Ap matemática m2
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Ap matemática m2

on

  • 7,793 views

 

Statistics

Views

Total Views
7,793
Views on SlideShare
7,793
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
120
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Ap matemática m2 Ap matemática m2 Document Transcript

  • Matemática Matemática I Função Exponencial .............................................. 3 Logaritmo .............................................................. 7 Polinômios ........................................................... 11 Análise Combinatória .......................................... 15 Binômio de Newton ............................................. 19 Matriz  .................................................................. 23 Determinante ....................................................... 27 Sistemas Lineares ............................................... 30 Progressão Aritmética e Progressão Geométrica ...................................... 34  no Código Penal, Artigo 184, parágrafo 1 e 2, com  A reprodução por qualquer meio, inteira ou em parte, venda,  exposição  à  venda,  aluguel,  aquisição,  ocultamento,  autorização do detentor dos direitos autorais é crime previsto  empréstimo,  troca  ou  manutenção  em  depósito  sem Matemática II Geometria Espacial ............................................. 38  multa e pena de reclusão de 01 a 04 anos. I ­ Prisma ......................................................... 38  II ­ Pirâmide ...................................................... 40  III ­ Cilindro ........................................................ 42  IV ­ Cone ........................................................... 43  V ­ Esfera ......................................................... 46  M2  JOSÉ AUGUSTO DE MELO 
  • Anotações
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  FUNÇÃO EXPONENCIAL 1­ DEFINIÇÃO  Seja a um número real tal que a > 0 e a ¹ 1.  *  Chamamos de função exponencial à função f : R ® R  definida por f(x) = a  x  +  x  æ 1ö Exemplos:  a) f(x) = 3  x  b) f(x) =  ç ÷ è 2 ø2­ GRÁFICO  1º caso: a > 1 ; a função é crescente  2º caso: 0 < a < 1 ; a função é decrescente PROPRIEDADES  P.1) Domínio = R  Imagem = {y Î R : y > 0}  x  P.2) A função exponencial, f(x) = a  não tem raiz.  x  P.3) A interseção do gráfico de f(x) = a  com o eixo 0y é o ponto (0,1)  P.4) A função exponencial é bijetora  x  a + b 1) (UFMG) A figura é um esboço do gráfico da função y = 2  . A ordenada do ponto P da abscissa  é:  2  a) c . d  b)  c + d  c + d  c)  2  2  d) (cd)  e)  cd Solução:  a  b  + y  =  2 p  2  ;   y  =  2 a +b  ;    y  =  2 a  × 2  ;    y  =  c × d  p  p  b  p  Resp: e Matemática ­ M2  3 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS 2) Uma colônia de bactérias tem, num certo instante (t  ), 1500 bactérias. Observações subseqüentes revelaram  0 que essa população dobrava sempre, em relação à observação imediatamente anterior.  a) Qual a população de bactérias na 4ª observação após t  ?  0  55  b) Em que observação a colônia alcançou 375.2  bactérias? Solução:  n  Não é difícil você concluir que o número de bactérias é dado por f(n) = 1500 . 2  , onde n é a observação  realizada após t  .  0  4  a)  Na 4ª observação, a população de bactérias é f(4) = 1500 . 2  ; f(4) = 24000.  55  n  55  b)  Queremos que f(n) = 375 . 2  ; 1500 . 2  = 375 . 2  55  n  375 × 2 55 n  2  n  53  2  =  ; 2  =  2  ; 2  = 2  ; n = 53  1500  2  Resp: Na 53ª observação. 3­ EQUAÇÕES EXPONENCIAIS  As condições impostas à base de uma função exponencial, a tornam uma função bijetora. Desse modo, se  x  y  a  = a , então x = y. Essa propriedade nos permite resolver uma série de equações cuja variável aparece no  expoente, e por isso são chamadas de equações exponenciais.  Para resolver uma equação exponencial, tente transformar a equação dada em uma outra eqüivalente, da  x  y  forma a  = a . Para isso use inicialmente as propriedades da potenciação.  1  m  n  m+n  ­n  a  . a  = a  a  =  a n  -n n æ aö æ bö m  n  a  : a  = a  m­n ç ÷ = ç ÷ è bø è aø n  m  n  m.n  n  n  (a  )  = a  (a . b)  = a  . b  a  =  n  a  m/n  m  Caso isso não seja possível, utilize os artifícios dados nas questões comentadas a seguir.  Observação: As equações redutíveis à forma a  = b  com a ¹ b você aprenderá a resolver no capítulo  x  y  sobre logaritmos. 1) Resolva a equação:  x  x + 1  – 2  2) Resolva a equação: 2  + 2  x + 2  + 2  x – 1  = ­8  x  x + 3  – 8  16  . 4  x + 2  = 0  Solução Solução:  x  x  x  2  x  ­ 1  2  + 2  . 2 – 2  . 2  + 2  . 2  = ­ 8 ;  x  x + 3  ­ 8  16  . 4  x + 2  ;  16  . 4  x  x + 3  = 8  x + 2  1  æ 1 ö 4  x  2  x + 3  = ( 2  )  ( 2  )  . ( 2  )  3  x + 2  ;   2  . 2  4x  2x + 6  = 2  3x + 6  x  2  . (1 + 2 – 4 +  ) = ­ 8 ; 2  . ç - ÷ = ­ 8 ; 2  = 16  x  x  2  è 2 ø 6x + 6  = 2  2  3x + 6 ® 6x + 6 = 3x + 6 ; x = 0  x  4  2  = 2  ; x = 4  Resp: x = 0  Resp: x = 4 4  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  2x + 1  + 5 . 3  = 2 3) Resolva a equação: 3  x  x  x – 1  = 8  4) Resolva a equação: 7  + 7  x Solução:  Solução:  2x  x  2x  x  2  3  .  3 + 5  . 3  –  2 =  0;    Como  3  =  (3  )  ,  se  x  x  ­ 1  x  x  1  x  fizermos  7  + 7  7  = 8  ;   7  . ( 1 +  ) = 8  7  x  2  3  = y obteremos: 3y  + 5y – 2 = 0, cujas raízes  são  x  8  7 x 7  æ 7 ö 7  x  7  .  x  = 8  ;  = ;ç ÷ = ;   x = 1  x  8  è 8 ø 8  1  7  8  y =  ou y = ­ 2  3  Resp: x = 1  1  x  ­ 1  Para y =  vem: 3  = 3  ;  x = ­1  3  x  Para y = –2 vem: 3  = –2 (não admite solução)  Resp: x = –1  x  –x 5) (MACK–SP) O número de soluções distintas da equação 2  – 2  = K, K real é:  a) 2, qualquer que seja K  d) 1, somente se K ¹ 0  b) 2, somente se K > 0  e) 0, somente se K < 0  c) 1, qualquer que seja K Solução:  2 1  2  x  x  2  – x = K. Seja 2  = y .  Então: y ­  y  = K ; y  – Ky – 1 = 0. Para essa equação 2 D = K  + 4 > 0. Logo, ela tem duas raízes reais distintas. Além disso, o produto dessas raízes é –1 (relações  2  de Girard). Então, uma delas é positiva e uma é negativa. Como a raiz negativa não fornece solução para x,  a resposta correta é C.  Resp: c 4­ INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS  Nas condições impostas à base de uma função exponencial, temos:  *Se a > 1, a função é crescente, portanto:  a  > a  « x > y  x  y a  < a  « x < y  x  y *Se 0 < a < 1, a função é decrescente, e então:  a  > a  « x < y  x  y a  < a  « x > y  x  y Resumindo: ao resolver uma inequação exponencial, proceda como nas equações, ou seja, iguale as ba­  ses. Mas, ao comparar os expoentes, lembre–se:  *Se a > 1, compare os expoentes, mantendo o sentido da desigualdade.  *Se 0 < a < 1, ao comparar os expoentes, inverta o sentido da desigualdade. Matemática ­ M2  5 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS 1) Resolva a inequação:  2 x  + 2  3  x  æ 1 ö æ 1 ö ç ÷ ³ç ÷ è 2 ø è 2 øSolução:  Como a base é menor que 1, devemos ter:  2  2  x  + 2 £ 3x  ;  x  – 3x + 2 £ 0  raízes: 1 e 2  diagrama: Solução:  1 £ x £ 2  x + 2  + 3 2) Resolva a inequação: 3  x + 1  – 3  > 33  x Solução:  x  2  x  x  x  3  . 3  + 3  . 3 – 3  > 33 ; 3  . (9 + 3 – 1) > 33  x  x  3  . 11 > 33   ;   3  > 3   ;   x > 1  Resp: x > 1  2x – 1  < x 3) Resolva a inequação: x  3 Solução:  1ª hipótese: x > 1  Nesse caso: 2x – 1 < 3 ; x < 2  A interseção com a condição x > 1 nos dá S  = {x Î R : 1 < x < 2}  1  2ª hipótese: 0 < x < 1  Teremos 2x –1 > 3 ; x > 2  Como esses valores de x não pertencem a 0 < x < 1, nesse intervalo não temos nenhuma solução.  Resp: S = {x Î R : 1 < x < 2}  2  a 4) (UF–VIÇOSA) Determine os valores de a para que a equação x  + 2  . x + 1 = 0, admita raízes reais. Solução:  Para a equação dada admitir raízes reais, D ³ 0 . Logo  2a  2a 2  2  – 4 > 0 ;  2  ³ 2  ;  2a ³ 2 ;  a³1 6  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  LOGARITMO 1­ DEFINIÇÃO  Seja a > 0 , a ¹ 1 e b > 0 . Chama–se logaritmo de b na base a ao número x = log  b tal que a  = b  a  x  Em símbolos  a ® base  log  b = x « a  = b  a  x  b ® logaritmando  x ® logaritmo Exemplos:  3  1  –2  a) log  8 = 3, pois 2  = 8  2  b) log  4 = –2, pois (  )  = 4  1/2  2 2­ CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA  ì ï a > 0 e a ¹ 1  ï Existe log  b se e somente se  a  í ï ï î b > 0 3­ BASES MAIS USADAS 3.1­ LOGARITMO DECIMAL  Utiliza a base 10. Convenciona­se que, ao omitir a base, seu valor é 10. Assim:  log  b = log b  10 3.2­ LOGARITMO NATURAL  Usa como base o número e (número de Euler). Anota–se por log  b ou l n b  e 4­ PROPRIEDADES ELEMENTARES  Decorrem imediatamente da definição as propriedades a seguir:  a) log  a = 1  a  b) log  1 = 0  a  m  c) log  a  = m  a  d) a log b = b  a É claro que estamos admitindo a > 0, a ¹ 1 e b > 0. 5­ PROPRIEDADES OPERATÓRIAS  Para a > 0, a ¹ 1 e b > 0, c > 0, temos  P.1) log  (b . c) = log  b  + log  c  a  a  a  æ b ö P.2) log  ç ÷ = log  b ­ log  c  a a  a  è c ø P.3) log  b  = m log  b , m Î R  a  m  a  Matemática ­ M2  7 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS 1) Sabendo que log 2 = 0,30 e  log 3 = 0,47, calcule:  a) log 18  b) log 15 Solução:  2  2  a) log 18 = log (2.3  ) = log 2 + log3  = log 2 + 2 log 3  Portanto:  log 18 = 0,30 + 2 . 0,47  log 18 = 1,24  10  b) log 15 = log (3.5) = log 3 + log 5 = log 3 + log (  )  2  Então:  log 15 = log 3 + log 10 – log 2  log 15 = 0,47 + 1 – 0,30  ;  log 15 = 1,17 2) (PUC–SP) São dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48. Determine o número real x que satisfaz à equação:  x ­ 1  4  = 1125 Solução:  x ­ 1  2x – 2  2  3  4  = 1125 ;   2  = 3  . 5  e daí:  2x – 2  2  3  log (2  ) = log (3  . 5  )  (2x – 2) . log 2 = 2 log 3 + 3 log 5  10  Mas log 5 = log (  ) = log 10 – log 2 = 1 – 0,30 = 0,70  2  Logo:  (2x – 2) . 0,30 = 2 . 0,48 + 3 . 0,70 e daí:  2x – 2 = 10,2 ; x = 6,1 3) (VUNESP) A figura representa o gráfico de y = log x.  Sabe–se que AO = BC. Então, pode­se afirmar que:  a) log  b = c  a  b) a + b = c  c  c) a  = b  d) ab = c  a  b  c  e) 10  + 10  = 10 Solução:  Observe que: OA = log a ;  OB = log b  e  OC = log c  Mas BC = OC – OB ; logo BC = log c – log b. Como OA = BC, temos  c  c  log a = log c – log b ;  log a = log  ;  a =  ;   ab = c  b  b  Resp: d 8  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS 6 ­ MUDANÇA DE BASE  b  log  c  Sejam a > 0 , a ¹ 1, c > 0 , c ¹ 1 e b > 0. Então log  b =  a  a  log  c  log 3 log 2 7 log 3 7 Exemplos:  a) log  3 = b) log  7 = = = ... 2  log 2 5  log 2 5 log3 5 1 1 Conseqüências:  a) log  b = log a b) log ap B = log a b a  b p7­  EQUAÇÕES  LOGARÍTMICAS  Assim denominamos as equações que envolvem logaritmos. Para resolvê­las, tenha sempre em mente as  condições de existência e procure reduzir a equação dada, usando as propriedades, à forma log  f(x) =  a  log  g(x) ou à forma log  f(x) = b.  a  a  b  No primeiro caso, lembre–se de que f(x) = g(x). E, no segundo caso, a definição dá que f(x) = a  . 1) Resolva a equação log  (x + 4) = 2.  (x – 2) Solução:  Se você quiser, ache as condições de existência, depois resolva a equação e verifique quais raízes satisfa­  zem às condições de existência.  Aqui, no entanto, para economizar tempo, vamos resolver a equação e verificar por substituição direta  quais raízes servem.  log  (x + 4) = 2 « (x – 2)  = x + 4  o que dá  x  – 5x = 0 cujas raízes são x = 0 e x = 5.  (x – 2)  2  2  Observe que o x = 0 faz a base valer –2, logo não serve. Já o 5 satisfaz às condições de existência e então:  S = {5}  2 2) Resolva: log  (x  – 1) = log  (x + 1).  3  3 Solução:  2  2  2  De log  (x  – 1) = log  (x + 1) vem x  – 1 = x + 1 ;  x  – x – 2 = 0, cujas raízes são 2 e ­1.  3  3  Dessas, apenas 2 serve.  S = {2} 3) log  2  2  x – 3log  x + 2 = 0  2 Solução:  Observe que log  2  x = (log  x)  . Seja então log  x = y. A equação dada fica:  2  2  2  2  2  y  – 3y + 2 = 0, cujas raízes são y = 1 e y = 2.  Se y = 1, vem : log  x = 1 ; x = 2  2  Se y = 2, vem : log  x = 2 ; x = 4  2  Como ambas as raízes servem, S = {2, 4}. Matemática ­ M2  9 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS  1 4) Resolva a equação: log  (3x –1) – log  (x + 1) =  2  4  2 Solução:  Inicialmente, coloque todos os logaritmos numa mesma base.  log  2 ( x + 1  1  )  log  (3x – 1) ­  = 2  log  2  4  2  log( x + 1  1  )  log  (3x – 1) ­  2  = (tirando  o m.m.c.)  2  2  é (  x - 1 2 ù 3  )  2 log  (3x – 1) – log  (x + 1) = 1 ; log  ê x + 1  ú = 1  2  2  2  ê ë ú û (  x - 1 2 3  )  1  1  = 2  ;   9x  – 8x – 1 = 0  cujas raízes são 1 e ­  . Porém –  não convém. Logo, S = {1}  2  x + 1  9  9 8­  INEQUAÇÕES  LOGARÍTMICAS  ìlog  f  x  < log  g  x  « f  x  < g  x  a  (  )  a  (  )  (  )  (  )  ìlog  f (  ) < log  g  x  « f  x  > g  x  a  x  a  (  )  (  )  (  )  Se a > 1 í log  f ( x  < K  « f ( x  < a  )  )  K  Se 0 < a < 1 í log  f (  ) < K  « f (  ) > a  x  x  K  î a  î a  Atenção: Não se esqueça de calcular o domínio da inequação. 1) Resolva a inequação: log  (x – 1) > log  (2x + 3).  1/2  1/2 Solução:  x - 1 > 0 ; x .  ü 1  ï a) Condição de existência  3 ý ® x  > 1  2  + 3  ; x > - ï x  2 þ b) Resolução da inequação  log  (x – 1) > log  (2x + 3) ® x – 1 < 2x + 3  ;  x > ­ 4  1/2  1/2  c) Resposta final: é obtida fazendo–se a interseção entre os intervalos obtidos em a e b. Faça isso e você  terá: S = {x Î R : x > 1}.  2 2) Resolva a inequação: log  x + 2log x – 3 > 0. Solução:  a) Domínio: x > 0  2  b) Resolução: Faça log x = y. Então, y  + 2y – 3 > 0, que resolvida dá y < –3 ou y > 1.  Se y < –3, então log x < –3 ;  x < 0,001  Se y > 1, então log x > 1 ;  x > 10  c) Resposta: a interseção nos mostra que  S = {x Î R : 0 < x < 0,001 ou x > 10}. 10  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS 9 ­ A FUNÇÃO LOGARÍTMICA  Como vimos, a função exponencial é bijetora e, portanto, admite inversa. Por outro lado, se log  y = x, temos  a  x  que y = a , ou seja, a inversa da exponencial é a função logarítmica que definiremos a seguir:  Seja a > 0, a ¹ 1 e x > 0 números reais. Chama­se função logarítmica à função f: R*  ® R, definida por  + f(x) = log  x.  a  Como os gráficos de uma função e sua inversa são simétricos em relação à reta y = x, o gráfico da função  logarítmica é:  1º caso: a > 1  2º  caso: 0 < a < 1  POLINÔMIOS 1 ­ DEFINIÇÃO  Chamaremos de polinômio em R, na variável x, a toda expressão da forma:  n  P(x) = a  . x  + a  n ­ 1  + ... + a  . x + a  , onde n é um número natural, e a  ¹ 0.  n  n ­ 1  . x  1  o  nExemplos:  São polinômios:  3  2  a) P(x) = 5x  ­ 4x  + x ­ 1  2  1  b) P(x) = x  ­  3  c) P(x) = ­5  1  Não são polinômios: a)  + 3  b)  x  + 3x ­ 7  x  Dado o polinômio P(x) =  a  . x  + a  . x  + ... + a  . x + a  com a  ¹ 0, n é chamado de grau do polinômio.  n  n  n ­ 1  n ­ 1  1  o  n Assim:  2  a) P(x) = 3x  ­ 5x + 1, tem grau 2.  c) P(x) = ­ 3x + 1, tem grau 1.  3  b) P(x) = 2x ­ x  + 4, tem grau 3.  d) P(x) = 2, tem grau zero.  O polinômio P(x) = 0 é chamado de polinômio nulo ou polinômio identicamente nulo. Para ele, não se  define o grau. 2 ­ VALOR NUMÉRICO  Se K é um número real, chama­se valor numérico do polinômio P(x) para x = K ao número obtido substituindo­  se x por K e efetuando as operações indicadas. Indicaremos o valor numérico por P(K). Caso P(K) = 0,  diremos que K é a raiz ou zero do polinômio.  Assim, se  2  P(x) = 3x  ­ x + 1  2  P(2) = 3 . 2  ­ 2 + 1 = 11  2  P(0) = 3 .  0  ­ 0 + 1 = 1 Matemática ­ M2  11 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS 3 ­ IGUALDADE DE POLINÔMIOS  n  Sejam os polinômios:  P  (x) = a  . x  + a  n ­ 1  + ... + a  . x + a  1  n  n ­ 1  . x  1  o  e  n  + b  P  (x) = b  . x  n ­ 1  + ... + b  . x + b  2  n  n ­ 1  . x  1  o  Dizemos que P  (x) = P  (x) se:  1  2  a  =  b  ;  a  n  n  n ­ 1 = b  ; ..., a  b  e a  = b  n ­ 1  1 =  1  o  o  3  2  2  1) Determine a, b, c para que os polinômios P  (x) = (a ­ 2)x  + 3x  + b ­ 1 e P  (x) = (c + 5)x  + 3 sejam  1  2  idênticos. Solução:  Queremos que:  3  2  3  2  (a ­ 2)x  + 3x  + b ­ 1 = 0x  + (c + 5)x  +3  Logo: a ­ 2 = 0;  a = 2  c + 5 = 3;  c = ­2  b ­ 1 = 3;  b = 4  2) Calcule a e b, de modo que:  2  - 6  x  a  b  2 = + x  + 2  - 3  x  x - 1  x + 3 Solução:  1º modo:  2º modo:  2  - 6  x  a  b  Na igualdade:  2 = + x  + 2  - 3  x  x - 1  x + 3  2x ­ 6 = a(x + 3) + b (x ­ 1)   faça:  x = ­3 Õ ­12 = a . 0 ­ 4.b;b =3  2x - 6  a x + 3  + b x - 1  (  )  (  )  = e daí vem:  (  - 1  x + 3  x  )(  )  (  - 1  x + 3  x  )(  )  x = 1 Õ ­4 = 4a + b.0;  a = ­1  2x ­ 6 = a(x + 3) + b(x ­ 1)  2x ­ 6 = ax + 3a + bx ­ b  Atenção: escolha para x os valores que anulam  os  denom i nadores  das  f raç ões  dadas  2x ­ 6 = (a + b)x +(3a + b) e então:  originalmente.  ì ï a + b = 2  ï í cuja solução é a = ­1 e b =3  ï ï 3a ­ b = ­6 î4 ­ DIVISÃO DE POLINÔMIOS  Se A(x) e B(x) são dois polinômios, com B(x) ¹ 0, dividir A por B é encontrar dois outros polinômios Q(x) e R(x),  tal que:  I) A(x) = B(x) .Q(x) + R(x)  II) Grau de R(x) < grau B(x) ou R(x) = 0  Quando R(x) = 0, dizemos que A(x) é divisível por B(x).  Observe que o grau de Q(x) é dado pela diferença entre o grau de A(x) e B(x). 12  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  Para efetuar a divisão entre dois polinômios, temos dois métodos:Método da chave  Método de Descartes  3  2  2  Seja efetuar a divisão (2x  ­ x  + 3) : (x  ­2x + 3)  3  2  2  Façamos a mesma divisão: (2x  ­ x  + 3) : (x  ­2x + 3) Solução:  Solução:  • Inicialmente, ordene o polinômio dividendo em ordem  • Inicialmente, determine o grau do quociente. Q(x) é  decrescente e complete­o. No caso do divisor, basta  do 1º grau, concorda? Logo Q(x) = ax + b.  que ele esteja em ordem.  • O grau do resto, sendo menor que o grau do divisor  será um polinômio cujo grau é no máximo 1.  3  2  2x  ­ x  +0x + 3  2  x  ­2x + 3  Seja então R(x) = cx + d.  3  2  2x  ­ x  + 3  2  x  ­2x + 3  • Divida o primeiro termo do dividendo pelo primeiro  cx + d  ax + b  termo  do  divisor  para  obter  o  primeiro  termo  do  quociente (2x).  Usando a identidade A = B . Q + R  • Multiplique o primeiro termo do quociente pelo divi­  3  2  2  obtemos: 2x  ­ x  + 3 = (x  ­2x + 3)(ax + b) + cx + d  sor e subtraia o resultado do dividendo, para obter  2  o resto parcial (3x  ­6x + 3).  Efetuando  e  reduzindo  os  termos  semelhantes,  3  2  2  teremos:  2x  ­ x  +0x + 3  x  ­2x + 3  3  2  ­2x  + 4x  ­6x  2x  3  2  3  2  2x  ­ x  + 3 = ax  + (b ­ 2a)x  +(3a ­ 2b + c)x + 3b + d  2  3x  ­ 6x +3  Portanto:  a = 2  • Se o grau do resto parcial for menor que o grau do  b ­ 2a = ­1;  b = 3  divisor, a divisão terminou. Caso contrário, repita as  operações acima, usando o resto parcial como divi­  3a ­ 2b + c = 0;  c = 0  dendo.  3b + d = 3;  d = ­6  3  2  2x  ­ x  +0x + 3  2  x  ­2x + 3  Então, finalmente:  Q(x) = 2x + 3  3  2  ­2x  + 4x  ­6x  2x + 3  R(x) = ­6  2  3x  ­ 6x +3  2  ­3x  ­ 6x ­ 9 ­6 5 ­ O DISPOSITIVO DE BRIOT­RUFFINI  Se, numa divisão, o divisor for do 1º grau, além dos métodos dados anteriormente, existe um outro, cuja  3  descrição será feita a seguir. Seja efetuar (2x  ­ 3x + 1) : (x ­ 2)  • Desenhe o esquema a seguir  • À esquerda do primeiro traço vertical, colocamos a raiz do divisor (no nosso caso, 2).  À direita desse traço, colocamos os coeficientes do dividendo (já ordenado), completando com zero os termos  faltosos.  2  2  0  ­3  1  Matemática ­ M2  13 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS  • Abaixamos o primeiro desses coeficientes e o multiplicamos pela raiz do divisor (2), somando o resultado  obtido (4) ao próximo coeficiente (0) e encontramos 4.  4  2  2  0  ­3  1  2  4  • Repita tudo isso, agora, para o 4. Continue até achar o último número (à direita do traço vertical tracejado).  4  8  10  2  2  0  ­3  1  2  4  5  11  1 24 4 3 1 24  4 3 Q(x)  R(x)  Observe que o resto será nulo, ou um polinômio de grau zero. No nosso exemplo, R(x) = 11. Como Q(x) é de  grau 2, temos:  2  Q(x) = 2x  + 4x + 5  Atenção: Se o divisor for do tipo ax ± b, proceda como anteriormente. Contudo, na hora de dar a resposta, ao  determinar Q(x), divida os coeficientes obtidos no dispositivo por a (apenas os coeficientes reservados a  Q(x)). O resto fica inalterado. 6 ­ TEOREMA DO RESTO OU DE D’ALEMBERT  O resto da divisão de um polinômio P(x) por x ­ a é P(a). Demonstração:  Na divisão de P(x) por x ­ a, seja Q(x) o quociente e R(x) o resto. Observe que o grau de R é zero ou R(x) =  0.  P(x)  x ­ a  R  Q(x)  P(x) = (x ­ a) . Q(x) + R  Fazendo x = a, vem: P(a) = (a ­ a) . Q(a) + R e então  P(a) = R  1 24  4 3 0  Como conseqüência dessa propriedade, um polinômio P(x) é divisível por x ­ a se e só se P(a) = 0.  De modo semelhante, prova­se que:  Se o divisor for x + a, o resto é P(­a).  Se o divisor for ax ­ b, o resto é P(b/a).  Se o divisor for ax + b, o resto é P(­b/a). 7 ­ DOIS TEOREMAS IMPORTANTES  Daremos, sem demonstrar, dois teoremas que facilitam em muito nosso trabalho com polinômios.  Teorema 1:  Teorema 2:  O  polinômio  P(x)  é  divisív el  pelo  produto  Se P(x) é divisível por (x ­ a)(x ­ b), então P(x) é  (x ­ a)(x ­ b) com a ¹ b se e só se P(x) é divisível  divisível por x ­ a, e o quociente dessa divisão é  separadamente por x ­ a e por x ­ b.  divisível por x ­ b. 14  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  ANÁLISE  COMBINATÓRIA 1­ PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM  Consideremos o seguinte problema:  • As cidades A e B são interligadas por 3 linhas de ônibus e por 4 companhias aéreas. De quantos modos uma  pessoa pode ir de A a B, usando ônibus e voltando de avião?  Solução:  Observe que o evento, ir de A a B e retornar, pode ser decomposto em duas etapas:  1ª etapa: viagem de ida  2ª etapa: viagem de volta.  Como a viagem de ida tem que ser de ônibus, existem três maneiras dessa viagem ser feita. Já para a viagem  de volta, temos 4 possibilidades. Como para cada viagem de ida, existem 4 modos de a pessoa fazer a viagem  de volta, é fácil ver que a pessoa fará as viagens de ida e volta de 4.3 = 12 modos diferentes.  Esse problema ilustra o princípio fundamental de contagem ou Regra do Produto.  Se um evento é formado por duas etapas sucessivas e independentes, de tal modo que a primeira etapa  se realiza de p modos e a segunda de q modos, então o evento ocorre de p.q maneiras.  Podemos estender essa regra a um evento formado por um número K de etapas.  1) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0,1,2,3,4,e 5 ?  Solução:  O evento, formar um número de três algarismos, pode ser decomposto em três etapas:  1ª etapa: escolha do algarismo das centenas.  2ª etapa: escolha do algarismo das dezenas.  3ª etapa: escolha do algarismo das unidades.  Para a 1ª etapa existem 5 possibilidades (apenas o zero não pode ser escolhido).  Para a 2ª etapa existem também 5 possibilidades, pois o número escolhido na 1ª etapa não pode ser  repetido, porém o zero já pode ser usado.  Para  a  3ª etapa,  existem  4  possibilidades  (só  não  podemos  escolher  os  dois  algarismos  que  foram  escolhidos na 1ª e 2ª etapas.  Logo, pela regra do produto podemos formar 5.5.4 = 100 números.  2) Dispõe­se de 6 cores para pintar uma bandeira de 4 faixas. Cada faixa deve ser pintada de uma só cor e  duas faixas consecutivas não podem ter a mesma cor. De quantos modos pode ser feita a pintura?  Solução:  O evento, pintar a bandeira, pode ser decomposto em 4 etapas. Para a 1ª etapa existem 6 possibilidades,  pois podemos escolher qualquer uma das 6 cores. Para a 2ª etapa existem 5 possibilidades, pois a cor  usada na faixa anterior não pode ser usada. O mesmo número de possibilidades teremos para a 3ª e 4ª etapas.  Portanto, a pintura poderá ser feita de:  6.5.5.5 = 750 modos Matemática ­ M2  15 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS  3) Quantos números de 5 algarismos distintos formados pelos dígitos 1,3,4,5 e 6 são maiores que 50000?  Solução:  1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 1ª etapa: 2 possibilidades: 5 ou 6 (só assim o número será maior que 50000)  2ª etapa: 4 possibilidades (lembre­se: os algarismos devem ser distintos)  3ª etapa: 3 possibilidades  4ª etapa: 2 possibilidades  5ª etapa: 1 possibilidade  Resposta: 2.4.3.2.1 = 48 2 ­ UMA NOVA ABORDAGEM  Existem alguns problemas de análise combinatória cuja resolução, usando­se a regra do produto, é muito  complicada. Para  eles, daremos  uma nova  abordagem. Assim,  se num  determinado agrupamento  cada  elemento aparece uma única vez, o agrupamento é simples. Caso contrário, ou seja, se um elemento puder  aparecer mais de uma vez, o agrupamento é dito com repetição. Desse modo, se queremos saber quantos  números de 3 algarismos distintos existem no sistema decimal, devemos considerar cada número como  um agrupamento simples. Caso não aparecesse a palavra distintos no problema, então deveríamos levar  em conta todas as possibilidades e teríamos números com ou sem repetição. 3 ­ TIPOS DE AGRUPAMENTOS  Basicamente os agrupamentos que se formam com elementos de um conjunto podem ser classificados em  dois tipos.  ­ Arranjos: agrupamentos que se distinguem um do outro pela natureza e pela ordem de seus elementos.  ­ Combinações: agrupamentos que se diferenciam apenas pela natureza de seus elementos.  Observação:  Se em um agrupamento do tipo arranjo, usarmos todos os elementos do conjunto considerado, o agrupamento  passa a ser chamado de permutação.  Para fixarmos bem essas noções, vamos classificar os agrupamentos seguintes:  a) números formados por 4 algarismos no sistema decimal.  Solução:  Seja 2315 um tal número. Se mudarmos a ordem de pelo menos dois de seus algarismos, o número muda de  valor. Logo, cada número é um arranjo.  b) Triângulos formados com os cinco pontos tomados sobre uma circunferência.  Solução:  Um triângulo é obtido unindo­se três pontos quaisquer dos 5 que foram dados. Como o triângulo ABC e o  triângulo ACB ou BAC, etc. são o mesmo triângulo, a ordem dos elementos não muda o agrupamento e  temos uma combinação.  c) Filas que podemos formar com 4 pessoas  Solução:  Uma fila se diferencia de outra apenas pela ordem de seus elementos. Além disso, em cada fila todos os  elementos à nossa disposição são usados. Logo, cada fila é uma permutação. 16  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS 4­ A NOÇÃO DE FATORIAL  No próximo item, aprenderemos como calcular o número de agrupamentos que podemos formar com os  elementos de um conjunto. Necessitaremos então definir a noção de fatorial.  Definição: Seja n um número natural. Então:  0! = 0  1! = 1  n! = n . (n ­ 1) . ... . 2.1, se n ³ 2,  onde o símbolo n! lê­se fatorial do número n.  Veja os exemplos:  Observe que:  3! = 3.2.1 = 6  n! = n . (n ­ 1)! = n . (n ­ 1) . (n ­ 2)! = etc.  5! = 5.4.3.2.1 = 120  Assim teremos:  6! = 6.5.4.3.2.1 = 720  7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5! = 7 . 6 . 5 . 4! = etc. 5­ CÁLCULO COMBINATÓRIO ­ AGRUPAMENTOS SIMPLES 5.1 ­ Arranjos simples  Considere o seguinte problema: quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os dígitos  1,2,3,4,5?  Solução:  Que cada número é um arranjo é óbvio, pois a ordem dos algarismos no número altera o agrupamento. Queremos  então saber  quantos arranjos tomados  3 a  3 podemos formar  com 5 algarismos  dados. Esse  valor será  representado por:  A 3  .Usando a regra do produto, temos que:  5  5  4  3  A 3  = 5  4 3 = 60  5 .  .  Agora, observe:  De um modo geral,  5 4 3  2  1  5  .  .  .(  .  )  !  5  !  p  n  !  A 3  = 5 = = A  = n 2 1  .  2  (  - 3  !  5  )!  (  - p  n  )! 5.2 Permutação Simples  Como já foi dito, o número de permutações de n elementos, (Pn), é igual ao número de arranjos de n elementos  tomados n a n. Logo:  n  n  !  n  !  P  = A  n n  = = n  ,ou seja  P  = n  !  n !  (  - n  n  )!  n ! 5.3 Combinações Simples  p  Representando por  C  o número de combinações simples de n elementos tomados p a p, teremos:  n  p  n  !  C  = n p (  - p  !  n  )!  Observe que:  C p .  p  = A p  n  P  n  Matemática ­ M2  17 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS  1.(MACK­SP) O total de números, formados com algarismos distintos, maiores que 50000 e menores que  90000 e que são divisíveis por 5 é:  a) 1596  d) 2788  b) 2352  e) 4032  c) 2686  Solução:  1ª hipótese  2ª hipótese  _   _   _   _   _  ; 3.2. A 3 = 2016  8  8  !  5  0 ;  _ _ _ _ _  =  A 3  = = 336  8 5  !  6,7 ou 8     0 ou 5  Resposta: 336 + 2016 = 2352  2.(FUVEST­SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:  a) 24  Solução:  b) 48  Existem duas possibilidades:  c) 96  U  E  _ _ _ _ _ _  d) 120  2.  P  = 2 4  = 48  4 .  !  e) 144  E  U  _ _ _ _ _ _ 3. (UNESP) Sobre uma reta marcam­se 3 pontos e sobre outra reta, paralela à primeira, marcam­se 5 pontos.  O número de triângulos que obteremos unindo 3 quaisquer desses 8 pontos é:  a) 26  b) 90  c) 25  d) 45  e) 42  Solução:  3  Cada triângulo é uma combinação. Se não houvesse 3 pontos alinhados, os 8 pontos nos dariam  C  triângulos.  8  3  Os 3 pontos sobre a primeira reta deixam de determinar  C  triângulos e os 5 outros pontos deixam de  3  3  3  3  3  determinar  C  triângulos. Logo a resposta final será:  C  - C  - C  = 56 - 1  10 = 45  5  8 3  5  -6­ CÁLCULO COMBINATÓRIO ­ AGRUPAMENTOS COM REPETIÇÃO 6.1 ­ Arranjos com repetição  p  Se  AR  representa a quantidade de agrupamentos do tipo arranjos com repetição, que podemos formar  n  com os n elementos de um conjunto, tomados p a p, então:  AR p  = n  n  p 6.2 ­ Permutação com repetição  Uma permutação é dita com repetição se determinados elementos aparecem mais de uma vez. Assim, por  exemplo, qualquer anagrama da palavra CASA é uma permutação com repetição, pois a letra A aparece 2  n  ,  2 ,...,  1 n  nk  n !  vezes. Prova­se que:  P  n  = n  !  2 !...  k !  1  n  n  n ® total de elementos em cada permutação. n  ,  2 ,...,  k  ® quantidade de vezes em que os elementos que se repetem aparecem em cada agrupamento.  1  n  n 6.3  ­ Combinação com repetição  p  Se  CR  representa o número de combinações com repetição de n elementos, tomados p a p, então:  n  p  p  CRn  = C  +p -1  n  18  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  1. Quantos números de três algarismos podem ser formados com os dígitos de 0 a 9, se o algarismo 5 é  sempre o algarismo da centena?  Solução:  Como o problema não diz  que os algarismos do número formado são distintos,  isso significa que as  2  2  repetições são admitidas. Portanto, o total procurado será: 5 - - -; AR  = 10  = 100  10 2. Quantos são os anagramas da palavra ARARA?  Solução:  Letras que se repetem:  A: 3 vezes  R: 2 vezes  3 2  .  5  !  Logo, o número de anagramas será:  p  = 5 = 10  3 2  !  !  3. Podendo escolher entre os sabores hortelã, laranja e limão, de quantos modos uma criança pode comprar  5 balas?  Solução:  Cada grupo de 5 balas pode ser considerado como uma combinação de elementos repetidos, escolhidos  5  5  5  7  !  entre os três sabores. Logo, a resposta será:  CR  = C  + 5 -1  = C  = 3 3  7  = 21  5 2  !  !  BINÔMIO DE NEWTON 1 ­ NÚMERO BINOMIAL  Sejam n e p números com p £ n. Chamamos de número binomial de numerador n e classe p ao número  n  !  representado por ( ) definido por: ( ) = p ! ( n - p )!  n  p  n  p Observe que ( )= C n  p  p  n 2 ­ PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS 2.1 ­ Propriedades Diretas ( ) = 1 ; n  0 ( ) = n ; n  1 ( ) = 1  n  n Essas propriedades decorrem diretamente da definição de número binomial. 2.2 ­ Binomiais Complementares  Dois binomiais são ditos complementares se tiverem o mesmo numerador e se a soma dos denominadores  for igual ao numerador. Assim, são complementares os binomiais: ( ) e ( ) ; 5  3  5  2  ( )e ( ) 8  5  8  3  Matemática ­ M2  19 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS  Também são complementares: ( ) e ( );  n  p  n  n - p  (p + n - p = n  )  ( )e ( n  1  + p  1  - n  1  + n - p  2  + ) ;  (p - 1 + n - p + 2 = n + 1  )  Aplicando a definição de número binomial a dois binomiais complementares, conclui­se que:  Dois números binomiais complementares são iguais.  Desse modo: Exemplo:  ( )= ( ) 5  3 5  2  ( )= ( ) n  p n  n - p  Resolva a equação: æ 10  ö æ 10 ö ç ç 2 x - 1  = ç 3  ÷ è ÷ ç ÷ ÷ ø è ø Solução:  ( )= ( ) 10  4 10  6  ( )= ( n + 1  p -1  n +1  n - p + 2  ) 1ª hipótese:  2x ­ 1 = 3 ; x = 2  Como conseqüência dessa propriedade, temos que: 2ª hipótese:  ( ) = ( ) « p = q  ou   p + q = n  n  p n  q  2x ­ 1 + 3 = 10 ; x = 4  Resposta: x = 2  ou x = 4 2.3 ­ Relação de Stifel  Essa relação acontece entre dois binomiais consecutivos. Assim, são consecutivos: ( ) e ( ); 5  3  5  4  ( )e( ) 15  8  15  9 æ n ö æ n  ö æ n - 1  ö æ n - 1  ö ç ÷ ç p ÷ è ø e ç ÷ ç p + 1  è ÷ ø ; ç ÷ ç p + 1  è ÷ ø e ç ç p  ÷ è ÷ ø e assim por diante.  A relação de Stifel nos permite somar dois binomiais consecutivos. Ela pode ser dada de várias formas; uma  æ n ö æ n  ö æ n + 1  ö delas é:  ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç p ÷ + ç p + 1  = ç p + 1  ÷ è ø è ø è ø æ 9 ö æ 9 ö æ 10 ö Exemplo:  a)  ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 2 ÷ + ç 3 ÷ = ç 3  ÷ è ø è ø è ø æ 10 ö æ 10 ö æ 10 ö æ 10 ö æ 11  ö b)  ç ÷+ç ÷ =ç ÷+ç ÷ =ç ÷ ç 4  ÷ ç 7  ÷ ç 6  ÷ ç 7  ÷ ç 7 ÷ è ø è ø è ø è ø è ø binomiais  complementares 2.4 ­ Relação de Fermat  É também uma relação entre binomiais consecutivos. Permite­nos calcular o valor de um binomial em função  do binomial “antecedente”. Sua demostração é feita aplicando­se a definição de número binomial.  æ n ö n - p  æ n ö ç ÷ ç ÷ ç p + 1  = p + 1 . ç p ÷ ÷ è ø è ø Exemplos:  æ 9 ö æ 9 ö 9 - 4  æ 9 ö æ 13 ö æ 13 ö 13 - 7  æ 13 ö 3  a)  ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 5 ÷ = ç 4 ÷ . 4 + 1  = ç 4 ÷ .  1  è ø è ø è ø b)  ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 8  ÷ = ç 7  ÷ .  7 + 1  = ç 7  ÷ .  4  è ø è ø è ø 20  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS 3 ­ TRIÂNGULO DE PASCAL  Para tornar nosso trabalho mais ameno, vamos dispor os números binomiais na forma seguinte:  æ0 ö ç ÷ ç 0 ÷ è ø æ 1 ö + æ 1 ö ç ÷ ç ÷÷ ç 0 ÷ ¾¾®ç 1  è ø è ø ¯ æ 2 ö + æ 2 ö æ 2 ö ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷ ç 0 ÷ ¾¾®ç 1  ç 2 ÷ è ø è øè ø ¯ æ3ö æ 3 öæ 3 ö æ 3 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ è 0 ø è 1 øè 2 ø è 3 ø æ4 ö æ 4 ö æ 4 öæ 4 öæ 4 ö ç ÷ ç 0 ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ ç 1 ÷ ç 2 ÷ç 3 ÷ç 4 ÷ è ø è ø è øè øè ø æ 5 ö æ 5 öæ 5 ö æ 5 ö æ 5 ö æ 5 ö ç ÷ ç 0 ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 1 ÷ç 2 ÷ ç 3 ÷ ç 4 ÷ ç 5 ÷ è ø è øè ø è ø è ø è ø .............................................. Observe que os números binomiais de mesmo  Usando essas propriedades chegamos facilmente numerador  estão  na  mesma  linha,  e  os  números  aos valores associados ao triângulo, obtendo: binomiais  de  mesmo  denominador  estão  na  mesma  linha 0 ; 1 coluna. Além disso, os binomiais da primeira coluna valem  1,  pois  têm  o  denominador  igual  a  zero.  