Mat segmentos proporcionais

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Mat segmentos proporcionais

  1. 1. Segmentos proporcionais Profa. Dra. Denise Ortigosa StolfSumário PáginaRazão e proporção........................................................................................................... 1 Propriedades das proporções .................................................................................... 2 Propriedade fundamental ...................................................................................... 2 Propriedade da soma ............................................................................................. 2 Propriedade da diferença ...................................................................................... 2Razão de dois segmentos ................................................................................................ 3Segmentos proporcionais ................................................................................................ 5Feixe de retas paralelas ................................................................................................... 6 Propriedades de um feixe de retas paralelas............................................................. 6Teorema de Tales ............................................................................................................ 8Aplicações do teorema de Tales ................................................................................... 10 Teorema da bissetriz interna de um triângulo ........................................................ 11Referências bibliográficas............................................................................................. 14
  2. 2. 1SEGMENTOS PROPORCIONAISRazão e proporçãoA razão de dois números a e b, com b ≠ 0, é o quociente do primeiro pelo asegundo: a : b ou . bPor exemplo: 8 41) A razão entre 8 e 6 é 8 : 6 ou = . 6 3 20 42) A razão entre 20 e 15 é 20 : 15 ou = . 15 3 8 20Nos exemplos acima, verificamos que as razões e são iguais: 6 158 4 =6 3 8 20 ⇒ =20 4 6 15 =15 3 8 20Dizemos, então, que as razões e formam uma proporção ou, ainda, que os 6 15números 8, 6, 20 e 15 são, nessa ordem, proporcionais.Então: Proporção é a igualdade entre duas razões.Quatro números a, b, c e d (com b e d diferentes de zero) são, nessa ordem,proporcionais quando a razão entre os dois primeiros é igual à razão entre osdois últimos. a c = b d
  3. 3. 2 a cEm toda proporção = , temos: b daed extremosbec meiosPropriedades das proporçõesVamos ver algumas propriedades que são válidas para as proporções:Propriedade fundamentala c = ⇒ a⋅d { = b⋅c {b d produto produto dos extremos dos meiosPropriedade da somaa c a+b c+d a+b c+d = ⇒ = ou =b d a c b dPropriedade da diferençaa c a −b c−d a−b c−d = ⇒ = ou =b d a c b d
  4. 4. 3 EXERCÍCIOS A(1) Em uma classe há 15 meninos e 20 meninas, num total de 35 alunos. A razãoentre o número de meninos e o número total de alunos da classe é indicada por 15 315:35 ou por . Seu valor na forma de fração irredutível é . Calcule em seu 35 7caderno:a) a razão entre o número de meninas e o total de alunos da classe;b) a razão entre o número de meninos e o número de meninas;c) a razão entre o número de meninas e o número de meninos.(2) Use os números 18, 9, 4 e 8 e forme com eles uma proporção. 4 10(3) Comprove as propriedades das proporções usando a proporção: = . 6 15Razão de dois segmentosChamamos razão de dois segmentos a razão ou quociente entre os números queexprimem as medidas desses segmentos, tomados na mesma unidade.Exemplos:a) Determinar a razão entre os segmentos AB e CD , sendo AB = 6 cm eCD = 12 cm. (Lembre-se: AB representa a medida do segmento AB .)AB 6 1 = =CD 12 2 1A razão é . 2b) Dados MN e PQ , cujas medidas são, repectivamente, 2 cm e 5 cm,determinar a razão ente MN e PQ .MN 2 =PQ 5 2A razão é . 5
  5. 5. 4c) Qual a razão entre os segmentos AB e DE , sabendo-se que AB = 2 m eDE = 60 cm?Nesse caso, precisamos, inicialmente, transformar as duas medidas para amesma unidade:AB = 2 m = 200 cmDE = 60 cmAB 200 10 = =DE 60 3 10A razão é . 3Você pode perceber, pelos exemplos, que a razão entre dois segmentos é sempreum número real positivo.Sendo um número real, a razão pode ser:• um número racional → neste caso dizemos que os segmentos são comensuráveis.AB 1 = → AB e CD são segmentos comensuráveisCD 6 { número racionalAB 10 = → AB e DE são segmentos comensuráveisDE {3 número racional• um número irracional → neste caso dizemos que os segmentos são incomensuráveis.MN 2 = → MN e PQ são segmentos incomensuráveisPQ 5 { número irracional
