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Ap geometria plana resolvidos
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  • 1. Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Apostila de Matemática # 3 Assunto: Geometria Plana Organização: PET-CTPró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 1
  • 2. 1 - INTRODUÇÃOBem-vindos! Este é o segundo ano do projeto Pró-ExaCTa, projeto que foi idealizadopelos PETs do Centro de Tecnologia da Universidade Federal do Ceará – UFC. Oprojeto busca ajudar vocês com aulas extras aos sábados das disciplinas de matemática,física e química, como foi feito no ano passado (2010). É importante lembrar que oprojeto não pretende, de forma alguma, substituir as aulas escolares e sim complementá-las.Os módulos de matemática cresceram um pouco em relação ao ano passado e agora setornaram apostilas. Apostilas estas confeccionadas com afinco para uma melhoraprendizagem do conteúdo exposto em sala de aula. As apostilas são divididas emcapítulos com um texto explicativo do conteúdo, misturado com exercícios resolvidos eexemplos e, ao fim de cada capítulo, exercícios propostos para testar o aprendizado, éextremamente importante que esses exercícios sejam estudados. Os exercícios queforem mais difíceis e você não entender, por favor, fale para algum dos nossosprofessores que será feito o possível para que a dúvida seja resolvida. Na nossa apostila,trataremos de assuntos bem interessantes, como tudo na matemática. Estudaremos retas,ângulos, polígonos, etc. São conteúdos que servem de base para toda a geometria. Éfundamental que todos se esforcem (e se divirtam!) para que cada conteúdo seja fixadocorretamente.2 - SEGMENTO DE RETA2.1- Noções Primitivas e ConceitosPonto: Um lugar concebido sem extensão no espaço chama-se Ponto. A marca de umaponta de lápis no papel dá a idéia do que é um ponto.Reta: Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.Pontos colineares:São pontos que pertencem a uma mesma reta.Plano: Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.Pontos coplanares: São pontos que pertencem ao um mesmo plano. Os pontos A,B e C são coplanares pois todos pertencem ao mesmo plano α.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 2
  • 3. Exercício ResolvidoClassifique como verdadeiras(V) ou falsas(F) as sentenças abaixo:a)Por um ponto passam infinitas retasb)Por dois pontos distintos passa uma retac)Uma reta contém dois pontos distintosd)Dois pontos distintos determinam uma só retae)Por três pontos dados passa uma só retaSolução: V/V/V/V/F2.2- Segmentos de reta – Conceitos.Definição: Dados dois pontos distintos, a reunião desses dois pontos com o conjuntodos pontos que estão entre eles é um segmento de reta. Sendo assim, o segmento de retaé limitado por dois pontos da reta.Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se a extremidade deum deles é também extremidade do outro.Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma retaSegmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes sepossuem em comum apenas uma extremidade, ou seja, não possuem pontos internoscomuns. AD e DB são consecutivos, colineares e adjacentes.Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas.Obs:"~" é o símbolo de congruência( AB~CD).Ponto médio de um segmento: Um ponto M é o ponto médio do segmento AB somentese M está entre A e B e AM=MB.Semirreta: A semirreta possui origem, mas é ilimitada no outro sentido, isso é, possuiinício, mas não tem fim.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 3
  • 4. Exercício ResolvidoDetermine x, sendo M ponto médio de AB.Solução2x-3=x+42x-x=4+3x=73- ÂNGULOS3.1- DefiniçõesDefinição: Denomina-se ângulo a figura geométrica constituída por duas semi-retas demesma origem.Indica-se: AÔB = α ou Ô = α .A unidade de medida de um ângulo corresponde a razão de um grau (1º).Bissetriz de um ânguloUma semi-reta OB interna a um ângulo AÔC é bissetriz do ângulo AÔC se, e somentese:AÔB=BÔCPró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 4
  • 5. Exercício Resolvido Se OP é bissetriz de AÔB, determine x:Solução3x-5=2x+103x-2x=10+5x=15°3.2- Tipos de Ângulos3.2 a) Ângulos ConsecutivosDois ângulos que tem um lado comum entre outros dois lados. AÔB e AÔC são consecutivos. OA é o lado comum. AÔC e BÔC são consecutivos. OC é o lado comum. AÔB e BÔC são consecutivos. OB é o lado comum.3.2 b) Ângulos AdjacentesDois ângulos que tem um único lado em comum e os lados não comuns são semi retasopostas. Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não têm pontosinternos comuns. AÔB e BÔC são ângulos adjacentes.3.2 c) Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v)Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um dele são asrespectivas semi-retas opostas aos lados do outro. Note que duas retas concorrentesdeterminam dois pares de ângulos opostos pelo vértice.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 5
