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Ap geometria analitica resolvidos
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Ap geometria analitica resolvidos

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  • 1. Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas 2º AnoApostila de Matemática # 3 Assunto: Geometria Analítica Organização: PET-CT
  • 2. 1 INTRODUÇÃOBem-vindos! Este é o segundo ano do projeto Pró-Exacta, projeto que foi idealizadopelos PETs do Centro de Tecnologia da Universidade Federal do Ceará – UFC. Oprojeto busca ajudar vocês com aulas extras aos sábados das disciplinas de matemática,física e química, como foi feito no ano passado (2010). É importante lembrar que oprojeto não pretende, de forma alguma, substituir as aulas escolares e sim complementá-las.Os módulos de matemática cresceram um pouco em relação ao ano passado e agora setornaram apostilas. Apostilas estas confeccionadas com afinco para uma melhoraprendizagem do conteúdo exposto em sala de aula. As apostilas são divididas emcapítulos com um texto explicativo do conteúdo, misturado com exercícios resolvidos eexemplos e, ao fim de cada capítulo, exercícios propostos para testar o aprendizado, éextremamente importante que esses exercícios sejam estudados. Os exercícios queforem mais difíceis e você não entender, por favor, fale para algum dos nossosprofessores que será feito o possível para que a dúvida seja resolvida.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 2
  • 3. Capítulo 1 – COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO EEQUAÇÃO DA RETA 1. Noções básicas:René Descartes (1596-1650) físico, filósofo e matemático foi o autor da idéia simples,porém genial, de localizar um ponto qualquer P do espaço em um plano por meio,apenas, de um par de números e de um ponto referencial O, chamado de Origem.Esse plano é definido por duas retas perpendiculares, eixo x e eixo y, e concorrentes noponto O. Para representar o ponto P são traçadas retas paralelas a x e y que passa peloponto P, de forma que as interseções com os eixos x e y é respectivamente P 1 e P2.Assim, o ponto P é localizado por um par ordenado P(x p, yp), onde xp é a distância doponto P ao eixo y, ou seja, a distância OP1 e yp é a distância do ponto P ao eixo x, adistância OP2. Observe a figura:-Abscissa do ponto P: É o número real xp, que indica a distância orientada de P ao eixoy.Se xp > 0 → quantas unidades de P está a direita da origem.Se xp < 0 → quantas unidades de P está a esquerda da origem.Se xp = 0 → indica que P está sobre o eixo y.-Ordenada do ponto P: É o número real yp, que indica a distância orientada de P aoeixo x.Se yp > 0 → quantas unidades de P está acima da origem.Se yp < 0 → quantas unidades de P está abaixo da origem.Se yp = 0 → indica que P está sobre o eixo x.-Plano cartesiano ortogonal:É o plano xOy, definido pelos eixos x e y-Coordenadas cartesianas de P:É o par ordenado (xp, yp)-Eixo das abscissas(eixo x):É a reta orientada OX-Eixo das ordenadas (eixo y):É a reta orientada OYPró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 3
  • 4. Exercício resolvido 1:Analise a figura, abaixo, e dê as coordenadas cartesianas dos pontos destacados:Solução:A(1,2); B(-1,2); C(-1,-2); D(1,-2); E(1,0) e F(0,2).Observe que a ordem do par ordenado é importante, assim cada par ordenado representaum ponto especifico do plano. Ex: o par ordenado (2,3) representa um ponto diferentedo par ordenado (3,2) no plano cartesiano. 2. Posições de um ponto em relação ao sistema cartesiano: 2.1 Quadrantes do plano:Os eixos perpendiculares x e y definem o plano cartesiano e o dividi em quatro partesângulares, denominadas de quadrantes.E fica evidente que: P ϵ 1° Quadrante → xp ≥ 0 e yp ≥ 0 P ϵ 2° Quadrante → xp ≤ 0 e yp ≥ 0 P ϵ 3° Quadrante → xp ≤ 0 e yp ≤ 0 P ϵ 4° Quadrante → xp ≥ 0 e yp ≤ 0Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 4
  • 5. 2.2 Bissetriz dos quadrantes:Um ponto pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares se, e somente se, tivercoordenadas iguais: P ϵ b13 ↔ xp = ypIsso significa que a bissetriz dos quadrantes ímpares b13 é o conjunto de pontos decoordenadas iguais: b13 = {(a,a) / a ϵ R}.E um ponto pertence à bissetriz dos quadrantes pares se, e somente se, tiver coordenadasopostas: P ϵ b13 ↔ xp = -ypIsso significa que a bissetriz dos quadrantes pares é o conjunto de pontos decoordenadas opostas: b13 = {(a,-a) / a ϵ R}. 3. Exercícios propostos: 1) Dados os pontos P(x + 5; 2y) e Q(15; y + 6) determine x e y para que: a) P pertença ao terceiro quadrante. b) Q pertença ao quarto quadrante. c) P pertença ao eixo das abscissas 2) Dados os pontos M(2x + 6; x + 4) e N(y – 12; 2y + 6) determine x e y para que:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 5
  • 6. a) M a bissetriz dos quadrantes ímpares e N a bissetriz dos quadrantes pares b) M e N sejam iguais 3) Sejam Q simétrico ao ponto P(x, y) em relação ao eixo das abscissas e R também simétrico à P(x, y) em relação ao eixo das ordenadas. Então está correto que: a) Q(-x, y) b) Q(x, -y) e R(-x, y) c) Q(x, -y) e R(-x, -y) d) Q(x, -y) e R(-x, y) 4. Distância entre dois pontos:Considere dois pontos distintos, A(x1 ,y1) e B(x2 ,y2), pertencentes ao plano cartesiano, adistância entre elas é a medida do segmento de reta que os ligam, indicada por d(A,B):Observe na figura o triângulo retângulo ABC. Aplicando o teorema de Pitágoras, tem-seque: (dab) 2 = (CA)2 +(CB)2, onde CA = x2 - x1 e PB = y2 – y1 . Logo: d2ab = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 dab = ± (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2Note que:dab ≥ 0(x2 – x1)2 = (x1 - x2)2 =(∆)2 e(y2 – y1)2 = (y1 - y2)2 =(∆)2Assim: = ∆ 2 + ∆ 2Exercício Resolvido 2:Calcule as medidas dos lados do triângulo cujos vértices são A(-2, 3), B(1, 3) e C(1, -1).Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 6
