Apostila 2 calculo i derivadas

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Apostila 2 calculo i derivadas

  1. 1. DERIVADASPROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSOINTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS DERIVADASO que significa a palavra derivada?Como calcular as derivadas?
  2. 2. Quais as aplicações das derivadas?Vamos pensar um pouquinho!!!!!Para os curiosos acesse ao vídeo no youtubehttp://www.youtube.com/watch?v=3g9ZmAPJNGs&feature=player_embeddedNo inicio da disciplina vimos que dependendo da altura que dobramos a folha ovolume da caixa se altera, agora vamos aprender que altura devemos dobrapara ter volume máximo. x xAs dimensões da folha são 29,7 cm e 21 cm.a) Qual deve ser a altura de x para que a caixa tenha volume máximo.b) Calcular o volume máximo da caixa.Outro problema:Como traçar a reta tangente a uma curva qualquer por um de seus pontos? Esse problema que desafiou os matemáticos por mais de dois mil anos,só foi solucionado com o auxílio da Geometria Analítica, por meio de estudosrealizados por Descartes, Newton, Leibniz, Fermat e outros matemáticos damesma época. Tais estudos resultaram em um dos mais importantes conceitosda matemática: a derivada de uma função em um ponto. A partir desseconceito pode-se definir precisamente a reta tangente a uma curva qualquerpor um de seus pontos. A derivada representa a inclinação de uma curva num ponto e pode serusada para obter a equação da reta tangente a uma curva num determinadoponto. É também utilizada para calcular taxas de variação. Nas aplicaçõespráticas, ela é aplicada em diversos ramos da Física, Engenharia, Economia eetc. A Derivada representa a taxa de variação de uma função contínuanum ponto.
  3. 3. Observando a taxa de crescimento de três funções:
  4. 4. DERIVADAS COMO TAXA DE VARIAÇÃO Suponha que uma partícula se move sobre uma linha reta de modo que,no final de t segundos, sua distância s em metros do ponto de partícula é dadapor s = 3t2 + t. Calcule a velocidade da partícula no instante em que t = 2segundos.t0 t t  t  t 0 f( t 0 ) f(t) s  f (t )  f (t 0 ) s t2 5 142 4 142 3 142 2,5 142 2,2 142 2.1 142 2,01 142 2,001 14
  5. 5. S = 3t2 +t ou s f (t  t )  f (t ) ds/dt = lim t  s 0 t = 6t + 1 Assim : ds = 6.2+1 = 13 m/s.Outros exemplos: 1) Calcule as derivadas abaixo utilizando a definição.a) f ( x)  x 3b) f ( x)  x 2  3x  1 1c) f (t )  3t  12) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y  x 2  5x  6 no pontoP(1,2) .3) Qual o declive da reta t tangente ao gráfico de f(x) = x 2  1 no ponto deabscissa x = 2 ou seja no ponto ( 2,5). Represente esta situação graficamente.
  6. 6. DEFINIÇÃO: Dada uma função f, a função f ’ definida por: f ( x  x)  f ( x) y f ’(x) = dy/dx = lim  lim x 0 x x 0 xé chamada de derivada de f. O domínio da função derivada f ’ é o conjunto de todos os números x nodomínio de f para os quais o limite do quociente de diferença existe.Não esqueça que:Apenas admite derivada as funções contínuas. A notação de derivada foi criada por Isaac Newton e Leibniz no século sXVII. Newton usou o s para denotar a taxa de variação no tempo lim t 0 thoje escrevemos f ’(t) no tempo e f ’(x) para variável x. Leibniz idealizou y dyque o valor numérico da derivada é o limite de lim escrito como , isto x  0 x dxé, dy y  lim  f ( x)  y A notação f ’para derivada da função foi introduzida dx x 0 xpor Lagrange no século XVIII. f ’ para derivada da função e f ’(x) para derivadado número x. Também podemos dizer que a derivada é a variação da razãoincremental.A operação de calcular a derivada f ’ de uma função f é chamada diferenciação. f ( x  x)  f ( x) f ( x)  lim x 0 x Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em todos ospontos de seu domínio. A função derivada mede a inclinação da curva numponto genérico de coordenadas (x,y). Outras notações podem ser usadas no lugar de y  f ( x) :1) Dx f (x) (lê-se derivada de f(x) em relação a x)2) Dx y (lê-se derivada de y em relação a x) dy3) (lê-se derivada de y em relação a x) dxExercícios1) Calcule a derivada da seguinte função, usando a definição: f ( x)  2  5x 2 .2) Determinar a equação da reta tangente à curva f ( x)  x 2  1 no ponto P(1,2)e esboce o gráfico.