  • 6. 3.2 d) Ângulos ComplementaresDois Ângulos cujas medidas somam 90°.3.2 e) Ângulos SuplementaresDois Ângulos cujas medidas somam 180°.3.2 f) Ângulos ReplementaresDois Ângulos cujas medidas somam 360°.OBS.: Se indicarmos a medida de um ângulo por x, então:90°-x é a medida do seu complemento180°-x é a medida do seu suplemento360°-x é a medida do seu replementoExercício ResolvidoAo resolver um problema em que se pedia a medida do complemento de um certo ângulo,um aluno calculou a medida do suplemento, encontrado, assim, um valor sete vezesmaior que o solicitado. Se indicarmos a medida do ângulo por x, então x é igual a:180°-x=7(90°-x)180-x=630-7x6x=450°x=75°3.2 g)Ângulo reto3.2 h)Ângulo agudoPró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 6
  • 7. 3.2 i)Ângulo obtusoExercício ResolvidoCalcule o valor de x sabendo que o ângulo SÔR é reto.Solução4x+3x+2x=90°9x=90°x=10°Exercícios1)Classifique em V ou F:a)Três pontos distintos são sempre colinearesb)Três pontos distintos são sempre coplanaresc)Quatro pontos todos distintos determinam duas retasd)Por quatro pontos todos distintos pode passar uma só retaPró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 7
  • 8. e)Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares2)O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede:a)100°b)144°c)36°d)80°3)Determine AB sendo M o ponto médio.4)Qual é o ângulo que excede o seu suplemento em 66° ?5)Determine o valor de α:6)Determine PQ, sendo AB=317)Determine o valor de x:8)Determine o valor de x:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 8
  • 9. Respostas1) a)F b)V c)F d)V e)F2)A3)424)123°5)60°6)117)55°8)30°4 – TRIÂNGULOS4.1 – Conceitos, elementos e classificação  ConceitoNo plano, triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por trêslinhas retas que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes formando três lados etrês ângulos internos que somam 180°. Dados três pontos A, B e C não colineares, areunião dos segmentos AB, AC e BC chama-se triângulo ABC.Também representado por: Triângulo ABC = ΔABC, ΔABC = AB U AC U BC  ElementosVértices: os pontos A, B e C são os vértices do Δ ABC.Lados: os segmentos AB (de medida c), AC (de medida b) e BC (de medida a) são oslados do triângulo.Ângulos: os ângulos BÂC ou Â, A C ou e A B ou são os ângulos do Δ ABC (ouângulos internos do Δ ABC).Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 9
  • 10. Diz-se que os lados BC, AC e AB e os ângulos Â, e são, respectivamente, opostos.  Classificação a) Quanto aos lados ΔABC Equilátero ΔRST Isósceles ΔMNP EscalenoEquilátero ( 3 lados iguais) Isósceles (2 lados iguais) Escaleno (3 lados diferentes) b) Quanto aos ângulosΔABC Retângulo em A ΔDEF Acutângulo ΔMNP Obtusângulo em S1 ângulo reto (=90°) 3 ângulos agudos(>0°;<90°) 1 ângulo obtuso (>90°;<180°)4.2 – Congruência de triângulosUm triângulo é congruente a outro se, e somente se, é possível estabelecer umacorrespondência entre seus vértices de modo que:  Seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro;  Seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro. ≈ Â≈ ≈ ≈ ΔABC ≈ ΔA B C ≈ ≈ 1º Caso: L.A.L. (Lado - Ângulo - Lado)“Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulocompreendido, então eles são congruentes.”Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 10
  • 11. Exemplo: ≈ // ≈ ΔABC ≈ ΔA B C // ≈ 2º Caso: A.L.A. (Ângulo – Lado - Ângulo)“Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a elesadjacentes, então esses são congruentes.”Exemplo: ≈ ≈ ≈ ΔABC ≈ ΔA B C 3º Caso: L.L.L. (Lado - Lado – Lado)“Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses sãotriângulos são congruentes.”Exemplo: ≈ // ≈ // ≈ ΔABC ≈ ΔA B C 4º Caso: L.A.Ao. (Lado – Ângulo – Ângulo Oposto)Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e oângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.Exemplo:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 11
  • 12. ≈ // ≈ ΔABC ≈ ΔA B C // Â≈Â 5º Caso: Caso especial de congruência no triângulo retângulo.Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa,então esses triângulos são congruentes.Exemplo:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 12