  • 7. Solução:dab = −2 − 1 2 + 3−3 2 = 9=3dac = −2 − 1 2 + 3+1 2 = 25 = 5dbc = 1−1 2 + 3+1 2 = 16 = 4 5. Exercícios propostos: 4) Sendo A(3, 1), B( 4, -4) e C(-2, 2) vértices de um triângulo, classifique-o quanto ao seus lados e ângulos. 5) Calcule a distância de P(3, -4) à origem do sistema cartesiano. 6) Prove que o triângulo cujos vértices são A(2, 2), B(-4, -6) e C(4, -12) é retângulo. 7) Determine o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é equidistante dos pontos A(2, -1) e B(3, 5) 8) Dados A(5, -2) e B(4, -1), vértices consecutivos de um quadrado, determine os outros dois vértices do mesmo. 6. Seguimento Orientado: 6.1 Definição:Dado um seguimento de reta AB pode-se orientá-lo com um sentido de A para B ou deB para A. Adotando o sentido de A para B obtém-se um seguimento orientado AB deorigem em A. 6.2 Razão de um seguimento:Considere três pontos colineares A, B, e C com A ≠ B ≠ C, chama-se de razão entre osseguimentos orientados AB e AC o número r tal que: r = Pode-se calcular r em função das coordenadas de A, B e C, usando a formula dadistância de dois pontos, assim: − 2 + − 2 r= = (xc – xb)2 + (yc - yb)2Ao traçarmos os seguimentos AB e BC no plano cartesiano, pode-se, ainda, deduzirque:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 7
  • 8. − = − E/ou que: − = − Exercício Resolvido 3:Obtenha as coordenadas do ponto C da reta AB, sabendo que A = (1, 5), B = (4, 17) e r = = 2. Solução: − −1r = − = 4− = 2 → x - 1 = 8 - 2x → x = 3 − −5r = − = 17− = 2 → y - 5 = 34 – 2y → y = 13 Então C = (3, 13). 6.3 Ponto médio de um seguimento: Se a razão de seguimento , for igual a 1, significa que P divide igualmente o seguimento AB. Dessa forma P = M , ponto médio do seguimento AB. Deduz que: = 1 = − = =1 − → − = − − Logo, = 2Analogamente, − = 2 7. Exercícios propostos: 9) Dados A(5, 3) e B(-1,-3), seja C a intercessão da reta AB com o eixo das abscissas. Calcule a razão AC/CB.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 8
  • 9. 10) Determine as coordenadas que dividem AB em quatro partes iguais, quando A(3,-2) e B(15, 10) 11) Calcule o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(3, 7) e C(5, -1). 12) Se M(1, 1), N(0, 3) e P (-2, 2) são os pontos médios dos lados AB, BC, e CA, respectivamente, de um triângulo ABC, determine as coordenadas de A, B e C. 13) O baricentro de um triângulo é G 5, 1 e dois de seus vértices são A(9, -3) e B(1, 2). Determine o terceiro vértice 8. Condição de alinhamento de três pontos:Sabe-se que por dois pontos distintos passa uma reta, logo esses dois pontos sempreestarão alinhados, mas qual é a condição para que três pontos distintos estejamalinhados?Considere três distintos pontos A(xa,, ya), B(xb, yb) e C(xc,, yc) alinhados, ou seja,pertencentes a uma mesma reta no plano cartesiano.Pela figura encontra-se que os triângulos ABD e BCE são semelhantes, assim: = − − = − − → (xb – xa)(yc – yb) = (xc – xb)(yb – ya)→ (xb – xa)(yc – yb) - (xc – xb)(yb – ya) = 0A igualdade acima pode ser escrita assim:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 9
  • 10. Isso porque esse determinante é equivalente ao primeiro termo da equação anterior.Daí tem-se, finalmente, que três pontos A(x1,, y1), B(x2,, y2), C(x3,, y3) são colineares se,e somente se: 9. Exercícios propostos: 14) Os pontos A(2, 7); B(-3, 0) e C são colineares? 15) Se o ponto (q, -4) pertence a reta que passa pelos pontos (0, 6); (6, 0). Determine q. 16) Dados A(1, 5) e B(3, -1), obtenha o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares. 17) Determine P(x, y) colinear simultaneamente com A(0, 3) e B(1, 0) e com C(1, 2) e D(0, 1). 10. Equação geral da reta:Considere a reta r na figura, definida por dois pontos de coordenadas conhecidas, A(x a,,ya) e B(xb, yb):Sendo P um ponto qualquer dessa reta. Como os pontos P, A e B são colineares, tem-seque:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 10
  • 11. Assim,1 + 2 + 1 2 − 2 1 − 1 − 2 = 0 → 1 − 2 + 2 − 1 + 1 2 − 2 1 = 0 Fazendo: 1 − 2 = 2 − 1 = 1 2 − 2 1 = Obtém-se a equação geral da reta: + + = 0Onde a, b, c são números reais, a ≠ 0 ou b ≠ 0. Observe que a e b não pode sersimultaneamente nulos.Dessa forma, tem-se que toda reta possui uma equação da forma + + = 0,sendo a e b não simultaneamente nulos, que é chamada de equação geral da reta.Observações: 1) Se a = 0, y = − e essa reta é horizontal, paralela ao eixo x; 2) Se b = 0, y = − e essa reta é vertical, paralela ao eixo y; 3) Se c =0, ax – by = 0 e essa reta passa pela origem.Exercício resolvido 4:Obter a equação geral da reta que passa nos pontos A e B(4,6). Sendo o ponto Ainterseção das retas de equações 2x + y – 6 =0 e 2x – y – 6 =0. Solução: 1. As coordenadas do ponto A são solução do sistema:2x + y = 6 →x=3ey=02x – y = 6 A(3,0) 2. Sendo P(x,y) o ponto genérico da reta r procurada A, B e P respeitam a condição de alinhamento 3 0 1 4 6 1 =0 1 → 18 + 4y – 6x – 3y = 0 → y – 6x + 18 = 0Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 11
