UFRGS) Durante os anos oitenta, uma die- Assinale a alternativa que preenche corre- ta alimentar para obesos ficou conhecida tamente os espaços. como “Dieta de Cambridge” por ter sido de- x a) 3; 2 c) 2; 3 e) 5; 2 senvolvida na Universidade de Cambridge b) 2; 5 d) 3; 4 pelo Dr. Alan H. Howard e sua equipe. Para 97. (UFBA) Um teatro colocou à venda ingressos equilibrar sua dieta, o Dr. Howard teve que para um espetáculo, com três preços diferen- recorrer à matemática, utilizando os siste- ciados de acordo com a localização da poltro- mas lineares. na. Esses ingressos, a depender do preço, Suponha que o Dr. Howard quisesse obter apresentavam cores distintas: azul, branco um equilíbrio alimentar diário de 3 g de e vermelho. Observando-se quatro pessoas proteínas, 4 g de carboidratos e 3 g de gor- na fila da bilheteria, constatou-se o seguinte: dura. a primeira comprou 2 ingressos azuis, 2 No quadro abaixo estão dispostas as quanti- brancos e 1 vermelho e gastou R$ 160,00; a dades em gramas dos nutrientes menciona- segunda comprou 2 ingressos brancos e 3 dos acima, presentes em cada 10 gramas dos vermelhos e gastou R$ 184,00; e a terceira alimentos: leite desnatado, farinha de soja e pessoa comprou 3 ingressos brancos e 2 ver- soro de leite. melhos, gastando R$ 176,00. Sabendo-se que a quarta pessoa comprou Número de gramas de nutrientes em cada 10 gramas de alimento apenas 3 ingressos azuis, calcule, em reais, Alimento Leite Farinha Soro quanto ela gastou. R$ 84,00 Nutrientes desnatado de soja de leite 98. (UNI-RIO-ENCE-RJ) No Censo 2000, uma Proteína 3 5 2 equipe era formada por um supervisor e três Carboidrato 5 3 1 recenseadores, João, Maria e Paulo, cada um destes com uma produção horária média di- Gordura 0 1 7 ferente (número de formulários preenchi-Obs.: as quantidades são fictícias para simplificar as contas. dos, em média, por hora). O supervisor observou que: Calcule as quantidades diárias em gramas I – se João, Maria e Paulo trabalhassem de leite desnatado, farinha de soja e soro de por dia, respectivamente, 6, 8 e 5 ho- leite, para que se obtenha a dieta equilibra- ras, a produção total diária seria de 78 da, segundo Dr. Howard, verificando a ne- formulários preenchidos, em média. cessidade de cada um desses alimentos na II – se trabalhassem, respectivamente, 7, 6 dieta em questão. Ver resolução. e 8 horas diariamente, esta produção95. (Unicamp-SP) Uma empresa deve enlatar total já seria de 83 formulários. uma mistura de amendoim, castanha de caju III – se trabalhassem 6 horas, diariamente, e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de cada um deles, este total seria de 72. amendoim custa R$ 5,00, o quilo da casta- a) Calcule a produção horária média de nha de caju, R$ 20,00, e o quilo de casta- Maria. 4 h nha-do-pará, R$ 16,00. Cada lata deve con- b) Determine a menor carga horária diária ter meio quilo da mistura e o custo total dos de trabalho (valor inteiro), comum aos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. três recenseadores, para que a produção Além disso, a quantidade de castanha de caju total diária supere 100 formulários em cada lata deve ser igual a um terço da preenchidos. 