  • 13. Exercício Resolvido 1) Se o ΔABC é isósceles de base , determine x. AB = 2x – 7 // AC= x + 5 Resposta: Como o triângulo é isósceles e, pela definição possui os lados AB e AC iguais, podemos fazer: 2x – 7 = x + 5 2x – x = 7 + 5 x = 13 u.c 2) Se o ΔABC é isósceles de base , determine x. = 2x -10° // = 30º Respostas: Sabendo que o triângulo isósceles possui os ângulos da base com valor semelhante, temos: 2x – 10° = 30°  2x = 30° + 10° 2x = 40°  x = 20° 3) Respostas: Como o triângulo equilátero possui os 3 lados iguais, fazemos: 3x = 75 x = 25 cm 4) a) b) c) d) Resposta: a) LAL b)LLL c) LAA d) Caso especial de congruência no triângulo retângulo 4.2.2 – Observação – Desigualdades nos triângulos a) Ao maior lado opõe-se o maior ângulo Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos opostos a eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado. b) Ao maior ângulo opõe-se o maior lado Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os lados opostos a eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado. c) A desigualdade triangular Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 13
  • 14. 4.3 – Pontos notáveis dos triângulos 4.3.1 – Baricentro – (ponto de encontro das medianas) As três medianas de um triângulo interceptam-se num ponto que divide cada mediana em duas partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra. 4.3.2 – Incentro – (ponto de encontro das bissetrizes internas) As três bissetrizes internas de um triângulo concorrem para um mesmo ponto que está a igual distância dos lados do triângulo. OBS: O incentro é o centro da circunferência inscrita no ΔABC. 4.3.3 – Circuncentro (ponto de encontro das mediatrizes) As mediatrizes de um triângulo concorrem para um mesmo ponto que está a igual distância dos vértices do triângulo. 4.3.4 – Ortocentro - (ponto de encontro das alturas) As três alturas de um triângulo concorrem para um mesmo ponto.Exercícios Resolvidos1)Respostas: a)V b)V c)V d)V e)F f)F g)F2) Respostas: a) equilátero b) equilátero c) retângulo d) obtusângulo e) obtusângulo f) retângulo h) acutângulo Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 14
  • 15. 4.4 – Semelhança de triângulos DefiniçãoDois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulosordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois empontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.Exemplo:OBSERVAÇÕES:  “Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes”Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 15
  • 16.  Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulo compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes"  “Se dois triângulo têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes”4.5 – Triângulos retângulos – Teorema de Pitágoras4.5.1 Diagonal do quadradoDado um quadrado de lado a, calcular sua diagonal d.Sendo ABCD o quadrado de lado a, aplicando oteorema de Pitágoras no ΔABC, temos?d² = a² + a²  d² = 2 a²  d =4.5.2 Teorema de PitágorasO teorema de Pitágoras é uma relação matemática,mostrada a baixo, entre os três lados de qualquertriângulo retângulo.a² = b² + c²Exercícios Resolvidos!Calcula o valor de x em cada um dos triângulos rectângulos:a) b)Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 16
  • 17. Resolução a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: x² = 12² + 5² x² = 144 + 25 x² = 169 x= x = 13 b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: 7,5² = 4,5² + x² 56,25 = 20,25 + x² x² = 56,25 – 20,25 x² = 36 x= x=6Exercícios 1) Determine x e y, sabendo que o triângulo ABS é eqüilátero. 2) Se o perímetro de um triangulo isósceles é de 100m e a base mede 40m, quanto mede cada um dos outros lados? 3) Determine o valor de x nos casos:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 17
  • 18. 4) Determine o valor de x nos casos: 5) Determine os valores de x e y nos casos: 6) Considerando congruentes os segmentos com “ marcas iguais”, determine os valores das incógnitas nos casos:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 18
