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Ap mat em questoes gabarito  001 resolvidos
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Ap mat em questoes gabarito 001 resolvidos

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  • 1. Ilydio Pereira de Sá Geraldo Lins
  • 2. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 2 MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO 1ª PARTE: SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES PARTE I - PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (PA) 1) INTRODUÇÃOObserve as seguintes situações, tiradas de situações do cotidiano ou de diversos ramos daprópria matemática: 1. Vinícius tem, guardados em seu cofrinho, 350 reais. Resolveu, a partir desse momento, fazer uma poupança de forma que colocaria no cofrinho um real no primeiro dia, dois no segundo, três no terceiro...e assim sucessivamente, até o 30º dia. Quanto ele terá em seu cofrinho, passados os 30 dias? 2. A população de uma cidade cresce 2% a cada ano. Se em 1990 a população era de 25 000 habitantes, quantos serão os habitantes dessa cidade, em 2007, mantida a mesma taxa de crescimento anual? 3. Observe a seqüência abaixo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 6 10Esses números são chamados de números triangulares (veja a disposição e aquantidade de pontos de cada termo). Qual será o décimo termo dessa seqüência?Problemas como os que apresentamos acima, que envolvem seqüências especiais,serão facilmente resolvidos com as técnicas que estudaremos no capítulo dasprogressões aritméticas e das progressões geométricas.Quando escrevemos qualquer quantidade de números, um após o outro, temos o quechamamos de seqüências. As seqüências são, freqüentemente, resultado da observação deum determinado fato ou fenômeno.Imagine, por exemplo, que uma pessoa acompanhasse a variação do dólar (compra) nosprimeiros dez dias (úteis) do mês de abril de 2003. Vejamos o resultado de sua pesquisa natabela a seguir: Dia útil Dólar Dia útil Dólar (Abril de 2003) (Compra) (Abril de 2003) (Compra) 1 R$ 3,335 6 R$ 3,164 2 R$ 3,278 7 R$ 3,184 3 R$ 3,255 8 R$ 3,214 4 R$ 3,246 9 R$ 3,213 5 R$ 3,171 10 R$ 3,181
  • 3. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 3Verifique que os valores listados, que possuem uma certa ordenação, constituem umaseqüência. Convenciona-se designar por uma letra minúscula qualquer (normalmente a) aqualquer um dos termos de uma seqüência, usando como índice um número que denota aposição do termo na seqüência. Assim, a notação a1 representa o primeiro termo daseqüência, que no nosso exemplo do dólar é o valor 3,335. A notação a10 representa odécimo termo e assim sucessivamente. Quando desejamos falar sobre um termo qualquer de uma seqüência, escrevemos an.Você pode usar as seqüências para registrar diversas observações, como a produção deuma fábrica em cada mês, o número de telefonemas que você dá por dia, a taxa deinflação mensal etc. No exemplo que mostramos, da variação do dólar, não teríamos comosaber, por exemplo, a sua cotação no dia 15, ou no dia 20, já que a seqüência é variável edepende de diversos fatores não previsíveis.Em nosso curso vamos estudar umas seqüências muito especiais. Por sua regularidade,conhecendo alguns termos, podemos calcular qualquer outro. A primeira delas chama-seProgressão Aritmética. Uma progressão aritmética é uma seqüência na qual, dado umprimeiro termo, obtemos todos os outros acrescentando sempre a mesma quantidade. Porexemplo, vamos partir do número 7 e acrescentar 3, diversas vezes: 7 10 13 16 19 22 ... +3 +3 +3 +3 +3O valor que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte chama-se razão (R).Portanto, nesse exemplo, temos: a1 = 7 e R = 3.Veja agora outros exemplos de progressões aritméticas e suas classificações: 3, 7, 11, 15, 19, 23 ...Temos R = 4. Uma progressão crescente. 9, 7, 5, 3, 1, - 1, - 3, - 5, ...Temos R = - 2. Uma progressão decrescente. 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...Temos R = 0.… uma progressão estacionária.Você já deve ter percebido que é muito fácil sabermos o valor da razão de uma progressãoaritmética. Como a razão é a quantidade que acrescentamos a cada termo para obter oseguinte, podemos dizer que: A razão de uma progressão aritmética é a diferença entrequalquer termo e o anterior, a partir do segundo termo.Assim, retomando os três últimos exemplos, temos:na 1a. progressão:R=7 -3=4R = 11 -7 = 4R = 15 - 11 = 4 etc.na 2a. progressão:R=7-9=-2R = 5 - 7 = - 2 etc.na 3a. progressão:R=4-4=0
  • 4. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 4 2) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.APassemos então a generalizar o que vimos nos exemplos. Considere a seguinte progressãoaritmética (de agora em diante representada por PA) de razão R:a1 a2 a3 a4 a5 a6 .... an +R + R + R + R + R + R ....Suponha que você conhece o primeiro termo (a1), e a razão (R). Como faremos paracalcular qualquer outro termo? Observe as igualdades: a2 = a1+ R a3 = a1 + 2R a4 = a1 + 3R a5 = a1+ 4R ................... a10 = a1 + 9RVemos então que, para calcular um termo qualquer (an) é preciso somar ao 1º termo, (n -1)vezes a razão, ou seja:Fórmula do termo geral: an = a1 + (n - 1).RPara entender bem o que estamos fazendo, imagine que você está no 1º degrau de umaescada e deseja chegar ao 10º. Quantos degraus deve subir? É claro que são 9.Se você está no 1º degrau e deseja chegar ao 25º, quantos deve subir? Deve subir 24,lógico. Então, para chegar ao degrau número n, devemos subir (n -1) degraus.Observe a aplicação dessa fórmula nos exemplos seguintes.EXEMPLO 1: Qual é o trigésimo (30º) termo da progressão aritmética: 10, 17, 24, 31, 38, ...?Solução: A razão da progressão é R = 17 -10 = 7 e o primeiro termo é a1 = 10. Desejamoscalcular o trigésimo termo, ou seja, a30.A partir da fórmula do termo geral: an = a1 + (n - 1)RSubstituindo a letra n por 30, obtemos:a30 = a1 + 29.RDaí, a30 = 10 + 29 . 7a30 = 213Portanto, o trigésimo termo da progressão dada é 213.EXEMPLO 2: Um aluno escreveu todos os números ímpares desde 17 até 63. Quantosnúmeros ele escreveu?Solução: A progressão desse exemplo é a seguinte:17, 19, 21, 23, ..., 63.O primeiro termo é 17, o último termo é 63 e a razão é 2. Escrevemos então: a1 = 17 an = 63 R=2Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, calcularemos n que é o número determos da progressão:an = a1 + (n - 1).R63 = 17 + (n - 1). 263 - 17 = 2n - 246 = 2n - 2
  • 5. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 548 = 2nn = 24A progressão tem, portanto, 24 termos.EXEMPLO 3: Escreva a P.A obtida, quando inserimos 5 números entre 1 e 25?Nesse caso, estamos querendo formar uma P.A, com sete termos, sendo que os extremossão os números 1 e 25. Esse tipo de problema é o que chamamos de INTERPOLAÇÃOARITMÉTICA. É claro que o que falta obter é a razão desta P.A.(1, __, __, __, __, __, 25).an = a1 + (n - 1).R oua7 = a1 + 6. R ou 25 = 1 + 6.R ou ainda 24 = 6. R, o que acarreta R = 4. Logo, a P.Aprocurada é: ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)EXEMPLO 4:Em janeiro, de certo ano, Lídia estava ganhando R$ 270,00 por mês. Seu patrão prometeuaumentar seu salário em R$ 8,00 todos os meses. Quanto Lídia estará ganhando emdezembro do ano seguinte?Solução: Se o salário de Lídia aumenta R$ 8,00 todos os meses, então a seqüência dossalários é uma progressão aritmética de razão igual a 8.Vamos Montar uma tabela, para melhor entender a situação: janeiro _ a1 = 270,00 fevereiro _ a2 = 278,00 ............................................ ............................................ dezembro _ a12 = janeiro _ a13 = ............................................ ............................................ dezembro _ a24 = ? Logo, o que queremos é o valor do 24º termo dessa P.A. Usando a fórmula do termo geral, teremos: a24 = a1 + 23.R a24 = 270 + 23.8 a24 = 270 + 184 a24 = 454 Portanto, com esses pequenos aumentos mensais, Lídia estará ganhando, em dezembro do ano seguinte, R$ 454,00."Há grandes homens que fazem com que todos se sintam pequenos. Mas overdadeiro grande homem é aquele que faz com que todos se sintam grandes." (Gilbert Keith Chesterton, escritor inglês)
  • 6. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 6 3) ALGUMAS PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICASA) Propriedade Fundamental de uma P. ASempre que tivermos três termos consecutivos de uma P. A, o termo do meio será igual àmédia aritmética dos outros dois. x+zAssim, se os termos: x, y, z, forem consecutivos de uma P.A, teremos que y= . Essa 2propriedade decorre da própria definição da P.A, onde as diferenças entre dois termosconsecutivos devem ser iguais. x+zDe fato, se y – x = z – y , isso acarretará que 2y = x + z ou y= . 2EXEMPLO 5: Sabendo-se que ( 2x, 4x – 10, 4x , ...) são os três primeiros termos de umaP.A, obtenha: a) o valor de x b) o valor da razão da P. A c) o valor do 25º termo dessa mesma P. ASolução:De acordo com a propriedade apresentada, como são três termos consecutivos da P. A, 2x + 4xteremos: 4x - 10 = = 3x . Logo, teremos x = 10. (pergunta a). 2b) Se x = 10, então os três primeiros termos da P.A serão (20, 30, 40) e fica fácil perceberque a razão é igual a 10.c) a25 = a1 + 24. R, logo, a25 = 20 + 24. 10 = 20 + 240 = 260.B) Propriedade dos Termos Eqüidistantes.Numa P.A finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dosextremos.Exemplo: 9 + 11 = 7 + 13 = 5 + 15 = 3 + 17 = 20Poderemos fazer a demonstração para o caso geral: (a1, a2, a3... ap, ... aq,.......... an) __ p termos__ __ p termos__Verifique que entre o primeiro termo e o termo ap existem p termos e entre o termo aq otermo an também existem p termos. Por isso esses termos são denominados deeqüidistantes dos extremos. Temos que provar que a soma desses dois termos (ap + aq ) éigual à soma dos dois extremos da P.A (a1+ an).De fato, ap = a1+ (p – 1).r e an= aq + (p – 1).r ...logo:ap – an= a1+ (p – 1).r – (aq + (p – 1).r) = a1+ pr – r – aq – pr + r
  • 7. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 7ap – an= a1 – aq ou então ap + aq= a1 + an o que demonstra a nossa propriedade.C) O Gráfico de uma P.APodemos visualizar os termos de uma progressão aritmética por meio de um gráfico comoeste:Os valores dos termos são representados pelas barras verticais que formam o desenho deuma escada. Nessa escada, a altura de cada degrau é a razão da progressão aritmética.D) Uma outra fórmula (Recorrência)Imagine que você se encontra no 3º andar de uma escada e que deseja atingir o 9º andar.Quantos andares você terá de subir? É claro que a resposta é 6 andares. Isso, emlinguagem matemática pode ser representado por: a9 = a3 + 6 . R.De modo geral, se estamos no degrau de número n e desejamos chegar ao degrau denúmero m, devemos subir (m – n) degraus. No caso da P. A, teremos uma outra maneiramais geral de escrever a fórmula, relacionando dois termos quaisquer e nãoobrigatoriamente como primeiro termos. Ë a seguinte fórmula: am = an + (m – n) . R.Exemplo 6:A mesada de Luciana aumenta todos os anos de um valor constante de reais, combinadocom o seu pai. Sabemos que no 5º ano após o acordo, a mesada estava em R$ 80,00 e queno 8º ano estava em R$ 110,00. Qual era o valor da mesada de Luciana no início desseacordo?Solução: Pelo que vimos na fórmula anterior, poderemos relacionar diretamente os valoresdo 8º e do 5º ano de mesada.a8 = a5 + 3 . RSubstituindo os valores conhecidos, temos:110 = 80 + 3R, logo, teremos que 3. R = 30 ou R= 10.Podemos agora, relacionar um desses termos (o 5º ou o 8º) com o primeiro e determinar ovalor da mesada de Luciana no início do acordo (no primeiro ano de acordo)a5 = a1 + 4 . R ou 80 = a1 + 4.10 ou a1 = 40.Resposta: No início (e durante todo o primeiro ano) a mesada de Luciana era de R$ 40,00.
  • 8. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE 1)1) Uma criança está brincando com palitos de fósforo. Observe o que ela está fazendo.Se ela continuar construindo seguindo o mesmo critério usado até agora, quantosquadrados ela terá construído com 250 palitos?2) Achar três números em P. A e tais que a soma do primeiro com o terceiro seja 12 e o produto do primeiro pelo segundo seja 24.3) Um corpo em queda livre, partindo do repouso, cai 16 m durante o primeiro segundo, 48 m durante o segundo, 80 m durante o terceiro, etc. Calcular a distância que cai no 15o.segundo.4) O perímetro de um triângulo retângulo é 60 m e os seus lados formam uma P. A. Determine a área desse triângulo.5) Qual o primeiro termo de uma P.A, de 49 termos, se o último termo vale 28 e a sua razão é igual a ½?6) Quantos números inteiros existem, entre 84 e 719, e que são múltiplos de 5?7) Quantos números inteiros existem, de 13 até 902, e que NÃO são múltiplos de 3?8) Qual a razão da P.A obtida quando inserimos 4 termos(meios aritméticos) entre 9 e 24?9) (UNESP) Duas pequenas fábricas de calçados A e B têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a sua produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a sua produção em 290 pares por mês, a partir de que mês a produção da fábrica B vai superar a produção da fábrica A?10) Escreva uma P.A (crescente), de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 80.11) Os 3 termos de uma seqüência são proporcionais aos números 3, 5 e 9. Somando 4 ao termo do meio, a nova seqüência formada é uma P.A. Determine a seqüência inicial. 1 5 3 712) Considere a seqüência ( , , , , ...) . Determine seus três próximos termos. 2 8 4 813) Seja uma P.A de 7 termos e razão igual a R. Se retirarmos o segundo, o terceiro, o quinto e o sexto termos, teremos uma outra P.A, de razão ...14) Em uma P.A o primeiro termo é igual a 0,402 e o segundo termo é igual a 0,502. Qual o valor do décimo termo dessa progressão?15) Quantos termos possui uma P.A cujo primeiro termo é igual a 10x – 9y, o último é igual a y e a razão é igual a y – x (sendo y x)?
  • 9. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 9 4) SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
  • 10. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 10O texto anterior, extraído da revista Galileu Especial (Eureca), de abril de 2003, nosmostra de uma forma simples como que o matemático alemão, Gauss, ainda criança,conseguiu de forma genial uma prova para a soma dos termos de uma P.A. É claro que oque está na reportagem não é uma demonstração rigorosa, nem genérica, mas, com auxíliodas propriedades que estudamos anteriormente, podemos aproveitar a idéia de Gauss ededuzirmos tal fórmula. Vejamos:Consideremos a soma S, de todos os termos de uma P.A (finita, é claro).S = a1 + a2 + a3 + ........ + an 2 + an 1 + anÉ claro que tal soma não modificará, como fez Gauss, se a escrevermos em outra ordem.Vamos escrever a mesma soma, de trás para frente:S = an + an 1 + an 2 + ........ + a3 + a2 + a1Se somarmos essas duas expressões, teremos:2S = (a1 +an ) + (a2 + an 1 ) + (a3 + an 2 ) + ........ + (an + a1 )Já vimos anteriormente que todas essas somas, de termos eqüidistantes dos extremos, sãoiguais à soma dos próprios extremos. Logo, a segunda parte da expressão obtida pode sersubstituída por (a1 +an ) + (a1 +an ) + (a1 +an ) + ..... (an + a1 ) = n . (a1+an ) (a1 + an ) . nLogo, chegamos finalmente a, S= que é a fórmula clássica para obtermos 2a soma dos termos de uma progressão aritmética. UMA CURIOSIDADE... (adaptado de Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)Podemos visualizar o que está ocorrendo durante a soma dos termos de uma P.Aassociando à uma progressão aritmética a idéia de uma “escada”. Vejamos essa situaçãopara uma P.A de sete termos.Estamos querendo calcular a soma dos comprimentos de todos esses degraus. Vamos usardo mesmo artifício usado pelo nosso brilhante Gauss.Imaginemos duas dessas “escadas” (uma delas invertida) e acopladas.
  • 11. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 11Observando a figura, constatamos algo que já sabíamos – que as somas a1 + a7 , a2 + a6 ,a3 + a5 , ... são todas iguais. Logo, podemos somar da seguinte forma: (a1 + a 7 ) . 7Dessa forma, temos 2S = (a1 + a 7 ) . 7 ou S = 2Acredito que a “visualização” acima mostrada, bem como a história de Gauss (RevistaGalileu Especial) facilitarão que você se lembre de como proceder para somar todos ostermos de uma progressão aritmética.Exemplo 7: Qual a soma dos 50 primeiros termos de uma P.A na qual a6 + a45 = 160?Solução: Pela fórmula que acabamos de deduzir, sabemos que a soma dos 50 primeiros (a1 + a50 ) . 50termos de uma P.A. é dada por: S = mas, como sabemos que a1 + a50 = a6 2 (160) . 50+ a45 = 160, teremos então: S = = 4000 2Exemplo 8: Ao se efetuar a soma de 50 parcelas em progressão aritmética, 202 + 206 +210 + ..., por distração não foi somada a 35ª parcela. Qual a soma que foi encontrada, porengano?Solução: Observamos que a razão da P.A é igual a 4 e que o primeiro termo é 202. Logo, jápodemos obter os valores da 35ª e da 50ª parcelas, necessárias à solução do problema.Cálculo da 35ª parcela a35 = a1 + 34 . R = 202 + 34 . 4 = 338 (que terá de ser descontada dototal, já que ela foi “esquecida”).Cálculo da 50ª parcela a50 = a1 + 49 . R = 202 + 49 . 4 = 398
  • 12. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 12 (a1 + a50 ) . 50 (202 + 398) . 50Soma das 50 parcelas = S = = = 15000 2 2Soma que foi encontrada, com a falta da 35ª parcela = 15 000 – 338 = 14 662 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E CALCULADORAS (De: Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho) Hoje em dia, todos nós usamos uma máquina simples para facilitar nossos cálculos: a máquina de calcular. Além de realizar as quatro operações (soma, subtração, multiplicação e divisão), a máquina calcula raiz quadrada e tem memória. Vamos ver uma forma interessante e simples de usar a calculadora para facilitar o trabalho com progressões aritméticas.Como exemplo, vamos considerar a progressão aritmética de razão R = 7, começando ema1 = 9. Para visualizar quantos termos você quiser, digite:A primeira vez que você acionar a tecla = a máquina vai mostrar o termo 16 (segundo termoda P.A). Nas outras vezes que você acionar a tecla =, sucessivamente, o visor da máquinamostrará: 23, 30, 37, 44, ...até o termo que você desejar.A máquina de calcular também soma os termos de uma progressão aritmética. Se nãoforem muitos os termos que precisamos somar, o uso da calculadora é bastante eficiente.Vamos mostrar, como exemplo, como obter a soma dos 5 primeiros termos de uma PA, cujoprimeiro termo é 15,86 e cuja razão é 0,17.Para obter os 5 termos, procedemos como no exemplo anterior. Devemos apenas, apóscada termo que aparecer no visor, apertar a tecla M+ . Isto faz com que os termos daprogressão sejam acumulados na memória da calculadora.Depois que você apertar pela quinta vez a tecla M+ , aperte a tecla MR e a soma dos 5termos da progressão aparecer· no visor.O esquema da operação que vamos fazer é o seguinte:Iniciando por 15,86 e usando a razão 0,17, você irá obter o valor 81 para soma dos 5primeiros termos da progressão.
  • 13. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 13 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE 2)1) Calcule a soma de todos os números naturais ímpares de dois algarismos.2) Em uma casa de campo existem, ao longo da cerca, uma torneira e 18 roseiras. A torneira está a 15 m da primeira roseira e o espaço entre as roseiras é de 1 m.O jardineiro tem apenas um balde. Ele enche o balde na torneira, rega a primeira roseira,volta para encher o balde, rega a segunda roseira, e assim por diante. Após regar adécima oitava (18ª) roseira ele retorna para deixar o balde junto à torneira. Qual foi adistância total percorrida pelo jardineiro?3) Sendo x um número real, não nulo, calcule o valor da expressão: 53 50 47 44 x .x .x .x .....x 74) Calcular a soma de todos os termos de uma P.A cujo primeiro termo é 4, o último termo é 46 e a razão é igual ao número de termos.5) Obtenha a soma dos termos de uma P.A crescente, cujos dois primeiros termos são 2 as raízes da equação x – 10x + 24 = 0. O número de termos dessa progressão é o dobro do valor do segundo termo.6) Um ciclista percorre 20 km na primeira hora de prova, em seguida percorre 17 km na segunda hora (ou seja, 37 km em 2 horas) e prossegue sempre dessa forma, percorrendo 3 km a menos nas próximas horas de percurso. Quanto tempo ele levou para percorrer um total de 77 km?7) Obtenha a razão de uma P.A de 11 termos, cuja soma dos termos é 176. Sabemos que esta razão é positiva e que a diferença entre os dois termos extremos é igual a 30.8) Colocando-se 1540 estudantes em fila, com 1 estudante na primeira fila, 2 estudantes na segunda, 3 estudantes na terceira e assim sucessivamente, formamos um triângulo. Quantas filas tem essa formatura?9) (UFRJ) Um painel contêm lâmpadas vermelhas e azuis. No instante inicial (t0 = 0) acendem-se, simultaneamente, uma lâmpada vermelha e 43 azuis. A partir daí, de 2 em 2 segundos, acendem-se as lâmpadas vermelhas e apagam-se as azuis. O número de lâmpadas vermelhas acesas cresce em progressão aritmética de razão igual a 4 e o de azuis decresce em progressão aritmética de razão –3. Em
  • 14. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 14 determinado instante teremos a mesma quantidade de lâmpadas vermelhas e azuis acesas. Quantas lâmpadas de cada cor estarão acesas nesse momento? 10) Para escrever seus contos um escritor procede da seguinte maneira: escreve no primeiro dia de trabalho 20 linhas, e nos dias seguintes, escreve o número de linhas do dia anterior, acrescido de 5 linhas. Seu último conto tem 17 páginas, e em cada página 25 linhas. Calcule em quantos dias esse conto foi escrito. GABARITOS SÉRIE 1 2 01) 83 02) 4, 6, 8 03) 464 m 04) 150 m 05) 180 06) 127 07) 594 08) 3 09) outubro 10) (0, 4, 8) 11) 12, 20, 36 12) 1, 9/8, 5/4 13) 3R 14) 1,302 15) 11 SÉRIE 2 -483 01) 2475 02) 846 m 03) x 04) 175 05) 180 06) 7 h 07) R = 3 08) 55 09) 25 10) 10"Nós geralmente descobrimos o que fazer percebendo aquilo que não devemos fazer. E, provavelmente, aquele que nunca cometeu um erro nunca fez uma descoberta." (Samuel Smiles)
  • 15. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 15 MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO – PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES PARTE II - PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G) 1) INTRODUÇÃOConsideremos agora a seguinte situação: uma mercadoria, que em 1990 custava 100 reais,teve seu preço reajustado nos 4 anos seguintes, sob taxa de 10% ao ano, sobre o preço doano anterior. Vejamos uma tabela representativa desses preços: Ano Preço (R$) 1990 100,00 1991 110,00 1992 121,00 1993 133,10 1994 146,41Se você pegar sua calculadora e dividir os valores de dois termos consecutivos dessaseqüência, vai observar agora que os quocientes dessas divisões serão todos iguais.Vejamos:110 : 100 = 1,10 121 : 110 = 1,10 133,10 : 121 = 1,10 146,41 : 133,10 = 1,10Se lembrarmos que o número decimal 1,10 corresponde a 110/100 ou 110%, constataremosque cada preço está sendo reajustado em 10% sobre o preço do ano anterior.Esse tipo de seqüências, onde cada termo (a partir do segundo) é obtido através damultiplicação do termo anterior por um fator fixo, denominado razão (q), é o que chamamosde Progressão Geométrica (PG) e que estudaremos nesse capítulo.Valem para as progressões geométricas as mesmas notações e convenções que usamospara as progressões aritméticas: a1 para o primeiro termo; an para o termo geral...etc. Aúnica diferença de notação que usaremos é que, neste caso, denotaremos a razão por q enão R, como fizemos anteriormente, pois a razão agora é obtida pela divisão de dois termosconsecutivos da seqüência, e, você sabe que o resultado de uma divisão é denominadoquociente.Vejamos um exemplo inicial, para fixarmos o que já mostramos. Imagine uma progressãogeométrica, de razão igual a 2, começando no número 3. xPerceba que, se fosse uma progressão aritmética, de razão igual a 2, começando no três, ocrescimento seria bem mais lento: 3 5 7 9 11 13 15 17 21 ... +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2Você pode perceber, claramente, a mensagem que existe em frases do tipo: “A produçãode alimentos cresce em progressão aritmética, enquanto a população mundial cresceem progressão geométrica”.Podemos então resumir que uma P.G é uma seqüência onde cada termo, a partir dosegundo, é obtido pelo produto do termo anterior por um fator fixo, denominado razão.
  • 16. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 16Podemos ainda afirmar que: A razão da PG é igual a qualquer termo dividido pelo anterior.Em nosso estudo, por motivos práticos, nos deteremos nas progressões geométricas derazões positivas (que é o que ocorre na grande maioria dos exemplos práticos) e, podemosusar a seguinte classificação para as P.G.Ou seja, se a razão é superior a 1, a progressão geométrica é crescente, se a razão éinferior a 1 (e positiva, como já combinamos), a progressão geométrica é decrescente e sea razão é igual a 1, a progressão é dita estacionária.OBS: É claro que existem progressões geométricas, normalmente teóricas, cuja razãoé negativa. Essas progressões, pelo fato de ter razão negativa, terão seus termosvariando de sinal e são ditas oscilantes. 2) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.GVamos usar um raciocínio semelhante ao que vimos para as progressões aritméticas.Podemos, dessa forma, inferir que a fórmula para o cálculo de um termo qualquer de umaP.G é: n a = a .q 1 ( n 1)FATO CURIOSO: Se você comparar as definições dos dois tipos de progressões queestamos estudando (aritméticas e geométricas), observará que o que na P.A é uma soma,na P.G se transforma em uma multiplicação. O que na P.A é uma multiplicação (ou soma de
  • 17. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 17parcelas iguais), na P.G é uma potenciação (ou multiplicação de fatores iguais). Se lembrartambém que a razão da P.A é indicada por R, enquanto que a da P.G é indicada por q, teráum poderoso artifício para transformar as propriedades e fórmulas obtidas para a P.A, paraas propriedades e fórmulas da P.G.Comparemos as fórmulas dos termos gerais, da P.A e da P.G: Verifique, a fórmula da P.A se transforma na da P.G,P.A an = a1 + R. (n - 1) bastando substituir a soma por produto, a razão R, por q eP.G a n = a 1.q( n 1) o produto por uma potência.Mas, mesmo sabendo essas fórmulas, é muito mais importante do que elas saber que,como numa escada, quantos “saltos” devemos dar para ir de um termo ao outro. Somandosempre um valor fixo, no caso da P.A e multiplicando sempre um valor fixo, no caso da P.G.Cabe ainda ressaltar que, a fórmula da P.G pode ser escrita a partir de um termo inicial quedenotaremos por a0 o que se mostrará bastante vantajoso em diversos exemplos práticosque mostraremos, como na biologia e na matemática financeira. Nesses casos, a fórmulaassumirá o seguinte aspecto:a n = a 0 .qnExemplo 1: (Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)Você poderia (e deve) resolver diretamente essa questão, lembrando que do primeiro termo,ao décimo segundo, teríamos 11 saltos da dar e, como se trata de uma P.G, era sómultiplicar o primeiro termo pela razão elevada ao expoente 11.Exemplo 2:Quantos termos tem a P.G (1, 3, 9, ...2187) ?Solução:Verificando que a razão é igual a 3 e, usando a fórmula do termo geral, teremos: (n – 1) 7a n = a 1.q( n 1) ou ainda 3 = 2187 = 3 . Esse tipo de equação que obtivemos, onde aincógnita se encontra no expoente, chamamos de equação exponencial e, como temos uma
  • 18. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 18igualdade de potências de mesma base, é claro que seus expoentes terão de ser iguais,logo, n – 1 = 7, o que acarreta n = 8.Exemplo 3: (Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)Existem bactérias que se reproduzem de forma extremamente rápida. Um exemplo é abactéria que causa a sífilis (chamada treponema pallidum): cada uma delas se transformaem 8 iguais, no período de 1 hora. Se uma bactéria desse tipo começa a se reproduzir,quantas elas serão 12 horas depois, supondo que nenhuma delas tenha morrido?Solução: A população dessas bactérias forma uma P.G.Momento inicial a1 = 11 hora depois a2 = 82 horas depois a3 = 64..................................Como estamos querendo a quantidade de bactérias 12 horas depois do início, temos queobter o 13º termo dessa progressão geométrica. Logo, aplicando a fórmula do termo geral,teremos: 12 12a13 = a1 . q ou a13 = 1 . 8 = 68 719 476 736 bactérias.Exemplo 4:(ITA) Obtenha os valores de x e y, de modo que a seqüência seja uma P.G (2, x, y, 1458)Solução:Verificamos que o primeiro termo é igual a 2 e que o quarto termo da P.G é igual a 1458.Logo, aplicando a fórmula do termo geral, teremos: 3 3 6 3a n = a 1.q( n 1) ou ainda 1458 = 2.q . Assim, q = 729 = 3 = 9 . 3 3Nesse caso, temos uma equação do tipo q = 9 , o que acarretará que q = 9.Dessa forma, podemos agora completar a progressão:(2 18 162 1458) x9 x9 x9Conclusão: x = 18 e y = 162.
  • 19. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 19 CALCULADORAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (De: Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)Exemplo 5:Sr. Gastão aplicou R$ 1000,00 num investimento que valorizava o seu dinheiro 2% ao mês.Quanto ele vai ter, 4 meses após o início da aplicação?Solução:Esse tipo de situação, da Matemática Comercial e Financeira, é o que denominamosJUROS COMPOSTOS ou JUROS SOBRE JUROS formará sempre uma ProgressãoGeométrica, como vimos no exemplo da introdução, a razão dessa P.G é o quedenominamos FATOR DE CORREÇÃO. Nesse exemplo, o fator de correção será igual a1,02, pois 100% + 2% corresponde a 102% ou 1,02. Logo, teremos de calcular o resultado 4de 1000 . (1,02) . Na calculadora basta fazer 1,02 x 1000 = = = = 1082,43.O que vimos no exemplo acima é um dos grandes usos das progressões em nossavida – a Matemática do Dinheiro. As progressões geométricas podem (e devem) serobservadas como uma seqüência de termos com taxa de variação constante (sejapara aumento ou para redução). 3) ALGUMAS PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICASA) Propriedade Fundamental de uma P. GSempre que tivermos três termos consecutivos de uma P. G (de razão positiva), o termo domeio será igual à média geométrica dos outros dois.Assim, se os termos: x, y, z, forem consecutivos de uma P.G, teremos que y = x.z . Essapropriedade decorre da própria definição da P.G, onde o resultado (quociente) das divisõesentre dois termos consecutivos devem ser iguais.