  • 12. 11. Exercícios propostos: 18) Dados os pontos A(1, 2), B(2, 2) e C(4, 3), obtenha a equação da reta que passa por A e pelo ponto médio do segmento BC. 19) A reta determinada por A(p, q) e B(7, 3) passa pela origem. Qual é a relação entre p e q? 20) Determine a interseção das retas x -5y = 14 e 3x + 2y = -9. 21) Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são a interseções das retas x + y = 6, x = 1 e y = 1. 12. Posições relativas de duas retas:Dadas duas retas r e s cujas equações são(r) a1x + b1y = c1(s) a2x + b2y = c2Elas podem ocupar somente três posições relativas ao plano cartesiano. Essas posiçõessão definidas com base no número de pontos comuns às duas retas.Pode-se observar no exercício resolvido anterior, que o ponto de interseção de duasretas deve obedecer as equações de ambas as retas. Logo, obtêm-se os pontos queintercedem às retas r e s resolvendo um sistema com as equações dessas retas Assim:-r e s são concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um parordenado localizado na interseção das duas retas, logo, essas retas só possuem um pontoem comum.-r e s paralelas e distintas: quando o sistema não admite solução, assim não existeponto em comum nessas retas.-r e s paralelas e coincidentes: quando o sistema possui infinitas soluções, assim essasretas são iguais, pois possui os mesmos pontos. rxs r∩s=0 r=sPara que esses três casos ocorram é necessário que: r x s ↔ 1 ≠ 1 (concorrentes) 2 2 1 r∩s=0 ↔ = 1 ≠ 1 (paralelas e distintas) 2 2 2 1 1 1r = s ↔ = = (coincidentes) 2 2 2Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 12
  • 13. Exercício resolvido 5:Determine a posição relativa da reta r, de equação 2x – 3y + 5 = 0, em relação a reta sde equação 4x – 6y - 1 = 0.Solução:1 2 = = 0,52 41 −3 = = 0,52 −61 5 = = −52 −1 Logo, ao compararmos, tem-se que 1 = 1 ≠ 1 , portanto são paralelas. 2 2 2 13. Exercícios propostos: 22) Qual a posição relativa entre as retas 3x – y – 7 = 0 e 6x -2y + 17 = 0 23) Para que valores de k as retas ( k + 1)x + 10y - 1 = 0 e 8x + (k - 1)y + 1 = 0 são paralelas 14. Formas da equação da reta:Neste item serão apresentadas diferentes e importantes formas da equação da reta,observe: 1) Forma geral:Viu-se que dada uma reta r, podemos determinar pelo menos uma equação do tipo + + = , denominada de equação geral da reta. 2) Forma reduzida:Dada a equação geral da reta r, se b ≠ 0, tem-se que: → + + = 0 → = − − → = − + − Chamando − de m e − de n. encontra-se: = + Essa ultima equação, expressa y em função de x e é conhecida como equação reduzidada reta r.Exemplo: dada a equação geral da reta (s) 4x – 2y + 32 = 0 a equação reduzida desta éy = 2x + 16.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 13
  • 14. 3) Forma segmentaria:Essa forma representa retas definidas pelos pontos que interceptam os eixos cartesianos.Considere uma reta r que intercepta os eixos cartesianos nos pontos Q(0, q), interseçãocom o eixo y e P(p,0), interseção com o eixo x.Assim, 1 0 1 = 0 0 1→ + − = 0→ + = → + = Essa ultima é a equação segmentária da reta r.Exercício resolvido 6:Determine a equação segmentária e geral da reta que passa pelos pontos R(3, 0) e F(0,4).Solução: A equação segmentária é 3 + 4 = 1Para encontrar a equação geral basta multiplicar de forma a eliminar os denominadores: 3Multiplicando por 3 → + =3 4Multiplicando por 4 → 4 + 3 = 12Logo a equação geral é 4 + 3 − 12 = 0Exercício resolvido 7Obter a equação segmentária da reta:(s) 7x + 11y + 3 = 0.Solução7x + 11y = -3 7 11→− 3 − = 1 3 → 3 + 3 = 1 (equação segmentária) − − 7 11 4) Forma paramétrica:Diferente das equações anteriores, a equação paramétrica não relaciona diretamenteentre si as coordenadas x e y.Essas equações são dadas em função de uma terceira variável, t, chamada de parâmetroda equação. Assim x e y são dados em função de t:x = f(t)y = g(t), onde t ∈ Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 14
  • 15. Para obtermos a equação geral de uma reta definida por equações paramétricas tem queeliminar o parâmetro t das duas equações.Exercício resolvido 8:Determine a equação geral da reta definida por:x = 4 + 2ty = 1 – t ( ∈ )Solução:Vamos eliminar o parâmetro P para encontrar a equação geral:Vem que t = 1 – ySubstituindo t na primeira equação:x = 4 + 2(1 - y)x = 4 + 2 -2y2y +x -2 = 0 (equação geral da reta) 15. Exercícios propostos: 24) Dada a reta r que passa pelos pontos (3, 2) e (1, 0), dê sua expressão na forma reduzida 25) Dados A(3, 10) e B(-6, -5), determine a equação segmentária da reta AB. 26) Dadas as equações paramétricas de uma reta (r) x = 10t – 2 e y = 3t, obtenha sua equação segmentária 27) Qual é a posição relativa das retas (r) 2 + −2 = 1 e 3 (s)x = t – 1, y = 3t - 2 ?Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 15
  • 16. 16. Gabaritos: 1. a) x ≤ -5 e y ≤ 0 b) y ≤ -6 c)y = 0 e x ϵ R 2. a) x = -2 e y = 2 38 22 b) x = − ey=− 3 3. 3. Item d 4. Triângulo isósceles obtusângulo 5. 5 6. Para um triangulo ser retângulo o teorema de Pitágoras é verdadeiro, o que pode- se verificar ao calcular a distância de cada vértice para outro e verificar o 2 2 2 teorema.( = + ) 29 7. P ( ,0 ) 2 8. C(3, -2) D(4, -3) ou C(5, 0) D(6, -3) 9. 1 10. (6, 1); (9, 4) e (12, 7) 11. dam = 5 12. A(-1, 0); B(3, 2); (-3, 4) 13. C(5, 4) 14. Não 15. q = 10 16. (2, 2) 1 3 17. , 2 2 18. 3x + 4y -11 = 0 19. 7q - 3p = 0 20. (-1, -3) 21. 4( 2 + 2) 22. Paralelas distintas 23. -9 ou 9 1 1 24. y = − 2 2 25. + =1 −3 5 26. + 3 =1 −2 5 27. Paralelas e distintasPró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 16