O  linha 1 ; 1  1 mesmo acontece com o último binomial de cada linha,  linha 2 ; 1  2  1 que  tem  o  numerador  e  denominador  iguais.  Além  linha 3 ; 1  3  3  1 disso, a relação de Stifel nos permite calcular os demais  linha 4 ; 1  4  6   4  1 elementos do triângulo. Veja no triângulo anterior, onde se mostra que:  linha 5 ; 1  5  10 10 5 1  æ 1ö æ 1  ö æ 2 ö ......................................  ç ÷ + ç ÷= ç 0 ÷ ç 1  ÷ ç ÷ ç 1 ÷ è ø è ø è ø A  partir  daí,  você  pode,  usando  as  mesmas  æ 2 ö æ 2 ö æ 3 ö propriedades, obter quantas linhas quiser.  ç ÷ + ç ÷= ç 0 ÷ è ø ç 1 ÷ è ø ç ÷ ç 1 ÷ è ø , e assim por diante. 4 ­ O DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE NEWTON  ( x + a  1  = x + a  )  2  2  xa  2  Você sabe que:  (  + a  = x  + 2  + a  x  )  (  + a  3  = x  + 3  2 a + 3  2  + a  x  )  3  x  xa  3  Agora, repare:  ­ Os coeficientes obtidos ao desenvolver esses binômios coincidem com os números das linhas do Triângulo  (x + a  3 de Pascal. Assim, os coeficientes de            , por exemplo, são achados na linha 3 do Triângulo de Pascal.  )  ( x + a  n )  Prova­se que os coeficientes de             estão na linha n do Triângulo de Pascal.  Além disso, os expoentes de x decrescem de n a 0, e os de a crescem de 0 a n. Essas observações nos  permitem então escrever que:  ( x + a  n  = (  ) x  .  0  + (  ) x  -1 .  + (  ) x  - 2 .  2  + ... + (  ) x  a  )  n  n  0  a  n  n  1  a  n  n  a  2  n  0  n  n  Assim, temos que:  ( x + a  4  = (  ) x  .  0  + (  ) x  .  + (  ) x  .  2  + (  ) xa 3  + (  ) x  a 4  )  4  4  0  a  4  3  1  a  4  2  a  2  4  3  4  0  4  Usando a linha 4 do Triângulo de Pascal para obter os coeficientes binomiais, teremos:  4  4  3  2  2  (x + a)  = x  ­ 4x  a + 6x  a  + 4xa  + a  3  4  n  Para desenvolver (x ­ a)  , use o mesmo procedimento, porém alterne os sinais + e –, começando sempre  com o sinal de +. Assim:  4  4  3  2  2  3  4  (x ­ a)  = x  ­ 4x  a + 6x  a  ­ 4xa  + a  Matemática ­ M2  21 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS 5 ­ UM RESULTADO INTERESSANTE  Já vimos que:  - - (  + a  n  = (  )  n . a  + (  )  n  1 . a  + (  )  n  2  . a  + . . . + (  )  0 . a  x  )  n  0  x  0  n  1  x  n  2  x  2  n  n  x  n (  + 1 n  = (  )  + (  )  + (  )  + . . . + (  ) ou  1  )  n  0  n  1  n  2  n  n  Fazendo x = a = 1, obtemos:  n  n  n  n  n  (  )  + (  )  + (  )  + . . . + (  )  = 2  0  1  2 n  n  Isso significa que a soma dos elementos da linha n no Triângulo de Pascal é  2  . 6 ­ O TERMO GERAL  É muito raro necessitarmos do desenvolvimento completo do Binômio. O que geralmente ocorre é precisarmos  7  determinar um termo do Binômio que apresente alguma característica como, por exemplo, o termo em  x  ,  ou o termo independente de x, e assim por diante. Para resolvermos um tal problema, não precisamos de  todo o desenvolvimento, mas sim do termo genérico do Binômio. Se você observar mais uma vez a fórmula  do Binômio de Newton, verá que cada termo é da forma:  (  )  n -p  . ap  n  p  x  Além disso, se p = 0, temos o primeiro termo;  se p = 1, temos o segundo termo;  - e assim sucessivamente. Logo:  T  +1  = (  )  n  p  . a  p  n  p  x  p n  representa o termo que ocupa a posição (p+1), e é a fórmula do termo geral do binômio (x + a)  , segundo as  potências decrescentes de x. Nessa fórmula, observe que:  n: representa o expoente do binômio  x: representa o primeiro termo do binômio  a: representa o segundo termo do binômio  p: número que é igual à posição do termo, menos um. Assim, se queremos  T  , p  = 4  5  . n  Para o binômio (x ­ a)  , temos  T  +1  = ( -1 p (  )  n - p . a p p  )  n  x  p  1.  Calcule  o  10º termo  no  desenvolvimento  de  Solução:  2  2  12  (  x  + x)  .  T  + 1  = ( 8 )( x - 1 )  - p . ( 2 x 2 )  . ( - 1 P  p  p  8  P  )  Solução:  T  + 1  = ( 8 ). x - 8 + P  . 2 P  . x 2 P . ( - 1 P  p  p  )  Como queremos o 10º termo  (  10 ) , p = 9. Além  T  T  + 1  = ( - 1 P  . 2 P  . ( 8 )  - 8 + 3 p p  )  p  x  2  disso,  o  primeiro  termo  é  2x  ,  o  segundo  é  0  Termo  independente  é  o  termo  em  x  .  Logo,  x e n = 12. Logo, pela fórmula do termo geral  temos:  8  queremos que: ­ 8 + 3 p = 0; p =  .  3  T  = ( 9 )(  x  )  -9 . x  10  12  2 2  12  9  Como é natural, tal resposta não satisfaz, e então o  3  6  9  15  T  = 220 . 2  .  x  .  x  ; T  = 1760x  10  1  binômio dado não apresenta termo independente de x.  2. Calcule, se existir, o termo independente de x,  Observação:  7  Se fosse pedido, por exemplo, o termo em x  , o  1  x 2  8  no desenvolvimento de: (  - 2  )  .  raciocínio  seria  semelhante,  simplesmente  x  colocaríamos ­ 8 + 3p = 7, teríamos p, e então  bastaria substitui­lo na expressão do termo geral. 22  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  3. Calcule o termo médio, no desenvolvimento de  (  x - 3  6  .  2  )  Solução:  No desenvolvimento de  (  + a  n , obtemos n + 1 termos. Logo, o binômio dado tem 7 termos, e então o  x  )  termo médio é o 4º termo. Portanto, p = 3 e teremos:  T  = ( 3  ) ( 2 x ) 3 . (3 )  . ( - 1  3  4  6  3  )  T  = 2 0 . 8 . x 3  . 2 7 . ( - 1  ; T  = - 4 3 2 0 x 3  4  ) 4  2  5  4. Calcule a soma dos coeficientes no desenvolvimento de (2x  ­ 3y)  .  Solução:  Para obtermos apenas os coeficientes, no desenvolvimento de um binômio, basta fazermos as variáveis  que aparecem nele iguais a um. Então, fazendo x = y = 1 teremos:  2  5  S = (2 . 1  + 3 . 1)  ;  5  S = 5  ;  S = 3125  MATRIZ 1­ DEFININDO MATRIZ  Sejam m e n inteiros positivos. À tabela formada por m . n elementos dispostos em m linhas e n colunas  chamamos de matriz m x n (lê­se matriz m por n).  æ a 11  a  12  ... a  ö 1n  ç ÷ M =  ç a 21  a  22  ...  a  ÷ 2n  ou M = (a  ) m x n  ij  ç ............................ ÷ a  è m1  m2  a  ...  a  ø mn  Observação: a  representa o elemento que está na linha i e coluna j.  ij  Exemplo:  æ 1  - 2  ö ç ÷ A =  ç 3  5 ÷ ; uma matriz 3 por 2 (3 linhas e 2 colunas)  ç ÷ è 0  1 ø Para ela, temos:  a  = 1 ;  12  a  = 3 ;  21  a  = 0 ;  31  Essa matriz pode também ser representada dos modos a seguir:  é 1  - 2 ù 1  - 2  ê ú ou A = 3  A  = ê3  5 ú 5  ê0  ë 1 ú û 0  1 2­ PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES a) Matriz Linha  b) Matriz coluna  É aquela que tem uma única linha.  É aquela que tem uma única coluna. A = (­1    2     3),     B = [  1     1]  æ - 1 ö ç ÷ é5  ù A = ç 0 ÷ B  = ê ú ç 1  ÷ ë3  û è ø Matemática ­ M2  23 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS c) Matriz Quadrada  Toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de coluna.  Exemplo: æ 1  3  5 ö ç ÷ A = ç 0  4  - 1 ÷ ç 2  - 1  0 ÷ è ø Os elementos a  de uma matriz quadrada com i = j formam a diagonal principal. A outra diagonal é a diagonal  ij  secundária. Assim, para a matriz anterior:  diagonal principal: 1, 4 , 0  diagonal secundária: 2, 4, 5 d) Matriz Diagonal  e) Matriz Identidade  Matriz quadrada cujos elementos situados fora da  É toda matriz diagonal cujos elementos da diagonal  diagonal principal são nulos.  principal são iguais a 1. Uma matriz identidade de  ordem n é representada por I  .  n  æ 1  0  0 ö ç ÷ æ 1  0  0 ö A = ç 0  - 2  0 ÷ ç ÷ æ 1  0 ö ç 0  I  = ç 0  1  0 ÷ I  = ç ç 0  1 ÷ ÷ 0  0 ÷ 3 2 è ø ç 0  0  0 ÷ è ø è øf) Matriz Triangular  g) Matriz Nula  Matriz  quadrada  na  qual  todos  os  elementos  Todos os seus elementos são nulos.  colocados em um mesmo lado da diagonal principal  são nulos. æ 0  0  0  ö æ 2  0  0 ö O  X  = ç ÷ ç ÷ 2  3  ç ÷ A = ç - 3  1  0 ÷ è 0  0  0  ø ç 0  4  - 1 ÷ è ø3 ­ IGUALDADE DE MATRIZES Definição  Duas matrizes A e B são iguais (A=B) se forem de mesma ordem e se seus elementos correspondentes  forem iguais.  Observação: Elementos correspondentes são elementos de mesmo índice.  Em símbolos: Se A = (a  )m  e B = (b  )m  xn  ij  xn  ij  , então:  A = B « a  = b  , para  i Î { 1, 2, ..., m } e j Î { 1, 2, ..., n }  ij  ij  æ 1  - 1  3 ö æ 1  - 1  3 ö Desse modo, temos que se A  = ç ç 0  2  1 ÷ , B  = ç 0  2  1 ÷ ÷ ç ÷ è ø è ø æ 1  - 1  3  ö e C = ç ¹ ç 0  2  5  , então: A = B, porém A C (pois a  ¹ c  )  ÷ ÷ 23 23  è ø4 ­ MATRIZ TRANSPOSTA  t  Dada uma matriz A = (a  )m x n, chama­se transposta de A, à matriz A  = (b  )  ij  ij  n  x  m  tal que b  = a  ij  ji  Exemplos:  æ - 2  0 ö æ - 2  1  5 ö t ç ÷ a) Se A  = ç ç 0  3  4 ÷ então A  = ç 1  3 ÷ ÷ è ø ç 5  4 ÷ è ø 24  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  æ 1  0  - 1 ö æ 1  0  4 ö ç ÷ t  ç ÷ b) Se A  = ç 0  3  0 ÷ então A  = ç 0  3  - 2  ÷ ç 4  - 2  1 ÷ ç - 1  0  1 ÷ è ø è ø t  Uma matriz quadrada A se diz simétrica se A  = A. Se A for simétrica, os elementos colocados simetricamente  em relação à diagonal principal devem ser iguais. 5 ­ ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES Definição 1  Se A = (a  )  ij  m x n  e  B = (b  )  , soma de A e B é a matriz C = (c  )  ij  m x n  ij  m x n  , tal que c  = a  + b  .  ij  ij  ij Definição 2  Se A = (a  )  , chama­se oposta de A, a matriz  ij  m x n  ­A = (­a  )  ij  m x n Definição 3  Se A = (a  )  ij  m x n  e B = (b  )  ij  m x n  então A ­ B = A + (­B).  As principais propriedades da adição são  I) A + B = B + A  II) (A + B) + C = A + (B + C)  III) A + 0 = A  IV) A + (­A) = 0  Observação: A e B são matrizes m x n e 0 é a matriz nula m x n  t  Se A é matriz quadrada com A  = ­A, dizemos que A é anti­simétrica. 6 ­ MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL Definição  i j  m x n  e   K Î IR  Seja A  = (a  )  Então: K . A  =  (b  )  i j  m x n tal que b  = k . a  i j  i j  æ 1  - 2  0 ö æ 2  - 4  0  ö æ - 3  6  0 ö Assim, se A  = ç ç 3  ÷ teremos 2  = ç ÷ A  ç ÷ e - 3  = ç ÷ A  ç ÷ ÷ è 0  - 5 ø è 6  0  - 10  ø è - 9  0  15 ø7 ­ MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES a) Multiplicação de uma Matriz Linha por uma Matriz Coluna  Seja A 1  x  m e  B  m  x  1 onde o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Definimos o produto  de  A  por  B  como  sendo  a  matriz  C  x  1 ,  obtida  multiplicando­se  o  1º elemento  da  linha  de  A  pelo  1  1º elemento  da  coluna  de  B,  o  2º elemento  da  linha  de  A  pelo  2º elemento  da  coluna  de  B  e  assim  sucessivamente até o último, e somando­se os produtos assim obtidos.  Exemplo:  æ 4 ö ç ÷ Seja  A  =  ( 1  2  3 )  e B = ç - 1 ÷ ç - 2 ÷ è ø Para achar A . B,  calculamos:  1  .  4 +  2  .  (­1)  +  3  .  (­2)  =  4  ­  2  ­  6  =  ­4 ,  logo    C  =  (­4) Matemática ­ M2  25 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS b) Multiplicação de Matrizes  ­ Condição de existência: Se A  m  x  p  e B  , só existe A  .  B se p  =  q. O produto será m x  n.  q  x  n  Para efetuar o produto, multiplicamos cada linha de A por cada coluna de B, como já mostrado no item A.  Exemplo:  æ 1  - 2 ö æ 2  1  - 3 ö ç ÷ Se A  = ç ÷ e B = ç 7  ç 0  4  - 2 ÷ 1 ÷ è ø ç 0  3 ÷ è ø æ C  11  C  ö 12  A x B será 2 x 2 e então C = ç ç C  ÷ è 21  C  ÷ 22 ø C  = 2 . 1 + 1 . 7 + (­3) . 0 = 9  11  C  = 2 . (­2) + 1 . 1 + (­3) . 3 = ­12  12  C  = 0 . 1 + 4 . 7 + (­2) . 0 = 28  21  C  = 0 . (­2) + 4 . 1 + (­2) . 3 = ­2  22  æ 9  - 12  ö Então: C = ç ÷ ç 28  - 2  ÷ è øc) Propriedades da Multiplicação  I) A multiplicação de matrizes não é comutativa.  Se A . B = B . A, diremos que A e B comutam.  II) (A .B) . C = A . (B . C);  III) A . (B + C) = A . B + A . C  IV) A . I = I . A = A  V) Se A . B = 0 não se pode concluir que A = 0        ou B = 0  VI) Não vale a lei do corte, ou seja se A . B = A .C não se pode concluir que B = C. 8 ­ MATRIZ INVERSA  Seja uma matriz quadrada de ordem n. Chama­se inversa de A (se existir) à matriz representada por  ­1  ­1  ­1  A  tal que A . A  = A  . A = I  .  n  Exemplo:  æ 1  2 ö Ache, se existir, a inversa de A = ç ç 2  3 ÷ ÷ è ø Solução:  æ a  b ö Se existir, A -1  = ç ç c  d ÷ ÷ è ø æ 1 2 ö æ a  b ö æ 1  0 ö ­1  ç 2  3 ÷ . ç c  d ÷ = ç 0  1  Como queremos que A . A  = I, teremos: ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ è ø è ø è ø æ a + 2 c  b + 2  ö æ 1  0 ö d  ì a + 2  = 1  c  ì b  + 2 d  = 0  ç ç 2  + 3  2  + 3  ÷ = ç 0  1 ÷ e então: í 2  + 3  = 0  ÷ ç ÷ í è a  c  b  d ø è ø î a  c  î 2  + 3 d  = 1  b  æ - 3  2 ö Resolvendo esses sistemas, teremos: a = ­3 ,   b  =  2 ,   c  =  2  ,  d  =  ­1    e então A -1 = ç ç 2  - 1 ÷ ÷ è ø 26  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS 9 ­ PROPRIEDADES DA INVERSA  10 ­ PROPRIEDADES DA TRANSPOSTA  ­1  ­1  a) (A  )  =  A  t  t  a) (A )  =  A  t  ­1  ­1  t  b) (A )  =  (A  )  t  t  t  b) (A + B)  =  A  + B  ­1  ­1  ­1  c) (A . B)  =  B  . A  t  t  t  c) (A  . B)  =  B  .  A  ­1  1  ­1  d) (K . A)  =  . A  K  DETERMINANTE 1­ DEFINIÇÃO DE DETERMINANTE  Chamamos de determinante de uma matriz quadrada A ao número associado a A e definido a seguir. a) Determinante da 1ª ordem  Se A =  (a  ), então o determinante de A, que indicaremos por det A ou |a  |, será:  11  11  det A =  a  11 b) Determinante de 2ª ordem  æ a  11  a  ö 12  Se A  = ç ç a  ÷ então  ÷ è 21  a 22 ø det A = a  . a  ­ a  . a  , ou seja, det A é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto  11  22  21  12  dos elementos da diagonal secundária.  3 - 2  Exemplo:  = 3 . 5 - 4 .  (  2  = 23  - )  4  5 c) Determinante de 3ª ordem ­ Regra de Sarrus  Repetimos a 1ª e a 2ª colunas.  Multiplicamos os elementos da diagonal principal e os elementos das diagonais que lhe são paralelas e somamos.  Multiplicamos os elementos da diagonal secundária e das diagonais que lhe são paralelas. Somamos esses  produtos e subtraímos da soma achada anteriormente.  Exemplo:  Solução:  3 - 1  0  3 - 1  0  3  - 1  Calcule  0  1  2  0  1  2  0  1  = (  6 - 4 + 0  - (  - 6 + 0  = -4  - )  0  )  2  - 1  - 2  2  - 1  - 2  2  - 1 2 ­ DEFINIÇÃO GERAL DE DETERMINANTE  Para definir determinante de ordem n qualquer, precisamos antes entender o que é cofator.  ­ Cofator: seja A uma matriz quadrada de ordem n ³ 2 e a  um elemento de A. Chama­se cofator de a  e  ij  ij  representa­se por A  ao número definido por:  ij  i  + j  A  = (­1)  . D  , onde D  é o determinante da matriz obtida suprimindo­se de A, a linha i e a coluna j.  ij  ij  ij  Exemplo:  æ 1  - 1  0 ö ç ÷ 0  - 3  1  0  Seja A  = ç 2  0  - 3 ÷ então:  A  = (  1 1  1  .  11 - )  + = 3  A  = (  1 3 + 2  .  32 - )  = 3  ç - 1  1  5 ÷ 1  5  2  - 3  è ø Matemática ­ M2  27 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS  Podemos agora definir o determinante de ordem n, o que é feito pelo: ­ Teorema de Laplace  O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n ³ 2, é igual à soma dos produtos dos elementos de  uma fila qualquer (linha ou coluna), pelos respectivos cofatores.  Exemplo:  -1 2  3  Calcule  3  - 4  0  2  - 1  0  Solução:  É  vantajoso  tomarmos  uma  fila  que  tenha  o  maior  número  possível  de  zeros.  Usaremos  então  a  3ª coluna  detA = a  . A  +  a  . A  + a  . A  =  13  13  23  23  33  33  3 . A 13  +  0 . A  +  0  . A  =  3  .  A  23  33  13  3 - 4  1 + 3  .  Como A  = (­1)  =  17, teremos:  det A = 3 . 17 = 51  13  5  - 1  Sugiro que você, utilizando o teorema de Laplace, prove que, se A é uma matriz triangular, seu determinante  é obtido multiplicando­se os elementos da diagonal principal. 3­ PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES  Os cálculos envolvendo determinantes ficam muito mais simples se usarmos as propriedades a seguir.  t  P.1) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta: det A = det A  P.2) Se uma matriz quadrada tem uma linha ou coluna de zeros, seu determinante é nulo.  P.3) Seja A uma matriz quadrada de ordem n ³ 2. Se a matriz B é obtida de A, trocando de posição duas  linhas (ou duas colunas) quaisquer, então: det B = ­ det A  P.4) Se uma matriz A possui duas linhas (ou colunas) iguais então det A = 0.  P.5)  Multiplicando­se  uma  linha  (ou  coluna)  de  uma  matriz A,  por  um  número  real  K,  não  nulo,  seu  determinante fica multiplicado por K.  n  Conseqüência: det (K.A) = K  . det A  P.6) Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, então det A = 0.  P.7) Teorema de Cauchy  A  soma  dos  produtos  dos  elementos  de  uma  linha  (ou  coluna)  de  uma  matriz  pelos  respectivos  cofatores de outra linha (ou coluna) é igual a zero.  P.8) Teorema de Jacobi  Se  multiplicarmos  uma  linha  (ou  coluna)  de  uma  matriz  A  por  um  número  diferente  de  zero  e  adicionarmos o resultado a outra linha (ou coluna), obtemos uma matriz B, tal que det A = det B.  P.9) Teorema de Binet  Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então det (A . B) = det A . det B.  Essa última propriedade tem uma conseqüência importante. Seja A uma matriz inversível.  ­1  Então: A . A  = I. Logo:  ­1  ­1  det (A . A  ) = det I e usando P.9 e lembrando que det I = 1, teremos: det A . det A  = 1  1  Portanto, se A admite inversa, det A ¹ 0, e nesse caso, det  A -1 = .  det A  28  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS 4 ­ ABAIXAMENTO DA ORDEM ­ REGRA DE CHIÓ  Seja A = (a  )  ij  n x n  uma matriz quadrada, e a  um elemento de A, tal que a  = 1.  pq  pq  Para calcular o det A, pela regra de Chió, procede­se do seguinte modo:  ­ suprime­se a linha p e a coluna q.  ­ dos elementos restantes subtraímos o produto dos elementos que se encontram nas perpendiculares  traçadas do elemento considerado às filas que foram suprimidas.  ­ formamos uma matriz B com as diferenças assim obtidas.  ­ det A = (­1) p+q  . detB.  