  • 20. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 20 y zDe fato, se = , isso acarretará que y 2 = x.z ou ainda y = x.z . x yEssa propriedade poderia também ser obtida diretamente da propriedade similar da P.A,bastando fazer as substituições das operações correspondentes.EXEMPLO 6: Sabendo-se que ( x - 2, 2x + 1, 5x + 10 ...) são os três primeiros termos deuma P.G crescente, obtenha: d) o valor de x e) o valor da razão da P. G f) o valor do 6º termo dessa mesma P. GSolução:De acordo com a propriedade apresentada, como são três termos consecutivos da P. G,teremos: 2x + 1 = ( x 2).(5 x + 10) . Dessa forma, (2x + 1) 2 = ( x 2).(5 x + 10) . 2 24x + 4x + 1 = 5x + 10x – 10x – 20 2x – 4x – 21 = 0. Resolvendo essa equação, obteremos os resultados 7 e –3. Como a P.G écrescente, logo, a resposta válida será o valor que gerar uma razão maior do que 1. • vejamos a opção x = 7, teremos a seguinte P.G (5, 15, 45), que atende à condição do problema. • Vejamos agora a opção x = -3, teremos a seguinte P.G (-5, -5, -5)...que não atende ao nosso problema.Logo a resposta da primeira pergunta é x = 7.b) a razão da nossa P. G é q = 3 (15 : 5)c) o sexto termo da P.G será:a 6 = a1.q 5 = 5.3 5 = 1215B) Propriedade dos Termos Eqüidistantes.Numa P.G finita, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produtodos extremos.Exemplo:Considere a P.G (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512)Verifique: 1 . 512 = 2 . 256 = 4 . 128 = 8 . 64 = 16 . 32 = 512.Você pode, mais uma vez, tirar essa propriedade diretamente da propriedade similar da P.A,substituindo a operação de ADIÇÃO, pela de MULTIPLICAÇÃO.C) Gráfico de uma P.GVamos supor, para exemplo, uma P.G cujo primeiro termo fosse igual a 1 e a razão fosseigual a 1,5. Teríamos o seguinte tipo de gráfico:
  • 21. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 21Você deve lembrar que, quando estudamos o gráfico da progressão aritmética, asextremidades dos segmentos verticais obtidos estavam em linha reta. Agora, na progressãogeométrica, essas extremidades estão sobre uma curva, denominada curva exponencial. 4) SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICASeja S = a1 + a 2 + a 3 + ........ + an 2 + an 1 + anVamos multiplicar todos os termos dessa igualdade por q. Teremos então:q.S = a1.q + a2 .q + a3 .q + ........ + an 2 .q + an 1.q + an .q a2 a3 a4 an – 1 anSubtraindo a primeira expressão da segunda, teremos:q.S – S = an . q - a1 e agora, colocando o termo S, em evidência, teremos:S. (q – 1) = an . q - a1 a n .q a1S= q 1A fórmula acima pode assumir um outro aspecto, bastando substituir o an pela respectivaexpressão do termo geral da P.G. A fórmula da soma dos termos da P.G (finita) ficará então: ( qn 1)S = a1. (q 1)
  • 22. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 22Portanto, temos duas expressões distintas para o cálculo da soma dos termos de uma P.Gfinita. A escolha de qual usar em cada situação problema dependerá obviamente dosparâmetros envolvidos em cada caso.Exemplo 7:Obtenha a soma dos 10 primeiros termos da P.G (2, 4, 8, ...)Solução:Para este caso, é melhor usarmos a segunda expressão da fórmula da soma da P.G, poistemos o primeiro termo, o número de termos que queremos somar e a razão (q = 2). ( qn 1) (210 1)S = a1. = 2. = 2.(1024 1) = 2046 (q 1) (2 1)OBSERVAÇÃO:Verifique que, quando numa P.G decrescente, o número de termos cresce indefinidamente(dizemos que n tende ao infinito), a expressão dessa soma (que tenderá a um valor limite)ficará bastante simplificada, pois o termo an tenderá a zero.Verifique o exemplo: (12; 6; 3; 1,5; 0,75; 0,375; 0,1875; 0.09375, ...) observe que quantomaior o número de termos, mais se aproxima de zero o último termo considerado.Logo, a fórmula que estudamos ficará, neste caso, transformada em: a n .q a1 lim S = a1 S= substituindo an por 0, teremos então 1 q q 1 nExemplo 8:Calcular a soma dos termos da P.G (16, 8, 4, 2, 1, ....)Solução:Verificamos que se trata do caso da P.G com razão menor que 1 (q = ½, P.G decrescente).Quando o número de termos tender ao infinito, o último termo tenderá a zero e poderemosaplicar a fórmula anterior, ou seja: a1 16 16lim S = = = = 32 1 q 1 1 1 2 2nExemplo 9 (PUC):Na figura está representado um conjunto infinito de círculos C0, C1, C2, .... Os diâmetros detodos eles estão sobre um segmento de reta de comprimento igual a 1. Além disso, o raio deCn é a metade do raio de Cn – 1 . A área da região hachurada na figura é:
  • 23. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 23Solução:Pela figura, verificamos que a área hachurada é igual à diferença entre a área do maiorsemicírculo (C0 ) e a soma das áreas dos demais semicírculos, a partir do C1. 1 2 . r a) Raio do semicírculo C0 = ½ . Área desse semicírculo = = 4 = 2 2 8 1 . r2 16 = b) Raio do semicírculo C1 = ¼. Área desse semicírculo = = 2 2 32 1 . r2 c) Raio do semicírculo C2 = 1/8. Área desse semicírculo = = 64 = 2 2 128Percebemos que cada área é igual a ¼ da área anterior, logo, essas infinitas áreas formamuma P.G decrescente, de razão igual a ¼. Podemos, mais uma vez, aplicar a fórmula dolimite da soma, quando o número de parcelas tende a infinito. Considerando como primeirotermo a área do semicírculo C1 a1 4lim S = = 32 = 32 = . = 1 q 1 3 32 3 24 1 4 4nFinalmente, a área hachurada pedida, será igual a: = 8 24 12 Dificuldades reais podem ser resolvidas; apenas as imaginárias são insuperáveis." (Theodore N. Vail)
  • 24. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 24 4) A MATEMÁTICA E O DINHEIRO A) OS FATORES DE CORREÇÃOConforme já comentamos anteriormente, o grande uso prático das progressões geométricasestá nas seqüências de taxa de variação constante. Isso ocorre em muitas situações queenvolvem dinheiro, operações bancárias e comerciais.Para que você resolva a maioria dessas questões que, independentemente de estarem ounão nos concursos que realizamos – e estão – achamos fundamental enfocar com maisdetalhes os fatores de correção e a matemática do dinheiro.Muita gente acha que a “Matemática do dinheiro” serve só para pagarmos nossas contas,conferir trocos, coisas desse tipo. Mas não é somente isso, sabemos que o dinheiro, astransações bancárias ou comerciais, estão cada vez mais presentes na vida de todas aspessoas.Se perguntarmos a uma pessoa qual o valor de 100 dólares, mais 100 marcos, mais 100reais, ela provavelmente dirá que primeiramente precisamos converter todos esses valorespara uma mesma moeda, antes de efetuarmos a soma. Analogamente, precisamos tomarcuidado com valores monetários no tempo. Será que 3 parcelas de 100 reais, pagas comintervalos de 30 dias, correspondem a um único pagamento de 300 reais, numa Economiacom inflação?Infelizmente, a maioria dos livros de matemática ignora esta fato, assim como ignoramtambém a inflação. Esse tipo de erro é encontrado tanto em textos para o EnsinoFundamental e para o Ensino Médio.Você deve concordar comigo que, sem a Matemática, não conseguiríamos entender nossoscontracheques, calcular nossos aumentos de salário, identificar os produtos queaumentaram demasiadamente de preço, constatar e criticar as propagandas enganosas,reivindicar nossos direitos trabalhistas, ...Observe a reportagem seguinte:Fonte: Revista Veja – Edição 1755 de 12 de junho de 2002
  • 25. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 25Nossa abordagem inicial será através de um importante “segredo” da “Matemática dodinheiro” – os fatores de correção. Você irá constatar rapidamente que, este conceito, é abase de quase tudo o que se estuda na Matemática Comercial e Financeira e, com o auxíliode uma calculadora simples, você poderá entender e resolver uma grande quantidade deproblemas que estão no nosso cotidiano.Após um estudo detalhado desses fatores de correção, voltaremos à reportagem da revistaVeja, verificando as informações nela contidas.Nossa abordagem será feita de forma contextualizada, através de pequenas histórias queservirão para nos apresentar e familiarizar com essa Matemática inserida nas transaçõesfinanceiras e de comércio. História 1O salário de Maria era, em agosto de 2001, de R$ 320,00 e, após muita luta, recebeu umreajuste de 12% no mês de setembro de 2001. Qual o valor do salário que Maria passou areceber a partir de setembro?Perguntamos a dois professores nossos conhecidos como resolveriam a questão acimaproposta e, obtivemos as seguintes respostas: 12% são 12 centésimos, logo, divido 320 por 100 para achar um centésimo, depois Professora AnaAcho que você concorda comigo que a solução da professora Ana está correta, uma boasolução, vejamos sua solução completa:320 : 100 = 3,203,20 x 12 = 38,40320 + 38,40 = 358,40 12% são 12 centésimos ou 0,12... para saber quanto vale 0,12 de uma quantia, basta Professor JoséA solução do professor José, que também é muito boa, está correta também, certo?Vejamos sua solução completa:0,12 x 320 = 38,40320 + 38,40 = 358,40Verifique que os dois professores souberam aplicar seus conhecimentos para descobrir onovo salário de Maria. O professor José apresentou uma solução um pouco mais rápida, eele conhece um fato importante que dá um significado da multiplicação: ele sabe que, aomultiplicarmos 0,12 por 320,00, o resultado significa quanto vale 0,12 da quantia 320,00, ouseja, quanto vale 12 centésimos de 320,00.Gostaríamos que você acompanhasse conosco uma outra forma de resolver esse problema.
  • 26. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 26Em agosto, a professora Maria recebia 100% do seu salário, certo? Mas em setembropassou a receber 12 % a mais desse valor. No total, acho que você concorda comigo, elavai ficar com 112% desse salário!Para achar 112% = 112/100 ou 1,12 de uma quantia, basta multiplicá-la por esse valor. Façana sua máquina de calcular a multiplicação 1,12 x 320,00 e compare com as respostasencontradas pelos professores José e Ana. Percebeu que obtivemos a mesma resposta? “Refletindo sobre o assunto”Alguns alunos ou professores, que resolvem essa questão como o professor José ou aprofessora Ana, podem achar melhor o modo como pensavam antes e continuar resolvendoos problemas da mesma maneira.Mas quando relacionamos as coisas que já sabemos em Matemática podemos descobrirnovos caminhos, e isso nos leva sempre a compreender mais essa ciência. Veja ainda umavantagem, a última solução é bem mais rápida que as demais. Veja: Salário de 320,00, após receber um aumento de 12%. 1,12 x 320,00 = 358,40 Em Matemática Financeira, dizemos que, nesse caso: • A taxa de aumento percentual do salário foi de 12% • O fator de aumento (ou multiplicador) do salário foi de 1,12. História 2:Durante uma liquidação, na loja “KOBRA KARO”, foi colocado um grande cartaz,anunciando descontos de 15% para todas as mercadorias. Quanto passará a custar umacalça jeans que, antes da promoção, custava R$58,40? GRANDE LIQUIDAÇÃO!!! 15% EM TODAS AS MERCADORIASPoderíamos desenvolver uma solução mais extensa, como a que a professora Ana fez naHistória 1.15% correspondem a 15 centésimos do preço da calça.Um centésimo do preço da calça corresponde a 58,40 : 100, que é igual a 0,584. Quinzecentésimos corresponderão a 15 x 0,584, que é igual a 8,76. Dessa forma, o preço da calçana liquidação será: 58,40 – 8,76 = 49,64Que tal resolvermos da forma mais rápida, como também fizemos na história 1. Verifique oque vai ocorrer se multiplicarmos 58,40 x 0,85?58,40 x 0,85 = 49,64
  • 27. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 27Por que será que agora usamos o número 0,85 para gerar o desconto oferecido pelaloja?Veja que podemos usar um raciocínio parecido com o que fizemos na história 1, ou seja:Preço normal da calça = 100%. Desconto oferecido = 15%. Valor a ser cobrado naliquidação = 100% - 15% = 85%.Como sabemos que 85% correspondem a 85 centésimos ou a 0,85, temos a conclusão quequeríamos, encontrar o preço da calça com 15% de desconto, bastará multiplicar o preçonormal de 58,40 por 0,85.Nesse caso temos: • taxa percentual do desconto foi de 15% • fator de redução (ou multiplicador) para 15% foi 0,85.Os dois fatores (ou multiplicadores) que usamos – o de aumento na história 1 e o deredução na história 2, são denominados FATORES DE CORREÇÃO.Acho que você concorda comigo que todo fator de aumento será um número maior do que 1e todo fator de redução será um número menor do que 1. Por que será? Exemplo 9: Se o jornal anunciar, num determinado mês, que a caderneta de poupança será corrigida pelo fator 1,025, ele estará nos informando que os investidores estarão recebendo que correção percentual sobre o saldo anterior?Solução:Como o fator 1,025 corresponde à taxa percentual de 102,5%, verificamos que a correçãodas cadernetas de poupança foi de 2,5%.Aumentos ou Reduções Sucessivos e As Progressões Geométricas.Você sabe que em nosso dia-a-dia é bastante comum encontrarmos situações de aumentosou reduções sucessivas, como na caderneta de poupança, nas liquidações, nos reajustes deimpostos ou mesmo de salários (menos comum, infelizmente). O que será que ocorre comos fatores de correção nesses casos?Vejamos um exemplo:Uma mercadoria sofreu dois reajustes consecutivos, de 3% e de 4%, respectivamente. Qualo aumento percentual correspondente a essas duas correções?Você poderia usar um recurso, bastante válido, de supor um preço inicial para essamercadoria (normalmente usamos o valor de 100 reais, pois facilita nossos cálculos). Emseguida, aumentar esse preço em 3% e depois em mais 4% sobre a primeira correção.Comparando o preço final com os 100 reais, teremos a variação percentual procurada.Vejamos esse tipo de solução.Preço inicial = 100 reais primeira correção (3%) = 103 reais segunda correção,4% sobre 103 reais, ou seja, 0,04 x 103 = 4,12 reais, logo, o preço final será de 103 reais +4,12 reais = 107,12 reais.
  • 28. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 28Se compararmos o preço final de 107,12 reais, com o preço inicial de 100 reais, temos que oaumento foi de 7,12 reais e, como esse acréscimo é sobre 100 reais, temos também que oaumento percentual foi de 7,12%.Gostaríamos de alertá-lo novamente sobre a agilidade que você pode adquirir, usando paraesse tipo de questões os fatores de correção, como já vimos anteriormente. Vejamos essaoutra possível solução. Vamos chamar o primeiro preço da mercadoria de P. Você já deve estar sabendo que, comum aumento de 3%, usando os fatores de correção, esse preço passará a ser de P x 1,03(certo?). Com o segundo aumento de 4%, o preço passará a ser de P x 1,03 x 1,04 o quecorresponde a P x 1,0712, já que a multiplicação é associativa. Isto vai significar que,independentemente do preço inicial ele está, após os dois aumentos sucessivos, sendomultiplicado pelo fator 1,0712, o que corresponde a uma variação percentual de 7,12%, amesma resposta que achamos na primeira solução comentada.Gostaríamos que você observasse esse importante fato nas transações comerciais e naMatemática Financeira. Aumentos sucessivos (muito comuns em países como o Brasil)geram um aumento acumulado que pode ser obtido através do PRODUTO dos fatores deaumento correspondentes às taxas desses aumentos.Um raciocínio parecido com esse seria feito para o caso de reduções sucessivas de preçosou salários.Reduções sucessivas podem ser também calculadas através do PRODUTO dos fatores deredução correspondentes às taxas dessas reduções.Uma crítica que fazemos à maioria dos livros didáticos do Ensino Fundamental é que elesnormalmente só abordam os chamados juros simples e, nesse caso, daria ao aluno a falsaimpressão de que os dois aumentos desse exemplo gerariam um aumento total de 7%. Talfato só estaria correto se os dois aumentos fossem sobre o valor inicial da mercadoria, ouseja, se eles não fossem acumulativos, ou sucessivos – o que caracteriza uma situaçãodenominada juros compostos.Exemplo 10:Qual a variação percentual acumulada, gerada por dois aumentos sucessivos de 30%?Solução:Aplicando direto o conceito de fatores de correção, teremos: 1,3 x 1,3 = 1,69. Logo houveum aumento acumulado de 69%.Verifique que, se usássemos valores monetários, formando uma seqüência, como se tratade taxa fixa de correção, teríamos uma situação muito particular e já conhecida nossa,vejamos:Supondo um valor inicial de 100 reais.Com um primeiro aumento de 30%, teremos um segundo valor de 100 x 1,3 = 130 reais.Com um segundo aumento de 30%, teremos um terceiro valor de 130 x 1,3 = 169 reais.Logo, temos a seqüência (100, 130, 169), que é uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA derazão igual a 1,3 (ou 1,30) o que corresponde a uma variação percentual fixa de 30% deaumento.O Fato que verificamos acima irá sempre acontecer quando as taxas de variação foremconstantes e aumentos ou reduções sucessivas. Teremos sempre a formação deprogressões geométricas.
  • 29. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 29 História 3:O remédio que o Sr. João toma diariamente, para pressão alta, custava R$ 40,00 no mês deabril de 2001 e passou a custar R$ 48,00. Qual foi o fator de correção e o aumentopercentual correspondente?Você já sabe que ao multiplicarmos o valor inicial pelo fator de correção teremos o valorfinal, no caso o preço do remédio com a correção. Isso também significa que, dividindo ovalor final pelo valor inicial, obtém-se o fator de correção. Valor final: valor inicial = fator de correçãoNo caso narrado na história 3, teremos que o fator de correção será igual a 48,00 : 40,00 =1,225.Espero que, nesse ponto de nosso curso, você já esteja sabendo que esse fatorcorresponde a uma variação percentual de 22,5% (aumento do remédio).Caso não tenha ainda percebido o que aconteceu, vale a pena observar que:Quando multiplicamos o valor inicial por 1,225 (fator de correção) é como tivéssemosmultiplicado por (1 + 0,225). Multiplicar por 1 reproduz o valor inicial e multiplicar por 0,225(ou 22,5 / 100) dará o aumento havido. Que em nosso caso corresponde a 22,5%.Verifique também o importante fato de que os números decimais podem ser transformadosem percentagens por uma multiplicação por 100.Veja:0,225 = 22,5 % (0,225 x 100)0,15 = 15% (0,15 x 100)0,8 = 80% (0,8 x 100)1,32 = 132% (1,32 X 100)2,45 = 245% (2,45 X 100)Podemos resumir o que ocorreu nessa história, quando temos o fator de aumento equeremos obter o percentual de aumento correspondente. Dado um fator de aumento, devemos subtrair 1 dele, para conhecer o aumento havido. Exemplos: Fator de aumento Aumento gerado Percentual de aumento 1,45 1,45 – 1 = 0,45 45% 1,953 1,953 – 1 = 0,953 95,3% 1,065 1,065 – 1 = 0,065 6,5% 2, 86 2,86 – 1 = 1,86 186% História 4:Ritinha, que recebe um salário de R$ 340,00 por mês, verificou em seu contracheque que,após todos os descontos sofridos por ela em um determinado mês, recebeu apenasR$ 299,20. Você saberia determinar o percentual do desconto a que foi submetido o saláriode Ritinha?Você já verificou, na história 3, que existe um modo de obtermos o fator de correção dosalário de Ritinha que, nesse caso, será um fator de redução.Antes de continuar a leitura do comentário dessa história, verifique se você está sabendocomo determinamos o fator de correção.Nesse caso, o fator de redução será igual a 299,20 : 340,00 = 0,88.
  • 30. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 30Qual o percentual de redução do salário de Ritinha, ao ter sido multiplicado por 0,88?Se eu disser que é de 12%, você saberia o porque dessa minha resposta?O fato é que o 0,88 obtido como fator de redução corresponde a uma taxa de 88%. Como osalário de Ritinha sem os descontos, corresponde a 100%, a redução sofrida será adiferença entre 100% e 88%, concorda?Uma outra forma de entender essa resposta, e semelhante a que vimos no fator deaumento, e lembrar que 0,88 é igual a (1 – 0,12) e, se multiplicarmos o salário de Ritinha poresse fator teremos a multiplicação por 1, que recompõe o valor do salário, sem descontos,menos a multiplicação do salário por 0,12, o que representa os descontos ou seja, umpercentual de 0,12 x 100 ou 12 %. Dado um fator de redução, devemos subtraí-lo de 1 para conhecer a redução ou desconto havido.Exemplos: Fator de redução Redução gerada Percentual de redução 0,45 1 – 0,45 = 0,55 55% 0,95 1 – 0,95 = 0,05 5% 0,76 1 – 0,76 = 0,24 24% 0, 86 1 – 0,86 = 0,14 14% História 5:Esta historinha ocorreu (ou melhor, não chegou a ocorrer) na loja do Sr. Manoel, meuvizinho, há muitos anos atrás.Sr. Manoel pretendia usar uma estratégia para tentar movimentar sua loja – aumentaria opreço de tabela de todas as mercadorias em 20% e depois, anunciando uma grandeliquidação, daria descontos de 20% para todos os artigos que vendia. Achava ele que,agindo dessa forma, venderia pelos mesmos preços de antes, com a vantagem de estaranunciando uma liquidação. Antes de continuar a leitura dessa história, qual a sua opiniãosobre a estratégia que ele pretendia usar?Quando ele começou a efetuar os cálculos para compor a tabela fictícia que usaria comoreferência, teve o susto de verificar que não ocorria como havia planejado e que seriaobrigado a vender por um preço inferior ao que cobrava anteriormente. Chamou-me paraperguntar o que estava ocorrendo, onde estava o erro de sua estratégia e, desistiu doartifício após minha explicação. Vejamos o que ocorreu ...Vamos supor que uma mercadoria custasse 100 reais, o Sr. Manoel, para compor a tabela,teria de colocar o preço de 120 reais e quando fosse na tal “liquidação”, teria que dar umdesconto de 20% sobre os 120 reais, que corresponderia a um desconto de 24 reais. Logo,teria de vender a mercadoria por 120 – 24 = 96 reais, gerando para ele uma perda de 4 %.O fato é simples de ser entendido se você lembrar que o aumento inicial e o descontoposterior foram ambos de 20%, só que sobre valores diferentes. Enquanto o aumento foisobre os 100 reais, o desconto teria de ocorrer sobre os 120 reais e, é óbvio que 20% sobre120 é maior que 20% sobre 100.Gostaria de lembrar que essa questão é também um caso de correções sucessivas(aumento, seguido de redução) e, como já vimos anteriormente, podemos usar mais umavez os fatores de correção.
  • 31. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 311,2 representa o fator de correção ou multiplicador para um acréscimo de 20%, certo? E0,80 (ou 0,8) representa o fator de correção para um desconto de 20%.O produto 1,2 por 0,8 (aumento e redução sucessivos) gera um resultado 0,96, que é umfator de redução. Qual o percentual dessa redução (que para o Sr. Manoel seria umaperda)? Acertou se pensou em 4%. (lembra que temos de calcular 1 – 0,96 = 0,04 ou 4%). História 6:Vamos apresentar agora uma história que, provavelmente, você já se deparou com algumfato semelhante em sua vida. Essas situações estão presentes no cotidiano de todas aspessoas. Uma loja anuncia a venda de um aparelho de som, com duas possibilidades de pagamento. A vista por R$ 1500,00 ou com uma entrada de 50% e uma segunda parcela de R$ 900,00, paga 30 dias depois. Quanto está pagando de juros a pessoa que escolher a segunda opção de pagamento?Um aluno meu apresentou a seguinte solução: • Preço a vista = R$ 1500,00 • Preço pago em duas parcelas = R$ 750,00 + R$ 900,00 = R$ 1650,00 • Valor pago a mais (juros) = R$ 1650,00 – R$ 1500,00 = R$ 150,00 • Percentual pago como juros (taxa) = 150 : 1500 = 0,10 = 10%Você concorda com essa solução de meu aluno? Em caso negativo, apresente uma outra ecompare em seguida com o comentário apresentado.Verifique comigo que esta solução (que aparentemente não tem nada de errada) não estácorreta já que, quando o cliente paga a entrada de 50% (R$ 750,00), ele assume uma dívidade R$ 750,00 e é sobre esse valor que nossos cálculos devem ser efetuados (é o quedenominamos de saldo devedor). Logo, os juros cobrados devem ser calculados verificando-se o aumento de R$ 750,00 para R$ 900,00.Devemos determinar o percentual de juros comparando-se os R$ 150,00 cobrados a mais,com R$ 750,00, ou seja, 150 : 750 = 0,20 ou 20%.Se formos usar os fatores de correção, teremos que, neste caso, o fator de aumentocorresponde a 900 : 750 = 1,20.O fator 1,20 corresponde a um acréscimo de 1,20 - 1 = 0,20 = 20%.Verifique que é uma resposta bem diferente da que meu aluno calculou e nós, pordesconhecimento ou falta de atenção, muitas vezes somos levados a calcular erradamenteos juros que estão inseridos nas compras que fazemos. História 7: Vejamos agora um fato interessante e que você talvez se assuste com a sua conclusão. Imaginemos um jogo no qual a pessoa, em cada rodada, se ganhar recebe metade do que possui na ocasião e se perder, perde metade do que tem no momento. Uma pessoa, que entrou com R$ 128,00, fez 6 apostas consecutivas, ganhando 3 e perdendo 3 dessas apostas. O que podemos afirmar sobre esse apostador? A) Que ele ganhou dinheiro.
  • 32. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 32 B) Que ele não ganhou, nem perdeu dinheiro. C) Que ele poderá ganhar, ou perder dinheiro, dependendo da oredem em que ocorrerem as 3 vitórias e as 3 derrotas. D) Que ele perdeu 74 reais, independentemente da ordem em que ocorreram as vitórias e as derrotas.Solução:Antes de mostrarmos a solução a este jogo, vamos tentar uma das hipóteses possíveis,para buscar alguma pista, ou descartar opções de resposta.Vamos supor que o nosso jogador tivesse ganhado as três primeiras rodadas e perdido astrês últimas.A evolução de seu capital seria: 128 192 288 432 216 108 54. Note que ojogador perdeu dinheiro e, como entrou com 128 reais e saiu com 54 reais a sua perda foide 128 – 54 = 74 reais. Com isso já podemos descartar as opções A e B, mas, será que seas vitórias e derrotas ocorressem em outra ordem o resultado seria o mesmo? Vamos suporagora que as vitorias e derrotas se alternassem. Vejamos o que ocorreria...128 192 96 144 72 108 54. Percebemos que chegamos ao mesmoresultado, uma perda de 74 reais. Mas poderia ser uma coincidência...Vamos usar novamente os nossos fatores de correção e tentar uma explicação convincentedeste jogo.Lembre-se que quando um valor aumenta em 50%, ele está sendo multiplicado por 1,5.Lembre também que quando um valor reduz 50%, ele está sendo multiplicado por 0,5. Onosso valor inicial, 128 reais, estará sendo multiplicado três vezes por 1,5 e três vezes por0,5. Como a ordem dos fatores não altera o produto, confirmamos que, independentementeda ordem das vitórias e derrotas, o resultado final será o mesmo. E qual será esseresultado?128 x 1,5x1,5x1,5x0,5x0,5x0,5 = 54Conclusão desse surpreendente jogo. Ele perdeu 74 reais, independentemente da ordemem que se sucederam vitórias e derrotas. (opção D)VOLTANDO À INTRODUÇÃO DO CAPÍTULO.Na página 23, quando começamos a conversar sobre matemática e dinheiro, exibimos umareportagem da revista Veja, de junho de 2002, onde temos que a inflação (naquelemomento) acumulada nos oito anos do plano Real, era de 179%.Baseando-se nessa informação e com a ajuda dos fatores de correção que acabamos deestudar, você poderia agora verificar se todas as informações contidas no texto estãocorretas.Podemos agora resumir, os principais conceitos que aprendemos nas historinhas queapresentamos, com objetivo de apresentar os fatores de correção: Você reparou que: Todo fator de aumento é um número superior a 1? O fator de aumento pode ser obtido pela soma (100% + taxa de aumento percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal? Exemplo: fator de aumento para um acréscimo de 24% = 100% + 24% = 124% = 124 /100 = 1,24. Todo fator de redução é um número inferior a 1?
  • 33. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 33 O fator de redução pode ser obtido pela subtração (100% - taxa de redução percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal? Exemplo: fator de redução para uma perda de 24% = 100% - 24% = 76% = 76 /100 = 0,76. Aumentos ou reduções (ou mistura dos dois) consecutivos, devem ser calculados pelo PRODUTO DOS FATORES DE CORREÇÃO, e não pela soma das taxas a eles correspondentes? B) À VISTA OU A PRAZO?Um dos problemas mais comuns de encontrarmos no nosso dia-a-dia refere-se à decisãode comprar à vista ou a prazo uma determinada mercadoria. Somos sempre tentados pelapropaganda, com promoções do tipo “20% de desconto à vista ou em três vezes semacréscimo”. A decisão melhor decisão dependerá de uma série de fatores, como taxas dejuros, disponibilidade do comprador.Vamos mostrar nessa seção que, mais uma vez, o valor do dinheiro no tempo, os fatores decorreção e as progressões geométricas serão fundamentais para nossa escolha correta.É claro que existirão casos que as opções serão equivalentes, nesses casos, tanto faz umaescolha ou outra. Vejamos um exemplo:Na conseguiu um tipo de investimento que lhe paga juros de 5% ao mês pelo dinheiro queaplicar. Ela entrou numa loja e viu que uma calça jeans pode ser comprada a vista por 80reais ou ser adquirida com um cheque pré-datado, para 30 dias, por 84 reais. Repare que,nesse exemplo apresentado, as duas opções são equivalentes, pois se ela aplicar os 80reais por 30 dias, vai receber de juros 4 reais (5% de 80) o que permitirá exatamente cobriro cheque pré-datado.Portanto, todas as decisões que envolvem compras ou investimentos estão apoiadas no fatodo valor que o dinheiro terá ou teve numa outra data, levando-se em conta a taxa de jurosque incide sobre os valores aplicados (pode ser a da caderneta de poupança, por exemplo).Logo, se a taxa vigente para as aplicações (taxa de atratividade do mercado) for de 3% aomês, 100 reais hoje valerão 103 reais em um mês, valerão 106,09 reais em dois meses 2(multiplicando 100 x (1,03) ), valerão 109,27 reais em três meses (multiplicando 100 x 3 n(1,03) ), e valerão multiplicando 100 x (1,03) daqui a n meses.Verifique que o fato que mostramos nada mais é que a utilização prática da fórmula dosjuros compostos.Podemos assim resumir o que acabamos de mostrar: Um valor monetário M, valerá daqui a n meses, aplicado sob taxa fixa i, ao n mês, M x (1 + i) . (com a taxa i expressa na sua forma decimal) n M VALORIZAÇÃO NO TEMPO M x (1 + i)Analogamente, caso o valor fosse considerado num período anterior, ou seja, n meses ou nperíodos antes, o valor do dinheiro seria igual a M : (1 + i) n M DESVALORIZAÇÃO NO TEMPO M : (1 + i)PODEMOS AFIRMAR QUE NA MATEMÁTICA FINANCEIRA, NO REGIME DE JUROSCOMPOSTOS, TODOS OS PROBLEMAS SE RESOLVEM COM O QUE ACABAMOS DEMOSTRAR. O VALOR DO DINHEIRO NUMA DATA FUTURA FICA MULTIPLICADO POR n n n n(1 + i) (OU F )E NUMA DATA ANTERIOR, FICA DIVIDIDO POR (1 + i) (OU F ).