  7. 7. 3) Calcule o coeficiente angular ou a inclinação da tangente ao gráfico dafunçãof ( x)  x 2  4 x  4 no ponto de abscissa 1.Regra Geral de Derivação Até agora vimos como calcular a derivada de uma função f(x), por meioda definição. Entretanto, como esse processo é longo, estudaremos algumasregras que nos permitirão calcular a derivada de uma função.1) Derivada de uma constante Se c é uma constante e f(x) = c para todo x, então f (x) = 0.Exemplos:a) f(x) = 5  f ’(x) = 0b) f(x) = -1/2  f ’(x) = 02) Regra da potência Se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn, então f ’(x) = n . xn-1.Exemplos:a) f(x) = x5  f ’(x) = 5x4b) f(x) = x  f ’(x) = 1c) f(x) = x10  f ’(x) = 10x9Obs.: Se q  Q e f(x) = xq, então f ’(x) = q . xq-1Exemplos: 4 a) f(x) = x-4  f ’(x) = -4x-4-1  f ’(x) = -4x-5  f ( x)  x5 1 9 8 b) f ( x )  8  f ( x )  8 x  f ( x)  9 x x 1 c) f ( x)  x  ... f ( x)  2 x 2 2 d ) f ( x)  x 3  ... f ( x)  33 x 1 4 e) f ( x)   ... f ( x)  4 5 x 5 x5 x 43) Derivada do produto de uma constante por uma função Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por g(x) = c .f(x). Se f’(x) existe, então g’(x) = c . f ’(x).
  8. 8. Exemplos:a) f(x) = 8x2b) g(z) = -2z74) Derivada de uma soma Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) + g(x). Se f’(x) e g’(x) existem, então h’(x) = f ’(x) + g’(x).Exemplos:a) f(x) = 3x4 + 8x +5  f ’(x) = 12x3 + 8b) g(y) = 9y5 - 4y2 + 2y +7  g’(y) = 45y4 - 8y + 25) Derivada de um produto Sejam u e v funções e h a função definida por h = u.v. Se u’e v’existem,então h’(x) = uv’+u’v ou (uv)’=uv’+u’v.Exemplos:a) f(x) = ( 2x3 - 1 ) . ( x4 + x2 )b) f(x) = x3 . ( 2x2 - 3x )6) Derivada de um quociente Sejam u e v funções e h a função definida por: u h vSe u’e v’existem, então:
  9. 9. vuuv h( x)  v2 (v  0)ou  u  vuuv    2  v v (v  0)Exemplos: 2x  5a) f ( x)  4x x2b) f ( x )  x 17) Derivada da função composta y = uv então dy/dx = y’= v.uv-1.u’Exemplos:a) y = (x2 + 5x + 2)7b) y  3 6x 2  5x  16 - Derivadas das funções elementares1) Derivada da função exponencialf(x) = ax a>0 e a1 A função exponencial y = ax é derivável em todo ponto do seu domínio e xy’= a . lna .Em particular: Se y = ex então dy/dx = y’= ex.
  10. 10. Fórmulas Gerais1) y = au(x)  y’= au(x). lna . u’(x)2) y = eu(x)  y’= eu(x) . u’(x)Exemplos:1) y  2 4 x 2 x2) y  e 4 x 33) y  e x4) y  x. e 4 x 22) Derivada da função logarítmica 1 Se y = log a x (a>0, a1 e x>0) então y  log a e (a>0 e a1). x uDe modo geral: y  log a u  y  log a e u 1Caso Particular: Se y  ln x  y  x uDe modo geral: Se y  ln u  y  uExemplos:a) y = ln (2x2+4x -3)b) y  e x.ln xc) y  log 2 (3x 2  7 x  1)
  11. 11. Derivada das funções trigonométricas As funções senx, cosx, tgx, cotgx, secx e cosecx são deriváveis em todos os pontos do seu domínio. a) Derivada da função seno Se y = sen(x) então dy/dx= y = cos(x) De modo geral: Se y = sen u(x) então dy/dx = y = cos u(x) . u (x) b) Derivada da função cosseno Se y = cos(x) então y = dy/dx= -sen(x) De modo geral: Se y = cos u(x) então y = - sen u(x) . u (x) c) Derivadas das demais funções trigonométricas (tgx, cotgx, secx e cosecx) Como as demais funções trigonométricas são definidas a partir do seno e do cosseno podemos usar as regras de derivação para encontrar suas derivadas.  Se y = tgx  y = sec2x  Se y = cotgx então y = - cossec2x  Se y = secx então y = secx . tgx  Se y = cossecx então y = - cossecx . cotgx De modo geral  Se y = tg u(x)  y = sec2 u(x) . u (x)  Se y = cotg u(x)  y = - cossec2 u(x) . u (x)  Se y = sec u(x)  y = sec u(x) . tg u(x) . u (x)  Se y = cossec u(x)  y = - cossec u(x) . cotg u(x) . u (x) Exemplos: Determinar a derivada das seguintes funções: a) y = sen x2 1b) y  cos   xc) y  3tg x  cot g 3x
