Ap matemática m3

14,746 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
14,746
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
6
Actions
Shares
0
Downloads
245
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Ap matemática m3

  1. 1. Matemática Matemática I Trigonometria ......................................................... 3 Números Complexos ............................................ 21 Equações Algébricas ........................................... 28 Matemática  II Estudo Analítico da Reta ..................................... 32 Estudo Analítico da Circunferência ...................... 40 Limite ................................................................... 46 Derivada .............................................................. 51  no Código Penal, Artigo 184, parágrafo 1 e 2, com  A reprodução por qualquer meio, inteira ou em parte, venda,  exposição  à  venda,  aluguel,  aquisição,  ocultamento,  autorização do detentor dos direitos autorais é crime previsto  empréstimo,  troca  ou  manutenção  em  depósito  sem  multa e pena de reclusão de 01 a 04 anos. M3  JOSÉ AUGUSTO DE MELO 
  2. 2. Anotações
  3. 3. Tecnologia              ITAPECURSOS  TRIGONOMETRIA 1­ RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO  Dado o triângulo retângulo ABC, definimos:  ­ Seno de um ângulo agudo a cateto oposto  a  a Sen a = hipotenusa  ˆ  b  ˆ  c  Assim:  Sen B = e  Sen C = a  a  ­ Cosseno de um ângulo agudo a cateto adjacente  a  a Cos a = hipotenusa  ˆ  c  e  Cos C = b  Assim: Cos B = ˆ  a  a  ­ Tangente de um ângulo agudo a cateto oposto a  a tg a = cateto adjacente  a a  ˆ  b  ˆ  c  Assim:  tgB = e  tgC = c  b 2 ­ ALGUMAS RELAÇÕES ENTRE AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS  c  b  a)  sen a = ,  cos a = a  a  c 2  2  b  sen 2  a + cos  a = 2  2  + 2  a  a  2 2  c 2  + b  2  2  a  sen  a + cos  a = = , ou seja:  = 1  a 2  2  a  2 2 sen  a + cos  a = 1  sen a c / a  sen a c  b)  = ; = = tg  a cos a b / a  cos a b  sen a tg  = a cos a c)  a + b = 90 o  o  b = 90  - a c  c  sen a = cos b = sen a = cos(  o - a )  90  a  a  o (  o Cos  90  - a ) = Sen  a De modo análogo, prova­se que sen(  90  - a ) = cos a (  o  Sen  90  - a ) = Cos  a Matemática ­ M3  3 
  4. 4. Tecnologia             ITAPECURSOS 3 ­ UM PEQUENO COMENTÁRIO  As razões trigonométricas definidas até agora são válidas apenas para ângulos agudos de um triângulo retângulo.  Necessidades práticas exigem que definamos essas razões para ângulos arbitrários e até mesmo para números  reais quaisquer. Para que isso seja possível, definiremos novamente essas razões, substituindo o ângulo por  um arco e o triângulo retângulo por uma circunferência. Veja a seguir. 4­ MEDIDA DE ARCOS  Chama­se arco a cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos.  B  B  A = B  A = B  A  A  Observação:  Se A = B obtemos dois arcos: o arco nulo e o arco de uma volta.  A medida de um arco AB na unidade PQ é por definição:  compriment  AB  o  med. AB  = compriment  PQ  o  ­ Unidades mais usadas  1  a) Grau: arco unitário equivalente a  da circunferência.  360  b) Radiano: arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém.  Observação:  Para converter uma unidade de medida em outra lembre­se que 180° = prad.  ­ Comprimento de um arco  Seja a a medida em radianos do arco AB (ou do ângulo central AÔB).  Compriment  AB  o  med. AB (  ) = rad  Compriment  do raio  o  r l a= r  l = r . a (a em rad.) 5 ­ A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA  Seja x0y um sistema de coordenadas no plano. Com centro em O,  tracemos uma circunferência de raio 1. Consideramos o ponto A como  a origem de todos os arcos tomados sobre essa circunferência. Arcos  percorridos no sentido anti­horário serão considerados como tendo  medida algébrica positiva e arcos percorridos no sentido horário serão  considerados negativos. A uma tal circunferência, denominamos de  circunferência trigonométrica. 6 ­ ARCO TRIGONOMÉTRICO  Se P é um ponto da circunferência trigonométrica, ele determina uma  infinidade de arcos com origem A e extremidade P. Se O £ a < 2  é a  p medida de AP em radianos, chamamos de arco trigonométrico AP ao  conjunto de valores do tipo a + 2Kp, com K inteiro. A a chamaremos  de 1ª determinação positiva de AP.  4  Matemática ­ M3 