  • 34. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 34Exemplo 11:Lídia comprou um relógio, com uma taxa de juros de 5% ao mês e a última parcela, de 80reais, teria de ser paga no dia 10 de setembro de 2002. Acontece que Lídia ganhou umdinheirinho extra e está propondo à loja, pagar a sua dívida no dia 10 de agosto de 2002, ouseja, um mês antes da data estipulada. Quanto Lídia terá de pagar?Solução:Como se trata de uma antecipação de pagamento é claro que Lídia pagará um valor menor.Aplicando o que vimos anteriormente, o valor será igual a 80 : (1,05) = 76,19 reais.Exemplo 12:Vinícius tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros mensais de 5%. Dois meses depois,ele pagou R$ 2500,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valordesse último pagamento?Solução:Entendemos que fica mais fácil perceber o que está ocorrendo mostrando um gráfico dasituação – é o que chamamos de fluxo de caixa.5000 Devemos “empurrar” todos os valores para 1 2 3 uma mesma data (por exemplo para o mês 3) 0 e igualar as entradas (empréstimo) com as saídas (pagamentos periódicos). 2500 x 32500 x 1,05 + x = 5000 x (1,05)2625 + x = 5788,13x = 3163,13Resposta: Vinícius deverá pagar uma segunda parcela de R$ 3163,13Exemplo 13:Uma loja oferece uma mercadoria a vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendocobrada pela loja?Solução:Nesse caso está faltando o valor da taxa de juros cobrada, sugerimos chamar a incógnita doproblema de F, que é o nosso fator de correção. Fica mais simples trabalhar com essavariável do que com 1 + i. No final do problema, subtraindo 1 do valor encontrado, teremos ataxa procurada.Vejamos o fluxo de caixa do problema. 400 Sugerimos agora “empurrar” todos os valores 1 2 para a data 2 e igualar as entradas (valoa a vista) com as saídas (prestações). 220 220
  • 35. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 35 2400 . F = 220 . F + 220 2 240 . F = 22 . F + 22 ou 20. F – 11. F – 11 = 0Resolvendo a equação do segundo grau, teremos: 11 ± 121 4.20.( 11) 11 ± 1001 11 ± 31,64F= = 40 40 40 42,64Como só nos serve a resposta positiva, teremos F = 1,067 40Logo, 1 + i = 1,067 ou i = 0,067 ou ainda i = 6,7% EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE 3): 1) Obtenha o sexto termo de uma P.G, de razão positiva, onde o quinto e o sétimo termos valem, respectivamente 9 e 16. 2) Qual o valor da soma dos sete primeiros termos de uma P.G definida por: an = 3n 2 ? 3) A população de um país era de 3 000 000 de pessoas em 1999. Sabe-se que essa população cresceu a uma taxa constante de 2% ao ano. Que população o país atingiu em 2002? 4) Considere a progressão geométrica (100, 80, 64, ...). Qual a razão dessa P.G e a sua representação como uma taxa de variação? 5) Qual o sétimo termo de uma P.G cujo quinto termo vale 5 e o oitavo termo vale 135? 6) Uma bomba de vácuo retira, em cada sucção, 2% do gás existente em certo recipiente. Depois de 6 sucções, quanto restará do gás inicialmente existente? 7) Qual a variação da área de um retângulo cuja base sofre um aumento de 10% e a altura sofre uma redução de 10% do seu valor? 8) A espessura de uma folha de estanho é 0,1 mm. Forma-se uma pilha com essas folhas colocando-se uma folha na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houveram sido colocadas anteriormente. Depois de 33 dessas operações, a altura da pilha será, aproximadamente: a) a altura de um poste de luz. b) A altura de um prédio de 40 andares. c) O comprimento da praia de Copacabana. d) A distância Rio / São Paulo e) O comprimento do equador terrestre. 9) (Escola Naval) Divide-se um segmento de comprimento L em três partes iguais e retira-se a parte do meio. Divide-se, em seguida, cada uma das partes que sobraram em três partes iguais e retira-se a parte do meio. Repetindo-se essa operação uma infinidade de vezes, qual será a soma dos comprimentos retirados?
  • 36. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 3610) (Escola Naval) Ações de certa companhia valorizaram-se 10% ao mês, durante cinco meses consecutivos. Quem investiu nessas ações obteve, durante esses cinco meses, um lucro aproximado igual a: a) 40% b) 50% c) 55% d) 60% e) 70%11) (UFRJ) Certa população de bactérias dobra a cada hora. Num certo dia, às 8 horas da manhã, a população é de 1000 bactérias. A que horas a população será de 512 000 bactérias?12) (AFA) 2 3 A raíz da equação 1 + x + x + x + ... + = 4 é igual a :13) Luciana comprou um aparelho de som em três prestações (30, 60 e 90 dias da data da compra). O aparelho à vista custava R$ 900,00 e as duas primeiras parcelas foram de R$ 400,00. Se a loja está cobrando juros de 6% ao mês, qula será o valor do terceiro pagamento que Luciana terá de fazer?14) Uma loja oferece duas opções de pagamento para as compras. À vista, com 30% de desconto ou em duas parcelas iguais, sendo a primeira paga no ato da compra. Quanto está pagando de juros, em um mês, a pessoa que escolher a opção em dois pagamentos?15) Lídia comprou um relógio, pagando R$ 180,00 um mês após a compra e R$ 200,00 dois meses após a compra. Se foram pagos juros de 12% sobre o saldo devedor, qual era o preço à vista desse relógio? GABARITO (SÉRIE 3) 1093 04) q = 0,8 e 01) 12 02) 03) 3 183 624 05) 45 3 redução de 20%06) 87,38% 07) reduz 1% 08) D 09) L/2 10) D 11) 17 h 12) ¾ 13) R$198,47 14) 150% 15) R$320,15
  • 37. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 37 PARTE III – ANÁLISE COMBINATÓRIA 1) “PARA COMEÇAR A CONVERSA”… O HOMEM QUE SEMPRE GANHAVA NAS CORRIDAS DE CAVALO “Caso verídico narrado pelo professor Manoel H. Botelho à Revista do Professor de Matemática (SBM, nº 18) Inesperadamente, numa terça-feira, chegou-me uma carta. Envelope branco, sem nome doremetente. Dentro, um papel dizia simplesmente: “Sr. Manoel. Sou seu amigo. Sei o cavalo que vai ganhar no quarto páreo do próximo sábado. Será o cavalo nº 3. Atenciosamente, Antônio Silva.” Não sou de jogar, por princípios morais e por achar que, entendendo de Matemática e Teoriadas Probabilidades, o jogo não favorece ao jogador. Nem liguei para a enigmática carta. Quemseria Antônio Silva? Juro, mas juro mesmo, que a única conseqüência da carta foi eu ler, pela primeira vez naminha vida, a seção de turfe no jornal de Domingo. Surpresa! Deu o cavalo nº 3 no quarto páreode sábado. Fiquei surpreso, intrigado. Ao ler os comentários do cronista do jornal, entendi tudo. Ocavalo nº 3 era o segundo principal favorito. Sua chance de ganhar era grande. Assim, até euacerto. A história terminaria por aí se na outra quarta-feira eu não recebesse uma nova cartinha: “Vai dar o cavalo nº 2 no sexto páreo do domingo”. Aquilo agora era um desafio. Corri a ler a seção de turfe no jornal. Aumentando a minhaexpectativa, o comentarista dizia: “No domingo, sexto páreo, o nº 2 não terá chances”. Porcuriosidade, ouvi a transmissão da corrida pelo rádio. Suspense! Ganhou o nº 2. Um misto deangústia e surpresa me assaltou. Como o Antônio Silva podia saber quem ia ganhar? Afinal, onúmero 2 era azarão!Na terça-feira não recebi a nova cartinha, ou seria mais honesto eu dizer, não recebi a tãoesperada cartinha. Chegou a desejada na quarta-feira. Simples e objetiva como sempre. “Sr. Manoel. No domingo, primeiro páreo, vai dar o número 1. Antônio Silva.” Embora eu não estivesse entendendo o porquê de ser eu o privilegiado receptor de tãocerteiros palpites, decidi jogar. A primeira e última vez, prometi eu. Joguei e ganhei. Infelizmente joguei pouco e por isso pouco ganhei. Fiquei revoltado. Se muitotivesse jogado, muito teria ganho. A espera de uma nova cartinha foi em ambiente de alta tensão. E lá veio ela, agora na sexta-feira. Os termos eram algo diferentes:
  • 38. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 38 “Sr. Manoel. Graças a meus conhecimentos, o Sr. teve três indicações certas para jogar. O Sr. deve hoje estar rico com o que ganhou. Tenho o nome do cavalo que vai dar no próximo sábado. Não quero dinheiro. Quero apenas que o Sr. jogue em sociedade comigo. O Sr. trará no mínimo cinqüenta mil reais e apostaremos esse valor no cavalo que eu lhe direi. O Sr. ficará com a metade do valor da aposta e eu, com a outra metade. Amanhã lhe telefono. Seu amigo, Antônio Silva.” O homem era meu amigo, seguramente. A proposta era muito boa. Ele jogaria junto comigo(se bem que com meu dinheiro, destaque-se). Eta homem seguro de seus conhecimentos!Dinheiro ele não queria. Queria apenas os boletos (poules) do jogo. Retirei o dinheiro do banco eesperei o telefonema. Não teria sido melhor ele dar o seu telefone? Não entendi o anonimato.Nem telefone, nem endereço. Só o nome, Antônio Silva. Afinal, por que um amigo permaneceincógnito? Seria modéstia? Ou seria acanhamento desse meu amigo? Sábado de manhã o telefone tocou. Era Antônio. Marcamos o encontro. Sábado, no centroda cidade, em frente ao Centro de Apostas. O meu amigo Antônio me esperaria junto ao poste,segurando um jornal aberto na Seção de Turfe. Encontrei-o na hora certa. Quarentão algo gordo, costeletas compridas, camisa de seda transparente, cordão de ourono pescoço, dente de ouro na boca, relógio de ouro no pulso. Apresentamo-nos e fomos direto aoguichê. Cinqüenta mil reais de aposta, vinte e cinco mil de poules para mim e outro tanto para ele.Junto ao guichê, ele finalmente falou, sussurrando o segredo. “ No quarto páreo, cavalo nº 5.”Antônio era simpático, mas de pouca conversa. Pegou os vinte e cinco mil em poules que lhecabiam e despediu-se (estava com um filho com febre). Desapareceu na multidão. Solitário, fui para casa esperar que desse o cavalo nº 5 no quarto páreo. O locutor do rádiofoi dramaticamente claro na chegada desse páreo: “Os cavalos Príncipe da Alegria (nº 2) e Seta Dourada (nº 6) chegam juntos e cruzam alinha de chegada”. Perdi. Até hoje não sei o porquê. Antônio nunca mais me procurou. Peço aos leitores ajuda para deslindar esse mistério. O mistério de Antônio, o homem quesempre ganhava (ou quase sempre) nas corridas de cavalos. QUAL A SUA OPINIÃO SOBRE O “TRUQUE” USADO PELO SR. ANTÔNIO. O QUE SERÁ QUE ELE FAZIA PARA ENGANAR AS PESSOAS? COMENTÁRIO: O espertalhão do Sr. Antônio pegou uma lista telefônica, selecionou 10 mil pessoas(Manoel entre elas) e dividiu-as em dez grupos, correspondentes aos 10 cavalos quecorreriam um páreo. A cada grupo enviou cartas indicando um dos cavalos comovencedor. Os mil que receberam a indicação certa (obrigatoriamente mil), ele dividiu em 10grupos de 100 e enviou novas dicas de cavalos para outro dia, aí por diante. No final, Antonio sempre ganhava quando dava o bote final.
  • 39. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 39 2) COMBINATÓRIA–PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO (Adaptação do Projeto Educ@ar (USP / SC) e da aula 48 do Tele-curso, da Fundação Roberto Marinho) 2.1) Elementar: O raciocínio combinatórioExemplo inicial: "Os sanduíches da padaria Regênciasão famosos no bairro. O freguês pode escolher entre 3tipos de pão: pão de forma, pão francês ou pão italiano.Para o recheio há 4 opções: salame, queijo, presunto oumortadela. Quantos tipos de sanduíche a padariaoferece?"Quem encontra pela primeira vez esse tipo de problemapode não perceber que se trata de uma situação queenvolve a multiplicação. É comum, nas primeiras tentativas, somar 3 com 4 ou listar deforma desorganizada algumas combinações de pão com recheio.Vejamos como o problema pode ser resolvido. Para todas as combinações possíveis,precisamos pensar de maneira organizada. Isto pode ser conseguido, por exemplo, com aajuda de uma tabela retangular. salame queijo presunto mortadela pão de pão de forma pão de forma pão de forma pão de forma com forma com salame com queijo com presunto mortadela pão pão francês pão francês pão francês com pão francês com francês com salame com queijo presunto mortadela pão pão italiano pão italiano pão italiano com pão italiano com italiano com salame com queijo presunto mortadela Também podemos organizar a solução do problema deste outro modo: Este último esquema, que lembra os galhos de uma árvore (deitada), é conhecidocomo árvore das possibilidades. Tanto com a tabela retangular como com a árvore das possibilidades, podemosobter a solução do problema: contamos os tipos de sanduíche e chegamos a 12 tipos. Oque não se percebe ainda é o que o problema tem a ver com a multiplicação.
  • 40. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 40 Isso pode ser percebido com este raciocínio: para cada um dos tipos de pãotemos 4 tipos de recheio e, portanto, 4 sanduíches diferentes; como são 3 tipos de pão, ossanduíches são 4 + 4 + 4, ou seja, 3 x 4 = 12. Nesse raciocínio, procuramos combinar os tipos de pão com os tipos de recheiopara obter todos os tipos de sanduíche. É um exemplo de raciocínio combinatório, o qualleva á multiplicação. Você pode notar que a árvore de possibilidades é uma espécie de "desenho" doraciocínio que fizemos: de cada um dos seus 3 "galhos" iniciais saem outros 4 "galhos",dando um total de 12. Quando podemos desenhar a árvore de possibilidades ou fazer uma tabela, comono caso do problema dos sanduíches, o problema pode ser resolvido sem a multiplicação.Mas, quando as possibilidades são muitas, a multiplicação facilita os cálculos. Já imaginoudesenhar a árvore se fossem 6 os tipos de pão e 12 os recheios? Vejamos outro problema envolvendo o raciocínio combinatório.• "Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números de trêsalgarismos. Vamos combinar que, num mesmo número, não pode haver repetição dealgarismo. Com outras palavras, cada número deve ter três algarismos diferentes. Quantosnúmeros podem ser escritos nestas condições?" Observe que os números 213 e 312 satisfazem as condições do problema, masos números 311, 413 e 1123 não servem. Para resolver o problema vamos nos imaginarescrevendo um número de três algarismos, obedecendo as restrições mencionadas noproblema. Ao escrever o algarismo das centenas temos 3 possibilidades. Ao escrever o algarismo das dezenas não podemos usar aquele que já foi usadonas centenas. Portanto, para cada uma das maneiras de escolher o dígito das centenastemos duas maneiras de escolher o das dezenas.Ao escrever o algarismo das unidades não podemos repetir nenhum dos dois que já foramusados nas centenas e dezenas. Logo, para cada uma das maneiras de escrever os doisprimeiros algarismos temos uma só escolha para o último dígito.Portanto, nas condições do problema, é possível escrever 3 x 2 x 1 = 6 números: 123, 132,213, 231, 312 e 321.O problema seguinte é parecido com o anterior. Mas há uma diferença entre eles! • "Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números de três algarismos. Vamos combinar que, num mesmo número, pode haver repetição de algarismos. Quantos e quais números podem ser escritos nestas condições?"
  • 41. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 41 Vamos construir a árvore das possibilidades para este problema:Temos 3 possibilidades para escolher o algarismo das centenas. Para cada uma delas, há3 maneiras de escolher o dígito das dezenas. Portanto há 3 x 3 = 9 modos de escolheraqueles dois dígitos. Para cada uma destas 9 maneiras há 3 possibilidades de escolhapara o algarismo das unidades. Portanto, nas condições do problema, é possível escrever3 x 3 x 3 = 27 números. Na árvore das possibilidades podemos ver quais são estesnúmeros. 2.2 ) O princípio fundamental da Contagem (ou multiplicativo)A palavra Matemática, para um adulto ou uma criança, está diretamente relacionada comatividades e técnicas para contagem do número de elementos de algum conjunto. Asprimeiras atividades matemáticas que vivenciamos envolvem sempre a ação de contarobjetos de um conjunto, enumerando seus elementos. As operações de adição e multiplicação são exemplos de técnicas matemáticasutilizadas também para a determinação de uma quantidade. A primeira (adição) reúne oujunta duas ou mais quantidades conhecidas; e a segunda (multiplicação) é normalmenteaprendida como uma forma eficaz de substituir adição de parcelas iguais. A multiplicação também é a base de um raciocínio muito importante emMatemática, chamado princípio multiplicativo. O princípio multiplicativo constitui aferramenta básica para resolver problemas de contagem sem que seja necessárioenumerar seus elementos (como veremos nos exemplos).Os problemas de contagem fazem parte da chamada análise combinatória.EXEMPLO 1:Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usar·, separou 2 saias e 3blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar.
  • 42. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 42solução: O princípio multiplicativo, ilustrado nesse exemplo, também pode ser enunciado daseguinte forma: Se uma decisão d1 pode ser tomada de n maneiras e, em seguida, outradecisão d2 puder ser tomada de m maneiras, o número total de maneiras detornarmos as decisões d1 e d2 será n · m. No exemplo anterior havia duas decisões a serem tomadas:d1: escolher uma dentre as 3 blusasd2: escolher uma dentre as 2 saias Assim, Maria dispõe de 3 · 2 = 6 maneiras de tomar as decisões d1 e d2, ou seja,6 possibilidades diferentes de se vestir.EXEMPLO 2: Um restaurante prepara 4 pratos quentes (frango, peixe, carne assada,salsichão), 2 saladas (verde e russa) e 3 sobremesas (sorvete, romeu e julieta, frutas). Dequantas maneiras diferentes um freguês pode se servir consumindo um prato quente, umasalada e uma sobremesa?Solução: Esse e outros problemas da análise combinatória podem ser representados pelaconhecida árvore de possibilidades ou grafo. Veja como representamos por uma árvore oproblema do cardápio do restaurante. Observe que nesse problema temos três níveis de decisão:
  • 43. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 43d1: escolher um dentre os 4 tipo de pratos quentes.d2: escolher uma dentre as 2 variedades de salada.d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas. Usando o princípio multiplicativo, concluímos que temos 4 · 2 · 3 = 24 maneiras detomarmos as três decisões, ou seja, 24 opções de cardápio. As técnicas da análise combinatória, como o princípio multiplicativo, nos fornecemsoluções gerais para atacar certos tipos de problema. No entanto, esses problemas exigemengenhosidade, criatividade e uma plena compreensão da situação descrita. Portanto, Èpreciso estudar bem o problema, as condições dadas e as possibilidades envolvidas, ouseja, ter perfeita consciência dos dados e da resolução que se busca.EXEMPLO 3: Se o restaurante do exemplo anterior oferecesse dois preços diferentes, sendomais baratas as opções que incluíssem frango ou salsichão com salada verde, de quantasmaneiras você poderia se alimentar pagando menos?Solução: Note que agora temos uma condição sobre as decisões d1 e d2: d1: escolher um dentre 2 pratos quentes (frango ou salsichão). d2: escolher salada verde (apenas uma opção). d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas. Então há 2 · 1 · 3 = 6 maneiras de montar cardápios econômicos. (Verifique oscardápios mais econômicos na árvore de possibilidades do exemplo anterior).EXEMPLO 4:Quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem?Solução: Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens: Como o algarismoda ordem das centenas não pode ser zero, temos então três decisões: d1: escolher o algarismo da centena diferente de zero (9 opções). d2: escolher o algarismo da dezena diferente do que j· foi escolhido para ocupar a centena (9 opções). d3: escolher o algarismo da unidade diferente dos que j· foram utilizados (8 opções).Portanto, o total de números formados ser· 9 · 9 · 8 = 648 números.EXEMPLO 5:De acordo com o exemplo anterior, se desejássemos contar dentre os 648 números de 3algarismos distintos apenas os que são pares (terminados em 0, 2, 4, 6 e 8), comodeveríamos proceder?Solução:
  • 44. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 44 O algarismo das unidades pode ser escolhido de 5 modos (0, 2, 4, 6 e 8). Se ozero foi usado como último algarismo, o primeiro pode ser escolhido de 9 modos (nãopodemos usar o algarismo já empregado na última casa). Se o zero não foi usado comoúltimo algarismo, o primeiro só pode ser escolhido de 8 modos (não podemos usar o zero,nem o algarismo j· empregado na última casa).Para vencer este impasse, temos três alternativas:a) Decompor o problema em casos (que é alternativa mais natural). Contar separadamenteos números que têm zero como último algarismo (unidade = 0) e aqueles cujo últimoalgarismo é diferente de zero (unidade 0). Terminando em zero temos 1 modo de escolher o último algarismo, 9 modos deescolher o primeiro e 8 modos de escolher o do meio (algarismo da dezena), num total de 1· 9 · 8 = 72 números. Terminando em um algarismo diferente de zero temos 4 modos de escolher oúltimo algarismo (2, 4, 6, ou 8), 8 modos de escolher o primeiro algarismo (não podemosusar o zero, nem o algarismo já usado na última casa) e 8 modos de escolher o algarismodo meio (não podemos usar os dois algarismos já empregados nas casas extremas). Logo,temos 4 · 8 · 8 = 256 números terminados em um algarismo diferente de zero. A resposta é,portanto, 72 + 256 = 328 números.b) Ignorar uma das restrições (que é uma alternativa mais sofisticada). Ignorando o fato de zero não poder ocupar a centena, teríamos 5 modos deescolher o último algarismo, 9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o domeio, num total 5 · 8 · 9 = 360 números. Esses 360 números incluem números começadospor zero, que devem ser descontados. Começando em zero temos 1 modo de escolher oprimeiro algarismo (0), 4 modos de escolher o último (2, 4, 6 ou 8) e 8 modos de escolher odo meio (n„o podemos usar os dois algarismos já empregados nas casas extremas), numtotal de 1 · 4 · 8 = 32 números. A resposta é, portanto, 360 - 32 = 328 números.c) Claro que também poderíamos ter resolvido o problema determinando todos os númerosde 3 algarismos distintos (9 · 9 · 8 = 648 números), como é o caso do Exemplo 4, eabatendo os números ímpares de 3 algarismos distintos (5 na última casa, 8 na primeira e8 na segunda), num total de 5 · 8 · 8 = 320 números. Assim, a resposta seria 648 - 320 = 328 números. Fonte: “prof. Augusto César de Oliveira Morgado no livro "Análise Combinatória e Probabilidade" - IMPA/VITAE/1991.EXEMPLO 6As placas de automóveis eram todas formadas por 2 letras (inclusive K, Y e W) seguidaspor 4 algarismos. Hoje em dia, as placas dos carros estão sendo todas trocadas epassaram a ter 3 letras seguidas e 4 algarismos. Quantas placas de cadatipo podemos formar?Solução:No primeiro caso:
  • 45. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 45Como cada letra (L) pode ser escolhida de 26 maneiras e cada algarismo (N) de 10 modosdistintos, a resposta é:26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 = 6 760 000No segundo caso26 · 26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 = 26 · 6 760 000 = = 175 760 000 A nova forma de identificação de automóveis possibilita uma variedade 26 vezesmaior. A diferença é de 169.000.000, ou seja, 169 milhões de placas diferentes a mais doque anteriormente.EXERCÍCIOS PROPOSTOS:Exercício 1.Numa sala há 5 homens e 5 mulheres. De quantos modos é possível selecionar um casalhomem-mulher?Exercício 2.a) Quantos números naturais de 2 algarismos distintos existem?b) Quantos destes números são divisíveis por 5?Exercício 3.Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26letras?Exercício 4.Quantos são os gabaritos possíveis para um teste de 10 questões de múltipla escolha, com5 alternativas por questão?Exercício: 5.Em um grupo existem 7 pessoas, entre elas Roberto e Ana. Quantas são as filas quepodem ser formadas, de modo que Roberto seja sempre o primeiro e Ana seja sempre aúltima de cada fila?Exercício 6:O segredo de um cofre é formado por uma seqüência de 4 números distintos de 2 dígitos(de 00 a 99). Uma pessoa decide tentar abrir o cofre sem saber a formação do segredo(por exemplo: 15 - 26 - 00 - 52). Se essa pessoa levar 1 segundo para experimentar cadacombinação possível, trabalhando ininterruptamente e anotando cada tentativa já feita paranão repeti-la, qual ser· o tempo máximo que poderá levar para abrir o cofre?Exercício 7:a) Quantas são as placas de automóvel que podem ser formadas no atual sistema de emplacamento Brasileiro?b) O Sr.José Carlos Medeiros gostaria de que a placa de seu automóvel tivesse as iniciais do seu nome (na ordem correta do nome). Quantas placas existem nestas condições?
  • 46. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 46Exercício 8:Uma bandeira formada por 7 listras que devem ser coloridas usando-se apenas as coresverde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não podem ser usadas coresiguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?Exercício 9:Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 360? Quantos desses divisores sãopares? Quantos são ímpares? Quantos são quadrados perfeitos?Exercício 10:Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos?Exercício 11:De quantos modos podemos colocar 8 torres iguais em um tabuleiro 8×8, de modo que nãohaja duas torres na mesma linha ou na mesma coluna?Exercício 12:O conjunto A possui 4 elementos, e o conjunto B, 7 elementos. Quantas funções f :A → B existem? Quantas delas são injetivas?Exercício 13:Quantos são os anagramas da palavra PRATO, que começam por uma consoante?Exercício 14:Formando-se todos os números possíveis, de 5 algarismos, permutando-se os dígitos1, 2, 3, 4, 5 e escrevendo-os em ordem crescente, responda:a) Qual será a posição ocupada pelo número 43 251?b) Qual será o valor da soma de todos esses números formados?Exercício 15:Quantas siglas, de 3 letras distintas, podem ser formadas a partir da escolha dentre asletras: A, B, C, D, E, F? DESAFIE O SEU RACIOCÍNIO... 1) PROVÃO – MEC – 1999 A unidade de informação nos computadores digitais é o bit (abreviatura de binary digit, ou seja, dígito binário), que pode estar em dois estados, identificados com os dígitos 0 e 1. Usando uma seqüência de bits, podem ser criados códigos capazes de representar números, caracteres, figuras, etc. O chamado código ASCII, por exemplo, utiliza uma seqüência de 7 bits para armazenar símbolos usados na escrita (letras, sinais de pontuação, algarismos, etc). Com estes 7 bits, quantos símbolos diferentes o código ASCII pode representar? (A) 7! (B) 7 (C) 14 (D) 49 (E) 128
  • 47. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 47 2) PROVÃO – MEC – 1998Os clientes de um banco devem escolher uma senha, formada por 4 algarismos de 0a 9, de tal forma que não haja algarismos repetidos em posições consecutivasassim, a senha “0120” é válida, mas “2114” não é). O número de senhas válidas é:(A) 10.000(B) 9.000(C) 7.361(D) 7.290(E) 8.100 GABARITO – PARTE 1 – PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO 09) a) 24 divisores b) 18 divisores pares 01) 25 Modos c) 4 divisores quadrados 02) A) 81 Números n B) 17 Números 10) 2 subconjuntos 03) 15 600 palavras 11) 8! = 40 320 modos 4 04) 9 765 625 gabaritos 12) a) 7 = 2401 funções b) 840 funções injetivas 05) 120 filas 13) 72 anagramas 06) 94 109 400 s 3 anos 14) 90ª posição 07) 10 000 placas 15) 120 Siglas 08) 192 modos PROVÃO 1: E PROVÃO 2: D
  • 48. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 48 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM1) Na extração da Loteria Federal há um concurso com 80 000 bilhetes, numerados de 00 000 a 79 999. Quantos são esses bilhetes formados por números de algarismos distintos entre si?2) Quantos números, distintos entre si e menores que 30 000, têm exatamente 5 algarismos não repetidos e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}?3) Num acidente automobilístico, após se ouvirem várias testemunhas, concluiu-se que o motorista culpado pelo acidente dirigia o veículo cuja placa era constituída de três vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era, com certeza o dígito 2. Qual a quantidade de veículos suspeitos?4) Dispomos de quatro cores diferentes entre si; todas elas devem ser usadas para pintar as cinco letras da palavra FATEC, cada letra de uma só cor, e de modo que as vogais sejam as únicas letras pintadas com a mesma cor. De quantos modos isso poderá ser feito?5) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão- restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, determinar o número de modos diferentes de montar a composição.6) Os números dos telefones de uma cidade eram constituídos de 6 dígitos. Sabendo- se que o primeiro dígito nessa cidade nunca pode ser o zero, determinar o aumento ocorrido na quantidade de novos números, quando os números telefônicos passaram a ser de 7 dígitos, nessa cidade.7) Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele possa se apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes, determine a quantidade mínima de peças que ele deverá possuir (número de paletós mais o número de calças).8) Se 5 moedas distinguíveis forem lançadas simultaneamente, qual será o número de maneiras distintas delas caírem?9) Considerando os anagramas da palavra ENIGMA, determinar: a) o número total de anagramas. b) O número de anagramas que começam com a letra A c) O número de anagramas que começam por EN. d) O número de anagramas que começam por uma vogal.10) Usando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9, determinar a quantidade de números de 4 algarismos, que podem ser formados com eles, de forma que ao menos dois algarismos sejam iguais.11) Qual a quantidade de números, formados com algarismos distintos, maiores que 50 000 e menores que 90 000, e que são divisíveis por 5?12) Deseja-se dispor em fila 05 crianças: Marcelo, Rogério, Reginaldo, Daniele e Márcia. Calcule o número de maneiras distintas que isso poderá ser feito de modo que Rogério e Márcia fiquem sempre vizinhos.
  • 49. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 4913) Seis pessoas A, B, C, D, E, F ficam de pé, uma ao lado da outra, para uma fotografia. Determinar o número de modos que elas podem se dispor, sabendo-se que A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer sempre uma ao lado da outra.14) Quantos são os múltiplos de três, de quatro algarismos distintos, que podem ser formados com os algarismos: 2, 3, 4, 6 e 9?15) (Essa é para os “FERAS”) Num cursinho especializado em Ciências Exatas há 15 professores; cada um deles se dispõe de uma aula semanal e se ocupa de um tema da Matemática ou da Física ou da Química. Os temas das matérias abordadas são: Matemática: Álgebra, Geometria, Trigonometria, Geometria Analítica e Análise. Física: Mecânica, Termologia, Oscilações, Ótica e Eletricidade. Química: Atomística, Química Geral, Físico-Química, Química Inorgânica e Química Orgânica. No cursinho há três aulas diárias, de segunda a sexta, sendo uma de Matemática, uma de Física e uma de Química. Com os nomes dos 15 professores e seus respectivos temas, quantos são os horários diferentes que podem ser montados para a semana? GABARITO 01) 24 192 bilhetes 06) 8 100 000 números 11) 2352 números 02) 240 números 07) 10 peças 12) 48 modos 03) 30 240 suspeitos 08) 32 modos 13) 144 modos 09) a) 720 b) 120 04) 24 modos 14) 72 números c) 24 d) 360 05) 600 modos 10) 505 números 15) 13 436 928 000 “PARA DESCONTRAIR (COISAS DA SALA DE AULA)” Sinto que há um braço levantado, mas acho que não devo olhar para trás...
  • 50. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 50 II) FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL 1) Definição: Conforme já vimos em alguns problemas estudados anteriormente, em vários casossurgiram produtos do tipo: 5.4.3.2.1 ou 8.7.6.5.4.3.2.1. Para estes casos é interessanteadotar-se alguma notação que simplifique este tipo de produto – surge então a notaçãofatorial. Definimos fatorial de um número natural n 2 como sendo o produto de todos osnúmeros naturais de n até 1 – usamos a notação n !. Logo: n! = n. (n-1).(n-2).(n-3)....3.2.1 n N, n 2 Definimos também, para os casos n = 0 e n = 1, os valores: 1! = 1 e 0! = 1 Exemplos: a) 4! = 4.3.2.1 = 24 b) 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40 320 c) 6! = 6.5.4.3! = 120 3! 3! Observação: consideremos, por exemplo, o número 6!. Verificamos que 6! = 6.5! ou6.5.4! ou 6.5.4.3!. Ou ainda, generalizando, temos que: n! = n. (n-1)! = n.(n-1).(n-2)!. Talartifício de expansão com fatoriais pode ser útil em vários casos, principalmente naresolução de equações com fatoriais. Vejamos um exemplo: Resolva a equação: (n+1)! = 30 (n-1)! Desenvolvendo o numerador, teremos: (n+1).n(n-1)! = 30 ou ainda (n+1).n = 30. (n-1)! 2 Estamos diante da equação quadrática n + n – 30 = 0, cujas raízes são n = 5 oun = -6 (não serve). 2) Função Fatorial Da definição de fatorial é imediato que, dado um número natural n, existe e é único onúmero n!. Dessa forma podemos definir uma função f, de N em R, tal que f(x) = x!. Essafunção é chamada função fatorial, seu domínio de definição é o conjunto dos númerosnaturais. Faça uma construção do gráfico desta função. Ela é contínua? Verificamos que, para todo natural x 1, tem-se: f(x) = x . f(x – 1) Exemplos e questões propostas: 1) Qual o domínio de definição da função definida por f(x) = (x – 3) !? Como sabemos que só está definido fatorial de números naturais, teremos: x – 3 0,ou x 3. Logo, o domínio pedido será o conjunto: D(f) = {x N | x 3}.