  • 19. 5) PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE5.1) Paralelismo Duas retas distintas r e s serão ditas paralelas (r//s) quando estiverem no mesmoplano (coplanares) e não possuírem ponto de interseção, de maneira que, se colocarmosuma em cima da outra, irão se tornar uma única reta (coincidentes). Veja, a seguir:Exercício Resolvido 1) Se a reta r é paralela a s e a reta r é paralela a w, diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas: a) r e s se cortam b) r e w se cortam c) s e w se cortam d) s é paralela a w e) As três são paralelas entre siResposta: F, F, F, V, V5.2) Perpendicularidade Duas retas distintas r e s são ditas perpendiculares quando elas são concorrentes,ou seja, cruzam-se e o ângulo de interseção é um ângulo reto (90º). Veja, a seguir:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 19
  • 20. Exercício Resolvido 2) Se a reta r é perpendicular a s e a reta r é paralela a w, diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas: a) s e w são paralelas b) r e s se cortam e o ângulo de interseção é 90º c) s e w se cortam e o ângulo de interseção é 60º d) r e w não se cortam e) As três retas se cortamResposta: V, V, F, V, F5.3) Teorema de Tales e Teoremas das Bissetrizes5.3.1) Teorema de Tales O Teorema de Tales afirma que quando duas retas transversais cortam um feixede retas paralelas, as medidas dos segmentos delimitados nas transversais sãoproporcionais. Veja, a seguir:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 20
  • 21. De acordo com o teorema, teremos a seguinte proporção: o segmento AD estápara o segmento AB, assim como AE está para AC. De maneira que,Exercícios Resolvidos 1) De acordo com a figura abaixo, calcule o valor de x:De acordo com o teorema, teremos: 2) Na figura, as retas r, s e t são paralelas, de acordo com Teorema de Tales determine p valor de x.De acordo com o teorema, teremos:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 21
  • 22. 5.3.2) Teorema das Bissetrizes O Teorema das Bissetrizes é dividido em dois, o das internas e o das externas. Oprimeiro diz que, em qualquer triângulo, a bissetriz de um triângulo interno estabeleceno seu lado oposto dois segmentos proporcionais aos lados desse mesmo ângulo. De acordo com o Teorema da Bissetriz Interna, teremos que o segmento AB estápara BE, assim como AC está para CE, de maneira que:Exercícios Resolvidos 1) Seja AG a bissetriz do ângulo CÂB, calcule AB:De acordo com o teorema, teremos:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 22
  • 23. 2) Determine o valor de x no triângulo abaixo sabendo que AP é bissetriz do ângulo BÂC.De acordo com o teorema, teremos: 3) Dado o triangulo ABC, descubra se AD é bissetriz:Para AD ser bissetriz, é preciso que:Logo, AD não é bissetriz.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 23
  • 24. O Teorema da Bissetriz Externa diz que sempre que a bissetriz de um ânguloexterno de certo triângulo cortar a reta que possui o lado oposto, ficará estabelecidonesta mesma reta dois segmentos proporcionais aos lados desse triângulo. De acordo com o Teorema da Bissetriz Externa, teremos que o segmento ABestá para BE, assim como AC está para CE, de maneira que:Exercícios Resolvidos 4) Seja AE uma bissetriz externa, calcule o valor de BE:De acordo com o teorema, teremos que:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 24
  • 25. Logo, . 5) De acordo com o Teorema das Bissetrizes Externas, determine se o segmento AD é uma bissetriz externa ou não.Para que AD seja bissetriz externa, temos que: 5/10 = 3/6 -> 30 = 30Logo, AD é bissetriz externa.Exercícios Propostos 1) Seja a reta r perpendicular a s e também perpendicular a w, diga quais as afirmações são verdadeiras e falsas: a) r e s não se cortam b) r e w não se cortam c) w e s se cortam d) O ângulo de interseção entre r e w é 90º e) O ângulo de interseção entre s e w é 90ºPró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 25
  • 26. 2) Três terrenos têm frente para a rua "A" e para a rua "B", como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua "A". Qual a medida de frente para a rua "B" de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m? 3) Determine x e y, sendo r, s, t e u retas paralelas: 4) A figura ao lado indica três lotes de terreno com frente para a rua A e para rua B. as divisas dos lotes são perpendiculares à rua A. As frentes dos lotes 1, 2 e 3 para a rua A, medem, respectivamente, 15 m, 20 m e 25 m. A frente do lote 2 para a rua B mede 28 m. Qual é a medida da frente para a rua B dos lotes 1 e 3?Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 26