  • 17. Capítulo 2 - TEOREMA ANGULARDados dois pontos A(x1,y1) e B(x2,y2) no plano cartesiano, existe uma única reta quepassa por esses dois pontos. Para a determinação da equação de uma reta existe anecessidade de duas informações e dois conceitos importantes: o coeficiente angular dareta e o coeficiente linear da reta. 1. Coeficiente angularConsideremos o ângulo formado no sentido anti-horário a partir do semi-eixo positivoOx até uma reta qualquer. Vejamos os exemplos a seguir:Lembrete! Temos sempre 0º ≤ θ 180ºSendo θ o ângulo considerado acima, chamamos de coeficiente angular da reta onúmero real m tal que: m = tg θ; θ ≠ 90ºAssim temos:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 17
  • 18. Veremos, agora, como determinar o coeficiente angular de uma reta a partir de doisquaisquer de seus pontos. Na figura a seguir, mostramos uma reta passando pelospontos (x1,y1) e (x2, y2). O triângulo retângulo formado tem o cateto vertical igual a y2 -y1 e o cateto horizontal igual a x2- x1. Dividindo o cateto vertical pelo horizontal,obtemos a fórmula do coeficiente angular: − m= = tg α − Preferimos a notação: m= (Δx ≠ 0) em que Δx e Δy são, respectivamente, a diferença de abscissas e a diferença deordenadas entre A e B.Por exemplo, o declive de reta que passa pelos pontos A(2,4) e B(4,10) é: (10 − 4) = = =3 (4 − 2)Imagine que agora conhecemos a equação geral de uma reta: ax + by + c =0. Vamoscalcular o coeficiente angular dessa reta. Lembremos que, dados A(xA,yA) e B(xB,yB)pertencentes à reta, a equação geral é:Assim temos que: (yA – yB) = a e (xB – xA) = b. Logo: − = = − , ≠ 0 − Por exemplo, o coeficiente angular da reta (r) 3 x – 3y + c = 0 é: 3 3 = − = − = −3 3Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 18
  • 19. No caso da equação geral da reta: ax + by + c = 0, podemos obter a equação reduzida dareta. Isolando y e dividindo tudo por b teremos: − = − − = = − − −Como sabemos, m = . Podemos então definir n = e chamá-lo de coeficiente linear da reta. Assim teremos a equação reduzida: y = mx + nExercícios: 1. Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(0,3) e B(3,0) 2. Qual o coeficiente angular da reta 5x + 3y + 13 = 0? 3. Calcule o coeficiente angular das retas: a) 2x + 5 = 2y c) x = 9 b) x = 5t d) 3y = -5 y = 2 – 3t 4. Considere os pontos A(-5,-3), B(-2,12) e C(4,6) e o triângulo ABC. Determine o coeficiente angular da reta que contém a mediana obtida a partir do vértice A. 2. Equação de uma reta passando por P(x0,y0)Seja r uma reta cujo coeficiente angular é igual a m. Sendo P(x0,y0) um ponto quepertença a esta reta (P ∈ r) e um ponto Q(x,y) qualquer de r, tal que Q ≠ P. Podemosescrever: − 0 = = = − 0 = . − 0 − 0Vemos que podemos determinar a equação de uma reta dados apenas seu coeficienteangular e um ponto conhecido.Exercício Resolvido:Determine a equação geral da reta s sabendo que ela passa pelo ponto P(2,6) e que seucoeficiente angular é m = 2.Solução: y – y0 = m.(x – x0) = y – 6 = 2.(x – 2) = y – 6 = 2x – 4 = y = 2x + 2Logo, s: y = 2x + 2.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 19
  • 20. Obs.: Caso a reta seja reta seja perpendicular ao eixo dos x, sua equação será dada por: = 0Pois nesse caso α = 90° e o coeficiente angular da reta não existe.Exercícios 5. Dê a equação geral da reta que passa pelo ponto P(2,-5) e tem coeficiente 4 angular − 5 6. Determine a equação da reta que passa por P e tem inclinação α em relação ao eixo dos x nos casos seguintes: a) P(-1,8) e α = 60° c) P(3,-1) e α = 0° b) P(3,-5) e α = 90° d) P(2,-2) e α = arc tg 3 7. Qual é a equação do feixe de retas concorrentes em P(-3,2)? 3. Condição de paralelismo“Duas retas, r e s, não verticais, são paralelas entre si se, e somente se, seus coeficientesangulares são iguais.” // ⇔ = Demonstração r // s ⇔ = ⇔ = ⇔ = Exercício Resolvido:Verifique se as retas (r) 3x + 6y - 1 = 0 e (s) 2x + 4y + 7 = 0 são paralelas.Solução: 1 3 1mr = − = − = − 1 6 2 2 2 1ms = − = − = − 2 4 2Como mr = ms, temos que as duas retas são paralelas.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 20
  • 21. Exercício Resolvido:Seja a reta r: 5x + 7y + 1 = 0. Determine a equação da reta s paralela à r e que passapelo ponto P(6,-5).Solução: 5Como as retas r e s são paralelas temos que mr = ms. Assim ms = mr = − 7Como P é um ponto pertencente à reta s temos que sua equação é: 5 − (−5) = − ∙ ( − 6) ⇒ 7 + 35 = −5 + 30 7 : 5 + 7 + 5 = 0Exercícios 8. A reta y = mx – 5 é paralela À reta 2y = -3x + 1. Determine m. 9. Qual é a equação da reta que passa pelo ponto A(1,1) e é paralela à reta y = -2x +1? 10. Determine a equação da reta paralela à reta determinada pelos pontos de coordenadas (2,3) e (1,-4) passando pela origem. 11. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (3,4) e é paralela à bissetriz do 2° quadrante. 12. Determine a equação da reta (s) que contém P(-5,4) e é paralela à reta (r) cujas equações paramétricas são x = 3t e y = 2 – 5t. 13. Os pontos M, N, P e Q são os vértices de um paralelogramo situado no 1° quadrante. Sendo M(3,5), N(1,2) e P(5,1), determine o vértice Q. 4. Condição de perpendicularismo“Duas retas r e s, não verticais, são perpendiculares entre si se, e somente se, o produtode seus coeficientes angulares é -1.” r ┴ s ⇔ mr . ms = -1DemonstraçãoPró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 21
  • 22. 1ª Parte: r ┴ s ⇒ mr . ms = -1Da figura acima temos que: β = α + 90° 1 = + 90 = = – = = − = ∙ = −1 = ∙ = −12ª Parte: mr . ms = -1⇒ r ┴ sComo mr.ms = -1, temos que mr ≠ ms, portanto as retas r e s são concorrentes e formamum ângulo θ tal que: = + (1)Temos também que: 1 1 = − = = − = = − = = + 90° = = + 90° (2)Comparando (1) e (2) temos que θ = 90°. Logo r ┴ s.Exercício Resolvido:Verifique se as retas (r) 3x + 2y - 1 = 0 e (s) 4x - 6y + 3 = 0 são perpendiculares.Solução: 1 3mr = − = − 1 2 2 4 2ms = − = − = 2 −6 3Como mr . ms = -1, temos que as duas retas são perpendiculares.Exercício Resolvido:Seja a reta r: 5x + 7y + 1 = 0. Determine a equação da reta s perpendicular à r e quepassa pelo ponto P(6,-5).Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 22