  • 51. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 51 2) Resolva a equação: x! = 24. Observe que equações do tipo x! = a, mesmo que a seja um número natural, muitasvezes terá solução vazia, já que a função f(x) = x! não é sobrejetora. No caso proposto,como 24 = 4!, teremos x! = 4!, o que acarreta a solução x = 4. 3) Será a função f(x) = x! uma função injetora? Justifique a sua resposta. 4) Por que os pontos obtidos no gráfico de f(x) = x! não foram “ligados”, formando-se uma curva? 5) Resolva a equação: (n+1)! – n! = 17n (n –1)! 2 6) Determine o domínio de definição da função dada pela sentença: f(x) = (-x + 1)! 7) Verifique se fatorial de um número natural pode ser definido da seguinte maneira: Dado um número n , seu fatorial é o número f(n) = n!, definido por: f(n) = 1, se n = 0 ou f(n) = n.f(n – 1), se n é natural e n 1. 8) Considerando ainda a função definida no exercício anterior, mostre que: 2 F(a + 2) – f(a + 1) = (a + 1). f(a + 1) = (a + 1) . f(a), para todo a natural.3) PROBLEMAS DE CONTAGEM A) PERMUTAÇÕES SIMPLES Dados n objetos distintos: a1, a2, a3, .... an, cada ordenação obtida a partir desses nobjetos é denominada de uma permutação simples (porque todos são distintos) desseselementos. Assim, como vimos anteriormente nos problemas de filas ou de anagramas, porexemplo, temos n modos de escolha para o primeiro lugar, n – 1 modos de escolha para osegundo lugar, ......1 modo de escolha para o último lugar, ou seja: O número de modos de ordenar n objetos distintos é igual a n!. Podemos representaro número de permutações simples de n objetos distintos por Pn. Logo, temos que: Pn = n! Exemplos: 1) Quantos são os anagramas da palavra FLAMENGO: a) Sem quaisquer restrições? - teremos neste caso que determinar o número de permutações simples das 8 letras distintas dessa palavra, ou seja: P8 = 8! = 40320 anagramas.
  • 52. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 52 b) Que comecem por uma vogal e terminem por uma consoante? – teremos nesse caso 3 opções de escolha para a primeira letra da palavra, 5 opções de escolha para a última letra e P6 = 6! = 720 para as demais posições. Logo, aplicando o princípio fundamental da contagem, teremos um total de 3 . 5. 720 = 10 800 anagramas. c) Que tenham sempre juntas as letras A M, em qualquer ordem? Nesse caso, essas duas letras devem ser consideradas como se fossem uma única, acarretando a permutação de 7 elementos – as duas juntas e as 6 letras restantes, ou seja 7! = 5040 anagramas. Mas como a ordem não foi dbefinida, elas poderão também permutar entre si, gerando 2! = 2 variações. Logo, aplicando novamente o princípio fundamental da contagem, teremos um total de 50 040 x 2 = 10 080 anagramas. 2) Roberta, André e Bernardo fazem parte de um grupo de 7 amigos. Obtenha o número de filas que podemos formar com esses 7 amigos, de modo que: a) Roberta, André e Bernardo estejam sempre juntos? Agora, de forma análoga ao que vimos no exemplo anterior, basta que consideremos esses três amigos como se ocupassem uma única posição na fila, teremos assim a permutação de 5 elementos – os três juntos e os 4 restantes, ou seja 5! = 120 filas. Em seguida, como a ordem deles não foi definida, multiplicamos o resultado obtido por 3! = 6, que representa as possíveis variações de posição entre eles. Logo, teremos um total de 120 . 6 = 720 filas nas condições do problema. b) Roberta, André e Bernardo nunca estejam (os três) juntos na fila? Agora basta determinarmos o totas de filas possíveis e subtrair o resultado obtido na pergunta anterior (Por que?), teremos então 7! – 720 = 4320 anagramas. 3) De quantos modos podemos formar uma roda com 5 crianças? Devemos tomar um certo cuidado com esse tipo de problema, pois o resultado não éigual a 5! = 120 rodas, como poderíamos pensar “apressadamente”. Verifique que a rodaABCDE, por exemplo, tem a mesma configuração que a roda EABCD, já que o que importaagora é a posição relativa das crianças entre si. Dessa forma cada roda pode ser virada de5 modos que repetem a mesma configuração. Assim, o número de rodas distintas quepodemos obter será igual a 120 : 5 = 24 rodas. O exemplo acima é o que definimos como sendo permutações circulares de nelementos. Se repetirmos o mesmo raciocínio que usamos no exemplo anterior, teremosque as permutações circulares de n elementos distintos serão iguais a: PCn = n ! = (n –1) ! n 4) Quantos são os anagramas da palavra AMORA? Esse é outro caso que demanda um certo cuidado. A resposta seria 5! = 120anagramas, caso todas as letras fossem distintas. Como temos duas letras A, é claro queuma permutação entre essas duas letras não geraria anagramas novos. Assim sendo cadaanagrama foi contado 2! = 2 vezes (que são as letras repetidas). Logo, o número correto deanagramas é 120 : 2 = 60 anagramas. Problemas como esse é o que denominamos de Permutações com algunselementos repetidos. No caso da palavra amora, indicaríamos por: 2
  • 53. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 53 P5 = 5! = 60 anagramas. 2! Analogamente, podemos generalizar para Pn , , ...= n! . !. !... , , ... representam a quantidade de repetições de cada um dos elementosrepetidos. 5) Quantos são os anagramas da palavra POROROCA? Temos uma aplicação direta da fórmula anterior, ou seja: 3, 2 P8 = 8! = 3 360 anagramas. (o 3 indica as letras O e o 2 indica as letras R). 3! . 2! 6) Essa é para você resolver. Quantos são os anagramas da palavra URUGUAI que começam por vogal? 7) A figura abaixo representa uma seqüência de 6 símbolos. + + + ^ ^ ^ Quantas são as possíveis seqüências distintas que podemos formar com essessímbolos? Perceba agora que estamos diante de permutações com alguns elementos repetidos,no caso, temos: 3, 3 P6 = 6! = 20 seqüências 3!.3! B) ARRANJOS SIMPLES Dados n objetos distintos: a1, a2, a3, .... an, cada ordenação de p objetos (p<n) obtidaa partir desses n objetos recebe a denominação de arranjo simples de n elementos, na taxap ou arranjo de n, p a p (A n,p ). Você pode verificar que um arranjo simples é, de certa forma, similar a umapermutação simples, sendo que em cada grupamento formado usamos apenas p elementos,dos n distintos disponíveis.Exemplo1: Consideremos o conjunto A formado pelas cinco vogais. Os arranjos de trêselementos tomados de A podem ser representados da seguinte maneira: aei aeo aeu aie aio aiu aoe aoi aou aue aui auo eai eao eau eia eio eiu eoa eoi eou eua eui euo iae iao iau iea ieo ieu ioa ioe iou iua iue iuo oae oai oau oea oei oeu oia oie oiu oua oue oui uae uai uao uea uei ueo uia uie uio uoa uoe uoi
  • 54. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 54 Observe que, para ocupar o lugar da primeira vogal, temos 5 possibilidades; por issoescrevemos 5 linhas na horizontal. A segunda vogal pode ser escolhida entre as 4 restantes;portanto, separamos quatro grupos em colunas verticais. Por fim, para a terceira vogal,podemos escolher qualquer uma das três restantes. Indicando o número dos arranjos das 5vogais tomadas 3 a 3 por A 5,3 no total, teremos: A 5,3 = 5 X 4 X 3 = 60Este resultado confirma o que já fazíamos com o princípio fundamental da contagem(princípio multiplicativo). Entendemos por arranjo os modos que podemos posicionar os objetos em grupo.Uma alteração na ordem determinará um novo agrupamento.Exemplo 2: Quantas siglas, de três letras distintas, podem ser formadas a partir das letras:A, B, C, D, E, F e G? Observe que você poderia resolver esse problema usando o princípio fundamentalda contagem (multiplicativo), e teria: 7 escolhas para a primeira letra da sigla, 6 escolhas para a segunda (já que sãoletras distintas) e 5 possibilidades de escolha para a terceira letra da sigla. Pelo princípiofundamental da contagem, teríamos: 7. 6. 5 = 210 siglas. Observe que as siglas fossem com todas as 7 letras, teríamos um caso depermutações simples e o resultado seria 7!. Note que o resultado obtido no primeiro caso(arranjos simples), se for multiplicado por 4!, passará a dar como resultado o segundo caso(permutações simples). Logo, podemos inferir que (A n,p ). (n – p)! = Pn. Ou seja: A n,p = n! . (n – p)!Exemplo 3: Dez cavalos disputam um páreo no Jockei Clube. Quantos são os possíveistrios para as três primeiras colocações nesta corrida? Solução: Trata-se de um caso de arranjos simples, de 10 elementos, na taxa 3, ou arranjos de10, 3 a 3. Pelo que mostramos anteriormente, teremos: A 10,3 = 10! = 10.9.8 = 720 possíveis trios de resultados. 7!EXERCÍCIOS: 1) Será que no número de arranjos simples de n elementos distintos, na taxa n, igual ao número de permutações simples, desses mesmos n elementos? Justifique a sua resposta.
  • 55. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 55 2) De um total de 11 romances e 3 dicionários devem-se tirar 4 romances e 1 dicionário que serão arrumados numa prateleira de tal modo que o dicionário fique sempre no meio. De quantos modos isso poderá ser feito? 3) 1 mulher e 5 homens devem sentar-se num banco que possui 5 lugares. De quantas formas isso poderá ser feito se a mulher deve sempre estar sentada em algum lugar? 4) Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9? 5) Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo? GABARITO1) Sim, pois A n,n = n! = n ! 0!2) 23 760 modos3) 600 modos4) 4 536 números5) 720 tentativas ARRANJOS COM REPETIÇÃOSeja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos nesteconjunto em uma ordem determinada (repetidos ou não). Cada uma de tais escolhas édenominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece queexistem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total dearranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por: AR m, p = mpExemplos: a) Quantas são as siglas de três letras, escolhidas a partir das letras: A, B, C, D, E, F? 3 Como dispomos de 6 letras, para escolher 3, teremos AR 6, 3 = 6 = 216 siglas. b) De quantas maneiras diferentes podemos responder a uma prova de múltipla- escolha, com 20 questões de 5 opções cada uma? Como temos 5 opções de escolha, para cada uma das 20 questões, teremos neste caso 20 AR 5, 20 = 5 c) Quantas são as formas distintas de se preencher um volante da loteria esportiva, somente com palpites simples, sabendo-se que são 13 jogos e 3 opções de escolha para cada um?
  • 56. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 56 13 Agora temos 3 opções de escolha, para cada um dos 13 jogos, logo AR 3, 13 = 3 d) A senha de acesso a um jogo de computador consiste em quatro caracteres alfabéticos ou numéricos, sendo o primeiro necessariamente alfabético. Qual o número de senhas possíveis? Como o primeiro caractere da senha é obrigatoriamente uma letra, teremos 26 opções de escolha. Para cada um dos três seguintes, teremos 36 opções de escolha (26 letras + 3 10 algarismos), Logo, a resposta é: 26 x AR 36, 3 = 26 x 36 C) COMBINAÇÕES SIMPLESDado um conjunto qualquer, com n elementos distintos, denominamos uma combinaçãosimples com p elementos distintos, desses n disponíveis, a qualquer subconjunto com pelementos, do conjunto dado. Indicamos essas combinações, de n elementos na taxa p, por nC n ,p , C p ou n (forma binomial) pObserve que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, nãoimportando a ordem em que os elementos são colocados.Exemplo:No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar: a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd. b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd. c) combinações de taxa 4: abcd.Observe que enquanto dois arranjos podem se distinguir pela ordem ou pela naturezade seus elementos, duas combinações só se distinguem pela natureza de seuselementos.Contagem do Número de CombinaçõesConsideremos o conjunto A = {a, b, c, d}. Vimos que as combinações três a três que sepodem formar com os quatro elementos de B são: abc, abd, acd, bcd. Permutando de todasas formas possíveis os três elementos de cada combinação, obtemos os arranjos simples dequatro elementos três a três, como indica o quadro: abc abd acd bcd abc abd acd bcd acb adb adc bdc bac bad cda cdb bca bda cad cbd cab dab dac dbc cba dba dca dcb
  • 57. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 57Cada combinação gera, como vemos, 3! = 6 arranjos. Portanto, as quatro combinaçõesgeram 4 x 6 = 24 arranjos. Nesta igualdade, 4 é o número de combinações e24 é o número de arranjos.Indicando por C 4,3 o número de combinações de 4 elementos 3 a 3, vale, portanto, arelação: A 4,3 C 4,3 x3! = A 4,3 ou C 4,3 = 3!Usando esse mesmo raciocínio, poderemos generalizar que: A n,p n! C n,p = = p! (n - p)!.p!Exemplo a: Sete pontos pertencem a um círculo. Quantos triângulos são definidos poresses pontos?Solução: Vejamos um dos possíveis triângulos – triângulo AFB - Se trocarmos a ordem deseus vértices, considerando por exemplo o triângulo FBA, notamos que trata-se do mesmotriângulo, logo é um problema de combinações simples. 7! 7.6.5.4!Teremos então C7,3 = = = 35 triângulos 4!.3! 4!.6Exemplo b: Quantos grupos de três pessoas podem ser selecionados de um conjunto deoito pessoas ?Solução: Também nesse caso, em qualquer grupo de três pessoas que formarmos, a ordemdas pessoas não influenciará na formação do mesmo, também teremos um caso de 8! 8.7.6.5!combinações simples. Ou seja, C 8,3 = = = 56 grupos 5!.3! 5!.6Exemplo c: Num plano, marcam-se doze pontos dos quais seis estão em linha reta.Quantos triângulos podem ser formados unindo-se três quaisquer desses doze pontos?Solução: É uma questão semelhante a do exemplo a, também de combinações simples,sendo que, pelo fato de termos seis pontos alinhados, as combinações desses seis pontos,três a três, não definirão triângulos. Sendo assim, poderemos calcular o total decombinações desses 12 pontos, três a três e subtrair as que não formam triângulos, ou sejaa combinação dos 6 pontos alinhados, três a três. Assim sendo, a quantidade de triângulosque poderão ser formados com os 12 pontos será: 12! 6! 12.11.10.9! 6.5.4.3! C12,3 C 6,3 = - = = 220 20 = 200 triângulos 9!.3! 3!.3! 9!. 3! 3!. 3!Exemplo d: Qual o número de diagonais de um polígono convexo de n lados ?Solução: Ainda nesse caso, temos combinações simples, já que a diagonal AB, porexemplo, é a mesma da diagonal BA. Verifique também que teremos que fazer umasubtração, já que unindo-se, dois a dois, os vértices de um polígono convexo, poderemos terdiagonais ou lados desse polígono. Como queremos obter a quantidade de diagonais,vamos calcular o total de segmentos possíveis e subtrair a quantidade de lados. Logo,teremos:
  • 58. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 58Solução: n! n.(n - 1).(n - 2)! n.(n 1) n2 n 2n n.(n 3)Cn,2 n= -n= n= n= = diagonais (n 2)!.2! (n 2)!.2! 2 2 2OBS: VERIFIQUE QUE OBTIVEMOS EXATAMENTE A VELHA FÓRMULA QUEENSINAMOS NA 7ª SÉRIE DO FUNDAMENTAL, PARA O CÁLCULO DA QUANTIDADEDE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO CONVEXO.Exemplo e: Uma urna contém 12 bolas das quais 7 são vermelhas e 5 são brancas.De quantos modos podem ser tiradas 6 bolas das quais 2 são brancas?Solução: Estamos novamente diante de um caso de combinações simples (verifique) e,como queremos retirar 6 bolas, sendo 2 brancas, é lógico que as outras 4 deverão servermelhas.Teremos então que retirar 4, das 7 vermelhas disponíveis e retirar 2 das 5 brancasdisponíveis. Como são fatos simultâneos, os dois resultados deverão ser multiplicados(princípio fundamental da contagem). 7! 5!C 7,4 x C 5,2 = x = 35 x 10 = 350 modos. 3!.4! 3!. 2!EXERCÍCIOS PROPOSTOS (COMBINAÇÕES SIMPLES): 1) De um grupo de 7 professores e 10 alunos quantas comissões compostas de 2 professores e 4 alunos é possível formar? 2) Tomando-se 8 pontos sobre uma circunferência, quantos segmentos de reta, com extremidades nestes pontos, ficam determinados? 3) Numa assembléia de quarenta cientistas, oito são físicos. Quantas comissões de cinco membros podem ser formadas incluindo no mínimo um físico? 4) Propriedades: Mostre que: a ) C n,0 = 1 b) C n,n = 1 c) C n,p = C n, n - p 5) Seis homens e três mulheres inscreveram-se para trabalhar com menores carentes num projeto da prefeitura local, mas serão escolhidos apenas 5 participantes. De quantas formas podemos escolher a equipe de modo que haja sempre, pelo menos uma mulher? 6) Quantas partidas foram disputadas em um campeonato de futebol, disputado em um só turno (isto é, dois times se enfrentaram uma única vez), do qual participam 16 times? 7) Uma equipe de inspeção tem um chefe, escolhido entre 4 engenheiros e 10 técnicos, escolhidos entre 15 outros profissionais. De quantas maneiras pode ser composta essa equipe? 8) Qual o número de subconjuntos com 2, 3 ou 4 elementos que tem um conjunto de 9 elementos?
  • 59. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 59 9) É dado um conjunto E, de 10 elementos. Quantos subconjuntos de E não são conjuntos de 4 elementos? 10) Duas retas r e s são paralelas. Existem 4 pontos marcados sobre r e outros 5 pontos, marcados sobre s. Quantos são os triângulos que podem ser construídos unindo-se 3 desses 9 pontos? 11) Com 7 cardiologistas e 6 neurologistas que trabalham num hospital, quer-se formar uma junta médica de 5 elementos. Quantas juntas podem ser formadas se devem sempre participar 3 cardiologistas e 2 neurologistas? 12) De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um grupo de 7 homens e 4 mulheres? 13) Quantas saladas, contendo exatamente 4 frutas podemos formar se dispomos de 10 frutas diferentes? GABARITO 04) Aplicação direta01) 4410 02) 28 03) 456 632 da fórmula, 05) 120 lembrando que 0! = 106) 120 07) 12012 08) 246 09) 814 10) 7011) 525 12) 371 13) 210 3) COMPLEMENTOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA A) OS LEMAS DE KAPLANSKYVocê vai estudar agora uma ferramenta importante do cálculo combinatório e que nãocostuma estar presente na maioria dos textos sobre o assunto.Observe as seguintes questões... • 3 Provas de um concurso devem ser realizadas na primeira semana do ano. De quantos modos é possível escolher os dias de provas, de modo que não haja provas em dias consecutivos? • Dado um icoságono, quantos são os triângulos que podem ser construídos, a partir de vértices não consecutivos desse icoságono? • Quantos são os anagramas da palavra araraquara que não possuem duas letras a consecutivas?VOCÊ CONSEGUE PERCEBER AS SEMELHANÇAS EXISTENTES NAS TRÊSQUESTÕES PROPOSTAS ACIMA?Existem dois teoremas (Lemas de Kaplansky) que enunciaremos a seguir e que nospermitirão resolver questões semelhantes a que estão propostas.Lema 1)De quantos modos é possível formar um p-subconjunto (isto é um subconjunto com pelementos), a partir do conjunto {1, 2, 3, ...,n}, no qual não haja números consecutivos?
  • 60. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 60Por exemplo, se o conjunto fosse {1, 2, 3, 4, 5, 6}, teríamos 4 opções de formarmos 3-subconjuntos onde não existiriam números consecutivos. Seriam os seguintes subconjuntos: {1, 3, 5} {1, 3, 6} {1, 4, 6} {2, 4, 6}É lógico que este processo de enumeração é exaustivo e nada prático, então, vamosdemonstrar que o número de p-subconjuntos, sem que hajam elementos consecutivos, apartir do conjunto {1, 2, 3, ...,n} é: f ( n, p ) = C n p + 1, pPara facilitar o entendimento da fórmula, vamos usar a notação para os elementos quefarão parte do p-subconjunto e a notação para os que não farão parte dele.Para o exemplo dado, com um conjunto de 6 elementos e subconjuntos de 3 elementos,teríamos 3 símbolos e 3 símbolos e que, em cada subconjunto não poderiam estarseguidos.Para o subconjunto {1, 3, 5}, a simbologia respectiva seria:Devemos perceber que, para 6 elementos, ficam definidos 7 posições possíveis (n + 1),fixando os 3 lugares que seriam preenchidos pelos elementos que não farão parte do 3-subconjunto, sobrariam 4 posições (n – p +1) para serem escolhidas 3 para serempreenchidas pelos que farão parte do p-subconjunto.Note que, se temos 3 elementos que não vão participar do p-subconjunto, temos 3 + 1(n – p +1) posições para serem ocupadas pelos outros 3 elementos, que farão parte dosubconjunto. Logo, em nosso exemplo, temos uma única posição para os não participantes( ) e C4,3 para os participantes ( ) do 3-subconjunto.Então, generalizando, teremos a fórmula apresentada: f ( n, p ) = C n p + 1, pEntão, o enunciado do Lema 1 é: O número de p-subconjuntos de {1, 2, 3, ....,,n} nosquais não há números consecutivos é: f ( n, p ) = C n p + 1, pAPLICAÇÕES:1) As três provas de um vestibular devem ser realizadas na primeira semana do ano. De quantos modos é possível escolher os dias das provas, de modo que não haja provas em dias consecutivos? Solução:O que se deseja é a quantidade de 3-subconjuntos, a partir de um conjunto de 7 elementos(os dias da semana) e de forma que não existam elementos consecutivos.É uma aplicação imediata do 1º Lema de Kaplansky, e, aplicando a fórmula demonstrada,teremos: f (7, 3) = C 5 , 3 = 102) Uma fila de cinema tem 15 cadeiras e devem sentar-se 15 alunos de um Colégio. De quantos modos isso poderá ser feito, sabendo que os 5 rapazes do grupo não desejam estar em cadeiras contíguas? Solução:Em primeiro lugar, devemos aferir os modos de escolha das 5 cadeiras, sem que existamcadeiras consecutivas para esses rapazes. De acordo com o 1º Lema de Kaplansky,
  • 61. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 61teremos: f (15, 5) = C11 , 5 = 462 . Escolhidas as 5 cadeiras a serem ocupadas pelosrapazes, devemos designar um homem para cada uma delas, e isso poderá ser feito de 5!modos distintos. Logo, a resposta final do problema será: 462 . 5! = 55 440 modos distintos.3) Quantos são os anagramas da palavra MISSISSIPI nos quais não há duas letras S consecutivas? Solução:Essas letras deverão ocupar uma das casas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . Devemosagora escolher 4 casas sem que haja casas consecutivas para colocar as letras S, o quepode ser feito de f(10,4) (Lema 1) = C10 4+1, 4 = C7, 4 = 35 modos . Em seguida, devemosarrumar as 6 letras restantes (4 I, 1 M e 1 P) nas 6 casas restantes, o que é um caso de 6!permutações com elementos repetidos P6 = 4 = 30 modos. Logo, o número de 4!anagramas pedido será igual a 35 x 30 = 1050 anagramas.Lema 2) O número de p-subconjuntos de {1, 2, 3, ... n} nos quais não há númerosconsecutivos, considerando que 1 e n são consecutivos é: n f 2 ( n, p ) = Cn p, p n pPara esse segundo caso, fica mais fácil imaginar que os n elementos do conjunto estejamarrumados em círculo, como na figura abaixo (1 e n serão consecutivos) 1 n 2 n-1 3 ...Faremos a demonstração do segundo lema, considerando o número total de p-subconjuntosonde figure o 1, somados com o número de p-subconjuntos onde não figure o 1.Caso A) Número de subconjuntos que incluem o 1 – Devemos neste caso, escolher p – 1elementos no conjunto {3, 4, 5, ....., n – 1}, pois, se o 1 entra, não entrarão o 2 nem o n, paraserem companheiros do 1, em cada subconjunto, sem que hajam elementos consecutivos.Aplicando o Lema 1, teremos: f (n 3, p - 1) = C n 3 ( p 1) +1 , p -1 = Cn p 1, p 1Caso B) Número de subconjuntos nos quais o elemento 1 não figura. Para formá-losdevemos escolher p elementos em {2, 3, 4, ...., n}, não podendo ser escolhidos elementosconsecutivos. Aplicando novamente o Lema 1, teremos: f (n 1, p) = C n 1 p +1 , p = Cn p, pLogo, o resultado procurado será a soma das duas respostas obtidas (confirme!), que nosremete à fórmula do Lema 2: n f 2 ( n, p) = Cn p, p n pAPLICAÇÃO:
  • 62. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 621) Ana deve ter aula de tênis três vezes por semana, durante um semestre. Quantos são os modos de escolher os dias de aula, se Ana não deseja ter aulas em dias consecutivos? Solução:Ana deve escolher 3 dos elementos do conjunto {domingo, segunda-feira, terça-feira,quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado}, não podendo escolher dois dias consecutivose sendo domingo e sábado dias consecutivos.De acordo com o Lema 2, teremos o seguinte número de modos: 7 7 f 2 ( 7, 3 ) = C7 3,3 = .4 = 7 7 3 4 B) COMBINAÇÕES COMPLETAS OU COM REPETIÇÃO Responda à pergunta: De quantos modos é possível comprar 3 sorvetes em uma lojaque os oferece em 5 sabores? Normalmente somos levados a responder que a solução é C 5,3 = 10 . Estaresposta não está correta. Ela estaria certa caso a pergunta fosse: De quantos modospodemos escolher 3 sorvetes diferentes, em uma loja que os oferece em 5 sabores? Essas10 possibilidades representam as combinações simples de 5 elementos, tomados 3 a 3. Na questão apresentada, a resposta correta seria CR 5,3 , que são as combinaçõescompletas de 5 elementos, tomados 3 a 3, ou seja, nesse caso admitiríamos a hipótese dapessoa escolher sabores repetidos. O cálculo das combinações completas, que veremos aseguir, seguirá um raciocínio que já vimos anteriormente, ao estudarmos as permutaçõescom elementos repetidos. Para que possamos entender melhor o nosso problema inicial, vamos supor que aloja oferecesse os sabores: manga, abacaxi, goiaba, cereja e limão. Nas combinaçõessimples, desses 5 sabores, tomados 3 a 3, só teríamos composições do tipo: manga,abacaxi, goiaba ou goiaba, cereja, limão ou abacaxi, goiaba, limão, etc...Como se podeperceber, essa opção das combinações completas dará um resultado maior que na primeira,que gerou 10 possibilidades de escolha. Podemos encarar a solução do problema das combinações completas da escolha de3 sabores (distintos ou não), numa loja que oferece 5 opções de escolha, como sendo assoluções inteiras e não negativas da equação: x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 3 Temos, portanto, 5 variáveis que representam a quantidade comprada, de cada umdos sabores oferecidos. Se você retornar à página 17 de nosso curso, verificará que já mostramos umasolução para esse problema, através de permutações com alguns elementos repetidos. Naocasião, vimos que a quantidade de soluções inteiras e não negativas de uma equação dotipo: x1 + x 2 + x 3 + ... + ...x n = p era dado por Pn 1+p . n 1, p 7! No nosso exemplo da sorveteria, teremos então CR 5,3 = P7 = 3,4 = 35. 3!. 4!
  • 63. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 63 Podemos então concluir, sobre as combinações completas de n elementos, p a p. (n - 1 + p) ! CR n, p = Pn n 1, p 1+ p = (n 1)! . p !Exemplos: 1) De quantos modos podemos comprar 4 salgadinhos em uma lanchonete que oferece 7 opções de escolha de salgadinhos? Solução: Pelo que vimos anteriormente, teremos que determinar a quantidade de soluções inteiras e não negativas de uma equação do tipo: x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 = 4 . A solução, como mostramos, será dada por: 10 ! CR 7, 4 = P10 = 6,4 = 210. 6!. 4! 2) Podendo escolher entre 5 tipos de queijo e 4 marcas de vinho, de quantos modos é possível fazer um pedido num restaurante, com duas qualidades de queijo e 3 garrafas de vinho? Solução: temos que escolher os dois tipos de queijo, entre os 5 disponíveis (distintos 6! ou não). Isto será igual a CR 5, 2 = P6 = 4,2 = 15. Em seguida, temos que escolher 4!. 2! 6! 3 garrafas entre os 4 vinhos disponíveis, ou seja, CR 4, 3 = P6 = 3,3 = 20. Logo, o 3!. 3! número de pedidos de queijo e vinho, da acordo como proposto na questão, será dado por 15 x 20 = 300. C) PRINCÍPIO DAS GAVETAS – DIRICHLETNa análise combinatória muitas vezes somos levados a muito mais do que simplesmentecontar os elementos de conjuntos ou seqüências. Em algumas ocasiões o que se pretende éverificar a existência, ou não, de conjuntos que satisfaçam a determinadas propriedades.Uma importante ferramenta para essas situações é o princípio das gavetas de Dirichlet(1805 – 1859, matemático alemão).PRINCÍPIO DAS GAVETAS - Se dispomos de n objetos para colocar em, no máximo, n–1, gavetas, então ao menos uma delas conterá pelo menos dois objetos.Prova (por absurdo) – se cada uma das gavetas contiver, no máximo, 1 objeto, o númerototal de objetos colocados será igual a n – 1, o que contraria a hipótese de dispormos de nobjetos. Logo, em uma das gavetas pelo menos teremos que colocar 2 objetos, ao menos.EXEMPLOS: 1) Em um grupo de k pessoas, pelo menos duas delas terão de aniversariar no mesmo mês, de acordo com o princípio das gavetas de Dirichlet, qual deve ser o menor valor de k? Solução:
  • 64. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 64Como são 12 os meses do ano e queremos o valor mínimo de k, teremos, pelo princípiodas gavetas que k deverá ser igual a 13.2) Quantas pessoas devemos tomar, em um grupo, no mínimo, de modo a que possamos garantir que duas delas nasceram no mesmo dia da semana? Solução: Analogamente ao caso anterior, como são 7 os dias da semana, devemos ter ummínimo de oito pessoas no grupo (7 + 1)3) Quantas pessoas devemos tomar, em um grupo, no mínimo, de modo a que possamos garantir que três delas nasceram no mesmo dia da semana? Solução: Temos agora a proposta de que possamos garantir que três dessas pessoasnasceram no mesmo dia da semana. Teremos nesse caso um mínimo de 15 pessoas (2x 7 + 1)4) Em uma caixa há 12 meias brancas e 12 meias pretas. Quantas meias devemos retirar, ao acaso, no mínimo, para que possamos garantir que retiramos um par de meias de mesma cor? Solução: As quantidades de meias que estão registradas nesse exemplo só servem para nosconfundir, pois se queremos obter um par de meias de mesma cor, teremos que retirarno mínimo três meias, já que só existem duas cores distintas.5) Qual o número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que possamos garantir que nele haja, pelo menos, 5 pessoas nascidas no mesmo mês? Solução: Devemos ter nesse grupo um mínimo de 49 pessoas, pois nesse caso, até 48 pessoas ainda não poderíamos garantir que 5 delas teriam nascido no mesmo mês, 12 meses x 4 = 48 pessoas. EXERCÍCIOS GERAIS – MATEMÁTICA COMBINATÓRIA Até agora estudamos vários tópicos importantes da Matemática Combinatória. Todos esses tópicos vieram acompanhados de exemplos ilustrativos e exercícios propostos. Vamos agora, antes de continuarmos nosso estudo, resolver uma série de exercícios sobre todos os tópicos já estudados, a saber: Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações e Permutações Simples, Arranjos, Permutações e Combinações com Repetição e Lemas de Kaplansky. Todos os exercícios virão com os respectivos gabaritos e você deve, sempre que necessário, recorrer à teoria contida na apostila para tirar as suas dúvidas. 1) Dez estudantes prestam um concurso. De quantas maneiras pode ser composta a lista dos 4 primeiros colocados? 2) Quantos são os subconjuntos, com 5 elementos, do conjunto {a, b, c, d, e, f, g}, sendo que em cada subconjunto a e b estejam sempre presentes? 3) Ainda com relação ao problema anterior, quantos são os subconjuntos de 5 elementos, do conjunto dado, aos quais não pertençam os elementos a e b? 4) Sete pessoas, entre elas José e Pedro, estão reunidas para formar uma chapa com presidente, secretário, segundo-secretário e tesoureiro para concorrer às eleições de um clube. Determine em quantas das possíveis chapas: a) José é o presidente e Pedro é o tesoureiro b) José não é o presidente e Pedro não é o tesoureiro.