  12. 12. cos xd)y  1  cot gx3) Derivada das funções trigonométricas inversasa) Função arco seno uy  arcsen u  y  1 u2b) Função arco cosseno  uy  arccos u  y  1 u2c) Função arco tangente uy  arctgu  y  1 u2d) Função arco cotangente  uy  arc cot gu  y  1 u2e) Função arco secante uy  arc sec u  y  u u 2 1f) Função arco cossecante  u y  arccos sec u  y  u u 2 1Exemplos:a) f(x) = arc sec x2b) f(x) = arc sen (e2x)
  13. 13. c) f(x) = ln (arc cosx) 1 x2 d) y = arc tg  1 x2    Calcule as derivadas abaixo:1)Utilizando o formulário calcule as derivadas abaixo:a) f(x) = 1 – 4x2 b) f( x) =2x2 –x –1 c)f(x) = x d) f(x) = 3x +2e) f (r )  r 2 f) f( w) = aw2 + b g) f(x) = 3x2 + 6x – 10 1 3h) f ( x)  14  x i) f(x) = (2x + 1 ) ( 3x2 + 6) 2j) f(x) = (3x5 – 1) ( 2 – x4) 1) l) f ( x)  ( x 2  1)(3x  1) 2t  4m) f( x) = 7(ax2+bx+c) n) f (t )  o) f (w)  2  w 2 3t  1 2p) f(x) = 30 q) f(x) = 3x r) f(x) = 5x s) f ( x)  x 3 5 1 3 3 2 3t  5t  1 2 t) f(x) =  5 u) f(x) = x  x  2x v) f(t) = x 4 x 3 2 t 12) Use as regras básicas de derivação e encontre as seguintes derivadas. xa) f(x) = 2 b) f (x) = x 5  3x 3  5x c) f (x) = x 2  12 x 1 3d) f ( t ) = 4t 3  5t  e) f ( x) = e 2 x  5 x  sen(4 x) tf) f ( x ) = ln( x 2  2 x  2) g) f( x ) = 3 h) f(x) = 2 – x + x2.
  14. 14. Segunda listaa ) y  2e 3 x  6 x  7 2 1 1  g ) y  ln   2 b) f ( x )  e x x x c) f ( x)  23 x 6 x h) y  log 3 x  1 2 1 i) y  2 cos x 2 .sen2 xd ) f ( x )  e 3 x 3 j ) f ( x)  e 2 x . cos 3x xe) f ( x)  e .( x 2  5 x) 2 1 l ) f ( x)  cot g    cos sec 3x f ) y  log 2 (2 x  4)  x m) y  t. arccos 3t 1 1 g ) y  ln   2  x x DERIVADAS SUCESSIVASProblema:Uma partícula se move ao longo de um eixo de acordo com lei de movimentoS = f(t). Encontre: ds dva) v = b) a = para as funções abaixo dt dt gt 21) s = t 3  2t 2 2) s = (t 2  1) 1 3) s =  v o t  s 0 onde g, 2vo e s são constantes Notações de derivadas sucessivasY = f(x) Notação Leibniz Operador simplificadaDerivada primeira Y’ = f ’(x) dy d D x f ( x)  D x y  f (x) dx dxDerivada segunda Y’’ = f ’’(x) d2y d2 D 2 x f ( x)  D 2 x y  2 f ( x) dx dxDerivada terceira Y’’’= f’’’(x) 3 d y d3 D 3 x f ( x)  D 3 x y  3 f ( x) dx dxDerivada n-ésima y n  f n (x) n d y dn D n x f ( x)  D n x y  n f (x) dx dxExemplos: 1) Nos exercícios abaixo calcule a primeira e a segunda derivada. a) y  5x 3  4 x  2 b) y  x 3 ( x  2) 2 C) f (u)  7u 5  2u 4 2x 2 1 d) g ( x)  e) f (r )  (r  ) f) f (t )  t 2  2x r t3
  15. 15. 2) se f é uma função definida pela equação y  3x 2  2 x , calcule e simplifique a expressão x 2 y 2 xy 2 y 3) Seja s(t) = t 3  6t 2 a função de posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo s, onde s(t) está em metros e t em segundos. Ache a aceleração instantânea a(t) e mostre o gráfico da aceleração versus o tempo. 4) Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que suadistância s(t) do solo durante os 10 primeiros segundos de vôo é dada pors(t) = 6 + 2t + t2, na qual s(t) é contada em metros e t em segundos. Determinea velocidade do balão quando:a)t = 1; t = 4 , t = 8APLICAÇÕES DA DERIVADAREGRA DE L’HOPITAL 0  Para as formas de indeterminação ; , pode-se aplicar a regra de 0 L’Hopital que consiste na igualdade: f ( x) f ( x) f ( x0 )  g ( x0 )  0lim  lim sex  x0 g ( x ) x  x0 g ( x ) f ( x0 )  g ( x0 )  Exemplos:Calcule os limites abaixo: x2  4 ln x 1 x7 1a) lim b) lim 3 c) lim (1  ) x d) lim e) x 2 x  2 x  x x  x x 1 x  1 5x 4  2 x  1 x3 x 2  25 lim f) lim g) lim h)x   4 x 3  3 x  2 x  e x  x 2  2 x 5 x5 3x  1 x 2  2x  5lim i) limx   x5 x   x2  2OBS.: Não esquecer que a regra de L’Hopital só pode ser aplicada para os 0 casos de indeterminação ; 0 
