• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Ap matemática m3
 

Ap matemática m3

on

  • 9,081 views

 

Statistics

Views

Total Views
9,081
Views on SlideShare
9,081
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
108
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Ap matemática m3 Ap matemática m3 Document Transcript

    • Matemática Matemática I Trigonometria ......................................................... 3 Números Complexos ............................................ 21 Equações Algébricas ........................................... 28 Matemática  II Estudo Analítico da Reta ..................................... 32 Estudo Analítico da Circunferência ...................... 40 Limite ................................................................... 46 Derivada .............................................................. 51  no Código Penal, Artigo 184, parágrafo 1 e 2, com  A reprodução por qualquer meio, inteira ou em parte, venda,  exposição  à  venda,  aluguel,  aquisição,  ocultamento,  autorização do detentor dos direitos autorais é crime previsto  empréstimo,  troca  ou  manutenção  em  depósito  sem  multa e pena de reclusão de 01 a 04 anos. M3  JOSÉ AUGUSTO DE MELO 
    • Anotações
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  TRIGONOMETRIA 1­ RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO  Dado o triângulo retângulo ABC, definimos:  ­ Seno de um ângulo agudo a cateto oposto  a  a Sen a = hipotenusa  ˆ  b  ˆ  c  Assim:  Sen B = e  Sen C = a  a  ­ Cosseno de um ângulo agudo a cateto adjacente  a  a Cos a = hipotenusa  ˆ  c  e  Cos C = b  Assim: Cos B = ˆ  a  a  ­ Tangente de um ângulo agudo a cateto oposto a  a tg a = cateto adjacente  a a  ˆ  b  ˆ  c  Assim:  tgB = e  tgC = c  b 2 ­ ALGUMAS RELAÇÕES ENTRE AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS  c  b  a)  sen a = ,  cos a = a  a  c 2  2  b  sen 2  a + cos  a = 2  2  + 2  a  a  2 2  c 2  + b  2  2  a  sen  a + cos  a = = , ou seja:  = 1  a 2  2  a  2 2 sen  a + cos  a = 1  sen a c / a  sen a c  b)  = ; = = tg  a cos a b / a  cos a b  sen a tg  = a cos a c)  a + b = 90 o  o  b = 90  - a c  c  sen a = cos b = sen a = cos(  o - a )  90  a  a  o (  o Cos  90  - a ) = Sen  a De modo análogo, prova­se que sen(  90  - a ) = cos a (  o  Sen  90  - a ) = Cos  a Matemática ­ M3  3 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS 3 ­ UM PEQUENO COMENTÁRIO  As razões trigonométricas definidas até agora são válidas apenas para ângulos agudos de um triângulo retângulo.  Necessidades práticas exigem que definamos essas razões para ângulos arbitrários e até mesmo para números  reais quaisquer. Para que isso seja possível, definiremos novamente essas razões, substituindo o ângulo por  um arco e o triângulo retângulo por uma circunferência. Veja a seguir. 4­ MEDIDA DE ARCOS  Chama­se arco a cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos.  B  B  A = B  A = B  A  A  Observação:  Se A = B obtemos dois arcos: o arco nulo e o arco de uma volta.  A medida de um arco AB na unidade PQ é por definição:  compriment  AB  o  med. AB  = compriment  PQ  o  ­ Unidades mais usadas  1  a) Grau: arco unitário equivalente a  da circunferência.  360  b) Radiano: arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém.  Observação:  Para converter uma unidade de medida em outra lembre­se que 180° = prad.  ­ Comprimento de um arco  Seja a a medida em radianos do arco AB (ou do ângulo central AÔB).  Compriment  AB  o  med. AB (  ) = rad  Compriment  do raio  o  r l a= r  l = r . a (a em rad.) 5 ­ A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA  Seja x0y um sistema de coordenadas no plano. Com centro em O,  tracemos uma circunferência de raio 1. Consideramos o ponto A como  a origem de todos os arcos tomados sobre essa circunferência. Arcos  percorridos no sentido anti­horário serão considerados como tendo  medida algébrica positiva e arcos percorridos no sentido horário serão  considerados negativos. A uma tal circunferência, denominamos de  circunferência trigonométrica. 6 ­ ARCO TRIGONOMÉTRICO  Se P é um ponto da circunferência trigonométrica, ele determina uma  infinidade de arcos com origem A e extremidade P. Se O £ a < 2  é a  p medida de AP em radianos, chamamos de arco trigonométrico AP ao  conjunto de valores do tipo a + 2Kp, com K inteiro. A a chamaremos  de 1ª determinação positiva de AP.  4  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  o  o  Obs.: Se  0 £ a < 360  , o arco trigonométrico será representado por  a + K . 360  Observe que um arco trigonométrico é uma família de arcos com origem A e extremidade P que são obtidos  dando­se voltas na circunferência no sentido positivo ou negativo. No que se segue, procuramos sempre trabalhar  com a 1ª determinação positiva do arco trigonométrico. 7 ­ SENO E COSSENO  Podemos agora definir o seno e o cosseno de qualquer arco.  Seja a a primeira determinação positiva do arco trigonométrico AP. Como P está num sistema de coordenadas,  ele tem uma abscissa (OQ) e uma ordenada (OR).  Definição:  a) cos a = OQ (abscissa de P)  b) sen a = OR (ordenada de P)  Observe que:  a) ­1 £ cos a £ 1 ­1 £ sen a £ 1 b) Sinal do seno  d)  O  seno  é  crescente  no  1º e  no  4º quadrantes  e  decrescente no 2º e 3º quadrantes.  e)  O  cosseno  é  crescente  no  3º e  no  4º quadrantes  e  decrescente no 1º e 2º quadrantes.  f) No triângulo OPQ temos:  PQ = sen x, OQ = cos x e OP = 1  Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos  2  2  sen  x + cos  x = 1.  c) Sinal do Cosseno 8 ­ TANGENTE E COTANGENTE  Veja que os triângulos OPP  e OAT são semelhantes.  1  Logo, podemos dizer que:  AT PP 1  tgx sen x  = e substituindo  = OA  OP  1  1  cos x  tg x = AT  Com um raciocínio semelhante, você mostra que:  cotg x = BS  cos x  cotg x =  sen x  Matemática ­ M3  5 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS ­ Considerações importantes  a)  A  tg  x  e a  cotg  x  podem  assumir  qualquer  d) A tangente dos arcos com extremidades em B ou  valor real.  p b) Sinal da tangente.  B’ não existe ou seja, só existe tg x se x  ¹ + k  p 2  (ou em graus x ¹ 90° + k . 180°).  e) A cotangente dos arcos com extremidade em A  ou  A’  não  existe  ou  seja,  só  existe  cotg  x  se c) Sinal da cotangente.  x  ¹ k  (ou x  ¹ k . 180  ).  p °9 ­ SECANTE E COSSECANTE  Se x é um arco para o qual sen x ¹ 0 e cos x ¹ 0, definimos:  D.1) Secante  1  sec x  = cos x  D.2) Cossecante  1  cos sec x  = (obs.: cossec x = csc x)  sen x  Representação geométrica  sec x = OQ  cossec x = OR  Observe que:  a) sec x £ ­1 ou sec x ³ 1  csc x £ ­1 ou csc x ³ 1  b) O sinal da secante coincide com o sinal do cosseno e o sinal da cossecante  coincide com o sinal do seno.  p c) Só existe sec x, se x  ¹ + k  , k inteiro. Só existe csc x, se x  ¹ k  , k inteiro.  p p 2 10 ­ REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE  As simetrias apresentadas pelas extremidades dos arcos trigonométricos nos permitem calcular as razões  trigonométricas de qualquer arco, usando sempre um arco do 1º quadrante.  A) Arcos do 2º quadrante.  Se x está no 2º quadrante, o seu simétrico em relação ao eixo Oy está no 1º quadrante e pode ser achado calculando­se 180° ­ x ou p ­ x, conforme x  seja dado em graus ou radianos.  Não é difícil provar  que as razões trigonométricas de 180° ­ x  e x têm o  mesmo valor absoluto. A determinação do sinal das razões trigonométricas  de x é feita pelo que já aprendemos anteriormente. 6  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS Exemplos: Reduza ao 1º quadrante. a) sen 110º Solução:  110º está no 2º quadrante. Seu simétrico será  180º ­ 110º = 70º  Como no 2º quadrante o seno é positivo teremos:  sen 110º = sen 70º b) cos 874º Solução:  874º  360º  154º  2  Então, cos 874º = cos 154º  Simétrico de 154º = 180º ­ 154º = 26º  No 2º quadrante, o cosseno é negativo. Logo, cos 874º =  cos 154º = – cos 26º.  2 pc)  tg = 3 Solução:  2p 2p p está no 2º quadrante, seu simétrico é  p - = 3  3  3  2  p p No 2º quadrante, a tangente é negativa, logo:  tg = - tg  3  3 B) Arcos do 3º quadrante  Se x está no 3º quadrante, use o seu simétrico em relação à origem, calculando x ­ 180° ou x ­ p . Exemplo:  Reduza ao primeiro quadrante: sec 220° Solução:  220° está no 3º quadrante.  Seu simétrico será 220° ­ 180° = 40°.  No 3º quadrante a secante é negativa, logo:  sec 220° = ­sec 40°. C) Arcos do 4º quadrante. Exemplo: Reduza ao 1º quadrante: sen 310°. Solução: 310° está no 4º quadrante. Seu simétrico é 360° ­ 310° = 50°. No 4º quadrante o seno é negativo. Logo: sen 310° = ­sen 50°. Matemática ­ M3  7 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS 11 ­ ARCOS OPOSTOS  cos (­x) = cos x  sen (­x) = ­sen x  tg (­x) = ­tg x  cotg (­x) = ­cotg(x)  sec (­x) = sec x  cossec (­x) = ­cossec x 12 ­ RELAÇÕES FUNDAMENTAIS  As definições dadas anteriormente nos permitem deduzir uma série de relações entre o seno, o cosseno, a  tangente e as outras funções circulares. Dentre essas, nos interessam mais de perto um grupo de oito relações  independentes, que denominaremos de relações fundamentais.  sen x  1  2  2  R.1)  tgx = R.4)  sec x  = R.7) 1 + tg  x = sec  x  cos x  cos x  cos x  1  2  2  R.2) cotg x =  R.5)  cos sec x  = R.8) 1 + cotg  x = cossec  x  sen x  sen x  1  R.3) cotg x =  2  2  R.6) sen  x + cos  x = 1  tgx  As relações R.1, R.2, R.4 e R.5 são provadas facilmente usando  semelhança de triângulos. Como exemplo, provemos R.4.  Os triângulos OPB e OAB são semelhantes, pois:  PB  = O ˆ B  (retos)  ˆ O  A  PO  = A ˆ B  (comuns)  ˆ B  O  Logo:  OP OB  sec x  1  = e substituindo,  = OB  OA  1  cos x  1  ou  sec x  = cos x  A relação R.3 é conseqüência imediata de R.1 e R.2. Provemos R.6.  2  2  Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo OAB, obtemos: sen  x + cos  x = 1.  Para provar R.7, partimos de sen  x + cos  x = 1. Para cos x ¹ 0, obtemos:  2  2  2 2  sen  x  cos  x  1  2  2  2  + 2  = 2  e daí:  tg  x + 1 = sec  x  cos  x  cos  x  cos  x  De modo análogo, prova­se R.8.  Fique atento às seguintes observações:  2  2  a) Apenas a relação sen  x + cos  x = 1 é válida para todo x. As demais possuem restrições. Por exemplo,  2  2  p 1 + tg  x = sec  x só vale para x  ¹ + k  , pois para esses valores existe a tg x e a sec x. Procure achar  p 2  os valores de x para os quais as demais relações são válidas.  b) É importante que você saiba que o x pode representar qualquer arco. Assim, podemos dizer que:  2  2  sen  50º + cos  50º = 1  2  2  1 + tg  3a = sec  3a e assim por diante.  2  2  c) De cada relação você pode tirar outras. Assim, por exemplo, de sen  x + cos  x = 1, conclui­se que  1 ­ sen  2  x = cos  x. 2  8  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  21. (AMAN­RJ) Se  tg  q = 3  e 0  £ q £ 90  , então o valor de sen q é:  ° ° 2  3  1  a)  b)  c)  2 - 2  d)  e) n.r.a.  2  2  2 Solução:  1  tg  q = sec 2  q ; 1  3 = sec 2 q ; sec 2  q = 4  + 2 + 1  1  2 1  De sec 2  q = 2  2  vem cos  q = 2  e então  cos  q = cos  q sec  q 4  2 2  2 1  Mas,  sen  q + cos  q = 1  e então  sen  q + = 1 e daí:  4  2 3 . Como está no 1º quadrante e no 1º quadrante sen q > 0, vem sen q = 3 sen  q = q 4  2 Resposta: b  m 2. Para que valores de m a equação  cos x  = + 1 é possível?  4 Solução:  m  Como  - 1 £ cos x  £ 1 , devemos ter:  -1£ + 1 £ 1 ;  - 4 £ m + 4 £ 4  4  - 8 £ m £ 0  sec  x . cos sec 2 x - tg  x - 1  2 2 3. (UFU­MG) O valor numérico da expressão:  y = , para  cos x = 1  é:  2  cot g  x  4  1  16  15  a)  b) 16  c)  d)  e) ­16  16  16  16 Solução:  sec 2 x . cos sec 2  x - (  2 x + 1  cossec  tg  )  sec 2 x . cos sec 2  x - sec 2  x  cossec y  = 2  ;  y  = cot g  x  cos sec 2  x - 1  sec 2 x  (cos sec 2  x - 1  )  2  1 y  = 2  ; y = sec  x;  y  = = 16  2 cos sec  x - 1  cos  x Resposta: b 4. Demostre a identidade  2  cossec 2  2  2  sec  x  .  cos sec  x = sec  x + cos sec  x Solução:  2  2  Seja y = sec  x + cossec  x. Então:  2 2  1  1  sen  x + cos  x  y  = 2 + 2  ;  y  = 2  2  cos  x  sen  x  cos  x . sen  x  1  1  1  2  2  y  = 2 2  ;  y  = . = sec  x . cossec  x  2 2  cos  x . sec  x  cos  x  sen  x  Matemática ­ M3  9 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS  2  2  y = sec  x . cossec  x  5. Calcule m para que se tenha simultaneamente  sen x = m ­ 1 e cos x = m .  3  Solução:  2  2  sen  x + cos  x = 1  2  2  (m ­ 1)  + (m .  3 )  = 1  2  2  m  ­ 2m + 1 + 3m  = 1  2  1  4m  ­ 2m = 0, que resolvida dá m = 0 ou m =  2  Como ambos satisfazem à condição  - 1 £ sen x £ 1  e  - 1 £ cos x  £ 1 , teremos:  1  Resposta: m = 0   ou   m =  2 13 ­ FÓRMULAS DE ADIÇÃO  Daremos a seguir um conjunto de fórmulas que vão nos   possibilitar calcular as funções trigonométricas de  arcos do tipo a + b e a ­ b. As demonstrações serão omitidas.  sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a  sen (a ­ b) = sen a . cos b ­ sen b . cos a  cos (a + b) = cos a . cos b ­ sen a . sen b  sen (a ­ b) = cos a . cos b + sen a . sen b  tg  + tg  a  b  tg  - tg  a  b  tag(  + b  = a  )  tag(  - b  = a  )  1 - tg  . tg b  a  1 + tg  . tg b  a  1. Calcule sen 15°.  Solução:  y = sen 15° = sen (45° ­ 30°)  y = sen 45° . cos 30° ­ sen 30° . cos 45°  2  3  1  2  6  - 2  y= .  - . Þ y = 2  2  2  2  4  p 2. Sendo a ­ b =  , calcule o valor da expressão:  3 2  2  y = (sen a + cos b)  + (sen b ­ cos a)  Solução:  2  2  2  2  y = sen  a + 2sen a cos b + cos  b + sen  b ­ 2sen b cos a + cos  a  2  2  2  2  y = (sen  a + cos  a) + (sen  b + cos  b) + 2(sen a cos b ­ sen b cos a)  p y = 1 + 1 + 2 sen (a ­ b), e como a ­ b =  ,  3 p 3  y = 2 + 2 sen  ; y = 2 + 2 .  ; y = 2 +  3 3 2  1 0  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  3. (SANTA CASA ­ SP) Se sen 61º = m, o valor da expressão y = sen 16º + cos 16º é:  a) m  b) 2m  c)  2  m  d)  2  m  e)  2  m  Solução:  61º = 45º + 16º. Portanto,  se sen 61º = m, vem:  sen (45º + 16º) = m  sen 45º cos 16º + sen 16º . cos 45º = m  2  2  cos 16º +  sen 16º = m  2  2  2  (cos 16º + sen 16º) = m  2  2m  cos 16º + sen 16º =  ® y =  2  . m  2  Resposta: c  Kp14 ­ SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES COM ARCOS DO TIPO K  ± X  E  p ± X  2  Com o uso das fórmulas de adição, pode­se deduzir algumas regras que nos permitem simplificar expressões  Kp com arcos do tipo K  ± x ou  p ± x . Assim teremos:  2 A) Arcos da forma  Kp ± x  Regra prática:  ­ A função é mantida  ­ Suponha x no 1º quadrante.  ­ Localize o quadrante do arco  K p ± x e dê o sinal conveniente.  Exemplos:  a) sen ( p ­x)  Solução:  Como estamos supondo x no 1º quadrante p ­ x estará no 2º quadrante, onde o seno é positivo; logo,  sen ( p ­ x) = sen x  b) tg ( p ­ x)  Solução: p ­ x “está” no 2º quadrante onde a tangente é negativa. Logo tg ( p ­ x) = ­ tg x  c) Cos ( p + x)  Solução:  Se  x  está  no  1º quadrante, p +  x  está  no  3º quadrante,  onde  o  cosseno  é  negativo.  Portanto,  Cos ( p + x) = ­ Cos x  d) Cotg (2 p ­ x)  Solução:  2 p ­  x  será  um  arco  do  4º quadrante,  concorda?  No  4º quadrante,  a  cotangente  é  negativa  e  então  cotg (2 p ­ x) = ­ cotg x Matemática ­ M3  1 1 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS  KpB) Arcos da forma  ± x  2  Regra prática  ­ Considere x no 1º quadrante.  ­ Troque a função pela sua co­função.  Kp ­ Localize o quadrante de  ± x  e dê o sinal conveniente.  2  Exemplos:  p a) Sen (  ­ x)  2 Solução:  p p Como  ­ x é do 1º quadrante, o seno é positivo, logo sen (  ­x) = cos x (troque o seno pelo cosseno)  2 2 p b) Cos (  + x)  2 Solução:  p p + x é do 2º quadrante, onde o cosseno é negativo, logo:  cos (  + x) = ­ sen x  2 2 3p c) tg (  + x)  2  Solução:  3p + x está no 4º quadrante, onde a tangente é negativa.  2  3p tg (  +x) = ­ cotg x  2  3p d) Cossec (  ­ x)  2  Solução:  3p ­ x está no 3º quadrante onde a cossecante é negativa.  2  3p Cossec (  ­ x) = ­ sec x  2  1 1. Se sen  a = , o valor de sen (25 p + a ) ­ sen (88 p ­ a ) é:  3  1  2  1 3 a) 0  b)  c)  d)  - e)  - 3  3  3  2  Solução:  Como uma volta completa na circunferência trigonométrica mede 2 p , observe que de 2 p em 2 p radianos,  os valores das funções trigonométricas se repetem.  Assim, se f é uma função trigonométrica, f(x + k. 2 p ) = f(x). Assim:  sen (25 p + a ) = sen (12 . 2 p + p + a ) = sen ( p + a ) = ­ sen a sen (88 p ­ a ) = sen (44 . 2 p ­ a ) = sen (­ a ) = ­ sen a Logo, a expressão dada equivale a:  sen (25 p + a ) ­ sen (88 p ­ a ) = ­sen a ­ (­sen a ) = ­sen a + sen a = 0  Resposta: a 1 2  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  p p p 2. (FATEC­SP) Se S = sen ( p ­ x) . cos (  ­ x) + tg (x ­  ) . cos (  + x) . cos (2 p ­ x) então para todo x real, 2 2 2 x  ¹ K p ,  K Î Z , S é igual a:  a) ­2  b) ­1  c) 0  d) 1  e) 2  Solução:  Observe que:  sen ( p ­ x) = sen x  p Portanto:  cos (  ­ x) = sen x  2 S = sen x . sen x + (­cotg x) . (­sen x) . cos x  p p tg (x ­  ) = ­tg (  ­ x) = ­ cotg x  cos x  2 2 2  S = sen  x +  . sen x . cos x  p sen x  cos (  + x) = ­ sen x  2  2  S = sen  x + cos  x  ;  S = 1  2 cos (2 p ­ x) = cos x  Resposta: d 15 ­ FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO  Usando as fórmulas de adição, prova­se que:  a) sen 2x = 2 sen x cos x  2  2  b) cos 2x = cos  x ­ sen  x  2  cos 2x = 1 ­ 2 sen  x  2  cos 2x = 2 cos  x ­ 1  2 tg x  c) tg 2x =  2 1 - tg  x  Como sugestão para você, vamos provar a fórmula sen 2x = 2 sen x cos x. Para isso, façamos na  fórmula sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a, a = b = x. Obteremos:  sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos x  sen 2x = 2 sen x cos x Atenção: Essas fórmulas podem aparecer sob diversas formas. O importante é que o arco que aparece no  primeiro membro seja o dobro do arco que aparece no 2º membro. Assim é correto afirmar que:  sen 6x = 2 sen 3x cos 3x  2  2  cos 4x = cos  2x ­ sen  2x  x  x  sen x = 2 sen  cos  2  2  1  1. Se sen x ­ cos x =  , calcule:  5  a) sen 2x  b) sen x + cos x  Solução:  1  a) De sen x ­ cos x =  , obtemos:  b) Seja y = sen x + cos x. Então:  5  1  2  2  2  y  =sen  x + cos  x + 2 sen x cos x  2  (sen x ­ cos x)  =  ;  25  2  y  = 1 + sen 2x  2  2  1  sen  x  + cos  x ­ 2 sen x cos x =  25  24  2  49  7 2  y  = 1 +  ; y  =  ; y =  ± 1  24  25  25  5  1 ­ sen 2x =  ; sen 2x =  25  25  Matemática ­ M3  1 3 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS  2. (FUVEST­SP) O valor de (sen 22º30’ + cos 22º30’) 2 é:  3  2 + 3  2 + 2  a)  b)  c)  d) 1  e) 2  2  2  2  Solução:  y = (sen 22º30’ + cos 22º30’) 2  2  2  y = sen  22º30’ + cos  22º30’ + 2 sen 22º30’ . cos 22º30’  y = 1 + sen 45º  2  2 + 2  y = 1 +  ; y =  2  2  Resposta: c 16 ­ FÓRMULAS DE DIVISÃO  2  Como vimos, cos 2a = 1 ­ 2 sen  a. Logo, fazendo a = x/2, obtemos:  2  x  cos x = 1 ­ 2 sen  e daí:  2  x  1- cos x  sen  =  ± 2  2  x  Para decidir sobre qual sinal usar, localize o quadrante no qual se localiza o arco  .  2  De modo semelhante, prova­se que:  x  1+ cos x  x  1 - cos x  cos  =  ± e  tg =± 2  2  2  1 + cos x  1. Calcule cos 22°30’  Solução:  Como 22°30’ é um arco do 1º quadrante, teremos:  o 1 + cos 45  cos 22°30’ =  + 2  1+ 2 / 2  2 + 2  cos 22°30’ =  cos 22°30’ =  2  2  2 + 2  cos 22°30’ =  4  Em determinados problemas, é muito útil sabermos expressar o seno, o cosseno e a tangente de um arco  como função do arco metade. Isso pode ser feito usando­se as fórmulas a seguir:  x  x  2 2 tg  1 - tg  2  2  sen x =  cos x =  2 x  2  x  1 + tg  1 + tg  2  2  x  2 tg  2  tg x =  2 x  1 - tg  2  1 4  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  x  2 tg  Provemos, como exemplo, a fórmula sen  x  = 2  2 x  1 + tg  2  Demonstração:  x  x  Sabemos que sen  x = 2 sen  cos  e daí:  2  2  sen( x / 2  )  2 x sen x = 2 .  . cos  (  ) cos( x / 2  )  2  x  .  2  x  x  1  sen x = 2 tg  cos  ;   sen x = 2 tg  .  2  2  2  x  sec 2  2  x  x  tg  2 tg  2  2  sen x = 2 .  ;  sen x =  2 x  2 x  1 + tg  1 + tg  2  2 17 ­ FÓRMULAS DE TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO  Como vimos:  De modo semelhante, prova­se que:  sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a  p - q  p + q  sen p ­ sen q = 2 sen  cos  sen (a ­ b) = sen a . cos b ­ sen b . cos a  2  2  Somando  membro  a  membro  estas  igualdades  p + q  p - q  cos p + cos q = 2 cos  cos  obtemos:  2  2  sen (a + b) + sen (a ­ b) = 2 sen a cos b  p + q  p - q  cos p ­ cos q = ­ 2 sen  sen  Se  fizermos  a  +  b  =  p  e  a  ­  b  =  q,  resolvendo  o  2  2  sistema, encontra­se  sen( p + q  )  p + q  p - q  tg p + tg q =  a =  e b =  cos  . cos q  p  2  2  p + q  p - q  sen( p - q  )  Portanto: sen p + sen q = 2 sen  cos  tg p ­ tg q =  2  2  cos  . cos q  p  1. Transforme em produto:  a) y = 2 cos x ­  2  b) y = sen x + cos x  Solução:  2  p a) y = 2 (cos x ­  ); y = 2 (cos x ­ cos  )  Como sen (­x) = ­ sen x, podemos dizer que:  2  4 æ x  p ö æ p x ö æ x + p / 4  x - p / 4 ö sen ç - ÷ = sen ç - ÷ y = 2 ç - 2 sen  . sen  ÷ è 2  8 ø è 8  2 ø è 2  2  ø Portanto, a solução pode também ser dada por:  æ x  p ö æ x  p ö y = ­ 4 . sen ç + ÷ . sen ç - ÷ æ x  p ö æ p x ö è 2  8 ø è 2  8 ø y = 4 sen ç + ÷ .  sen ç - ÷ è 2  8 ø è 8 2 ø Matemática ­ M3  1 5 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS  b) y = sen x  + sen ( p / 2 - x ) æ x + p / 2 - x ö æ x - p / 2 + x ö y = 2 sen  ç ÷ cos ç ÷ è 2  ø è 2  ø p æ pö p 2  y  = 2 sen  cos ç x - ÷ e como sen  = 4  è 4 ø 4 2  æ pö y  = 2  cos  x - ÷ ç è 4 ø Se quisermos transformar um produto em soma, usamos as fórmulas de reversões.  1  a) sen a . sen b =  [sen (a + b) + sen (a ­ b)]  2  1  b) cos a . cos b =  [cos (a + b) + cos(a ­ b)]  2 18 ­ EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS  Para resolver uma equação trigonométrica, tente reduzi­la a uma das equações fundamentais dadas a seguir.  a) Equação do tipo sen x = sen a  Como se vê no diagrama abaixo, todos os arcos com extremidades em a ou p ­ a , satisfazem à equação.  Logo, a solução procurada é:  b) Equação do tipo cos x = cos a  x = a + 2k p ou  A solução é:  x = p ­ a + 2k p a  x = a + 2k p ou x = ­a + 2k p ­ a  c) Equação do tipo tg x = tg a  A solução é:  x = a + k p Observações:  ­ Essas equações são as equações fundamentais. Qualquer outra equação para ser resolvida deve ser  transformada em uma equivalente a uma das equações fundamentais.  ­ Das relações vistas até agora decorre que uma resposta de uma equação pode apresentar várias formas.  ­ Não se esqueça de verificar o domínio de validade da equação. 1 6  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS 1. Resolva a equação 2 sen x ­ 1 = 0 Solução:  1  p 2 sen x ­ 1 = 0; sen x =  ; sen x = sen  e então:  2  6 p p 5p x =  + 2k p ou  x = p ­  + 2k p , o que dá; x =  + 2k p 6 6 6  p 5pResp.:  x =  + 2k p ou  x =  + 2k p 6 6  p2. Resolva a equação 4 cos x + 3 sec x = 8, no intervalo  0 £ x  £ 2 Solução:  4 cos x + 3 sec x = 8  3  2  4 cos x +  = 8; 4cos  x + 3 = 8 cos x e daí:  cos x  2  4 cos  x ­ 8 cos x + 3 = 0 D = 64 ­ 48 = 16  8 ± 4  1  3  cos x =  ; cos x =  ou cos x =  8  2  2  1  p se cos x =  , x =  2  3 3  se cos x =  , não existe x, pois  - 1 £ cos x £ 1  2  p3. Resolva a equação cotg 2x = cotg (x +  )  4Solução:  A solução da equação cotg x = cotg a é a mesma da equação tg x = tg a, ou seja, x = a + k p . Logo:  p p 2x = x +  + k p ; x =  + k p 4 44. Resolva a equação  3  sen x + cos x =  3  , no intervalo (0, 2 p ). Solução:  3 ± 1  1  Da equação dada tiramos que cos x =  3  ­  3  sen x.  sen x =  ; sen x = 1 ou sen x =  2  2  4  2  Substituindo na igualdade sen  x + cos  x = 1, obtemos:  p 2  2  sen  x + (  3  ­  3  sen x)  = 1  Se sen x = 1, x =  2 2  2  sen  x + 3 ­ 6 sen x + 3 sen  x = 1  2  1  p 5p 4 sen  x ­ 6 sen x + 2 = 0    ou  Se sen x =  ; x =  ou x =  2  2  6 6  2 sen  x ­ 3 sen x + 1 = 0 D = 9 ­ 8 = 1  { Resposta:  S = p 2 , p 6 , 5  6  p } Matemática ­ M3  1 7 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS 19 ­ FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS  Até agora temos falado de seno, cosseno, tangente de um arco (ou ângulo). No entanto, podemos falar de  seno, cosseno e tangente de um número real. Veja:  a) A função seno  É a função f : R ® R definida por f(x) = sen x, onde sen x é  o arco de x radianos.  Propriedades  1  ­ Domínio: R  ­ Imagem: [­1, 1]  0  p p 3 p 2p 2 ­ y = sen x é uma função ímpar (sen (­x) = ­ sen x)  2  ­ 1  2p ­ Se y = a + b sen (cx + d) seu período é p =  c  b) A função cosseno  É a função f : R ® R, definida por f(x) = cos x, onde cos x é o cosseno do arco de x radianos.  Gráfico:  1 Propriedades:  ­ Domínio: R  ­ Imagem: [­1, 1]  0 p 3 p 2p p ­ y = cos x é uma função par (cos (­x) = cos x)  2  2 ­ 1  2p ­ Se y = a + b cos (cx + d) seu período é p =  c  c) A função tangente  p É a função f: A ® R, onde A = { x Î R ; x  ¹ + k  }, definida por f(x) = tg x, sendo tg x a tangente do arco de x  p 2  radianos.  Gráfico:  Propriedades  p ­ Domínio: { x Î R ; x ¹ + k  }  p 2  ­ Imagem: R  0 ­ y = tg x é uma função ímpar (tg (­x) = ­ tg x)  ­ 1  p ­ Se y = a + b tg (cx + d) seu período é p =  c Observações:  ­ De modo semelhante, podemos definir as funções y = cotg x, y = sec x e y = cossec x.  p ­ O período de y = a + b cotg (cx + d) é p =  c 2p ­ O período de y = a + b sec (cx + d)   e   y = a + b cossec (cx + d) é    p =  c  ­ Sejam f(x) e g(x) funções periódicas de períodos P  e P  respectivamente, com  P1  ¹ P  . Se P  / P  = m/n,  1  2  2  1  2  onde m e n são inteiros positivos e primos entre si, então as funções f + g e f . g são periódicas e seu  período é P = nP  = mP  .  1  2  1 8  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  Exemplo:  2 x  Ache o período de y = cos 4x . tg  3  Solução:  2 p p Período de f(x) = cos 4x;  P  = 1 = 4  2  2 x  p 3  p Período de g(x) = tg  ;  P  = 2 = 3  2  3  2  P  p 2  P  1  3p 1 = ® 1  = . Portanto, o período procurado é:  p = 3P  = 1P  =  2  1  2  P  2  3  2  P  3  p 2 20 ­ FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS  Como você já sabe, uma função só admite inversa se for bijetora, e as funções trigonométricas não são  bijetoras. No entanto, se restringirmos seus domínios convenientemente, obteremos funções bijetoras nesses  domínios.  A) A função arco­seno  y Seja a função f: D ® A, definida por f(x) = sen x, onde  1 é p pù D = ê- ,  ú e A = [­1, 1]  ë 2  2 û p p ­ 2  Nessas  condições  f  é  bijetora,  e  então  tem  inversa,  que  2 denominaremos  de  função  arco­seno  e  será  a  função  f  ­1  : A ® D, para a qual f ­1  (x) = arc sen x.  ­1 Exemplo:  1  é p p ù , cujo seno vale  1  .  Se y = arc sen x, então arc sen (  ) é o arco do intervalo 2  ê - 2  ,  2 ú 2  ë û 1  p Logo arc sen (  ) =  .  2  3 B) A função arco­cosseno  y  Seja a função f: D ® A, definida por f(x) = cos x, com  1  D = [0, p ] e A = [­1, 1]. Nessas condições, f é bijetora.  