  • 65. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 655) Um deputado quer convocar 5 entre 8 políticos de seu grupo para uma reunião. No entanto, dois desses políticos têm forte rixa pessoal. De quantos modos pode ser feita a convocação de maneira que não compareçam simultaneamente os dois citados?6) De quantas maneiras diferentes uma família de 4 pessoas pode pedir almoço (um prato para cada pessoa), em um restaurante que oferece 8 tipos de pratos?7) Quantas são as funções injetoras que podemos definir do conjunto A, com 5 elementos, no conjunto B, com 8 elementos?8) Os conjuntos E e F têm, respectivamente, 4 e 10 elementos. Quantas são as funções, de E em F, que não são injetoras?9) Escrevendo-se em ordem crescente a lista de todos os números de 5 algarismos distintos, formados com os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9, que lugar ocupa o número 78 695?10) Com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6 formam-se todos os números de 5 algarismos distintos possíveis. Determine a soma de todos esses números.11) Quantos são os anagramas da palavra BUTANOL, que apresentam a sílaba TO?12) Quantos são os anagramas da palavra BARBARIDADE?13) O diagrama abaixo representa algumas ruas de uma cidade. De quantos modos uma pessoa pode dirigir-se do ponto A ao ponto B, utilizando-se sempre dos caminhos mais curtos (uma unidade de quadradinho de cada vez, horizontal ou vertical)? B A ( x + 4)!+( x + 2)! 714) Resolva a equação: = 3.[( x + 3)]! 615) Quantas são as soluções inteiras e não negativas da equação abaixo? x+y+z+w+g+p=516) Quantos são os números inteiros, maiores que 4000 e menores que 9000, formados por algarismos distintos e que são múltiplos de 5?17) Aninha deve freqüentar a academia de musculação duas vezes por semana, durante todo o ano. Quantos são os modos dela escolher os dias de suas aulas se não deseja ter aulas em dias consecutivos?
  • 66. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 6618) Se os telefones de uma certa vila devem ter números de 5 algarismos, todos começando com 23 e todos múltiplos de 5, então o número máximo de telefones que a vila pode ter é:19) 12 professores, sendo 4 de matemática, 4 de geografia e 4 de inglês, participam de uma reunião com o objetivo de formar uma comissão que tenha 9 professores, sendo 3 de cada disciplina. O número de formas distintas de se compor essa comissão é: k20) número natural 8 . 5 tem 24 divisores inteiros e positivos. Determine o valor de k.21) De quantas maneiras três mães e seus respectivos três filhos podem ocupar uma fila com seis cadeiras, de modo que cada mãe sente junto de seu filho?22) Quantas são as maneiras de um cientista escolher pelo menos duas cobaias, num grupo de seis cobaias?23) Um feixe de 8 retas paralelas intersecta outro conjunto de 5 retas paralelas. Quantos são os paralelogramos determinados por essas retas?24) Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para a foto?25) Observe o código abaixo, composto por 10 sinais, de dois tipos: e (cinco de cada um). Quantos códigos distintos poderemos obter com esses 10 símbolos?26) Sejam duas retas paralelas r e s. Tomam-se 5 pontos distintos em r e 4 pontos distintos em s. Qual a razão entre o número total de quadriláteros convexos e o número total de triângulos que podem ser formados com vértices nesses pontos?27) Sobre uma mesa colocam–se seis moedas em linha. De quantos modos podemos obter duas caras e quatro coroas voltadas para cima?28) Qual a quantidade de anagramas da palavra ERNESTO que começam e terminam por consoantes?29) Quantos são os números inteiros positivos, de cinco algarismos, em que dois algarismos adjacentes nunca sejam iguais?30) Um professor propôs para uma de suas turmas uma prova com 7 questões, das quais cada aluno deveria escolher exatamente 5 questões para responder. Sabe- se que não houve duas escolhas das mesmas 5 questões entre todos os alunos da turma. Determine o número máximo de alunos que essa turma poderia ter.31) Dado um decágono, quantos são os triângulos cujos vértices são vértices não consecutivos desse polígono?32) Quantos são os anagramas da palavra ARARAQUARA que não possuem duas letras a consecutivas?
  • 67. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 67 Gabarito (exercícios gerais) 1) 5040 2) 10 3) 11 4) a) 20 5) 36 b) 820 6) 1 663 200 7) 6 720 8) 4 960 9) 64º 10) 5 333 280 11) 720 12) 831 600 13) 35 14) x = -1 15) 252 16) 504 17) 14 18) 200 19) 64 20) k = 5 25) 252 21) 48 22) 57 23) 280 24) 48 30) 21 26) 6 / 7 27) 15 28) 720 29) 59 049 31) 50 32) 120 4) BINÔMIO DE NEWTONUm binômio é qualquer expressão da forma x + y, ou seja, é a representação da somaalgébrica de duas quantidades distintas.Considere o produto dos três binômios. (m + n )( p + q )(r + s ) = mpr + mps + mqr + mqs + npr + nps + nqr + nqsObserve que consiste de oito termos, cada um dos quais possuindo três letras, sendo cadaletra escolhida dentre as duas, de cada um dos binômios. O princípio multiplicativo e apropriedade distributiva nos oferecem a possibilidade de contar o número de termos deprodutos desse tipo, pois se de cada um dos três parênteses vamos escolher uma letraentre as duas existentes, temos que o número de termos do produto será 2 3 . Naturalmenteque este raciocínio pode ser estendido para um produto contendo um número qualquer debinômios. Se o produto for constituído de 4, 5 ou n binômios o número de termos dodesenvolvimento será respectivamente, 2 4 = 16, 2 5 = 32 ou 2 nVamos tomar agora o produto de seis binômios, todos iguais. Por exemplo: (x + a )(x + a )(x + a )(x + a )(x + a )(x + a ) .
  • 68. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 68Como temos 64 maneiras de selecionarmos 6 letras, uma de cada binômio, e como todos osbinômios são iguais a (x + a ) teremos termos repetidos. Por exemplo, se tomarmos a letra anos 2 primeiros e a letra x nos 4 últimos, teremos a 2 x 4 , que irá aparecer toda vez que aletra a for escolhida em exatamente 2 dos 6 binômios e a letra x nos 4 restantes. Como istopode ser feito de C 6 maneiras diferentes, afirmamos que o termo a 2 x 4 irá aparecer este 2número de vezes, o que equivale a dizer que o coeficiente de a 2 x 4 é igual a C 6 . 2Observando que qualquer termo consiste do produto de 6 letras, o termo geral é da formaa p x q , onde p + q = 6, ou seja, cada termo é da forma a p x 6 p . Como esse termo apareceC 6p vezes a expansão acima, organizada segundo as potências decrescentes de x, é dadapor 6 (x + a )6 = C 6p a p x 6 p p=0 = C 6 a 0 x 6 + C 6 a1 x 5 + C 6 a 2 x 4 + C 6 a 3 x 3 + C 6 a 4 x 2 + C 6 a 5 x1 + C 6 a 6 x 0 0 1 2 3 4 5 6 = x 6 + 6ax 5 + 15a 2 x 4 + 20a 3 x 3 + 15a 4 x 2 + 6a 5 x + a 6No caso geral (x + a ) , cada termo será da forma a p x n p . Note que o termo a p x n p irá naparecer para cada escolha da letra a em p dos n fatores. Como tal escolha pode ser feita nde C np formas diferentes, temos: (x + a ) = n C np a p x n p . Além disso, como, p =0 (x + a )n = (a + x )n , podemos concluir que, permutando-se as letras x e a teremos, n(a + x )n = C np x p a n p , e isto nos garante o fato já conhecido de que C np = C n n p , uma vez p =0que, pelo argumento apresentado, o coeficiente de a n p x p é dado por C n n p ou, em outraspalavras, que , na expansão de (x + a )n , os coeficientes dos termos eqüidistantes dosextremos são iguais. nNa expansão de (x + a ) = n C np a p x n p p =0Denotamos o termo geral por T p +1 , o qual é dado por T p +1 = C np a p x n p .Exemplo 1 Calcular o quarto termo da expansão de (1 + k ) 8 .Solução: Temos aqui, x = 1, a = k, n = 8 e p + 1 = 4. Logo p = 3 e T4 = T3+1 = C8 k 3 18 3 = 56k 3 . 3Exemplo 2 Calcular o sexto termo da expansão de (x 5y) . 10Solução: Neste caso a = -5y, n =10, p + 1 = 6 e p = 5. Portanto, T6 = C10 ( 5 y ) x 5 5 5 T6 = C10 ( 5) x 5 y 5 = 787.500 x 5 y 5 . 5 5Exemplo 3 Demonstrar a seguinte identidade:
  • 69. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 69 n C np = C n + C n + C n + .... + C n = 2 n o 1 2 n p =0 nSolução: Como (x + a ) = n C np a p x n p , é fácil ver que, para x = a = 1, o lado direito desta p =0igualdade nos dá a soma pedida, que será igual a 2 n . Este valor representa também, onúmero de subconjuntos de um conjunto contendo n elementos.Observe que o exemplo 3 nos oferece uma importante propriedade das combinações e queserá muito útil na resolução de alguns problemas clássicos de Matemática Combinatória.Vamos novamente destacar essa propriedade: Cn + Cn + Cn + .... + Cn = 2n o 1 2 nExemplo 4: Quantas comissões, com no mínimo duas pessoas, podemos formar a partir deum grupo de 15 pessoas.Solução: É fácil constatar que a solução desse problema será dada pela soma de váriascombinações, já que as comissões poderão ter de 2 a 15 pessoas, ou seja: C15 + C15 + C15 + .... + C15 2 3 4 15Repare que, para ficarmos de acordo com a propriedade mostrada anteriormente, visandofacilitar nossos cálculos, poderemos acrescentar as combinações que estão faltando (sãoduas) e depois, subtrair da resposta obtida o valor que foi acrescentado. Logo, teremos: C15 + C15 + C15 + C15 + C15 + ..... + C15 = 215 0 1 2 3 4 15Mas, C15 + C15 = 16 0 1Dessa forma, a resposta procurada será igual a 215 - 16 = 32 752 comissões.Listamos abaixo a expansão de (a + b ) para alguns valores de n. n (a + b )0 = 1 (a + b )1 = a + b (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b )4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b )5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 (a + b )6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6
  • 70. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 70Coeficientes Binominais – Triângulo de PascalChamamos “Triângulo de Pascal” ao triângulo formado pelos coeficientes das expansõesacima, isto é, • Os números que surgem em cada linha do triângulo de Pascal são exatamente osmesmos coeficientes dos termos da expressão de (a + b ) n • Observe também que a soma de dois termos consecutivos de uma mesma linha dotriângulo corresponde ao termo da linha imediatamente inferior, isto é, C np + C np +1 = C np++1 . 1Esta propriedade é conhecida como relação de StifelLinha 0 11ª linha 1 12ª linha 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ................................. 1ª col 2ª col col 0Enumeramos as linhas deste triângulo de acordo com o expoente da potência da qual oscoeficientes foram retirados, isto é, a 1ª linha é “1 1” a 2ª “1 2 1” e assim sucessivamente.Enumeramos as colunas da mesma forma, isto é, a formada só de dígitos iguais a 1 é a denúmero zero e assim por diante. Observe que a soma dos elementos da linha 5 é:C 5 + C 5 + C 52 + C 5 + C 54 + C 5 = 32 = 2 5 . Para somarmos os elementos da n-ésima linha, só 0 1 3 5precisamos lembrar que C n + C n + C n + ....C n , representa o número de subconjuntos de um 0 1 2 nconjunto de n elementos e assim, C n + C n + C n + ....C n = 2 n 0 1 2 nJá mostramos que a soma dos elementos da n-ésima linha é igual a 2 n e que numa mesmalinha termos eqüidistantes dos extremos são iguais. No exemplo 4 mostraremos que a somados n primeiros elementos da coluna p é igual ao n-ésimo elemento da ( p +1) ésima colunaCada elemento do triângulo de Pascal é um número binomial e sua posição no triângulo ficadeterminada por um par ordenado que indica a linha e a coluna ocupada pelo binomial. Se o
  • 71. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 71 nbinomial ocupa a linha n e a coluna p sua representação será , onde n é chamado p nnumerador e p é o denominador do binomial. Devemos observar também que = C np . pPor uma questão de comodidade iremos evitar a notação de número binomial dandopreferência a notação de combinações por ser um pouco mais familiar aos estudantes quejá completaram um curso de análise combinatória. É claro que todas as propriedades dascombinações são naturalmente legadas aos números binomiais Veja que interessante: Uma outra justificativa do método apresentado para odesenvolvimento dos (n + 1) termos de (x + a )n .Você sabe que, podemos obter o desenvolvimento de (x + a ) = (x + a) . (x + a), procedendo 2da seguinte maneira: • Multiplicando cada termo de (x + a) por x • Multiplicando cada termo de (x + a) por a • Somando os termos obtidos e efetuando a redução dos termos semelhantes.Analogamente, após a obtenção de (x + a )2 podemos obter os termos de(x + a ) 3 = ( x + a ) 2 .( x + a ) , procedendo da seguinte maneira: Multiplicando cada termo de (x + a ) por x 2 • Multiplicando cada termo de (x + a ) por a 2 • • Somando os termos obtidos e efetuando a redução dos termos semelhantes.Seguindo dessa mesma forma, sucessivamente, podemos obter (x + a )4 , (x + a )5 ,... Oraciocínio proposto nos conduz ao seguinte diagrama: 1(x + a) = x + a x a x a(x + a ) 2 2 2 = x + 2ax + a x a x a x a(x + a ) 3 3 2 2 3 = x + 3ax + 3a x + a x a x a x a x a(x + a ) 4 4 3 2 2 3 4 = x + 4ax + 6a x + 4a x + a...................................................................................................No diagrama anterior olhando apenas os coeficientes dos termos, vemos claramente aformação do triângulo de Pascal, com seus “lados” sempre começando e terminando por 1,tendo como “miolo” os números binomiais que podem ser obtidos através da soma dosnúmeros “vizinhos” da linha anterior. (Idéia extraída do livro “O que é a matemática?” deCourant e Robbins).Exemplo 5 Demonstrar a seguinte identidade (teorema das colunas).
  • 72. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 72 p +1 C p + C p +1 + C p + 2 + . . .C p + n = C p + n +1 . p p p pA principal propriedade do triângulo de Pascal (Relação de Stifel) C np++11 = C np +1 + C npJustifica a seqüência de igualdades abaixo: C p +1 = C p +1 + C p p +1 p p p +1 p +1 C p + 2 = C p +1 + C p +1 p p +1 p +1 C p +3 = C p + 2 + C p + 2 p .............................. . p +1 p +1 C p+n = C p+n 1 + C p+n p 1 p +1 p +1 C p + n +1 = C p + n + C p + n pSe somarmos membro a membro estas igualdades (cancelando termo iguais), teremosC p + n +1 = C p +1 + C p + C p +1 + C p + 2 + .... + C p + n , que é a igualdade pedida, uma vez que p +1 p p p p pC p +1 = 0 . Na figura abaixo ilustramos o que acabamos de demonstrar. p 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..Exemplo 6: Achar uma fórmula para a soma dos n primeiros inteiros positivos.Solução: Isto é decorrência do exemplo anterior, pois, n(n + 1) 1 + 2 + 3 + ..... + n = C1 + C 2 + C 3 + ...... + C n = C n +1 = 1 1 1 1 2 2 0Exemplo 7: Prove que C n Cn + Cn 1 2 C n + .... + ( 1) n C n = 0 3 n
  • 73. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 73 nDevemos lembrar que (x + a )n = C np a p x n p , portanto basta tomarmos x = 1 e a = -1. p =0 10 1Exemplo 8: Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de x + 3 2 x pEscrevemos inicialmente o termo geral do desenvolvimento que é T p +1 = C p 10 1 (x ) 2 10 p , x3portanto, T p +1 = C10 x = C10 x 20 p 3p x 20 2p p 5p . Como queremos que o termo independa de x,devemos fazer 20 – 5p = 0. Logo p = 4 e assim o termo procurado é o quinto termo e seuvalor é T5 = C10 = 210 . 4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS – BINÔMIO DE NEWTON:1. Determine o termo central ou médio do desenvolvimento de: 10 2 1 x 2x2. Calcule os dois termos médios do desenvolvimento de: ( 3x + 2a ) 7 6 3 13. Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de x3 2y4. No desenvolvimento de (1 + x ) , os coeficientes do 14º e do 28º termos são iguais. nDetermine n.5. Determine o quinto termo do desenvolvimento de 7 1 x . 2x3Supondo o desenvolvimento ordenado segundo as potências decrescentes da primeiraparcela .6. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de 10 1 x2 . x37. Determine o coeficiente de x 3 no desenvolvimento de 12 4 2 3x . x8. Calcule: (x + y ) + (x y) 4 4
  • 74. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 749. Explique porque não existe termo independente de x no desenvolvimento de 2 n +1 1 x+ . x m m m m10. Calcule m sabendo que + + + .... + = 254 . 1 2 3 m 1 GABARITO – BINÔMIO DE NEWTON 63 5 01) T6 = x 06) T5 = 210 8 T4 = 22680a 3 x 4 02) 07) 3041280 T5 = 15120a 4 x 3 6 5 03) 08) 2 x 4 + 12 y 2 x 2 + 2 y 2 2 2n + 1 04) n = 40 09) p = , logo ñ seria natural 2 35 05) T5 = x 9 10) m = 8 16 5) PROBABILIDADES5.1) Origem HistóricaÉ possível quantificar o acaso?Para iniciar, vamos considerar algumas hipóteses: Rita espera ansiosamente o nascimentode seu filho, mas ela ainda não sabe qual será o sexo da criança. Em outro caso, antes doinício de um jogo de futebol, o juiz tira "cara ou coroa" com uma moeda para definir o timeque ficará com a bola. Numa terceira hipótese, toda semana, milhares de pessoas arriscama sorte na loteria. Problemas como os acima são, hoje, objeto de estudo das probabilidades.Os primeiros estudos envolvendo probabilidades foram motivados pela análise de jogos deazar. Sabe-se que um dos primeiros matemáticos que se ocupou com o cálculo dasprobabilidades foi Cardano (1501-1576). Data dessa época (na obra Liber Ludo Alae) aexpressão que utilizamos até hoje para o cálculo da probabilidade de um evento (número decasos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis). Posteriormente tal relação foidifundida e conhecida como relação de Laplace.Com Fermat (1601-1665) e Pascal (1623-1662), a teoria das probabilidades começou aevoluir e ganhar mais consistência, passando a ser utilizada em outros aspectos da vidasocial, como, por exemplo, auxiliando na descoberta da vacina contra a varíola no séculoXVIII.
  • 75. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 75Laplace foi, certamente, o que mais contribuiu para a teoria das probabilidades. Seusinúmeros trabalhos nessa área foram reunidos no monumental Tratado Analítico dasProbabilidades, onde são introduzidas técnicas poderosas como a das funções geradoras,que são aproximações para probabilidades com o uso do cálculo integral.Atualmente, a teoria das probabilidades é muito utilizada em outros ramos da Matemática(como o Cálculo e a Estatística), da Biologia (especialmente nos estudos da Genética), daFísica (como na Física Nuclear), da Economia, da Sociologia, das Ciências Atuariais, daInformática, etc. A roleta, um dos jogos de azar preferidos pelos apostadores nos cassinos, teve sua origem na França do século XVIII. É formada por 36 elementos dispostos em três colunas de 12 números e um espaço reservado para o zero. As chamadas apostas simples são: sair par ou sair ímpar, sair vermelho ou sair preto, e sair números menores (de 1 a 18) ou sair números maiores (de 19 a 36)Exemplo: A probabilidade de ao lançarmos um dado sair um número ímpar é 1/2.Esta definição a penas pode ser usada quando o conjunto dos casos é finito sendo quetodos têm a mesma possibilidade ocorrer (equiprováveis)!5.2) Probabilidades DiscretasDefinições:Experimento Aleatório: Dizemos que um experimento qualquer é aleatório quando, serepetido diversas vezes nas mesmas condições, pode gerar resultados diferentes.Experimentos aleatórios acontecem a todo momento no nosso cotidiano perguntas do tipo:será que vai chover? Qual será o resultado da partida de futebol? Quantos serão osganhadores da Mega-Sena da semana? São questões associadas a experimentosaleatórios e que dependem do acaso. Experimentos aleatórios são os objetos de estudo docálculo de probabilidades.Espaço Amostral: (ou de casos ou resultados): de uma experiência é o conjunto de todosos resultados possíveis.Acontecimento ou evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral.A probabilidade de um acontecimento E, que é um subconjunto finito de um espaço n( E )amostral S, de resultados igualmente prováveis, é: p(E) = sendo n(E) e n(S) as n( S )quantidades de elementos de E e de S, respectivamente.Exemplo:a) Qual a probabilidade de, ao lançarmos dois dados distintos, a soma dos dois números ser7? Solução:O Espaço amostral será aqui representado pelos 36 pares ordenados representativos daspontuações possíveis desses dois dados. Poderemos representá-lo por uma tabela de duplaentrada, vejamos:
  • 76. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 76 dados 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)Assinalamos os pares ordenados que atendem à condição proposta (soma 7), logo, a 6 1probabilidade pedida será: p = = 16, 67 % 36 6 PROBABILIDADE X INTUIÇÃOLance a questão a seguir para seus alunos, logo nas aulas iniciais sobre probabilidades esolicite que tentem estimar o resultado, intuitivamente, antes de aplicar a definição ou qualquerprocesso de resolução.“Num determinado país sabe-se que 10% da população está infectada pelo vírus do HIV.Sabe-se também que, nos exames para detectar a doença, há 90% de acerto para ogrupo dos infectados e 80% de acerto para os não infectados. Determine”:1. A probabilidade de que uma pessoa, cujo exame deu positivo para a doença, estejarealmente infectada.2. A probabilidade de que uma pessoa, cujo exame deu negativo para a doença, estejarealmente sadia. Solução:Para facilitar, vamos supor que a cidade tivesse uma população de 1000 habitantes. Deacordo com o texto, teremos que 100 são portadores do vírus HIV e 900 não são portadores.1) Total de portadores detectados pelo exame: 90 % de 100 + 20 % de 900 = 270 pessoas.Logo, para respondermos à primeira pergunta, temos que 90 pessoas em 270 são realmenteportadores do vírus, ou probabilidade de 90 / 270 = 33,3%.É por esse motivo que, normalmente quando um exame HIV tem re1sultado positivo, osmédicos normalmente recomendam que o mesmo seja repetido.2) Total de não portadores detectados pelo exame: 10 % de 100 + 80% de 900 = 730pessoas, das quais 720 são realmente não portadores desse vírus. Logo, temos aprobabilidade de 720 / 730 = 98,6 % de que uma pessoa, cujo exame deu negativo para adoença esteja realmente sadia. COMENTÁRIO:Essa questão, que foi originalmente proposta aos candidatos ao Projeto Sapiens (Umaespécie de vestibular em etapas, no Rio de Janeiro), propicia através de uma abordagemsimples e intuitiva, o enfoque de uma questão atual e de interesse de todos nas aulas dematemática e pode, dependendo de nossos objetivos, propiciar outras discussões comoprobabilidade condicional, por exemplo.
  • 77. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 775.3) Combinação de eventosTeorema: Seja E um evento no espaço amostral S. A probabilidade do acontecimento __ __complementar, E , é dada por: p( E ) = 1- p(E)Teorema: Sejam E1 e E2 dois eventos do mesmo espaço amostral S. Então: p(E1 E2) = p(E1) + p(E2) - p(E1 E2)Exemplo:Qual a probabilidade de um número inteiro positivo selecionado aleatoriamente do conjuntodos inteiros positivos menores ou iguais a 100 ser divisível por 2 ou por 5? Solução:Sabemos que no Universo dos inteiros positivos, inferiores ou iguais a 100 (n(S) = 100), aquantidade de números divisíveis por 2 é 50 (os pares) e a quantidade dos númerosdivisíveis por 5 é 20 (os terminados em zero ou em cinco). Sendo que os que são divisíveisao mesmo tempo por 2 ou por 5 (os múltiplos de 10) são 10. Logo, teremos: 50 1p( E1 ) = = 100 2 20 1p ( E2 ) = = 100 5 10 1p( E1 E2 ) = = 100 10 1 1 1 3Logo, p ( E1 E2 ) = + = = 60% 2 5 10 5Vamos a seguir apresentar mais alguns casos de combinação de eventos, a partirde alguns exemplos propostos pelo professor Luiz Márcio Imenes em apostila daFundação Roberto Marinho.EXEMPLO 1Num grupo de jovens estudantes a probabilidade de que um jovem, escolhido ao acaso,tenha média acima de 7,0 é 1/5. Nesse mesmo grupo, a probabilidade de que um jovemsaiba jogar futebol é 5/6. Qual a probabilidade de escolhermos um jovem (ao acaso) quetenha média maior que 7,0 e saiba jogar futebol? Solução:O fato de ter média maior que 7,0 não depende do fato de saber jogar futebol, e vice-versa.Quando isso ocorre, dizemos que os eventos são independentes.Considere então os eventos:A: ter média acima de 7,0.B: saber jogar futebol.A e B: ter média acima de 7,0 e saber jogar futebol.Como queremos calcular P (A e B), pense o seguinte: de todos os jovens, 1/5 têm médiaacima de 7,0 e 5/6 sabem jogar futebol. Ora, 5/6 de 1/5 ou seja, 5/6 . 1/5 = 1/6 sabem jogarfutebol e têm média acima de 7,0. Portanto, P (A e B) = 1/6 .Repare que para encontrarmos P (A e B) efetuamos P (A) · P (B). Então, concluímos que,quando A e B são eventos independentes (não têm “nada a ver” um com o outro):
  • 78. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 78 P (A e B) = P (A) P (B)EXEMPLO 2Dos 30 funcionários de uma empresa, 10 são canhotos e 25 vão de ônibus para o trabalho.Escolhendo ao acaso um desses empregados, qual a probabilidade de que ele seja canhotoe vá de ônibus para o trabalho? Solução:Considere os eventos:A : ser canhotoB : ir de Ônibus para o trabalhoClaro que A e B são eventos independentes, portanto um não depende em nada do outro. Aprobabilidade de os dois eventos (A e B) ocorrerem simultaneamente é calculada porP(A e B) = P (A) · P (B).Calculando:P (A) = 10/30 = 1/3P (B) = 25/30 = 5/6P (A e B) = P (A) · P (B) = 1/3 . 5/6 = 5/18A probabilidade de que ele seja canhoto e vá de ônibus para o trabalho é de 5/18.EXEMPLO 3:Alguns atletas participam de um triathlon (prova formada por 3 etapas consecutivas:(natação, corrida e ciclismo). A probabilidade de que um atleta escolhido ao acaso termine aprimeira etapa (natação) é 4/7. Para continuar na competição com a segunda etapa (corrida)o atleta precisa ter terminado a natação. Dos atletas que terminam a primeira etapa, aprobabilidade de que um deles, escolhido ao acaso, termine a segunda é ¾. Qual aprobabilidade de que um atleta que iniciou a prova, e seja escolhido ao acaso, termine aprimeira e a segunda etapas?A : terminar a 1a etapa da prova (natação).B : terminar a 2 a etapa da prova (corrida), tendo terminado a 1a.Note que A e B não são eventos independentes, pois, para começar a 2a etapa énecessário, antes, terminar a 1a. Nesse caso dizemos que a ocorrência do evento Bdepende (esta condicionada) à ocorrência do evento A.Utilizamos então a notação B/A, que significa a dependência dos eventos, ou melhor, que oevento B/A denota a ocorrência do evento B, sabendo que A já ocorreu. No caso desteexemplo, temos: B/A terminar a 2a etapa (corrida), sabendo que o atleta terminou a 1a etapa(natação).E agora? Como calcular P (A e B)?Simples: no lugar de usarmos P(B) na fórmula P(A e B) = P(A) · P(B), usaremos P(B/A) jáque a ocorrência de B depende da ocorrência de A.O enunciado deste problema nos diz que P(A) = 4/7 e P B/A = 3/4; assim,P(A e B) = P(A) · P B/A = 4/7 . ¾ = 3/7.A probabilidade de que um atleta, escolhido ao acaso, termine a 1a e a 2ª etapas é 3/7.Quando A e B não são eventos independentes a probabilidade de ocorrência de A e B écalculada por: P (A e B) = P (A) · P (B/A) onde P (B/A) é a probabilidade de B, dado que Ajá ocorreu (Probabilidade Condicional).EXEMPLO 4
  • 79. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 79No exame para tirar a carteira de motorista, a probabilidade de aprovação na prova escrita é9/10. Depois de ser aprovado na parte teórica, há uma prova prática de direção para os quejá passaram no exame escrito, a probabilidade de passar nessa prova prática é 2/3.Qual a probabilidade de que, escolhido um candidato ao acaso, ele seja aprovado emambas as provas escrita e prática e tire a carteira de motorista?Solução:Considere os eventos:A: aprovação na prova escrita.B: aprovação na prova prática de direção.Os eventos A e B não são independentes, pois é preciso ter aprovação na prova escritapara fazer a prova prática de direção. Como a ocorrência de B está condicionada àocorrência de A, criamos o evento: B/A: ter aprovação na prova prática de direção, sabendoque o candidato foi aprovado na prova escrita.Para calcular P(A e B), usamos: P(A e B) = P(A) · P(B/A)Calculando:P(A) = 9/10P(B/A) = 2/3P(A e B) = 9/10 . 2/3 = 3/5A probabilidade de passar na prova escrita e na prova de direção é 3/5.EXEMPLO 5:Uma urna contém 4 bolas brancas e 2 vermelhas. Uma bola é retirada e, sem reposição,uma segunda bola é retirada.Qual a probabilidade de ambas serem brancas?Considere os eventos:A: retirada da primeira bola branca.B: retirada da segunda bola branca.Eles são dependentes, pois a probabilidade de ocorrência de B depende do que ocorreu naretirada da primeira bola.Então: P(A) =Tendo sido retirada uma bola branca e não havendo reposição na urna, restam 5 bolassendo 3 brancas, logo, a probabilidade de retirar-se outra bola branca é 3P(BA) = 5 2 3 2Portanto P(A B) = P(A) P(BA) = . = 3 5 5 4.3 C 4, 2 2OBS: Este resultado poderia ser obtido diretamente da definição P(A B) = = 2 = C 6, 2 6.5 5 2
  • 80. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 80EXEMPLO 6:Na Copa América de 1995, o Brasil jogou com a Colômbia. No primeiro tempo, a seleçãobrasileira cometeu 10 faltas, sendo que 3 foram cometidas por Leonardo e outras 3 porAndré Cruz. No intervalo, os melhores lances foram reprisados, dentre os quais uma faltacometida pelo Brasil, escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de que a falta escolhida sejade Leonardo ou de André Cruz?Solução:Das 10 faltas, 3 foram de Leonardo e 3 de André Cruz. Portanto, os dois juntos cometeram 6das 10 faltas do Brasil. Assim, a probabilidade de que uma das faltas seja a escolhida dentreas 10 é 6/10 = 3/5 .Também podemos resolver este problema da seguinte maneira:Probabilidade de ser escolhida uma falta do Leonardo = 3/10 .Probabilidade de ser escolhida uma falta do André Cruz = 3/10 .A probabilidade de ser escolhida uma falta de um destes dois jogadores = 3/10 + 3/10 =6/10 = 3/5.Lembre-se de que qualquer uma das duas escolhas terá um resultado favorável.Se A e B são os eventos (escolher uma falta de Leonardo ou escolher uma falta de AndréCruz), estamos interessados na probabilidade do evento A ou B.Temos então, para esse caso que: P(A ou B) = P(A) + P(B)Note que isso vale porque uma falta não pode ser cometida pelos dois jogadores ao mesmotempo, ou seja, o evento A e B é impossível.5.3) Conceito de Probabilidade (generalização):Problema: Se eu tiver uma moeda viciada e a lançar várias vezes o que posso esperar comoresultado?Definição: Dado um espaço de amostras S, de um experimento com um número finito deresultados possíveis, chama-se probabilidade de um resultado, p(s), a um valor:0 p ( s ) 1, s S s =1s SModelar uma experiência deve ser medir a freqüência relativa de um acontecimento quandoo número de experiências se torna muito grande.Exemplo: Qual a probabilidade de sair caras ou coroas numa moeda viciada em que achance de aparecer cara é duas vezes a chance de aparecer coroa. Solução:1) p(CA) =2 p(CO)2) p(CA) + p(CO) = 1, por definição.3) 2 p(CO) + p(CO) = 3 p(CO) = 1, de 1) e 2)p(CO) = 1/3p(CA) = 2/3Definição: A probabilidade de um acontecimento E é igual à soma das probabilidades dosresultados em E.p(E) = s s EExemplo: Admita que tem um dado viciado de modo que o número 3 aparece duas vezesmais que qualquer dos outros números. Qual a probabilidade de sair um número ímparquando lançamos o dado uma vez?Solução:P(3) = 2s
  • 81. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 81 P(1) = p(2) = p(4) = p(5) = p(6) = s Logo, 2 s + 5 s = 1 ou s = 1/7 Seja E o evento esperado (sair um número ímpar), teremos: p(E) = p(1) + p(3) + p(5) = 4/7 Uma atividade exploratória: Um jogo de cinco dadosUma boa experiência que pode ser feita em classe e que, através do aumento do número deregistros, podemos verificar a aproximação do resultado obtido na prática, com o teórico.Lançam-se cinco dados. Para ganharmos tem de sair o número 5 mas não pode sair o 6. Qual éa probabilidade de ganhar?Numa fase inicial do estudo das probabilidades, os alunos ainda não têm conhecimentos quelhes permitam responder à pergunta com o valor exato. No entanto, podem obterexperimentalmente uma aproximação razoável.Para isso, a cada grupo de alunos deve ser distribuído um conjunto de 5 dados (ou solicitar queeles tragam de casa), pedimos que cada grupo faça uma série de sorteios (50, por exemplo) eque registre os resultados obtidos, destacando de alguma forma os casos que forem favoráveisao evento proposto. Caso haja condições, podemos até simular tais sorteios numa calculadoragráfica (TI-83, por exemplo).Seja, por exemplo os seguintes resultados que poderiam ser obtidos por um grupo: 1 2 2 3 3 2 2 5 6 4 5 1 2 3 3Verificamos facilmente que dos três sorteios anteriores, o único que nos é favorável é o terceiro,ou seja, num universo de 3 sorteios, obtivemos a freqüência relativa de 1/3, ou 33%.Se, numa turma, cada grupo fizer uns 50 sorteios, registrando o número de experiências e onúmero de vezes favoráveis, facilmente chegamos a 500 resultados. Podemos juntar osresultados de duas turmas, por exemplo e chegamos a 1000 experiências.Num dos Colégios em que fizemos a experiência, em 1000 experiências, anotamos 276sucessos, o que corresponde a uma freqüência relativa de 0,276 ou 27,6%.Podemos então prever que a probabilidade de ganhar numa jogada vai ser próxima deste valor,não longe dos 28%.Claro que quantas mais experiências fizermos, mais confiança poderemos ter nos resultados ( eisso devemos passar a nossos alunos, a experiência com grandes números). Se conseguirmosjuntar os resultados de várias turmas (10 000 sorteios, por exemplo), verificaremos que aprobabilidade de ocorrência do evento estará perto de 27%. Em seguida veremos o resultadoexato desta probabilidade, com o auxílio da Análise Combinatória. Cálculo da probabilidadeLançam-se cinco dados. Para ganharmos tem de sair o número 5 mas não pode sair o 6. Qual éa probabilidade de ganhar?