  • 27. 5) No triângulo ABC da figura, sabe – se que DE // BC . Calcule as medidas dos lados AB e AC do triângulo. 6) Usando os Teoremas da Bissetriz Interna e Externa, determine o valor de x: 7) Num triângulo ABC, as medidas de AB e BC são, respectivamente, 20cm e 12cm. A bissetriz BP do ângulo B divide o lado AC em dois segmentos, sendo um deles igual a 15cm. Qual a medida do outro segmento do lado AC? 8) Na figura abaixo, AQ e AP são, respectivamente, bissetrizes interna e externa do triangulo ABC. Se BQ = 8m e QC = 6m, então a medida QP, em metro é:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 27
  • 28. 6-POLÍGONOSA partir da definição de polígonos pode-se compreendê-los e identificá-los com maisfacilidade. Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por uma linhapoligonal fechada, onde os segmentos de retas são consecutivos e não-colineares. Dessaforma são exemplos de polígonos as figuras abaixos:E não são exemplo de polígonos, para n = 5, os dois casos abaixo:Os polígonos são classificados de acordo com o número n de lados, recebendo aseguinte denominação:Número de lados Denominação Número de lados Denominação n=3 Triângulo ou trilátero n=9 Eneágono n=4 Quadrâgulo ou quadrilátero n = 10 Decágono n= 5 Pentágono n = 11 Undecágono n=6 Hexágono n = 12 Dodecágono n=7 Heptágono n = 15 PentadecágonoPró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 28
  • 29. n=8 Octógono n = 20 IcoságonoPOLÍGONO REGULARUm polígono que possui os lados congruentes é eqüilátero e se possui os ânguloscongruentes é eqüiângulo.DIAGONALÉ o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de um polígono. Noexemplo abaixo ABCD é um quadrilátero e AB e CD são suas diagonais.Para a compreensão de cálculo das diagonais, ângulos externos e internos, é necessárioentender as expressões abaixo, onde n é o número de lados do polígono:Sendo d o número de diagonais de um polígono convexo, temos que:Sendo Si a soma dos ângulos internos de um polígono convexo, temos que:Sendo Se a soma dos ângulos externos de um polígono convexo, tem-se:Sendo Ai o ângulo interno de um polígono regular, temos que:Cada ângulo externo de um polígono regular pode ser calculado através de:Podemos dizer, então que: Ai + Ae = 180Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 29
  • 30. Dica: Para se calcular a medida do ângulo interno (Ai) de um polígono regular é maisprático se obter, em primeiro lugar, a medida do ângulo externo (Ae) e, pelosuplemento, se encontra a medida do ângulo interno.EXEMPLO RESOLVIDO:Quantas diagonais podem ser traçadas em um polígono convexo de 15 lados? Aplicando a fórmula acima tem-se: E portanto, d = 90 diagonais.EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1) Determine o ângulo interno e externo de um triângulo equilátero. 2) Determine o ângulo interno e externo de um quadrado. 3) Determine o ângulo interno e externo de um pentágono regular. 4) Determine o ângulo interno e externo de um hexágono regular. 5) Determine o valor de x no caso: 6) Calcule a soma dos ângulos internos de um icoságono. 7) Calcule o número de diagonais de um decágono. 8) Calcule o número de diagonais de um icoságono. 9) Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados. 10) Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 30
  • 31. GABARITO: 1) 60º e 120º 2) 90º e 90º 3) 108º e 72º 4) 120º e 60º 5) 70º 6) 3240º 7) 35 8) 170 9) Eneágono 10) Undecágono7-QUADRILÁTEROSOs quadriláteros são todos os polígonos que possuem 4 lados. Sejam A, B, C e D quatropontos de um mesmo plano, todos distintos e três não colineares. Se os segmentos AB,BC, CD e DA interceptam-se apenas nas extremidades, a reunião desses quatrosegmentos é um quadrilátero. Observe as figuras abaixo:Um quadrilátero possui duas diagonais (d = 2), a soma dos ângulos internos igual a 360°e a soma dos ângulos externos também igual a 360°.Os quadriláteros notáveis são os triângulos, paralelogramos, retângulo, losango equadrado.TRAPÉZIO:É todo quadrilátero que possui dois lados paralelos. ABCD é trapézio, sendo AB//CDou AD//BC. Os lados paralelos são as bases do trapézio.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 31
  • 32. Os trapézios são classificados em:- Trapézio isósceles: é aquele que possui dois lados congruentes.- Trapézio escaleno: é aquele que possui todos os lados com medidas diferentes.- Trapézio retângulo: é aquele que possui dois ângulos retos.Em qualquer trapézio ABCD de bases AB e CD, temos: Â+ = + = 180°E para os trapézios isósceles os ângulos de cada base são congruentes e as diagonaistambém são congruentes.- AB e CD são as bases do trapézio isósceles, logo ≡ eÂ≡- ABCD é trapézio de bases AB e CD e AD ≡ BC. Logo as diagonais são congruentesAC ≡ BD.PARALELOGRAMO:É todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 32