  5. 5. Tecnologia              ITAPECURSOS  o  o  Obs.: Se  0 £ a < 360  , o arco trigonométrico será representado por  a + K . 360  Observe que um arco trigonométrico é uma família de arcos com origem A e extremidade P que são obtidos  dando­se voltas na circunferência no sentido positivo ou negativo. No que se segue, procuramos sempre trabalhar  com a 1ª determinação positiva do arco trigonométrico. 7 ­ SENO E COSSENO  Podemos agora definir o seno e o cosseno de qualquer arco.  Seja a a primeira determinação positiva do arco trigonométrico AP. Como P está num sistema de coordenadas,  ele tem uma abscissa (OQ) e uma ordenada (OR).  Definição:  a) cos a = OQ (abscissa de P)  b) sen a = OR (ordenada de P)  Observe que:  a) ­1 £ cos a £ 1 ­1 £ sen a £ 1 b) Sinal do seno  d)  O  seno  é  crescente  no  1º e  no  4º quadrantes  e  decrescente no 2º e 3º quadrantes.  e)  O  cosseno  é  crescente  no  3º e  no  4º quadrantes  e  decrescente no 1º e 2º quadrantes.  f) No triângulo OPQ temos:  PQ = sen x, OQ = cos x e OP = 1  Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos  2  2  sen  x + cos  x = 1.  c) Sinal do Cosseno 8 ­ TANGENTE E COTANGENTE  Veja que os triângulos OPP  e OAT são semelhantes.  1  Logo, podemos dizer que:  AT PP 1  tgx sen x  = e substituindo  = OA  OP  1  1  cos x  tg x = AT  Com um raciocínio semelhante, você mostra que:  cotg x = BS  cos x  cotg x =  sen x  Matemática ­ M3  5 
  6. 6. Tecnologia             ITAPECURSOS ­ Considerações importantes  a)  A  tg  x  e a  cotg  x  podem  assumir  qualquer  d) A tangente dos arcos com extremidades em B ou  valor real.  p b) Sinal da tangente.  B’ não existe ou seja, só existe tg x se x  ¹ + k  p 2  (ou em graus x ¹ 90° + k . 180°).  e) A cotangente dos arcos com extremidade em A  ou  A’  não  existe  ou  seja,  só  existe  cotg  x  se c) Sinal da cotangente.  x  ¹ k  (ou x  ¹ k . 180  ).  p °9 ­ SECANTE E COSSECANTE  Se x é um arco para o qual sen x ¹ 0 e cos x ¹ 0, definimos:  D.1) Secante  1  sec x  = cos x  D.2) Cossecante  1  cos sec x  = (obs.: cossec x = csc x)  sen x  Representação geométrica  sec x = OQ  cossec x = OR  Observe que:  a) sec x £ ­1 ou sec x ³ 1  csc x £ ­1 ou csc x ³ 1  b) O sinal da secante coincide com o sinal do cosseno e o sinal da cossecante  coincide com o sinal do seno.  p c) Só existe sec x, se x  ¹ + k  , k inteiro. Só existe csc x, se x  ¹ k  , k inteiro.  p p 2 10 ­ REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE  As simetrias apresentadas pelas extremidades dos arcos trigonométricos nos permitem calcular as razões  trigonométricas de qualquer arco, usando sempre um arco do 1º quadrante.  A) Arcos do 2º quadrante.  Se x está no 2º quadrante, o seu simétrico em relação ao eixo Oy está no 1º quadrante e pode ser achado calculando­se 180° ­ x ou p ­ x, conforme x  seja dado em graus ou radianos.  Não é difícil provar  que as razões trigonométricas de 180° ­ x  e x têm o  mesmo valor absoluto. A determinação do sinal das razões trigonométricas  de x é feita pelo que já aprendemos anteriormente. 6  Matemática ­ M3 
  7. 7. Tecnologia              ITAPECURSOS Exemplos: Reduza ao 1º quadrante. a) sen 110º Solução:  110º está no 2º quadrante. Seu simétrico será  180º ­ 110º = 70º  Como no 2º quadrante o seno é positivo teremos:  sen 110º = sen 70º b) cos 874º Solução:  874º  360º  154º  2  Então, cos 874º = cos 154º  Simétrico de 154º = 180º ­ 154º = 26º  No 2º quadrante, o cosseno é negativo. Logo, cos 874º =  cos 154º = – cos 26º.  2 pc)  tg = 3 Solução:  2p 2p p está no 2º quadrante, seu simétrico é  p - = 3  3  3  2  p p No 2º quadrante, a tangente é negativa, logo:  tg = - tg  3  3 B) Arcos do 3º quadrante  Se x está no 3º quadrante, use o seu simétrico em relação à origem, calculando x ­ 180° ou x ­ p . Exemplo:  Reduza ao primeiro quadrante: sec 220° Solução:  220° está no 3º quadrante.  Seu simétrico será 220° ­ 180° = 40°.  No 3º quadrante a secante é negativa, logo:  sec 220° = ­sec 40°. C) Arcos do 4º quadrante. Exemplo: Reduza ao 1º quadrante: sen 310°. Solução: 310° está no 4º quadrante. Seu simétrico é 360° ­ 310° = 50°. No 4º quadrante o seno é negativo. Logo: sen 310° = ­sen 50°. Matemática ­ M3  7 
  8. 8. Tecnologia             ITAPECURSOS 11 ­ ARCOS OPOSTOS  cos (­x) = cos x  sen (­x) = ­sen x  tg (­x) = ­tg x  cotg (­x) = ­cotg(x)  sec (­x) = sec x  cossec (­x) = ­cossec x 12 ­ RELAÇÕES FUNDAMENTAIS  As definições dadas anteriormente nos permitem deduzir uma série de relações entre o seno, o cosseno, a  tangente e as outras funções circulares. Dentre essas, nos interessam mais de perto um grupo de oito relações  independentes, que denominaremos de relações fundamentais.  sen x  1  2  2  R.1)  tgx = R.4)  sec x  = R.7) 1 + tg  x = sec  x  cos x  cos x  cos x  1  2  2  R.2) cotg x =  R.5)  cos sec x  = R.8) 1 + cotg  x = cossec  x  sen x  sen x  1  R.3) cotg x =  2  2  R.6) sen  x + cos  x = 1  tgx  As relações R.1, R.2, R.4 e R.5 são provadas facilmente usando  semelhança de triângulos. Como exemplo, provemos R.4.  Os triângulos OPB e OAB são semelhantes, pois:  PB  = O ˆ B  (retos)  ˆ O  A  PO  = A ˆ B  (comuns)  ˆ B  O  Logo:  OP OB  sec x  1  = e substituindo,  = OB  OA  1  cos x  1  ou  sec x  = cos x  A relação R.3 é conseqüência imediata de R.1 e R.2. Provemos R.6.  2  2  Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo OAB, obtemos: sen  x + cos  x = 1.  