Trigonometria radianos graus

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Trigonometria radianos graus

  1. 1. TRIGONOMETRIATriângulo Retângulo É um triângulo que possui um dos seus ângulos medindo noventa graus, ou seja, possui um ânguloreto, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de umtriângulo é igual a 180 graus, então os outros dois ângulos medirão 90 graus. Observação: Quando a soma de dois ângulos mede 90 graus, estes ângulos são denominadoscomplementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ânguloscomplementares.Lados de um triângulo retânguloOs lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordocom a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados queformam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.Palavras Cateto Cathetós:(perpendicular)gregas Hipotenusa Hypoteinusa:Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações: Letra Lado Letra Vértice e Ânguloa Hipotenusa (BC) A Ângulo reto (A=90o)b Cateto (AC) B Ângulo agudo (B<90o)c Cateto (AB) C Ângulo agudo (C<90o) Nomenclatura dos catetos Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise.Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto aoângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.Ângulo Lado oposto Lado adjacenteC c (cateto oposto) b (cateto adjacente)B b (cateto oposto) c (cateto adjacente) Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nossocotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triânguloretângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.Teorema de PitágorasEm qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dosquadrados das medidas dos catetos.
  2. 2. Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calculara medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulosFunções trigonométricas básicas As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retânguloe seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno etangente. O ângulo será indicado pela letra x.Função Notação Definiçãoseno sen(x) medida do cateto oposto a x / medida da hipotenusacosseno cos(x) medida do cateto adjacente a x / medida da hipotenusatangente tg(x) medida do cateto oposto a x / medida do cateto adjacente a x Se tomarmos um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa igual a 1 (uma) unidade de medida,então o seno do ângulo sob análise será o seu cateto oposto, e o cosseno do mesmo, será o seucateto adjacente. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno domesmo ângulo.1 – Trigonometria no triângulo retânguloA palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e determina um ramo damatemática que estuda a relação entre as mediadas dos lados e dos ângulos de um triângulo. Conta a história da matemática que Tales foi um grande estudioso desse ramo da matemática, masnão podemos afirmar que este foi seu inventor. A trigonometria não foi obra de um só homem, nemde um povo só.Seno, Cosseno e Tangente de um Ângulo Agudo Observe o triângulo retângulo abaixo, onde a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º), b e csão os catetos do triângulo retângulo (catetos são os lados que formam o ângulo de 90º). Lembre-se,os catetos variam de nome de acordo com a posição do ângulo.
  3. 3. Valores especiais:Considere-se o seguinte triângulo escaleno. Observando a figura vem:Considere-se o seguinte triângulo isósceles, tendo os catetos uma unidade de comprimento:Em resumo, tem-se:
  4. 4. 2- Trigonometria na CircunferênciaA circunferência trigonométrica está representada no plano cartesiano com raio medindo umaunidade. Ela possui dois sentidos a partir de um ponto A qualquer, escolhido como a origem dosarcos. O ponto A será localizado na abscissa do eixo de coordenadas cartesianas, dessa forma, esteponto terá abscissa 1 e ordenada 0. Os eixos do plano cartesiano dividem o círculo trigonométricoem quatro partes, chamadas de quadrantes.Ponto móvel sobre uma curvaConsideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva,simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos queeste ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer estacircunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aosponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivoArcos da circunferênciaSe um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. Oponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco.Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado esimplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando osentido de percurso for de B para A.Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre umacircunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades.Medida de um arcoA medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesmacircunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB.Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida doarco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).
  5. 5. A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medidaalgébrica de um arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinalpositivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo se o sentido forhorário.O número piPara toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante édenotada pela letra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como adivisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número é dada por: = 3,1415926535897932384626433832795…Unidades de medida de arcosA unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outrasmedidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qualestamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual aocomprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qualestamos medindo o arco.
  6. 6. Radianos: É a medida de um arco de uma volta que corresponde a 2 rad, isto é, 2 rad=360graus.Então uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π radianos, se o ânguloα a ser localizado possuir módulo maior que 2π, precisamos dar mais de uma volta no círculo paradeterminarmos a sua imagem.Por exemplo, para localizarmos 8π/3 = 480º, damos uma volta completa no sentido anti-horário elocalizamos o arco de comprimento 2π/3, pois 8π/3 = 6π/3 + 2π/3 = 2π + 2π/3.Na localização da determinação principal de –17π/6 = –510º, devemos dar 2 voltas completas nosentido horário e localizarmos o arco de comprimento –5π/6, pois –17π/6 = –12π/6 – 5π/6 = 2π –5π/6.Na ilustração a seguir estão visualizados alguns números importantes, eles são referenciais para adeterminação principal de arcos trigonométricos:
  7. 7. Mudança de unidadesConsideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relaçãoentre estas medidas é obtida pela seguinte proporção,2 rad …………… 360 grausR rad …………… G grausAssim, temos a igualdade R/2 =G/360, ou ainda, R G = 180Exemplos 1. Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos R 60 = 180 2. Assim R= /3 ou 60 graus= /3 rad 3. Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos: 1 G = 180 4. Asim 1 rad=180/ graus.

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