Sua inversa, que chamaremos de função arco­cosseno é  a  função f  ­1  : A ® D, definida por f  ­1  = arc cos  x,  (x)  onde arc cos x é o arco cujo cosseno é x.  p 0 p x  2  Exemplo:  Seja y = arc cos x. Calcule y = arc cos ( - 3 )  ­ 1  2  Solução:  5p y = arc cos ( - 3 2  ) é o arco do intervalo [0, p] cujo cosseno vale  - 3 . Logo arc cos ( - 3 ) =  2  2  6  Matemática ­ M3  1 9 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS  C) A função arco­tangente  é p pù Seja a função f: D ® R, definida por f(x) = tg x, com D = ê- ,  ú . Então f é bijetora. Sua inversa, que  ë 2  2 û chamaremos de função arco­tangente é a função f  ­1 : R ® D, definida por f ­1  (x) = arctg x onde arctg x é o  arco cuja tangente vale x.  Exemplo: Calcule arctg (­1)  y  Solução:  é p pù arctg (­1) é o arco do intervalo ê- ,  ú , cuja  ë 2  2 û p 0  p - x p 2 2  tangente vale ­1. Logo, arctg (­1) = - 4 1. Ache o domínio da função y = arcsen (3x + 1)  Solução:  Como o domínio de f(x) = arcsen x é  - 1 £ x £ 1  , deveremos ter:  2 - 1 £ 3  + 1 £ 1 ;  - 2 £ 3  £ 0 ;  - x  x  £ x £ 0  3  Resposta:  - 2 £ x £ 0  3  2. (PUC­SP) Um dos valores de sen (arcsen 3/5 + arcsen 2/3) é:  5 - 8  5 + 8  5 - 8  5 + 8  3 5  + 8  a)  b)  c)  d)  e)  16  17  14  12  15  Solução:  Observe que se arcsen x = a, então sen a = x.  3  3  p p Então, teremos arcsen (  ) = a ® sen a =  e  - £ a £ 5  5  2 2  2  2  p p arcsen (  ) = b ® sen b =  e  - £ b £ .  3  3  2 2  O que se pede então é achar y = sen (a + b), logo: y = sen a cos b + sen b cos a (I)  2  2  Usando a relação sen  x + cos  x = 1, e observando os quadrantes onde estão a e b, você encontra que  4  3  5  2  4  3  5  + 8  cos a =  e cos b =  5  3 ; substituindo em (I), você terá:  y = .  + .  ® y  = .  5  5  3  3  5  15  Resposta : e 2 0  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  NÚMEROS COMPLEXOS 1 ­ INTRODUÇÃO  A impossibilidade da realização de algumas operações  levou o matemático a ampliar os conjuntos numéricos.  Assim, para que a ­ b existisse, para a Î N e b Î N com a < b foi criado o conjunto Z dos números inteiros. Se  a  a e b são inteiros, será definido só se b ¹ 0 e se for criado o conjunto Q dos números racionais. A extração  b  de raízes de números positivos levou à criação dos números reais (R).  Mas o conjunto R tem ainda uma limitação que nos incomoda desde o momento em que aprendemos a  resolver equações do 2º grau. Nessas equações, se D < 0, ao usar a fórmula resolutiva aparece a raiz quadrada  de um número negativo, que em R não existe. O que vamos fazer nesta unidade é ampliar o conjunto R, ou  seja, vamos criar um novo conjunto numérico, que contém R, no qual a radiciação será sempre possível. Assim,  nesse novo conjunto numérico, as equações de 2º grau com D < 0 também terão solução. 2 ­ CRIANDO UM NOVO TIPO DE NÚMERO  2  Seja a equação: x  ­ 4x + 13 = 0. Seu discriminante é: D = 16 ­ 52 = ­36. Em R, essa equação não tem  solução. Apesar disso, usemos a fórmula de Báskara.  4 ± - 36  4 ± 36  -1  .(  )  4 ± 6  - 1  x= ;  x = ;  x = 2  2  2  2  ± 3  - 1 Se imaginarmos um novo conjunto numérico, no qual exista um número, que representaremos por i, tal que  2  i  = ­1, então - 1  = i e teremos:  x’ = 2 + 3i e x” = 2 ­ 3i. Um tal número será chamado de número complexo. 3 ­ DEFINIÇÃO DE NÚMERO COMPLEXO  2  Sejam x e y números reais e i um número tal que i  = ­1. Chama­se número complexo a todo número da forma:  Z = x + yi.  a) A forma Z = x + yi é chamada de forma algébrica do número complexo.  b) Em Z = x + yi, x é a parte real e y é a parte imaginária. Representa­se por: ìRe(Z) = x  Z  = x + yi ® í î Im(Z) = y  c) O número i é a unidade imaginária.  d) Em z = x + yi, temos:  ­ se y = 0, então Z é um número real  ­ se x = 0 e y ¹ 0, então Z é imaginário puro.  Observe que o conjunto dos reais R está contido no conjunto dos números complexos, que representaremos por C. 4 ­ IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS  ìa = c  Solução:  a + bi = c + di « í îb = d  Devemos ter: x ­ 1 = 3;    x = 4  Exemplo: Se (x ­ 1) + 2i = 3 + (y + 2)i, calcule x e y.  y + 2 = 2;    y = 0 Matemática ­ M3  2 1 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS 5 ­ ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS  Se a + bi e c + di são dois números complexos, define­se:  a) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i  b) (a + bi) ­ (c + di) = (a ­ c) + (b ­ d)i 6 ­ MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS  Se Z  = a + bi e Z  = c + di define­se  1  2  Z  . Z  = (a + bi) . (c + di) = (ac ­ bd) + (ad + bc)i  1  2  Obs.: proceda como se estivesse multiplicando duas expressões e depois substitua i por ­1.  Exemplo: Calcule: (2 ­ 3i)(­1 + i)  Solução:  2  (2 ­ 3i)(­1 + i) = ­2 + 2i + 3i ­ 3i  = ­2 + 5i + 3  = 1 + 5i 7 ­ POTÊNCIAS DE i  Observe que:  0  i  = 1  2  i  = ­1  1  i  = 1  3  2  i  = i  . i = ­ i  n  A partir daí, i  dará um desses valores, e para calcular seu valor basta achar o resto da divisão de n por 4.  Exemplo: Calcule:  9  a) i  26  b) i  507  c) i Solução:  a)  9  4 9  1  Õ i  =  i  = i  1  2  b)  26  4 26  2  Õ i  = i  = ­1  2  6  c) Para achar o resto da divisão de 507 por 4, basta  dividir o número formado pelos dois últimos algarismos por 4.  7  4 Õ 507  3  i  = i  = ­i  3  1 8 ­ PROPRIEDADES  Os números complexos satisfazem às nove propriedades operacionais da álgebra.  P.1) Comutativa  Z  + Z  = Z  + Z  e   Z  . Z  = Z  . Z  1  2  2  1  1  2  2  1  P.2) Associativa  (Z  + Z  ) + Z  =  Z  +( Z  + Z  )  1  2  3  1  2  3  (Z  . Z  ) . Z  = Z  . (Z  . Z  )  1  2  3  1  2  3  P.3) Distributiva  Z  .( Z  + Z  ) = Z  . Z  + Z  . Z  1  2  3  1  2  1  3  P.4) Existe o elemento neutro da adição e da multiplicação.  P.5) Existe o elemento simétrico da adição e o elemento inverso da multiplicação. 2 2  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  1) Determine x e y reais para que se tenha: (x + yi)(3 + 4i) = 7 + 26i Solução:  2  2  (x + yi)(3 + 4i) = 3x + 4xi + 3yi + 4yi  , e como i  = ­1, teremos:  (x + yi)(3 + 4i) = (3x ­ 4y) + (4x + 3y)i. Queremos que: (3x ­ 4y) + (4x + 3y)i = 7 + 26i e então:  ì3  - 4  = 7  x  y  í î x  y 4  + 3  = 26  que resolvido nos dá x = 5 e y = 2.  6  2) Calcule (1 ­ i)  Solução:  2  2  Observe inicialmente que: (1 ­ i)  = 1 ­ 2i + i  = ­2i  6  2  3  3  3  2  Portanto: (1 ­ i)  = [(1 ­ i)  ]  = (­2i)  = ­8i  = ­8 . i  . i = 8i 9 ­ CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO  Se Z = x + yi, seu conjugado é o número  Z  = x ­ yi.  Propriedades:  P.1) (Z) = Z  P.2)  Z  + Z 2  = Z  + Z  1  1  2 P.3)  Z  . Z  = Z  . Z  1  2  1  2 10 ­ DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS  Sejam Z  e Z  números complexos com Z  ¹ 0. Define­se:  1  2  2 Z  1  Z  . Z  = 1  2  Z  2  Z  . Z  2  2 1  2  + i  Exemplo: Efetue  3 - i  1  2  (  + 2 )(3 + i  3 + i + 6  + 2 2  1  7  1 + i  1  i  )  i  i  + i  7  Solução:  = = 2 = = + i  3 - i  (3 - i  + i  )(3  )  9 - i  10  10  10  1) Determine Z Î C tal que iZ + 2 Z  = ­3 ­ 3i Solução:  Seja Z = x + yi, com x e y reais. Então a equação dada fica: i(x + yi) + 2(x ­ yi) = ­3 ­ 3i e daí vem:  (2x ­ y) + (x ­ 2y)i = ­3 ­ 3i.  ì2  - y = -3  x  Portanto, devemos ter:  í que resolvido dá   x = ­1 e y = 1.  îx - 2  = -3  y Resposta: Z = ­1 + i. Matemática ­ M3  2 3 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS  2) Determine o número complexo cujo produto por  5 + 8i é real e cujo quociente por 1 + i é imaginário puro. Solução:  Seja Z = x + yi o número procurado, queremos que:  a) (x + yi) (5 + 8i) = (5x ­ 8y) + (8x + 5y)i seja real.  Então: 8x + 5y = 0 (I)  x  + yi  x  + y  y  - x  x + y b)  = + i seja imaginário puro. Logo  = 0 ou x + y = 0 (II) e y ­ x ¹ 0  1 + i  2  2  2  Resolvendo o sistema  ì8  + 5  = 0  x  y  í î x + y = 0  x + yi  encontra­se x = 0 e y = 0. Mas para esses valores y ­ x = 0 e o quociente  não é imaginário puro.  1  i + Resposta: Não existe tal número. 11 ­ REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO  Um número complexo pode ser representado também como um par  ordenado  de  números  reais,  bastando  para  isso  fazer  a  correspondência  x  +  yi « (x,  y).  Desse  modo,  a  cada  número  complexo Z  = x  + yi  corresponde um  ponto P  = (x,  y) no  plano  cartesiano. Ponto esse que é chamado de afixo de Z, e o plano  passa a ser denominado plano de Argand­Gauss. Observe que:  a) Os números reais, Z = x + 0i, são representados no eixo x, que  passará a ser chamado de eixo real.  b) Os números da forma Z = 0 + yi, com y ¹ 0, são representados no  eixo y, que chamaremos de eixo imaginário. 12 ­ MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO  Se Z = x + yi, chama­se módulo de Z ao número representado por  | Z | ou r e definido por:  2  2 | Z | = r =  x  + y  Obs.: O módulo de um número complexo representa a  distância do seu afixo à origem.  Propriedades  n  n a)  Z  = Z d)  Z  = Z  b)  Z  . Z 2  = Z  . Z 2  1  1  e)  Z  + Z  £ Z  + Z  (desiguadade triangular)  1  2  1  2 Z  Z  c)  1  = 1  (Z  ¹ 0) 2 Z  2  Z  2 2 4  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  5 + 2  i  1) Determine o módulo de Z =  5 - 2i Solução:  5 + 2  i  5 + 2  i  Z  = = . Como  5 + 2i  e  5 - 2i  são conjugados, eles têm o mesmo módulo; logo | Z | = 1.  5 - 2  i  5 - 2  i13­ ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO  Seja Z = x + yi de afixo P = (x, y). Chama­se argumento de Z  o ângulo q formado pelo semi­eixo positivo Ox e pelo segmento  OP,  ângulo  esse  tomado  no  sentido  anti­horário.  Para  determinar q observe que:  x  y  cosq = e  senq = r  r  Exemplos: Determine o argumento dos números:  a)  Z = 3 + i b) Z = 1 ­ i  c) Z = ­3i  Solução:  b) Z = 1 ­ i  c) Z = ­3i  a)  Z = 3 + i r = 1  + (  1 2  ;  r = 2  2  - )  r = 0  + (  3  2  ; r = 3  2  - )  2  r= ( 3 ) 2  + 1  ; r = 3  + 1 ; r = 2  ü cos q = 0  ü 1  2  o  ý q = 270  3 ü cos  = q = ï sen q = -1  cos  = q ï 2  ï 2  þ 2  ï Þ q = 30  ou q = p rd  o  ý o  ý Þ q = 315  1  ï 6  1  2  ï sen q = sen q = - =- 2  ï þ 2  2  ïþ14 ­ FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO  A forma algébrica para cálculo de potências ou raízes de números complexos torna a operação quase impraticável,  por isso veremos como representar um número complexo numa outra forma muito mais prática.  Seja então Z = x + yi, cujo módulo representaremos por r, e cujo argumento representaremos por q . Então:  x  cosq = Õ x = r cos q r y  senq = Õ y = r sen q r Logo, substituindo em Z = x + yi, obtém­se:  Z =  r cos q + i . r sen q ;  Z = r . (cos q + i sen q )  que chamamos de forma trigonométrica de Z. Matemática ­ M3  2 5 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS  Exemplo: Ache a forma trigonométrica de Z = 1 +  3  i Solução:  Logo:  Z = 1 +  3  i  1 +  3  i = 2 (cos 60º + i sen 60º)  r =  1  3 = 2  + Observação: Se Z  = r  . (cos q 1  + i sen q 1  1  1  ) e  Z  = r  . (cos q 2 + i sen q 2  2  2  )   prova­se que:  1  ü cos  = q 2  ï q = 60  ï o  a) Z  . Z  = r  . r  [cos ( q 1  + q 2  1  2  1  2  ) + i sen ( q 1 + q 2  )]  ý 3 ï sen q = Z  1  r  2  ï þ b)  = 1  [cos(  1 - q 2 ) + i sen(  1 - q 2 )] q q Z  2  r  2 15 ­ POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS  A fórmula Z  . Z  = r  . r  [cos ( q 1 + q 2  1  2  1  2  ) + i sen ( q 1 + q 2  )] vale para um número finito de fatores. Desse modo,  se Z = r . (cos q + i sen q ), teremos:  n  Z  = r . r . ... . r . [cos ( q +...+ q ) + i sen ( q + ... + q )], e então:  1 24 4 3 1 24 4 3 1 24  4 3 n fatores  n parcelas  n parcelas  n  n  Z  = r  . (cos n q + i sen n q ) Õ 1ª fórmula de De Moivre.  5  Exemplo: Calcule (  3  + i) Solução:  Logo:  Z = 2 (cos 30º + i sen 30º) e então;  Z =  3  + i  5  5  Z  = 2  . (cos 150º + i sen 150º)  r =  3 + 1 = 2  æ 3  ö 1  5  Z  = 32 . ç - ÷ 5  ç 2  + i. 2  ;  Z  = -16  3 + 16 i  ÷ 3 ü è ø cos  = q ï 2  ï q = 30  ý o  1  ï sen q = ï 2  þ 2n  1) Mostre que, se (  3  + i)  , com n inteiro, é real, então n é múltiplo de 3. Solução:  æ p pö 3  + i  = 2  ç cos  + i sen ÷ , concorda?  è 6  6ø 2  p n  2  p ö n  2  n  æ n  p n  ö p Então: ( 3 + i  ) 2  n  2 æ = 2  n ç cos  è 6  + i sen 6  ø ÷ ou ( ) 3  + i  = 2  n  ç cos  2 è 3  + i sen ÷ .  3  ø np Como esse número é real,  sen  = 0 .  3  n  p Portanto,  = Kp e daí n = 3K, K Î Z e n é múltiplo de 3. 3 2 6  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS 16  ­  RADICIAÇÃO DE  NÚMEROS  COMPLEXOS  Seja Z um número complexo e n Î N*. Chama­se raiz enésima de Z e representa­se por  n  Z  ao número  n  complexo w tal que w  = Z.  n  Se Z = r (cos q + i sen q ) e w = p (cos a + i sen a ) então como w  = Z, obteremos:  n  p  . (cos n a + i sen n a ) = r (cos q + i sen q ) e daí:  n  p  = r ® p = n r  cos n  =  cos  ü a q ý Þ n  = q + 2  p e então: a K  sen n  =  senq þ a q 2K  p a =  + , onde K varia de 0 a n ­1, pois a partir daí obtemos arcos congruos com os arcos já obtidos.  n n  n é q + 2  p K  q + 2  p ù K  Concluímos, então, que:  Z  = n  r  êcos  .  + i sen  . K  = 0  1  ..., n - 1  ,  , ë n  n  ú û Essa é a 2ª fórmula de De Moivre.  Observe que o número de raízes complexas de um número é igual ao índice da raiz.  Exemplo: Calcule 3 - 64 Solução:  ­ 64 = 64 . (cos p + i sen p ), concorda?  3  3  é p + 2K  p p + 2K  ù p Então: - 64  = 64 .  êcos  + i . sen ú ë 3  3  û æ p pö K  = 0 ® Z  = 4 ç cos  + i sen ÷ = 2 + 2  3 i 1  è 3  3 ø K  = 1 ® Z  = 4 ( cos p + i sen p ) = -4  2  æ 5 p 5  ö p K  = 2 ® Z  = 4 ç cos  + i sen ÷ = 2 - 2  3 i 3  è 3  3  ø17­ INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA  a) As raízes enésimas de Z têm todas o mesmo módulo,  por isso a representação dessas raízes no plano de  Argand­Gauss situa­se sobre uma circunferência de  raio igual a  n  r  e centro (0, 0).  