Apostila 3 calculo i integrais
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Apostila 3 calculo i integrais Apostila 3 calculo i integrais Document Transcript

  • DIFERENCIAISINTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS INTEGRAISPROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO
  • DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO Dado uma função y = f(x) derivável, denomina-se diferencial de umafunção num ponto x e se indica por dy, ao produto de sua derivada nesse pontopelo acréscimo arbitrário x da sua variável independente.Seja uma função y = f(x) admitindo derivada em (a,b), sejam x e y osacréscimos, da variável e da função.Chama-se diferencial da função f(x)correspondente ao acréscimo x ao produto da derivada f ’(x) pelo acréscimo x e indicamos assim: dy = f ’(x) . x .Leibniz visualizou dx e dy como sendo infinitésimos, isto é, quantidades queembora sejam não-nulas, são menores em magnitude do que qualquerquantidade finita. Ele imaginou que no limite x e y de alguma forma tornam-se quantidades infinitesimais dx e dy, respectivamente de modo que o yquociente torna-se a derivada dy/dx. Pode-se se reescrever a equação xdy/dx = f ’(x) como dy = f ’(x) .dx. ySupõe-se dx = x , fica claro que dy é uma boa aproximação para desdeque x seja suficientemente pequeno.Observe graficamente a diferença entre dy e y quando dx = x .INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
  • Geometricamente a diferencial de f(x) representa a variação sofrida pela retatangente ao gráfico, do ponto x ao ponto x + x.Pode-se calcular a diferença entre dy e y a qual denominamos , calculandoa fórmula = | y - dy |Exemplo1:
  • EXEMPLOS1) Calcular aproximadamente 65 , sabendo que 64  8 e f ( x)  x .2) Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica dealtura 12 m, raio interior 7m e espessura 0,05m. Qual o erro decorrente seresolvermos usando diferenciais.EXERCÍCIOS1) Calcule um valor aproximado para 3 65,5 usando diferenciais.2) Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esferaquando o raio varia de 3cm a 3,1cm.3) Calcule 4 13 , aproximadamente, usando diferenciais.4)Calcular a variação do lado de um quadrado de l = 3cm, para que sua áreasofra uma variação de 1 cm.
  • Introdução ao estudo das integraisSituação 1:Vamos iniciar nossos estudos pensando em como calcular a érea sob aparábola no intervalo[0,2] observada na figura. Que estratégias você utiliza para determinar está área? Você conhece alguma fórmula da geometria que permite o cálculo desta região?Situação 2: Vamos pensar um pouco mais se a função derivada é representada pelafunção:dy  3x²  2 x  1 que função primitiva originou esta derivada?dxEstas são apenas algumas situações que podem envolver o cálculo das integrais.Para tanto precisamos ter domínio sobre as diferentes técnicas de determinação dasintegrais.Então vamos pensar um pouco sobre:1) O que são as integrais?2) Qual o significado das integrais?