Observação: Se na matriz A não houver nenhum elemento igual a 1, usando as propriedades é possível  fazer tal elemento aparecer.  Exemplo:  Calcule, usando CHIÓ  1 5  2  - 3  2  - 1  - 3  4  - 1  3  2  0  0  - 1  0  - 4  Solução:  1  5  2  - 3  - 1 - 2 . 5  - 3 - 2 . 2  4 - 2 . (  3  - )  - 11  - 7  10  2  - 1  - 3  4  = (  1 1+1  3 - (  1  . 5  2 - (  1  . 2  - )  .  - )  - )  0 - (  1  - 3  = - )(  )  8  4  - 3  = - 29  - 1  3  2  0  - 1 - 0 . 5  0 - 0 . 2  - 4 - 0 . (  3  - )  - 1  0  - 4  0  - 1  0  - 4 5­ MATRIZ DE VANDERMONDE  Uma matriz quadrada, de ordem n, se diz matriz de Vandermonde se ela for da forma: æ 1  1  1  ö ­ os elementos de uma mesma coluna formam uma P.G.  ç ÷ ç a  a  a  ÷ ­ os elementos da 2ª linha são chamados de elementos característicos.  1  2  n  A  = ç 2  2 ÷ 2  Se x  , x  , ..., x  são elementos característicos de uma matriz de Vandermonde,  ç a  1  a  2  a  ÷ n  1  2  n  ç a  -1  a  -1  a  -1 ÷ n  n  n  seu determinante é obtido multiplicando­se todas as diferenças x  ­ x  com i > j.  i  j  è 1  2  n  ø Exemplo: Calcule  1  1  1  1  2  - 1  3  1  D= 4  1  9  1  8  - 1  27  1  Solução:  Como as colunas formam uma P.G., trata­se de uma matriz de Vandermonde, de elementos característicos  2, ­1, 3, 1.  Então: D = (­1 ­ 2) (3 ­ 2) (3 + 1) (1 ­ 2) (1 + 1) (1 ­3) = ­48 Matemática ­ M2  29 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS  SISTEMAS LINEARES 1 ­ EQUAÇÃO LINEAR  Chamamos de equação linear a toda equação da forma  a  x  + a  x  + ... + a  x  = b  1  1  2  2  n  n  Uma seqüência (a1  a2  , , ..., an  ) é uma solução da equação.  Se a substituição de x  , por a1  2  por a2  n  por an  tornar a sentença verdadeira.  1  , x  , x  Exemplo:  Seja a equação linear x ­ 2y ­ z = 7  (1, 1, ­8) é solução pois 1 ­ 2 . 1 ­ (­8) = 7.  Já (0, ­1, 3) não é solução pois 0 ­ 2 . (­1) ­ 3 = ­1 e ­ 1 ¹ 7.  Observe que:  ­ a equação 0x  + 0x  + ... + 0x  = b, com b ¹ 0 não admite solução.  1  2  n  ­ a equação 0x  + 0x  + ... + 0x  = 0, tem qualquer seqüência (a1  a2  1  2  n  , , ..., an  ) como solução. 2 ­ SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES  Chamamos de sistema de equações lineares ou sistema linear a um conjunto de duas ou mais equações lineares.  Exemplo: ì a  x  + a  x  + ... + a  n x  = b  11  1  12  2  1  n  1  ï S  = í a  x  + a  x  + ... + a  n x  = b  21  1  22  2  2  n  2  ïa  x  + a  x  + ... + a  x  = b  î m  1  m 2  2  1  mn  n  m  A seqüência (a  , a  , ..., a  ) é solução do sistema S, se for solução de todas as equações de S.  1  2  n  Um sistema se classifica em:  A) Sistema possível ou compatível: é aquele que possui solução.  ­ se essa solução é única, o sistema é compatível determinado.  ­ se tivermos mais de uma solução, o sistema é indeterminado.  B) Sistema impossível ou incompatível: é aquele que não possui solução.  ­ Se todos os termos independentes de um sistema (b ) forem nulos, o sistema se diz homogêneo.  j  ­ Se um sistema é homogêneo, a seqüência (0, 0, ..., 0) é solução, chamada solução trivial. 3 ­ REGRA DE CRAMER  A regra de Cramer é uma técnica que nos permite resolver apenas sistemas quadrados, ou seja, sistemas  em que o número de equações é igual ao número de incógnitas.  Seja o sistema: ì a  x  + a  x  + ... + a n x  = b  11  1  12  2  1  n  1  ï S  = ía 21  1 + a  x  + ... + a  n x  = b 2  x  22  2  2  n  ï a  x  + a  x  + ... + a  x  = b  î n  1  n 2  2  1  nn  n  n  Chamaremos de D ao determinante formado pelos coeficientes de cada equação do sistema.  a  11  a  12  ...  a n  1  D = a  21  a  22  ...  a  n  2  a  1  a  2  ...  a  n  n  nn  30  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  D(x ) é o determinante da matriz que se obtém, substituindo­se a coluna i de D, pela coluna dos termos  i  independentes.  D  x  )  (  i  A regra de Cramer afirma que, se D ¹ 0, então  x i = D  Exemplo:  ìx + y + 2  = 0  z  ï Resolver o sistema íx - y - 3  = 0  z  ï2  + 3  + 5  = -3  î x  y  z  Solução:  1  1  2  1  1  0  D = 1  - 1  - 3  = 3  D  = 1  - 1  z 0  = 6  2  3  5  2  3  - 3  Como D ¹ 0, o sistema é compatível e determinado.  0  1  2  D  = x 0  - 1  - 3  = 3  D  x 3  Logo:  x = = = 1  - 3  3  5  D  3  D  y - 15  1  0  2  y = = = -5  D  3  D  = 1  y 0  - 3  = 15  D  z 6  2  - 3  5  z = = = 2  D  3  Resposta: (1, ­5, 2) 4 ­ O MÉTODO DO ESCALONAMENTO  O método do escalonamento é um método geral de resolução de sistemas lineares, não apresentando as  restrições da Regra de Cramer.  Um sistema se diz escalonado quando aumenta de uma equação para a seguinte o número de coeficientes  iniciais nulos, até que sobrem, eventualmente, equações onde todos os coeficientes iniciais são nulos.  Num sistema escalonado, uma equação do tipo 0x  + 0x  + 0x  = 0 pode ser suprimida, pois qualquer seqüência  1  2  n  (a1  a2  , , ..., an ) é solução.  Já se num sistema tivermos uma equação do tipo  0x  + 0x  +... + 0x = b, com b ¹ 0, o sistema é incompatível,  1  2  pois tal equação não tem solução.  Num sistema escalonado, as incógnitas que não aparecem no início de nenhuma das equações são chamadas  de variáveis livres, e a quantidade delas chama­se grau de indeterminação do sistema.  Exemplo:  ì x  - x  + 3  3  - x 4  = 0  1  2  x  São elas:  ï Seja o sistema: S = í x  + 2  4  = -1  3  x  T.1) Trocar a ordem das equações.  ï - x  = 2  î 4  T.2) Trocar a ordem das incógnitas.  Esse sistema está escalonado, x  é variável livre,  2  T.3) Multiplicar uma das equações do sistema  e o seu grau de indeterminação é 1.  por um número não nulo.  Dois sistemas S  e S  são equivalentes (S  ­ S  )  1  2  1  2  T.4) Substituir uma das equações do sistema,  se possuem o mesmo conjunto solução.  pela  soma  dela  com  uma  outra,  Para obtermos sistemas equivalentes, usamos as  previamente multiplicada por um número  transformações  elementares,  que  são  operações  não nulo. efetuadas  sobre  as  equações  do  sistema,  que  o  transformam em outro equivalente.  Matemática ­ M2  31 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS  1. Resolva o sistema ì2  + y - 2  = 2  x  z  ï í4  - 3  + 2  = 30  x  y  z  ïx + y + z = 1  î Solução:  Inicialmente troque de posição a 1ª e a 3ª equações, pois assim o primeiro elemento da 1ª equação será 1. ì2  + y - 2  = 2  x  z  ìx + y + z = 1  ï ï í4  - 3  + 2  = 30  x  y  z  ; í4  - 3  + 2  = 30  x  y  z  ïx + y + z = 1  ï2  + y - 2  = 2  î î x  z  Agora, para zerar os termos em x na 2ª e 3ª equação, multiplicamos a 1ª equação por ­4 e somamos com  a 2ª e depois multiplicamos a 1ª equação por ­2 e somamos com a 3ª equação. ­4  ­2  ìx + y + z = 1  ìx + y + z = 1  ï ï í4  - 3  + 2  = 30  x  y  z  ; í- 7  - 2  = 26  y  z  ï2  + y - 2  = 2  ï- y - 4  = 0  î x  z  î z  Daí vem: ìx + y  + z = 1  ìx + y  + z = 1  ï ï í - 7  - 2  = 26  y  z  í - y - 4  = 0  z  ­1  ï ; ï - 7  - 2  = 26  î - y - 4  = 0  z  î y  z  ìx + y  + z = 1  ìx + y  + z = 1  ï ï í - y + 4  = 0  z  7 ; í y + 4  = 0  z  ï - 7  - 2  = 26  y  z  ï 26  = 26  z  î î De 26z = 26 vem z = 1 e substituindo em y + 4z = 0, obtemos, y + 4 = 0, y = ­4 e daí:  x + y + z = 1; x ­ 4 + 1 = 1; x = 4  Resposta: (4, ­4, 1) ì4  + 5  + 7  = 4  x  y  z  ï 2  í 2  + 7  + z = 20  .  x  y  ï x + 2  - z = 0  y  î Solução:  Trocando a 1ª e 3ª equação de posição vem: ì x + 2  - z = 0  y  ­2  ­4  ìx + 2  - z = 0  y  ìx + 2  - z = 0  y  ï ï ï í2  + 7  + z = 20  x  y  ; í 3  + 3  = 20  y  z  1 ; í 3  + 3  = 20  y  z  ï4  + 5  - 7  = 4  ï - 3  - 3  = 4  ï î x  y  z  î y  z  î 0 = 24  a última equação mostra que o sistema é incompatível.  3 2  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS  ìx + 2  - 3  = 3  y  z  ï 3. Resolva: í2  + 3  + 8  = 4  x  y  z  ï3  + 2  + 17  = 1  î x  y  z  Solução: ì x + 2  + 3  = 3  y  z  ìx + 2  + 3  = 3  y  z  ìx + 2  + 3  = 3  y  z  ï ­2  ­3  ï ï í2  + 3  + 8  = 4  x  y  z  ; í - y + 2  = -2  z  1  ; í - y + 2  = -2  z  ï3  + 2  + 17  = 1  ï - 4  + 8  = -8  y  z  ï 0 = 0  î x  y  z  î î Logo, o sistema tem uma variável livre, que é z. Se fizermos z = a, teremos:  ­y + 2a = ­2; y = 2 + 2a x + 2 . (2 + 2a) + 3a = 3; x = ­1 ­ 7a Logo a solução é: (­1 ­ 7a, 2 + 2a, a) 5­ DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES  Discutir um sistema é classificá­lo em determinado, indeterminado ou incompatível, em função do(s) parâmetro(s)  que aparece(m) nas equações do sistema.  Para discutir um sistema, utilizaremos o escalonamento. Veja alguns exemplos:  ìx + 2  + 2  = m  y  z  ï a) Discutir o sistema: í2  - y + z = 5  x  ï3  + y + 3  = 14  î x  z  Solução: ìx + 2  + 2  = m  y  z  ­2  ­3  ìx + 2  + 2  = m  y  z  ­1  ìx + 2  + 2  = m  y  z  ï ï ï í2  - y + z = 5  x  í- 5  - 3  = 5 - 2  y  z  m  í - 5  - 3  = 5 - 2  y  z  m  ï3  + y + 3  = 14  ï- 5  - 3  = 14 - 3  ï î x  z  î y  z  m  î 0 = 9 - m  Logo:  Se 9 ­ m ¹ 0 ou seja, se m ¹ 9, o sistema é incompatível.  Se 9 ­ m = 0, ou seja, se m = 9, o sistema terá uma variável livre e será compatível indeterminado.  ìx - 3  + az = 4  y  ï b) Discutir o sistema íx - 2  + 5  = b - 8  y  z  ï2  - 6  + (  + a  z = 4  î x  y  2  )  b  Solução: ìx - 3  + az = 4  y  ­1  ­2  ìx - 3  + az = 4  y  ï ï íx - 2  + 5  = b - 8  y  z  í y + (  - a z = b - 12  5  )  ï2  - 6  + (  + a  z = 4  ï î x  y  2  )  b  î (  - a z = 4  - 8  2  )  b  Como o sistema já está escalonado, temos:  4b - 8  • Para a ­ 2 ¹ 0, ou seja, para a ¹ 2, o sistema será compatível e determinado com z =  e daí tira­se x e y.  .  2 - a  • Se a ­ 2 = 0, ou seja, se a = 2, a última equação se transforma em 0 = 4b ­ 8. Logo:  Se 4b ­ 8 ¹ 0, ou seja, se b ¹ 2, o sistema é incompatível.  Se 4b ­ 8 = 0, ou seja, se b = 2, o sistema é indeterminado.  Em resumo:  Se a ¹ 2, o sistema é compatível determinado.  Se a = 2, e b = 2, o sistema é indeterminado.  Se a = 2 e b ¹ 2, o sistema é incompatível. Matemática ­ M2  3 3 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS  PROGRESSÃO ARITMÉTICA E  PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 1 ­ SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS  Informalmente falando, uma seqüência é um conjunto cujos elementos são considerados em ordem.  Exemplo:  a) (1, 3, 5, 7, 9...) ® seqüência dos números ímpares.  b) (0, 2, 4, 6, 8, 10) ® seqüência dos números naturais pares menores que 12. 2 ­ REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA SEQÜÊNCIA  (a  , a  , a  , ..., a  )  1  2  3  n  a  : indica o 1º termo.  1  a  : indica o 2º termo.  2  .. ... ... ... ...  a  : indica o enésimo termo.  n  Exemplos:  Seja a seqüência (­3, 5, 4, 11, 13, 0), temos que: a  = ­3; a  = 11; a  = 0  1  4  6 3 ­ TERMOS EQÜIDISTANTES DOS EXTREMOS  Dois termos de uma seqüência são eqüidistantes dos extremos se o número de termos que antecedem o  primeiro é igual ao número de termos que seguem o segundo.  É fácil perceber que dois termos são eqüidistantes dos extremos se a soma de seus índices é igual à soma  dos índices dos termos extremos.  Exemplo:  Seja a seqüência (a  , ..., a  )  1  20  a  e a  são eqüidistantes dos extremos pois  5  16  5 + 16 = 1 + 20  a  e a  não são eqüidistantes dos extremos pois  8  11  8 + 11 ¹ 1 + 20  4 ­ REPRESENTAÇÃO DE UMA SEQÜÊNCIA  Uma seqüência pode ser dada através da fórmula do termo geral ou através de uma fórmula de recorrência. Veja:  a) Escreva os três primeiros termos da seqüência, cujo termo geral é: a  = 3n ­ 1  n  Solução:  a  = 3 . 1 ­ 1 = 2,  a  = 3 . 2 ­ 1 = 5  1  2  a  = 3 . 3 ­ 1 = 8  3  Resposta: a  = 2, a  = 5, a  = 8  1  2  3  b) Seja a seqüência tal que a  = 2 e a  = a  . 3.  1  n  n­1  Escreva os três primeiros termos dela.  Solução:  a  = 2  1  a  = a  . 3 = 2 . 3 = 6  2  1  a  = a  . 3 = 6 . 3 = 18  3  2  Resposta: a  = 2, a  = 6, a  = 18 1  2  3  3 4  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS 5 ­ PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) Definição  Chamaremos de progressão aritmética (P.A.) à seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao  anterior somado com uma constante, que denominaremos de razão (r) da P.A.  Exemplos:  a) (3, 7, 11, 15,...) P.A. de razão r = 4  b) (6, 4, 2, 0, ­2,...) P.A. de razão r = ­2  c) (2, 2, 2,...) P.A. de razão r = 0  Observe que, se (a  , a  , ..., a  ) é uma P.A., então: r = a  ­ a  = a  ­ a  = ... = a  ­ a  1  2  n  2  1  3  2  n  n­1  Além disso, pela definição dada, teremos:  a  = a  + r  2  1  a  = a  + r = (a  + r) + r = a  + 2r  3  2  1  1  a  = a  + r = (a  + 2r) + r = a  + 3r  4  3  1  1  e de um modo geral:  a  = a  + (n ­1) . r ® fórmula do termo geral.  n  1  Podemos achar uma outra fórmula mais geral. Seja (a  , a  , ..., a  , ..., a  ) uma P.A. de razão r.  1  2  k  n  Pela fórmula do termo geral temos:  ìa  = a  + (n - 1 r ® a  = a  + nr - r  n  1  )  n  1  í a  = a  + (k - 1 r ® a  = a  + kr - r  î k  1  )  k 1  Portanto:  a  ­ a  = a  + nr ­ r ­ a  ­ kr + r  ou  n  k  1  1  a  = a  + (n ­ k) . r  n  k  Exemplos:  A primeira fórmula nos permite escrever:  a  = a  +6r,     a  = a  + 9r etc.  7  1  10  1  A segunda nos permite escrever:  a  = a  + 2r,    a  = a  + 3r,     a  = a  ­ 3r, etc.  5  3  9  6  4  7 6 ­ PROPRIEDADES DE UMA P.A.  P.1) Dados três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio é média aritmética dos outros dois.  Demonstração:  Sejam x, y, z termos consecutivos de uma P.A. de razão r. Então, pela definição, teremos:  y = x + r  y = z ­ r  x + z Somando m.a.m. essas igualdades, encontramos: 2y = x + z ou y =  2  P.2) A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos de uma P.A.  Demonstração:  Dada a P.A. (a  , ..., a  , ..., a  , ..., a  ) sejam a  e a  termos eqüidistantes dos extremos. Então, teremos  1  p  q  n  p  q  p + q = 1 + n   ou   p ­ 1 = n ­ q (I).  Além disso:  a  = a  + (p ­ 1) r  p  1  a  = a  + (n ­ q) r = a  + (p ­ 1) r, pois n ­ q = p ­ 1  n  q  q  Logo, subtraindo m.a.m., obteremos:  a  ­ a  = a  + (p ­ 1) r ­ a  ­ (p ­ 1) r   ou  n  p  q  1  a  ­ a  = a  ­ a  e daí   a  + a  = a  + a  n  p  q  1  n  1  p  q Matemática ­ M2  3 5 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS  Conseqüências dessas propriedades:  1ª) Se p + q = r + s então a  + a  = a  + a  p  q  r  s  Assim, podemos escrever:  a  + a  a  + a  = a  + a  2  5 =  4  3  1  6  2ª) Numa P.A. finita, com um número ímpar de termos, o termo central é média aritmética entre os extremos,  ou entre qualquer par de termos eqüidistantes dos extremos. 7 ­ SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.  Seja a P.A.  (a  , a  + r, a  + 2r, ..., a  ­ 2r, a  ­ r, a  ). Então:  1  1  1  n  n  n  S  = a  + a  + r + a  + 2r + ...  + a  ­ 2r + a  ­ r + a  n  1  1  1  n  n  n  ou  S  = a  + a  ­ r + a  ­ 2r + ...   + a  + 2r + a  + r + a  n  n  n  n  1  1  1  Somando m.a.m. obtemos:  2S  = (a  + a  ) + (a  + a  ) + ... + (a  + a  )  n  1  n  1  n  1  n  n parcelas  (  + a  ).  a  n  n  1  n  s  = 1  n  Logo: 2S  = (a  + a  ) . n   e então                              .  n 2 8 ­ PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) Definição  Chama­se progressão geométrica (P.G.) a toda seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao  anterior, multiplicado por uma constante, que chamaremos de razão (q) da P.G.  Exemplos:  (3, 6, 12, 24, ...), P.G. de razão q = 2.  (1, ­3, 9, ­27, ...), P.G. de razão q = ­3.  2  1  (18, 6, 2,  , ...), P.G. de razão q =  .  3  3  (2, 2, 2, ...) P.G. de razão q = 1.  Observação:  Para se achar a razão de uma P.G., basta dividir um termo qualquer pelo anterior.  Se (a  , a  , ..., a  ) é uma P.G. temos:  1  2  n  a  = a  . q  2  1  a  = a  . q = (a  . q) . q = a  . q 2  3  2  1  1  2  3  a  = a  . q = (a  . q  ) . q = a  . q  4  3  1  1  e notando que o expoente da razão é sempre uma unidade menor que o índice do termo em questão, teremos:  n­1 ® termo geral da P.G.  a  = a  . q  n  1  De modo análogo ao que fizemos para a P.A., prova­se que:  n­k  .  a  = a  . q  n  k  Veja:  6  4  a  = a  . q  , a  = a  . q  7  1  5  1  5  ­4 a  = a  . q  , a  = a  . q  9  4  3  7  3 6  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia               ITAPECURSOS 9 ­ PROPRIEDADES DE UMA P.G.  P.1) Dados três termos de uma P.G., o termo do meio é média geométrica entre os outros dois.  2  Ou seja: Se a, b, c estão em P.G., b  = ac.  P.2) O produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos de uma P.G.  Conseqüências de P.2.  1ª) Se p + r = s + t então a  . a  = a  . a  p  r  s  t  2ª) Em uma P.G. de número ímpar de termos, o termo central é média geométrica entre os extremos, ou  entre dois termos eqüidistantes dos extremos.  Tente provar essas propriedades. As demonstrações são parecidas com o que fizemos para as P.As. 10­ SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA  Seja (a  , a  , a  , ..., a  , a  , a  ) uma P.G. finita de razão q ¹ 1. Então:  1  2  3  n­2  n­1  n  S  = a  + a  + a  + ... + a  + a  + a  n  1  2  3  n­2  n­1  n  Multiplicando por q, obtemos:  qS  = a  q + a  q + a  q + ... + a  . q + a  . q + a  . q ou  n  1  2  3  n­2  n­1  n  qS  = a  + a  + a  + ... + a  + a  + a  q  n  2  3  4  n­1  n  n  Portanto:  a  q - a  n 1  qS  ­ S  = a  q ­ a  , e daí vem:  S  = n  n  n  1  n  q - 1  n­1  a  (  n - 1  1  q  )  Usando a fórmula a  = a  . q  , prova­se também que:  S  = n  1  n  q - 1 11­ SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA  Seja (a  , a  , ..., a  , ...) uma P.G. infinita cuja razão q é tal que |q| < 1. Já sabemos que:  1  2  n  a  (  n - 1  1  q  )  S  = n  . Fazendo n tender a infinito.  