b)  As  raízes  quadradas  de  um  número  Z  são  extremidades  de  um  diâmetro  da  circunferência  descrita em a.  c)  As  raízes  de  índice  n ³ 3  são  vértices  de  um  polígono  regular  de  n  lados  inscrito  na  circunferência descrita em a.  Assim, as raízes cúbicas de ­64 são lados do triângulo  eqüilátero inscrito na circunferência de centro (0,  0) e raio 4. Matemática ­ M3  2 7 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS  EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 1­ DEFINIÇÃO  Equação algébrica, de grau n, é toda sentença do tipo p(x) = 0, onde p(x) é um polinômio de grau n.  Assim, equação algébrica é uma equação da forma:  n  a  . x  + a  n ­ 1  + ... + a  . x + a  = 0  n  n ­ 1  . x  1  o  , onde  • a  , a  , ..., a  são números complexos, a  ¹ 0  o  1  n  n2 ­ RAIZ DE UMA EQUAÇÃO  Um número a é raiz da equação P(x) = 0, se P( a ) = 0.  3  2  3  Assim, se P(x) = 2x  ­ 3x  + 8x ­ 12, as raízes da equação P(x) = 0 são  , 2i, ­2i, como você pode verificar por  2  substituição direta.  Nesta unidade, aprenderemos como determinar as raízes de uma equação. 3 ­ TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA (T.F.A.)  T.F.A.: Toda equação algébrica de grau n ³ 1 tem ao menos uma raiz complexa.  Se P(x) é, então, um polinômio de grau n ³ 1, pelo T.F.A., ele tem ao menos uma raiz que chamaremos a 1 .  Pelo teorema de D’Alembert, segue que P(x) = (x ­ a 1  ) . P  (x), sendo P  (x) um polinômio de grau n ­ 1.  1  1  Se n ­ 1 ³ 1, o T.F.A. nos permite afirmar que P  (x) = (x ­ a 2  1  ) . P  (x), o que acarreta:  2  a:  P(x) = (x ­ a 1  )(x ­ a 2  ) . P  (x)  2  Aplicando sucessivamente o T.F.A., chegaremos a:  P(x) = (x ­ a 1  ) . (x ­ a 2  ) ... (x ­ a n  n  ) P  (x)  onde  P  (x) = a  .  n  n  Este é o teorema da decomposição.  Todo polinômio de grau n ³ 1 pode ser fatorado na forma:  P(x) = a  . (x ­ a 1  n  ) . (x ­ a 2  ) ... (x ­ a n  ), onde a 1  a 2  a n  são suas raízes.  , , Conseqüência:  Toda equação algébrica P(x) = 0, de grau n ³ 1, tem exatamente n raízes.  Observação: Se uma determinada raiz a aparecer m vezes, diremos que é raiz a de multiplicidade m, o que  equivale a dizer que P(x) = (x ­ a)  . Q(x) e Q( a ) ¹ 0.  m  3  2  1) Resolva a equação 2x  ­ 3x  ­ 3x +2 = 0, sabendo que uma de suas raízes é o número ­1, e em seguida  decomponha o polinômio do 1º membro.  Solução:  Se ­1 é raiz, então p(x) = (x + 1) . Q(x). Fazendo  2  Então P(x) = 0 equivale a (x + 1)(2x  ­ 5x + 2) = 0.  a divisão por Briot­Ruffini, achamos Q(x). As  duas  outras  raízes  são  raízes  de  2  2x  ­ 5x + 2 = 0, que resolvida nos dá 2, 1/2.  ­1  2  ­3  ­3  2  Logo: S = {­1, 1/2, 2} e temos:  2  Õ Q(x) = 2x  ­ 5x + 2  2  ­5  2  0 P(x) = 2(x + 1)(x ­ 2)(x ­ 1/2) = (x + 1)(x ­ 2)(2x ­ 1)  2 8  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  4  3  2  2) Resolver a equação x  ­ 5x  + 10x  ­ 20x +24 = 0, sendo duas de suas raízes os números 2 e 3.  Solução:  Como 2 e 3 são raízes, P(x) = (x ­ 2)(x ­ 3) . Q(x). Dividimos então P(x) por x ­ 2, obtendo Q  (x); então  1  dividimos Q  (x) por x ­ 3,obtendo Q(x).  1  2  1  ­5  10    ­20      24  2  As demais raízes são raízes de x  + 4 = 0, que dá x = ± 2i.  3  1  ­3  4     ­12  0  S = {2, 3, 2i, ­2i}  1  4 0  4  1 2 3 4  0  Q(x)  1  3) Obtenha o polinômio P(x) de grau 3, que possui uma raiz igual a  ,­1 como raiz dupla e P(0) = ­1.  2  Solução:  1  Pelos dados, podemos dizer que  P  x  = a (  - )(  + 1 2  (  )  x  x  ) .  2  1  Como P(0) = ­1, vem:  a(0 - )(0 + 1 2  = 1  ) ; a = 2.  2  1  x  )2  2  3  2  Portanto,  P  x  = 2  x - )(  + 1  ; P(x) = (2x ­ 1) (x  + 2x +1) ou P(x) = 2x  +  3x  ­ 1.  (  )  (  2 4 ­ PESQUISAS DE RAÍZES RACIONAIS E INTEIRAS Teorema das raízes racionais  n  n ­ 1  p  Seja a equação a  . x  + a  . x  + ... + a  . x + a  = 0, de coeficientes inteiros. Se o número racional  n  n ­ 1  1  o  ,  q  com p e q primos entre si, é raiz da equação, então p é divisor de a  e q é divisor de a  .  o  n  Observe que:  ­ O teorema só se aplica a equações com coeficientes inteiros.  p  ­ O teorema não afirma que a equação tem raízes racionais da forma  , mas se elas existirem, então p  q  é divisor de a  e q é divisor de a  .  o  n  ­ Se a equação P(x) = 0, de coeficientes inteiros, tem uma raiz p, inteira, então p é divisor de a  .  o  ­ Se a  = 1e a equação P(x) = 0 admitir raízes racionais, essas serão necessariamente números inteiros.  n  3  2  Exemplo: Verifique se a equação x  ­ x  + 2x ­ 2 = 0 tem alguma raiz inteira.  Solução:  As possíveis raízes inteiras são ­1, 1, ­2, 2 (divisores de 2). Mas:  P(­1) = ­6; P(1) = 0; P(­2) = ­10 e P(2) = 6. Logo a equação tem uma única raiz inteira, que é o número 1. 5 ­ PESQUISA DAS RAÍZES COMPLEXAS Teorema das raízes complexas  Se o número Z = a + bi é raiz de multiplicidade m de uma equação de coeficientes reais, então o seu  conjugado  Z  = a ­ bi também é raiz de multiplicidade m da equação. Conseqüências:  ­ Numa equação algébrica de coeficientes reais, as raízes complexas e não reais ocorrem aos pares.  ­ Uma equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar tem ao menos uma raiz real. Matemática ­ M3  2 9 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS  1) Forme uma equação de coeficientes reais e menor grau possível, que tenha como raízes 1, ­i e 2i. Solução:  Se ­i e 2i são raízes, seus conjugados i, ­2i também são. Logo, a equação procurada é:  2  2  a(x ­ 1)(x + i)(x ­ i)(x ­ 2i)(x + 2i) = 0    ou     a(x ­ 1) (x  +1)(x  + 4) = 0  4  3  2  2) Resolva a equação x  ­ x  ­ 5x  + 7x + 10 = 0, sendo 2 + i uma de suas raízes. Solução:  Se 2 + i é raiz, 2 ­ i também é; portanto:  2 + i     1  ­1  ­5            7         10  Para  achar  as  outras  raízes,  resolva  a  equação  2  2 ­ i       1  1 + i    ­4 + 3i     ­4 + 2i      0  x  + 3x + 2 = 0. Você achará ­1 e ­2.  S= {­1, ­2, 2 + i, 2 ­ i}  1  3  2  0 6 ­ RAÍZES REAIS Teorema de Bolzano  Se P(x) = 0 é uma equação algébrica com coeficientes reais e ] a, b [ é um intervalo real aberto, temos:  a) Se P(a) e P(b) têm mesmo sinal, então existe um número par de raízes reais em ] a, b [ ou não existem  raízes reais em ] a, b [.  b) Se P(a) e P(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar de raízes reais da equação em  ] a, b [.  Exemplos:  3  2  1) Quantas raízes reais a equação x  + 5x  ­ 3x + 4 = 0 pode ter no intervalo (0, 1)? Solução:  P(0) = 4 > 0  Conclusão: a equação pode ter duas ou nenhuma raiz real no intervalo (0, 1).  P(1) = 7 > 0  5  4  3  2 2) Determine m na equação: x  ­ 2x  + 3x  ­ 5x  + x + (m ­ 3) = 0 de modo que ela tenha ao menos uma raiz real  compreendida entre 0 e 2. Solução:  P(0) = m ­ 3  P(2) = m + 3  Para que a equação dada tenha ao menos uma raiz real no intervalo dado, P(0) e P(2) devem ter sinais opostos,  ou seja, P(0) . P(2) < 0.  Logo: (m ­ 3)(m + 3) < 0, que resolvido dá:  ­ 3 < m < 3. 7­ RELAÇÕES DE GIRARD  São relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação algébrica. 7.1­ Relações de Girard para uma equação do 2º grau.  2  ax  + bx + c = 0;    x  e x  Õ raízes.  b  c  1  2 x  + x  = - 1  2 x  . x  = 1  2  a  a  3 0  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS 7.2 ­ Relações de Girard para uma equação do 3º grau  3  2  ax  +bx  + cx + d = 0;    x  , x  e x  Õ raízes.  1  2  3 b  c  d  x  + x  + x  = - 1  2  3 x  . x  + x  . x  + x  . x  = 1  2  1  3  2  3  x  .  x  . x  = - 1  2  3  a  a  a 7.3 ­ Relações de Girard para uma equação do 4º grau  4  3  2  ax  +bx  + cx  + dx + e = 0;    x  , x  , x  , x  Õ raízes.  1  2  3  4 b  c  x  + x  + x  + x  = - 1  2  3  4 x  . x  + x  . x  + x  . x  + x  . x  + x  . x  + x  . x  = 1  2  1  3  1  4  2  3  2  4  3  4  a  a  d  e  x  .  x  .  x  + x  .  x  .  x  + x  .  x  .  x  + x  .  x  . x  = - 1  2  3  1  2  4  1  3  4  2  3  4  x  .  x  .  x  . x  = 1  2  3  4  a  a  3  2  1) Resolva a equação x  ­ 6x  + 3x +10 = 0, sabendo que uma raiz é média aritmética das outras duas. Solução:  a + c Sejam a, b, c as raízes e suponhamos que  b = 2  ou seja a + c = 2b. Pelas relações de Girard, temos a + b + c = 6; 2b + b = 6; b = 2  Sendo 2 uma de suas raízes, teremos:  2  1  ­6  3  10  1  ­4  ­5  0  Logo, as outras raízes são as raízes de  2  x  ­ 4x ­ 5 = 0, que são ­1 e 5.  2) Sendo a, b, c as raízes da equação  3  2  2  2  2  x  +5x  ­7x ­4 = 0 calcule a  + b  + c  . Solução:  Das relações de Girard, obtemos: a + b + c = ­ 5 (I)  ab + ac + bc = ­7(II)  a . b . c = 4 (III)  2  2  De I vem: (a + b + c)  = (­5)  .  2  2  2  a  + b  + c  + 2ab + 2ac + 2bc = 25  2  2  2  a  + b  + c  + 2(ab + ac + bc) = 25  2  2  2  ( a  + b  + c  ) + 2. (­7) = 25  2  2  2  a  + b  + c  = 39 Matemática ­ M3  3 1 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS  ESTUDO ANALÍTICO DA RETA 1 ­ COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO  Consideremos, sobre um plano, dois eixos, x e y, perpendiculares, cuja interseção, 0, é tomada como  origem dos dois eixos. Seja P um ponto qualquer desse plano. A partir de P, trace paralelas aos eixos.  Essas retas os interceptarão em P  e P  . As coordenadas de P  e P  ,que representaremos por x e y, são  1  2  1  2  as coordenadas cartesianas de P e serão indicadas por P(x,y), onde x é a abscissa e y é a ordenada.  P  2  P  1 Os eixos dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes, e que são numerados no sentido anti­horário.  1. Considere o ponto M(2 ­ 3K, 5). Ache K para que ele:  a) Pertença ao eixo y.  b) Pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares. Solução:  2  a) Para que M pertença ao eixo y, sua abscissa deve ser nula, concorda? Logo:  2 ­ 3K = 0;  K = .  3  b) Da definição de bissetriz, você sabe que um ponto dela eqüidista dos lados do ângulo. Logo, se M  pertence à bissetriz do 1º e 3º quadrantes, suas coordenadas serão iguais. Então: 2 ­ 3K = 5; K = ­1 2 ­ PONTO MÉDIO  Dados: P(x  , y  ) e Q(x  , y  )  1  1  2  2  Achar: M(x  , y  ) ponto médio de PQ  m  m  y  2 Solução:  y  m  PMR e MQS são congruentes.  x  + x  1  2  y  Logo:  PR = MS ® x  ­ x  = x  ­ x  ® x  =  m  1  2  m m  1  2 y  + y  1  2  MR = SQ ® y  ­ y  = y  ­ y  ® y  =  m  1  2  m m  x  1  x  m  x  2  2 x  + x  1  2  y  + y  Logo:  x  =  m  e  y  =  1  m  2  2 2 3 2  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS 3 ­ FÓRMULA DA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS  Dados: P(x  , y  ) e Q(x  , y  )  1  1  2  2  Achar: d, a distância entre P e Q. Solução:  y  2  2  2  2  No triângulo PQR, temos: d  = PR  + RQ  2  2  y  1  2  d  = (x  ­ x  ) + (y  ­ y  )  daí  2  1  2  1  2  2 x  1  x  2  d  = (x  - x )  + (y  - y  )  2  1  2  1  1. Dados A(­5, 2) e M(4, ­7), ache as coordenadas do ponto M’ simétrico de M em relação a A. Solução:  M’ é simétrico de M em relação a A, desde que A seja ponto médio de MM’.  Façamos M’ = (x,y). Teremos:  •  M’  x  + x  4  + x  x  =  M  A  ® -5  = ® x  = -14 2  2  •  A  y  + y  ­ 7  + y  y  =  M  A  ® 2  = ® y  = 11 2  2  •  M  Resposta: M = (­14, 11) 4 ­ INCLINAÇÃO DE UMA RETA  Seja r uma reta não paralela ao eixo x. Inclinação de r é o menor ângulo segundo o qual devemos “girar” o eixo x em torno  de A, no sentido anti­horário, para que ele coincida com a reta. Se r for paralela ao eixo x, sua inclinação é nula. p q = 2  • 5 ­ COEFICIENTE ANGULAR Definição:  Seja r uma reta não paralela ao eixo Oy. Chama­se coeficiente angular de r (ou declive) ao número real  m = tg q, onde q é a inclinação da reta. Observações:  ­ Alguns autores usam a palavra inclinação como sinônimo de coeficiente angular.  ­ É fácil perceber que se q é agudo, m > 0, se q é obtuso m < 0, e se q = 90°, a reta não tem coeficiente angular. Matemática ­ M3  3 3 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS 6 ­ CÁLCULO DE M DADOS DOIS PONTOS DA RETA  No triângulo PQR, temos:  RQ  y  - y  m  = tg  = q = 2  1  y  PR  x  - x  , ou seja  2  1 2  y  - y  2  1  y  1  m  = x  - x  2  1 x  1  x  2 7 ­ EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA  Seja r uma reta não vertical, de coeficiente angular m, e  que corta o eixo y no ponto N (0, n). Se M(x, y) é um  ponto genérico da reta, teremos:  y  - n  m  = ® y = mx + n  (equação reduzida da reta)  x  - 0Observações:  m é o coeficiente angular e n é o coeficiente linear.  De acordo com isso, a equação y = 2x + 3 representa uma  reta  de  coeficiente  angular  2, portanto,  crescente  e  que  corta o eixo y no ponto (0,3), pois o coeficiente linear vale 3. 8 ­ EQUAÇÃO DE UMA RETA QUE PASSA POR UM PONTO P  (X  , Y  ) E TEM  0  0  0 COEFICIENTE ANGULAR M  Seja  uma reta que passa por P  (x  , y  ) e tem coeficiente angular m. Se P(x, y) é um ponto genérico da reta,  0  0  0  teremos:  y  - y  0  m  = e então:  y ­ y  = m(x ­ x  )  0  0  x  - x  0 y  y  P  o  y  o  x  o  x  x Observações:  ­ Se a reta for horizontal, m = 0 e sua equação se reduz a y = y  .  0  ­ Se a reta for vertical, m não existe. No entanto, se uma reta é vertical e passa por P  (x  , y  ), todos os seus  0  0  0  pontos têm a mesma abscissa e sua equação será x = x  . 0  3 4  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  1. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(3, 4) e B(5, 9). Solução:  Inicialmente, determinamos o coeficiente angular de AB.  9 ­  4  5  m  = ;  m  = 5 ­ 3 2 Achamos agora a equação da reta de coeficiente angular m = 5/2 e que passa por A(3, 4).  5  5  7  y  - 4  = (x  - 3) e daí: 2y ­ 8 = 5x ­ 15;  y  = x  - 2  2  2Observação:  Se usarmos o ponto B ao invés de A, obteremos a mesma equação. Verifique. 