  • 23. Solução: 7Como as retas r e s são perpendiculares temos que mr . ms = -1. Assim ms = 5Como P é um ponto pertencente à reta s temos que sua equação é: 7 − −5 = ∙ − 6 ⇒ 5 + 25 = 7 − 42 5 : 7 − 5 − 67 = 0Exercícios 14. Determine p de modo que as retas (r) -2x + (p - 7)y + 3 = 0 e (s) px + y – 13 = 0 sejam perpendiculares. 15. Se + = 1 e Ax + By + c = 0 são retas perpendiculares, calcule bA + aB. 16. Qual o coeficiente angular da mediatriz do segmento que une os pontos (-2,-1) e (8,3)? 17. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (-5,4) e é perpendicular à reta 5x – 4y + 7 = 0. 18. Determine a equação da reta perpendicular à reta x = y e que passa pela intesecção das retas 2x – 3y – 1 = 0 e 3x – y – 2 = 0. 19. Determine o pé da perpendicular baixada de P(-2,1) sobre (r) 2x – y – 20 = 0 20. Qual é o ponto simétrico de P(2,3) com relação à reta y = x – 3? 21. Determine a reta s, simétrica de (r) x – y + 1 = 0 em relação a (t) 2x + y + 4 = 0 5. Ângulo de duas retasDadas duas retas (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s) a2x + b2y + c2 = 0, vamos calcular osângulos que elas determinam.Se r // s ou r ┴ s, o problema é imediato; portanto deixaremos esses dois casos de lado.Quando duas retas são concorrentes, elas determinam quatro ângulos, dois a doisopostos pelos vértices (e congruentes).Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 23
  • 24. 1º Caso: uma das retas (s, por exemplo) é vertical. + = 90° = = 90° − = = 90° − = = 1 1 = = = 1Assim, para que θ seja agudo devemos ter: = | | Resumo:Dadas r e s, se uma delas não tem coeficiente angular, a tangente do ângulo agudo θ é omódulo do inverso do declive da outra.2° Caso: nenhuma das retas é vertical 2 − 1 = 2 − 1 = = 2 − 1 = = 1 + 2 ∙ 1 − = 1 + ∙ Para obtermos sempre o ângulo agudo entre as duas retas devemos então ter: − = 1 + ∙ ResumoDadas r e s, se as duas têm coeficiente angular, a tangente do ângulo agudo θ é omodulo da diferença dos declives dividida por 1 somado ao produto dos declives.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 24
  • 25. Exemplos1°) Calcular o ângulo agudo formado pelas retas: (r) 3x – y + 5 = 0 e (s) 2x + y + 3 = 0 − −2 − 3 −5 = = = = = = 1 = = 1 + ∙ 1 + −2 . 3 −5 42°) Idem para (r) 2x + 3y – 1 = 0 e (s) 6x - 4y + 5 = 0 2 3 = − = = ∙ = −1 = é = = 3 2 23°) Idem para (r) 4x + 2y – 1 = 0 e (s) 3x – 4 = 0 1 1 1 1 = −2 ∄ = = = = = = −2 2 24º) Idem para (r) 5x + 2y = 0 e (s) 10x + 4y – 7 = 0 5 = = − = ã = = 0° 2Exercício ResolvidoObter a reta s que passa pelo ponto P(6,-5) e que forma um ângulo de 45° com a retar: 5x + 7y + 1 = 0Solução: 5mr = − = − 7 5 − − − 7 7 . + 5 = = 45° = 5 = 1 = 1 + ∙ 1 + ∙ − 7 7 − 5 (7 + 5)² 1= = 49 − 70 + 25 ² = 49 ² + 70 + 25 (7 − 5 )² 1 24 ² + 140 − 24 = 0 = = −6 = 6Como s passa por P, podemos chegar a duas soluções nesse caso:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 25
  • 26. 1ª: 1 − (−5) = ∙ ( − 6) = 6 + 30 = − 6 = − 6 − 36 = 0 62ª: − (−5) = −6. ( − 6) = + 5 = −6 + 36 = 6 + − 31 = 0Exercícios 22. Qual é a tangente do ângulo formado pelas retas 3x + 2y + 2=0 e –x + 2y +5 =0? 23. Calcule o ângulo agudo formado pelas seguintes retas: a) (r) x + 2y – 3 = 0 e (s) 2x + 3y – 5 = 0 b) (r) x.cos 60° + y.sen 60° = 6 e (s) 3y - 2 = 0 24. Conduza por P(0,0) as retas que formam ângulo = com (r) 6x + 2y – 3 = 0 4 25. Dados o ponto (5,4) e a reta (r) 2x – y + 7 = 0, conduza as seguintes retas por P: s paralela a r t perpendicular a r u formando θ = arc tg 3 com r v paralela ao eixo Ox z paralela ao eixo Ou 26. Seja r a reta que passa pelos pontos (3,5) e (7,0). Obtenha a equação da reta s simétrica de r em relação à reta x = 7. 6. Gabaritos 1) -1 2) -5/3 3) a) 1b) -3/5 c) não existe d) 0 4) 2 5) 4x + 5y + 17 = 0 6) a) 3 x – y + 8 + 3 = 0 b) x – 3 = 0 c) y + 1 = 0 d) 3x – y – 8 = 0 7. y – 2 = m.(x + 3) ou x + 3 = 0 8. m = -3/2Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 26
  • 27. 9. y = -2x + 3 10. 7x – y = 0 11. x + y – 7 = 0 12. 5x + 3y + 13 = 0 13. Q (7,4) 14. P = -7 15. 0 16. -5/2 17. 4x + 5y = 0 18. 7x + 7y – 6 = 0 19. (8,-4) 20. (6,-1) 21. x – 7y – 3 = 0 22. 8 23. a) θ = arc tg (1/8) b) θ = 30° 24. x + 2y = 0 ou 2x – y = 0 25. (s) -2x + y + 6 = 0; (t) x + 2y – 13 = 0; (u) x + y – 9 = 0 ou x + 7y – 33 = 0; (v) y – 4 = 0; (z) x – 5 = 0 26. 5x – 4y – 35 = 0Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 27
  • 28. Capítulo 3 - DISTÂNCIA DE PONTO A RETA 1. Distância entre ponto e retaCalculemos a distância entre a origem O e uma reta r cuja equação geral é: ax + by + c = 0 (1)Devemos primeiramente achar a reta s que passa pela origem e é perpendicular a r:r ┴ s: − . = −1 = ∙ = −1 = = Equação de s sabendo que passa pela origem: − 0 = ∙ − 0 = − = 0 (2)Devemos achar então o ponto Q(x0,y0) resultante da interceptação das duas retas: b.x0 – a.y0 = 0 = y0 = ∙ x0 −. −.a.x0 + b.y0 = - c = a.x0 + b ∙ ∙ x0 = - c = 0 = e 0 = 2 + 2 2 + 2A distância entre a origem e o ponto Q corresponde a distância entre a origem e a reta r,logo temos que d² = OQ²: 2 2 2 2 2 2 . 2 2 . 2 , = 0 − 0 + 0 − 0 = 0 + 0 = + = 2 + 2 2 2 + 2 2 2 2 + 2 . ² ² , = 2 + 2 2 = = ² + ² , = + Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 28