  • 33. ABCD é paralelogramo e AB // CD e DA // BC.Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes. Assim, todoretângulo é paralelogramo. Na figura, percebe-se que ≡Âe ≡ .Em todo paralelogramos dois lados opostos quaisquer são congruentes. Logo, todolosango é paralelogramo. Observe na figura abaixo, AD ≡ CB e AB ≡ CD.Em todo paralelogramo as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.Observe na figura que AM ≡ CM e BM ≡ DM.RETÂNGULO:Um quadrilátero plano convexo é um retângulo se, e somente se, possui os quatroângulos congruentes. ABCD é um retângulo, logo  ≡ ≡Em todo retângulo as diagonais são congruentes. ABCD é um retângulo AC ≡ DA.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 33
  • 34. LOSANGO:Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os quatro ladoscongruentes. ABCD é um losango, portanto AB ≡ BC≡ CD ≡ DA.Todo losango tem diagonais perpendiculares. ABCD é um losango, então AC┴ BD.QUADRADO:Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se, possui os quatro ladoscongruentes e os quatro ângulos congruentes. ABCD é um quadrado, assim AB ≡ BC≡CD ≡ DA e  ≡ ≡ .Todo quadrado é também retângulo e losango. ABCD é quadrado, logo AC ≡ DA eAC┴ BD.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 34
  • 35. BASES MÉDIAS:- Base média de um triângulo:Num triângulo, a reta que contém o ponto médio de um lado e é paralela a outro lado,divide o terceiro lado ao meio e é tal que o segmento compreendido pelos pontosmédios, é igual à metade do lado ao qual é paralelo.Seja ABC o triângulo se MN // BC, AM ≡ MB e AN ≡ NC.- Base média de um trapézio:Se um segmento tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos de umtrapézio então ele é paralelo às bases e ele é igual a semi-soma das bases.Seja ABCD um trapézio não paralelogramo de bases AB e CD.Se AM ≡ DM e BN ≡ CN, logo MN // AB // CD eEXEMPLO RESOLVIDO:Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 35
  • 36. a) Todo retângulo é um paralelogramo. b) Todo paralelogramo é retângulo. c) Todo quadrado é retângulo d) Todo retângulo é quadrado. e) Todo paralelogramo é losango. f) Todo quadrado é losango.EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Solução: a) V b) F c) V d) F e) F f) VGABARITOS:EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1) Determine o valor de x: 2) Determine o valor de x: 3) Determine o valor de x: 4) Se ABCD é trapézio de bases AB e CD, determine x e y.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 36
  • 37. 5) Se o trapézio ABCD é isósceles de base AB e CD, determine Â. 6) Se ABCD é um paralelogramo e  = 2x e = x + 70º, determine . 7) Classifique em (V) verdadeiro ou falso (F): a) Todo retângulo que tem dois lados congruentes é quadrado. b) Todo paralelogramo que tem dois lados adjacentes é losango. c) Se um paralelogramo tem dois ângulos consecutivos congruentes, então ele é um retângulo. d) Se dois ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes, então ele é um paralelogramo. 8) Classifique em (V) verdadeiro ou falso (F): a) Se dois lados de um quadrilátero são congruentes, então ele é paralelogramo. b) Se dois lados opostos de um quadrilátero são congruentes, então ele é um paralelogramo. c) Se dois lados opostos de um quadrilátero são congruentes e paralelos, então ele é um paralelogramo. 9) Classifique em (V) verdadeiro ou falso (F): a) As diagonais de um losango são congruentes. b) As diagonais de um retângulo são perpendiculares. c) As diagonais de um retângulo são bissetrizes dos seus ângulos. 10) Calcule os lados de um retângulo cujo perímetro mede 40 cm, sabendo que a base excede a altura em 4 cm.GABARITO:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 37
  • 38. 1) 120º 2) 75º 3) 70º 4) 80º e 105º 5) 115º 6) 40º 7) a) F b) V c) V d) V 8) a) F b) F c) V 9) a) F b) F c) F 10) 12 cm e 8 cm8 – Circunferência8.1 Definições e elementosCircunferência é o conjunto de pontos cuja distância até certo ponto O é amesma para todos eles. Essa distância é indicada na figura ao lado como r.Pontos internos à circunferência (lambda) são aqueles cuja distância até o centro O émaior que r. Analogamente, pontos extenos são aqueles cuja distancia até o centro O émenor que r. Os pontos indicados ao lado são: I (interno) e E (externo). Abaixo, a figuramostra as regiões externa e interna à circunferência.Devem-se definir alguns elementos da circunferência:  Corda é um segmento interno cujas extremidades pertencem à circunferência. A reta AB indicada na figura abaixo é uma corda.  Diâmetro é uma corda que passa pelo centro. Ele mede sempre o dobro do raio r. A reta CD indicada na figura é um diâmetro.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 38