9 ­ EQUAÇÃO GERAL DA RETA  A) Toda reta pode ser dada por uma equação do tipo ax + by + c = 0, com a ¹ 0 ou b ¹ 0. Demonstração:  Se  a  reta  não  é  vertical,  ela  pode  ser  representada  pela  equação  reduzida  y  =  mx  +  n,  o  que  dá  mx ­ y + n = 0, que é uma equação do tipo ax + by + c = 0.  Se a reta for vertical, sua equação é x = x  ou x ­ 0y ­ x  = 0, que também é da forma ax + by + c = 0.  0  0  B) Toda equação do tipo ax + by + c = 0, com a ¹ 0  ou b ¹ 0 representa uma reta. Demonstração:  a  c  Suponhamos inicialmente que b ¹ 0. Então de ax + by + c = 0 obtemos  y  = - x  - , que é a equação  b  b a  reduzida de uma reta não vertical, de coeficiente angular  m  = - e que corta o eixo OY no ponto (O, n),  b c  c  onde  n  = - . Se b = 0, a equação fica ax + c = 0 ou  x  = - .  b a Como a ¹ 0 (pois b = 0), essa equação representa uma reta vertical.  Observação:  ­ A equação  ax + by + c = 0  é chamada equação geral da reta.  a  ­ Dada a equação geral, veja que  m  = - b Matemática ­ M3  3 5 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS  1. Determine o coeficiente angular da reta cuja equação é:  a) 2x ­ 3y + 1 = 0  b) 2y ­ 3 = 0  c) 3x ­ 1 = 0 Solução:  a  ­  2  2  a)  m  = - ;  m  = ;  m  = b ­ 3 3 a  0  b)  m  = - ;  m  = - ;  m = 0   e então temos uma reta horizontal.  b 2 a  3  c)  m  = - ;  m  = - = ?.  Como m não existe, a reta é uma reta vertical.  b 0 2. Determine os pontos onde a reta 2x ­ y + 3 = 0 intercepta os eixos coordenados. Solução:  3  A  interseção  com  o  eixo  x  é  obtida  fazendo­se  y  =  0.    Então  2x  ­  0  +  3  =  0,  x  = - e    temos  o  2 æ 3  ö ponto ç - ,0  .  è 2  ø ÷ A interseção com o eixo y é obtida fazendo­se x = 0. Logo: 2 . 0 ­ y + 3 = 0; y = 3 e obtemos o ponto (0, 3).  3. Determine a interseção das retas: (r): 2x ­ y + 1 = 0  (s): x + y ­ 5 = 0 Solução:  A interseção das retas, se existir, será um ponto que pertence a ambas. Basta, então, resolver o sistema  formado pelas equações das retas.  2x ­ y = ­1  4  11 æ 4  11ö x + y = 5  Resolvendo, você encontrará:  x  = e  y  = . Resposta:  ç ,  ÷ 3 3 è 3  3 ø 4. Seja a reta (r): x ­ 4y + 17 = 0. Determine um ponto de r, cuja distância ao ponto A(8, 2) é  34 . Solução:  Da equação dada, tiramos que x = 4y ­ 17. Logo um ponto de r é da forma (4y ­ 17, y). Sua distância ao ponto  A será:  2  2 2 d  = (4y  ­ 17 ­ 8)  + (y  - 2)  o que dá:  d  = 17y  ­  204y  + 629 .  2 Como d =  34  vem  17y  ­  204y  + 629  = 2  34  e daí 17y  ­ 204y + 629 = 34 e simplificando:  2  y  ­ 12y + 35 = 0, cujas raízes são y = 5 e y = 7.  Se y = 5  temos  x = 3  Se y = 7  temos  x = 11.  Resposta:  P  = (3, 5)  e  P  (11, 7)  1  2  3 6  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS 10 ­ CONDIÇÃO DE PARALELISMO  Duas retas (não paralelas ao eixo y) são paralelas se e somente se m  = m  .  r  s Demonstração:  r // s « q1  = q2 « tgq1  = tgq2 « m  = m  r  s 11 ­ CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO  Duas retas r e s são perpendiculares se e somente se m  . m  = ­1  r  s Demonstração:  Pelo teorema do ângulo externo, temos: q1  = 90º + q2 « tgq1  = tg(90º + q2  « ) 1  tgq1  = ­ cotgq2 « tgq1 = - tg  « q2 1  1 2 m  = - r  « m  . m  = ­1  r  s  m s Uma Observação Interessante:  Dada a equação geral de uma reta ax + by + c = 0, temos:  ­ A equação ax + by + k = 0 representa uma reta paralela à reta dada.  ­ A equação bx ­ ay + k = 0 representa uma reta perpendicular à reta dada.  1. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1, ­3) e é paralela à reta 2x ­ y + 1 = 0. Solução:  1º modo: Como a reta r procurada é paralela a 2x ­ y + 1 = 0, seus coeficientes angulares são iguais;  logo m  = 2. Como r passa por P(1, ­3), teremos: y + 3 = 2(x ­ 1); 2x ­ y ­ 5 = 0.  r  2º modo: Uma reta paralela a 2x ­ y + 1 = 0 é da forma 2x ­ y + K = 0. Como ela passa por P(1, ­3), temos  2 . 1 ­ (­3) + K = 0, o que dá K = ­5. Então a equação pedida é 2x ­ y ­ 5 = 0.  Matemática ­ M3  3 7 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS  2. Ache a equação da reta que passa pelo ponto P(2, ­3) e é perpendicular à reta 2x + 3y ­ 5 = 0. Solução:  2  1 3  1º modo:Coeficiente angular da reta dada:  m  =  ­  . Coeficiente angular da reta pedida:  m  =  ­  ;  m  =  .  3  m  r  2  3  Equação pedida:  y + 3  =  (x  - 2)  ® 3x  - 2y  - 12  = 0 2  2º modo:Uma reta perpendicular a 2x + 3y ­ 5 = 0 é do tipo 3x ­ 2y + k = 0. Como P(2, ­3) pertence a essa reta,  teremos 3 . 2 ­ 2 . (­3) + k = 0; k = ­12. Portanto, a equação é 3x ­ 2y ­ 12 = 0. 12 ­ ÂNGULO DE DUAS RETAS  Sejam r e s duas retas não perpendiculares, de coeficientes angulares, respectivamente, m  e m  .  1  2  Se nenhuma dessas retas é vertical, o ângulo agudo q entre as retas r e s é calculado por:  m  - m  q tg  = 1  2  1 + m . m  1  2 Se uma das retas é vertical, seja m o coeficiente angular  da outra reta. Prova­se que a tangente do ângulo agudo  entre elas é:  1  tg  = m 1. Calcule o ângulo agudo formado pelas retas:  a) r: 3x ­ y + 2 = 0      e  s: 2x + y ­ 1 = 0  b) r: x ­  3  y + 1 = 0  e  s: 2x + 3 = 0 Solução:  ­  2  ­  3  a) m  = 3 e m  = ­2. Portanto: tg q = r  s  ; tg q = 1. Então q = 45°  1 +  (­2).3 1  b) A reta s é vertical e m  =  r  . Logo tg q =  1  ® tg q =  3  . Então q = 60°  3  1  3 2. Ache a equação da reta que passa por P(2, 5) e que forma com ­x + 2y + 3 = 0 um ângulo de 45º. Solução:  1  m  - s  2  m  - m  s  r  = 1 Seja s a reta procurada e r a reta dada: tg 45° =  1 + m  . m  ;  1  s  r 1 + m  .  s  2  2m  - 1  2m  - 1  s  2m  - 1  1  Simplificando:  s  = 1 Logo:  = 1 ® m  = 3;  s  = ­1 « m  = - 2 + m  s  s  2 + m s  s 2 + m s 3  3 8  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  1ª solução: reta que passa por P(2, 5) e m = 3 ® y ­ 5 = 3(x ­ 2) ® 3x ­ y ­ 1 = 0  1  1  2ª solução: reta que passa por P(2, 5) e  m  = - ® y ­ 5 = - (x ­ 2) ® x + 3y ­ 17 = 0  3 3 13 ­ DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA  Dado o ponto P(x  , y  ) e a equação geral da reta r ax + by + c = 0, a distância de P a r é dada por:  0  0  ax  + by  + c  0  0  d  = 2  2 a  + b  1. Calcule o perímetro do quadrado que tem o vértice A(­1, 4) e um lado na reta r: x + y + 5 = 0. Solução:  Inicialmente verifique se A pertence a r.  ­1 + 4 + 5 = 0 ;  8 = 0 ;     A Ï r.  .  Então, o lado do quadrado é dado pela distância de A à reta r.  - 1 + 4  + 5  8  x  = ;  x  = ;  x  = 4  2 1 + 1 2 Logo, o perímetro do quadrado é 2p = 4 .  4  2  = 16  2 .  2. Calcule a distância entre as retas 2x ­ 3y + 1 = 0 e 2x ­ 3y ­ 5 = 0. Solução:  Observe inicialmente que esse problema só tem sentido se as retas forem paralelas. Se isso acontecer, a  distância entre elas é dada pela distância de um ponto de uma delas até a outra reta.  r  s  Determinemos, pois, um ponto da reta 2x ­ 3y + 1 = 0.  x = 1;    2 . 1 ­ 3y + 1 = 0;    y = 1;    P(1, 1).  Calculemos agora a distância de P à outra reta.  2  .  1 - 3  .  1 - 5  6  d  = ;  d  = 4 + 9 13 Matemática ­ M3  3 9 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS  ESTUDO ANALÍTICO DA  CIRCUNFERÊNCIA 1 ­ EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA  Seja uma circunferência de centro C(a, b) e raio r, no plano cartesiano. Se P(x, y) é um ponto qualquer da  circunferência, temos: d  = r  PC  2  2 (x ­ a)  + (y  - b)  = r (quadrando)  2  2  2 (x ­ a)  + (y ­ b)  = r  ® equação reduzida da  circunferência. 2 ­ EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA  2  2  2  Seja (x ­ a)  + (y ­ b)  = r  a equação reduzida da circunferência de centro C(a, b) e raio r.  Desenvolvendo, obtemos:  2  2 ­  2  2  2  x  + y  2ax ­ 2by + a  + b  ­ r  = 0 ® equação geral da circunferência. Observação:  2  2  Seja Ax  + By  + Cxy + Dx + Ey + F = 0 uma equação geral de 2º grau em x e y. Para que essa equação  represente circunferência, devemos ter:  2  2  A = B ¹ 0;     C = 0;     D  + E  ­ 4AF > 0  æ ­ D  ­ E ö Satisfeitas essas condições, o centro da circunferência é:  C  = ç ,  ÷ è 2A  2A ø 2  2 D  + E  - 4AF  e seu raio r é:  r  = 2.  A  1. Ache a equação da circunferência de centro C(1, 2) e que passa pelo ponto P(5, 5). Solução:  2  2  2  A equação reduzida da cincunferência procurada é (x ­ 1)  + (y ­ 2)  = r  Como o ponto P(5,5) pertence a ela, suas coordenadas devem satisfazer à equação.  2  2  2 2  (5 ­ 1)  + (5 ­ 2)  = r  ® r  = 25  2  2  Portanto, a equação pedida é:   (x ­ 1)  + (y ­ 2)  = 25 Observação:  O raio também poderia ser encontrado calculando­se a distância de C a P. 4 0  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  2. Ache a equação da circunferência de centro na reta y = 2x, e que passa pelos pontos P  (1, ­1) e P  (0, ­4).  1  2 Solução:  Seja C(a, b) o centro da circunferência. Como C pertence à reta y = 2x, teremos b = 2a. Logo C(a, 2a) e sua  equação será:  2  2  2  (x ­ a)  + (y ­ 2a)  = r  2  2  2 2  2  P  Î circunferência ® (1 ­ a)  + (­1 ­ 2a)  = r  ® 5a  + 2a + 2 = r  (I)  1 2  2  2 2  2  P  Î circunferência ® (0 ­ a)  + (­4 ­ 2a)  = r  ® 5a  + 16a + 16 = r  (II)  2 De I e II, concluímos:  2  2  5a  + 2a + 2 = 5a  + 16a + 16 e daí a = ­1. Pontanto o centro é C(­1, ­2).  Para achar r, é só substituir o valor de a = ­1 em I (ou II). Você achará r =  5  .  2  2  Logo, a equação procurada é: (x + 1)  + (y + 2)  = 5  3. Verifique se as equações abaixo representam circunferências. Em caso afirmativo, dê o centro C e o raio r.  2  2  a) 4x  + 4y  + 8x + 4y + 1 = 0  2  2  b) 3x  + y  + 4x ­ 6y ­ 7 = 0  2  2  c) x  + y  + 6x ­ 8y + 2xy ­ 1 = 0  2  2  d) 2x  + 2y  + 2x ­ y + 3 = 0 Solução:  a) Para fazer a verificação pedida, devemos comparar a equação dada com a equação geral. Como os coeficientes  2  2  de x  e y  na equação geral valem 1, vamos dividir os termos da equação dada por 4. Teremos:  2  2 1  x  + y  + 2x  + y  + = 0  4  Comparando com a equação geral, obtemos:  ­2a = 2; a = ­1  1  ­2b = 1; b = - 2  2  2  2  1  1  2  1  a  + b  ­ r  =  ® 1 +  ­ r  =  ® r = 1  4 4  4 1  Temos, portanto, uma circunferência onde C(­1, ­  )  e  r = 1  2  2  2  b) Não representa circunferência, pois os coeficientes de x  e y  são diferentes.  c) Não representa circunferência, pois na equação geral da circunferência não existe termo em xy.  2  2  d) 2x  + 2y  + 2x  ­ y + 3 = 0 (dividindo por 2)  2  2  1y  3  1  x  + y  + x ­  +  = 0 e então:  ­2a = 1; a = - 2  2  2  1  1  ­2b = - ; b =  2  4  2  2  2  3  1  1 2  3  2  ­ 19  ­ 19  a  + b  ­ r  =  ® +  ­ r  =  ® r  =  ; r =  = ??  2 4  16  2 16  16  Portanto, a equação não representa circunferência. Matemática ­ M3  4 1 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS  4. Calcule m, p e k para que a equação a seguir represente uma circunferência.  2  2  Equação: 2x  + my  + 2kxy + 2x + 2y + p = 0 Solução:  2  2  Os coeficientes de x  e y  devem ser iguais, m = 2. Além disso o termo em xy deve ter coeficiente nulo,  e então k = 0.  Substituindo m e k, obtemos:  2  2  2x  + 2y  + 2x + 2y + p = 0 (dividindo por 2)  2  2  p  1  = 0 e daí vem: ­2a = 1; a = - x  + y  + x + y +  2  2  1  ­2b = 1; b = - 2  2  2  2  p  1  1  2  p  1 ­ p  a  + b  ­ r  =  ® +  ­ r  =  e então: r =  2 4  4  2  2  1 ­ p  Para termos uma circunferência  > 0, o que dá p < 1  2  Resposta: m = 2, K = 0, p < 1 3 ­ POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA  1º modo: Calcule a distância do ponto dado P ao centro C da circunferência.  ­ Se PC  =  r, o ponto P pertence à circunferência.  ­ Se PC  >  r, o ponto P é exterior à circunferência.  ­ Se PC  <  r, o ponto P é interior à circunferência.  2º modo: Usando a equação reduzida.  2  2  2  Sejam dados o ponto P(x  , y  ) e a circunferência (x ­ a)  + (y ­ b)  ­ r  = 0  0  0  2  2  2  ­ Se (x  ­ a)  + (y  ­ b)  ­ r  = 0, P pertence à circunferência.  0  0  2  2  2  ­ Se (x  ­ a)  + (y  ­ b)  ­ r  > 0, P é exterior à circunferência.  0  0  2  2  2  ­ Se (x  ­ a)  + (y  ­ b)  ­ r  < 0, P é interior à circunferência.  0  0  3º modo: Usando a equação geral  2  2  2  2  2  Dados: P(x  , y  ) e a circunferência x  + y  ­ 2ax ­ 2by + a  + b  ­ r  = 0.  0  0  ­ Se  x  + y  - 2ax  - 2by  + a  + b  - r 2 = 0  , P pertence à circunferência.  2  0  2  0  0  0  2  2  ­ Se  x  + y  - 2ax  - 2by  + a  + b  - r 2 > 0 , P é exterior à circunferência.  2  0  2  0  0  0  2  2  ­ Se  x  + y  - 2ax  - 2by  + a  + b  - r 2 < 0 , P é interior à circunferência.  2  0  2  0  0  0  2  2  2  2  1. Calcule p para que o ponto A(7, 9) seja exterior à circunferência: x  + y  ­ 2x ­ 2y ­ p = 0 Solução:  2  2  Para que A seja exterior à circunferência dada, devemos ter: 7  + 9  ­ 2 . 7 ­ 2 . 9 ­ p > 0; o que dá p < 98.  Além disso, a equação dada deve representar uma circunferência.  Logo: ­2a = ­2 ® a = 1  ­2b = ­2 ® b = 1  2  2  2  2  2  a  + b  ­ r  = ­p;   1 + 1 ­ r  = ­p;   r  = p + 2;   r =  p + 2  e então p + 2 > 0;   p > ­2  Resposta: ­2 < p < 98 4 2  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  2  2  2. Considere a circunferência x  + y  + 2x ­ 6y + 6 = 0. Existe algum ponto de abscissa 3 no interior dessa  circunferência? Solução:  Seja  P(3,  a)  o  ponto  procurado.  Então,  para  que  P  esteja  no  interior  da  circunferência  devemos  ter:  2  9 + a  + 6 ­ 6a + 6 < 0  2  a  ­ 6a + 21 < 0  Mas essa inequação não tem solução. Portanto, não existe nenhum ponto satisfazendo ao problema. 4 ­ POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA  1º modo: Comparando a distância do centro da circunferência à reta com o raio.  Se d é a distância do centro C à reta s, e r é o raio, teremos:  * d = r, a reta é tangente à circunferência  * d < r, a reta é secante à circunferência  * d > r, a reta é exterior à circunferência  2º modo: Procurando a interseção entre a reta e a circunferência.  Para isso, montamos o sistema com as equações da reta e da circunferência.  ­ Se a solução for única, a reta e a circunferência são tangentes.  ­ Se tivermos duas soluções a reta e a circunferência são secantes.  ­ Se o sistema não tiver solução, a reta e a circunferência são exteriores.  2  2  1. Dada a reta x + y + c = 0 e a circunferência x  + y  ­ 2x = 0, ache c de modo que a reta seja exterior à  circunferência. Solução:  Inicialmente, verifique se a equação dada representa circunferência.  ­2a = ­2; a = 1  ­2b = 0; b = 0  2  2  2  2  a  + b  ­ r  = 0;   1 + 0 ­ r  = 0;   r = 1  Logo, temos uma circunferência de centro (1, 0) e raio 1. Para que a reta seja exterior à circunferência, a  distância do centro dessa à reta deve ser maior que o raio. Logo:  1 + c a)  > 1 ® c >  2  ­ 1   ou  1 + 0  + c  1 + c 2 > 1;  > 1 o que dá 1 + 1 2 1 + c b)  < ­1 ® c < ­  2  ­ 1  2 Matemática ­ M3  4 3 