9 h soma das outras duas. Ver resolução. a) Escreva o sistema linear que representa 99. (Vunesp-SP) Dado o sistema de equações li- a situação descrita acima. neares S:  1 2 C 1 2 3 b) Resolva o referido sistema, determinan- x 2y cz 1 4 4 do as quantidades, em gramas, de cada A  0 1 1 y z 2  3 2 2   ingrediente por lata.   3x 2y 2z 1, det A 6 3c96. (UFSM-RS) Duas vacas e um touro foram trocados por oito porcos. Em outra ocasião, onde c R, determine: uma vaca foi trocada por um touro e um a) a matriz A dos coeficientes de S e o porco. De acordo com a regra desses dois determinante de A “negócios”, uma vaca deve ser trocada por * b) o coeficiente c, para que o sistema admi- porcos; um touro, por * porcos. ta uma única solução c 2 15
  17. 17. José Roberto Bonjorno100.(UFMG) Considerando o sistema 105.(UFMG) Um aposentado realiza, diariamen- x y z 8 te, de segunda a sexta-feira, estas cinco ati- 14243 a 20 2x 4y 3z a vidades: 3x 7y 8z 25 a) leva seu neto, Pedrinho, às 13 horas, pa- 4x 6y 5z 36 ra a escola b) pedala 20 minutos na bicicleta ergomé- determine o valor de a para que o sistema trica tenha solução. c) passeia com o cachorro da família Usando esse valor de a, resolva o sistema. d) pega seu neto, Pedrinho, às 17 horas,101.(UFSC) Considere as matrizes: 22 na escola e) rega as plantas do jardim de sua casa 1 1 1 0 0 0 Cansado, porém, de fazer essas atividades A 1 2 2 , B 1 2 3, sempre na mesma ordem, ele resolveu que, 1 4 4 1 2 3 a cada dia, vai realizá-las em uma ordem diferente. C ( 1) A e determine a soma dos núme- Nesse caso, o número de maneiras possí- ros associados à(s) proposição(ões) verdadei- veis de ele realizar essas cinco atividades, ra(s). em ordem diferente, é: (01) A matriz A é inversível. a) 60 x c) 120 (02) (A B)t Bt At, onde At significa a b) 72 d) 24 matriz transposta de A. 106.(UFRJ) A mala do Dr. Z tem um cadeado (04) A C é a matriz nula de ordem 3. cujo segredo é uma combinação com cin- (08) O sistema homogêneo, cuja matriz dos co algarismos, cada um dos quais podendo coeficientes é a matriz A, é determi- variar de 0 a 9. Ele esqueceu a combinação nado. que escolhera como segredo, mas sabe que (16) A C C A. atende às condições: 1 800 a) Se o primeiro algarismo é ímpar, então102.(Furg-RS) o último algarismo também é ímpar. 2x ky z 0 123 b) Se o primeiro algarismo é par, então o 44 O sistema x y kz 0 é: último algarismo é igual ao primeiro. x ky z 0 c) A soma dos segundo e terceiro algaris- a) determinado para k 1 mos é 5. b) determinado para todo k R Quantas combinações diferentes atendem c) impossível para k 1 às condições estabelecidas pelo Dr. Z? d) indeterminado para k 1 107.(Unifor-CE) Pretende-se selecionar 4 pes- e) indeterminado para k 1 soas de um grupo constituído de 3 profes- x sores e 5 alunos, para tirar uma fotografia. Se pelo menos 1 dos professores deve apa-Capítulo 15: Análise combinatória recer na foto, de quantos modos poderá ser103.(UFSC) Num camping existem 2 barracas feita a seleção? disponíveis. O número de modos como se x a) 65 c) 330 e) 1 680 pode alojar 6 turistas, ficando 3 em cada b) 70 d) 1 560 uma, é... 108.(ITA-SP) Considere os números de 2 a 6 al- 20 modos garismos distintos formados utilizando-se104.(Uespi-PI) Resolvendo a equação An, 4 apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes nú- 12 An, 2 , temos: meros são ímpares e começam com um dí- a) n 21 d) 2n 1 17 gito par? b) n2 25 e) 5n 1 4 a) 375 c) 545 e) 625 c) n2 36 b) 465 d) 585 x x16

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