  • 29. Assim, por exemplo, a distância entre a reta (r) 3x + 4y – 25 = 0 à origem é dada por: −25 −25 25 , = = = =5 32 + 42 5 5 *Translação de sistemaSejam P(x,y) e O´(x0,y0) dois pontos referidos a um sistema cartesiano xOy.Se x´O´y´ é um sistema tal que x´// x e y´ // y e x´e y´ têm respectivamente o mesmosentido positivo de x,y, dizemos que x´O´y´ foi obtido por uma translação de xOy.Nosso objetivo é estabelecer uma relação entre as coordenadas de P no “novo” sistemax´O´y´ e no “antigo” xOy.Assim temos que:Eixo – x: ´ ´ 1 = 1 + 1 1 = = + ´Eixo – y: ´ ´ 2 = 2 + 2 2 = = + ´Queremos agora a distância entre um ponto P(x0,y0) e uma reta r: ax + by + c = 0A idéia é transformar P em origem do sistema e, então, aplicar a fórmula já deduzidaanteriormente. Dando uma translação no sistema xOy de modo que P seja a origem dosistema x‟Py‟, determinemos a equação da reta r no novo sistema, sabendo que x é daforma x0 + x‟ e y é da forma y0 + y‟ nesse sistema de coordenadas. + + = 0 = . ′ + 0 + . ′ + 0 + = 0 = = ′ + ′ + 0 + 0 + = 0Veja que na nova equação da reta r temos que ax‟ + by‟ + c‟ = 0, com c’ = 0 + 0 + Conforme deduzido anteriormente, temos que a distância entre P e r é:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 29
  • 30. ′ , = 2 + 2donde vem a fórmula: + + , = + Por exemplo, a distância entre a reta (r) 3x - 4y + 2 = 0 ao ponto P(2,-3) é dada por: 3. 2 − 4. −3 + 2 20 20 , = = = =4 32 + 42 5 5Lembre-se que a distância d é, em qualquer caso, um número real não negativo, isto é:d ≥ 0 quaisquer que sejam P e r.Uma aplicação notável da fórmula da distância entre ponto e reta é o seguinte problema:calcular a distância entre as retas paralelas:(r) ax + by + c = 0 e (s) ax + by + c‟ = 0A distância entre r e s é igual a distância de um ponto qualquer P ∈ s até a reta r. Então:1º) seja P(x0,y0) pertencente a s P ∈ s = x0 + by0 + c ′ = 0 = ax0 + by0 = −c ′2º) a distância de P até r é: 0 + 0 + (− ′ ) + , = = 2 + 2 2 + 2Então vem a fórmula: − ′ , = + Exercícios 1) Seja P o ponto de coordenadas (4,3) num sistema cartesiano ortogonal oxy. Se OXY é um novo sistema de coordenadas obtido do anterior por umaPró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 30
  • 31. translação da origem para de o para O(2,-1), determine as coordenadas de P no novo sistema. 2) Calcule a distância do ponto (-2,3) ao eixo das ordenadas. 3) Calcule a distância do ponto P à reta r nos seguintes casos: a) P(2,0) e (r) 2x + 3y -5 = 0 b) P(1,0) e (r) x + 3y – 5 = 0 4) Calcule o comprimento da altura AH, do triângulo de vértices A(-3,0), B(0,0) e C(6,8) 5) O ponto P(0,0) é um vértice de um quadrado que tem um dos seus lados não adjacentes a P sobre a reta x – 2y + 5 = 0. Qual a área do quadrado? 6) Calcule a distância entre as retas (r) 3x + 4y – 13 = 0 e (s) 3x + 4y + 7 = 0 7) Determine as equações das retas que formam 45° com o eixo dos x e estão à distância 2 do ponto P(3,4). 2. Área do triânguloCalculemos a área do triângulo cujos vértices são:A(x1,y1), B(x2,y2) e C(x3,y3) 1Sabemos que a área do triângulo é dada por : área = 2 ∙ base ∙ altura 1No caso do nosso triângulo temos: S = ∙ BC ∙ AH 2BC é facilmente calculada pela fórmula da distância entre dois pontos. Logo: = 2 − 3 2 + (2 − 3 )²Em seguida devemos achar a distância entre A e H, encontrando primeiramente aequação da reta BC e em seguida utilizando a fórmula da distância entre o ponto A e areta BC.Equação da reta BC:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 31
  • 32. Cálculo da distância do ponto A à reta BC:substituindo a, b e c pelos seus respectivos valores, teremos: 1 1 1 2 2 1 2 − 3 1 + 3 − 2 1 + 2 3 − 3 2 3 3 1 = = = 2 − 3 2 + 3 − 2 2 2 − 3 2 + 3 − 2 2 1 1 1Fazendo DABC = 2 2 1 , temos: 3 3 1 1 1 2 | DABC |S = ∙ BC ∙ AH = ∙ 2 − 3 + (2 − 3 )² ∙ 2 2 2 − 3 2 + (2 − 3 )²donde vem a fórmula: = ∙ | | Por exemplo, a área do triângulo cujos vértices são A(4,1), B(-2,3) e C(0,-6) é: 1 4 1 1DABC = 1 = −2 3 1 = 36 + 2 + 12 = 50 1 0 −6 1 1 1 = ∙ = ∙ 50 = 25 2 2Observações: 1. Para todo triângulo ABC, a área é um número real S 0. 2. Se A, B e C são colineares, isto é, se não existe o triângulo ABC, temos DABC=0 e S = 0. 3. A unidade de área, raramente indicada nos problemas de geometria analítica, é o quadrado da unidade de comprimento utilizada nos eixos.Exercícios 8) Calcule a área do triângulo cujos vértices são A(a+1, a+2), B(a, a-1) e C(a+2,a).Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 32
  • 33. 9) Determine a área do triângulo ABC, onde A, B e C são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos MN, NP e PM, sendo M(1,-5),N(3,3) e P(9,-5) 10) Calcule a área do triângulo determinado pelas retas de equações y = 2x, y = 2 e x = 4. 11) Calcule a área do quadrilátero ABCD, dados A(0,0), B(4,-2), C(6,8) e D(0,4) 12) Os pontos A(1,2), B(4,3), C(3,1) e D(m,n), nessa ordem, formam um paralelogramo. Determine a equação da reta AD e calcule a área do paralelogramo ABCD. 13) Determine y de modo que o triângulo de vértices A(1,4), B(4,1) e C(0,y) tenha área igual a 6. 14) Calcule as coordenadas do vértice C do triângulo ABC de área 12, sabendo que A(0,-1), B é a intersecção da reta (r) x + y – 2 = 0 com o eixo dos x e ∈ . 15) Obtenha uma reta que passe por P(1,1) e defina com os eixos coordenados um triângulo de área 2, no primeiro quadrante. 3. Gabaritos 1) (2,4) 2) 2 3) a) 13 / 13 b) 2. 10 / 5 4) AH = 12 / 5 5) 5 6) Dr,s = 4 7) x – y + 3 = 0 ou x – y – 1 = 0 8) 5 / 2 9) 8 10) 12 11) 34 12) (AD) 2x – y = 0 e área = 5 13) y = 9 ou y = 1 14) (10,-8) ou (-6,8) 15) x + y – 2 = 0Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 33