Para provar R.7, partimos de sen  x + cos  x = 1. Para cos x ¹ 0, obtemos:  2  2  2 2  sen  x  cos  x  1  2  2  2  + 2  = 2  e daí:  tg  x + 1 = sec  x  cos  x  cos  x  cos  x  De modo análogo, prova­se R.8.  Fique atento às seguintes observações:  2  2  a) Apenas a relação sen  x + cos  x = 1 é válida para todo x. As demais possuem restrições. Por exemplo,  2  2  p 1 + tg  x = sec  x só vale para x  ¹ + k  , pois para esses valores existe a tg x e a sec x. Procure achar  p 2  os valores de x para os quais as demais relações são válidas.  b) É importante que você saiba que o x pode representar qualquer arco. Assim, podemos dizer que:  2  2  sen  50º + cos  50º = 1  2  2  1 + tg  3a = sec  3a e assim por diante.  2  2  c) De cada relação você pode tirar outras. Assim, por exemplo, de sen  x + cos  x = 1, conclui­se que  1 ­ sen  2  x = cos  x. 2  8  Matemática ­ M3 
  9. 9. Tecnologia              ITAPECURSOS  21. (AMAN­RJ) Se  tg  q = 3  e 0  £ q £ 90  , então o valor de sen q é:  ° ° 2  3  1  a)  b)  c)  2 - 2  d)  e) n.r.a.  2  2  2 Solução:  1  tg  q = sec 2  q ; 1  3 = sec 2 q ; sec 2  q = 4  + 2 + 1  1  2 1  De sec 2  q = 2  2  vem cos  q = 2  e então  cos  q = cos  q sec  q 4  2 2  2 1  Mas,  sen  q + cos  q = 1  e então  sen  q + = 1 e daí:  4  2 3 . Como está no 1º quadrante e no 1º quadrante sen q > 0, vem sen q = 3 sen  q = q 4  2 Resposta: b  m 2. Para que valores de m a equação  cos x  = + 1 é possível?  4 Solução:  m  Como  - 1 £ cos x  £ 1 , devemos ter:  -1£ + 1 £ 1 ;  - 4 £ m + 4 £ 4  4  - 8 £ m £ 0  sec  x . cos sec 2 x - tg  x - 1  2 2 3. (UFU­MG) O valor numérico da expressão:  y = , para  cos x = 1  é:  2  cot g  x  4  1  16  15  a)  b) 16  c)  d)  e) ­16  16  16  16 Solução:  sec 2 x . cos sec 2  x - (  2 x + 1  cossec  tg  )  sec 2 x . cos sec 2  x - sec 2  x  cossec y  = 2  ;  y  = cot g  x  cos sec 2  x - 1  sec 2 x  (cos sec 2  x - 1  )  2  1 y  = 2  ; y = sec  x;  y  = = 16  2 cos sec  x - 1  cos  x Resposta: b 4. Demostre a identidade  2  cossec 2  2  2  sec  x  .  cos sec  x = sec  x + cos sec  x Solução:  2  2  Seja y = sec  x + cossec  x. Então:  2 2  1  1  sen  x + cos  x  y  = 2 + 2  ;  y  = 2  2  cos  x  sen  x  cos  x . sen  x  1  1  1  2  2  y  = 2 2  ;  y  = . = sec  x . cossec  x  2 2  cos  x . sec  x  cos  x  sen  x  Matemática ­ M3  9 
  10. 10. Tecnologia             ITAPECURSOS  2  2  y = sec  x . cossec  x  5. Calcule m para que se tenha simultaneamente  sen x = m ­ 1 e cos x = m .  3  Solução:  2  2  sen  x + cos  x = 1  2  2  (m ­ 1)  + (m .  3 )  = 1  2  2  m  ­ 2m + 1 + 3m  = 1  2  1  4m  ­ 2m = 0, que resolvida dá m = 0 ou m =  2  Como ambos satisfazem à condição  - 1 £ sen x £ 1  e  - 1 £ cos x  £ 1 , teremos:  1  Resposta: m = 0   ou   m =  2 13 ­ FÓRMULAS DE ADIÇÃO  Daremos a seguir um conjunto de fórmulas que vão nos   possibilitar calcular as funções trigonométricas de  arcos do tipo a + b e a ­ b. As demonstrações serão omitidas.  sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a  sen (a ­ b) = sen a . cos b ­ sen b . cos a  cos (a + b) = cos a . cos b ­ sen a . sen b  sen (a ­ b) = cos a . cos b + sen a . sen b  tg  + tg  a  b  tg  - tg  a  b  tag(  + b  = a  )  tag(  - b  = a  )  1 - tg  . tg b  a  1 + tg  . tg b  a  1. Calcule sen 15°.  Solução:  y = sen 15° = sen (45° ­ 30°)  y = sen 45° . cos 30° ­ sen 30° . cos 45°  2  3  1  2  6  - 2  y= .  - . Þ y = 2  2  2  2  4  p 2. Sendo a ­ b =  , calcule o valor da expressão:  3 2  2  y = (sen a + cos b)  + (sen b ­ cos a)  Solução:  2  2  2  2  y = sen  a + 2sen a cos b + cos  b + sen  b ­ 2sen b cos a + cos  a  2  2  2  2  y = (sen  a + cos  a) + (sen  b + cos  b) + 2(sen a cos b ­ sen b cos a)  p y = 1 + 1 + 2 sen (a ­ b), e como a ­ b =  ,  3 p 3  y = 2 + 2 sen  ; y = 2 + 2 .  ; y = 2 +  3 3 2  1 0  Matemática ­ M3 
  11. 11. Tecnologia              ITAPECURSOS  3. (SANTA CASA ­ SP) Se sen 61º = m, o valor da expressão y = sen 16º + cos 16º é:  a) m  b) 2m  c)  2  m  d)  2  m  e)  2  m  Solução:  61º = 45º + 16º. Portanto,  se sen 61º = m, vem:  sen (45º + 16º) = m  sen 45º cos 16º + sen 16º . cos 45º = m  2  2  cos 16º +  sen 16º = m  2  2  2  (cos 16º + sen 16º) = m  2  2m  cos 16º + sen 16º =  ® y =  2  . m  2  Resposta: c  Kp14 ­ SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES COM ARCOS DO TIPO K  ± X  E  p ± X  2  Com o uso das fórmulas de adição, pode­se deduzir algumas regras que nos permitem simplificar expressões  Kp com arcos do tipo K  ± x ou  p ± x . Assim teremos:  2 A) Arcos da forma  Kp ± x  Regra prática:  ­ A função é mantida  ­ Suponha x no 1º quadrante.  ­ Localize o quadrante do arco  K p ± x e dê o sinal conveniente.  Exemplos:  a) sen ( p ­x)  Solução:  Como estamos supondo x no 1º quadrante p ­ x estará no 2º quadrante, onde o seno é positivo; logo,  sen ( p ­ x) = sen x  b) tg ( p ­ x)  Solução: p ­ x “está” no 2º quadrante onde a tangente é negativa. Logo tg ( p ­ x) = ­ tg x  c) Cos ( p + x)  Solução:  Se  x  está  no  1º quadrante, p +  x  está  no  3º quadrante,  onde  o  cosseno  é  negativo.  Portanto,  Cos ( p + x) = ­ Cos x  d) Cotg (2 p ­ x)  Solução:  2 p ­  x  será  um  arco  do  4º quadrante,  concorda?  No  4º quadrante,  a  cotangente  é  negativa  e  então  cotg (2 p ­ x) = ­ cotg x Matemática ­ M3  1 1 