  6. 6. 5Segmentos proporcionaisPelas definições de proporção e razão de segmentos, podemos dizer que quatrosegmentos, AB , CD , EF e GH , nessa ordem, são proporcionais, quando arazão entre os dois primeiros for igual à razão entre os dois últimos, ou seja: AB EFAB , CD , EF , GH são, nessa ordem, proporcionais, quando = . CD GHLembre-se de que as medidas dos segmentos devem estar na mesma unidade praformar a proporção.Exemplos:a) Os segmentos AB = 4 cm, CD = 6 cm, EF = 8 cm e GH = 12 cm formam,nessa ordem, uma proporção, pois:AB 4 =CD 6 AB EF ⇒ =EF 8 4 CD GH = =GH 12 6b) Quatro segmentos AB , MN , PQ e XY , nessa ordem, são proporcionais.Se AB = 5 cm, MN = 15 cm e PQ = 4 cm, qual a medida de XY ? AB PQComo AB , MN , PQ e XY são proporcionais ⇒ = MN XY AB 5 1Mas = = . MN 15 3Então:PQ 1 =XY 3 4 1 =XY 3XY = 12 cm
  7. 7. 6 EXERCÍCIOS B(1) Os segmentos da reta AB de 6 cm, MN de 15 cm, EF de 10 cm e PQ , nessa ordem, são segmentos proporcionais. Calcule a medida de PQ .(2) AB , CD , CD e EF , nessa ordem, são segmentos proporcionais. Calcule amedida de CD sabendo que AB = 9 cm e EF = 40 mm.Feixe de retas paralelasVocê já sabe que duas retas de um plano são paralelas quando não possuempontos em comum, ou seja:r // s { r ∩ s =∅ { paralelas intersecçãoSe tomarmos três ou mais retas paralelas entre si, obteremos um feixe de retasparalelas, que denominaremos simplesmente feixe de paralelas.Uma reta que corta um feixe de paralelas é denominada reta transversal. feixe de retas paralelas: r // s // m // u // v t: transversalPropriedades de um feixe de retas paralelasVamos considerar um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal t.Assim, na transversal ficam determinados os segmentos AB , BC , CD e DE ,como mostra a figura seguinte.
  8. 8. 7Medindo os segmentos com uma régua, vamos obter:AB = BC = CD = DE = 1 cm ⇒ AB ≅ BC ≅ CD ≅ DE≅ (Congruente)Vamos, agora, traçar uma reta m, transversal ao feixe de paralelas, determinandoos segmentos MN , NP , PQ e QR .Medindo os segmentos,vamos obter:MN = NP = PQ = QR = 1,5 cm ⇒ MN ≅ NP ≅ PQ ≅ QRPodemos repetir esse procedimento traçando outras transversais ao feixe deparalelas e verificaremos que os segmentos determinados em cada transversalserão congruentes entre si.Dizemos então: Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, também determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.
  9. 9. 8Teorema de TalesQuando três retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, ossegmentos determinados numa das retas transversais são proporcionais aossegmentos determinados na outra. AB MN a // b // c ⇒ = BC NPOBS.: Podemos considerar ainda outras proporções a partir do teorema deTales, tais como: AB MN BC NP AB BC• = = = AC MP AC MP MN NPExemplos:a) Na figura r // s // t, determinar a medida x indicada. Pelo teorema de Tales, temos: 10 8 = 2 x 10 x = 2 ⋅ 8 10 x = 16 16 x= 10 x = 1,6
  10. 10. 9b) Na figura a // b // c, determinar as medidas x e y indicadas. Pelo teorema de Tales, temos: 5 x = 9 y Aplicando as propriedades da soma nas proporções: 5+9 x + y Como: = 5 x x + y = 28 14 28 = 10 + y = 28 5 x y = 28 − 10 14 x = 5 ⋅ 28 y = 18 14 x = 140 140 x= 14 x = 10 EXERCÍCIOS C(1) Nas figuras, a // b // c, determine os valores de x. a) d) b) e) c)
  11. 11. 10Aplicações do teorema de TalesConsideremos o ∆ABC (Figura 1).Vamos traçar uma reta r, paralela ao lado BC , que irá interceptar os lados AB eAC nos pontos M e P, respectivamente (Figura 2).Se traçarmos pelo ponto A uma reta s, paralela a r, obteremos três retas paralelas( BC , r e s) e duas transversais ( AB e AC ). r // s // BC Pelo teorema de Tales: AM AP = MB PCPodemos enunciar, então: Toda paralela a um lado de um triângulo que encontra os outros dois lados em pontos distintos determina, sobre esses dois lados, segmentos que são proporcionais.
  12. 12. 11Exemplo:a) Na figura abaixo, RS // BC . Determinar a medida de x. Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos: 2x x + 4 = x x +1 2 x( x + 1) = x( x + 4) 2x2 + 2x − x2 − 4x = 0 x2 − 2x = 0 x ( x − 2) = 0 x = 0 ou x − 2 = 0 x=2 Como x = 0 não serve, então x = 2.Teorema da bissetriz interna de um triângulo A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina, sobre o lado oposto, segmentos que são proporcionais aos lados do triângulo que formam o ângulo considerado. Se AS é bissetriz do ângulo Â, então: AB BS AB AC = ou = AC SC BS SC
  13. 13. 12Exemplo: ˆa) Num triângulo MNP, a bissetriz interna MC do ângulo M determina no lado NC 2NP os segmentos NC e CP cuja razão é = . Sabendo-se que M = 12 cm, CP 3determinar a medida do lado MP . Pelo enunciado do problema, temos a figura ao lado, onde x é a medida do lado MP . Pelo teorema da bissetriz interna: MN NC = MP CP 12 NC = x CP NC 2 Mas, = CP 3 12 2 = x 3 2 x = 12 ⋅ 3 2 x = 36 36 x= 2 x = 18 Então, MP = 18 cm.
  14. 14. 13 EXERCÍCIOS D(1) Nos triângulos abaixo, determine a medida x indicada.a) MN // BC c) DE // BCb) PQ // AB d) AB // MP(2) Nas figuras seguintes, determine o valor de x. ˆa) AD é a bissetriz do ângulo A ˆ c) BP é a bissetriz do ângulo B ˆb) CM é a bissetriz do ângulo C ˆ d) AD é a bissetriz do ângulo A
  15. 15. 14Referências bibliográficasANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.

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