  • 82. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 82Já vimos, experimentalmente, que o resultado procurado está próximo dos 27%. Agora vamosobter o resultado exato.O número de casos possíveis quando lançamos 5 dados são os arranjos com repetição dos 6 5números, ou, pelo princípio multiplicativo: 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6 = 7776O número de casos favoráveis (sair 5 mas não sair 6) tem de ser feito em duas etapas:Primeiro, não pode sair 6: são os arranjos com repetição dos números de 1 a 5. 5 Casos em que não sai 6 = AR 5,5 = 5 = 3125Segundo, não pode sair 6 mas tem de sair 5. Então, aos 3125 casos anteriores temos desubtrair os casos em que também não sai 5. 5 Casos em que não sai 6 nem 5 = AR 4,5 = 4 = 1024Casos em que não sai 6 mas sai 5 = 3125 – 1024 = 2101 2101Logo: P(sair 5 mas não sair 6) = x 0,27019 7776A probabilidade de ganhar o jogo é praticamente igual a 27%.Reparemos que o valor obtido experimentalmente está bastante perto do valor teórico. 5.4) AS LOTERIAS E AS PROBABILIDADES Probabilidades e a Mega Sena Tudo pelos milhões Prêmio da Mega-sena será sorteado hoje O prêmio acumulado de R$ 32 milhões da Mega-sena movimentou ontem milhares de cariocas, em filas intermináveis nas casas lotéricas. O prêmio está acumulado há seis semanas e, segundo a Caixa Econômica Federal, deverão ser feitas 59 milhões de apostas. O sorteio será realizado hoje, às 20 horas, na cidade de Santo Antonio da Platina, no Paraná. Ontem, no Rio, casas lotéricas fizeram promoções, como a da Novo México, se propondo a trocar um mosquito Aedes Aegypti, por um bilhete com seis dezenas. Outra promoção nessa loja era a troca de um bilhete da Mega-sena para quem pagasse a conta de luz com baixo consumo. Os apostadores estão confiantes e já fazem planos com o prêmio acumulado. Tenho fortes esperanças de ganhar. Faço apostas há dez anos com os mesmos números e doaria a metade do prêmio para uma instituição de caridade, disse o administrador de empresas Jorge Luiz Campos. As loterias dos shoppings e da Zona Sul ficarão abertas até uma hora antes do sorteio das dezenas. Em alguns sites da Internet, é possível apostar as 19h45. As repetidas - Para quem acompanha os sorteios da Mega-sena existem algumas probabilidades que poderão fazer algum milionário no teste de logo mais. As dezenas que mais apareceram nos resultados até agora são: 42 (34 vezes), 13 (33 vezes), 41 e 43 (30 vezes); 25, 37 e 53, que saíram 29 vezes. Jornal do Brasil – sábado, 24 de março de 2001
  • 83. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 83INTRODUÇÃOEntre todas as loterias existentes no Brasil, a Mega Sena é, ao menos em determinadasocasiões, a que desperta o maior interesse na população. Isso se deve ao fato de que, pelasregras do jogo, de vez em quando, as quantias oferecidas serem bastante respeitáveis. A mídiadá ampla divulgação ao fato, tratando desde as chances de que alguém ganhe o prêmiomáximo até o que o ganhador poderia fazer com todo aquele dinheiro ganho.Nós, professores de matemática, somos sempre consultados sobre o funcionamento do jogo eespecialmente sobre a existência de alguma estratégia que possa melhorar as possibilidadesde vitória. O presente artigo faz um breve relato sobre o jogo, mostra respostas às perguntasmais comuns e, tem como maior contribuição, o mérito do aproveitamento de um tema deinteresse de todos em nossas aulas de matemática do Ensino Médio.O JOGOFaremos um breve relato do jogo para os que por princípios ou por inteligência nunca seinteressaram pelo mesmo.As apostas podem ser feitas escolhendo-se no mínimo 6 e no máximo 15 dezenas dentre as 60disponíveis, e enumeradas de 1 a 60. Cada aposta simples de 6 dezenas custa 1 real e, sevocê marca 8 dezenas, por exemplo, terá de pagar 28 reais (pois estas 8 dezenas lhepossibilitam concorrer com 28 jogos simples, que é o resultado de C8,6). A Caixa EconômicaFederal, que administra o jogo, sorteia seis dezenas distintas e são premiadas as apostas quecontêm 4 (quadra), 5 (quina) ou todas as seis (sena) dezenas sorteadas. Se num determinadoconcurso ninguém acerta as seis dezenas, o prêmio fica acumulado para o concurso seguinte.Existem C60,6 resultados possíveis para um sorteio. Esse número é superior a 50 milhões, maisprecisamente, ele é igual a 50 063 860. Acho que todos concordamos que só alguém muitootimista acredita que vai ganhar com uma única aposta. VOCÊ SABIA? Que é mais fácil obter 25 caras em 25 lançamentos de uma moeda perfeita do que acertar na Mega Sena com um único jogo de 6 dezenas?AS PROBABILIDADES DE SUCESSO NA MEGA-SENAO cálculo das probabilidades de que um apostador ganhe os prêmios oferecidos é um exercíciosimples e interessante de Análise Combinatória. Vamos, através de um exemplo, mostrar comoele é resolvido.Vamos supor que um apostador fez um jogo com 10 dezenas e estará, portanto, concorrendocom C10,6 (210) jogos simples de 6 dezenas. Verificamos que a probabilidade de ganhar a senavale 210 / 50 063 860, ou aproximadamente 0,00042 %. Para que este apostador ganhe aquadra, é necessário que quatro das seis dezenas apostadas estejam entre as dez nas quaisele apostou e duas estejam entre as outras 50. As quatro podem ser escolhidas de C10,4 = 210maneiras e as outras duas de C50,2 = 1225 maneiras. Existem, portanto 210 x 1225 = 257 250resultados que dariam o prêmio da quadra para o apostador. De modo análogo mostra-se queexistem 12 600 resultados que dariam ao apostador o prêmio da quina.Logo, os valores aproximados das probabilidades de que um apostador, que jogou 10 dezenas,ganhe os prêmios da sena, quina e quadra são, respectivamente iguais a: 0,00042%; 0,025 %e 0,514 %. Com raciocínio análogo são calculadas as probabilidades de apostas com umnúmero qualquer de dezenas.
  • 84. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 84A ACUMULAÇÃO PROGRAMADANas diversas loterias administradas pela Caixa, sempre que o prêmio maior não saía e aquantia ele destinada acumulava para o concurso seguinte, o interesse dos apostadorescrescia, resultando num aumento considerável no número de apostas. Embora essa situaçãofosse interessante para a Caixa, o governo e os lotéricos, a sua ocorrência dependia do acaso.Com o objetivo de manter o interesse dos apostadores e conseqüentemente aumentar aarrecadação, foi criada a acumulação forçada que reserva uma parte do prêmio (20% do totaldestinado à Sena) para ser acrescentada ao rateio dos concursos cujos números terminam emzero. Assim, por exemplo, em cada um dos concursos de números 201, 202, ... 209, vinte porcento do prêmio da Sena ficam retidos para serem acrescentados ao prêmio do concurso 210.No segundo semestre de 1999, repetidas acumulações fizeram com que o prêmio superasse60 milhões de reais. Esse valor, em torno de 30 milhões de dólares, está no nível dos prêmiosde loterias do primeiro mundo, principalmente se levarmos em conta que, aqui no Brasil, ele éisento de imposto de renda.PERGUNTAS MAIS FREQÜENTES1. Intuitivamente o que significa ter uma chance em cinqüenta milhões?Usualmente as pessoas solicitam que se façam comparações entre a possibilidade de seganhar na Mega Sena, com outros eventos, como morrer de um desastre de avião, ser atingidopor um raio ou mesmo morrer de câncer. A maior dificuldade em fazer tais comparações estáno fato de que nem todos os indivíduos da população têm a mesma probabilidade de sofreruma dessas desgraças, enquanto que todos os que apostam 6 dezenas, por exemplo, têm amesma chance de ganhar. Fica mais fácil as pessoas entenderem usando exemplospuramente aleatórios. Por exemplo, o número de habitantes do Brasil é quase igual a trêsvezes o número de resultados possíveis do sorteio. Se fosse realizado um sorteio de trêsprêmios entre todas os brasileiros, a sua chance de ganhar um desses prêmios seriapraticamente igual à de ganhar o prêmio máximo da Mega Sena com um jogo mínimo, de 6dezenas.2. Existe alguma forma de apostar que melhore as chances do apostador?Essa pergunta é geralmente feita na sala de aula por alunos curiosos em saber se conhecemosalgum “truque” que nos facilite ganhar o prêmio. A análise dos sorteios realizados até hojeindica que toas as dezenas são igualmente prováveis e que os resultados de diferentessorteios são independentes. Não existem elementos concretos que nos permitam construir umsistema que melhore nossas chances de vitória (se existisse, provavelmente não estaríamosdando mais aulas).3. Se eu estiver disposto a jogar 28 reais, é melhor fazer um único jogo de 8 dezenas ou vinte eoito jogos de 6 dezenas?Essa é uma questão interessante, pois, embora as duas formas de jogar sejam equivalentes(supondo 28 jogos distintos de 6 dezenas) no que diz respeito à sena, isso não é verdade comrelação à quadra e à quina. De fato, com um único jogo de 8 dezenas existirão C8,5 . C52,1 =2912 resultados possíveis que darão o prêmio da quina ao apostador. Com um único jogo de 6dezenas, o apostador terá C6,5 . C54,1 = 324 resultados contendo uma quina. Se os 28 jogos nãotiverem nenhuma quina em comum, o total de resultados favoráveis será igual a 28 x 324 =9072. A probabilidade de acertarmos uma quina com o segundo sistema é mais do que trêsvezes maior do que com o primeiro. Essa diferença é, pelo menos parcialmente, compensadapelo fato de que, acertando uma quina com o jogo de 8 dezenas, receberemos três vezes ovalor do prêmio.4. Vale a pena jogar?
  • 85. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 85 Do ponto de vista teórico, é fácil ver que a resposta é não. De fato, você estaria colocando dinheiro num jogo que destina apenas 44% da arrecadação para os prêmios e no qual a sua probabilidade de ganhar alguma coisa que valha a pena é muito pequena. Para aqueles que acreditam na sorte e gostam de arriscar de vez em quando, vejam algumas sugestões: a) Nunca aposte muito dinheiro – de fato, com a aposta de 15 dezenas, que custará 5005 reais (verifique), a sua probabilidade de ganhar o prêmio é aproximadamente igual a 1/10000 ou 0,01%. Portanto, a probabilidade de que você perca o seu dinheiro é bem grande (99,99%). Se você é capaz de perder cerca de 5000 reais sem se importar, é lógico que é uma pessoa que não precisa de loterias. b) Aposte, de preferência nos concursos de final zero – Nesses concursos você não estará contribuindo para o prêmio de futuros ganhadores, estará concorrendo a um prêmio maior e principalmente a quantias que os outros já perderam. Para justificar a fraqueza de alguns em arriscar de vez em quando, veja que, se você pode, sem sacrifício dispor de 10 reais por semana e decidir aplicá-los num investimento de cerca de 1% de juros ao mês, teria, em valores corrigidos, cerca de 678 reais após um ano e. conseqüentemente, cerca de 52 000 reais após 20 anos. Com esse procedimento, sua probabilidade de ficar rico é zero. Se você jogar 10 reais por semana, a probabilidade de que fique rico é quase zero, mas não é zero...(poderemos conferir esses dados no curso de Matemática Financeira Básica). Adaptado da Revista do Professor de Matemática, nº 43 - Flavio Wagner Rodrigues (IME-USP) EXERCÍCIOS: 1) DETERMINE AS PROBABILIDADES DE ACERTAR NA SENA, NA QUINA E NA QUADRA, DE UM CONCURSO DA MEGA SENA, PARA UM APOSTADOR QUE JOGOU 12 DEZENAS. 2) QUANTAS QUADRAS E QUINAS ACERTOU TAMBÉM UM JOGADOR QUE APOSTOU 10 DEZENAS E ACERTOU A SENA? 3) VAMOS CONFERIR, USANDO A ANÁLISE COMBINATÓRIA, TODOS OS DADOS CONTIDOS NAS TABELA DA MEGA-SENA APRESENTADA A SEGUIR: Valor das Probabilidade de Acerto (1 em .......) Jogadas Apostas Sena Quina Quadra 6 1,00 50.063.860 154.518 2.332 7 7,00 7.151.980 44.981 1.038 8 28,00 1.787.995 17.192 539 9 84,00 595.998 7.791 312 10 210,00 238.399 3.973 195 11 462,00 108.363 2.211 129 12 924,00 54.182 1.317 90 13 1.716,00 29.175 828 65 14 3.003,00 16.671 544 48 15 5.005,00 10.003 370 37 5.5. VERIFIQUE QUE NÃO HÁ UM ÚNICO CAMINHO CORRETO...Uma questão que se coloca muitas vezes perante os problemas de Probabilidades é o fato deque eles normalmente possibilitam várias formas distintas de solução.Quase sempre isso ocorre porque, perante a situação descrita no problema, podemos encontrardiversos espaços amostrais, dependendo da abordagem que se faça. Para calcular aprobabilidade aplicando a definição de Cardano/Laplace, devemos dividir o número de casosfavoráveis pelo número de casos possíveis. Ora, a cada espaço de resultados irá
  • 86. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 86corresponder um diferente número de casos possíveis e, claro, um diferente número de casosfavoráveis.O principal cuidado a ter é usar exatamente o mesmo método na contagem dos casos favoráveise na contagem dos casos possíveis, ou seja, não mudar de espaço de resultados durante aresolução.Vamos tomar como exemplo um problema e os vários modos de resolvê-lo: Três bilhetes de cinema A professora de História resolveu levar os seus 15 alunos para ver um filme. Como o cinema tem filas de precisamente 15 cadeiras, comprou uma fila inteira e distribuiu os bilhetes ao acaso pelos alunos. As alunas Ana, Beth e Carla, por serem muito amigas, gostariam de ficar juntas e numa das extremidades da fila. Qual a probabilidade de que isso ocorra? Fazer um esquema ajuda, muitas vezes, a visualizar melhor o que se passa.As três amigas querem ficar nos lugares 1, 2 e 3 ou 13, 14 e 15. Existem pelo menos quatroprocessos de resolver o problema.1º ProcessoVamos pensar apenas nos três bilhetes destinados às três amigas, não nos interessando aordem como elas ocuparão depois esses três lugares.O espaço de resultados é o conjunto dos ternos não ordenados. Por exemplo, um dos seuselementos é o terno {5, 7, 15}, que corresponde às três amigas receberem os bilhetes 5, 7 e 15embora não saibamos o lugar exato em que cada uma delas se vai sentar.Os casos possíveis são as diferentes maneiras delas receberem os 3 bilhetes de um conjunto de15, ou seja, todos os ternos não ordenados formados a partir do conjunto de 15 bilhetes. Casos Possíveis = C 15,3 = 455Os casos favoráveis são apenas 2: ou recebem os bilhetes 1-2-3 ou os bilhetes 13-14-15. 2 P(ficarem juntas numa ponta) = 4552º ProcessoVamos pensar nos três bilhetes destinados às três amigas, mas interessando-nos agora a ordemcomo elas ocuparão depois esses três lugares. Continuamos a ignorar os outros 12 bilhetes.O espaço de resultados é o conjunto dos ternos ordenados. Por exemplo, um dos seuselementos é o terno {5, 7, 15}, ou seja, a Ana fica no lugar 5, a Bela no 7 e a Carla no 15.Os casos possíveis são, portanto as diferentes maneiras de elas receberem 3 bilhetes de umconjunto de 15, mas em que a ordem por que recebem os bilhetes é importante. Casos Possíveis = A 15,3 = 2730Se os bilhetes que elas receberem forem 1, 2 e 3, como a ordem interessa, há seis maneiras deelas os ocuparem (são as permutações de 3). O mesmo se passa para os bilhetes 13, 14 e 15.Logo, os casos favoráveis são 2 × P3 , ou seja, 12. 12 2 P(ficarem juntas numa ponta) = 2730 = 4553º ProcessoDesta vez vamos considerar todas as maneiras como os 15 alunos podem sentar-se nos 15lugares.
  • 87. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 87O espaço de resultados é constituído por todas as permutações dos 15 alunos pelas cadeiras.Os casos possíveis são, portanto as permutações de 15. Casos Possíveis = P15 = 15!Se as três amigas ficarem nos lugares 1, 2 e 3, podem permutar entre si, e os outros 12 alunostambém. O mesmo se passa se ficarem nos três últimos lugares. Então: Casos Favoráveis = 2 × P3 × P12 2 × P3 × P12 2 P(ficarem juntas numa ponta) = P15 = 4554º ProcessoVamos calcular a probabilidade pedida admitindo que os bilhetes vão ser entregues um a um àstrês amigas.A primeira vai receber o seu bilhete. Dos 15 lugares, há 6 que lhe servem (os três primeiros e ostrês últimos).Chegou a vez da segunda. Há 14 bilhetes e a ela só servem os dois lugares que restam naponta onde a primeira ficou.Finalmente, a terceira, dos 13 bilhetes restantes, tem de receber o único que sobra na pontaonde estão as amigas. 6 2 1 12 2 P(ficarem juntas numa ponta) = × × = = 455 . 15 14 13 2730 5.6) Probabilidade e Favorabilidade: (Erros comuns que são cometidos no cotidiano) Trataremos agora de alguns aspectos simples da Teoria das Probabilidades e que normalmente não são explorados em sala de aula. • confusão entre as duas medidas usuais de chance ou acaso: probabilidade e favorabilidade (Chance) • a noção de valor esperado ou esperança matemática. a) Confusão entre as medidas usuais de chance ou acaso Existem duas medidas de chance: a probabilidade e a favorabilidade. As duas são facilmente relacionáveis, mas enquanto a escola trata exclusivamente da probabilidade, muitas são as situações do cotidiano onde se usa exclusivamente a favorabilidade, como é o caso dos jogos esportivos e as apostas em jogos de azar. Além disso, a noção de favorabilidade está mais próxima da medida subjetiva de chance. Está assim delineada uma situação que tende a produzir confusões. Vale a pena recordarmos esses conceitos: A probabilidade p de ocorrer um evento é o quociente entre a quantidade ou medida dos casos favoráveis pela quantidade ou medida de todas as possibilidades (favoráveis ou desfavoráveis). Já a favorabilidade desse evento é o quociente entre as quantidade ou medida de casos favoráveis pela dos casos desfavoráveis. No caso de um evento com um número finito de resultados, b bons ou favoráveis e r ruins ou desfavoráveis, temos que essas definições podem ser escritas como: p=b/(r+b) f=b/r É imediato ver que o valor de p (da probabilidade) sempre tem de estar entre 0 e 1, e o valor f (da favorabilidade) entre 0 e infinito. As duas medidas implicam um modo diferente de pensar. Por exemplo: • em termos de probabilidade, um evento tem mais chance de ocorrer do que de não ocorrer quando sua probabilidade for maior do que 0.5 = 50%.
  • 88. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 88 • em termos de favorabilidade, um evento tem mais chance de ocorrer do que de não ocorrer quando sua favorabilidade for maior do que um.Apesar dessa diferença, as duas noções estão relacionadas. Com efeito, uma rápidamanipulação algébrica nos permite expressar uma em termos da outra: p=f/(1+f) f = p / ( 1 - p ) (VERIFIQUE)EXEMPLO 1Um micro-empresário concluiu que há uma chance de 3 em 2 que seu novo negócio tenhasucesso. Traduzir isso em termos de probabilidade.Solução:O empresário expressou-se da maneira comum no cotidiano. Traduzindo isso para aterminologia matemática, ele disse que a favorabilidade de seu negócio ter sucesso é f = 3/2= 1,5, de modo que a probabilidade de sucesso é p = 1,5/2,5 = 0.6 = 60% .EXEMPLO 2Vejamos agora uma situação mais propensa a confusões: tratemos de expressar a chancede tirarmos um 3 ao lançarmos um dado.Se usarmos a probabilidade como medida de chance, diremos que a probabilidade desucesso é 1 / 6.Mas o jogador prefere dizer que a favorabilidade do sucesso é 1 / 5. Claro que maiorconfusão resultará se o jogador afirmar que a chance de sucesso é 1 / 5. O ouvinte poderáentender que ele estava se referindo à probabilidade.A principal razão dos apostadores preferirem a favorabilidade, em vez de aprobabilidade, é que essa lhe permite formular diretamente suas apostas. Com efeito, se eleacha que tem favorabilidade 3/2 de ganhar, ele está pronto para apostar R$ 3 000 contraR$ 2 000, ou R$ 150 contra R$ 100, etc.Isso leva a outro aspecto interessante. A maioria dos jogadores escolhe sua aposta de ummodo intuitivo e assim, ao dizer que aposta R$ 300 contra $ 200, nem sempre significa queele tenha calculado o verdadeiro valor da favorabilidade e que a mesma tenha dado f = 3/2.Caso isso efetivamente ocorra, dizemos que a aposta é honesta.EXEMPLO 3O time de José mantém uma performance de 8 vitórias por cada 9 partidas jogadas e José,confiante, aposta R$ 30 contra R$ 4 que seu time de futebol ganha a próxima partida.Pergunta-se: essa aposta é honesta?Solução:Para responder, precisamos calcular a chance de vitória de seu time.Poderemos dizer que p = 8/9 e que f = 8/9 / ( 1 - 8/9 ) = 8. De modo que a aposta seriahonesta se fosse R$ 32 contra R$ 4. Como são apenas R$ 30 contra os R$ 4, José estáfazendo uma aposta desonesta e que o favorece.
  • 89. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 89c) Esperança Matemática ou Valor Esperado Esse conceito surgiu antes da noção de probabilidade. Historicamente, foi introduzido para quantificar o provável ganho de um jogador, mas hoje é aplicado nas mais diversas situações. Como é muito mal entendido, vale a pena recordar sua definição: DEFINICÃO: Se uma variável aleatória assume valores v 1, v 2, ... , v n cujas probabilidades são, respectivamente: p 1, p 2, ... , p n, sendo que p 1 + p 2 + ... + p n = 1, então o valor esperado dessa variável é: v 1 p 1 + v 2 p 2 + ... + v n p n EXEMPLO 1 O governo avalia em 22%, 36%, 28% e 14% a probabilidade de que a venda da estatal XYZ renda um lucro de R$ 2 500, R$ 1 500 e R$ 500, ou um prejuízo de R$ 500 (em milhares de reais). Qual o lucro esperado? Solução: valor esperado = 2 500*0.22 + 1500*0.36 + 500*0.28 - 500*0.14 = 1 160 milhares de reais. EXEMPLO 2 Usando a noção de valor esperado, podemos facilmente ver o quão equivocada é a expectativa dos apostadores de jogos de cassino, jogo do bicho e loterias. Nesses jogos, em média, o jogador sempre perde. Comecemos por uma loteria simples e fácil de entender: jogadores apostam $5 em um número de 000 a 999, recebendo $ 2 500 se o mesmo for sorteado. Interessado? Vejamos: as probabilidades de acertar e errar são: 0.001 e 0.999, de modo que, em cada aposta, o jogador em média recebe: 2500 * 0.001 - 5 * 0.999 = -2,495, ou seja: ele perde, em média, $ 2.50 cada vez que jogar. No caso da roleta mais comumente usada no Brasil: a roda traz os números de 1 a 36 e mais duas casas especiais denotadas por 0 e 00. Na aposta chamada "jogo no pleno" o jogador aposta num desses 38 números e o cassino paga $36 por cada $1 apostado. Conseqüentemente, o ganho esperado do jogador é: 36 * 1/38 - 1 * 37/38 = -0.0263 Ou seja, o jogador perde, em média, $ 0.0263 por cada $1 jogado. Observe que é mais lucrativo ter cassino do que loteria. Procure verificar que o roubo ainda é maior se forem usadas mais duas casas, lua e meia-lua, e que fica menor no caso das chamadas roletas internacionais, que tem os números de 1 a 36 e mais uma casa 0. Deu para entender por que tantas "boas almas" querem a legalização dos cassinos no Brasil ? 5.7) Aplicações na Área Biomédica – Genética Probabilidade X Genética Um dos ramos de grande aplicabilidade do cálculo combinatório e das probabilidades é a Genética. Vamos agora enfocar os elementos básicos para que um professor de matemática possa usar em suas aulas, exemplos relacionados com a biologia ou mesmo com a medicina. A) Elementos de Genética: Nos organismos vivos existem duas partes componentes: o soma e o gérmem. A segunda parte é relacionada com a reprodução, que nos animais corresponde aos gametas (óvulo e espermatozóide). Esses gametas, tanto os masculinos como os femininos, transportam 23
  • 90. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 90cromossomas que são estruturas em forma de filamentos. Nos cromossomas é que estãocontidos os gens, que são os responsáveis pela transmissão dos caracteres hereditários.Quando há fecundação (união do espermatozóide ao óvulo) forma-se a célula ovo ou zigoto,com 46 cromossomas, dispostos aos pares – é o início de uma nova vida. Os dois cromossomasque constituem cada par são denominados cromossomas homólogos e os gens que se localizamno mesmo lugar nos cromossomas homólogos são os que chamamos de alelos.Os gens podem ser dominantes ou recessivos e costuma-se indicar os dominantes por letrasmaiúsculas e os recessivos por letras minúsculas, dessa forma, um par representado por AAsignifica dois gens dominantes.Quando um organismo tem dois alelos iguais para uma determinada característica (AA, se doisdominantes ou aa, se dois recessivos) dizemos que os gens para esse caráter estão emhomozigose e o organismo, para essa característica é homozigoto. Quando os gens sãodiferentes (Aa, um dominante e um recessivo), dizemos que há heterozigose e o organismo édito heterozigoto para essa característica.O gen dominante quer esteja em homozigose ou em heterozigose manifesta seu caráter. O genrecessivo só pode se expressar quando estiver em homozigose (aa).B) Modelo Matemático:Geração parental (gametas – 50% A e 50% a) A é dominante e a é recessivo. Aa x Aa A a A a AA Aa aA aa 1 1 1 1 4 4 4 4 O quadro de possibilidades com suas respectivas probabilidades é o seguinte: 1 A a 1 2 2 1 1 1 A AA Aa 2 4 4 1 1 1 a Aa aa 2 4 4APLICAÇÕES:1) Um casal heterozigoto com pigmentação normal teve como primogênito uma criança albina.Determinar a probabilidade de que seus dois próximos filhos sejam albinos, lembrando quealbinismo é determinado por um gene recessivo a. SOLUÇÃOSe olharmos a tabela e o modelo mostrados anteriormente, notamos que, pelo fato de ser um 1gene recessivo, essa característica só se manifestará no caso aa ( ). Lembramos também que 4
  • 91. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 91o fato da primeira criança ter sido albina não influenciará, nesse aspecto, o hereditariedade das 1futuras crianças. Logo, a probabilidade de nascer uma criança albina será de , e a de que os 4 1 1 1dois próximos filhos sejam albinos será de . = = 6,25%. 4 4 162) A queratose (anomalia na pele) é devida a um gene dominante Q. Uma mulher comqueratose, cujo pai era normal, casa-se com um homem com queratose, cuja mãe era normal.Se esse casal tiver 3 filhos, determine a probabilidade de que os três apresentem queratose. SOLUÇÃO: Mulher Homem Qq x Qq QQ Qq Qq qq 3Q é dominante, logo p = para cada filho nascido com queratose. Como os eventos 4são independentes, teremos para os três nascerem com a anomalia, a probabilidade de:3 3 3 27 . . = = 42,19%4 4 4 64 5.8) DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL EM PROBABILIDADESConsideremos um experimento com apenas dois resultados possíveis, que chamaremos desucesso e seu complementar, que chamaremos de fracasso. Vamos representar por s, aprobabilidade de ocorrência do sucesso e por f = 1 – s, a probabilidade de ocorrência dofracasso.Por exemplo:Jogamos um dado honesto e consideramos sucesso a obtenção do números 3 ou 4. O fracasso 2 1 4 2será constituído dos resultados: 1, 2, 5 ou 6. Teremos, nesse caso, s = = ef= = . 6 3 6 3Note, nos dois exemplos apresentados que s + f = 1 ou 100%.Temos o seguinte teorema, denominado Teorema Binomial em Probabilidade:“A probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos em uma seqüência de n provasindependentes, na qual a probabilidade de sucesso em cada prova é s e a de fracasso é f k n k= 1 - s, é igual a C n,k .s . f ”Vamos fixar da seguinte forma: obtenção dos sucessos nas k primeiras provas e dos fracassos,nas n – k provas seguintes. Dessa forma, aplicando o princípio multiplicativo, teremos aprobabilidade s.s.s..... (k fatores). f.f.f.f... (n – k) fatores, ou seja: sk . f n k
  • 92. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 92É claro que, em outra ordem, a probabilidade seria a mesma pois apenas a ordem dos fatores sealteraria. A probabilidade de obtermos k sucessos e n – k fracassos, em qualquer ordem é:sk . f n k . Como temos C n,k ordens possíveis, teremos o resultado esperado:Cn , k .s k . f n kAPLICAÇÕES:1) Um aluno marca, ao acaso, as respostas em um teste de múltipla-escolha, com 10questões e cinco alternativas para cada uma, com apenas uma certa. Qual a probabilidade deleacertar exatamente 4 questões?Solução: Sabemos que s = 1/5 ou 0,2 e que f = 4/5 ou 0,8. Como queremos exatamente 4 sucessos emn = 10 provas e os eventos são independentes, podemos aplicar o teorema binomial: P= C10 , 4 .0,24.0,86 = 0,088 ou 8,8%2) Risco do efeito fatal – Admitamos que a probabilidade de que uma pessoa não morra, noprazo de um mês após uma determinada operação de câncer é 82%. Qual a probabilidade deque três pessoas que fizeram tal operação sobrevivam, ou seja, não morram em até um mês dacirurgia?Solução:Temos, neste caso, s = 0,82 e f = 0,18. Estamos querendo que os três sobrevivam, ou seja,k= 3, então teremos:P= C 3,3 .0,82 3.0,18 0 = 0,5514 ou 55,14% EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – PROBABILIDADES 1 – Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa. Solução: Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado, a probabilidade de sair cara é igual a 3k. A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1. Logo, k + 3k = 1 então k = 1/4. Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%. 2 – Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo. Solução: Pelo enunciado, podemos escrever: p(2) = p(4) = p(6) = 2.p(1) = 2.p(3) = 2.p(5). Seja p(2) = k. Poderemos escrever: p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ou seja: a soma das probabilidades dos eventos elementares é igual a 1.