  • Na atualidade, as novas diretrizes da educação para o ensino superior,apresentam-se voltada às discussões relacionadas com a necessidade de atualização daeducação a fim de impulsionar uma democratização social e cultural mais efetiva. Nestecontexto, o ensino superior deve preparar o graduando para atuar competentemente emsua área de formação, proporcionando, durante o tempo de graduação, vivênciasrelacionadas com o contexto de atuação, possibilitando que este se defronte comdiferentes situações inerentes a sua futura profissão. Portanto, a perspectiva metodológica está focada na articulação entre as disciplinasevidenciando o equilíbrio entre as atividades teórico-práticas e nos projetos dedisciplina. Dessa forma, a prática pedagógica adotada na disciplina de Cálculo II,deverá propiciar a construção do conhecimento a partir da participação do docente e dodiscente nas atividades de ensino-aprendizagem.Um pequeno recorte histórico:A derivada e a integral definida exprimem-se em termos de certos processos de limite.A noção de limite é a idéia inicial que separa o cálculo das partes mais elementares damatemática. Isaac Newton(1642 –1727) e Gttfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716)descobriram a ligação entre derivadas e integrais. Em razão disto e de suas outrascontribuições para o assunto, são considerados os inventores do cálculo. Muitos outrosmatemáticos deram inúmeras contribuições para o seu desenvolvimento. Assim pode-seconsiderar o cálculo como o estudo de limites, derivadas e integrais. Na matemática aplicada ocorre freqüentemente que conhecemos a derivada deuma função e desejemos encontrar a própria função. Por exemplo, podemos conhecer avelocidade ds/dt de uma partícula e precisamos encontrar a equação do movimento s =f(t), ou podemos querer achar a função lucro de um certo produto quando conhecemos amargem de lucro. As soluções desses problemas necessitam que se desfaça a operaçãode diferenciação, Istoé temos que anti diferenciar. Assim, a integração indefinida é basicamente a operação inversa dadiferenciação. No cálculo diferencial de uma função y = f(x), estudou-se a variação da função aser dado um acréscimo a variável independente x. No cálculo integral, conhecendo-se o diferencial dy = f ’(x)dx, isto é, obtém-se a funçãoprimitiva através da operação chamada integração indefinida ou antidiferenciação. Observem os gráficos das funções f(x) = x² - 1 g(x) = x² e h(x) = x² + 1,cujo gráfico é observado a seguir:
  • Assim o que difere uma função da outra é a constante c, então vamos derivar estasfunções:dy dy  2 x todas tem a mesma derivada ou seja, f ’(x) =  2xdx dx Mas se temos apenas a derivada da função como determinar a primitiva?Este processo é o que vamos iniciar agora a integração indefinida ou primitivação deuma função. Este processo inverso é representado pelo símbolo ou sinal de integração originado da letra S que para Leibniz era somatório de todos os infinitos e JohnnBernoulli denominava apenas de integração. Então a representação:  f ( x)dx significa:f(x) é a função integrandodx serve para indicar a variável de integração que foi derivada.CONCLUI-SE QUE: De uma mesma diferencial resulta uma diferencial resulta uma família deprimitivas (curvas) que só diferem entre si por uma constante arbitrária C.Assim: f ( x)dx  F ( x)  C O processo de integração indefinida é o processo inverso da derivada , cadaregra ou fórmula de diferenciação fornecerá uma regra correspondente para aintegração.Definição:Se F(x) é uma primitiva de f(x) , a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida dafunção f(x) e é denotada por: f ( x)dx  F ( x)  CDa definição da integrai indefinida decorre que:1)  f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x)