  12. 12. Tecnologia             ITAPECURSOS  KpB) Arcos da forma  ± x  2  Regra prática  ­ Considere x no 1º quadrante.  ­ Troque a função pela sua co­função.  Kp ­ Localize o quadrante de  ± x  e dê o sinal conveniente.  2  Exemplos:  p a) Sen (  ­ x)  2 Solução:  p p Como  ­ x é do 1º quadrante, o seno é positivo, logo sen (  ­x) = cos x (troque o seno pelo cosseno)  2 2 p b) Cos (  + x)  2 Solução:  p p + x é do 2º quadrante, onde o cosseno é negativo, logo:  cos (  + x) = ­ sen x  2 2 3p c) tg (  + x)  2  Solução:  3p + x está no 4º quadrante, onde a tangente é negativa.  2  3p tg (  +x) = ­ cotg x  2  3p d) Cossec (  ­ x)  2  Solução:  3p ­ x está no 3º quadrante onde a cossecante é negativa.  2  3p Cossec (  ­ x) = ­ sec x  2  1 1. Se sen  a = , o valor de sen (25 p + a ) ­ sen (88 p ­ a ) é:  3  1  2  1 3 a) 0  b)  c)  d)  - e)  - 3  3  3  2  Solução:  Como uma volta completa na circunferência trigonométrica mede 2 p , observe que de 2 p em 2 p radianos,  os valores das funções trigonométricas se repetem.  Assim, se f é uma função trigonométrica, f(x + k. 2 p ) = f(x). Assim:  sen (25 p + a ) = sen (12 . 2 p + p + a ) = sen ( p + a ) = ­ sen a sen (88 p ­ a ) = sen (44 . 2 p ­ a ) = sen (­ a ) = ­ sen a Logo, a expressão dada equivale a:  sen (25 p + a ) ­ sen (88 p ­ a ) = ­sen a ­ (­sen a ) = ­sen a + sen a = 0  Resposta: a 1 2  Matemática ­ M3 
  13. 13. Tecnologia              ITAPECURSOS  p p p 2. (FATEC­SP) Se S = sen ( p ­ x) . cos (  ­ x) + tg (x ­  ) . cos (  + x) . cos (2 p ­ x) então para todo x real, 2 2 2 x  ¹ K p ,  K Î Z , S é igual a:  a) ­2  b) ­1  c) 0  d) 1  e) 2  Solução:  Observe que:  sen ( p ­ x) = sen x  p Portanto:  cos (  ­ x) = sen x  2 S = sen x . sen x + (­cotg x) . (­sen x) . cos x  p p tg (x ­  ) = ­tg (  ­ x) = ­ cotg x  cos x  2 2 2  S = sen  x +  . sen x . cos x  p sen x  cos (  + x) = ­ sen x  2  2  S = sen  x + cos  x  ;  S = 1  2 cos (2 p ­ x) = cos x  Resposta: d 15 ­ FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO  Usando as fórmulas de adição, prova­se que:  a) sen 2x = 2 sen x cos x  2  2  b) cos 2x = cos  x ­ sen  x  2  cos 2x = 1 ­ 2 sen  x  2  cos 2x = 2 cos  x ­ 1  2 tg x  c) tg 2x =  2 1 - tg  x  Como sugestão para você, vamos provar a fórmula sen 2x = 2 sen x cos x. Para isso, façamos na  fórmula sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a, a = b = x. Obteremos:  sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos x  sen 2x = 2 sen x cos x Atenção: Essas fórmulas podem aparecer sob diversas formas. O importante é que o arco que aparece no  primeiro membro seja o dobro do arco que aparece no 2º membro. Assim é correto afirmar que:  sen 6x = 2 sen 3x cos 3x  2  2  cos 4x = cos  2x ­ sen  2x  x  x  sen x = 2 sen  cos  2  2  1  1. Se sen x ­ cos x =  , calcule:  5  a) sen 2x  b) sen x + cos x  Solução:  1  a) De sen x ­ cos x =  , obtemos:  b) Seja y = sen x + cos x. Então:  5  1  2  2  2  y  =sen  x + cos  x + 2 sen x cos x  2  (sen x ­ cos x)  =  ;  25  2  y  = 1 + sen 2x  2  2  1  sen  x  + cos  x ­ 2 sen x cos x =  25  24  2  49  7 2  y  = 1 +  ; y  =  ; y =  ± 1  24  25  25  5  1 ­ sen 2x =  ; sen 2x =  25  25  Matemática ­ M3  1 3 
  14. 14. Tecnologia             ITAPECURSOS  2. (FUVEST­SP) O valor de (sen 22º30’ + cos 22º30’) 2 é:  3  2 + 3  2 + 2  a)  b)  c)  d) 1  e) 2  2  2  2  Solução:  y = (sen 22º30’ + cos 22º30’) 2  2  2  y = sen  22º30’ + cos  22º30’ + 2 sen 22º30’ . cos 22º30’  y = 1 + sen 45º  2  2 + 2  y = 1 +  ; y =  2  2  Resposta: c 16 ­ FÓRMULAS DE DIVISÃO  2  Como vimos, cos 2a = 1 ­ 2 sen  a. Logo, fazendo a = x/2, obtemos:  2  x  cos x = 1 ­ 2 sen  e daí:  2  x  1- cos x  sen  =  ± 2  2  x  Para decidir sobre qual sinal usar, localize o quadrante no qual se localiza o arco  .  2  De modo semelhante, prova­se que:  x  1+ cos x  x  1 - cos x  cos  =  ± e  tg =± 2  2  2  1 + cos x  1. Calcule cos 22°30’  Solução:  Como 22°30’ é um arco do 1º quadrante, teremos:  o 1 + cos 45  cos 22°30’ =  + 2  1+ 2 / 2  2 + 2  cos 22°30’ =  cos 22°30’ =  2  2  2 + 2  cos 22°30’ =  4  Em determinados problemas, é muito útil sabermos expressar o seno, o cosseno e a tangente de um arco  como função do arco metade. Isso pode ser feito usando­se as fórmulas a seguir:  x  x  2 2 tg  1 - tg  2  2  sen x =  cos x =  2 x  2  x  1 + tg  1 + tg  2  2  x  2 tg  2  tg x =  2 x  1 - tg  2  1 4  Matemática ­ M3 