  • 93. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 93Então, substituindo, vem:k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1, logo, teremos k = 2/9.Assim, temos:p(2) = p(4) = p(6) = 2/9p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9.O evento sair número primo corresponde a sair o 2, ou o 3 ou o 5. Logo,p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9.3 – Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso,qual é a probabilidade de ambas terem os olhos azuis?Solução:Existem C10,2 possibilidades de se escolher duas pessoas entre 10 e, existem C3,2possibilidades de escolher duas alunas de olhos azuis entre as três. Logo, a probabilidadeprocurada será igual a:P = C3,2 / C10,2 = 3/45 = 1/154) Lança-se um dado 8 vezes. Qual a probabilidade de sair exatamente 5 números iguais a3?Solução:Sejam os eventos: Evento A: sair o número 3; Evento complementar de A = A’: não sair onúmero 3. Teremos: p(A) = 1/6 = p e p(A’) = 1 – 1/6 = 5/6Portanto, a probabilidade procurada, aplicando-se o teorema binomial, será dada por: 0,0042 ou 0,42%5) UNESP 2000 - Numa cidade com 30000 domicílios, 10000 domicílios recebemregularmente o jornal da loja de eletrodomésticos X, 8000 recebem regularmente o jornal dosupermercado Y e metade do número de domicílios não recebe nenhum dos dois jornais.Determine a probabilidade de um domicílio da cidade, escolhido ao acaso, receber o jornalda loja de eletrodoméstico X e não receber o jornal do supermercado Y.SOLUÇÃO: Seja n o número de pessoas que recebem os dois jornais: Teremos: 10000 - n + n + 8000 - n = 15 000 Logo, n = 3000. Portanto, 3000 domicílios recebem os dois jornais.
  • 94. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 94Dessa forma, teremos 10 000 – 3000 = 7000 domicílios que só recebem o jornal dosupermercado X. Logo, a probabilidade procurada será 7000 / 30 000 = 0,233 = 23,3 % EXERCÍCIOS GERAIS – PROBABILIDADES – QUESTÕES DE CONCURSOS 1)(Concurso para Professores do Ensino Médio – Governo do Estado do Rio de Janeiro – 1990) A tabela seguinte fornece, por sexo e por curso, o número de estudantes matriculados num colégio estadual. Homens Mulheres Form. Geral 400 200 Form. De 80 320 Professores Escolhendo, ao acaso, um desses estudantes obtenha as seguintes probabilidades: A) do elemento escolhido ser homem ou ser do curso de formação geral B) do elemento escolhido ser mulher, dado que é do curso de formação de professores. 2) (Concurso para Professores – Macaé – Ensino Fundamental) Uma comissão de 3 elementos será escolhida entre os alunos: Ari, Bernardo, Carlos, David, Eurico, Fernando e Gustavo. A probabilidade de Gustavo pertencer a essa comissão é de, aproximadamente: a) 43% b) 45% c) 47% d) 49% 3) (Concurso para Professores CEI – RJ – 1996) Observe a figura abaixo. 0 1 1 2 3 2 Esta figura sugere uma roleta de um programa de televisão. Gira-se o ponteiro e anota- se o número que ele aponta ao parar; repete-se a operação. A probabilidade de que o produto dos números obtidos seja igual a 6, é: a) 1/9 b) 1/6 c) ¼ d) 1/3 e) ½ 4) (Concurso para Professores – Ensino Médio – Rede Estadual RJ – 1997) Um jogo de loteria, conhecido como Quina da Felicidade, é composto de uma cartela numerada de 1 a 50 (01, 02, ....50). É considerado vencedor o apostador que conseguir acertar a quina (coleção de 5 números) sorteada dentre os 50 números. João fez apenas um jogo com 10 dezenas e Pedro fez 50 jogos distintos de 5 dezenas. Quem tem maior probabilidade de vencer? Quais são essas probabilidades? 5) (Concurso para Professores – Ensino Fundamental – SME Valença RJ – 1998) A turma 801 da Escola Esperança é constituída de 12 meninas e 8 meninos. Com o objetivo de organizar uma gincana na escola, deseja-se selecionar 3 alunos para representantes de turma. Qual a probabilidade aproximada de que essa comissão de representantes tenha exatamente 2 meninas e 1 menino? 6) (Concurso para Professores – Ensino Fundamental – SME de São Gonçalo RJ – 1998) Dois dados (cúbicos) distintos e honestos são lançados sobre uma mesa. A probabilidade da soma dos valores obtidos nas faces superiores ser igual a 5 é de:
  • 95. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 95a) 1/3 b) ¼ c) 1/5 d) 1/6 e) 1/97) (Concurso para Professores – Ensino Médio – FAETEC RJ – 1998)Num setor em que trabalham 6 homens e 4 mulheres, será escolhida, por sorteio, umacomissão de 2 representantes desse setor. A probabilidade de que a comissão venha aser formada somente por homens é de:a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 1/68) (Concurso para Professores – Fundação Educacional de Barra Mansa – 1998)Uma caixa contém 200 bolas numeradas de 1 a 200. Retirando-se uma delas ao acaso,a probabilidade de que ela esteja numerada com um número múltiplo de 13 é de:a) 6,5% b) 7,0% c) 7,5% d) 8,0% e) 8,5%9) (Concurso de Professores – SME do Rio de Janeiro – 1998)Teresa deseja comprar 2 periquitos numa loja que tem igual número de machos efêmeas. Se Teresa escolhe ao acaso dois periquitos, a probabilidade de que ela compredos periquitos machos é:a) 25% b) 50% c) 75% d) 80% e) 85%8) (Concurso de Professores – SME de Mesquita – 2002)Retirando-se 4 bolas de uma caixa contendo 3 bolas brancas, 4 bolas vermelhas e 5bolas pretas, a probabilidade de que pelo menos uma das 4 bolas retiradas seja brancaé:a) 41/55 b) 14/55 c) 55/14 d) 1/5512) (Concurso para Professores – Ensino Médio – Rede Estadual RJ – 2001)Marcos e Celia querem ter 3 filhos. A chance de que o casal tenha três filhas é de:a) 11% b) 12,5% c) 33,3% d) 37,5%13) (Concurso para Professores – Ensino Médio – Rede Estadual RJ – 2001)Oito pontos sobre uma circunferência são os vértices de um octógono regular. Se 4desses oito pontos forem escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de se obter umquadrado é:a) 1/70 b) 1/35 c) 2/35 d) 2/714) (Concurso para Professores – Ensino Fundamental – SME de Duque de Caxias – 2002)Em um grupo de 20 pessoas, a probabilidade de que nele haja, pelo menos, duaspessoas nascidas num mesmo mês é igual a:a) 0,12 b) 0,6 c) 0,8 d) 1 e) 5/315) (Concurso para Professores – Ensino Fundamental – SME de Niterói – 2003)Dois dados não viciados são lançados simultaneamente. A probabilidade de sair a somamenor do que 5, nas faces voltadas para cima desses dois dados, é:a) 1/18 b) 5/18 c) 1/9 d) 1/36 e) 5/9 GABARITO 04) João01) a) 68% 02) A 03) A 0,000119 e 05) 46 % b) 80% 0,000024 06) E 07) B 08) C 09) A 10) 1,98 % 11) A 12) B 13) B 14) D 15) B Nem mesmo toda a ciência do homem lhe bastaria para conhecer a extensão da sua ignorância." (Leoni Kaseff)
  • 96. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 96 V) Matrizes e Determinantes 1. Introdução Quando utilizamos programas gráficos nos computadores não nos damos conta doque está por detrás das operações que efetuamos, mas é bom que saibamos que estasoperações só são possíveis porque antes mesmo de serem desenvolvidos oscomputadores, o homem já havia desenvolvido a teoria das matrizes. Programas como oWord, o Excel e outros, não poderiam ser criados se não existissem as matrizes. Cadamovimento executado com uma figura colocada na tela de seu computador corresponde auma operação de matrizes. A geração dos movimentos e deformações que vemos nosefeitos especiais de cinema, da televisão, dos games de computadores e em inúmerassimulações científicas está baseada na multiplicação de matrizes. Nestas aplicações, nossoproblema reside na rapidez com que precisamos realizar as multiplicações para que osresultados pareçam mais realísticos. É aí, exatamente que entra a informática e quanto maiságeis forem os co-processadores de nossos computadores, tanto mais e melhores serão osbenefícios que deles podemos usufruir. Problemas que envolvem campos elétricos,magnéticos, de tensões elásticas, térmicas, e etc, são reduzidos a sistemas de equaçõeslineares com número excessivamente grande de equações e incógnitas cuja solução só éplausível com o uso de matrizes. Só para termos uma idéia de o quanto as matrizes fazemparte de nossas vidas, basta saber que a distribuição de energia elétrica, de gás e outrosserviços como telecomunicação seriam absolutamente inviáveis em grande escala, comonas redes estaduais, não fosse o uso de matrizes gigantescas operadas por computadores. É bem comum no nosso cotidiano estarmos interessados em comparar medidas ouaspectos de diversos objetos. A forma mais eficiente de fazermos isso é, através de umatabela de dupla entrada onde, numa das entradas relacionamos os objetos a seremobservados e na outra, as medidas ou aspectos que queremos comparar. Por exemplo,suponha que estamos precisando comprar feijão, arroz, açúcar e café. Vamos pesquisar osmenores preços nos supermercados Baratão, Bom Demais e Pague Pouco e paraanotarmos seus preços fazemos a seguinte tabela: Feijão(Kg) Arroz(Kg) Açúcar(Kg) Café(Kg)Baratão 1,98 2,20 2,55 4,30Bom Demais 2,10 2,38 2,15 3,95Pague Pouco 1,80 2,40 2,30 4,15 Uma matriz é exatamente uma tabela como a que construímos acima com a únicadiferença que não enfatizamos os significados das linhas e colunas (talvez por já estarexplícito). 1,98 2,20 2,55 4,30 %1,98 2,20 2,55 4,30" 2,10 2,38 2,15 3,95 ou #2,10 2,38 2,15 3,95 # 1,80 2,40 2,30 4,15 #1,80 2,40 2,30 4,15 ! $Se o número de objetos a serem observados, for muito grande a disposição em forma dematriz torna-se ainda mais eficiente. Naturalmente que o número de linhas e colunas damatriz, isto é, o tipo de matriz, depende exclusivamente do problema que está sendoanalisado. Em geral nomeamos as matrizes com as letras latinas maiúsculas. Uma matriz Aque possui m linhas e n colunas pode ser representada por:
  • 97. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 97 a11 a12 a13 . . . a1n a 21 a 22 a 23 . . . a 2 n a 31 a 32 a 33 . . . a3nAmxn = . . .... = (a ij )mxn . . .... . . . ... . a m1 . . ... a mnQualquer elemento da matriz A é da forma a ij , onde os índices i e j servem apenas paraindicar, respectivamente a linha e a coluna do elemento considerado.2.Tipos Especiais de Matrizes2.1 Matriz linhaÉ uma matriz da forma 1xn. Por exemplo: B1 x 3 = [2 0 7 ]2.2 Matriz Coluna % 1" # 3 #É uma matriz da forma mx1. Por exemplo : C 5x1 =# 6 # # 0 # $ 4!2.3 Matriz Nula %0 0 0 "È uma matriz de qualquer tipo, cujos elementos são todos nulos. Exemplo D2 x 3 = # $0 0 0 ! 2.4 Matriz Quadrada %1 3" É uma matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas. Ex E 2 x 2 = # . $0 5!Uma matriz quadrada de n linhas e n colunas é denominada matriz quadrada de ordem nou matriz nxn.Existem dois conjuntos de elementos de uma matriz quadrada que merecem destaque, eque são chamados de Diagonal Principal e Diagonal Secundária. Os elementos de umamatriz quadrada A de ordem n tais que i = j, constituem a Diagonal Principal e os elementosdessa mesma matriz A tais que i + j = n + 1, constituem a Diagonal Secundária. Exemplo. % 2 4 6" #Seja a matriz A = 0 1 3 # #2 5 9 ! $A Diagonal Principal é o conjunto DP = {2 ,1, 9} e a Diagonal Secundária é o conjuntoDS = {6 ,1, 2} 2.5 Matriz Triangular É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima ou todos os elementosabaixo da diagonal principal são nulos.
  • 98. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 98Ex %3 0 0 " %1 2 5 " M = #2 2 0 # N = #0 1 4 # #1 5 7 ! $ # $0 0 3! 2.6 Matriz DiagonalÉ uma matriz quadrada cujos elementos fora da diagonal principal são todos nulos. %3 0 0 0" #0 5 0 0Ex. F = # #0 0 1 0 # $0 0 0 4! 2.7 Matriz IdentidadeÉ uma matriz diagonal na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais aunidade. Abaixo apresentamos exemplos de matrizes identidades de 1ª, 2ª e 3ª ordem. %1 0 0" %1 0" I 1 = [1] I2 = # I 3 = #0 1 0 # $0 1! #0 0 1! $ 2.8 Matriz SimétricaÉ uma matriz quadrada onde se observa a ij = a ji 2.9 Matriz Anti-simétricaÉ uma matriz quadrada onde se observa a ij = a ji 3. Igualdade de MatrizesDuas matrizes A e B são iguais quando são do mesmo tipo mxn e apresentam elementosque ocupam a mesma posição, iguais. ( ) ( )Se A = a ij mxn e B = bij mxn , então A = B * a ij = bij 4.Matriz TranspostaConsidere uma matriz M do tipo mxn, chamamos de matriz transposta de M (representamospor M t ) a matriz do tipo nxm que se obtém trocando ordenadamente as linhas pelas %1 7 0" %1 8 2 "colunas da matriz M. Ex. M = #8 6 1 a transposta será a matriz M t = #7 6 4 # # #2 4 3 ! $ #0 1 3 ! $ 5. Operações de Matrizes 5.1 Adição de matrizesDuas matrizes são conformes para a adição se forem do mesmo tipo, e isto significa que seas matrizes não forem do mesmo tipo não estará definida a adição entre elas. Dadas duas ( ) ( )matrizes do mesmo tipo mxn A = a ij mxn e B = bij mxn , a adição destas matrizes tem como
  • 99. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 99resultado uma outra matriz do mesmo tipo , digamos C = cij ( ) mxn tal que cij = a ij + bij paratodo i {1, 2, 3, ....m}e todo j {1, 2, 3 , ......, n} 5.1.1 Propriedades da Adição de MatrizesA justificativa para a validade das propriedades abaixo apresentadas decorre do fato de queadicionar matrizes implica adicionar elementos (números reais) que ocupam as mesmasposições nas matrizes. Como a adição de números reais apresenta estas propriedades, elasserão preservadas para a adição de matrizes. Propriedade ComutativaA+B=B+A Propriedade AssociativaA+(B+C)=(A+B)+C Existência do Elemento NeutroA+0=0+A=AO símbolo 0, aqui usado, representa a matriz nula de mesmo tipo que A Existência do Elemento OpostoA + (-A) = 0A matriz oposta representada pelo símbolo –A, é a matriz que se obtém quando trocamos osinal de todos os elementos da matriz A. Transposta da Soma(A + B) t = A t + B tConvém enfatizar que se A é uma matriz anti-simétrica, então A t = A . Exemplo de umamatriz anti-simétrica: 0 -2 1A= 2 0 3 . Observe que os elementos da diagonal principal são todos nulos. 1 3 06. Multiplicação de uma Matriz por um EscalarConsiderada uma matriz A do tipo mxn e um número real , o produto .A é a matriz dotipo mxn que se obtém multiplicando todos os elementos de A por , ou seja, ( )Se A = a ij mxn e ( , + .A = .a ij mxn , i e j . )6.1 Propriedades da multiplicação de matriz por escalar Sejam A e B matrizes do mesmo tipo e e números reais.6.1.1 ( .A ) = ( . ).A .6.1.2 (A + B) = .A + .B .6.1.3 ( + ).A = .A + .B
  • 100. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 1006.1.4 ( .A ) = .A t . t6.1.5 1. A = A.6.2 Multiplicação de MatrizesSejam as matrizes A = a ij ( ) mxn e B = (b jk )nxp . O produto de A por B ( representa-se A.B ouAB) é a matriz C = (cik )mxp , onde qualquer elemento cik é a soma dos produtos doselementos da i-ésima linha de A pelos correspondentes elementos da k-ésima coluna de B. cik = ai1 .b1k + ai 2 .b2 k + ai 3 .b3k + ...... + aim .bnk .Observe que para definir multiplicação de matrizes é condição sine qua non que as matrizestenham as seguintes características: o número de colunas da primeira matriz tem que serigual ao número de linhas da segunda e a matriz resultante terá, por via de conseqüência, onúmero de linhas e colunas respectivamente iguais ao número de linhas da primeira e aonúmero de colunas da segunda matriz. Da definição acima, decorre que a multiplicação de matrizes não é comutativa, ouseja, se A e B são duas matrizes é falso afirmar que A.B = B.A. Entretanto se as matrizes Ae B forem quadradas e de mesma ordem pode acontecer de que A.B = B.A. Neste caso,dizemos que as matrizes A e B, comutam. Há um dispositivo prático que facilita sobremodo a multiplicação matricial que -1 3 0 -2 1passaremos a expor. Considere as matrizes A = 2 1 1 e B= 0 5 O produto 4 5 3 7 8de A por B se obtém armando um dispositivo semelhante a um jogo da velha e escrevendo-se os elementos das matrizes como mostramos a seguir:. -2 1 0 5 A.B 7 8 -1 3 0 -1(-2) + 3.0 +0.7 -1.1 + 3.5 +0.8 2 1 1 2.(-2 ) + 1.0 +1.7 2.1 + 1.5 +1.8 4 5 -3 4(-2) + 5.0 +(-3).7 4.1 + 5.5 +(-3).8A soma dos produtos dos elementos das linhas da matriz A pelos elementos das colunas damatriz B são colocados no 4º quadrante do jogo da velha. Assim, o resultado procurado é 2 14A.B = 3 15 29 5Convém notar que o produto B.A sequer é possível e a matriz A.B tem o mesmo número delinhas da matriz A e o mesmo número de colunas da matriz B.
  • 101. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 1016.3 Matriz InversaDada uma matriz quadrada A, chamamos de matriz inversa de A e representamos por A -1 amatriz que atende a seguinte condição A.A -1 = A -1 .A = I6.4 Propriedades do Produto de MatrizesAssociativaA.(B.C) =(A.B).CDistributiva à Direita em Relação à Adição(A + B).C = A.C + B.CDistributiva à Esquerda em Relação à AdiçãoA.(B + C) = A.B + A.CTransposta do Produto(A.B)t = B t .A tInversa do Produto( A.B ) 1 = B 1 .A 1Também é válida a seguinte propriedade : (A.B) = ( .A).B = A.( .B) , , Exercícios 1. Considere a matriz A = a ij ( ) 2x 3 tal que /3i 2 j se i < 2, a ij = . Construa a matriz A. -i + 2 j se i 2 2. Considere a seguinte matriz, quadrada de ordem 3: %4 + m ... ... " A = # m n + 8 ... . # # n $ p 2 p 6! Sendo A uma matriz anti-simétrica, determine os termos a12 , a13 e a 23 . 3. Seja A uma matriz quadrada de ordem 2, 0 2 a matriz nula de mesma ordem, e A t a matriz transposta de A. Demonstre que, se A. A t = O2 , então A = O2 . 4. Seja A = aij ( ) 2x2 a matriz dos elementos /cos( j ), se i = j 1 aij = . i . Determine a matriz A 2 . 1 sen , se i j - 2
  • 102. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 102 5. Considere as matrizes: %1 " % 0 3" 5 # A = #2 e B=# 1 1 . # #0 $ 1 2! # 4 7! $ a) determine o termo x 21 da matriz ( A.B). b) determine o termo x 22 da matriz (A.B). 1 2 1 3 6. Sejam as matrizes A = e B= . 3 1 3 1 Determine a matriz X, tal que X = A -1 . B %16 1 10" # 7. Obter a segunda linha da matriz A sabendo que: A = 13 1 1 8 # #11 $ 1 7! %2 3" 8. ( Calcular A + A 1 ) 2 , sabendo que A 1 =# $5 8! 9. ( Calcular A + A 1 )(A A 1 ) sabendo que A = %1 #8 2" 17! $ %a b" 10. Calcular, supondo que exista, a inversa da matriz A = # . Qual é a condição $c d!sobre a, b, c, d para que exista A 1 ? Respostas 1 1 31. A = 2. a12 = 4 ; a13 = 8 ; a 23 = 3 3. Tome uma matriz de 4 6 82ª ordem qualquer, construa a transposta efetue o produto e use a igualdade de matrizes. 1 0 1 14. A 2 = 5. x 21 = 1 + 4 2 x 22 = 1 + 14 6. X = 0 1 0 2 10 07. a 21 = 3 ; a 22 = 2 ; a 23 = 2 8. 9. 0 10 288 72 288 288
  • 103. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 103 d b ad bc ad bc10. A 1 = e ad bc 0 c a ad bc ad bc Testes de Vestibulares1. (Fatec-SP) Seja A = (a ij ) uma matriz quadrada de ordem 2 tal que /2 i + j para i < j 1a ij = . 2 . Nestas condições: 1i + 1 para i j - 2 4 2 8 2 8a) A = b) A = c) A = 8 5 5 6 5 5 2 8d) A = e) nda. 2 52. (UFMT) Sejam as matrizes A = a ij ( ) 2x 3 tal que a ij = j 3i ; B = (bij )3 x 2 tal quebij = 2i + j 2 e C = (cij )2 x 2 tal que cij = ij . O elemento de maior módulo dentre os queformam a diagonal principal da matriz P, onde P = AB + 20C , é:a) 20 b) 9 c) 0 d) -12 e) -15 8 03. (UFU-MG) Se A é uma matriz diagonal de ordem 2 tal que A 2 = , então A 1 0 27é a matriz: 1 0 1 1 2 1 0 1 0a) b) 2 c) 2 d) 1 0 1 0 0 1 0 3 3 1 0e) 2 1 14. (UFRS) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada,usados num restaurante. A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e saladausados na composição dos pratos tipo P1 , P2 , P3 desse restaurante. arroz carne salada 1 arroz 2 1 1 prato P1C = 3 carne P= 1 2 1 prato P2 2 salada 2 2 0 prato P3A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1 , P2 , P3 é: 7 4 9 2 2a) 9 b) 4 c) 11 d) 6 e) 2 8 4 4 8 4
  • 104. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 104 1 2 15. (ITA-SP) Sendo A = 0 3 2 , então o elemento da terceira linha e primeira 3 1 2coluna de sua inversa será igual a: 5 9 6 2 1a) b) c) d) e) 8 11 11 13 136. (UFU-MG) A solução da equação matricial At X = B , onde 1 0 0 3A= 2 2 2 , B= 2 e A t é a transposta de A , é: 3 3 1 2 1 0 3 0 0a) 2 1 ( b) 1 2 0 ) c) 2 2 2 2 2 2 0 0 6 2 3 2 1d) 2 e) não existe a matriz X. 0 0 1 07. (MACKENZIE-SP) Com relação à matriz A = 1 1 1 a alternativa correta é: 0 0 1a) A19 = I 3 b) A 20 = A c) A 21 = A 2 d) A 22 = A 2 e) A18 = I 3 x8. (CESGRANRIO) Para que valores de k existe uma única matriz , tal que y k 1 2 x 0 = ? 1 k y 0a) k 1 b) k = 2 c) k = 2 ou k = 1 d) k 2ek 1 e) k 2ek 1
  • 105. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 105 sen cos 19. (UNIRIO) Para que a matriz A = sen 1 0 , seja inversível, é necessário sen cos 0que:a) + 2k b) + 2k c) k d) 2k e) 2k ± 4 2 2 %19941994 19941994" % 1 1"10. (UERJ) Considere as matrizes A = # e B=# $19941994 19941995! $ 1 1!Seja A 2 = A. A e B 2 = B.B . Determine a matriz C = A 2 B2 ( A + B )( A B) % 0 1" %1 0" % 1 0" %0 1" %1 1"a) # b) # c) # d) # e) # $ 1 0! $0 1! $ 1 0! $1 0! $0 0! Respostas dos Testes1. c 2. d 3. a 4. a 5. b6. d 7. e 8. e 9. c 10. a7. Determinantes Determinante associado a uma matriz quadrada, é o número real obtido de formaúnica por meio de operações efetuadas com os elementos de matriz. Antes de darmos uma definição formal de determinante de uma matriz quadradaqualquer, optamos por fazer uma apresentação homeopática, mostrando primeiramentecomo calcular determinantes de matrizes de 1ª, 2ª e 3ª ordens. Na verdade essesdeterminantes são os mais usados nos problemas que são abordados no Ensino Médio. Em seguida daremos uma definição geral e constataremos que a forma comocalculamos os determinantes até 3ª ordem está absolutamente de acordo com estadefinição7.1 Determinante de 1ª ordemO determinante de uma matriz de 1ª ordem é igual ao único elemento da matriz. Portanto, seA = (a11 ) , o seu determinante será igual ao elemento a11 , representamos esse fatoescrevendo det A = a11 = a11 .7.2 Determinante de 2ª ordemO determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem é igual ao produto dos elementos dadiagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. Se a11 a12 a11 a12A= , então det A = = a11 .a 22 a12 .a 21 . a 21 a 22 a 21 a 22
  • 106. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 1067.3 Determinante de 3ª ordemO determinante associado a uma matriz quadrada de ordem 3 é obtido através da seguinteseqüência operacional:a11 a12 a13a 21 a 22 a 23 = a11 a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21 a32 a13 a 22 a 31 a11 a 23 a 32 a12 a 21 a33a 31 a 32 a33Indica-se, para simplificar o processo, a utilização do dispositivo de Sarrus, que consiste narepetição ordenada das duas primeiras colunas após a barra vertical direita e nasmultiplicações (3, precedidas do sinal +) dos 3 elementos situados na direção da diagonalprincipal e (3 multiplicações, precedidas do sinal -) dos 3 elementos situados na direçãoda diagonal secundária. a11 a12 a13 a11 a12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 = a 31 a32 a33 a31 a 32= a11 a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 +- 13 a 21 a 32+ a13+ a 22+ a 31 a11 a 23 a 32 a12 a 21 a 33 - - a 8. Propriedades dos determinantesO cálculo do determinante associado á uma matriz pode ser simplificado através de certaspropriedades. A seguir serão descritas algumas dessas propriedades e, para tal, deve-seconsiderar:i) A e B matrizes quadradas de ordem m 2 ; e ii) uma fila como sendo uma linha ou umacoluna.Propriedade 1 - o determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta det A = det( At ).Propriedade 2 - se todos os elementos de uma fila de A forem nulos, então det A = 0.Propriedade 3 - se duas filas paralelas de A forem trocadas de posição, será obtida umamatriz B, tal que det B = - (detA).Propriedade 4 - se todos os elementos de uma fila de A forem multiplicados por númeroreal k, obter-se-á uma matriz B, tal que det B = k(detA), k R.Propriedade 5 – se duas filas paralelas de A forem formadas por elementosrespectivamente iguais, então det A = 0.Propriedade 6 - se duas filas paralelas de A forem integradas por elementosrespectivamente proporcionais, então det A = 0.Propriedade 7 - Teorema de Jacobi adicionando à fila de A uma outra fila paralela(previamente multiplicada por k R ), obter-se-á uma matriz B, tal que: det B = det A.Propriedade 8 - Teorema de Binetdet (A.B) = (detA).(det B)Propriedade 9 - se A é uma matriz triangular (ver item 2.5), então det A é igual ao produtodos elementos da diagonal principal de A.Propriedade 10 - se uma fila de A é a composição linear de outras filas paralelas, então detA = 0.
  • 107. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 107Exemplo: 2 0 4 2 2.2. 1.4 4 A= 1 7 5 = 1 2( 1) 1.5 5 2 0 4 2 2( 2) 1.( 4) 4Observe que a 2ª coluna é a combinação linear da 1ª e da 3ª colunas, e, portanto, det A = 0. 1Propriedade 11 - se a matriz A é inversível, então det( A 1 ) = . com det A 0. det A 9. MENOR COMPLEMENTAR E COFATORDefinição : Chama-se Menor Complementar Dij ( ) de um elemento a ij de uma matrizquadrada A, ao determinante que se obtém eliminando a linha i e a coluna j da matriz. 1 3 1 Por exemplo, dada a matriz A = 3 0 7 , o menor complementar do 2 6 5 elemento a 23 = 7 , de acordo com a definição acima seria o seguinte determinante: 13 0 7 D23 = = 0 . De modo análogo podemos calcular D11 = = 42 ; 26 6 5 3 7 3 0 3 6 1 1 D12 = = 1 ; D13 = = 18 ; D21 = = 9 ; D22 = =3 ; 2 5 2 6 1 5 2 5 3 1 1 1 1 3 D31 = = 21 ; D32 = = 4 e finalmente D33 = = 9 0 7 3 7 3 0Definição : Chama-se Cofator de um elemento a ij de uma matriz ao númeroC ij = ( 1) .Dij i+ jAssim o cofator do elemento a 32 da matriz dada acima é : C 32 = ( 1) 3+ 2 .D32 = 4 .Definição Geral de DeterminantesA definição geral para o determinante de uma matriz nxn será dada pelo seguinte:Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtosdos elementos de uma fila ( linha ou coluna)pelos seus respectivos cofatores.O teorema de Laplace nos permite calcular o determinante de uma matriz de qualquerordem. Como já temos regras práticas para o cálculo de determinantes de 1ª , 2ª e 3ªordem, só recorremos a esse teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem emdiante. Convém ressaltar que o teorema de Laplace nos possibilita abaixar a ordem dodeterminante. Assim, sua aplicação à um determinante de 4ª ordem, implicará no cálculo de4 determinantes de 3ª ordem. A esta altura, pode-se perceber que o cálculo dedeterminantes de 5ª ordem em diante, mesmo com a aplicação do teorema de Laplace, éuma tarefa extremamente laboriosa e que justifica plenamente o uso de planilhaseletrônicas, como por exemplo, o programa Lótus 1-2-3 ou Excel. De qualquer modo, aescolha de uma fila com o maior número possível de elementos nulos facilita, por razõesóbvias, a aplicação deste teorema.