  • 34. Capítulo 4 - CIRCUNFERÊNCIAS 1. Definição e Equação Reduzida Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano que apresentam a mesmadistância a um ponto fixo, denominado centro da circunferência. Observe acircunferência abaixo:Figura 1: Todos os pontos situados na linha azul pertencem a circunferência, pois distam igualmente do ponto C. Taldistância é o raio, simbolizado por „‟r‟‟. Matematicamente, a circunferência pode ser representada por uma equação. Com o auxílio da figura abaixo, podemos averiguar que, dado um ponto P (x, y) pertencente à circunferência, se usarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo abaixo,temos: Figura 2: Demonstração da equação da circunferência ( x  a)2  ( y  b)2  r 2 (1) Essa equação é chamada equação da circunferência. Perceba que o ponto (a,b) é ocentro da circunferência, e „‟r‟‟, o raio da mesma.Exercício Resolvido: Determine as coordenadas do centro e o raio da seguintecircunferência: ( x  4)2  ( y  5)2  4Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 34
  • 35. Solução: O centro nada mais é do que os valores que estão subtraindo x e y, assim ascoordenadas do centro são: (4,5). O raio é o valor que se encontra ao quadrado, do outrolado da equação. Logo, r = 2.Exercícios: 1. Determine a equação da circunferência de centro C e raio r nos seguintes casos: a) C(3,5) e r = 7 b) C(0,0) e r = 9 c) C(-3,5) e r = 1 2. Qual a equação da circunferência de centro C(2,-1) que passa por P(3,3) ? 3. Qual a equação da circunferência de centro C(-2,5) que é tangente ao eixo das ordenadas? 2. Equação NormalA partir da equação da circunferência mostrada acima, obtemos:( x2  2ax  a 2 )  ( y 2  2by  b2 )  r 2Que equivale à: x2  y 2  2ax  2by  (a 2  b2  r 2 )  0Exercício Resolvido: Determine o centro e o raio da circunferência abaixo:x2  y 2  2 x  2 y  7  0Solução: Note que a equação acima equivale a: ( x  1)2  ( y  1)2  9Assim, representa uma circunferência de C(1,1) e r = 3. 3. ReconhecimentoConforme foi visto acima, uma circunferência pode ser representada por uma equaçãodo segundo grau. Contudo, quando saber se uma equação do segundo grau do tipomostrado abaixo, representa ou não uma circunferência? Ax2  By 2  Cxy  Dx  Ey  F  0Bem, para tal equação representar uma circunferência, precisamos ter as seguintescondições:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 35
  • 36. - Os coeficientes de x2 e y2 são iguais- Não existe termo misto xy- E se o raio for real e positivoAgora, você pode estar se perguntando: como, a partir de tal equação, calcular o raio, eo centro?A resposta é dada pelas equações abaixo:Sendo A = B = 1 (o que ocorre na maioria dos casos), temos que: D E a , b   , r  a 2  b2  F 2 2Exercícios Resolvidos: 1- A equação x2  y 2  2 x  2 y  2  0 representa uma circunferência? Solução: Bem, verificamos que os coeficientes de x2 e y2 são iguais, e que não existe D E termo misto. Vamos, então, calcular o raio. Note que: a    1 ; b    1 . 2 2 Logo: r  a 2  b2  F  1  1  2  0 Perceba que não existe circunferência de raio zero, logo, a equação não representa uma circunferência. 2- Obter o centro e o raio da circunferência cuja equação é: 4 x2  4 y 2  4 x  12 y  6  0 Solução: Note que A = B = 4. Para usarmos as relações que conhecemos, precisamos ter A = B = 1. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por 4, resultando em: 3 x2  y 2  x  3 y  0 2 Então: D 1 E 3 a  ,b    2 2 2 2E o raio é:Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 36
  • 37. 1 9 3 r  a 2  b2  F    1 4 4 2Obs: Quando não temos A= B= 1, e não é interessante efetuar a divisão por algumvalor, pode-se calcular o raio por: D 2  E 2  4 AF R 2AExercícios: 4. Determine o centro e o raio das seguintes circunferências: a) x 2  y 2  4 x  4 y  1  0 b) 2 x2  2 y 2  8x  8 y  34  0 c) x  y  2 x  15  0 2 2 5. Determine as coordenadas do centro da seguinte circunferência: x2  y 2  4x  2 y  3 6. Ache a equação da reta que passa pelo centro da circunferência ( x  3)2  ( y  2)2  25 e é perpendicular à reta 3x  2 y  7  0 7. Para que valores de m e k a equação abaixo representa uma circunferência? mx2  y 2  10 x  8 y  k  0 4) Ponto e circunferênciaVamos resolver o seguinte problema: dada uma circunferência de equação( x  a)2  ( y  b)2  r 2 , e um ponto P(x ,y ), qual é a posição do ponto P em relação à 0 0circunferência?Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 37
  • 38. Para resolver tal situação, basta calcularmos a distância do ponto P até o centro dacircunferência (PQ), e, em seguida, comparar tal valor com o raio (r). Assim:- Se PC r, P é exterior à circunferência, isto é, P está fora da circunferência.Lembrando-se da formula da distância entre dois pontos, podemos dizer que PC r;equivale à: ( x0  a)2  ( y0  b)2  r 2Sendo assim, basta substituirmos os valores e comparar os resultados.- Se PC = r, então P está situado sobre a circunferência. Para sabermos se isso acontecebasta substituir os valores na fórmula abaixo e verificar se a igualdade ocorre: ( x0  a)2  ( y0  b)2  r 2- Se PC r, então P está dentro da circunferência. Novamente, basta substituir osvalores e vê se a condição abaixo ocorre: ( x0  a)2  ( y0  b)2  r 2Exercícios: 8. Qual é a posição do ponto P (3,2) em relação à circunferência seguinte? ( x  1)2  ( y  1)2  4 9. Qual é a posição do ponto A(1, 2 ) em relação à circunferência seguinte? x2  y 2  4x  4x  4  0 5) Inequações do 2o grauCom o que aprendemos acima, podemos resolver algumas inequações do 2o de umamaneira simples, veja:Exemplo 1: Resolva a seguinte inequação: x2  y 2  4x  4x  5  0Solução: Com alguns cálculos encontramos que as coordenadas do centro: C(2,2) e oraio = 3 . Dessa forma, devido ao “sinal de menor”, a solução da inequação é oconjunto dos pontos interiores à tal circunferência.Exemplo 2: Resolva a seguinte inequação: x2  y 2  2x  2 y  1  0Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 38