  • 2)  f ( x)dx representa uma família de funções, ou seja, a família de todas asprimitivas da função integrando.PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS:1) Proposição, sejam f, g : I  R e k uma constante então:a)  kf ( x)dx  k  f ( x)dxProva:Seja F(x) uma primitiva de f(x). Então, Kf(x) é uma primitiva da Kf(x), pois(KF(x))’=KF’(x)=Kf(x). dessa forma temos que: kf ( x)dx  k  F ( x)  c  kF( x)  kc colocando k em evidência temos que 1 = k[ F ( x)  c ]  k  f ( x)dx 1b)  ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dxProva:Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) e g(x), respectivamente então F(x) e G(x)é uma primitiva da função (f(x) + g(x) ), pois [F(x) +G(x)]’ = F’(x) + G’(x) = f(x) + g(x)Portanto, ( f ( x)  g ( x))dx [F ( x)  G( x)]  c = [ F ( x)  G( x)]  c1  c2 onde c = c1 + c2  [ F ( x)  c1 ]  [G( x)  c2 ]   f ( x)dx   g ( x)dx O processo de integração exige muita intuição, pois a partir da derivadaprecisamos determinar a primitiva a partir das fórmulas de integração.Inicialmente vamos estudar as integrais imediatas.Exemplos:1) Encontre as primitivas das funções abaixo: 1 2a)  ( x 2  1)dx b)  ( x 4  x  1)dx c)  ( x 2  3x)dx 3
  • Recomendações importantes para iniciar o processo de integração:1) Verifique se os expoentes estão todos de forma que podemos somar;2) Identifique o tipo de função que será integrada.3) Quando somar mais um no expoente e dividir no denominador não pode maisaparecer o dx e deve aparecer o mais c;4) Quando integrar todos os termos devem ser integrados.Fórmula: x n 1 x dx   C e n  -1 e n  R n n 1Se n = -1 temos: du  u  ln | u | c 1 dx x dx   dx   1  ln | x | c ou x xExemplos:1) Encontre a solução particular da equação diferencial dy = (x +1 ) dx que passa pelos pontos: a) P(2,6) b) P(1,-3)2) Determine a lei do movimento s = f(t) a partir dos seguintes dados: a = 2t  1 , v = 3 quando t = 1 e s = 4
  • Outros exemplos:Primeira lista1) Se a taxa de crescimento da população de uma cidade daqui a x anos pode serconsiderada como f(x)=117+200x e hoje existem 10.000 pessoas na cidade, qual será onúmero total de pessoas da cidade daqui a 5 anos?2) Calcule as integrais abaixo: ( x 2  3x  1)dx 3 5a)  (2x  x  5x  19)dx b) 3 2 c)  ( p 2  )dp d)  3e x dx p 2 5e)  (ax 2  b)dx f)  (e u  2u  5)du g)  ( 2  )dx x > 0 x x 1 1  (w 3  w 4  w  3)dw  (2 x  (tg ( )  cot g ( ))d 3h) i)  3x 2  5)dx j) x 1 6 x 2  2x  1  x 3 dx  (2e   x  ln 2)dx n)  (e  3  2)dx  x x xl) m) o) x x2 dt dv du dpp)  q)  r)  s)  t)  e x dx t v u p 2 v)  3 x dx x  3dt  dv  dt tu) dt w) z)Segunda lista: y4  2y 11)  ( x 2 (2  x) 2 dx 2)  ( )dy 3)  ( x 2 x 3  1) dx y4)  15 p 2 q 4 dp 5)  (q 3  8q  15)dq 6)  (4 x 3  3x 2  1)dx 1  (t  t  2)dt a  abdx 10)  (at  b)dt 27) 2 8) dt 9 a 2 311)  (a  b)du 12) b 2 tdt 13  ( x 3  2  5)dx x14  (3x  1)dx 15)  (2 x  e x )dx 16)  (sen( x)  cos( x)dx 117)  (10 x  x 0, 4 )dx 18)  (2t  5) 2 dt 19)  (3 x  )dx x3 x3  220)  (5 x 2  3x 0,1  1)dx 21)  ( )dx 3
  • 122)  sec( x)dx 23)  cot g ( x)dx 24)  (2 x   e x  1)dx x x2 125)  2 dx xExercícios livro Diva p.246
  • As integrais definidas Situações problemas:1)Uma partícula se move sobre um eixo de tal forma que a sua velocidade no instante t év(t )  t 2  2t m/s. Determine: a) a distância total percorrida pela partícula no intervalo [0,3] esboce o gráfico. R.: 8/3m2) (MEC) Considere a área limitada pelo eixo dos x, pela parábola y = x2 e pela reta x= b, b > 0. O valor de b para que essa área seja igual a 72 é:
  • http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/integraldefinida.pdfObserve a figura abaixo:Definir a área S delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa f, peloeixo dos x e por retas x = a e x = b Para isso fazemos partições do intervalo [a,b]isto é dividimos o intervalo [a,b]em n subintervalos.Construímos um retângulo de base x e altura f( c ) conformefiguras:
  • A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn é dada por: nSn = f (c1 )x1  f (c2 )x2  ...+ f (cn )xn  =  f (c )x i n i i esta soma é chamada desoma de Riemann da função f(x). pode se observar que a medida que n cresce muito ex torna-se muito pequeno, a soma das ares se aproximam da área S.Definição: seja f(x) uma função contínua em [a,b]. a área sob a curva y = f(x) de a atéb, é definida por: nA  lim  f (ci )xi x 0 i  nA integral definida está associada ao limite da definição acima. Ela nasceu com aformalização matemática dos problemas das áreas.Definição: Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definidade f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:Onde: a é o limite inferior de integração; b é o limite superior de integração; f(x) é o integrando.PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA1) PROPRIEDADE DA HOMOGENEIDADE Seja c uma constante então b a cf ( x)dx = c  f ( x)dx b a 3 3 Ex.:  1 2( x  1)dx  2 ( x  1)dx 12) PROPRIEDADE ADITIVASejam as funções f(x) e g(x) duas funções contínuas definidas no intervalo [a,b], então: b b b [ f ( x)  g ( x)]dx   a a f ( x)dx   g ( x)dx a3) PROPRIEDADE POR COMPARAÇÃO Sejam f(x) e g(x) funções contínuas no intervalo [a,b] então se f(x)  g(x) tem-se b b  a f ( x)dx   g ( x)dx a
  • 4) PROPRIEDADE DA ADITIVIDADE GERAL NUM INTERVALOSejam a, b, c três números arbitrários tais que a < c < b então: b c ba f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a c5) PROPRIEDADESe a > b e f é integrável em [b , a] então b aa f ( x)dx   f ( x)dx bObserve os seguintes casos:Se representa a área entre as curvas, para c b A   f ( x)dx   [ f ( x)dx] a c
  • , c b A   [ f ( x)  g ( x)]dx   [ g ( x)  f ( x)dx] a cCONCLUINDO: Para calcular a integral definida de uma função f, no intervalo[a,b], basta determinar sua primitiva F(x) se existir e realizar a operação F(b) – F(a).Assim para calcular a área entre duas curvas f e g contínuas num intervalo dadotem-se: b b bA=  a [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx conforme figura: a aCÁLCULO DE INTEGRAIS DEFINIDASO cálculo da região entre curvas fica facilitado se seguirmos alguns passos:1) Esboce a região e, então, trace uma reta vertical através do ponto de referência estabelecido;2) A região ficará delimitada pelas curvas dadas e pelos pontos de referência que serão os limites;3) Determine os limites de integração a partir dos pontos de intersecção ou dos pontos estabelecidos no problema proposto, conforme o caso.4) Calcule as integrais solicitadas e depois substitua o limite superior menos a substituição do limite inferior.
  • 1) Expresse como integral definida as seguintes áreas como integrais definida semresolvê-las.Exemplos: 3 3 x  (1  x)dx  ( x 2  1)dx  (t  2t )dt 2a) b) c) 0 1 0 Calcule as áreas das figuras representadas nas figuras abaixo: 1)a) b) c) d) Exercícios: 1)Calcule as integrais definidas abaixo: 2 1 1  1 3 a) 1 (3x 2  2 x)dx b) 1 ( x 3  2 )dx x c) ( 1 3 x  1)dx  dx  3 3 1  (3x  1)dx  3x  1dx  (x  3)dx 3 d) e) f) g) 2 2 0 x2 0 3  h) 0 xe x dx i)  0 e  x dx Outros exercícios 2 x  3 a)    2x 2  7 x  1dx  3  R : - 6,667 2  
  • 4 b)  0 ( 2x  1) dx R : 8,667 2 c)  1 (6x  1)dx R:8 2 81 d)  1 x (1  x 3 )dx R: 10APLICAÇÃO DA INTEGRAL DEFINIDA As integrais definidas podem ser usadas para determinação de áreas de regiõesplanas, cálculo de volume de sólido de revolução, comprimento de arco, suprimentopara consumo, fluxo de sangue, cálculo do trabalho, energia, etc.Ex.:1) Calcular a área sob a curva f(x) = x no intervalo [0,3], esboce o gráfico.2) Calcular a área delimitada pelas curvas abaixo conforme cada caso especificado.a) y = x 2 e y = x e pelas retas x = 0 e x = 2.b) y = x2 e y = x , x = ¼ e x = 1c) y = 4x – x2 e o eixo 0x; R.: 32/3d) y = x3 - 4x e y = 0 x=0 e x = 2e) y = cos(x) o eixo 0x de x =0 até x = 2f) y = ex , x = 0, x = 1 e y = 0. R.: e – 1g) y = lnx , y = 0 e x = 2; 1j) y = x 2 e y = 6 R.: 48 6l) y = x3 – x e y = 0 R.: ½m) y = sen(x) e y = cos(x) [0,2] R .: 4 2