    • Tecnologia             ITAPECURSOS  2  2  2. Calcule o comprimento da corda determinado pela reta x ­ y = 0, sobre a circunferência (x + 2)  + (y ­ 2)  = 16. Solução:  Verifique inicialmente se de fato a reta dada e a circunferência são secantes. Após isso, determine o centro  e o raio da circunferência. Você achará:  C(­2, 2) e r = 4  Calcule a distância do centro à reta  ­ 2 ­  2  4  d  = = 2  2 Aplique Pitágoras no triângulo BCM, lembrando que BC = r.  2  2  2  2  r  = d  + x  ;   16 = 8 + x  ;   x =  2  2  A corda AB vale 2x. Logo AB =  4  2 5 ­ POSIÇÃO RELATIVA DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS  1º Processo: Resolvendo o sistema formado pelas equações das circunferências.  ­ Se o sistema tiver duas soluções (2 pontos comuns), as circunferências são secantes.  ­ Se o sistema tiver uma única solução (1 ponto comum), as circunferências são tangentes exteriormente  ou tangentes interiormente.  ­ Se o sistema não tiver solução (nenhum ponto comum), as circunferências são exteriores ou uma é  interna à outra.  2º Processo: Comparando a distância entre os centros (d) com r  + r  ou |r  ­ r  | onde r  e r  são os raios.  1  2  1  2  1  2  a) d > r  + r  1  2  b) d = r  + r  1  2  r  1  r  2  r  1  r  2  C  1  C  2  C  1  C  2  As circunferências são exteriores.  As circunferências são tangentes exteriormente.  c) d = |r  ­ r  |  1  2  d) |r  ­ r  | < d < r  + r  1  2  1  2  e) d < |r  ­ r  |  1  2  As circunferências são  tangentes interiores.  As circunferências são secantes.  Uma circunferência é interior à outra. 6 ­ PROBLEMAS DE TANGÊNCIA  Faremos esse estudo na forma de exercícios resolvidos.  O  centro  e  o  raio  da  circunferência  dada  são:  C(1, 1) e r = 1.  1. (MAPOFEI­SP) Determinar as equações das retas  2  2  tangentes à circunferência x  + y  ­ 2x ­ 2y + 1 = 0  A reta procurada é tangente à circunferência se e só  e perpendicular à reta y = ­x.  se a distância do centro à reta é igual ao raio. Solução:  1 ­ 1 + k  = 1; |k| =  2 ® k = ± 2  1 + 1  Equação geral da reta y = ­x ® x + y = 0. Uma reta  perpendicular a ela é do tipo x ­ y + k = 0.  Resposta: x ­ y +  2  = 0   e   x ­ y ­  2  = 0 4 4  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  2.  Dê  a  equação  das  retas  que  passam  pelo  ponto  P(2,  ­10)  e  que  são  tangentes  à  circunferência  2  2  x  + (y ­ 2)  = 4. Solução:  Inicialmente,  achamos  a  posição  relativa  entre  P  e  a  circunferência.  Verifique  você  que  P  é  exterior  à  circunferência. O problema admite então duas soluções. Como essas retas passam por P(2, ­10),  teremos:  y + 10 = m(x ­ 2)  e daí mx ­ y ­ 2m ­ 10 = 0 (I).  A circunferência dada tem centro C(0, 2) e raio r = 2. Aplicando a condição de tangência, teremos:  0 ­  2 ­  2m  ­ 10  2  35  = 2 ® |­12 ­ 2m| =  2  m  + 1  que resolvido dá  m = - .  2  m  + 1  12  Mas o problema admite duas soluções e só achamos um valor para m. Isso significa que a outra reta é  vertical.  Resposta: x = 2 e 35x + 12y + 50 = 0  35  (substitua  m = - em I e simplifique).  12  2  2  3. Obter a equação da reta, tangente à circunferência x  + y  = 100, e que forma um ângulo de 45º com 3x +  y ­ 7 = 0.  o  Solução: Seja y = mx + n a reta procurada. Sua equação geral é: mx ­ y + n = 0. Como ela faz 45  com  3x +  y ­ 7 = 0, temos:  m + 3  m + 3  tg45° =  ® = 1 1 + m. (­3)  1 ­ 3m  1  que resolvido dá  m  = - ou m = 2  2 Se  m  =  2,  obtemos  a  reta  2x  ­  y  +  n  =  0.  Para  que  ela  seja  tangente  à  circunferência,  devemos  ter  d = r e como C(0, 0) e r = 10, teremos:  0 ­ 0 + n  = 10 ® |n| = 10  5 ® n = ± 10  5  4 + 1  Teremos então as retas 2x ­ y + 10  5  = 0  e  2x ­ y ­ 10  5  = 0  1  ­ 1 Se m = - , obtemos a reta  x ­ y + n = 0, que simplificada dá x + 2y ­ 2n = 0. Para que ela seja tangente  2  2  à circunferência devemos ter:  0 + 0 ­  2n  = 10  ® ­  2n  = 10  5  ® n  = ± 5  5 1 + 4  Temos, então, as retas:  x + 2y + 10  5  = 0   e   x + 2y ­ 10  5  = 0. Resposta:  2x ­ y + 10  5  = 0;     2x ­ y ­ 10  5  = 0  x + 2y + 10  5  = 0  e  x + 2y ­ 10  5  = 0 Matemática ­ M3  4 5 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  LIMITE 1­ NOÇÃO INFORMAL DE LIMITE  lim  Seja y = f(x) uma função. Dizemos que  x ® a f(x) = b,  lê­se: limite de f(x) quando x tende a a é b, se quanto mais próximo de a tomarmos os valores de x, mais  próximo de b teremos os valores de f(x).  lim  Exemplo: Calcule  x ® 2 (3x ­ 1) Solução:  É fácil perceber que para valores de x próximos a 2, f(x) = 3x ­ 1 se aproxima de 5.  Logo:  lim  (3x ­ 1) = 5  x ® 2 lim  No cálculo do  x ® a f(x) interessa­nos estudar o comportamento da função para valores de x próximos de a,  porém diferentes de a. Assim, pode acontecer de f(a) nem ser definido.  2  lim  x  - 9  Exemplo: Calcule  x®3  x - 3Solução:  Observe que f(3) não é definido. No entanto, como no processo do limite em questão, x se aproxima de 3,  porém x ¹ 3, podemos afirmar:  2  lim  x  - 9  =  lim  (  - 3  x + 3  = lim  (x + 3) = 6  x  )(  )  x®3  x®3  x®3  x - 3 x - 3  É importante realçar também que quando se diz que x tende a a, isto significa que x se aproxima de a por  valores inferiores e também por valores superiores a a.  Se fazendo x se aproximar de a por valores inferiores a a, os valores da função se aproximam de b, dizemos  lim  que o limite de f(x) para x tendendo a a pela esquerda é b e indicamos:  - f(x) = b  x  a ® Agora, se fazendo x se aproximar de a por valores superiores a a, os valores da função se aproximam de b,  lim  dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a pela direita é b e indicamos:  x  a+ f(x) = b  ® lim  Esses  dois  últimos  limites  são  conhecidos  por  limites  laterais  e  x ® a f(x)  =  b  se  e  somente  se  tivermos  lim  lim  x  a + ® f(x) =  x  a- f(x) = b  ® x  lim  lim  lim  Exemplo: Se f(x) =  calcule  x® 0 + f(x),  x® 0 - f(x)  Verifique se existe  x® 0 f(x)  x  lim  x  lim  x Solução:  Como para x ³ 0, |x| = x, teremos:  x® 0 + =  + = 1  x  x® 0  x  Como para x < 0, |x| = ­ x,  teremos:  lim  x  lim  æ - x ö - =  - ç ÷ = ­1  x® 0 x  x® 0 è x  ø lim  lim  lim  Já que  x® 0 + f(x) ¹ x® 0 - f(x), não existe  x® 0 f(x). 4 6  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS 2 ­ INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA  lim  2 a)  x®2  (3x ­ 1) = 5  lim  b)  x®3  x  - 9  = 6  lim  x  c)  x® 0  não existe x - 3 x  2  f(x) = 3x ­ 1  x  - 9  f(x) =  x - 33 ­ FUNÇÃO CONTÍNUA  Seja y = f(x) uma função definida no intervalo aberto (c, d). Se a é um ponto desse intervalo, dizemos que f é  lim  contínua em a se  x ® a f(x) = f (a).  Se y = f(x) é definida no intervalo fechado [c, d], então:  lim  a) f é contínua em c se  x  c + ® f(x) = f(c)  lim  b) f é contínua em d se  f(x) = f(d).  x  d - ® Uma função f é contínua num intervalo se for contínua em todos os pontos desse intervalo. Graficamente, se  uma função é contínua, seu gráfico não apresenta “buracos” e nem “saltos”.  2  ì x  - 1  ï , se x ¹ 1  1) Seja a função f(x) =  í x - 1  ï 3  se x = 1 î ,  Calcule  lim  f(x). Essa função é contínua em x = 1?  x®1 Solução:  Como no cálculo do  lim  f(x) interessa­nos os valores de x próximos de 1, porém diferentes de 1, temos:  x®1  2  lim  f(x) =  lim  x  - 1 =  lim  (  - 1  x + 1  =  lim  (x + 1) = 2  x  )(  )  x®1  x®1  x®1  x - 1  x®1  x - 1 Além disso, como esse limite é diferente de f(1), a função não é contínua em x = 1.  Matemática ­ M3  4 7 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  ì 2  - 6  x  ï , se x ¹ 3  2) Seja a função f(x) =  í x - 3  ï m  se x = 3  î ,  Determine m para que a função seja contínua em x = 3. Solução:  Para f ser contínua em x = 3,  lim  f(x) = f(3)  x®3  2  - 6  x  2  x - 3  (  )  Mas  lim  f(x) =  lim  =  lim  = 2   e   como   f(3) = m, devemos ter m = 2.  x®3  x®3  x - 3  x®3  x - 3 4 ­ UM SALTO NO INFINITO  Em certas situações, necessitaremos estudar o comportamento de uma função f quando x assume valores  maiores que qualquer número dado, ou quando x assume valores menores que qualquer número dado. No  primeiro caso, dizemos que x tende a mais infinito (x ® +  ) e no segundo dizemos que x tende a menos  ¥ infinito (x ® ­  ).  ¥Exemplos:  1  1  æ 1  ö a) Seja f(x) =  . Quanto maior x, mais próximo de zero fica  .  Então:  lim  ç ÷ = 0  x  x  x  ®+¥ è xø 1  b) Se f(x) =  + 3 , teremos  lim  æ 1 + 3  = 3  ç ö ÷ x x  ®-¥ èx ø c)  lim  (  - 5  = +¥ x )  x  ®+¥ 1  d) Seja f(x) =  .  Então:  lim  f (  ) = 0 ;  lim  f (  ) = 0  x x x - 1  x  ®+¥ x  ®-¥ lim  f (  ) = +¥ ;  lim  f  x) = -¥ x (  ®+ x  1  ®- x  1 5 ­ NOÇÃO FORMAL DE LIMITE  Definição 1: Seja y = f(x) uma função de domínio D, e a um número que pode ou não pertencer a D. Dizemos  que  lim f (  ) = b ,  se  e somente  se,  dado e > 0 ,  existir d > 0 ,  tal  que  para todo  x  com  a - d < x < a + d e  x  x  a  ® x ¹ a , tivermos b ­ e < f(x) < b + e .  Definição 2: Dizemos que  lim  f (  ) = b , se dado e > 0 , existir M > 0, tal que para todo x > M, b ­ e < f(x) < b + e .  x  x  ®+¥ Procure você dar as outras definições. 6 ­ CÁLCULO DO LIMITE EM PONTOS DE DESCONTINUIDADE  Para calcular o limite em pontos de descontinuidade, podemos simplificar a função, calcular os limites laterais,  etc. Veja alguns exemplos:  x  + 2  2  - 5  - 6  3  x  x  a) Calcule  lim  x  2  ® x - 2 Solução:  2  1  2  ­5  ­6  0  Fazendo x = 2, obtemos  , que é uma forma indeterminada. Fatore  0  1  4  3  0 então o numerador da função usando o dispositivo de Briot­Ruffini.  4 8  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  x  )(  2  x  )  (  - 2  x  + 4  + 3  Então, o limite procurado é  lim  = lim (  2  + 4  + 3  = 15  x  x )  x  2  ® (  - 2  x  )  x  2  ® ì x + 1  ï , se  x > 1  b) Calcule  lim f (  ) , sendo f(x) =  í 2  x ®1  x 2  ï x  , se  x < 1  îSolução:  x + 1  Nesse caso, usamos os limites laterais  lim + f (  ) = lim + 2  = 1  x  lim  f (  ) = lim  x 2  = 1  e então  lim f (  ) = 1  x  x x  1  ® x  1  ® ® - x  1  ® - x  1  x  1  ®7 ­ PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES  Se  lim  f(x) = K e  lim  g  x  = L , teremos:  (  )  x  a ® x ® a  a)  lim [f(x)  +  g(x)]  =  K  + L  d)  lim [  (  ). g x  = K .  f  x  (  )]  L x ® a x  a  ® lim [  x  n  e)  x ®a  f (  )]  = K n  b)  lim [f(x)  ­  g(x)]  =  K  ­  L  x  a ® c)  lim [c. f (  )] = c K c x  .  Î K  f  x  (  )  K  x  a  ® f)  lim  = ; (  L ¹ 0  se )  x  a g x  ® (  )  L  Para o caso do limite da soma, temos:  Para o caso do limite do produto, temos:  lim f (  )  x lim g x)  (  lim [  (  ) + g x)]  f  x  (  lim f (  )  x lim g x)  (  lim [  (  ). g x)]  f  x  (  x  a  ® x  a  ® x  a  ® x  a  ® x  a  ® x  a  ® +¥ -¥ ?  0  +¥ ?  -¥ +¥ ?  0  -¥ ?  Para o caso do limite de um quociente, temos:  lim f (  )  x lim g x)  (  é f (  ) ù x  lim ê ú x  a  ® x  a  ® x  a  g  x)  ® ë (  û 0  0  ?  ±¥ ±¥ ?  Os símbolos marcados com o sinal ? são chamados símbolos de indeterminação. Para calcular o limite nes­  ses casos devemos, por transformações convenientes, reduzir o cálculo a outros cujos resultados são conhecidos.  x - 2  1) Calcule  lim  x  2  ® x - 2 Solução:  0  Substituindo x  por 2, obtém­se a forma indeterminada  . Nesse caso, multiplique os termos da fração dada  0  por  x + 2  (conjugado de  x - 2  )  x - 2  (  - 2  x + 2 )  x  )(  (  - 2  x + 2 )  x  )(  lim  lim  =  x ® 2  =  lim  =  x ® 2 (  x + 2 ) = 2  2 lim x  2  ® x - 2  (  x - 2 )(  x + 2 )  x  2  ® x - 2  Matemática ­ M3  4 9 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  3  x - 2 2) Calcule  lim  x  8  ® x - 8 Solução:  Faça  3 x  = y . Então x = y  . Além disso, se x Õ 8, então  y = 3  x tende a 2. Logo:  3  3  x - 2 y - 2  y - 2  1  1 lim  =  lim  3  =  lim  2  =  lim  2  =  x  8  ® x - 8  x  2  y - 8  ® x  2 (  - 2  y  + 2  + 4  ® y  )(  y )  x  2 (  + 2  + 4  ® y  y )  12 8 ­ LIMITES FUNDAMENTAIS 8.1­ Limite da função polinomial quando  x ® +¥ ou  x ® -¥ n  Se P(x) = a  . x  + a  n ­ 1  + ... + a  . x + a  então  n  n ­ 1  . x  1  o  lim  P  x  = lim  (a  xn )  e  lim  P  x  = lim  (a  xn )  (  )  n  (  )  n  x  ®+¥ x  ®+¥ x  ®-¥ x  ®-¥Exemplos:  a)  lim  (  x  - 5  + 7  = lim  (  x 3 ) = +¥ 2  3  x  )  2  b)  lim  (3  2  - x - 5  = lim  (3  2 ) = +¥ x  )  x x  ®+¥ x  ®+¥ x  ®-¥ x  ®-¥8.2­ Limite de uma função racional  Sejam os polinômios:  n  P(x) = a  . x  + a  n ­ 1  + ... + a  . x + a  n  n ­ 1  . x  1  o  e  m  Q(x) = b  . x  + b  m ­ 1  + ... + b  . x + b  m  m ­ 1  . x  1  o  n  n  P  x  (  )  a  x  P  x  (  )  a  x  Então  lim  = lim  n  m  e  também,  lim  = lim  n  m  ®+¥ Q x  x  (  )  x ®+¥ b  x m  ®-¥ Q x  x  (  )  x ®-¥ b  x m  Exemplos:  3  2  - 2  + 1  x  x  æ 3  2 ö 3  x  2  x  - 2  + 1  x  2  x  a)  lim  2  = lim  ç 2 ÷ = c)  lim  = lim  = lim  x = +¥ x  ®+¥ 2  - x - 3  x  è 2  ø 2  x  ®+¥ x x  ®+¥ x + 3  ®+¥ x  x  x  ®+¥ 2  2  æ x  ö x  - 5  1  b)  lim  3  = lim  ç 3 ÷ = lim  = 0  ®-¥ x  - 2  + 1  x  x  x  ®-¥è x  ø ®-¥ x x 8.3­ Limite de funções transcendentes  sen x  a)  lim  = 1  x  0  x ® x  x  1  æ 1  ö æ 1  ö b)  lim  ç1  + ÷ = e ,  lim  ç 1  ÷ = e , + lim (1  x  x  = e + ) x ®+¥è ø x  x ®-¥è ø x  x  0  ® x  a  - 1 c)  lim  = ln  a x  0  x  ® 5 0  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  x  æ 2  ö 1  cos  x  - 2)  lim  ç1  ÷ + 1) Calcule  lim  x  ®+¥ è xø x  0  ® x 2  Solução: Solução:  x ù 2  é x  ê æ ö 2 ú 1  ÷ 1  cos  x  - (  - cos  x  1  cos  x  1  )(  + )  æ 2 ö ç lim  =  lim  2  =  lim  ç 1  + ÷ =  x lim  êç1 + x  ÷ ú ®+¥è xø 2  x  .