  15. 15. Tecnologia              ITAPECURSOS  x  2 tg  Provemos, como exemplo, a fórmula sen  x  = 2  2 x  1 + tg  2  Demonstração:  x  x  Sabemos que sen  x = 2 sen  cos  e daí:  2  2  sen( x / 2  )  2 x sen x = 2 .  . cos  (  ) cos( x / 2  )  2  x  .  2  x  x  1  sen x = 2 tg  cos  ;   sen x = 2 tg  .  2  2  2  x  sec 2  2  x  x  tg  2 tg  2  2  sen x = 2 .  ;  sen x =  2 x  2 x  1 + tg  1 + tg  2  2 17 ­ FÓRMULAS DE TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO  Como vimos:  De modo semelhante, prova­se que:  sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a  p - q  p + q  sen p ­ sen q = 2 sen  cos  sen (a ­ b) = sen a . cos b ­ sen b . cos a  2  2  Somando  membro  a  membro  estas  igualdades  p + q  p - q  cos p + cos q = 2 cos  cos  obtemos:  2  2  sen (a + b) + sen (a ­ b) = 2 sen a cos b  p + q  p - q  cos p ­ cos q = ­ 2 sen  sen  Se  fizermos  a  +  b  =  p  e  a  ­  b  =  q,  resolvendo  o  2  2  sistema, encontra­se  sen( p + q  )  p + q  p - q  tg p + tg q =  a =  e b =  cos  . cos q  p  2  2  p + q  p - q  sen( p - q  )  Portanto: sen p + sen q = 2 sen  cos  tg p ­ tg q =  2  2  cos  . cos q  p  1. Transforme em produto:  a) y = 2 cos x ­  2  b) y = sen x + cos x  Solução:  2  p a) y = 2 (cos x ­  ); y = 2 (cos x ­ cos  )  Como sen (­x) = ­ sen x, podemos dizer que:  2  4 æ x  p ö æ p x ö æ x + p / 4  x - p / 4 ö sen ç - ÷ = sen ç - ÷ y = 2 ç - 2 sen  . sen  ÷ è 2  8 ø è 8  2 ø è 2  2  ø Portanto, a solução pode também ser dada por:  æ x  p ö æ x  p ö y = ­ 4 . sen ç + ÷ . sen ç - ÷ æ x  p ö æ p x ö è 2  8 ø è 2  8 ø y = 4 sen ç + ÷ .  sen ç - ÷ è 2  8 ø è 8 2 ø Matemática ­ M3  1 5 
  16. 16. Tecnologia             ITAPECURSOS  b) y = sen x  + sen ( p / 2 - x ) æ x + p / 2 - x ö æ x - p / 2 + x ö y = 2 sen  ç ÷ cos ç ÷ è 2  ø è 2  ø p æ pö p 2  y  = 2 sen  cos ç x - ÷ e como sen  = 4  è 4 ø 4 2  æ pö y  = 2  cos  x - ÷ ç è 4 ø Se quisermos transformar um produto em soma, usamos as fórmulas de reversões.  1  a) sen a . sen b =  [sen (a + b) + sen (a ­ b)]  2  1  b) cos a . cos b =  [cos (a + b) + cos(a ­ b)]  2 18 ­ EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS  Para resolver uma equação trigonométrica, tente reduzi­la a uma das equações fundamentais dadas a seguir.  a) Equação do tipo sen x = sen a  Como se vê no diagrama abaixo, todos os arcos com extremidades em a ou p ­ a , satisfazem à equação.  Logo, a solução procurada é:  b) Equação do tipo cos x = cos a  x = a + 2k p ou  A solução é:  x = p ­ a + 2k p a  x = a + 2k p ou x = ­a + 2k p ­ a  c) Equação do tipo tg x = tg a  A solução é:  x = a + k p Observações:  ­ Essas equações são as equações fundamentais. Qualquer outra equação para ser resolvida deve ser  transformada em uma equivalente a uma das equações fundamentais.  ­ Das relações vistas até agora decorre que uma resposta de uma equação pode apresentar várias formas.  ­ Não se esqueça de verificar o domínio de validade da equação. 1 6  Matemática ­ M3 
  17. 17. Tecnologia              ITAPECURSOS 1. Resolva a equação 2 sen x ­ 1 = 0 Solução:  1  p 2 sen x ­ 1 = 0; sen x =  ; sen x = sen  e então:  2  6 p p 5p x =  + 2k p ou  x = p ­  + 2k p , o que dá; x =  + 2k p 6 6 6  p 5pResp.:  x =  + 2k p ou  x =  + 2k p 6 6  p2. Resolva a equação 4 cos x + 3 sec x = 8, no intervalo  0 £ x  £ 2 Solução:  4 cos x + 3 sec x = 8  3  2  4 cos x +  = 8; 4cos  x + 3 = 8 cos x e daí:  cos x  2  4 cos  x ­ 8 cos x + 3 = 0 D = 64 ­ 48 = 16  8 ± 4  1  3  cos x =  ; cos x =  ou cos x =  8  2  2  1  p se cos x =  , x =  2  3 3  se cos x =  , não existe x, pois  - 1 £ cos x £ 1  2  p3. Resolva a equação cotg 2x = cotg (x +  )  4Solução:  A solução da equação cotg x = cotg a é a mesma da equação tg x = tg a, ou seja, x = a + k p . Logo:  p p 2x = x +  + k p ; x =  + k p 4 44. Resolva a equação  3  sen x + cos x =  3  , no intervalo (0, 2 p ). Solução:  3 ± 1  1  Da equação dada tiramos que cos x =  3  ­  3  sen x.  sen x =  ; sen x = 1 ou sen x =  2  2  4  2  Substituindo na igualdade sen  x + cos  x = 1, obtemos:  p 2  2  sen  x + (  3  ­  3  sen x)  = 1  Se sen x = 1, x =  2 2  2  sen  x + 3 ­ 6 sen x + 3 sen  x = 1  2  1  p 5p 4 sen  x ­ 6 sen x + 2 = 0    ou  Se sen x =  ; x =  ou x =  2  2  6 6  2 sen  x ­ 3 sen x + 1 = 0 D = 9 ­ 8 = 1  { Resposta:  S = p 2 , p 6 , 5  6  p } Matemática ­ M3  1 7 