q - 1  n  a 1  q  tenderá a zero e S  tende a:  S = n  1 - q Lembre­se: essa fórmula só vale para P.Gs. onde |q| < 1. Matemática ­ M2  3 7 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  GEOMETRIA ESPACIAL  I ­ PRISMA 1­ DEFINIÇÃO  P’  b Sejam a e b dois planos paralelos, R uma região  poligonal em a , e  r uma reta cuja interseção com a é  um  ponto exterior  a R.  Chama­se prisma, à  reunião de todos os segmentos  PP’ paralelos a r,  com P em R e P’ em b .  P  R  a r2­ ELEMENTOS DE UM PRISMA  C’ Elementos:  b ABC e A’B’C’: bases  A’  B’  AB é uma aresta da base (quais são as outras?)  h AA’ é uma aresta lateral (quais são as outras?)  C  AA’BB’ é uma face lateral (quais são as outras?)  h é a altura do prisma (distância entre os planos da base)  A  B aObs.: Se as arestas laterais são oblíquas em relação  aos  planos  da  base,  o  prisma  é  um  prisma  oblíquo.  Se  as  arestas  laterais  são  perpendiculares aos planos das bases o prisma  h  é um prisma reto (h = aresta lateral) 3­ CLASSIFICAÇÃO  Prisma triangular: as bases são triângulos  Prisma quadrangular: as bases são quadriláteros  Prisma pentagonal: as bases são pentágonos  e assim por diante.  Prisma regular: é o prisma reto, cujas bases são  polígonos regulares.  Prisma regular triangular  Prisma regular pentagonal 4­ SECÇÕES  ­ Secção transversal de um prisma: é a interseção desse prisma com um plano paralelo às bases.  ­  Secção  reta  de  um  prisma:  é  a  interseção  desse  prisma  com  um  plano  perpendicular  às  suas  arestas  laterais.  3 8  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS 5­ PARALELEPÍPEDO  ­ Paralelepípedo é o prisma cuja base é um paralelogramo.  ­ Paralelepípedo retângulo (ou reto­retângulo ou ortoedro) é um prisma reto, cuja base é um retângulo.  ­ Cubo é um paralelepípedo retângulo no qual todas as seis faces são quadrados.  Exemplos:  Paralelepípedo oblíquo  Paralelepípedo reto  As seis faces são paralelogramos  Faces laterais ­ retângulos  bases: paralelogramos  Paralelepípedo retângulo  Cubo  As seis faces são retâgulos  As seis faces são quadrados 6­ DIAGONAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO  Sejam a, b, c as dimensões do paralelepípedo retângulo.  No triângulo ABC, temos:  2  2  2  d  f  = a  + b  No triângulo ACC’, temos:  2  2  2  d  = d  f + c  e substituindo:  2  2  2  2  d  = a  + b  + c  . Logo:  2  2  2  d = a  + b  + c 7­ ÁREA TOTAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO (S  )  t  S  é a área de 6 retângulos  t  2 com dimensões a, b  2 com dimensões a, c  2 com dimensões b, c  Logo:  S  = 2  + 2  + 2  ® S  = 2 ab + ac + bc  t ab  ac  bc  t  (  )  Matemática ­ M2  3 9 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS 8 ­ VOLUME DO PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO (V)  Um paralelepípedo retâgulo de dimensões a, b, c, tem um volume dado por: V = a . b. c 9 ­ DIAGONAL, ÁREA TOTAL E VOLUME DE UM CUBO  Como um cubo é um caso especial de paralelepípedo retângulo, as fórmulas anteriores são válidas para ele,  bastando fazer b = c = a.  Teremos então:  d = a  3  ,  S t  = 6  2  ,  V = a  a  3  Obs.: a é a aresta do cubo. 10 ­ VOLUME DE UM PRISMA QUALQUER  O volume de um prisma qualquer é igual ao produto da área da base (B) pela altura (h)     V = B . h 11 ­ LEMBRETES IMPORTANTES  A) Altura e área de um triângulo equilátero  2 a  3  a  3  h= S = 2  4  B) Área de um hexágono regular  A área do hexágono é seis vezes a área do triângulo  equilátero de lado a  a 2 3  3  2 3  a  S = 6  .  ,  S = 4  2  C) Apótema do hexágono regular (m)  O apótema do hexágono regular coincide com  a altura de um triângulo equilátero.  a  3  m= 2  II ­ PIRÂMIDE 1­ DEFINIÇÃO E ELEMENTOS  Definição: Seja a um plano, R uma região poligonal  em a e V um ponto não pertencente a a . Chama­se  pirâmide à reunião de todos os segmentos com uma  das extremidades num ponto de R e a outra no ponto V. ­ Elementos  Vértice: é o ponto V.  Base: é o polígono ABCDE  Arestas da base: são os lados da base:  AB ,  BC , ...  Arestas laterais:  VA  ,  VB , ... VE  Faces laterais: são os triângulos VAB, VBC, ...  Altura: é a distância do vértice ao plano da base. 4 0  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS 2­ CLASSIFICAÇÃO  Pirâmide triangular ou tetraedro: a base é um triângulo.  Pirâmide quadrangular: a base é um quadrilátero.  Pirâmide pentagonal: a base é um pentágono e assim por diante.  Se a base é um polígono regular, e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base for o centro desse  polígono, a pirâmide é uma pirâmide regular.  Numa  pirâmide  regular,  as  faces  laterais  são  triângulos  isósceles congruentes.  A altura de uma face lateral de uma pirâmide regu­  lar em relação ao lado da base chama­se apótema  da pirâmide.  VO = altura (h)  OM = apótema da base (n)  2  2  2  Observe que: m  = h  + n  VM = apótema da pirâmide (m) 3­ VOLUME DE UMA PIRÂMIDE  1  Em uma pirâmide cuja área da base é B e a altura é h, o volume é:  V = B  h  .  3 4­ SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE  Chama­se secção transversal de uma pirâmide à interseção da pirâmide com um plano paralelo à base. Sendo  h a altura da pirâmide V(ABCD) e d a distância da secção transversal ao vértice V da pirâmide, temos:  A    B C  B      d  a)  = = ... = AB  BC  h  VA  VB    d  b)  = = ... = VA  VB  h  2  área da  seção  æ d ö c)  =ç ÷ área  da base  è h ø 3  VolumeV (     C D )  æ d ö A  B      d)  =ç ÷ VolumeV  ABCD  (  )  è h ø Observação: As relações acima são válidas para qualquer pirâmide. 5­ TRONCO DE PIRÂMIDE  A secção transversal de uma pirâmide a divide em dois outros sólidos. O que contém o vértice é uma nova  pirâmide. O que contém a base é um sólido que chamaremos de tronco de pirâmide.  Base  maior:  é  a  base  da  pirâmide  original  Representaremos sua área por B.  Base  menor:  é  a  secção  transversal.  Sua  área  será  representada por b.  Altura do tronco: é a distância entre os planos das bases  (h).  h  O volume do tronco de cone é:  V = (B + B b  + b  .  )  3  Matemática ­ M2  4 1 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS 6­ TETRAEDRO REGULAR  Chamamos  de  tetraedro  regular  à  pirâmide  regular  na  qual  as  quatro  faces  são  triângulos  equiláteros  congruentes.  ­ Área total do tetraedro regular ( S  )  t  S  = 4 vezes a área de um triângulo equilátero de lado a.  t  2  3  2  Portanto  S  = 4 . a  t ou  S t = a  3  4  ­ Altura do tetraedro regular (h)  Seja a aresta do tetraedro. Como o tetraedro é regular, o ponto O é o baricentro  do triângulo ABC, e como esse triângulo é equilátero teremos:  2  a  3  a  3  AO = .  = 3  2  3  2  2  æ a  3 ö 2  a  6  No triângulo VOA, temos:  a = h  + ç ÷ ç 2  ÷ e daí vem  h= è ø 3  ­ Volume do tetraedro regular (V)  1  2 3  V= . B . h , onde B é a área da base. Mas  B = a  ;  3  4  2 3  1  a  3  a  6  a  2  então  V = .  .  ® V = 3  4  3  12  III ­ CILINDRO 1­ DEFINIÇÃO E ELEMENTOS  ­ Definição: Sejam a e b planos paralelos, C um círculo contido em a e r uma reta que intercepta a em A  e b em B.. Chama­se cilindro à reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB, que têm uma  extremidade no círculo C e outra no plano b .  ­ Elementos de um cilindro  Bases: são os círculos de centro O e O’.  Altura (h): é a distância entre os planos das bases.  Eixo: é a reta OO’ que contém os centros das bases.  Geratriz: qualquer segmento paralelo ao eixo e com  extremidades nas circunferências das bases. 2­ CLASSIFICAÇÃO  Cil i nd ro   reto :  as  geratrizes  são  perpen­  g = 2 r = h diculares aos planos da base.  Cil i n dro   ob l íqu o :  as  geratrizes  não  são  perpendiculares aos planos da base.  Observação:  O  cilindro  reto  é  também  cha­  mado de cilindro de revolução.  Cilindro  Cilindro  Cilindro  reto  oblíquo                       equilátero  4 2  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  ­ Secção Meridiana  É a interseção de um cilindro reto com um plano que contém o eixo.  A secção meridiana geralmente é um retângulo. Se ela for um quadrado, o cilindro é chamado cilindro equilátero. 3­ ÁREA LATERAL  Se você “abrir” o cilindro obterá um retângulo de base  2pr  e altura h.  rh 2prh  Logo, a área lateral do cilindro será  S  = 2  rh  I p4­ ÁREA TOTAL  É a área lateral acrescida da área das duas bases.  Logo:  S t  = 2  rh + 2  r 2  ou:  S  = 2  r  h + r  p p t p (  ) 5­ VOLUME  DE UM  CILINDRO  É dado por:  V  = pr 2 . h  IV ­ CONE 1­ DEFINIÇÃO ­ ELEMENTOS  ­ Definição: Seja C um círculo de centro O e raio r,  ­ Elementos:  contido num plano a , e V um ponto fora desse  Vértice: ponto V  plano.  Chamamos  de  cone  circular  ou  cone  à  reunião de todos os segmentos cujos extremos  Base: círculo de centro O  são o ponto V e um ponto do círculo.  Altura: distância de V ao plano da base  Eixo: reta VO  Geratriz:  segmentos  com  extremos em  V  e  num  ponto da circunferência da base.  o  Matemática ­ M2  4 3 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS 2­ CLASSIFICAÇÃO  Cone oblíquo: o eixo é oblíquo à base  Observação:  Cone reto: o eixo é perpendicular à base  1) O cone reto também é chamado de cone de  revolução. Ele pode ser gerado pela rotação  completa de um triângulo retângulo em torno  de um de seus catetos.  Cone oblíquo  Cone reto  Observação:  2) Num cone reto temos:  g2  = h  + r 2  2  ­ Secção meridiana: é a interseção do cone com um  Cone equilátero: é o cone cuja secção meridiana  plano que contém o eixo. A secção meridiana de  é um triângulo equilátero.  um cone reto é um triângulo isósceles.  Num cone equilátero g = 2r e h = r  3 3­ ÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL DE UM CONE  ­ Área  lateral  Destacando a base de um cone, cortando­o na direção de uma geratriz, obtemos uma planificação do cone que  será um setor circular de raio g e cujo arco tem comprimento 2 p r.  .  r  2 p r  l . r  Da geometria plana, sabemos que a área de um setor circular de raio r e arco de comprimento  l  é  S  = 2  Portanto, a área lateral do cone será:  2  r . g  p S  = ® S  = p r  g  l 2  ­ Área total    2  S  = S  + S  t l  base  ® S  = p r  g + p r  ® S  = p r  g + r  t  t  (  )  4 4  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS 4­ VOLUME DO CONE  1  2 V  = p r  h  ,   r = raio da base   e   h = altura  3 5­ SECÇÃO TRANSVERSAL DE UM CONE  É a interseção de um cone com um plano paralelo ao plano de sua base.  Uma secção transversal divide o cone em duas partes: um cone menor e um tronco de cone. São válidas as  relações:  2  S sec ção  h  3  r h  secção  V1  h  a)  = b)  R  = 2  c)  = 3  onde:  R  H  base  H  V  H  2  r  V  = volume do cone de altura h  1  V  = volume do cone de altura H  2 6­ TRONCO DE CONE  Como já dissemos anteriormente, é uma das partes  em que o cone fica dividido por uma secção trans­  versal. Se o cone original que foi seccionado for um  cone reto, o tronco é chamado tronco de cone reto  de bases paralelas.  ­ Área lateral de um tronco de cone reto de bases paralelas  Seja S  a área lateral do tronco, S  a área lateral do cone de geratriz G e S’  a área lateral do cone de raio da  it  l  l  base r.  Então:  S  = S  ­ S’  lt  l  l  S  = p RG = p r(G ­ g) = p RG ­ p rG + p rg  lt  S  = p (RG ­ rG + rg) = p [G(R ­ r) + rg]  lt  Da semelhança dos triângulos VAO’ e VBO, tiramos:  A VA AO   G - g  r  gR  = ou  = e daí  G = . Substituindo  VB  BO  G  R  R - r  gR  vem  S  = p [  lt .  (  - r  + rg  = p (  + rg  e então: R  )  ]  gR  )  R - r  ìR = raio  da base  maior  do  tronco  ï S  = p (  + r  g  ír  = raio da base  menor  do  tronco  It  R  )  ïh = altura do  tronco  î ­ Área total de um tronco de cone reto de bases paralelas. Mostre você que:  S  = p[  (  + R  + r  g + r  lt R  g  )  (  )]  ­ Volume do tronco de cone reto de bases paralelas. ìR = raio da base  maior  do  tronco  ph  2  ï V  = (  + Rr + r 2 ) ® ír  = raio da base  menor  do  tronco  R  3  ïh = altura do  tronco  î Matemática ­ M2  4 5 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  V ­ ESFERA 1­ ESFERA  É o conjunto dos pontos do espaço, cuja distância  a um ponto dado O, é menor ou igual a R, onde  R > O é o raio da esfera. 2 ­ SUPERFÍCIE ESFÉRICA  É o conjunto dos pontos do espaço, cuja distância a um ponto dado O, é igual a R, sendo R > O, o seu raio.  Observação:  A superfície esférica é a “casca” da esfera. 3 ­ SECÇÃO ­ CÍRCULO MÁXIMO  Secção da esfera: é a interseção da esfera com um plano secante.  A secção de uma esfera é um círculo.  Círculo máximo: é a interseção da esfera com um  plano secante que passa pelo seu centro.  d = distância do centro O ao plano secante  Observe que: d  + r 2  = R 2  ® R = raio da esfera  2  r = raio da secção4 ­ PÓLOS, EQUADOR, PARALELOS E MERIDIANOS  Pólos: São as interseções da superfície esférica  com o eixo  (P  e P  )  1  2  Equador: é a secção perpendicular ao eixo que passa pelo centro  da superfície esférica (circunferência máxima)  Paralelo: é toda secção da superfície esférica paralela ao equador.  Meridiano: é uma secção da superfície esférica, cujo plano passa  pelo eixo (é também uma circunferência máxima) 5 ­ DISTÂNCIAS POLARES  Chama­se distância polar à distância de um pólo a um  ponto qualquer de um paralelo.  Exemplo:  P A  = p  e  P  A  = p  são distâncias polares.  1 2   Cálculo da distância polar.  Sejam:  R: o raio da esfera  d: distância do centro da esfera ao plano da secção. O triângulo  P AP  é retângulo. Então, usando as  1  2  relações métricas nos triângulos retângulos obtemos:  P A 2  = P P  . P O ® p  = 2  . (  + d  1 1  2  1    2  R  R  )  P  A 2  = P P  . P  O ® p 2  = 2  . (  - d  2 1  2  2      R  R  )  4 6  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS 6 ­ O VOLUME DA ESFERA  4  3  O volume de uma esfera de raio R é:  V = pR  3 7 ­ ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA  p 2  A área da superfície esférica de raio R é:  S = 4  R 8 ­ FUSO ESFÉRICO  É  a  sup erf ície  obtida  pelo  giro  de a graus  ( 0  < a < 360  )  em  torno  do  eixo  de  uma  semi­  ° ° circunferência com extremidades nos pólos.  ­ Área do fuso esférico  Como o fuso é “uma parte” da superfície esférica, podemos calcular sua área por uma regra de três.  Basta observar que, se a = 360  (ou  a = 2p rad ), o fuso se transforma na superfície esférica.  ° A) a é dado em graus.  2 360º  ­  4pR  a ­     S  pR 2 a ® S = 90  ° B) a é dado em radianos  2 2prad   ­   4pR  a ­      S  ® S = 2  2 a r  Observação: O fuso é a “casca” de um gomo de laranja. 9 ­ CUNHA ESFÉRICA  Se na definição anterior, substituirmos a semi­circunferência por um semi­círculo obtemos um sólido que é  chamado de cunha esférica (gomo de laranja).  ­ Volume da cunha  A) a é dado em graus.  4 3  360° ­  pR  3  3  pR  a ® V  = a ­      V  270 ° B) a é dado em radianos  4 3  2p rad ­  pR  3  2  3 a R  a ­   V ® V  = 3  Matemática ­ M2  4 7 
  • Tecnologia            ITAPECURSOS  MATEMÁTICA I  FUNÇÃO EXPONENCIAL  x  1)  (PUC­MG)  A  exponencial  (a  +  3)  é  função  4) (PUC­MG) A população de uma cidade é dada  decrescente. O número real a + 2 pertence ao  x  pela  equação  y  =  250  .  1,02  ,  em  que  y  é  a  intervalo:  população  em  milhares  de  habitantes  e  x  é  o  tempo, em anos, contado a partir de janeiro de  a) ]0,1[  d) ]­2,0[  1997. O número provável de habitantes dessa cidade,  b)  ]­2,­1[  e) ]­1,0[  em janeiro do ano 2000, seria aproximadamente:  c)  ]­1,­1[  a) 250.000  d) 265.000  2) (UNA­MG) O tempo necessário, em segundos,  b) 255.000  e) 270.000  para um computador resolver um sistema linear  c) 260.000  n  de n equações a n incógnitas é T(n) = n + 2  . O  tempo que essa máquina levará para resolver  5) (PUC­MG)   Considere as funções  f( x ) = 3 x  e  um sistema linear de 10 equações a 10 incógnitas  2  g ( x ) = x  + x . A soma das raízes  da equação  será:  f( g(x) ) = 9 é:  a) menor que 5 minutos.  a) –2  b) –1  c) 0  d) 1  e) 2  b)  maior  que  5  minutos  mas  menor  que  15  minutos.  6) (UFOP­MG) O valor de x que satisfaz a equação  x  x  seguinte é um número: 4  ­ 15 . 2  ­ 16 = 0  c) maior que 15 minutos mas menor que 1 hora.  d) superior a 1 hora.  a) ímpar  d) primo  b) irracional  e) par  3)  (PUC­MG)  Sabe­se  que  a  população  de  certa  c) negativo  cidade cresce exponencialmente de acordo com  a função p = f(t) do gráfico abaixo, onde t é  o  7) (N.Paiva­MG) Considere a equação exponencial  tempo em anos e p, a população em milhares  k  ­k  2  +  2  =  3k,  onde  k  é  um  número  real.  Os  de habitantes. De acordo com as informações  valores de k para os quais a equação exponencial  desse gráfico, o valor aproximado de t, para que  admite raízes reais são:  se tenha p = 160, é:  ì 2  2 ü a) ík Î R / - £ k  £ ý a) 16  î 3  3 þ b) 20  ì 2 ü b) ík Î R / k  ³ ý î 3 þ c) 24  ì 3 ü d) 28  c) ík Î R / k  ³ ý î 2 þ e) 32  ì 2  2 ü d) ík Î R / k  £ - ou  k  ³ ý î 3  3 þ 4 8  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS 8) (Univ. Itaúna­MG) O par (x , y) é solução do sistema 16) (Fac. Milton Campos­MG) Se a é raiz da equação  x 2  y ì2  .  2  = 2  x  2 a  + 1  ï 3 2  x  2  x  + 2  = 2 6  .  x  , então  é igual a:  í . O valor de  y  é :  2  ï3  x : 3 = 3  2  y  î a) 1  b) 0  c) 1/2  d) 3/2  a) 2/5  b) 1/5  c) 3/5  d) 4/5 9)  (FAFEOD­MG)  O  domínio  da  f unção  17) (Fund. João Pinheiro­MG) Uma população, a partir  de 1995, tem a seguinte lei de formação:  1  f  x  = (  )  é:  1  P n  = 12 10  .  n -1995  n ³ 1995  (  )  .  4 2  ,  .  - x - 2  3  - 9  Estima­se  que,  em  certo  ano,  essa  mesma  população será 32 vezes a de 1995.  a)  R *  _  b) R_  c) R  +  d)  R *  e) R  + Assim sendo, esse ano seria: 10)  (UFJF­MG)  O  conjunto  solução,  em  R,  da  a) 1998  x  3  + b) 1999  æ 1 ö inequação  3 x  3  > ç ÷ - é:  è 9 ø c) 2000  a) {x Î R / x > -3  } d) {x Î R / x  < 1  } d) 2002  b) {x Î R / 0 < x < 1  } e) {x Î R / x  > -1  } e) 2004  c) {x Î R / x  > 1  } 18)  (CEFET­MG)  O  ponto  de  interseção  das  curvas 11)  (PUC­MG)  O  par  ordenado  (­1,5)  pertence  ao  x  x  æ 1 ö gráfico da função f(x)= a x  . O valor de f (1) é:  y = 2  e  y = ç ÷ é:  è 2 ø a) 0,1  b) 0,2  c) 0,3  d) 0,4  e) 0,5  a)  (­1,0)  c)  (0,1)  e) (1,1) 12) (FMTM­MG) Seja a o menor número real que é  2 æ 1  ö x  b)  (0,­1)  d) (1,0)  solução da equação  5  -2  : 25 = ç x  ÷ . Pode­se  è 125 ø 19) UFMG) Observe a figura.  afirmar que  a  é um número:  a) natural  d) complexo  b) primo  e) divisível por 5  c) irracional 13) (Fund. João Pinheiro­MG) Certo fenômeno é regido  b.x  pela  lei  f (x)  =  a  .10  .  Sabe­se  que  f(0) = 0,01 e f(1) = 10.000. Nesse caso, o quociente  b/a deve ser igual a:  Nessa figura, está representado o gráfico da função  a) 400  b) 500  c) 600  d) 700  e) 800  f(x) = b x , b > 0.  x 14) (UFOP­MG) A soma das raízes da equação 9  +  x  . 30 é:  81 = 3  10  Se  f (  ) + f (  1  = 1  ,  a  única  afirmativa  VERDA­  - )  3  a) 1  c) 27/28  e) 30  DEIRA sobre o valor de b é:  b) 81/28  d) 4  1 15)  (FCMMG)  Suponha  que  a  temperatura  de  um  a)  0 < b < d) 1 < b < 4  corpo, colocado num instante t = 0 em um meio  9  mais frio, obedeça à seguinte lei: T(t) ­ A = B.e ­k.t  ,  2 4  em que A é a temperatura do meio ambiente, T(t) é  b)  < b < e) 4 < b < 9  9  9  a temperatura do corpo no instante t, B e K são  constantes e e é aproximadamente 2,7. Suponha  8 ainda  que  no  instante  t  =  0  o  corpo  tenha  c)  < b < 1  9  temperatura de 36,5  °C, e que este  se encontre  em uma sala mantida a 20 °C.  20) (PUC­MG) O número de raízes reais da equação  O valor de B é:  3  3  2  2 2  a) 16,5 °C  c) 36,5 °C  2  x  - 3 2  x  + 2 = 0  é:  .  b) 28,25 °C  d) 56,5 °C  a) 1  b) 2  c) 3  d) 4  e) 5 Matemática ­ M2  4 9 