(  + cos  x)  1  ® +¥ ê x  0  ® x x  0  ® x  è 2 ø ú ê ë ú û 2  2  1 - cos  x  sen  x  lim  2  =  lim  2  x  x  0 ® x  . (  + cos  x  1  )  x  0 ® x  . (  + cos  x  1  )  Seja  = y.  Então se x ® +¥ , y ® +¥ .  2  éæ sen x  2  ö 1  ù 2  ú =  1  1  = 1  éæ y  lim êç ÷ .  . 1  ù ö x  0  è ® ê x  ø 1  cos x ú + 2  2  Logo:  lim  êç 1  ÷ ú = e2  + ë û y ®¥ êè y ø ú ë û 3) Calcule  y = lim  æ x  + x + 1 - x  ç 2  ö ÷ x®¥ è øSolução:  æ x  + x + 1 - x  æ x  + x + 1 + x  ç 2  ö ç 2  ÷ ö ÷ 2  è øè ø - 2  x  + x + 1  x  x + 1  y = lim  y = lim  =  lim  2  2  2  x®¥ x  + x + 1 + x  x®¥ x  + x + 1 + x  x  ®¥ x  + x + 1 + x x  x  1  y = lim  =  lim  = x®¥ 2  x  + x  ®¥ 2  x  x 2  DERIVADA 1­ DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO  Seja f: D Õ R uma função, onde D = (a, b) é um intervalo aberto de extremos a e b. Se x Î D, chamamos de  derivada da função f em x e indicamos por f’(x), a:  f  x + h  - f (  )  (  )  x  f’(x) =  lim  h  0  ® h desde que exista  e seja finito esse limite. Quando isso acontece, dizemos que f é derivável ou diferenciável em  x. Se f é derivável para todo x Î D, diremos que f é derivável em D.  Se f for definida num intervalo fechado [a, b], diremos que f é derivável em [a, b] se f for derivável em todos os  pontos do interior do intervalo e se forem finitos os limites a seguir:  f (a + h  - f (a)  )  f (b + h  - f (b)  )  f’ + (a) =  lim  (derivada à direita)  f’ ­ (b) =  lim  (derivada à esquerda) + h  0  ® h - h  0  ® h Matemática ­ M3  5 1 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS Observação 1:  Se x é um ponto do interior do intervalo, f’(x) existe, se existirem e forem iguais as derivadas à direita e à  esquerda (derivadas laterais). Observação 2:  Notações mais usadas para a derivada de uma função y = f(x).  dy f’(x) ; y’ ;  dx Observação 3:  Se f é derivável em x, ela é contínua em x.  2  1) Seja f(x) = x  ­ 3. Calcule f’(5) e f’(x). Solução:  2  2  f  + h  - f (5)  lim  (5 + h  - 3 - (5  - 3)  (5  )  )  h  2  10  + h  h 10 + h  (  )  f’(5) =  lim  =  h ® 0  h ;  f’(5) =  lim  = lim  = 10  h  0  ® h h  0  ® h  h  0  ® h f  x + h  - f (  )  (  )  x  (  + h  2  - 3 - (  2  - 3)  x  )  x  xh  2  2  + h  h 2  + h  (  x  )  * f’(x) =  lim  =  lim  f’(x) =  lim  = lim  = 2  x h  0  ® h h  0  ® h h  0  ® h  h  0  ® h 2­ SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DERIVADA  Consideremos uma função y = f(x), definida e derivável  num domínio D e cujo gráfico é dado a seguir.  Seja P(x, f(x)) um ponto do gráfico de f, e Q(x + h, f(x  +  h))  um  outro  ponto  do  gráfico  de  f.  Esses  pontos  determinam  a  reta  secante  PQ ,  cujo  coeficiente  angular é  f (  + h  - f (  )  x  )  x  m  = PQ h  Fazendo Q se aproximar de P, o que corresponde a fazer h Õ 0, as retas secantes obtidas vão se aproximando  da reta tangente e conseqüentemente os coeficientes angulares das retas secantes vão se aproximando do  coeficiente angular da tangente, ou seja:  f  x + h  - f  x  (  )  (  )  lim  = = f  (  ) = m t  x  h  0  ® h  Conclusão: A derivada da função f, no ponto x, dá o coeficiente angular da tangente ao gráfico de f no ponto  de abscissa x. 5 2  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS 3 ­ SIGNIFICADO CINEMÁTICO DA DERIVADA  f  t + h  - f ( ) (  )  t  Seja S = f(t) a equação horária do movimento de uma partícula sobre uma curva. Nesse caso,  h  representa a velocidade média da partícula entre t e t + h.  Se fizermos h Õ 0, estaremos calculando a velocidade média em intervalos cada vez menores. Por isso  diremos que:  f  t + h  - f  t  (  )  ( )  lim  = f  ( ) = v  , onde v  é:  t inst.  inst.  h  0  ® h  a velocidade instantânea (velocidade do instante t). Observação:  Se v = v(t), v’(t) é a aceleração no instante t. 4 ­ REGRAS DE DERIVAÇÃO  Usando a definição de derivada, provam­se as regras a seguir, o que nos permite usar o conceito de derivada  sem recorrer ao cálculo de limite, dado na definição.  a) f(x) = c, c Î R Õ f’(x) = 0  e) (f + g)’= f’ + g’  b) f(x) = x Õ f’(x) = 1  f) (f . g)’ = f’. g + f . g’  n n­1  c) f(x) = x  Õ f’(x) = nx    æ f ö g  f   f . g  .  -   g)  ç ÷ = d) (c . f)’= c . f’ onde c Î R e f é uma função.  è g ø g2  h) (f  )’ = nf  n­1  . f’  n  Exemplo: Derive as funções:  3 2  a) f(x) = x  Õ f’(x) = 3x  5 4  4  b) f(x) = 2x  Õ f’(x) = 2 . 5x  = 10x  2  c) f(x) = 3x  ­ 5x ­ 7 Õ f’(x) = 6x ­ 5  x3 (3  2  + 1  3  2  - x  .  x  x  ).  x  3  6  d) f(x) =  Õ f’(x) =  3  2  + 1 x  (  x  + 1 2  3  2  )  2  1  3  2  2  - 2  e) f(x) =  x  = x 3 = Õ f’(x) =  x  3  = 3  3  3  x 2  3 2  2  f) f(x) = (x  ­ 5x + 1)  Õ f’(x) = 3(x  ­ 5x + 1)  . (2x ­ 5)  2  1) Sendo f(x) = x  ­ 1, ache a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x = 2. Solução:  2  Sendo P o ponto de abscissa x = 2, então y  = f(2) = 2  ­ 1 = 3. Logo P(2, 3). Além disso, o coeficiente angular  p  da reta tangente ao gráfico de f em P é f’(2). Mas f’(x) = 2x; logo f’(2) = 4. Basta, então, achar a equação da reta  que passa por P e tem coeficiente angular m = 4.  y ­ y  = m(x ­ x  );  y ­ 3 = 4(x ­ 2);  0  0  y = 4x ­5 Matemática ­ M3  5 3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS 5 ­ DERIVADA DAS FUNÇÕES TRANSCENDENTES  a) f(x) = senx Õ f’(x) = cosx  b) f(x) = cosx Õ f’(x) = ­senx  x x  c) f(x) = e  Õ f’(x) = e  x x  d) f(x) = a  Õ f’(x) = a  . ln a  1  e) f(x) = ln x Õ f’(x) =  x  1) Calcule a derivada de f(x) = tg x Solução:  sen x  f(x) = tg x =  .  Logo:  cos x  2  2  cos x .  cos x ­ sen x. (­sen x)  cos  x + sen  x  f’(x) =  2  =  2  cos  x  cos  x  1  2  f’(x) =  2  = sec  x  cos  x  2) se f(x) =  log  x  calcule f’(x).  10 Solução:  ln x  1  f(x) =  log  x =  10  = . ln x.     Logo:  ln 10  ln 10 1  1  1  f’(x) =  .  Õ f’(x) =  ln 10  x x ln 10  2  x  3) Sendo f(x) = x  . e  calcule f’(x). Solução:  x  2  x  f’(x) = 2x. e  + x  . e 6 ­ DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA ­ A REGRA DA CADEIA  Algumas  funções  podem  ser  obtidas  como  a  composição  de  duas  ou  mais  funções.  Por  exemplo,  se  2  2  y = sen(x  + 1), podemos dizer que y = sen u e u = x  + 1. De modo geral, se y = f(u) e u = g(x), então  y = f[g(x)] é composta de f e g. Prova­se nesse caso que:  dy dy du  y’= f’(g(x)) . g’(x)  ou  =  .  dx  du  dx Exemplos:  Derive as funções  2  2  a) f(x) = sen(x  + 1) Õ f’(x) = cos(x  + 1) . 2x  1  b) f(x) = ln (senx) Õ f’(x) =  . cosx = cotgx sen x  5 4  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS 7 ­ DERIVADAS SUCESSIVAS  Seja f: D Õ R uma função derivável em D. Se f’(x) é derivável em D  , onde D  Ì D, temos a função f”(x), que  1  1 chamaremos de derivada segunda. De modo semelhante, podemos definir derivadas de ordem superior a 2. Exemplo:  3  2  Seja f(x) = x  ­ 3x  + 4x + 1. Calcule todas as suas derivadas. Solução:  2  f’(x) = 3x  ­ 6x + 4  f”(x) = 6x ­ 6  f”’(x) = 6  f””(x) = 0,   e a partir daí todas as derivadas são nulas. 8 ­ FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE  Seja y = f(x) uma função definida num intervalo aberto (a, b). Como f’(x) dá o coeficiente angular da tangente ao  gráfico de f no ponto de abscissa x, os gráficos a seguir sugerem que:  ­ Se f’(x) > 0, para todo x Î (a, b), f é crescente  ­ Se f’(x) < 0, para todo x Î (a, b), f é decrescente.  ­ Se f’(x) = 0, para todo x Î (a, b), f é constante.  2  1) Seja f(x) = ax  + bx + c. Determine os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente. Solução:  Observe que f’(x) = 2ax + b. Logo:  b  f é crescente se f’(x) > 0; 2ax + b > 0; x > - 2a  b  f é decrescente se f’(x) < 0; 2ax + b < 0; x < - 2a 9 ­ MÁXIMOS E MÍNIMOS Definição:  Seja f uma função de domínio D, e x  Î D.  0 a) f(x  ) é um máximo local de f, se existe um intervalo (a, b) contendo x  , tal que f(x) < f(x  ) para todo x em  0  0  0  (a, b). Dizemos que x  é ponto de máximo local.  0  b) f(x  ) é um mínimo local de f, se existe um intervalo (a, b) contendo x  , tal que f(x) > f(x  ) para todo x em  0  0  0  (a, b). Diremos que x  é ponto de mínimo local. 0  Matemática ­ M3  5 5 
    • Tecnologia              ITAPECURSOS  x  0  x  0  Máximo local  Mínimo local  Se f(x  ) > f(x) para todo x no domínio de f, diremos que f(x  ) é o máximo absoluto de f, e x  é ponto de  0  0  0  máximo absoluto.  Se f(x  ) < f(x) para todo x no domínio de f, f(x  ) é o mínimo absoluto de f, e x  é ponto de mínimo absoluto.  0  0  0 10 ­ O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA  Teorema: Seja f uma função contínua e derivável em (a, b) e c Î (a, b) tal que f’(c) = 0.  a) Se f’(x) > 0 para a < x < c e f’(x) < 0 para c < x < b, então f(c) é máximo local de f.  b) Se f’(x) < 0 para a < x < c e f’(x) > 0 para c < x < b, então f(c) é mínimo local de f.  c) Se f’(x) > 0 ou se f’(x) < 0 para todo x Î (a, b) exceto em c, então c é ponto de inflexão. 11 ­ O TESTE DA DERIVADA SEGUNDA  Teorema: Seja f diferenciável num intervalo aberto contendo x  e f’(x  ) = 0  0  0  ­ Se f”(x  ) < 0, f tem máximo local em x  .  0  0  ­ Se f”(x  ) > 0, f tem mínimo local em x  .  0  0  ­ Se f”(x  ) = 0, não podemos usar o teste da derivada segunda. Nesse caso, usamos o teste da derivada primeira.  0  1. Determine dois números reais, cuja diferença seja 40 e cujo produto seja mínimo. Solução:  Sejam x e y os números procurados. Então x ­ y = 40 e daí, y = x ­ 40. Logo o produto deles será:  2  P(x) = x . (x ­ 40) ou P(x) = x  ­ 40x.  Usando o teste da derivada segunda, obtemos: P’(x) = 2x ­ 40, logo P’(x) = 0 se x = 20.  P”(x) = 2, e então a função tem mínimo em x = 20. Além disso, se x = 20, y = 20 ­ 40, ou seja, y = ­20.  Resposta: 20 e ­20. 5 6  Matemática ­ M3 
    • Tecnologia            ITAPECURSOS  MATEMÁTICA I TRIGONOMETRIA1) (Fund. João Pinheiro – MG) Uma pessoa situada 4) (UFJF-MG) O maior e o menor valor da função em um ponto A, em uma das margens de um rio, 1  observa uma árvore T diretamente à sua frente, f : R ® R, definida por  f (  ) = x  são, 4 - 2 sen x  na outra margem. Caminha, então, 150 metros respectivamente: para um outro ponto B, perpendicularmente à direção AT e mede o ângulo ABT, obtendo 30°. a) 1/2 e 1/6 Assim sendo, a medida de AT é: b) 1/3 e 1/6 a) 50 m c) 1 e –1 b) 75 m d) 1/2 e 1/4 c) 50 3  5) (FEI-SP) A expressão  100 3  d)  æp ö f (  ) = 2 - 2 cos ç t ÷ , 0 £ t  £ 12 , t  e)  150 3  è 6  ø representa a variação da profundidade do trabalho de uma ferramenta de corte em relação2) (CEFET-MG) Se q = 63 o , então: ao tempo de operação. Em que instante essa a) cos q < sen  < tg  q q profundidade é máxima? a) t = 9 d) t = 3 b) sen q < cos q < tg  q b) t = 12 e) t = 2 c) cos q < tg  < sen  q q c) t = 6 d) sen q < tg  < cos  q q 6) (ESPCEX) O número de arcos existentes entre 0° e) tgq < cos q < sen  q e 1560° cujo seno vale 2/7 é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 103) (VUNESP) Se x é a medida de um ângulo em p 3 p 7) (ESPCEX) Sendo k Î Z, o número de valores radianos e  < x < , então: 2 4  k  p distintos assumidos por  sen é igual a: a) cos x > 0 9  b) cos 2x < 0 a) 5 b) 8 c) 9 d) 10 e) 18 c) tg x > 0 2 8) (Positivo-PR) Se tg x =  7 , então cos  x é igual a: d) sen x < 0 e) sen 2x > 0 7 1 1 a)  b)  7 c)  d)  e) 1 2  7  8  Matemática ­ M3 5 7 
    • Tecnologia     I       ITAPECURSOS  9) (UNI-BH) Uma solução da equação 14) (UFOP-MG) Sendo as funções f: R ® R e g: R ® R dadas por f(x) = x 2 e g(x) = cos x, p trigonométrica 2 sen 2x = 1 para  0 < x < é: podemos afirmar a respeito de seus gráficos, 2  que: p p p p a) não se interceptam. a)  b)  c)  d)  3 4 6 12 b) interceptam-se em um único ponto. c) interceptam-se em dois pontos. 10) (Fund. João Pinheiro – MG) Analise as d) interceptam-se em três pontos. alternativas abaixo. Quatro delas apresentam erros comumente cometidos na resolução de e) interceptam-se em uma infinidade de pontos. problemas matemáticos. Indique a única alternativa correta: 1 15) (ESPCEX) Se sen x + cos x =  , com 0 £ x  £ p , 5  a) (sen 30  + cos 30  )2 = 1  ° ° então o valor de sen 2x é: b)  cos 40  = - cos(  40  )  ° - ° 12 16 a)  - d)  2  25  25  æ 1  ö 1  c)  ç x 2 + 2  ÷ = x 4  + 4  + 2 ; x ¹ 0  è x  ø x  24 24 b)  - e)  25  25  2 d)  cos  p = -1  12 c)  8  x  4 25  e)  2  = 4  2  + 2  ,  x ¹ 0  x  ¹ -2  x  x  ,  2  + 4  x  x  2 16) (UFJF-MG) Sendo  f  x  = (sen x ) (  1  sen  x )  (  )  - 11) (PUC-MG) O menor valor positivo de x para o 2 æ 5  ö p æ 5 p x ö + (  x ) (  1  cos  x ) , então f ç ÷ é igual a: cos  - qual y = sen  ç ÷ é máximo, é igual a: è 8  ø è 4  ø 2 1 2 3 4 a) 0 d)  - a)  b)  c)  d)  e) 1 2  3  5  5  5  2 12) (N. Paiva-MG) O valor da expressão  b) 1 e)  2  2  æ p p ö c) –1 ç sen + cos  ÷ é: è 12  12 ø 17) (CEFET-MG) Se tg x = a , então sen 2x – cos 2x é igual a: 3  2  a)  1+ b) 2 c)  1+ d) 3/2 2  2  a) (a - 1 2 ) a 2  + 1  é pù 13) (UFLA-MG) Se cos ( 2x ) = 1/2 e x Î ê0  ú , o ,  ë 2 û (a + 1 2  ) b) valor de sen x é: 1 - a 2  3 1 a 2  + 2  - 1  a  a)  d)  c)  2  2  1 + a 2  1 d)  a 2 + 2  - 1  a  b)  - e) 1 2  2 e)  a  + 2  + 1  a  2 c)  2  5 8  Matemática ­ M3