  • 108. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 108 10 - SOBRE MATRIZ INVERSA 10.1 Conforme foi observado no item 6.3 da unidade sobre matrizes, a forma de se obter,se existir, a inversa de uma matriz envolve um processo pouco prático.No entanto, se uma matriz é inversível de ordem 2, pode-se recorrer à uma técnicaalternativa para obtenção de A 1 . a b 1 d b se A = +A 1= c d det A c aNa verdade, é possível generalizar o processo acima para encontrar a inversa de umamatriz de uma ordem qualquer, para tanto vamos definir a matriz adjunta de uma matrizdadaDefinição. Chama-se matriz cofatora de uma matriz A (representa-se por cof A) a matrizque se obtém substituindo-se cada elemento da matriz A pelo seu respectivo cofator.Definição. Chama-se matriz adjunta de uma matriz A, a matriz Adj. A = (cof A) , isto é, a tmatriz transposta da matriz cofatora da matriz A dada.Agora é possível encontrara matriz inversa de uma matriz A qualquer da seguinte forma: 1 A1= Adj A , ou seja, devemos encontrar a matriz adjunta da matriz A e dividi-la pelo det Adeterminante de A. 1 10.2. Se A é uma matriz quadrada de ordem m, existirá A se, e somente se, det A 0. 11. Determinante Especial de Vandermonde.Determinante de Vandermonde (ou de potências) é aquele formado com potênciassucessivas de n bases distintas a, b, c, ....., k , l 14 244 4 3 n Exemplo 1 1 1 ........... 1 1 a b c .......... k l D = a2 b2 c2 ........... k 2 l2 ................................. an 1 bn 1 cn 1 ............ k n 1 ln 1O cálculo do determinante de Vandermonde se efetua segundo a seguinte expressão:D = (b a )(c a ).....(l a )(c b )(d b ).....(k b )(l c )......(k j )(l j )(l k )Exercício 1. Desenvolver o determinante de Vandermonde de bases 7, 4 , 8, 3.Solução:
  • 109. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 109 1 1 1 1 7 4 8 3Trata-se de um determinante de 4ª ordem cuja matriz é : . Então o 49 16 64 9 343 64 512 81valor D do seu determinante será:D = (4 7 )(8 7 )(3 7 )(8 4)(3 4)(3 8) = 3.1.( 4).4.( 1)( 5) = 240 .Exercício 2. Calcule o determinante de Vandermonde de base 2x, (1 – x), (1 + x).Solução:Chamando de D o valor do determinante, temos:D = [(1 x ) 2 x ].[(1 + x ) 2 x].[(1 + x ) (1 x )] = (1 3x )(1 x ).2 x = 6 x 3 8x 2 + 2 x 12. Abaixamento da ordem de um Determinante Regra de ChióPara abaixar a ordem de um determinante, usamos a seguinte regra atribuída aomatemático Chio: i) Escolhe-se um elemento igual a 1 (não havendo, use as propriedades e torne um elemento igual a 1) ii) Elimine a linha e a coluna que se cruzam no elemento 1 escolhido, e obtenha assim o menor complementar deste elemento. iii) Subtraia de cada elemento do menor complementar obtido, o produto dos elementos das filas suprimidas que se cruzam nesse elemento. O determinante obtido na etapa anterior deve ser precedido do sinal ( 1) , i+ j iv) onde i e j representam a linha e a coluna a que pertence o elemento 1 escolhido.Exemplo. Use a regra de Chio para calcular o determinante: 2 3 1 5 0 4 . 1 1 3 3SoluçãoEscolhemos o elemento 1 que ocupa a linha 3 e a coluna 2, isto é, i = 3 e j = 2. Portantotemos: 2 3 1 1 3+ 2 2 3. 1 3.3 1 10 5 0 4 = ( 1) . 3 = ( 1) = ( 1)(4 + 50) = 54 5 4 1 5 3.0 4 0.3 1 3 3 EXERCÍCIOS – Série 1 1. Dê o valor do determinante abaixo sob a forma de um produto de 3 fatores.
  • 110. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 110 a a a a b b a b c 1 2 6 2. Dada a matriz A = 0 3 1 , calcule seu determinante usando a regra 5 4 2 de Sarrus. 3. Usando a definição geral, calcule o determinante da matriz 1 3 7 A= 0 1 0 2 8 5 4. Encontre o valor de k para que a matriz abaixo seja inversível. 7 2 k 1 0 1 5 3 8. 1 1 1 5. Calcule a 2a 3a a2 4a 2 9a 2 3x 1 0 x 6. Calcule x de modo que 3 1 2 =0 1 0 1 1 1 1 ...... 1 1 1+ a 1 ....... 1 7. Calcule o valor do determinante : 1 1 1 + b ...... 1 ..................................... 1 1 1 .... 1 + l 8. Usando a informação dada em 9.1, calcule a inversa da matriz 3 2 A= 1 1
  • 111. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 111 9. (FATEC-SP) Dê o conjunto X dos números que satisfazem a equação 0 x 0 0 3 2 2 1 =0 1 2 x 0 x 3 1 0 10. Calcule os seguintes determinantes: 1 0 2 0 0 3 0 0 2 1 2 1 1 2 3 4a) b) 3 2 4 1 4 3 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 Respostas Exercícios Série 1.1. a (a b )(b c ) 2. - 102 3. 9 4. k 5 1 1 25. 2a 3 6. x = 7.. a.b.c....l 8. A 1 = 2 1 39. X = { -1, 0, 1 } 10. a) 3 b) – 24 EXERCÍCIOS – Série 2 1. Usando propriedades de determinantes descubra quais dentre as matrizes abaixo têm determinante nulo. %5 4 10 1" %3 2 9 6" #3 9 6 6 #2 9 1 8A=# B=# #1 5 2 3 #5 2 3 0 # # $2 3 4 2! $5 2 3 0! % 8 0 0 0" % 3 0 2 4" # 1 4 0 0 # 2 0 6 8C=# D=# # 2 1 3 0 # 1 0 3 6 # # $ 3 2 1 5! $ 4 0 1 5! %2 9 3 4" % 4 5 0 2" #0 5 2 2 # 3 1 2 5E=# F=# #0 0 0 3 # 4 5 0 2 # # $0 0 0 7! $ 6 8 3 5! %2 5 1 3 " #0 3 0 1 2. Sendo A = # , calcule det A. #0 0 5 1 # $0 0 0 10! 3. Use a regra de Chio para abaixar a ordem e resolver o determinante:
  • 112. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 112 2 3 0 1 5 6 2 4 2 1 0 3 3 2 1 5 x 1 5 7 1 x 2 0 3 4. Obter x de modo que se tenha: = 23 x 1 5 4 x +1 6 4 0 2 0 0 0 1 1 0 0 5. Calcule o determinante: 0 6 8 0 4 5 3 7 1 5 6 6. Prove que o determinante 1 3 0 é múltiplo de 13. 1 9 5 1 2 4 7. Calcule o valor do determinante 1 5 25 1 3 9 %a b c" %a 5 1" # 8. Dadas as matrizes A = 5 3 2 e B = #b 3 2 de determinantes # # #2 $ 4 6! #c $ 2 3! não nulos, para quaisquer valores de reais de a, b e c, que relação deve existir entre os de terminantes de A e B. % k1 k2 k3 " # 9. Seja a matriz M = # k 4 k5 k 6 na qual os elementos k1 , k 2 , k 3 , ......., k 9 , formam # k7 $ k8 k9 ! uma P.G., determine o valor de det M. %1 0 0 " # x 10. Calcule o valor de x, sabendo que o determinante da matriz # 1 2 0 é igual #1 3 x x 4 ! $ a 256 Respostas EXERCÍCIOS – SÉRIE 2 11. A, B, D, E e F 2. 300 3. 40 4. 5. -112 2 36. use a propriedade 4 7. – 6 8. det A = 2.det B. 9. zero 10. 8
  • 113. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 113 Sistemas Lineares1) Introdução:O que é uma equação linear? E um sistema linear?Neste capítulo não só responderemos às perguntas acima, como mostraremos diversasaplicações importantes, no cotidiano, relacionadas com esse tema. Mostraremos ainda comoas matrizes e os determinantes que, estudamos no capítulo anterior estão também relacionadascom esse tema.Exemplo: Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carregacargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pelamatriz: Tipo do Recipiente I II III A 4 3 2 B 5 2 3 C 2 2 3Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C, se a companhiadeve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III?Montagem do sistema linear (ou sistema do 1º grau) 4 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 42 3 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 27 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 33Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se noTrinity College de Cambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendoeles três grandes produtores de materiais no campo da Matemática. Em 1858, Cayleyapresentou representações por matrizes. Segundo ele, as matrizes são desenvolvidas a partirda noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas de equações, que eledenominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas em termosde transformações lineares homogêneas.Equação linearÉ uma equação da forma a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1onde x1, x2, ..., xn são as incógnitas;
  • 114. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 114 a11, a12, ...,a1n são os coeficientes (números reais ou complexos); b1 é o termo independente (número real ou complexo).Exemplos de equações lineares 1. 4 x + 3 y - 2 z = 0 2. 2 x - 3 y + 0 z - w = -3 3. x1 - 2 x2 + 5 x3 = 1Exemplos de equações não-lineares 1. 3 x + 3y x = -4 2 2 2. x + y = 9 3. x + 2 y - 3 z w = 0 4. x2 + y2 = -9Solução de uma equação linearUma seqüência de números reais (r1,r2,r3,r4) é solução da equação linear a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato implicar que o membro da esquerda éidenticamente igual ao membro da direita, isto é: a11 r1 + a12 r2 + a13 r3 + a14 r4 = b1Exemplo: A seqüência (5,6,7) é uma solução da equação 2x+3y-2z=14 pois, tomando x=5,y=6 e z=7 na equação dada, teremos: 2×5 + 3×6 - 2×7 = 14Exercícios resolvidos:1 - Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual ovalor de p?Solução: Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p,6.2 -7.5 + 2.p = 5. Logo, 12 - 35 + 2p = 5. Daí vem imediatamente que 2p = 28 eportanto, p = 14.2 - Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo queo terno ordenado ( , , 2 ) é solução.
  • 115. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 115Solução: Podemos escrever: 5 - 2 + 2 = 14. Daí, tiramos: 2 = 14 - 5 + 2 .Portanto, a solução genérica será o terno ordenado ( , , 14 - 5 + 2 ).Observe que arbitrando-se os valores para e , a terceira variável ficarádeterminada em função desses valores. Por exemplo, fazendo-se = 1, = 3,teremos2 = 14 - 5 + 2 = 14 - 5.1 + 2.3 = 15, ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim,sucessivamente. Verificamos pois que existem infinitas soluções para a equaçãolinear dada, sendo o terno ordenado ( , , 14 - 5 + 2 ) a solução genérica.Agora resolva estes:1 - Qual o conjunto solução da equação linear 0x + 0y + 0z = 1?Resp : S = 32 - Determine o valor de p, sabendo-se que a quadra ordenada (2, p, -3, p+3) ésolução da equação 3x + 4y - 5z + 2t = 10. Resp : p = - 17/62) Sistemas de equações linearesUm sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou maisequações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma: a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2 ... ... ... ... am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bnonde x1, x2, ..., xn são as incógnitas; a11, a12, ..., amn são os coeficientes; b1, b2, ..., bm são os termos independentes.3) Representação Matricial de um Sistema de Equações Lineares: % x 1 " %b1 " %a11 a 12 .... a 1n " # #b #a x2 a 22 ... . a 2n # # 2 # 21 . # x3 = #b3 #... # # # ... #... $ am1 a m2 .... a mn ! # # xn ! #bm ! $ $
  • 116. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 116Pode-se sempre usar a representação matricial de um sistema esimplificar a sua escrita, trabalhando direto com as matrizes que orepresentam. %a11 a 12 .... a 1n " #a a 22 ... . a 2n A matriz ao lado é denominada deOBS: # 21 matriz incompleta do sistema linear. #... # $am1 a m2 .... a mn !%a11 a 12 .... a 1n b1 "#a a 22 ... . a 2n b 2# 21 A matriz ao lado é denominada de#... matriz completa do sistema linear.#$am1 a m2 .... a mn b m !Solução de um sistema de equações linearesUma sequência (r1, r2, ...,rn) é solução do sistema linear: a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2 ... ... ... ... am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bnse satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema linear.Exemplo: O par ordenado (2,0) é uma solução do sistema linear: 2x + y = 4 x + 3y = 2 x + 5y = 2pois satisfaz identicamente a todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x=2 e y=0,os dois membros de cada igualdade serão iguais em todas as equações.4) Consistência de Sistemas LinearesO número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneirascom relação à sua consistência: Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo menos uma solução.
  • 117. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 117 (a) Se tem uma única solução, o sistema é determinado. (b) Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado. Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução.Exemplos de sistemas com respeito às suas soluções 1. Sistema com uma única solução: As equações lineares abaixo representam duas retas no plano cartesiano que têm o ponto (3,-2) como interseção. x + 2y = -1 2x - y = 8 2. Sistema com infinitas soluções: As equações lineares representam retas paralelas sobrepostas no plano cartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas). 4x + 2y = 100 8x + 4y = 200 3. Sistema que não tem solução: As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, logo, não existem pontos que pertençam às duas retas. x + 3y = 4 x + 3y = 55) Sistemas equivalentesDois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução.Exemplo: São equivalentes os sistemas S1 e S2 indicados abaixo: 3x + 6y = 42 1x + 2y = 14 S1 S2 2x - 4y = 12 1x - 2y = 6pois eles admitem a mesma solução x=10 e y=2.Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são equivalentes, usamos a notação S1~S2.Exemplo: UEL - 84 (Universidade Estadual de Londrina)Se os sistemas x+y=1S1: x - 2y = -5 ax – by = 5S2: ay – bx = -1
  • 118. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 118são equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a:a) 1 b) 4 c) 5 d) 9 e) 10Solução:Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamosresolver o sistema S1:x+y=1x - 2y = -5Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). Logo, 3y = 6 4 y = 2.Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 4 x = -1.O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}.Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistemaS2. Logo, substituindo em S2 os valores de x e y encontrados para o sistema S1,vem:a(-1) - b(2) = 5 + - a - 2b = 5 (I)a(2) - b (-1) = -1 + 2 a + b = -1 (II)Multiplicando ambos os membros da primeira equação (I) por 2, fica:-2 a - 4b = 10Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (II),fica: -3b = 9 4 b = - 3Substituindo o valor encontrado para b na equação (II) acima (poderia ser tambémna outra equação), teremos:2 a + (-3) = -1 4 a = 1.Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10.Portanto a alternativa correta é a letra E.Exemplo 2: Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo,2x - my = 103x + 5y = 8, seja impossível.Solução:Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação:x = (10 + my) / 2Substituindo o valor de x na segunda equação, vem:3[(10+my) / 2] + 5y = 8Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem:3(10+my) + 10y = 1630 + 3my + 10y = 16(3m + 10)y = -14y = -14 / (3m + 10)Ora, para que não exista o valor de y e, em conseqüência não exista o valor de x,deveremos ter o denominador igual a zero, já que , como sabemos, NÃO EXISTEDIVISÃO POR ZERO.
  • 119. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 119Portanto, 3m + 10 = 0, de onde conclui-se: m = -10/3, para que o sistema sejaimpossível, ou seja, não possua solução.Operações elementares sobre sistemas linearesExistem três tipos de operações elementares que podem ser realizadas sobre um sistema linearde equações de forma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que oanterior. Na seqüência trabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essasoperações elementares sobre linhas. O segundo sistema (o que aparece à direita) já mostra oresultado da ação da operação elementar. Nas linhas iniciais de cada tabela, você encontra aoperação que foi realizada. 1. Troca de posição de duas equações do sistema Troca a Linha 1 com a Linha 3 x + 2y - z = 2 4x + y - 5z = 9 2x-3y+2z=0 ~ 2x-3y+2z=0 4x + y - 5z = 9 x + 2y - z = 2 2. Multiplicação de uma equação por um número não nulo Multiplica a Linha 1 pelo número 3 x + 2y - z = 2 3x + 6y - 3z = 6 2x-3y+2z=0 ~ 2x-3y+2z=0 4x+y-5z=9 4x+y-5z=9 A equação resultante fica na linha 1 3. Adição de duas equações do sistema Adição da Linha 2 com a Linha 3 x+2y-z=2 3x+6y-3z=6 2x -3y + 2z = 0 ~ 2x-3y+2z=0 4x + y - 5z = 9 6x - 2y - 3z = 9 A equação resultante fica na linha 36) Resolução de sistemas lineares por escalonamento(Método de Gauss)Com o auxílio das três Operações Elementares sobre linhas, podemos resolver sistemaslineares. Vamos mostrar como funciona este processo através de um exemplo.Exemplo: Consideremos o sistema com 3 equações e 3 incógnitas. 3x + y + z = 20 2x - y - z = -15 -4x + y -5z = -41Observação: Usamos Li+Lj->Lj para indicar a soma da linha i com a linha j com oresultado na linha j. Usamos k Li->Li, para indicar que multiplicamos a linha i pela constantek e o resultado ficou na linha i.
  • 120. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 120 Passo 1: L1-L2->L1 3x + 1y + 1z = 20 1x + 2y + 2z = 35 2x - 1y - 1z = -15 ~ 2x-1y-1z=-15 -4x+1y-5z=-41 -4x+1y-5z=-41 Passo 2: L2-2.L1->L2 1x + 2y + 2z = 35 1x+2y+2z=35 2x - 1y - 1z = -15 ~ 0x - 5y - 5z = -85 -4x+1y-5z=-41 -4x+1y-5z=-41 Passo 3: L3+4.L1->L3 1x + 2y + 2z = 35 1x+2y+2z=35 0x-5y-5z=-85 ~ 0x-5y-5z=-85 -4x + 1y - 5z = -41 0x + 9y + 3z = 99 Passo 4:(-1/5)L2->L2,(1/3)L3->L3 1x+2y+2z=35 1x+2y+2z=35 0x - 5y - 5z = -85 ~ 0x + 1y + 1z = 17 0x + 9y + 3z = 99 0x + 3y + 1z = 33 Passo 5: L3-3.L2->L3 1x+2y+2z=35 1x+2y+2z=35 0x + 1y + 1z = 17 ~ 0x+1y+1z=17 0x + 3y + 1z = 33 0x + 0y - 2z = -18 Passo 6: (-1/2)L3->L3 1x+2y+2z=35 1x+2y+2z=35 0x+1y+1z=17 ~ 0x+1y+1z=17 0x + 0y - 2z = -18 0x + 0y + 1z = 9 Passo 7: L2-L3->L2 1x+2y+2z=35 1x+2y+2z=35 0x + 1y + 1z = 17 ~ 0x + 1y + 0z = 8 0x + 0y + 1z = 9 0x+0y+1z=9 Passo 8: L1-2.L2-2.L3->L1 1x + 2y + 2z = 35 1x + 0y + 0z = 1 0x + 1y + 0z = 8 ~ 0x+1y+0z=8 0x + 0y + 1z = 9 0x+0y+1z=9 Passo 9: Simplificar coeficientes 1x + 0y + 0z = 1 x=1 0x + 1y + 0z = 8 ~ y=8 0x + 0y + 1z = 9 z=9
  • 121. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 121Após o escalonamento, observamos que a solução obtida é exatamente fornecida pelo últimosistema.Poderíamos também fazer todas essas operações de transformação de umsistema em outro, equivalente, escalonado, usando apenas a matrizcompleta do sistema, não sendo necessário escrever as variáveis dosistema, o que facilitaria bastante a nossa escrita. Vejamos um exemplo:Resolva, por escalonamento (método de Gauss) o sistema:/x + 2 y + z = 71.2 x + 7 y + z = 211 3x 5 y + 2 z = 8-Vamos representar a matriz completa desse sistema: Vamos multiplicar a 1ª linha por -2 e%1 2 1 7 " somar com a 2ª, e também %1 2 1 7 "# 2 7 1 21 multiplicar a 1ª linha por 3 e somar # 0 3 -1 7# com a 3ª teremos: ##- 3 - 5 2 - 8!$ # 0 1 5 13! $Vamos agora trocar de posição as duas últimas linhas, com o propósito deque o coeficiente da variável y seja igual a 1 na 2ª equação.%1 2 1 7 " Vamos multiplicar a 2ª linha por -3 e somar % 1 2 1 7 "# 0 1 5 13 com a 3ª. #0 1 5 13# ## 0 3 -1 7 !$ # 0 0 - 16 - 32! $Observe que o sistema já está escalonado e que a 3ª linha corresponde a-16z = -32, ou z = 2.A 2ª linha corresponde a: y + 5z = 13, ou y + 10 = 13, ou y = 3.A 1ª linha corresponde a: x + 2y + z = 7, ou x + 6 + 2 = 7, ou aindax = -1. Logo, a solução é: S = {(-1, 3, 2)}.OBSERVAÇÃO: Podemos discutir um sistema linear (nXn) através de seuequivalente escalonado, ou seja, pela análise de sua última linha:• Se todos os coeficientes obtidos forem iguais a zero, o sistema será INDETERMINADO, pois corresponderá a uma equação do tipo 0x + 0y + 0z + .... = 0, que é verdade para quaisquer valores de x, y, z, ...• Se todos os coeficientes obtidos forem iguais a zero, com exceção do último, o sistema será IMPOSSÍVEL, pois corresponderá a uma
  • 122. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 122 equação do tipo 0x + 0y + 0z + ... = k G 0, que não é satisfeita para quaisquer valores das variáveis.• Nos demais casos o sistema será POSSÍVEL E DETERMINADO, admitindo apenas uma solução.Problema de aplicação:UFBa 1995 – A tabela abaixo indica o consumo efetuado num restaurante, em trêsmesas diferentes, especificando as porções consumidas de cada alimento e a contaem reais.Sendo r reais a conta da mesa III, calcule r NÚMERO DE PORÇÕES CONSUMIDAS VALOR DA ARROZ FEIJÃO FRANGO REFRIGE CONTA RANTE R$ MESA I 3 2 3 4 11,00 MESA II 2 1 1 2 6,00 MESA III 6 5 9 10 rSolução:Sejam x , y e z os preços unitários (em reais) , das porções de arroz, feijão , frango ew o preço unitário do refrigerante. Poderemos escrever o seguinte sistema linear:3x + 2y + 3z + 4w = 112x + 1y + 1z + 2w = 66x + 5y + 9z + 10w = rTemos então, um sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas.Vamos resolver este sistema pelo método de escalonamento :De modo a eliminar x na segunda e terceira equações, vamos multiplicar a primeiraequação por ( - 2 ) e a segunda equação por ( + 3), resultando:– 6x – 4y – 6z – 8w = – 22 6x + 3y + 3z + 6w = 18 6x + 5y + 9z + 10w = rVamos agora substituir as segunda e terceira equações, pela soma delas com aprimeira equação, resultando:– 6x – 4y – 6z – 8w = – 22 – y–3z–2w=–4 y + 3z + 2 w = – 22 + rSomando as segunda e terceira equações acima, mantendo a primeira equação,fica:
  • 123. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 123– 6x – 4y – 6z – 8w = – 22 0y + 0z + 0w = – 26 + rDaí vem imediatamente que 0 = - 26 + r , de onde concluímos inevitavelmente:r = 26.Portanto, a despesa da Mesa III será igual a 26 reais ( R$ 26,00 ).7) Regra de CramerVocê, quando era aluno do curso fundamental estudou várias técnicas para a solução de umsistema do primeiro grau: adição, substituição, comparação, método gráfico. Agora, você vaiaprender uma regra que servirá para resolver sistemas lineares possíveis e determinados,através do uso de DETERMINANTES. Esta regra é conhecida por REGRA DE CRAMER.Vamos, em primeiro lugar, apresentar a solução para um sistema (2x2), ou seja, de duasequações e duas incógnitas. Em seguida, generalizaremos a solução para um número maior deequações e de incógnitas. /a11 x + a12 y = b1Seja o sistema: . vamos resolvê-lo pelo método da adição, como -a21 x + a22 y = b2fazíamos na 6ª série./a11 x + a12 y = b1 (.a 22 ) a 11a22 x + a12 a22 y = b1a22.-a21 x + a22 y = b2 (. - a 12 ) - a 21a12 x a12 a22 y = b2 a12(I)Somando as equações obtidas, teremos: ( a11 a 22 a 21 a12 ) x = b1 a22 b2 a12obtivemos o valor de x, através da “eliminação” do y./a11 x + a12 y = b1 (.a 21 ) a 11 a21 x + a12 a21 y = b1a21.-a21 x + a22 y = b2 (. - a 11 ) - a 21a11 x a11a22 y = b2 a11(II) Somando as equações obtidas, teremos: ( a12 a21 a11 a22 ) y = b1 a21 b2 a11obtivemos agora o valor de y, através da “eliminação” do x.Observe que, se formarmos matrizes quadradas associadas ao sistema, e calcularmos seusdeterminantes, teremos:
  • 124. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 124 a 11 a 12 b1 a 12D= = a 11a 22 a 12 a 21 Dx = = b1 a 22 b 2 a 12 a 21 a 22 b2 a 22 a 11 b1Dy = = b 2 a 11 b1a 22 a 22 b2Observe e responda. A partir do sistema dado, como foram obtidas as matrizes D, Dx e Dy?Se você comparar os valores encontrados para esses determinantes com os valores obtidospara x e y quando aplicamos o método da adição, pode concluir que: DX Dx= e y= y o que só será válido para sistemas possíveis e determinados, ou seja, D Dcom D Z 0.Exemplo: Resolva o sistema abaixo, aplicando a regra de Cramer./2 x 5 y = 2.-3 x + 2 y = 16Solução: 2 -5 2 -5D= = 4 + 14 = 19 ( 0) Dx = = 4 + 80 = 76 3 2 16 2 2 -2Dy = = 32 + 6 = 38 3 16 76 38Logo, x = =4 e y= =2 19 19Podemos agora, generalizar esse processo para um sistema de n equações e n incógintas.Seja um sistema linear com n equações e n incógnitas:
  • 125. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 125 a11 x1 + a12 x2 +...+ a1j xj +...+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +...+ a2j xj +...+ a2n xn = b2 ... ... ... ... an1 xn + an2 xn +...+ anj xj +...+ ann xn = bnA este sistema podemos associar algumas matrizes: Matriz dos coeficientes (ou incompleta): Formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema, aqui indicada pela letra A. Matriz dos coeficientes a11 a12 ... a1j ... a1n a21 a22 ... a2j ... a2n ... ... ... ... ... ... an1 an2 ... anj ... ann Matriz Aumentada do sistema (ou completa): Formada todos os coeficientes das incógnitas do sistema e também pelos termos independentes. Matriz Aumentada a11 a12 ... a1j ... a1n b1 a21 a22 ... a2j ... a2n b2 ... ... ... ... ... ... an1 an2 ... anj ... ann bn Matriz da incógnita xj: É a matriz Aj obtida ao substituirmos a coluna j (1<j<n) da matriz A, pelos termos independentes das equações do sistema. Matriz da incógnita xj a11 a12 ... b1 ... a1n a21 a22 ... b2 ... a2n ... ... ... ... ... ... an1 an2 ... bn ... annQuando as posições j=1,2,3 estão relacionadas com x1, x2 e x3 e substituídas pelas incógnitasx, y e z, é comum escrever Ax, Ay e Az.Se det(A) é diferente de zero, é possível obter cada solução xj (j=1,...,n), dividindo det(Aj) pordet(A), isto é: xj = det(Aj) / det(A) Se det(A)Z0
  • 126. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 126Exemplo 1: Seja o sistema 2x + 3y + 4z = 27 1x – 2y + 3z = 15 3x + 1y + 6z = 40A matriz A e a matriz dos termos independentes do sistema estão indicados abaixo. 2 3 4 27 1 -2 3 15 3 1 6 40Como det(A)=7, o sistema admite uma única solução que depende dos determinantes dasmatrizes Ax, Ay e Az, e tais matrizes são obtidas pela substituição 1ª., 2ª. e 3ª. colunas damatriz A pelos termos independentes das três equações, temos: 27 3 4 2 27 4 2 3 27 6x= 15 -2 3 6y= 1 15 3 6z= 1 -2 15 40 1 6 3 40 6 3 1 40Como det(Ax)=65, det(Ay)=1 e det(Az)=14, a solução do sistema é dada por: x = det(6x)/det(A) = 65/7 y = det(6y)/det(A) = 1/7 z = det(6z)/det(A) = 14/7Exemplo 2:Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:x + 3y - 2z = 32x - y + z = 124x + 3y - 5z = 6Teremos:
  • 127. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 127Portanto, pela regra de Cramer, teremos:x1 = 6 x1 / 6 = 120 / 24 = 5x2 = 6 x2 / 6 = 48 / 24 = 2x3 = 6 x3 / 6 = 96 / 24 = 4Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.Sistemas lineares homogêneosUm sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações sãonulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a soluçãoidenticamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistemapoderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitiroutras soluções além da trivial.Exemplo: O sistema 2x - y + 3z = 0 4x + 2y - z = 0 x - y + 2z = 0Para esse tipo de sistema basta calcular o determinante associado à sua matriz incompleta.Caso ele seja diferente de zero, o sistema será possível e determinado, ou seja, admite apenasa solução trivial. Caso ele seja igual a zero, o sistema será indeterminado.No exemplo proposto, teremos:2 -1 34 2 - 1 = 8 - 12 + 1 - 6 - 2 + 8 = -31 -1 2Logo, como o determinante é diferente de zero, o sistema é possível e determinado, admitindoapenas a solução trivial
  • 128. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 128EXERCÍCIOS PROPOSTOS1) Resolva o sistema:2) Discuta o sistema:3) (UFR-PE) Para que valor de ko sistema não possui solução ?4) (FEI-SP) Para quais condições de "a" e "b"se tem o sistema indeterminado?5)Resolva os sistemas abaixo e classifique quanto ao número de soluções aplicando oescalonamento.
  • 129. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 1296)Resolva e classifique os sistemas quanto ao número de soluções, por escalonamento. 7) Em um determinado semestre, o professor de matemática aplicou três provas em suaavaliação da aprendizagem. As questões valiam um ponto cada uma, mas os pesos das provaseram diferentes. Fernando que acertou 3 questões na primeira prova, 6 na segunda e 6 naterceira obteve no final 54 pontos. Jorge obteve 6, 5 e 4 acertos totalizando 47 pontos. Anaacertou 2, 7 e 5 questões atingindo 50 pontos. Qual é o valor dos pesos de cada prova? /x 2 z = 4 18) Resolva o sistema: . y + z = 0 pelos métodos de Escalonamento de Regra de Cramer. 1x + 4 y = 6 - /2 x y = 10 19) Obtenha o valor de m, para que o sistema .3 x + 2 y = 8 tenha uma única solução. 1 x + my = 6 -
  • 130. Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins 130 /x + y + z = 1 1x + y + w = 2 110) Qual o valor da incógnita w no sistema: . 1x + z + w = 3 1y + z + w = 4 - Consulta aos sites: “Matemática Essencial” – http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html “Matemática do Científico ao Vestibular” - http://www.terra.com.br/matematica/ Livro de Referência: DANTE, Luiz Roberto. Matemática, Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática, 1999. BIBLIOGRAFIA1. BARBOSA, Ruy Madsern – Combinatória e Probabilidades – SP, Ed. Nobel, 19682. BATSCHELET, E. – Introdução à Matemática para Biocientistas, SP, Interciência, 19783. BRASIL – Revista do Professor de Matemática, SBM, nº 434. DANTE, L. Roberto – Matemática, Contexto e Aplicações, RJ, Ed. Ática, 19995. IEZZI, G ET ALLI – Fundamentos de Matemática Elementar. SP – Ed. Atual, 19976. IMENES, L. M, Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho – Ensino Médio7. INTERNET – www.cef.gov.br/loteria/probabilidades - www.terravista.pt/enseada/1524/mat5.html - www.athena.mat.ufrgs.br8. LIMA, ELON ET ALLI – A Matemática no Ensino Médio, RJ, SBM, 1998.9. MORGADO, A. César e outros – Análise Combinatória e Probabilidades – impa / SBM, 199110. REVISTA: EDUCAÇÃO E MATEMÁTICA – APM – Associação dos Professores de Matemática de Portugal.11. SIMON, G. & Freund J. – Estatística Aplicada: Economia, Administração e Contabilidade. Bookman, Porto Alegre - 200012. TROTTA, F. Análise Combinatória, Probabilidades e Estatística. São Paulo: Ed. Scipione, 1988