  18. 18. Tecnologia             ITAPECURSOS 19 ­ FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS  Até agora temos falado de seno, cosseno, tangente de um arco (ou ângulo). No entanto, podemos falar de  seno, cosseno e tangente de um número real. Veja:  a) A função seno  É a função f : R ® R definida por f(x) = sen x, onde sen x é  o arco de x radianos.  Propriedades  1  ­ Domínio: R  ­ Imagem: [­1, 1]  0  p p 3 p 2p 2 ­ y = sen x é uma função ímpar (sen (­x) = ­ sen x)  2  ­ 1  2p ­ Se y = a + b sen (cx + d) seu período é p =  c  b) A função cosseno  É a função f : R ® R, definida por f(x) = cos x, onde cos x é o cosseno do arco de x radianos.  Gráfico:  1 Propriedades:  ­ Domínio: R  ­ Imagem: [­1, 1]  0 p 3 p 2p p ­ y = cos x é uma função par (cos (­x) = cos x)  2  2 ­ 1  2p ­ Se y = a + b cos (cx + d) seu período é p =  c  c) A função tangente  p É a função f: A ® R, onde A = { x Î R ; x  ¹ + k  }, definida por f(x) = tg x, sendo tg x a tangente do arco de x  p 2  radianos.  Gráfico:  Propriedades  p ­ Domínio: { x Î R ; x ¹ + k  }  p 2  ­ Imagem: R  0 ­ y = tg x é uma função ímpar (tg (­x) = ­ tg x)  ­ 1  p ­ Se y = a + b tg (cx + d) seu período é p =  c Observações:  ­ De modo semelhante, podemos definir as funções y = cotg x, y = sec x e y = cossec x.  p ­ O período de y = a + b cotg (cx + d) é p =  c 2p ­ O período de y = a + b sec (cx + d)   e   y = a + b cossec (cx + d) é    p =  c  ­ Sejam f(x) e g(x) funções periódicas de períodos P  e P  respectivamente, com  P1  ¹ P  . Se P  / P  = m/n,  1  2  2  1  2  onde m e n são inteiros positivos e primos entre si, então as funções f + g e f . g são periódicas e seu  período é P = nP  = mP  .  1  2  1 8  Matemática ­ M3 
  19. 19. Tecnologia              ITAPECURSOS  Exemplo:  2 x  Ache o período de y = cos 4x . tg  3  Solução:  2 p p Período de f(x) = cos 4x;  P  = 1 = 4  2  2 x  p 3  p Período de g(x) = tg  ;  P  = 2 = 3  2  3  2  P  p 2  P  1  3p 1 = ® 1  = . Portanto, o período procurado é:  p = 3P  = 1P  =  2  1  2  P  2  3  2  P  3  p 2 20 ­ FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS  Como você já sabe, uma função só admite inversa se for bijetora, e as funções trigonométricas não são  bijetoras. No entanto, se restringirmos seus domínios convenientemente, obteremos funções bijetoras nesses  domínios.  A) A função arco­seno  y Seja a função f: D ® A, definida por f(x) = sen x, onde  1 é p pù D = ê- ,  ú e A = [­1, 1]  ë 2  2 û p p ­ 2  Nessas  condições  f  é  bijetora,  e  então  tem  inversa,  que  2 denominaremos  de  função  arco­seno  e  será  a  função  f  ­1  : A ® D, para a qual f ­1  (x) = arc sen x.  ­1 Exemplo:  1  é p p ù , cujo seno vale  1  .  Se y = arc sen x, então arc sen (  ) é o arco do intervalo 2  ê - 2  ,  2 ú 2  ë û 1  p Logo arc sen (  ) =  .  2  3 B) A função arco­cosseno  y  Seja a função f: D ® A, definida por f(x) = cos x, com  1  D = [0, p ] e A = [­1, 1]. Nessas condições, f é bijetora.  Sua inversa, que chamaremos de função arco­cosseno é  a  função f  ­1  : A ® D, definida por f  ­1  = arc cos  x,  (x)  onde arc cos x é o arco cujo cosseno é x.  p 0 p x  2  Exemplo:  Seja y = arc cos x. Calcule y = arc cos ( - 3 )  ­ 1  2  Solução:  5p y = arc cos ( - 3 2  ) é o arco do intervalo [0, p] cujo cosseno vale  - 3 . Logo arc cos ( - 3 ) =  2  2  6  Matemática ­ M3  1 9 
  20. 20. Tecnologia             ITAPECURSOS  C) A função arco­tangente  é p pù Seja a função f: D ® R, definida por f(x) = tg x, com D = ê- ,  ú . Então f é bijetora. Sua inversa, que  ë 2  2 û chamaremos de função arco­tangente é a função f  ­1 : R ® D, definida por f ­1  (x) = arctg x onde arctg x é o  arco cuja tangente vale x.  Exemplo: Calcule arctg (­1)  y  Solução:  é p pù arctg (­1) é o arco do intervalo ê- ,  ú , cuja  ë 2  2 û p 0  p - x p 2 2  tangente vale ­1. Logo, arctg (­1) = - 4 1. Ache o domínio da função y = arcsen (3x + 1)  Solução:  Como o domínio de f(x) = arcsen x é  - 1 £ x £ 1  , deveremos ter:  2 - 1 £ 3  + 1 £ 1 ;  - 2 £ 3  £ 0 ;  - x  x  £ x £ 0  3  Resposta:  - 2 £ x £ 0  3  2. (PUC­SP) Um dos valores de sen (arcsen 3/5 + arcsen 2/3) é:  5 - 8  5 + 8  5 - 8  5 + 8  3 5  + 8  a)  b)  c)  d)  e)  16  17  14  12  15  Solução:  Observe que se arcsen x = a, então sen a = x.  3  3  p p Então, teremos arcsen (  ) = a ® sen a =  e  - £ a £ 5  5  2 2  2  2  p p arcsen (  ) = b ® sen b =  e  - £ b £ .  3  3  2 2  O que se pede então é achar y = sen (a + b), logo: y = sen a cos b + sen b cos a (I)  2  2  Usando a relação sen  x + cos  x = 1, e observando os quadrantes onde estão a e b, você encontra que  4  3  5  2  4  3  5  + 8  cos a =  e cos b =  5  3 ; substituindo em (I), você terá:  y = .  + .  ® y  = .  5  5  3  3  5  15  Resposta : e 2 0  Matemática ­ M3 
  21. 21. Tecnologia              ITAPECURSOS  NÚMEROS COMPLEXOS 1 ­ INTRODUÇÃO  A impossibilidade da realização de algumas operações  levou o matemático a ampliar os conjuntos numéricos.  Assim, para que a ­ b existisse, para a Î N e b Î N com a < b foi criado o conjunto Z dos números inteiros. Se  a  a e b são inteiros, será definido só se b ¹ 0 e se for criado o conjunto Q dos números racionais. A extração  b  de raízes de números positivos levou à criação dos números reais (R).  Mas o conjunto R tem ainda uma limitação que nos incomoda desde o momento em que aprendemos a  resolver equações do 2º grau. Nessas equações, se D < 0, ao usar a fórmula resolutiva aparece a raiz quadrada  de um número negativo, que em R não existe. O que vamos fazer nesta unidade é ampliar o conjunto R, ou  seja, vamos criar um novo conjunto numérico, que contém R, no qual a radiciação será sempre possível. Assim,  nesse novo conjunto numérico, as equações de 2º grau com D < 0 também terão solução. 