    • Tecnologia            ITAPECURSOS  æaö æaö18) (UFLA-MG) A expressão tg ç ÷ + cotg ç ÷ é 22) (UFC-CE) Considere a equação: è 2 ø è 2 ø cos2x - cosx - 2 = 0 igual a: Pode-se afirmar que a soma de suas soluções que pertencem ao intervalo [0, 4p] é: 1 a)  d) 1 a) 1 cos ( 2  )  a b) -1 2 c) 0 b)  e) 2 sen ( a )  d) 4p 2 e) 2p c)  sen ( a/2 )  23) (N.Paiva-MG) A expressão (sen x - cos x  ) p 3 p (sec x - cos sec x ) + 2 é equivalente a:19) (UNI-BH) Sejam 0 £ a £ e  £ b £ 2  . Se  p 2  2  a) tg x – cotg x 1  1  b) sec x + cossec x sen a = e  sen b = - , então o valor de c) sec x . cossec x 2  2  cos(a + b  + sen  a + b  é: ) ( ) d) sen x + cos x a) 0 b) 1 c) 1,5 d) 2 24) (N.Paiva–MG) Sabendo-se que: 20) (UFV-MG) Sabendo-se que sen 30° = 1/2 , o 2 2  p tg  a + 3 cot g  a = 4 e  que 0 < a < valor de sen 15° é: 2  a soma dos valores possíveis de sen a será, 2 - 3  3 - 2  aproximadamente: a)  d)  2  2  a) 2,0 b) 1,0 c) 1,5 d) 0,5 1 1 p 1  b)  e)  25) (PUC-MG) Quando  0 < q < e sen q = , a 4  2  2  3  m  2  c) 1 igualdade  sen 2 q = é verdadeira. Nessas 9  condições, o valor de m é:21) (UNA-MG) A quantidade de soluções da a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2 equação 2 cos  x + 3 sen x - 3 = 0  contidas no intervalo [0, p] é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 NÚMEROS COMPLEXOS1) (UFLA-MG) Dado o polinômio P(x) = x2 - 6x + 9, 2) (UNA-MG) Ao se dividir um número complexo z os valores de P(i) e P(i - 2) são, por (2 + 3i) um estudante cometeu um erro e respectivamente: obteve (4 + 2i) como resposta . Sabendo que a resposta correta é o conjugado da resposta a) 10 - 6i e 26 - 10i obtida pelo aluno , podemos afirmar que o valor b) 9 - 6i e 18 - 10i de z é: c) 8 - 6i e 24 - 10i a) 14 + 8i d) 9 - 5i e 24 - 9i b) 2 + 16i e) 9 - 6i e 18 - 6i c) 14 – 8i d) 2 – 16i Matemática ­ M3 5 9 
    • Tecnologia     I       ITAPECURSOS  3) (Fund. João Pinheiro-MG) O único valor de m 8) (FMTM-MG) No plano de Argand-Gauss, o que verifica a igualdade (3 – mi).(– 4 + 2i) = 30i conjunto dos pontos z = x + yi , tais que  z = 1  , é: com x ³ 0  e  y  ³ 0 , determina uma figura cuja a) 6 b) 8 c) 12 d) 14 e) 18 área mede: 4) (UNI-BH) Sendo a = 3 + 4i e b = 5 – 12i, então o módulo de a.b é: p p p a) p b)  c)  d)  e) 1 2 4 6 a) 33 b) 49 c) 63 d) 65 9) (UFJF-MG) Seja z = a + bi um número complexo, i 3  + 3 8  - 2  i  i  onde a e b são reais e i é a unidade imaginária. 5) (CEFET-MG) O valor de  15  18  é: Sabendo-se que graficamente z se encontra no i  - i  primeiro quadrante e que denota o conjugado de a) –2 + i d) –1 + 2i z, então é INCORRETO afirmar que: b) 2 – i e) 3 a)  z está no quarto quadrante. c) –1 – 2i  b) iz está no segundo quadrante. 6) (PUC­MG) Na soma S = 1 + i + i2 + i3 + i4 + i5, c) – iz está no terceiro quadrante. onde i =  - 1 , o valor de S é: d)  - z está no segundo quadrante. a) 2 – i d) 2 + i 10) (UFU-MG) As representações gráficas dos b) 1 – i e) 1 + i números complexos z1 = cos 30° + i sen 30° e c) 0 z2 = cos 102° + i sen 102° no plano complexo correspondem a vértices consecutivos de um 7) (IH-MG) Sendo z1 = -1 + 3i e z2 = -2 (sen p + i polígono regular inscrito em uma circunferência cos p) , o valor de  z1 .  2  é: 2  z  com centro na origem. O número de lados desse polígono é igual a: a) –16 – 12i d) 12 – 16i a) 12 b) 6 c) 5 d) 10 b) –12 – 20i e) 12 + 20i c) –12 + 16i EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 1) (UFJF-MG) Marque a alternativa CORRETA: a) Se a e b são raízes da equação algébrica p(x) = 0, então o grau de p(x) é exatamente 2. b) Toda equação algébrica de grau n ³ 1 com coeficientes reais admite n raízes reais. c) Se a, b e d são três raízes da equação algébrica p(x) = 0 de grau n, então n > 2. d) Se p(x) = 0 é uma equação algébrica de grau 3 cujas raízes são a , b e d, então p(x) = (x - a) (x - b) (x - d). 2) (Positivo-PR) As raízes da equação polinomial x3 – 8x2 + 19x – 12 = 0 representam as medidas das dimensões de um paralelepípedo. Desta forma, é correto afirmar: a) O volume do sólido é igual a 16 unidades cúbicas. b) A diagonal do sólido é igual a  26 unidades de comprimento. c) A área total do sólido é igual a 19 unidades de área. d) O volume do sólido é igual a 8 unidades cúbicas. e) A diagonal do sólido é igual a 19 unidades de comprimento. 3) (UFJF-MG) Se a é uma raiz da equação x2 + x + n = 0 , onde n é um inteiro positivo, podemos afirmar que  a é igual a: a)  2 n  b) n c)  n d) n2 e) 0 6 0  Matemática ­ M3
    • Tecnologia            ITAPECURSOS 4) (FUVEST-SP) Se a equação 8x3 + kx2 - 18x + 9 = 0 7) (CEFET-MG) Um polinômio de grau 3 tem a soma tem raízes reais a e – a, então o valor de k é: de seus coeficientes igual a zero e a soma e o produto de suas raízes são iguais a 6 e 8, 9 9 respectivamente. a)  b) 2 c)  d) –2 e) –4 4  8  Pode-se afirmar que: a) as três raízes são iguais.5) (PUC-MG) O produto das raízes complexas de f(x) = x3 + 4x é igual a: b) existem apenas duas raízes iguais. c) as raízes são todas reais e diferentes. a) –4 b) –2 c) 2 d) 4 e) 5 d) existem raízes complexas.6) (ITA-SP) Sendo 1 e 1 + 2i raízes da equação x3 + e) não existem raízes reais. ax2 + bx + c = 0 , em que a, b e c são números reais, então: a) b + c = 4 d) b + c = 1 b) b + c = 3 e) b + c = 0 c) b + c = 2 MATEMÁTICA II ESTUDO DA RETA 1) (Itaúna-MG) Observe a figura. 4) (FMTM-MG) A condição para que o ponto P(2;y) A soma das coordenadas a e b do ponto P, sendo não esteja alinhado com os pontos: a > b , é igual a 3. O ponto P’ , simétrico de P, em A(-4,6) e B(0,3) é relação à origem, é: a) y ¹ 1,5 d) x ¹ 7,5 a) (-2,-1) b) y = 3,5 e) y > 2,5 b) (-1,-2) c) x < 2,5 c) (-1,2) 5) (PUC-MG) A interseção da reta s com o eixo das d) (2,-1) ordenadas é o ponto M (0 , b) . A reta s passa pelos pontos A (6,3) e B (-2, 6). O 2) (UFMG) Observe a figura. valor de b é: 14 17 19 21 23 a)  b)  c)  d)  e)  5  4  5  4  5  6) (Itaúna-MG) Duas retas r e s concorrem no ponto P (1, 4). A reta r intercepta o eixo y em A e s intercepta o eixo x em B. Seus coeficientes angulares são , respectivamente, 1 e –1. A área do quadrilátero OAPB é, em cm2: a) 8,5 b) 11,5 c) 12,5 d) 4,5 7) (PUC-MG) Na figura abaixo, o ângulo B é reto. A A área do quadrilátero ABCD dessa figura é: abscissa do ponto C é igual a: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 a) 3 3) (M. Campos-MG) Um triângulo possui como b) 4 vértices os pontos A (-1, 0), B (4, 0) e C (0, -4). c) 5 A área desse triângulo será indicada pelo d) 6 número: e) 7 a) –10 b) 10 c) –6 d) 6 Matemática ­ M3 6 1 
    • Tecnologia     I       ITAPECURSOS  8) (Fund. João Pinheiro-MG) A equação da reta que 12) (UFMG) Os pontos P e Q pertencentes à reta passa por (-6, -7) e pelo ponto médio do segmento de equação y = mx, têm abscissas a e a+1 , cujos extremos são (8, 1) e (2, -7) é: respectivamente. A distância entre P e Q é  10 . a) 6x – 5y – 1 = 0 A ordenada do ponto dessa reta que tem abscissa b) x + y + 13 = 0 5 é negativa. c) 2x – 3y + 19 = 0 Nessas condições, o valor de m é: d) 4x + 10y + 94 = 0 a) –3 e) 4x – 11y – 53 = 0 b)  - 10 9) (UFMG) A reta r passa pelo ponto (16, 11) e não c) 3 x  intercepta a reta de equação y = - 5 . 2  10 d)  Considerando-se os seguintes pontos, o ÚNICO 10  que pertence à reta r é: e)  10 a) (7,6) b) (7,13/2) 13) (UFMG) A reta s é paralela à reta de equação c) (7,7) y = 3x – 4 e intercepta a parábola de equação d) (7,15/2) y = 2x2 – 3x + 5 no ponto de abscissa 1. A equação de s é: 10) (UFMG) Observe a figura abaixo. a) x + y – 5 = 0 Nesta figura, ABCD é um paralelogramo, as b) x – y + 3 = 0 coordenadas do ponto C são ( 6 , 10 ) e os lados AB e AD estão contidos, respectivamente, nas c) 3x – y + 1 = 0 x  d) x + 3y – 11 = 0 retas de equações y = + 14  e  y  = 4  - 2 . x  2  e) 3x + y – 7 = 0 Nesse caso, as coordenadas do ponto B são: a) ( 8 , 18 ) 14) (FCMMG) Observe a figura. b) ( 10 , 19 ) æ 35 ö c) ç 7,  ÷ è 2  ø æ 37 ö d) ç 9,  ÷ è 2  ø 11) (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, as retas r e s têm por equação 4x – 5y – 28 = 0 e 4x + y – 4 = 0, respectivamente. A área do triângulo ABC é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 12 15) (FMTM-MG) São dados os pontos A = (-2, 1) e B = (0, -1). A mediatriz do segmento AB intercepta o eixo y no ponto de ordenada: Nessa figura, A = (2, 3) e  BC = 10 . A equação a) –2 da reta AB é: b) –1 a) x + 4y – 14 = 0 c) 0 b) x – 4y + 14 = 0 d) 1 c) 4x + y – 14 = 0 e) 2 d) 4x – y + 14 = 0 e) x + 2y – 7 = 0 6 2  Matemática ­ M3
    • Tecnologia            ITAPECURSOS  ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA1) (FMTM-MG) A reta de equação 2x – y – 4 =0 retas tangentes a ela e paralela à reta intercepta os eixos coordenados nos pontos A e 3x + 2y = 0 é: B. Esses pontos são os extremos de um diâmetro a) 3x + 2y – 7 = 0 c) 3x + 2y – 19 = 0 de uma circunferência. A equação correspondente dessa circunferência é: b) 3x + 2y – 15 = 0 d) 3x + 2y – 5 = 0 a) x2 + y2 – 2x – 4y – 5 = 0 6) (Fund. João Pinheiro-MG) Uma circunferência tem b) x2 + y2 – 2x + 4y = 0 centro no ponto (3, 4) e tangencia a reta de c) x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0 equação 3x + 4y – 50 = 0. Nesse caso, o raio dessa circunferência mede: d) x2 + y2 + 6x + 3y – 4 = 0 e) 2x2 + 2y2 + 2x + 4y + 5 = 0 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 72) (UFJF-MG) A equação da circunferência que 7) (PUC-MG) A medida do raio da semicircun-ferência tangencia os eixos coordenados e cujo centro 1  pertence à reta de equação 2x - y - 6 = 0 é: de equação  y = 9 - 4  2  é igual a: x  2  a) x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 a) 2/3 b) 2 c) 3/2 d) 5/2 e) 3 b) x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0 c) x2 + y2 – 4x + 4y + 7 = 0 8) (PUC-MG) O raio da circunferência de equação x2 d) x2 + y2 – 4x + 4y + 4 = 0 + y2 - x + y + c = 0 mede 3/2 unidades de e) x2 + y2 + 4x – 4y + 4 = 0 comprimento. Nessas condições, o valor da constante c é igual a:3) (Fund. João Pinheiro-MG) A equação do círculo de centro na origem e tangente à reta a) –7/4 b) –3/2 c) –1 d) 1/2 e) 1 4x + 3y = 12 é: 9) (FUVEST-SP) Uma circunferência passa pelos a) x2 + y2 – 9 = 0 d) x2 + y2 – 6,84 = 0 pontos (2, 0), (2, 4) e (0, 4). Logo, a distância b) x2 + y2 – 4 = 0 e) x2 + y2 – 16 = 0 do centro dessa circunferência à origem é: c) x2 + y2 – 5,76 = 0 a)  2 b)  3 c)  4 d)  5 e)  64) (PUC-MG) Os pontos (1, 0), (0, 0) e (0, 1) 10) (FAFEOD-MG) A reta bissetriz do primeiro e pertencem à circunferência de equação: terceiro quadrantes do sistema cartesiano Oxy a)  x 2 + y 2  - x - y  = 0  c)  x 2 + y 2  - x + y  = 0  divide a região limitada pela circunferência x2 + y2 – 2x = 0 em duas partes. A área da b)  x 2 + y 2  + x - y  = 0  d)  x 2 + y 2  - x  = 0  menor dessas partes é igual a:5) (N. Paiva-MG) Dada a circunferência p-2 3p + 2  p-4 p -1 x2 + y2 - 4x - 9 = 0, a equação de uma das a)  b)  c)  d)  4  4  4  2  LIMITE 1 + 2 + 3 + L + n  1 - x  3) (PUC-MG) O valor do limite  lim  2  é:1) (PUC-MG) O valor do  lim é: n®¥ n  - 4  x ®1 1  - x 2  a) 0 b) 1/2 c) 1 d) 2 e) 3 a) 0 b) 1 c) 1/2 d) 1/4 e) ¥ 4) (PUC-MG) Sendo f(x) = log2 (1 + x + x2 + x3 + ...), x  - 2  o valor de  M = 1 + lim  f  x  é: (  ) 2) (IH-MG) O valor do lim  2  é: 1  x ® 2  x  - 4  x® 3  a)  log  1  9  2 /  b)  log  1  3  2 /  c) log  3  2 2 2 1 a) 0 b)  c)  d)  e) + ¥ d)  log  6  e)  log  8  8  16  8  2 2 Matemática ­ M3 6 3 
    • Tecnologia     I       ITAPECURSOS  x 2  - bx  æ x + 1  ö 5) (PUC-MG) Se lim  = 2 , o valor de b é: 7) (PUC-MG) O valor do lim ç 3  ç - 3 ÷ é igual a: ÷ x ®0  2 x  x ® -1  x  + 1  è ø a) –4 b) –2 c) 0 d) 2 e) 4 a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 x 2 - 1  æ 12  1  ö 8) (UFU-MG) A função  f (  ) = x  não está 6) (PUC-MG) O valor do lim ç 3  - ÷ é: x 3  - 1  x ® 2  x  - 8  x - 2 ø è definida para x = 1. Para que a função f seja a) –1 c) 0 e) 1 contínua no ponto x = 1, devemos completá-la com f(1) =: b) –1/2 d) 1/2 a) -¥ b) 2/3 c) 1/3 d) +¥ e) 0 DERIVADA 1) (PUC-MG) Sendo f (  ) = 2  1 - x  , o valor da x  abscissa x = 2, é igual a 7. O valor de m é: derivada de f no ponto (-3,4) é: a) –3 b) –2 c) –1 d) 2 e) 3 a) –3,0 b) –1,5 c) –0,5 d) 2.5 e) 4,0 4) (PUC-MG) Se f (  ) = (3 - 2  )3 , então f’(1) é igual a: x  x  2) (PUC-MG) A derivada da função  a) –1 b) –3 c) –6 d) 3 e) 1 3 2  x  x  f  x  = (  )  - - 6  + 2  é negativa para x x  x - 2  3  2  5) (MACK-SP) Se  f (  ) = x  , então f’(x) é igual a: pertencente ao intervalo: x  2  a) ] –4,6 [ c) ] -2,3 [ e) ] 3, ¥[ a) 1 c) x - 2 e)  1- b) [ -1,2 [ d) ] - ¥,-2 [ x 2  2 1 b)  d)  3) (PUC-MG) O coeficiente angular da tangente ao x 2  x  gráfico da curva y = x3 + mx2 +3x - 1 no ponto de MATEMÁTICA I MATEMÁTICA IITrigonometria Estudo da Reta 1) c 2) a 3) b 4) a 5) c 1) a 2) a 3) b 4) a 5) d 6) d 7) c 8) d 9) d 10) c 6) b 7) c 8) e 9) b 10) a 11) b 12) d 13) d 14) b 15) b 11) a 12) a 13) c 14) d 15) c 16) a 17) c 18) b 19) b 20) a 21) d 22) d 23) c 24) c 25) d Estudo da Circunferência 1) b 2) d 3) c 4) a 5) cNúmeros Complexos 6) c 7) c 8) a 9) d 10) a 1) c 2) a 3) a 4) d 5) e Limite 6) e 7) d 8) a 9) c 10) c 1) d 2) c 3) b 4) c 5) a 6) b 7) b 8) bEquações Algébricas 1) c 2) b 3) c 4) e 5) d Derivada 6) c 7) d 1) c 2) c 3) b 4) c 5) b 6 4  Matemática ­ M3