  • Tecnologia            ITAPECURSOS  LOGARITMO  log 2  7 7  1) (UFMG) Seja  y  = 4  + log  8  . Nesse caso,  2  Fazendo a correspondência entre as funções e os  o valor de y é:  gráficos, assinale, dentre as alternativas abaixo, a  seqüência correta:  a) 35  b) 56  c) 49  d) 70  a) I­B , II­D , III­A , IV­C  2) (UFMG) Observe a figura.  b) I­A , II­D , III­C , IV­B  c) I­A , II­B , III­C , IV­D  d) I­C , II­B , III­A , IV­D  e) I­B , II­C , III­D , IV­A  5)  (Fund.  João  Pinheiro­MG)  Considere  a,b,c,  três  a  números  positiv os  tais  que  log = 10 4 e  ,  b  log ac  = 8 2 . Nessas condições, log bc  é igual a:  ,  a) –6,8  b) –2,2  c) –2,4  d) 2,5  e) 6,6  Nessa  figura,  os  pontos  B  e  C  estão  sobre  o  gráfico  da  função y = log  x ;  os  pontos  A  e  D  6) (PUC­MG) Se log  (x + 2) + log  (x + 2) = 3, o valor  2 4  2  de x é:  têm abscissas iguais a 8/3 e 12, respectivamente,  e os segmentos AB e CD são paralelos ao eixo  a) 2  b) 3  c) 4  d) 5  e) 6  y. Então, a área do trapézio ABCD é:  7) (UNIMONTES­MG) Hoje, graças ao aprimoramento  a) 64/3  b) 70/3  c) 74/3  d) 80/3  das  técnicas  de  previsão,  podemos  responder  a  questões  como:  quantos  habitantes  há  no  nosso  3) (UNA­MG) A calculadora de um aluno possui a  planeta ?; em que ano a população de um determi­  tecla  ln  e  não  possui  a  tecla  log.  Ele  deseja  nado estado, país ou continente estará duplicada?.  calcular log 2 em sua máquina. Para tal ele deve:  A população  de um  continente cresce  de acordo  it  com  a  equação  P(t)  =  P  .  e  ,  onde  P  é  a  a) calcular ln 2 , calcular ln 10 e somar o primeiro  0  0  com o segundo.  população no instante em que se inicia a contagem,  b)  calcular  ln  2  ,  calcular  ln  10  e  subtrair  o  t é dado em anos e i é a taxa de crescimento anual  primeiro do segundo .  da população.  c) calcular ln 2 , calcular ln 10 e multiplicar o  Sabendo que log  2 = 0,693 e que a população do  e  primeiro pelo segundo .  nosso  continente cresce  à  taxa  de 3,5%  ao  ano,  então ela se duplica depois de:  d) calcular ln 2 , calcular ln 10 e dividir o primeiro  pelo segundo.  a) 19,8 anos  c) 0,198 anos  b) 1,98 anos  d) 0,0198 anos  4) (UNA­MG) Considere as seguintes funções reais  e os seguintes gráficos:  8) (FAFEOD­MG) Na tabela abaixo, estão discriminados  æ 1ö x  cinco números reais e seus respectivos logaritmos  x  (I) f(x) = 5  (II) f(x) =  log 1  x  (III) f(x) =  ç ÷ (IV) f(x) = log x  è 4 ø decimais:  2  Número  Logaritmo Decimal  a  0,699  ( A )  ( B )  b  0,301  c  0,477  d  0,431  r  0,602 Analise as seguintes alternativas:  ( C )  ( D )  I.  a . b= 10  II.  2  b  – r = 0  III.  os números a e r são menores que 1  IV.  c > d  V.  2,5 £ a . b . c . d . r £ 10  5 0  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  Assinale a alternativa CORRETA:  15) (PUC­MG) O valor de N = log  25 ­ log  100 é:  2  2  a) todas as afirmativas são falsas.  a) –6  b) –5  c) –4  d) –3  e) –2  b) apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras.  16) (PUC­MG) Sabe­se que y é um número positivo e  c) apenas as afirmativas III e V são falsas.  d) todas as afirmativas são verdadeiras.  1 1  que  log y = log 2 - log  . O valor de y é:  3  2  4 9) (UNI­BH) O intervalo que NÃO está contido no con­  junto solução da inequação log  x ­ 1 5 < log  x ­ 1 2 é:  a)  4  3  2  2  5  4  4  3 b)  3  5  a) [  ,1 [  b) ] ­1,  ]  c) ] 0,1 [  d) ]  , [  6  5  5  2  2  3  c) 10) (Fund. João Pinheiro­MG) O montante M de um  3  capital C aplicado à taxa de i% ao mês, durante n  meses  consecutiv os,  é  dado  pela  f órmula  4  3  n  M = C (1 + i)  .  d)  3  A partir dessa fórmula e utilizando­se logaritmos,  obtém­se para n a expressão:  17)  (UFLA­MG)  O  v alor  de  x  na  expressão  log M - log C  6  - 2 log (  x  x  )  log x  2 = 8  é:  a) ( ) log 1 + i  a) log 2  log M  b) 0  b) C  ( ) log  + log 1 + i  c) 2  d) log 8  (+) c) log M - log C - log 1  i  e) –3  d)  log M - log  - log  C  i  18) (CEFET­MG) O valor de y que satisfaz a equação  2  3  30  log  y + log  y  + log  y  + L + log  y  = 930 é:  3 3  3  3  M  e) log ( ) - log 1 + i  a) 3  b) 9  c) 18  d) 30  e) 54  C  log  2  .  . log 2  3  19) (UFLA­MG) Sabendo­se que  log  a = 2, log  b = 3  x  x 11) (Itaúna­MG) Sendo  x = 2  3  e y = log  3 =  3 ,  e   log  c = 5,  com a,  b,  c > 0  e  0 < x ¹ 1, então  x  2  o valor de –x  y é:  1  2  /  3  æ a  ö a) –3  b) –2  c)  4  d)  2  a expressão  logx ç 2  4 ÷ vale:  ç .  ÷ è b  c  ø12) (PUC­MG) Se log  a + n = log  (p a  , o valor de p  10 10  .  ) a) 10  b) 5  c) 0  d) ­5  e) ­10  é:  a) n  n  b) 10n  c) 10  10  d) n  e) n/10  20) (PUC­MG) A raiz da equação  p x - 2  = 0 é:  p ­5 13) (CEFET­MG) Sabendo que log  3 = x, log  3  = y e  4  a  b  a)  1 - log  2  p que b = a  , pode­se afirmar que:  b)  2 - log  2  p a) 4x = ­5y  d) 5x = ­4y  b) x = ­5y  e) 20x = ­y  c)  logp 2  c) x = ­20y  d)  0,  + log  2  5  p 2 (1 + log p 3  )14) (PUC­MG) A raiz quadrada de p é:  e)  1 + log  2  p a) p  d) 4p  b) 2p  e) 5p  c) 3p  Matemática ­ M2  5 1 
  • Tecnologia            ITAPECURSOS  POLINÔMIOS  1) (PUC­MG) A igualdade a ( x + 2 ) + b ( x – 1 ) = 3 é verificada para qualquer valor de x. O valor do número  b é:  a) –1  b) –1/2  c) 1/2  d) 1  e) 2  A  B  x + 3  2) (IH­MG) Dada a igualdade  + = 2 , com  x ¹ ±1 , o valor de A – B  é:  x + 1  x - 1  x  - 1  a) –3  b) –2  c) 1  d) 3  e) 4  3) (UFMG) Considere os polinômios  P  x  = ax 3 + (  a - 3  )  2  + (  + b + 4  )  - 4  (  )  2  b  x  a  c  x  bcd  e  Q  x  = 6  2 + 18  + 5 ,  (  )  x  x  em que a, b, c e d são números reais. Sabe­se que P(x) = Q(x) para todo x Î R. Assim sendo, o número  d é igual a:  a) 1/8  b) 2/3  c) 4/5  d) 3  4) (UFJF­MG) Ao dividirmos um polinômio p(x) por outro polinômio q(x) encontramos um resto r(x) = x – 1.  É CORRETO afirmar que:  a) o grau de p(x) é igual a 2.  c) o grau de q(x) é maior que 1.  b) o grau de q(x) é igual a 2.  d) o grau de p(x) é igual a1.  5) (PUC­MG) O polinômio P(x)= x 3 – 4x 2 + 5x + m – 3 , é divisível por x + 1.  O valor de m é:  a) 1  b) 13  c) 4  d) 14  e) 22  6) (FMTM­MG) Dividindo­se o polinômio P(x) por 3x – 2 obtém­se quociente Q(x)= x  2  – 2x + 5 e resto r.  Se P(2) = 20 , então o valor de r é:  a) 0  b) 2  c) 4  d) 5  e) 20  7(PUC­MG) Sendo  P  x  = 2  3 - 5  2  + 4  - 1  e  Q  x  = 2  3  - 7  2  + 7  - 2 , nota­se que P ( 1 ) = Q ( 1 ) = 0.  (  )  x  x  x  (  )  x  x  x  A forma mais simples da fração  é:  x + 1  x - 2  x - 1  x - 1  x + 1  a)  b)  c)  d)  e)  x - 2  x + 1  x - 2  x + 2  x + 2  8) (UFMG) Sejam P  x  = x 2 - 4  e  Q  x  = x  - 2  2  + 5  + a , onde Q (2) = 0. O resto da divisão de Q( x ) por  (  )  (  )  3  x  x  P( x ) é:  a) –x –2  b) 9x – 18  c) x + 2  d) 0  e) –9x + 18  5  3  2  9)  (FAFEOD­MG)  Considere  os  polinômios,  P(x)  =  5x  +  ax  +  bx  +  3x  +  250,  Q(x)  =  x­2    e  4 +cx  + dx  + kx + 375, sendo a, b, c, d e k constantes reais. Se o quociente da divisão de P(x)  T(x) = 5x  3  2  por Q(x) é T(x), então o resto dessa divisão é igual a:  a) –850  b) –500  c) 750  d) 1.000  10) (PUC­MG) O polinômio P ( x ) = x 3 + x 2 – 10x + 8 é tal que P ( a ) = P ( b ) = P ( 2 ) sendo a > b. O valor  de a – b é:  a) 3  b) 5  c) 6  d) 9  e) 11  3  2  3  11) (PUC­MG) O polinômio P(x) = ax  + bx  + cx + d é idêntico ao polinômio Q(x) = x  – 2x + 4. O valor de  a + b + c + d é:  a) 2  b) 3  c) 4  d) 5 5 2  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS 12) (PUC­MG) O valor de B na identidade 4x + 1 = A (2x + 3) + B é:  a) –5  b) –4  c) –3  d) –2  e) –1 13) (UFMG) Sejam A e B números reais que satisfazem à igualdade 1 A  B  = + (x + 2 )(2 x + 1  x + 2  2 x + 1  ) para todo valor de x que não anula nenhum dos denominadores.  A soma A + B é:  1 1  3  a) –1  b)  - c) 0  d)  e)  3  3  2  3  2 14) (UFJF­MG)  O polinômio p(x), quando dividido por x  + 1, fornece o resto x  – 2. O resto da divisão de p(x)  por x + 1 é:  a) –2  b) –1  c) 0  d) 1  e) 2 15) (Fac. N.Paiva­MG) Considere os polinômios A(x) = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + ax + b e B(x) = x 2 ­ 1. Suponha que  A(x) seja divisível por B(x). Então, é correto afirmar:  a) a + b = 6  2  b) A soma dos coeficientes de [B(x)]  é 4.  c) a – b = 4  2  2  d) a  + b  = 20  a  + b = 0  e) 2  ANÁLISE COMBINATÓRIA 1) (UNIMONTES­MG) Considere E={ 1,2,3 } e F={ 1,2,3,4,5 }.O número de funções injetoras de E em F é:  a) 15  b) 60  c) 20  d) 125 2) (FCMMG) Observe a figura.  Nela  está  representada  a  planta  de  um  cômodo  contendo 3 portas na primeira parede, 5 na segunda  e 4 na terceira.  Uma pessoa deseja chegar ao ponto B, partindo do ponto A, passando exatamente por três das portas  indicadas na figura. O número de maneiras distintas que ela pode fazer isso é:  a) 11  b) 23  c) 32  d) 60 Matemática ­ M2  5 3 
  • Tecnologia            ITAPECURSOS  3)  (FMTM­MG)  Os  clientes  de  um  banco  devem  9)  (UFMG)  Formam­se  comissões  de  três  escolher uma senha, formada de 4 algarismos  professores  escolhidos  entre  os  sete  de  uma  de 0 a 9 de maneira que não haja algarismos  escola.  repetidos  em duas  posições consecutivas.  As  O número de comissões distintas que podem,  senhas 0780 e 1212, por exemplo, são possíveis,  assim, ser formadas é:  enquanto que as senhas 7228 e 1169 não são.  a) 35  b) 45  3  c) 210  d) 7  e) 7 !  O número de senhas válidas é:  a) 5.040  c) 8.100  e) 10.000  10) (UFMG) Um clube resolve fazer uma Semana  b) 7.290  d) 9.000  de  Cinema.  Para  isso,  os  organizadores  escolhem sete filmes, que serão exibidos um por  4) (Fund. João Pinheiro­MG) Em um torneio de tênis  dia.  Porém,  ao  elaborar  a  programação,  eles  de mesa, havia 11 participantes. Cada um deles  decidem  que  três  desses  filmes,  que  são  de  jogou uma única vez com os demais.  ficção  científica,  devem  ser  exibidos  em  dias  Portanto, ao final do torneio, foram disputados  consecutivos.  Nesse caso, o número de maneiras diferentes  a) 11 jogos  c) 44 jogos  e) 66 jogos  de se fazer a programação dessa semana é:  b) 22 jogos  d) 55 jogos  a) 144  5)  (UEMG)  Um  homem,  vistoriando  seu  guarda­  b) 576  roupa, percebeu que o número de calças é  o  c) 720  triplo do número de camisas. Sabendo­se que,  d) 1.040  com as peças de roupas do guarda­roupa, ele  consegue fazer 147 combinações do tipo calça  11) (CEFET­MG) A quantidade de números ímpares  e camisa, é CORRETO afirmar que o total de  de três algarismos distintos que se pode formar  peças  de  roupas,  entre  calças  e  camisas  com os números 2, 3, 5, 6, 7 e 8 é:  existentes no guarda­roupa é:  a) 15  b) 30  c) 60  d) 120  e) 360  a) 32  b) 29  c) 28  d) 24  12) (PUC­MG) Uma jarra cilíndrica deve ser pintada  6) (Univ. Itaúna­MG) Se A n . 3 =  4C  n . 2  , então o  com três faixas de cores diferentes usando as  valor de n ! é:  tintas disponíveis verde, vermelha, amarela, azul  a) 3  b) 2  c) 6  d) 24  e preta. O número de jarras que se pode pintar,  com padronagens diferentes é:  7) (PUC­MG) A expressão (n + 2 )! - (n + 1 ! , quando  ) a) 120  (n + 1 !  ) b) 100  simplificada, resulta em:  c) 90  a) n+1  b) n+2  c) n+3  d) n  e) 2n  d) 70  e) 60  8)  (UFLA­MG)  Um  banco  adotou  para  os  seus  clientes um sistema de senhas de quatro letras,  13) (UNI­BH) Em uma sala de aula há 20 alunos,  permitindo­se a repetição de letras (por exemplo:  sendo 11 homens e 9 mulheres. Elegeu­se um  gbbm,  aaaa,  ddde).  Como  o  alfabeto  tem  26  homem  como  representante  de  turma  e  uma  letras,  o  número  de  senhas  diferentes  neste  mulher para vice­representante. O número de  sistema é:  possíveis chapas vencedoras é:  a) menor que 100.  26 !  a)  .  b) maior que 100 e menor que 1.000.  4 !  c) maior que 1.000 e menor que 10.000.  b) permutação de 26 elementos.  d) maior que 10.000.  c)  arranjo  simples  de  26  elementos  tomados  quatro a quatro.  14) (PUC­MG) Em um campeonato de futebol, cada  4  d) 26  .  um dos 24 times disputantes joga contra todos  e) combinação de 26 elementos tomados quatro  os outros uma única vez. O número total de jogos  a quatro.  desse campeonato é:  a) 48  b) 96  c) 164  d) 276 5 4  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS 15) (Fund. João Pinheiro) Uma escola de computação  18) (FMTM­MG) O primeiro robô resultado de filmes  oferece aos alunos seis cursos básicos e cinco  de ficção científica chamava­se “TOBOR”, nome  cursos  de  extensão.  Pelo  total  cobrado,  cada  este originado pela inversão da palavra “ROBOT”.  aluno  tem  direito  a  fazer  um  pacote  de  sete  Seguindo os princípios da contagem, o número  cursos, dos quais, no mínimo, quatro têm que  de anagramas distintos, utilizando as cinco letras  ser básicos.  que formam estas palavras, é:  Nesse caso, o número total de pacotes distintos  a) 30  b) 40  c) 60  d) 120  e) 240  de cursos disponíveis aos alunos é:  a) 140  b) 168  c) 210  d) 215  e) 840  19) (FMTM­MG) Em uma festa de aniversário havia  n pessoas. Cada uma cumprimentou as outras  com um aperto de mão. Sabendo­se que houve 16) (Fac. Newton Paiva­MG) Seja A = {n / n é primo  ao todo 45 apertos de mão, pode­se afirmar que:  } e 2 £ n £ 20  . O número de frações diferentes  a) n é um número primo.  de 1 que se podem formar com os elementos de  b) n é um número ímpar.  A é:  c) n é divisor de 15.  a) 42  b) 56  c) 82  d) 84  e) 112  d) n é divisor de 5. 17)  (FCMMG)  Um  laboratório  dispõe  de  5  e) n é múltiplo de 5.  camundongos machos e n fêmeas. Se existem  360 maneiras de selecionar dois machos e duas  20) (UFJF­MG) O conjunto X tem 4 elementos e o  fêmeas  para  uma  experiência,  o  número  n  é  conjunto  Y  tem  7  elementos.  O  número  de  igual a:  funções f : X ® Y que se pode definir é:  a) 6  b) 9  c) 10  d) 12  a) 24  c) 840  e) 16.384  b) 28  d) 2.401  BINÔMIO DE NEWTON  10  æ 1 ö 5) (UNIFOR­CE) O número natural n que é solução 1)  (IH­MG)  No  binômio ç x - ÷ ,  o  termo  è x ø æ n - 1  æ n ö æ n + 1  ö ö independente de x é:  ç 2  ÷ + ç 2 ÷ + ç 2  ÷ = 31  é:  da equação  ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø a) –30240  c) 45  e) 30240  b) ­252  d) 252  a) primo.  d) quadrado perfeito.  b) divisível por 2.  e) maior que 20. 2)  (UNI­BH)  O  termo  central  do  binômio  c) múltiplo de 3.  6  æ 3  ö ç 2x + ÷ é:  6)  (UNI­BH)  Os  valores  de  x  que  verificam  a  è 2  2  ø x  æ 10  ö æ 10  ö identidade ç ç x + 2 ÷ = ç 2  + 1  são:  ÷ ç x  ÷ ÷ 27 -3  è ø è ø a) 20  3  b) 8x  c)  x  ­3  d) 540x  8  a) 0 ou 10  d) 1 3) (UFU­MG) O termo racional no desenvolvimento  b) –2 ou –1/2  e) 1 ou 13/3  7  de ( 2 + 3  5  )  é:  c) –2 ou 10/3  a) 350  4  c) 1.400             e) 5  7) (PUC­MG) O 6º termo no desenvolvimento do  4  b) 6  d) 700  10  æ 2  1 ö binômio  ç kx + ÷ segundo  as  potências 4) (UFOP­MG) Para que se tenha um dos termos  è x ø do  desenvolvimento  do  binômio  de  Newton  63  5  11  5  decrescentes de x, é  x  se, e somente se, k  (x + a)  igual a 1.386x  , o valor de a deve ser:  8  for igual a:  a)  6  3  c)  10  e)  3 10  a) 6  b) 4  c) 2  d) 1/2  e) 1/4 3  b)  2  6  d) 3  Matemática ­ M2  5 5 