2 ­ CRIANDO UM NOVO TIPO DE NÚMERO  2  Seja a equação: x  ­ 4x + 13 = 0. Seu discriminante é: D = 16 ­ 52 = ­36. Em R, essa equação não tem  solução. Apesar disso, usemos a fórmula de Báskara.  4 ± - 36  4 ± 36  -1  .(  )  4 ± 6  - 1  x= ;  x = ;  x = 2  2  2  2  ± 3  - 1 Se imaginarmos um novo conjunto numérico, no qual exista um número, que representaremos por i, tal que  2  i  = ­1, então - 1  = i e teremos:  x’ = 2 + 3i e x” = 2 ­ 3i. Um tal número será chamado de número complexo. 3 ­ DEFINIÇÃO DE NÚMERO COMPLEXO  2  Sejam x e y números reais e i um número tal que i  = ­1. Chama­se número complexo a todo número da forma:  Z = x + yi.  a) A forma Z = x + yi é chamada de forma algébrica do número complexo.  b) Em Z = x + yi, x é a parte real e y é a parte imaginária. Representa­se por: ìRe(Z) = x  Z  = x + yi ® í î Im(Z) = y  c) O número i é a unidade imaginária.  d) Em z = x + yi, temos:  ­ se y = 0, então Z é um número real  ­ se x = 0 e y ¹ 0, então Z é imaginário puro.  Observe que o conjunto dos reais R está contido no conjunto dos números complexos, que representaremos por C. 4 ­ IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS  ìa = c  Solução:  a + bi = c + di « í îb = d  Devemos ter: x ­ 1 = 3;    x = 4  Exemplo: Se (x ­ 1) + 2i = 3 + (y + 2)i, calcule x e y.  y + 2 = 2;    y = 0 Matemática ­ M3  2 1 
  22. 22. Tecnologia             ITAPECURSOS 5 ­ ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS  Se a + bi e c + di são dois números complexos, define­se:  a) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i  b) (a + bi) ­ (c + di) = (a ­ c) + (b ­ d)i 6 ­ MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS  Se Z  = a + bi e Z  = c + di define­se  1  2  Z  . Z  = (a + bi) . (c + di) = (ac ­ bd) + (ad + bc)i  1  2  Obs.: proceda como se estivesse multiplicando duas expressões e depois substitua i por ­1.  Exemplo: Calcule: (2 ­ 3i)(­1 + i)  Solução:  2  (2 ­ 3i)(­1 + i) = ­2 + 2i + 3i ­ 3i  = ­2 + 5i + 3  = 1 + 5i 7 ­ POTÊNCIAS DE i  Observe que:  0  i  = 1  2  i  = ­1  1  i  = 1  3  2  i  = i  . i = ­ i  n  A partir daí, i  dará um desses valores, e para calcular seu valor basta achar o resto da divisão de n por 4.  Exemplo: Calcule:  9  a) i  26  b) i  507  c) i Solução:  a)  9  4 9  1  Õ i  =  i  = i  1  2  b)  26  4 26  2  Õ i  = i  = ­1  2  6  c) Para achar o resto da divisão de 507 por 4, basta  dividir o número formado pelos dois últimos algarismos por 4.  7  4 Õ 507  3  i  = i  = ­i  3  1 8 ­ PROPRIEDADES  Os números complexos satisfazem às nove propriedades operacionais da álgebra.  P.1) Comutativa  Z  + Z  = Z  + Z  e   Z  . Z  = Z  . Z  1  2  2  1  1  2  2  1  P.2) Associativa  (Z  + Z  ) + Z  =  Z  +( Z  + Z  )  1  2  3  1  2  3  (Z  . Z  ) . Z  = Z  . (Z  . Z  )  1  2  3  1  2  3  P.3) Distributiva  Z  .( Z  + Z  ) = Z  . Z  + Z  . Z  1  2  3  1  2  1  3  P.4) Existe o elemento neutro da adição e da multiplicação.  P.5) Existe o elemento simétrico da adição e o elemento inverso da multiplicação. 2 2  Matemática ­ M3 
  23. 23. Tecnologia              ITAPECURSOS  1) Determine x e y reais para que se tenha: (x + yi)(3 + 4i) = 7 + 26i Solução:  2  2  (x + yi)(3 + 4i) = 3x + 4xi + 3yi + 4yi  , e como i  = ­1, teremos:  (x + yi)(3 + 4i) = (3x ­ 4y) + (4x + 3y)i. Queremos que: (3x ­ 4y) + (4x + 3y)i = 7 + 26i e então:  ì3  - 4  = 7  x  y  í î x  y 4  + 3  = 26  que resolvido nos dá x = 5 e y = 2.  6  2) Calcule (1 ­ i)  Solução:  2  2  Observe inicialmente que: (1 ­ i)  = 1 ­ 2i + i  = ­2i  6  2  3  3  3  2  Portanto: (1 ­ i)  = [(1 ­ i)  ]  = (­2i)  = ­8i  = ­8 . i  . i = 8i 9 ­ CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO  Se Z = x + yi, seu conjugado é o número  Z  = x ­ yi.  Propriedades:  P.1) (Z) = Z  P.2)  Z  + Z 2  = Z  + Z  1  1  2 P.3)  Z  . Z  = Z  . Z  1  2  1  2 10 ­ DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS  Sejam Z  e Z  números complexos com Z  ¹ 0. Define­se:  1  2  2 Z  1  Z  . Z  = 1  2  Z  2  Z  . Z  2  2 1  2  + i  Exemplo: Efetue  3 - i  1  2  (  + 2 )(3 + i  3 + i + 6  + 2 2  1  7  1 + i  1  i  )  i  i  + i  7  Solução:  = = 2 = = + i  3 - i  (3 - i  + i  )(3  )  9 - i  10  10  10  1) Determine Z Î C tal que iZ + 2 Z  = ­3 ­ 3i Solução:  Seja Z = x + yi, com x e y reais. Então a equação dada fica: i(x + yi) + 2(x ­ yi) = ­3 ­ 3i e daí vem:  (2x ­ y) + (x ­ 2y)i = ­3 ­ 3i.  ì2  - y = -3  x  Portanto, devemos ter:  í que resolvido dá   x = ­1 e y = 1.  îx - 2  = -3  y Resposta: Z = ­1 + i. Matemática ­ M3  2 3 