  • 39. Solução: Temos que: Centro = C(1,1) e r = 1. Dessa forma a solução da inequaçãoacima é o conjunto dos pontos situados fora de tal circunferência. Ou seja, é o planocartesiano menos os pontos interiores à circunferência.Exercícios: 10) Resolva as seguintes inequações: a. x 2  y 2  16 b. x2  y 2  4 x  2 y  1  0 11) Calcule a área do círculo que é a solução de: x2  y 2  4x  6 y  8  0 6) Reta e circunferênciaConsidere o seguinte problema:-Obtenha o(s) ponto(s) de interseção da reta y  x com a circunferência x 2  y 2  2 .Solução: Um ponto P(x,y) que está na interseção, obedece, obrigatoriamente, as duasequações, pois ele está situado tanto sobre a reta quanto sobre a circunferência. Sendoassim, substituindo:x2  ( x)2  2  2 x2  2  x  y  1; ou : x  y  1Ou seja, os pontos comuns são: (1,1) e (-1,-1).Para esse tipo de problema, temos algumas interpretações geométricas. Caso exista 2pontos de intercessão, como ocorreu acima, dizemos então que a reta é secante àcircunferência. Caso haja somente 1 ponto, dizemos que a reta é tangente àcircunferência, e caso não haja nenhum ponto, dizemos que a reta é exterior àcircunferência.Outra maneira de saber qual a posição de uma reta em relação a uma circunferência écalcular a distância da reta ao centro da circunferência, e depois comparar tal distânciacom o raio da circunferência.Exercícios: 12) Qual a posição da reta 4 x  3 y  0 em relação à circunferência seguinte? x 2  y 2  5x  7 y  1  0 13) Qual é a posição da reta 5x  12 y  8  0 em relação à circunferência seguinte?Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 39
  • 40. x2  y 2  2 x  0 14) Determine o ponto P onde a circunferência seguinte encontra o eixo dos x: x2  y 2  6x  6 y  9  0 15) Dada a reta x  y  c  0 e a circunferência seguinte, x2  y 2  6 x  4 y  12  0 , obtenha c de modo que a reta seja exterior à circunferência. 16) Obtenha a equação da circunferência de centro C(1,2) e que tangencia a reta de equação 5x  12 y  10  0 7) Duas circunferências InterseçãoLeia com atenção o seguinte problema e sua solução:-Obtenha a interseção da circunferência de centro C1(0,2) e raio r1 = 2 com acircunferência de centro C2(1,0) e raio r2 = 1.Solução: Temos:( x  0)2  ( y  2)2  4  x2  y 2  4 y  0 (I)E, ( x  1)2  ( y  0)2  1  x2  y 2  2 x  0 . (II)Acima, temos um sistema com duas equações. Subtraindo a primeira pela segunda ,temos que: 4 y  2 x  0  x  2 y Com o resultado acima, substituindo na primeira circunferência, temos:(2 y  0)2  ( y  2)2  4  5 y 2  4 y  0 Então, resolvendo a equação do segundo grau, encontramos que: y  0  x  2 y  x  0  Ou, y  4 / 5  x  2 y  x  8 / 5  Assim, as circunferências têm dois pontos em comum: P (0,0) e Q (8/5, 4/5).Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 40
  • 41. Posições RelativasA posição relativa de duas circunferências é determinada comparando a distância entreos centros das duas circunferências com a soma ou diferença dos raios.Calculada a distância entre os centros:d  C1C2  (a1  a2 )2  (b1  b2 )2Onde (a1 , b1 ) e (a2 , b2 ) são as coordenadas do centro de cada circunferência.A partir disso, são possíveis seis casos distintos de posição entre as duascircunferências: 1- d r1 + r2. Quando isso ocorre, dizemos que as circunferências são exteriores 2- d = r1 + r2. Diz-se que as circunferências são tangentes exteriormente 3- d  r1  r2 . Diz-se que as circunferências são tangentes interiormente.Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 41
  • 42. 4- r1  r2  d  r1  r2 . Diz-se que as circunferências são secantes. 5- 0  d  r1  r2 . Diz-se que a circunferência de menor raio é interior à outra. 6- d = 0. Circunferências concêntricas.Exercícios: 17) Qual é a posição relativa das circunferências seguintes: x 2  y 2  49 e x2  y 2  6 x  8 y  21  0 18) Obtenha a interseção das circunferências: x2  y 2  12 x  12 y  68  0 e x 2  y 2  100 19) Determine a posição relativa entre as seguintes circunferências: x 2  y 2  16 e x2  y 2  6 x  4 y  4  0 20) As circunferências de equação: x2  y 2  10 x  2 y  16  0 e x2  y 2  8x  4 y  16  0Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 42
  • 43. Interceptam-se nos pontos A e B. Determine a distância do centro da circunferência deraio maior à reta AB. 21) Obtenha as circunferências de centro C(2,-1) e tangentes à circunferência x2  y 2  4x  6 y  0 8) Gabaritos1) a) (x-3)2+ (y-5)2 = 1 b) x2+ y2 = 81 c) (x + 3)² +(y – 5)² = 12) (x – 2)² + (y + 1)² = 173) (x + 2)² + (y – 5)² = 44) a) C(2,-2), r = 3 b) C(-2,-2), r = 5 c) C(-1, 0), r = 45) (-2, 1)6) 2x + 3y = 07) m = 1e k 418) P é exterior.9) A é interior.10) a) O conjunto solução da inequação é o círculo de centro na origem e raio 4. b)O conjunto solução da inequação é o círculo de centro (2, -1) e raio 2.11) 5π12) r é secante.13) Tangente.14) P(-3, 0)15) c 5 - 1 ou c - 5 - 116) (x – 1)² + (y -2)² = 917) Tangentes interiormente.18) {(6, 8), (8, 6)}19) Secantes.20) 2 .21) (x – 2)² + (y +1)² = (4 - 13 )² ou (x – 2)² + (y +1)² = (4 + 13 )Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências ExatasCentro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 43