  • Tecnologia            ITAPECURSOS  8  æ 3  1 ö 8) (UFV­MG) O coeficiente do termo independente de x, no desenvolvimento de  ç x + ÷ para x ¹ 0, é:  è x ø a) 28  b) 56  c) 3  d) 0  e) 36  MATRIZ  é2  - 1  ù é3  5 ù ém  n ù 1) (PUC­MG) Considere as matrizes A  = ê ú, B  = ê ú e  A B  = ê .  ú .  ë 4  1 û ë 2  2  û ë p  q  û O valor de n é:  a) 3  b) 4  c) 8  d) 14  e) 22  é 1  2  ù é 2  0 ù é m  n  ù 2) (PUC­MG)Considere as matrizes A  = ê ú , B  = ê 4  1  e  C  = 2 A  + B  = ê p  q  .  ú ú ë 3  4  û ë û ë û O valor de p é:  a) 4  b) 6  c) 7  d) 8  e) 10  ìi + j ,  i  ¹ j  ï 3) (UFLA­MG) Seja  A={ a i j  } uma matriz 3x3 dada por a  j  = í i  . A matriz pode ser escrita como:  ï 1  i  = j  î ,  é 2  3  4  ù é 1  3  4  ù é 1  2  3  ù é 1  3  4  ù é 0  3  4  ù a) ê3  4  5 ú b) ê3  1  5  ê ú ú c) ê2  1  4 ú d) ê2  1  5 ú e) ê3  0  5 ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê 4  5  6  ë ú û ê 4  5  1  ë ú û ê3  4  1 ú ê3  4  1 ú ê 4  5  0  ú ë û ë û ë û 4) (Fac. M.Campos­MG) A soma dos elementos da segunda linha da matriz  M = (a ij  3 x 2  )  ì2  se  i  > j  ,  ï definida por a ij  = í0  se  i  = j  é igual a:  ,  ï- 2  se  i  < j  î ,  a) 4  b) 2  c) 0  d) –2  ì1 se  i < j  ,  ( ) 5) (PUC­MG) A matriz M = a  é quadrada de ordem 3 e a ij  = í ij  i + j, se  i ³ j  . O valor de  a12  + a 22  + a 31  é:  î a) 8  b) 9  c) 10  d) 11  e) 12  é 2  1  ù é 1  0  ù é5  7  ù 6) (PUC­MG) Considere as matrizes A  = ê ú , B = ê 2  1  , C  = ê3  - 4  e M = AB + 3C.  ú ú ë - 3  4  û ë û ë û A matriz M é igual a:  é 13  21  ù é19  22 ù é14  6  ù é11  10 ù é18  20  ù a) ê ú b) ê ú c) ê ú d) ê ú e) ê ú ë - 10  5 û ë14  - 8  û ë 4  - 10  û ë 5  - 3  û ë12  13  û é2  1 ù 7) (PUC­MG) A matriz inversa de A  = ê ú é:  ë 1  0  û é0  1 ù é0  1  ù é 1  1  ù é 2  1  ù é 2 1 ù a) ê ú b) ê ú c) ê ú d) ê ú e) ê ú ë 1  2  û ë 1  - 2  û ë 2  0  û ë0  1 û ë 1  0  û 5 6  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  2 8) (UNA­MG) Na matriz A  temos que o elemento a  = i + 2j. A matriz A  vale:  2x2  ij  é 3  5  ù é 9  25  ù é 29  45  ù é 29  36  ù a) ê4  6 ú b) ê16  49  ú c) ê36  56 ú d) ê45  56 ú ë û ë û ë û ë û é 52  36  54  14  ù ê ú 87  45  65  85 9) (UNA­MG) Uma revendedora comercializa 4 produtos e possui 4 filiais. Na matriz A  = ê ú ê 25  ú 41  52  63  ê ú ë96  85  74  74  û o elemento que está na linha i e coluna j representa o estoque do produto i na filial j , por exemplo , existem  14 unidades do produto 1 na filial 4. A filial que possui maior estoque do produto 2 é a:  a) filial 1  b) filial 2  c) filial 3  d) filial 4  éa  b  ù é2  - 1  ù10) (PUC­MG) A matriz A -1  = ê ú é a inversa de A = ê ú .  ëc  d  û ë2  1  û O valor do número real b é:  a) –1  b) 1/4  c) 1/2  d) 1  e) 2  2  2  é x  y  ù é x  - y  ù é - 6  2  ù11) (PUC­MG) Se ê ú - ê 2  2  ú =ê ú então xy é igual a:  ë 2  2  û ë y  y  x  x  û ë - 8  - 3  û a) –6  b) –5  c) –1  d) 1  e) 6  112) (Fund. João Pinheiro­MG) Considere a matriz A = (a  ) tal que a  = ­1, a  = 1, a  = 1 e a  =  - ij  11  12  21  22  .  2  Nessas condições, a soma de todos os elementos da inversa da matriz A deve ser igual a:  a) 6  b) 7  c) 8  d) 9  e) 10 13) (UFJF­MG) Três vereadores foram designados para compor a Comissão de Orçamento do Município  para o ano de 1994. Eles devem escolher entre si o presidente para a referida comissão, sendo que cada  vereador pode votar em até dois nomes. Cada um recebeu um número de um a três e os votos foram  tabulados conforme a matriz A, dada a seguir. é 1  0  1  ù ê0  0  1 , onde  a  = ì1  se i  votou em  j  A = ê ú ,  ú ij  í ê0  1  1 ú î0  se i não  votou em  j  ë û Então, o número do candidato mais votado e o número de candidatos que votaram em si mesmos são,  respectivamente:  a) 1 e 3  b) 2 e 2  c) 3 e 1  d) 2 e 3  e) 3 e 2  t  t 14) (UFV­MG) Seja a equação matricial A.B + X = C  onde C  é a matriz transposta de C. Se A e B são  matrizes de tipos 3x4 e 4x2, respectivamente, então para que exista uma matriz X, solução da equação, a  matriz C deve ser do tipo:  a) 2x3  b) 2x4  c) 3x2  d) 3x3  e) 3x4  é 2  - 1  ù é 6  - 5  ù15) (UNA­MG) Sejam A  = ê 0  3  ú e  B = ê 0  3  ú . Se AX = B, então X é:  ê ú ê ú ê - 2  0  ú ë û ê - 6  4  ú ë û é3  5 ù é3  5  ù é3  2 ù ê 1  1  ú é3  - 2  ù é 1 0  ù a) ê ú b) ê ú c) ê ú d) ê0  1  ú e) ê ú ë 1  0  û ë0  1  û ê ú ë0  1  û ê3  4  ë ú û ê3  0  ú ë û Matemática ­ M2  5 7 
  • Tecnologia            ITAPECURSOS  DETERMINANTE  1  2  3  1) (CEFET­MG) O valor do determinante  1  3  5  é:  1  4  6  a) –11  b) –1  c) 0  d) 1  e) 11  æ R  I  C  ö æ R  I  C ö ç ÷ ç ÷ 2) (UNI­BH) Sabendo­se que  det ç 3  3  3  ÷ = x  , o determinante da matriz ç K  A  N ÷ é:  K  A  N  ç D  R  E  ÷ ç D  R  E ÷ è ø è ø 1  a)  x  b) 3x  c) 9x  d) 27x  3  3) (PUC­MG) Considere o triângulo retângulo de vértices V  , V  , V  da figura .  1  2  3  O determinante da matriz A = (a  )  em que a  = distância  ij  3x3  ij  V  V , é igual a:  i  j  a) 0  c)  2  5  e)  4  5  b)  5  d)  3  5  é 2  - 5  ù 4) (UFJF­MG) Sendo X  = ê ú , então podemos afirmar que:  ë - 1  2  û a) X é uma matriz quadrada de ordem 4.  b) X é uma matriz diagonal.  2  é4  25  ù c) X  = ê ú ë 1  4 û d) o determinante do dobro da matriz X é o dobro do determinante da matriz X.  é - 2  - 5  ù e) a matriz inversa de X é X -1  = ê ú .  ë - 1  - 2  û 5) (UFLA­MG) Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 6, qual o valor de  ­1  t  x na equação det (2 A  . A ) = 4x ?  a) 72  b) 18  c) 12  d) 2  e) 1/2  æ a  b ö x + y  x - y  ç b  a ÷ , onde a = 2  e  b  = 2  , podemos afirmar que o determinante  6) (UFOP­MG) Sendo a matriz M = ç ÷ è ø de M é:  xy  y 2  x 2 y 2  a) xy  b) 2xy  c)  d)  e)  + 2  4  4  4  é 1  2  ù é2  1 ù t  t  7) (UNI­BH) Se A  = ê ú e  B  = ê ú , então o determinante de A . B , onde B  é a transposta de B, vale:  ë 4  5  û ë 3  4  û a) –16  b) –15  c) 15  d) 16 5 8  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  æ y  - x ö 2 8) (UFV­MG) Considerando a matriz A  = ç ç x  y  ÷ , o valor do determinante da matriz B = A  é:  ÷ è ø 2  2  2  a) (x  + y  )  4  4  b) y  – x  2  2  2  2  2  c) (y  – x  )  – 4x  y  2  2  2  d) (y  – x  )  4  4  e) y  + x  æ 2  - 1  ö9) (PUC­MG) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2. Se det A = 5 e A × B = ç ç 4  3  ÷ , então, podemos  ÷ è ø afirmar que det B é:  a) –5  b) –2  c) 2  d) 5  e) 10  - 2  5  3  - 1  a  2 10) (CEFET­MG) Sabendo­se que  a = e  b = o valor do número real 2  – 3b  será:  1  - 1  2  1  a) –89  b) –61  c) –81  d) –69  e) 81  SISTEMAS LINEARES  ìmx + 2  = 7  y 1) (CEFET­MG) Se o sistema í tem solução única, então:  înx - y  = 3  a) 2mn  ¹ 0 b) m ­ 2n  ¹ 0 c) m ­ 2n = 0  d) m + 2n = 0  e) m + 2n  ¹ 02) (Fund. João Pinheiro – MG)  ì2  + 4  = m  x  y  O sistema í3  + ny  = 15 , nas variáveis x e y, é indeterminado.  î x  Nesse caso, a diferença m – n é:  a) 1  b) 2  c) 3  d) 4  e) 5 3) (UNIMONTES­MG)  ì 2  + 3  - z = 2  x  y  ï O sistema linear í 4  + 6  - 2  = 5  cujas equações são planos paralelos distintos, é classificado, quanto  x  y  z  ï- 6  - 9  + 3  = -4  î x  y  z  ao número de soluções, como sendo:  a) inadequado para análise.  c) possível e indeterminado.  b) possível e determinado.  d) impossível. 4) (UFJF­MG) Faz­se um primeiro e um segundo lançamento consecutivo de um dado de forma a escolher,  ì2  + y  = 0  x  respectivamente, os parâmetros a e b para o sistema í . A probabilidade de o sistema obtido  îax + by  = 0  ser indeterminado é:  a) 1/12  b) 1/6  c) 1/4  d) 2/3  ì3  + ky + z = 0  x  ï5) (ESPCEX) O sistema S  = í5  + 4  + 5  = 0  x  y  z  ï x + y + kz  = 0  î admite mais de uma solução se, e somente se:  a) k = 7/6  b) k = 7/5 ou k = 2  c) k = 7 ou k = ­ 2  d) k = 2/3 ou k = 1/2  e) k = 0 Matemática ­ M2  5 9 
  • Tecnologia            ITAPECURSOS  ìx - y + z = 8  ï 6) (ESPCEX) A soma das soluções do sistema í2  + y + z = 5  é:  x  ïx + 2  - z = -8  y  î a) 4  b) 5  c) 6  d) 7  e) 8  7) (FDV­ES) Pedro, Maria e Rogério saíram pelo trânsito da cidade, arrecadando dinheiro para a festa de  formatura da turma. No final do dia, juntos, eles somaram R$ 150,00. Quando souberam que a festa  estava cancelada, os três resolveram dividir igualmente o dinheiro arrecadado. Dessa forma, Pedro ficou  com o dobro do que arrecadou, Maria com R$ 5,00 a menos do que arrecadou e Rogério com R$ 20,00  a menos do que arrecadou. Pedro, Maria e Rogério arrecadaram, em reais, respectivamente:  a) 25, 45 e 80  b) 30, 50 e 70  c) 50, 25 e 75  d) 50, 45 e 55  e) 25, 55, e 70  8) (UERJ) Observe os pesos P  , P  e P  que possuem, cada um, uma quantidade inteira em kg.  1  2  3  Colocando­se um, dois ou os  três pesos em um mesmo  prato de uma balança, pode­se equilibrar, no outro, 1, 2, 3,  4, 5, 6 ou, no máximo, 7 kg de batatas.  Entre P  , P  e P  , o mais pesado mede, em kg:  1  2  3  a) 3  b) 4  c) 5  d) 9  ì4  + 3  - 2  = kx  x  y  z  ï 9) (MACK­SP) A soma de todos os valores de k, para os quais o sistema í6  - z  = ky  y  tem mais de uma  ï8  = kz  solução, é:  î z  a) 10  b) 14  c) 18  d) 12  e) 20  ì4  + y - z  = 0  x  ï 10) (UFU­MG) Estudando o sistema  linear í - x - y + z  = 1  verificamos que ele é:  ï2  - y + z  = 2  î x  a) homogêneo indeterminado.  d) impossível e indeterminado.  b) possível e determinado.  e) impossível e determinado.  c) possível e indeterminado.  11) (UFJF­MG) Um sistema linear homogêneo com m equações lineares e n incógnitas:  a) é sempre possível.  d) nem sempre é possível.  b) é possível somente quando m < n.  e) é possível somente quando m > n.  c) é possível somente quando m = n.  ì x  2  ï = 7  ï y  3  12) (PUC­MG) O par ordenado (a,b) é solução do sistema í valor de  5  .  é:  a b  ï x  y  = 13  ï - 2  3  î a) 5  b) 10  c) 15  d) 20  e) 25  ì2  + 3  = 5  mx  y  13) (UNA­MG) O valor de m de modo que (2,­1) seja solução do sistema í é:  î5  + y = 9  x  a) 0  b) 1  c) 2  d) 4  e) d 6 0  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  ìax + y = 2 14) (PUC­MG) O sistema í é indeterminado. O valor de a + b é:  î x - y = b  a) –3  b) –2  c) –1  d) 1  e) 2  ì9  - 6  = 10  mx  y 15) (Fac. Milton Campos) O sistema í não tem solução quando m é igual a:  î x  3  - y = 7  a) –2  b) 3  c) 1  d) 2  e) –3  PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 1) (PUC­MG) O centésimo primeiro termo da seqüência ( ­3, ­1, 1, 3, ...) é igual a:  a) 197  b) 203  c) 213  d) 215  e) 217 2) (Fund. João Pinheiro­MG) Paguei uma dívida durante 14 meses consecutivos, desta forma: no primeiro  mês, R$ 350,00; no segundo, R$ 400,00; no terceiro, R$ 450,00 e assim sucessivamente, ou seja, a cada  mês, paguei R$ 50,00 a mais do que no mês anterior.  Então, o valor total da dívida que paguei foi:  a) R$ 9.450,00  d) R$ 9.650,00  b) R$ 9.540,00  e) R$ 9.660,00  c) R$ 9.560,00  2 3) (N. Paiva – MG) Sabendo­se que, em uma progressão aritmética, o primeiro termo é 1, o último termo é n  ,  e são inseridos outros n termos, pode­se dizer que a razão da P.A será uma função de n, na forma:  a) n – 1  2  b) n  + 1  c) n + 1  2  d) n  – 1 4) (ITA­SP) O valor de n que torna a seqüência 2 + 3n, ­5n, 1 – 4n, uma progressão aritmética pertence ao  intervalo:  a) [­2, ­1]  b) [­1, 0]  c)  [0,1]  d) [1, 2]  e) [2, 3]  æ 1  1 ö5) (PUC­MG) O trigésimo primeiro termo da progressão geométrica ç 2 1  , 2 ,L  é igual a 2  . O valor de  ç , ,  ÷ ÷ k  è 2  ø k é:  a) –14,0  b) –14,5  c) –15,0  d) –15,5  e) –16,0 6) (Provão) Se a população de certa cidade cresce 2% ao ano, os valores da população a cada ano formam  uma progressão:  a) geométrica de razão 1,2.  d) aritmética de razão 1,02.  b) geométrica de razão 1,02.  e) aritmética de razão 0,02.  c) geométrica de razão 0,02. 7) (UFLA­MG) Sabendo­se que os números a  , a  , 75, a  e 1875 estão em progressão geométrica, o valor de  0  1  3  a  é:  3  a) 100  b) 1.500  c) 225  d) 375  e) 1.125  x  x  x 8) (PUC­MG) O valor de x que verifica a equação x + + + + L = 18  é:  3  9  27  a) 12  b) 14  c) 16  d) 18  e) 28 Matemática ­ M2  6 1 
  • Tecnologia            ITAPECURSOS  2  9) (UFOP­MG) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1,  2x  e x  – 5, que formam, por  sua vez, uma progressão aritmética, nessa ordem .O perímetro do triângulo mede:  a) 4  b) 6  c) 8  d) 12  e) 24  10) (FMTM­MG) Na progressão geométrica (  logx, 3  3  logy, 3  logz) , sendo x , y  e z números reais positivos, o  valor de y é:  a) x + z  d) x . z  b) x – z  e)  x z  .  x  c)  z  11) (Unimontes – MG) Uma Progressão Harmônica é uma seqüência de números tais que seus inversos  formam uma Progressão Aritmética. O segundo, terceiro e quarto termos de uma Progressão Harmônica  são 2, 3 e 6, respectivamente. A soma dos quatro primeiros termos da Progressão Harmônica é:  a) 11  b) 25  c) 5/3  d) 25/2  12) (N. Paiva – MG) Um professor de matemática que amava igualmente a literatura descobriu que reunia em  sua biblioteca particular 70 autores diversos, entre prosadores e poetas. Denotando por A o conjunto dos  poetas  e  por  B  o  conjunto  dos  prosadores,  ele verificou  que  as  quantidades  A  –  B  ,  A Ç B  e  B  –  A  constituíam uma progressão geométrica. Sabendo­se que,  do conjunto dos poetas, apenas 10 nunca  haviam escrito obra em prosa, quantos autores escreviam prosa e poesia?  a) 12  b) 15  c) 20  d) 30  e) 35  13) (UFV­MG) Usando­se um conta gotas , um produto químico é misturado a uma quantidade de água da  seguinte forma : a mistura é feita em intervalos regulares , sendo que no primeiro intervalo são colocadas  4 gotas e nos intervalos seguintes são colocadas 4 gotas mais a quantidade misturada no intervalo anterior.  Sabendo­se que no último intervalo o número de gotas é 100, o total de gotas do produto misturadas à  água é:  a) 1100  c) 1600  e) 1200  b) 1300  d) 900  14) (UFOP­MG) Três polígonos têm o número de lados definidos em P.A de razão 3. Sabe­se que a soma de  todos  os  ângulos  internos  desses  polígonos  é  3240°.  O  número  de  lados  de  cada  polígono  é,  respectivamente:  a) 4 , 7 , 10  b) 9 , 12 , 15  c) 3 , 6 , 9  d) 5 , 8 , 11  e) 6 . 9 . 12  15) (UFOP) A figura mostra um triângulo retângulo cujos lados formam uma P.G. de razão q.  Então a razão q vale:  1 - 5  1+ 5  a)  d)  2  2  1- 5  1 + 5  b)  e)  2  2  2  æ 1 + 5 ö c)  ç ç 2  ÷ ÷ è ø 6 2  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  MATEMÁTICA II PRISMA 1) (FMTM­MG) Se a área da base de um prisma  6) (PUC­MG) A figura representa uma caixa com  aumenta 20% e a altura diminui 10%, seu volume:  tampa e que tem a forma de um paralelepípedo  retângulo de base quadrada com lado medindo  a) aumenta 8%  d) diminui 8%  x;  a  altura  da  caixa  mede  y,  e  sua  área  total  b) aumenta 10%  e) diminui 10%  2  mede 100 m  . A função que expressa o volume  c) aumenta 108%  V dessa caixa, em função de x, é: 2)  (CEFET­MG)  Se  as  áreas  das  faces  de  um  a) V  x  = (  )  (10 - x  )x  2 2  paralelepípedo retângulo medem 6 cm  , 9 cm  2  4  e 24 cm 2 , então o volume desse paralelepípedo,  3  b) V  x  = (  )  (100 - x  )x  2 em cm  , é:  2  a)  39  d) 39  c) V  x  = (  )  (50 + x  )x  2 4  b)  6  6  e) 1296  d) V  x  = (  )  (50 + x  )x  2 2  c) 36  e) V  x  = (  )  (50 - x  )x  23)  (CEFET­MG)  Um  tanque  na  forma  de  um  2  paralelepípedo  retângulo  tem  por  base  um  7)  (ESPCEX)  Uma  piscina  em  f orma  de  retângulo de lados 0,8 m e 1,2 m. Se um objeto  paralelepípedo retângulo tem largura de 6 metros,  é mergulhado totalmente nesse tanque e faz o  diagonal do fundo com 10 metros e diagonal da  nível da água subir 0,075 m , então o volume do  3  face  que  contém  o  comprimento  igual  a  objeto, em m  , é:  a) 0,066  d) 0,600  4  5  metros.  Para  enchê­la  com  água  será  utilizado um caminhão tanque com capacidade  b) 0,072  e) 1,000  de 6 000 litros. O número de cargas completas ,  c) 0,096  desse mesmo caminhão , necessárias para que  a piscina fique completamente cheia é: 4)  (UNI­BH)  De  um  paralelepípedo  conhecem­se  duas das suas  dimensões, 3 cm e 4 cm  , e a  a) 24  b) 28  c) 32  d) 54  e) 80  diagonal,  29 cm. A  dimensão desconhecida  8) (PUC­MG) Na figura , o cubo tem aresta de 4 cm  é, em centímetros:  e  BP  =  2  cm  está  sobre  o  prolongamento  da  aresta  AB.  A  medida  do  segmento  PG  ,  em  a) 1  b) 2  c) 3  d) 4  centímetros , é: 5)  (UEMG)  Uma  piscina  tem  a  forma  do  sólido,  a) 6  conforme a figura. Sendo suas medidas dadas  em metros, pode­se afirmar que a capacidade  b)  4  2  dessa piscina, em litros, é de:  c)  6  2  d)  4  3  e) 8  9) (UNA­MG) Uma piscina olímpica possui a forma  de um prisma reto de base retangular de 50 m  de comprimento, por 25 m de largura, por 2 m  de  profundidade.  O  número  de  litros  de  água  necessários para enchê­la totalmente é:  a) 55.000  c) 72.000  2  a) 2,5 x 10  5  c) 2,5 x 10  b) 58.000  d) 92.000  3  b) 2,5 x 10  6  d) 2,5 x 10  Matemática ­ M2  6 3 