  16. 16. FUNÇÃO MONÓTONA Teorema 1 Considere que a função f seja definida e contínua no intervalo I e que f seja diferenciável em todo o ponto do intervalo em I, não necessariamente nos pontos extremos de I. a) Se f ’(x) > 0 para todo x em I, então f é CRESCENTE em I; b) Se f ’(x) < 0 para todo x em I, então f é DECRESCENTE em I.Exemplos: 1) Determine as intervalos crescentes e decrescentes das funções abaixo e represente graficamente a) f(x) = x 3  3x  1 b) f(x) = x 2  2 x  3 CONCAVIDADE DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Seja a função f duas vezes diferenciável num intervalo I aberto a) se f ’’ (x) > 0 para todo x em I então o gráfico de f possui concavidade para cima em I; b) se f ’’ (x) < 0 pata todo x em I então o gráfico de f possui concavidade para baixo em I; Conclusão: f ’’ (x) > 0 – concavidade para cima f ’’ (x) < 0 - concavidade para baixo Exemplos: 1) Dado a função f(x) = x 3  9 x 2  24 x  20 , determine os intervalos em que o gráfico tem concavidade para cima e para baixo, esboce o gráfico. x2 2) Dado a função f(x) = 2 x 3   7 x  2 , determine: 2 a) Os intervalos crescente e decrescentes; b) Estude a concavidade da parábola.VALORES MÁXIMOS E VALORES MÍNIMOS RELATIVOS
  17. 17. A figura acima nos mostra o gráfico de uma função y = f(x), ondeassinalamos os pontos de abscissas x1, x2, x3, x4. Esses pontos são chamados pontos extremos da função. f(x1) e f(x3)são chamados máximos relativos e f(x2) e f(x4) são chamados mínimosrelativos. Diz-se que uma função y = f(x) tem um máximo relativo ou máximolocal em x = a se f(a) é maior do que qualquer valor de f(x) para x, dentro deum intervalo em torno de a. Diz-se que uma função y = f(x) tem um mínimo relativo ou mínimolocal em x = a se f(a) é menor do que qualquer valor de f(x) para x, dentrode um intervalo em torno de a. Observe que um máximo ou mínimo relativo de uma função é o seumáximo ou mínimo para um dado intervalo; o máximo ou mínimo absolutosde uma função em um intervalo maior pode ocorrer num ponto extremo dointervalo, ao invés de ocorrer em qualquer máximo ou mínimo relativo.Observações:a) Os máximos e os mínimos relativos de uma função denominam-se extremos;b) Um máximo relativo pode ser menor que um mínimo relativo;c) Em um intervalo podem existir vários valores para os quais a função tem valores extremos;d) A abscissa x0 onde a função tem um extremo denomina-se extremante.MÁXIMO RELATIVO: Uma função f possui o máximo relativo ( o máximo local), em um pontoc, se existe um intervalo aberto I contendo c tal que f seja definida em I e f( c) f ( x) seja verdadeira para todo x em I.MÍNIMO RELATIVO; Uma função f possui um mínimo relativo ( ou mínimo local) em umponto c, tal que f seja definida em I e f(c )  f(x), seja verdadeira para todo xem I.TESTE DA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS Seja a função f diferenciável no intervalo aberto I e suponha que c seja um ponto em Ital que f ’( c) =0 e f ” ( c) exista. 1) Se f ” ( c) > 0, então f possui um mínimo relativo em c; 2) Se f ” ( c) < 0, então f possui um máximo relativo em c.Exemplos:Encontre os máximos e os mínimos relativos de f aplicando o critério daderivada segunda.a) f(x) = 18x + 3x2 - 4x3PONTO CRÍTICODiz-se que um ponto c é um ponto crítico para a função f quando f é definidaem c, mas não é diferenciável em c, ou f ’ (c) = 0Exemplo:
  18. 18. x31) Determine os pontos críticos da função f ( x)   2 x 2  3x  10 3PONTO DE INFLEXÃO: f ’’ (x) = 0Um ponto ( c, f ( c) ) num intervalo é denominado ponto de inflexão do gráficode uma função f se o gráfico tiver uma reta tangente nesse ponto e se houverum intervalo aberto I contendo o ponto c, tal que, para todo par de númerosreais a e b em I com a < c < b, f ’’ (a) e f ’’ ( b) existem e possuem sinaisalgébricos diferentes.Exemplos:Dado a função f(x) = x 3  3x 2  5 , encontre: a) Intervalos crescentes e decrescentes; b) Concavidade do gráfico; c) Ponto máximo e ponto mínimo; d) Ponto de inflexão; e) Construa o gráfico. 3) Dado as funções abaixo determine todos os itens do exemplo anterior. a) f(x) = x 3  6 x 2  9 x b) g(x) =  x 2  2 x c) g(x) = 3x  4 x  12 x 4 3 2APLICAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOSA teoria de máximos e mínimos permite resolver vários problemas concretos deFísica, Geometria, Estatística em que se procuram: o menor custo, a maiorárea, o maior volume, a máxima altura, etc.DESAFIO:Vamos resolver o nosso problema da primeira aula:Tome uma folha de papel sulfite e intuitivamente ( por tentativa) dobre as laterais de modo quevocê obtenha uma caixa. Que altura deve ser dobrado para obter volume máximo? Com oprofessor mediante o cálculo pelas derivadas verifique quem conseguiu a maior aproximação.Agora vamos resolver o problema aplicando os conhecimentos da integral.Outros exemplos:1) Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de papelãomedindo 8 cm de largura por 15 cm de comprimento, e uma caixa sem tampa é construídavirando os lados para cima. Determine o comprimento x dos lados que devem ser cortadospara confecção de uma caixa de volume máximo.1) Uma lata cilíndrica de estanho sem tampa, tem volume de 5 cm 3. Determine as dimensões se a quantidade de estanho para a fabricação da lata é mínima.
  19. 19. 2) Quais as dimensões de um retângulo de perímetro 48 cm que tem maiorárea?3) Com uma folha retangular de cartolina se quer construir uma caixa demáximo volume possível, cortando um quadrado em cada canto, conformeindica a figura: x xAs dimensões da folha são 60 cm e 40 cm. a) calcular x b) calcular o volume máximo da caixa4) Considere todos os retângulos de 80 cm de perímetro. Determine asdimensões daquele que tem área máxima.
  20. 20. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Supondo que a relação F ( x, y) = 0 é verificada para y = f ( x) , onde fé derivável, pode –se achar f ’(x ) em função de f ( x) derivando a expressão F( x, f(x )) = 0. Na prática escreve-se y’ em lugar de f’(x).Dada uma equação na qual se estabelece y implicitamente como uma funçãodiferenciável de x, calcula-se dy/dx do seguinte modo: Passo 1 :Diferencie ambos os membros da equação em relação a x, istoé, aplique o operador d/dx aos dois membros da equação termo a termo. Aofazê-lo tenha em mente que y é encarado como uma função de x e use aregra da cadeia quando necessário para diferenciar a expressão nas quaisfigure y. Passo 2 : O resultado do passo 1 será uma equação onde figure nãosomente x e y, mas também dy/dx. Resolva tal equação para obter a derivadadesejada.Exemplo:a) Use a diferenciação implícita para encontrar y’ :1 ) x 3  3x 2 y 4  4 y 3  6 x  12) x 2  y 2  1  0 x2 y23)  1 4 94) x 4  y 4  x 2 y 2 x2 y25)  1 a2 b2

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