  24. 24. Tecnologia             ITAPECURSOS  2) Determine o número complexo cujo produto por  5 + 8i é real e cujo quociente por 1 + i é imaginário puro. Solução:  Seja Z = x + yi o número procurado, queremos que:  a) (x + yi) (5 + 8i) = (5x ­ 8y) + (8x + 5y)i seja real.  Então: 8x + 5y = 0 (I)  x  + yi  x  + y  y  - x  x + y b)  = + i seja imaginário puro. Logo  = 0 ou x + y = 0 (II) e y ­ x ¹ 0  1 + i  2  2  2  Resolvendo o sistema  ì8  + 5  = 0  x  y  í î x + y = 0  x + yi  encontra­se x = 0 e y = 0. Mas para esses valores y ­ x = 0 e o quociente  não é imaginário puro.  1  i + Resposta: Não existe tal número. 11 ­ REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO  Um número complexo pode ser representado também como um par  ordenado  de  números  reais,  bastando  para  isso  fazer  a  correspondência  x  +  yi « (x,  y).  Desse  modo,  a  cada  número  complexo Z  = x  + yi  corresponde um  ponto P  = (x,  y) no  plano  cartesiano. Ponto esse que é chamado de afixo de Z, e o plano  passa a ser denominado plano de Argand­Gauss. Observe que:  a) Os números reais, Z = x + 0i, são representados no eixo x, que  passará a ser chamado de eixo real.  b) Os números da forma Z = 0 + yi, com y ¹ 0, são representados no  eixo y, que chamaremos de eixo imaginário. 12 ­ MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO  Se Z = x + yi, chama­se módulo de Z ao número representado por  | Z | ou r e definido por:  2  2 | Z | = r =  x  + y  Obs.: O módulo de um número complexo representa a  distância do seu afixo à origem.  Propriedades  n  n a)  Z  = Z d)  Z  = Z  b)  Z  . Z 2  = Z  . Z 2  1  1  e)  Z  + Z  £ Z  + Z  (desiguadade triangular)  1  2  1  2 Z  Z  c)  1  = 1  (Z  ¹ 0) 2 Z  2  Z  2 2 4  Matemática ­ M3 
  25. 25. Tecnologia              ITAPECURSOS  5 + 2  i  1) Determine o módulo de Z =  5 - 2i Solução:  5 + 2  i  5 + 2  i  Z  = = . Como  5 + 2i  e  5 - 2i  são conjugados, eles têm o mesmo módulo; logo | Z | = 1.  5 - 2  i  5 - 2  i13­ ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO  Seja Z = x + yi de afixo P = (x, y). Chama­se argumento de Z  o ângulo q formado pelo semi­eixo positivo Ox e pelo segmento  OP,  ângulo  esse  tomado  no  sentido  anti­horário.  Para  determinar q observe que:  x  y  cosq = e  senq = r  r  Exemplos: Determine o argumento dos números:  a)  Z = 3 + i b) Z = 1 ­ i  c) Z = ­3i  Solução:  b) Z = 1 ­ i  c) Z = ­3i  a)  Z = 3 + i r = 1  + (  1 2  ;  r = 2  2  - )  r = 0  + (  3  2  ; r = 3  2  - )  2  r= ( 3 ) 2  + 1  ; r = 3  + 1 ; r = 2  ü cos q = 0  ü 1  2  o  ý q = 270  3 ü cos  = q = ï sen q = -1  cos  = q ï 2  ï 2  þ 2  ï Þ q = 30  ou q = p rd  o  ý o  ý Þ q = 315  1  ï 6  1  2  ï sen q = sen q = - =- 2  ï þ 2  2  ïþ14 ­ FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO  A forma algébrica para cálculo de potências ou raízes de números complexos torna a operação quase impraticável,  por isso veremos como representar um número complexo numa outra forma muito mais prática.  Seja então Z = x + yi, cujo módulo representaremos por r, e cujo argumento representaremos por q . Então:  x  cosq = Õ x = r cos q r y  senq = Õ y = r sen q r Logo, substituindo em Z = x + yi, obtém­se:  Z =  r cos q + i . r sen q ;  Z = r . (cos q + i sen q )  que chamamos de forma trigonométrica de Z. Matemática ­ M3  2 5 
  26. 26. Tecnologia             ITAPECURSOS  Exemplo: Ache a forma trigonométrica de Z = 1 +  3  i Solução:  Logo:  Z = 1 +  3  i  1 +  3  i = 2 (cos 60º + i sen 60º)  r =  1  3 = 2  + Observação: Se Z  = r  . (cos q 1  + i sen q 1  1  1  ) e  Z  = r  . (cos q 2 + i sen q 2  2  2  )   prova­se que:  1  ü cos  = q 2  ï q = 60  ï o  a) Z  . Z  = r  . r  [cos ( q 1  + q 2  1  2  1  2  ) + i sen ( q 1 + q 2  )]  ý 3 ï sen q = Z  1  r  2  ï þ b)  = 1  [cos(  1 - q 2 ) + i sen(  1 - q 2 )] q q Z  2  r  2 15 ­ POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS  A fórmula Z  . Z  = r  . r  [cos ( q 1 + q 2  1  2  1  2  ) + i sen ( q 1 + q 2  )] vale para um número finito de fatores. Desse modo,  se Z = r . (cos q + i sen q ), teremos:  n  Z  = r . r . ... . r . [cos ( q +...+ q ) + i sen ( q + ... + q )], e então:  1 24 4 3 1 24 4 3 1 24  4 3 n fatores  n parcelas  n parcelas  n  n  Z  = r  . (cos n q + i sen n q ) Õ 1ª fórmula de De Moivre.  5  Exemplo: Calcule (  3  + i) Solução:  Logo:  Z = 2 (cos 30º + i sen 30º) e então;  Z =  3  + i  5  5  Z  = 2  . (cos 150º + i sen 150º)  r =  3 + 1 = 2  æ 3  ö 1  5  Z  = 32 . ç - ÷ 5  ç 2  + i. 2  ;  Z  = -16  3 + 16 i  ÷ 3 ü è ø cos  = q ï 2  ï q = 30  ý o  1  ï sen q = ï 2  þ 2n  1) Mostre que, se (  3  + i)  , com n inteiro, é real, então n é múltiplo de 3. Solução:  æ p pö 3  + i  = 2  ç cos  + i sen ÷ , concorda?  è 6  6ø 2  p n  2  p ö n  2  n  æ n  p n  ö p Então: ( 3 + i  ) 2  n  2 æ = 2  n ç cos  è 6  + i sen 6  ø ÷ ou ( ) 3  + i  = 2  n  ç cos  2 è 3  + i sen ÷ .  3  ø np Como esse número é real,  sen  = 0 .  3  n  p Portanto,  = Kp e daí n = 3K, K Î Z e n é múltiplo de 3. 3 2 6  Matemática ­ M3 

×