  • Tecnologia            ITAPECURSOS  10) (UFMG) Todos os possíveis valores para a distância entre dois vértices quaisquer de um cubo de aresta 1  são:  a) 1  e  2  b) 1,  3 e 2  c) 1,  2  e  3  d) 1,  2  e 3  11) (UFLA­MG) Num prisma triangular, regular e reto, todas as arestas têm a mesma medida, e o volume é de  3  0,375 m  . A aresta, medida em metros, é igual à raiz cúbica de:  3  3  a) 1  b) 1/3  c)  d)  e) 1/2  2  4  12) (UFOP­MG) Uma caixa d’água, em forma de paralelepípedo retângulo, tem dimensões de 1,8m, 15 dm e  80 cm. Sua capacidade é:  a) 2,16 L  b) 21,6 L  c) 216 L  d) 1080 L  e) 2.160 L  13) (UbNESP) Se um tijolo, dos usados em construção, pesa 4 kg, então um tijolinho de brinquedo feito do  mesmo material e cujas dimensões sejam 4 vezes menores, pesará:  a) 62,5 g  b) 250 g  c) 400 g  d) 500 g  e) 1.000 g  14) (UFPA) Um prisma hexagonal regular tem para altura a diagonal de um cubo de aresta a. Se o volume do  cubo é igual ao do prisma, a aresta da base do prisma mede:  a)  a  3  b)  a  2  a  3  c)  3  a  2  d)  2  a  3  e)  2  15) (UFLA­MG) De um prisma retangular reto recorta­se um outro prisma retangular reto, cujas dimensões  valem exatamente a metade das medidas das dimensões do sólido inicial. Assim o volume do prisma  menor representa uma porcentagem do volume do prisma maior. Essa porcentagem é de:  a) 12,5%  b) 0,125%  c) 1,25%  d) 50%  e) 5% 6 4  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  PIRÂMIDE1) (Univ. Itaúna­ MG) Uma pirâmide, cuja base é um  6) (UFES) Um grupo de esotéricos deseja construir  quadrado de lado 2a, tem o mesmo volume que um  um  reservatório  de  água  na  forma  de  uma  prisma, cuja base é um quadrado de lado a.  pirâmide de base quadrada. Se o lado da base  A razão entre as alturas da pirâmide e do prisma é:  deve ser 4/5 da altura e o reservatório deve ter  3  capacidade  para  720  m  ,  qual  deverá  ser  a  a) 4/3  b) 3/2  c) 1/4  d) 3/4  medida aproximada do lado da base? 2)  (PUC­MG)  Na figura,  o  prisma  ABCDEF é  reto  e  a) 8,7 m  c) 13,9 m  e) 16,0 m  sua  base  é  um  triângulo  retângulo  de  catetos  b) 12,0 m  d) 15,0 m  AC = 3 m e BC = 4 m; a altura desse prisma mede  5 m. A partir desses dados, pode­se afirmar que a  7) (PUC­MG) Em um cubo de aresta a, ligam­se os  medida do volume da pirâmide de vértice E e cuja  vértices A, B, C, e D de uma face ao centro I da  base é o triângulo de vértices B, D e F, em metros  face oposta. A razão entre o volume da pirâmide  quadrados, é:  assim obtida e o volume do cubo é:  a) 9  a) 1/4  b) 1/3  c) 1/2  d) 2  e) 3  b) 10  c) 11  8) (PUC­MG) Cortando­se uma pirâmide de 30 dm  d) 12  de altura por um plano paralelo à base e distante  24 dm do vértice,  obtém­se uma secção cuja  e) 13  2  área mede 144 dm  . A medida da área da base 3) (PUC­MG) A base de uma pirâmide é um hexágono  2  de tal pirâmide, em dm  , é:  regular inscrito em uma circunferência de raio r. A  a) 180  b) 200  c) 212  d) 225  e) 288  altura da pirâmide é h = 3r. A função que expressa  o volume V da pirâmide em função do raio r é:  9) (PUC­MG) Em uma pirâmide regular de 12 cm  de altura tendo como base um quadrado de lado  r 3 3  3  3 3  r  igual a 10 cm, a área lateral é:  a)  V  r  = (  )  d)  V  r  = (  )  4  2  2  2  2  a) 240 cm  c) 340 cm  e) 210 cm  3 3 2  b) 260 cm  2  d) 400 cm  3  r  3  7  r  3  b)  V  r  = (  )  e)  V  r  = (  )  4  2  10) (CEFET­MG) ABCD é face de um cubo cujas  3 5  r  3  arestas  medem  36  cm.  Seja  X  um  ponto  da  c)  V  r  = (  )  4  aresta AE. Qual a medida de AX para que  o  volume da  pirâmide XABCD seja 1/9 do volume 4)  (CEFET­MG)  Uma  pirâmide  tem  como  base  um  do cubo?  polígono regular. As arestas da base medem 2 m e  as arestas que passam no vértice medem 3 m. A  a) 4 cm  c) 12 cm  e) 24 cm  soma  de  todos  os  ângulos  internos  das  faces  b) 6 cm  d) 18 cm  (incluindo a base) é igual a 10p radianos. A altura  da pirâmide, em metros, é de:  11)  (MACK­SP)  Uma  pirâmide  cuja  base  é  um  quadrado de lado 2a tem um mesmo volume que  69  um prisma cuja base é um quadrado de lado a.  a)  5  c)  7  e)  3  A razão entre as alturas da pirâmide e do prisma,  nessa ordem é:  b)  6  d)  8  a) 3/4  b) 3/2  c) 1/4  d) a/3  e) 3a 5) (ESPCEX) Uma pirâmide hexagonal regular tem área  2  da  base  igual  a 18  3 m  .  Sabendo­se  que  sua  12) (UFPA) Uma pirâmide regular, cuja base é um  altura é igual ao triplo do apótema da base, então  quadrado de diagonal  6  6  , e a altura igual a  seu volume é:  2/3 do lado da base, tem área total igual a:  2  2  3  a) 36 m  3  d) 54  3 m  a) 96  3  cm  d) 84  3  cm  2  b) 252 cm  2  e) 576 cm  3  3  b) 27  3  m  e) 81  6 m  2  c) 288 cm  3  c) 36  3 m  Matemática ­ M2  6 5 
  • Tecnologia            ITAPECURSOS  13) (PUC­SP) Um projetor está a uma distância de 2 metros de uma parede. A que distância da parede deve  ser colocado o projetor, para que a área de um quadrado projetado aumente 50%?  a)  6  m  b)  2  3  m  c) 3 m  d) 4,5 m  e)  3  2  m  14) (PUC­MG) Para que o volume de um cubo de aresta a seja igual ao volume de uma pirâmide cuja base é  um quadrado de lado a, a altura da pirâmide é:  a) a/3  b) 3/a  c) 3a/4  d) 4a/3  e) 3a  15) (M.Campos) Uma pirâmide de chumbo é mergulhada num tanque cúbico de aresta 1m, cheio d’água até  a borda. Se a base da pirâmide é um triângulo retângulo cujos catetos medem 0,5 m e se sua altura  também é de 0,5 m, então o volume de água derramada foi:  3  a) 1/12 m  3  b) 1/24 m  3  c) 1/36 m  3  d) 1/48 m  3  e) 1/64 m  CILINDRO  1) (Fac. M.Campos­MG) Em um laboratório, um cilindro de vidro com 10 cm de raio contém água até 10 cm  de altura. Um objeto irregular colocado dentro desse cilindro fica totalmente imerso e faz o nível d’água  subir para 18 cm. Considerando p = 3,14, o volume desse objeto é de:  3  a) 3140 cm  3  b) 2512 cm  3  c) 5652 cm  3  d) 2009,6 cm  2) (Univ.  Itaúna ­  MG) Para  se calcular  o volume  de um  sólido, o  mesmo é  colocado em  um recipiente  cilíndrico de 5 cm de raio, que contém água até um certo nível. Se o nível da água subir 1 cm, o volume do  sólido deverá ser de:  3  a) 5p cm  3  b) 10p cm  3  c) 50p cm  3  d) 25p cm  3) (PUC­MG) A região plana, limitada pelo retângulo ABCD, gira em torno do lado AB e gera um cilindro de  volume V  . A mesma região, ao girar em torno do lado BC, gera um outro cilindro de volume V  . Se  1  2  AB = 4 cm e BC = 6 cm, é CORRETO afirmar que:  a) V  = V  1  2  b) 2V  = V  1  2  c) V  = 3V  1  2  d) 2V  = 3V  1  2  e) V  = 2V  1  2  4) (Fund. João Pinheiro­MG) Dois cilindros são obtidos girando­se, sucessivamente, um retângulo ABCD em  torno dos lados AB e BC. O produto dos números que representam a medida dos volumes dos cilindros é  216p2 . Assim sendo, a área do retângulo é igual a:  a) 6  b) 8  c) 10  d) 12  e) 14  7  5) (Fac. Newton Paiva­MG) Um reservatório, em forma de cilindro, cujas dimensões internas são metros  p de raio e 0,018 m de altura, contém vinho até 2/3 de seu volume. A quantidade de vinho, em litros, contida  no reservatório é de:  a) 84  b) 840       c) 8400        d) 12.600  6) (PUC­MG) Enrolando­se um tapete quadrado, obtém­se um sólido que tem a forma de um cilindro circular  2  3  reto, cuja área da base mede 4pdm  e cujo volume mede 120p dm  . A medida da área do tapete, em  metros quadrados, é:  a) 3  b) 4  c) 9  d) 16  e) 25  7) (FMTM­MG) Um cilindro circular reto tem altura igual a 80 cm e o diâmetro da base é igual a 3 m. A respeito  desse cilindro, pode­se afirmar que:  2  2  a) A área de uma seção meridiana é igual a 2,4 m  e a área de uma seção transversal, 9p m  .  2  2  b) A área lateral é igual a 2,4p m  e a área de uma seção transversal, 9p m  .  2  e a área de uma seção meridiana, 2,4 m  .  c) A área lateral é igual a 2,4p m  2  2  d) A área lateral é igual a 4,8p m  e a área de uma seção meridiana, 2,4p m  2.  2  2  e) A área de uma seção meridiana é igual a 2,4p m  e a área de uma seção transversal, 2,25p m  . 6 6  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS 8) (N. Paiva ­ MG) Uma lata cilíndrica de 0,8 m de  12)  (N.Paiva)  A  área  lateral  de  um  cilindro  de  altura e 40 cm de diâmetro contém água até 1/5  revolução  é  metade  da  área  da  base.  Se  o  de sua capacidade. Essa água será despejada  perímetro  de  sua  seção  meridiana  é  18  m,  o  numa outra lata cilíndrica de mesma altura que  volume vale:  a  primeira,  mas  que  tem  20  cm  de  diâmetro.  3  a) 8p m  A altura alcançada pela água na lata menor será,  b) 10p m 3  em cm, de:  c) 12p m 3  a) 16  b) 24  c) 32  d) 64  d) 16p m 3 9) (ESPCEX) Num recipiente em forma de cilindro  3  e) 20p m  circular  reto,  com  raio  da  base  2  cm  e  altura  6  3  cm (dimensões internas) há um volume  13)  (UFMG)  Um  cilindro  circular  reto,  de  ouro  de água de  16 3 p cm  . O maior ângulo a que  3  maciço, tem o raio da base igual a 2 cm e altura  o plano da base do cilindro pode fazer com a  igual a 10 cm. Sendo a densidade do ouro 19  3  g/cm  , a massa total do cilindro, em gramas, é:  horizontal para que a água não derrame ao se  inclinar o cilindro é de, aproximadamente:  a) 950p a) 30°  b) 40°  c) 50°  d) 60°  e) 70°  b) 760p c)  570p d) 380p e) 190p 14) (FMTM) A área total de um cilindro vale 48p m  2  e  a  soma  das  medidas  do  raio  da  base  e  da  3  altura é igual a 8m. Então, em m  , o volume do  sólido é:  Dados (aproximados)  a) 75p tg 30° = 0,58  b) 50p tg 40° = 0,84  c)  45p tg 50° = 1,19  d) 25p10) (CEFET­MG) Na figura, o quadrado de lado a  e) 15p gira em torno de um eixo paralelo ao seu lado e  que dista deste de b unidades. O volume do sólido  15) (PUC­SP) Se triplicarmos o raio da base de um  gerado é dado por:  cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro  fica multiplicado por:  a) pb  (a + b  2 ) a) 3  b) pa  (2  + b  2 a  ) b) 6  c) 9  c) pa  (a + 2  ) 2 b  d) 12  d) pb  (a + 2  ) 2 b  e) 15 e) p(a + b  )11)  (Univ.  Itaúna)  Um  cilindro  circular  reto  tem  o  raio igual a 2 cm, e altura 3 cm. Sua superfície  lateral mede:  2  a) 6p cm  2  b) 9p cm  c) 12p cm 2  d) 15p cm 2  e) 16p cm 2  Matemática ­ M2  6 7 
  • Tecnologia            ITAPECURSOS  CONE  1) (UFMG) Um reservatório de água tem forma de  4) (UFOP­MG) Um triângulo retângulo possui catetos  cone circular reto, de eixo vertical e vértice para  de  comprimento  a  e  b.  Sejam  V  e  V  os  a  b  baixo.  volumes  dos  cones  obtidos  pela  rotação  do  Quando o nível de água atinge a metade da altura  triângulo em torno , respectivamente, dos catetos  do tanque, o volume ocupado é igual a p.  V  a  A capacidade do tanque é:  a e b. O quociente  V  vale:  b  a) 2p d) 6p 8p b)  e) 8p ab a + 1  3  a)  2  2  d)  c) 4p a  + b  b + 1  2) (FCMMG) Observe a figura.  a a  + b 2  2 b)  e)  a + b  pab  b  c)  a  5) (FCMMG) Observe a figura.  Essa taça, cujo interior tem a forma de um cone,  contém  suco  até  a  metade  da  altura  do  cone  interno. Se o volume do cone interno é igual a V,  então o volume do suco nele contido é:  O  cilindro  circular  reto  da  figura  é  obtido  seccionando­se o cone circular reto por um plano  V  V  paralelo à base e a uma distância H/3 desta.  a)  c)  16  4  A razão entre os volumes do cone de altura H e  do cilindro, nesta ordem, é:  a) 9/4  b) 27/4  c) 9  d) 27  V  b)  V  d)  8  2  6)  (UFJF­MG)  O  volume  do  sólido  de  revolução  gerado por um triângulo eqüilátero de lado 2 cm,  3) (FAFEOD – MG) Observe a figura a seguir:  que faz uma rotação de 360° em torno de um de  3  seus lados, é, em cm  :  10p a) 2p c)  e) 6  p 3  8p b)  d) 4  p 3  7) (PUC­MG) A região plana limitada pelo triângulo  ABC faz um giro de 60° em torno da reta AB.  Sendo  AB  =  2AC  =  6  m,  o  volume  do  sólido  3  gerado, em m  , é:  Sendo S a região hachurada, é CORRETO afirmar  que o volume aproximado do sólido gerado pela  a) 3p. rotação  de  S  em  torno  do  eixo  x  é,  em  centímetros cúbicos, igual a:  b) 4p. c)  5p. a) 28,2  c) 56,5  d) 6p. b) 84,8  d) 48,2  e) 7p. 6 8  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS 8) (UFOP) Num cone circular reto de volume V =  11) (UFOP­MG) Um cone circular reto tem por base  3  2  3p cm  e área da base A  = 9p cm  , podemos  uma circunferência de comprimento igual a 6p b  afirmar que o produto do raio pela altura desse  cm e sua altura é 2/3 do diâmetro da base. Posto  2  cone, em cm  , vale:  isso, sua área lateral é:  2  a) 5p cm  2  d) 15p cm  a) 2/3  b) 1  c) 2  d) 9/4  e) 3  2  b) 9p cm  2  e) 36p cm 9) (PUC­MG) Um sólido S é gerado por uma região  c) 12p cm 2  plana limitada por um triângulo retângulo cujos  12) (UFJF) Um cone eqüilátero tem de área da base  catetos medem, respectivamente, 3 m e 4 m,  2  4p cm  . Qual sua área lateral?  que gira em torno do maior cateto, segundo um  2  2  ângulo de 60°. A medida do volume do sólido S,  a) 2p cm  d) 16p cm  2  b) 4p cm  2  e) 32p cm  em metros cúbicos, é:  2  c) 8p cm  p a)  d) 2p. 13) (UFU) A área da base de um cone reto é igual à  2 área  da secção  meridiana.  Se  o raio  da  base  vale R, a altura do cone valerá:  p b)  e) 3p. a) 2pR/3  d) 2pR  3 b) pR/2  e) 3pR/2  c) p c) pR 10) (MACK­SP) No cálice da figura, que tem a forma  14) (UFPA) Qual o volume de um cone circular reto  de um cone reto, colocou­se um volume de água  de diâmetro da base igual a 6 cm e de geratriz  igual a 1/8 do volume do cálice. A altura h da  5 cm?  água é:  3  a) 12p cm  3  d) 48p cm  3  b) 24p cm  3  e) 96p cm  a) 9/2  3  c) 36p cm  b) 3/2  15) (UFLA) O diâmetro da base de um cone circular  c) 9/8  reto mede 12 cm. Se a área da base é 3/8 da  3  área total, o volume desse cone, em cm  , é:  d) 7/8  a) 48p b) 96p c)  144p d) 198p e) 288p e) 5/8  ESFERA 1) (UFJF­MG) Dois cubos de metal de arestas de  3) (PUC­MG) Três bolas metálicas e de mesmo diâmetro,  comprimento  p  e  2p,  respectivamente  em  quando jogadas dentro de um tambor cilíndrico cujo  centímetros, fundem­se para formar uma esfera.  raio mede 24 cm , ficam totalmente submersas e  O comprimento do raio dessa esfera é, em cm:  fazem o nível da água, no interior do tambor, subir  12  cm.  A  medida  do  raio  de  cada  esfera,  em  a) 3p. c)  3  9p 2  centímetros, é:  a) 4  b) 6  c) 8  d) 12  e) 16  3p 2 4) (Fac. Newton Paiva­ MG) Uma fábrica de biscoitos  b)  3  p d)  3 .  2  é contratada para fabricar casquinhas de sorvetes.  4  Como os sorvetes são vendidos na forma esférica,  com 4 cm de diâmetro,  foi proposta à fábrica de 2) (Fac. M. Campos­MG) O volume de uma esfera  biscoitos que:  1. As casquinhas sejam cones ocos, com 4 cm de diâmetro  circunscrita em um cubo de aresta  2  3  m  é:  na  base.  2.  Como  as  casquinhas  devem  comportar  duas  bolas  de  3  sorvete,  o  cone comporte,  no  mínimo,  3/4 do  sorvete,  caso  a)  36p m  este  derreta.  3  b)  32p m  O menor valor da altura permitido para o cone será:  a) igual ao diâmetro.  3  c)  32p 3  m  b) o dobro do diâmetro mais um terço dele.  c) 2 vezes e meia o diâmetro.  3  d)  4p 3  m  d) 3 vezes o diâmetro.  e) o dobro do diâmetro. Matemática ­ M2  6 9 
  • Tecnologia            ITAPECURSOS  5) (UFMG) Dois cones circulares retos de mesma base estão inscritos numa mesma esfera de volume 36p. A  razão entre os volumes desses cones é 2.  A medida do raio da base comum dos cones é:  a) 1  b)  2  c)  3  d) 2  e)  2  2  6)  (UNI­BH)  O  volume  do  sólido  gerado  pela  rotação  completa,  em  torno  da  reta  r,  da  região  entre  as  semicircunferências indicada na figura a seguir é:  32  a) p 3  76  b) p 3  108  c) p 3  4  d) p 3  7) (ITA­SP) Um cone circular reto com altura de  8  cm e raio da base de 2 cm está inscrito numa esfera que,  por sua vez, está inscrita num cilindro. A razão entre as áreas das superfícies totais do cilindro e do cone  é igual a:  a) 3 2  (2 - 1  ) b) 9 ( 4  ) 2  - 1  c) 9 ( 4  ) 6  - 1  d) 27 8  ( 3  - 1 ) e) 27 16  [ ] 3  - 1  8) (UFOP­MG) Um plano intercepta uma superfície esférica segundo uma circunferência de  6 3  cm de  p comprimento. Sendo a distância do centro da esfera ao centro da circunferência igual a 3 cm, o raio da  esfera é:  a) 4 cm  b) 5 cm  c) 6 cm  d) 7 cm  e) 8 cm  9) (UFJF) Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, formada por 12 gomos exatamente iguais.  A superfície total de cada gomo é:  2  a) 2pR  2  b) 4pR  3p 2  c)  R  4  2  d) 3pR  4p 2  e)  R  3  2  10) (Univ. Itaúna) A área da superfície de uma esfera é 16p cm  . Qual o diâmetro da esfera?  a) 1 cm  b) 2 cm  c) 4 cm  d) 6 cm  e) 8 cm 7 0  Matemática ­ M2 
  • Tecnologia              ITAPECURSOS  MATEMÁTICA I Função Exponencial  1) e  2) c  3) a  4) d  5) b  6) e  7) b  8) c  9) a  10) e  11) b  12) d  13) c  14) d  15) a  16) c  17) c  18) c  19) b  20) c Logaritmo  1) d  2) b  3) d  4) a  5) b  6) c  7) a  8) c  9) d  10) b  11) b  12) c  13) d  14) c  15) e  16) d  17) c  18) b  19) e  20) e Polinômios  1) a  2) a  3) a  4) c  5) b  6) a  7) c  8) b  9) d  10) b  11) b  12) a  13) d  14) b  15) d Análise Combinatória  1) b  2) d  3) d  4) d  5) c  6) d  7) a  8) d  9) a  10) c  11) c  12) e  13) a  14) d  15) d  16) b  17) b  18) c  19) e  20) d Binômio de Newton  1) b  2) d  3) d  4) a  5) a  6) d  7) d  8) a Matriz  1) c  2) e  3) b  4) b  5) b  6) b  7) b  8) c  9) a  10) b  11) a  12) b  13) e  14) a  15) c Determinante  1) b  2) a  3) e  4) e  5) d  6) a  7) b  8) a  9) c  10) c Sistemas Lineares  1) e  2) d  3) c  4) a  5) b  6) a  7) e  8) b  9) b  10) c  11) a  12) a  13) d  14) a  15) d P.A e P.G  1) a  2) a  3) a  4) b  5) b  6) b  7) d  8) a  9) e  10) e  11) d  12) c  13) b  14) d  15) e  MATEMÁTICA II Prisma  1) a  2) c  3) b  4) b  5) d  6) e  7) c  8) a  9) d  10) c  11) c  12) e  13) a  14) d  15) a Pirâmide  1) d  2) b  3) d  4) a  5) d  6) b  7) b  8) d  9) b  10) c  11) a  12) c  13) a  14) e  15) d Cilindro  1) b  2) d  3) d  4) a  5) a  6) c  7) c  8) d  9) d  10) c  11) c  12) d  13) b  14) c  15) c Cone  1) e  2) b  3) c  4) c  5) b  6) a  7) a  8) e  9) d  10) a  11) d  12) c  13) c  14) a  15) b Esfera  1) d  2) a  3) d  4) d  5) e  6) b  7) d  8) c  9) e  10) c Matemática ­ M2  7 1 
  • Anotações