  • 39.  Raio é um seguimento que tem como extremidades o centro O e um ponto pertencente à circunferência. A reta OP indicada na figura é um raio.  Arco de circunferência ou semicircunferência: O arco AB representa a reunião do conjunto de pontos que estão no exterior do ângulo AÔB. Podem ser traçados dois arcos a partir dos pontos A e B da circunferência: o arco maior AB e o arco menor AB. O ponto X indicado na figura ao lado pertence ao arco maior AB.  Círculo (ou disco) é o conjunto de pontos cuja distancia até o centro é menor que a distancia r. A diferença entre círculo e circunferência é que a circunferência é uma “linha”, já o círculo é uma “área”, um conjunto de pontos. Na figura ao lado, são mostrados dois pontos que pertencem ao circulo.  Setor circular é a região delimitada de um círculo por dois raios. Na figura ao lado, os raios que delimitam os setores indicados são AO e OB. Assim como nos arcos, podem-se delimitar dois setores com os raios AO e OB: um setor com maior área e um com menor área. A diferença em relação a um arco e um setor é semelhante à diferença entre circunferencia e circulo: os primeiros representam linhas, já setores e círculos representam áreas.8.2 Posições relativas de reta e Circunferência  Secantes: Uma reta secante a uma circunferência é aquela que intercepta a circunferência em dois pontos distintos. Diz- se que a reta e a circunferência são secantes. Ao lado, um exemplo de reta secante AB à circunferência (lambda).Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 39
  • 40. Propriedade da secante: Se a secante intercepta a circunferência sem passar pelo ponto O, e o ponto M é ponto médio da reta AB, então o segmento OM é perpendicular à reta AB, ou à secante s. Além disso, AM = MB.  Tangentes: Uma reta tangente a uma circunferência é aquela que intercepta a circunferência em apenas um ponto, o ponto de tangencia. Na figura, este ponto é indicado como T. Ele é comum à circunferência e à reta tangente t. Diz-se que a circunferência (lambda) e a reta t são tangentes. Propriedade da tangente: Se T é ponto de tangência entre a circunferência e a reta t, então o raio OT é perpendicular à reta t. Analogamente, para um certo raio OT, a reta que tangencia a circunferência no ponto T é perpendicular a este raio.  Exteriores: Uma reta exterior a uma circunferência é aquela que não intercepta a circunferência em nenhum ponto. Não há interseções de pontos entre a reta e a tangente. Diz-se que a reta e indicada na figura é exterior à circunferência (lambda).8.3 Posições relativas de duas CircunferênciasDefinições:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 40
  • 41.  Interna: uma circunferência é interna a outra quanto todos os seus pontos são internos à outra. Não á nenhum interseção entre elas.  Tangente interna: uma circunferência é tangente interna à outra se têm um único ponto de interseção e o resto dos pontos de uma são internos em relação à outra  Secante: uma circunferência é secante a outra se elas tem dois pontos distintos em comum.  Tangente externa: uma circunferência é tangente externa à outra se têm um único ponto de interseção e o resto dos pontos de uma são externos em relação à outra.  Externa: uma circunferência é externa a outra se todos os pontos de uma são externos a outra. Não há interseção entre elas.8.4 Segmentos tangentes – Quadriláteros circunscritíveis  Se de um ponto P traçarmos duas retas tangentes à circunferência (lambda), então os dois segmentos pertencentes a essa retas (PA e PB) são iguais. PA = PB.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 41
  • 42.  Quando um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, isso indica que todos os lados desse quadrilátero são tangentes à circunferência. Além disso, vale a seguinte relação:EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1) A circunferência ao lado tem raio de 16 cm e o ponto P dista 7 cm do centro. Determine a distância entre P e a circunferência. 2) As circunferências da figura ao lado são tangentes externamente. Se a distância entre os centros é 28 cm e a diferença entre os raios é de 8 cm, determine os raios. 3) Duas circunferências são tangentes internamente e a soma dos raios é 30 cm. Se a distancia entre os centros é de 6 cm, determine os raios. 4) Na figura, as circunferências são tangentes duas a duas e os centros são os vértices do trianculgo ABC. Sendo AB = 7 cm, AC = 5 cm e BC = 6 cm, determine os raios das circunferências.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 42
  • 43. 5) Na figura, determine a medida do segmento BD, sabendo que a circunferência de centro O está inscrita no triangulo ABD, e que os lados AB, BC e AC medem respectivamente 6 cm, 8 cm e 10 cm. 6) Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscritivel, da figura. 7) Determine a medida do diâmetro de um circulo inscrito emum triangulo retângulo cujos lados medem 9 cm, 12 cm e 15 cm.8.5 Ângulos da circunferência  Circunferencias congruentes: são aquelas que tem o mesmo raio.  Arcos congruentes: Dois arcos AB e CD são congruentes se, e somente se, os arcos CÔD e AÔB forem congruentes.  Ângulo central relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o vértice no centro O da circunferência e extremidades na linha da mesma. AB é o arco correspondente ao ângulo central AÔB. OBS.: Para simplificar, chamaremos o ângulo AÔB de (beta).  Ângulo inscrito a uma circunferência é aquele ângulo que possui vértice (V) e extremidades (A e B) pertencentes à circunferência, como mostra a figura.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 43
  • 44. PROPRIEDADE 1: alfa = beta/2 PROPRIEDADE 2: Se o arco do ângulo inscrito for 180º, isso implica que o ângulo inscrito terá valor 90º. Daí, O triangulo formado pelas extremidades e pelo vértice do ângulo é um triangulo retângulo. PROPRIEDADE 3: Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, isso implica que os anglos opostos são complementares (somam 180º).  Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito a uma circunferência é um ângulo que tem vértice na circunferência (ponto A), um lado secante (linha t) e o outro lado tangente à circunferência (linha AB)., como indicado na figura ao lado. PROPRIEDADE 1: Medida do ângulo de segmento PROPRIEDADE 2: Arco capaz Seja AÔB um ângulo central (beta) = 2(alfa). Os vértices dos ângulos inscritos ou semi-inscritos relativos à circunferência que tem lados passando por A e B formarão ângulos (alfa), que medem a metade do ângulo central (beta).Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 44
  • 45. PROPRIEDADE 3: Ângulos excêntricos Em caso de excentricidade interior, Em caso de excentricidade exterior, há três possíveis casos. Em qualquer um deles,EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1) Determine o valor do ângulo x nos casos:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 45
  • 46. 2) Determine o valor do arco x nos casos: 3) Na figura, o arco CMD é igual a 100º e o arco ANB mede 30º. Calcule o valor de x. 4) Determine a medida do ângulo α, sabendo que, na figura abaixo, CD = R. 5) Calcule x nas figuras:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 46
  • 47. 6) Nas figuras, calcule o valor de x. 7) N a s f i g u r as, calcule o valor de α. 8) Nas figuras, calcule o valor do arco ABC. 9) Nas figuras, calcule x. 10) Na figura ao lado, sendo ABC = 260º, calcule o valor de α.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 47
  • 48. 8.6 – Comprimento da circunferência  Depois de vários estudos sobre o comprimento da circunferência, chegou-se a um resultado: Percebeu-se que o comprimento da uma cirunferencia é diretamente proporcional ao dobro do raio, e que a constante de proporcionalidade é (PI).  Proporcionalidade entre secções circulares: Pode-se calcular o comprimento l (menor que o comprimento total C) através da medida do ângulo central referente a ele e do comprimento do raio R da circunferência.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 48
  • 49. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1) Determine o comprimento da circunferência nos casos: 2) Determine o comprimento do arco menor AB, dado o raio de 90 cm e o ângulo central correspondente, nos casos: 3) Determine o comprimento da linha cheia nos casos (os arcos são centrados em O1, O2, e O3)Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 49
  • 50. 4) Determine o perímetro da figura sombreada: (a) Os arcos tem raios de 12 cm e são centrados em A, B e C. (b) ABCD é um quadrado de 48 cm de lado e os arcos são centrados em A, B, C e D.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 50

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