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  • 1. Universidade Federal do Rio Grande do Sul — Instituto de Matem´tica a ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA PURA E APLICADA MAT 01353 C´lculo e Geometria Anal´ a ıtica IA GEOMETRIA ANAL´ ITICA ˆ CONICAS Janice Nery Liana Costi N´cul a Luisa Rodr´ıguez Doering Maria Fernanda Recena Menezes PORTO ALEGRE, 2001/2
  • 2. Conte´do u1. Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 12. Defini¸˜o das Cˆnicas como Lugar Geom´trico . . . . . . . . . . . . . . . ca o e 23. Equa¸˜o Canˆnica das Cˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca o o 34. Equa¸˜o Canˆnica das Cˆnicas com Centro Gen´rico (h, k) . . . ca o o e 55. Identifica¸˜o das Cˆnicas e de seus Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . ca o 56. Exerc´ ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67. Par´bola × Ensino M´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 a e8. Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119. Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
  • 3. Se¸˜es Cˆnicas co o 1. Introdu¸˜o ca Uma se¸˜o cˆnica ou, simplesmente, uma cˆnica ´ a curva obtida cortando-se qualquer ca o o econe de duas folhas por um plano que n˜o passa pelo v´rtice; este plano ´ o plano secante. a e e • Se o plano secante ´ paralelo a uma geratriz do e cone, a cˆnica ´ uma par´bola. o e a • Se o plano secante n˜o ´ paralelo a uma geratriz a e e corta s´ uma das duas folhas do cone, a cˆnica ´ o o e uma elipse. • Se o plano secante n˜o ´ paralelo a uma gera- a e triz e corta ambas folhas do cone, a cˆnica ´ uma o e hip´rbole. e No caso de um plano que passa pelo v´rtice do cone obtemos, como ´ f´cil visualizar, e e aum ponto, uma reta ou um par de retas concorrentes: estas s˜o chamadas cˆnicas degen- a oeradas, que n˜o ser˜o estudadas. a a Na p´gina http://www.mat.ufrgs.br/~calculo/calculo1.html do C´lculo I A, h´ a a aum link chamado Um Estudo de C^nicas, onde pode ser encontrada esta apostila, bem ocomo defini¸˜es, exemplos, constru¸˜es e anima¸˜es que ajudam o aluno a ter uma melhor co co cocompreens˜o e visualiza¸˜o sobre este assunto. Sempre que um assunto aqui abordado a cativer algo relacionado naquela p´gina, isto ser´ explicitado. Por exemplo, para ter uma a aid´ia dos planos secantes cortando o cone em angulos variados, veja Introdu¸ao. e ˆ c~
  • 4. 2 C´lculo IA a 2. Defini¸˜o das Cˆnicas como Lugar Geom´trico ca o e Estudaremos as se¸˜es cˆnicas como curvas planas. Para isso, utilizaremos defini¸˜es co o coequivalentes as anteriores — mas que se referem somente ao plano no qual est´ a curva ` a— e que dependem de pontos especiais desse plano, chamados focos da curva. • Elipse: conjunto de todos os pontos P do plano tais que ´ constante a soma d1 + d2 edas distˆncias d1 e d2 respectivamente de P a dois pontos fixos F1 e F2 , chamados focos ada elipse. P d1 d2 F1 F2 d1 + d2 = constante • Hip´rbole: conjunto de todos os pontos P do plano tais que ´ constante a diferen¸a e e c|d1 −d2 | das distˆncias d1 e d2 respectivamente de P a dois pontos fixos F1 e F2 , chamados afocos da hip´rbole. e P d1 d2 o o F1 F2 |d1 − d2 | = constante • Par´bola: conjunto de todos os pontos P do plano tais que a distˆncia d1 de P a a aum ponto fixo F, chamado foco da par´bola, ´ igual a distˆncia d2 de P a uma reta fixa a e ` aD, chamada diretriz da par´bola. a D d2 P d1 F d1 = d2c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 5. ˆCONICAS 3 Note que as duas primeiras cˆnicas s˜o sim´tricas em rela¸˜o a reta que passa pelos o a e ca `focos e a par´bola ´ sim´trica em rela¸˜o a reta pelo foco que ´ perpendicular ` diretriz. a e e ca ` e a Em Anima¸oes/Constru¸oes podem ser encontradas constru¸˜es animadas das cˆnicas. c~ c~ co o 3. Equa¸˜o Canˆnica das Cˆnicas ca o o A fim de determinar mais facilmente as equa¸˜es das cˆnicas, escolhemos um sistema co ode coordenadas tal que os focos estejam no eixo 0x e equidistantes da origem, para a elipsee a hip´rbole; para a par´bola escolhemos um sistema tal que o foco esteja no eixo 0x e a e aorigem equidistante do foco e da diretriz. Assim obtemos as equa¸˜es a seguir, chamadas coequa¸˜es canˆnicas ou reduzidas das cˆnicas. co o o a) Elipse E: determinada por seus focos F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), onde c ≥ 0 e pela x2 y 2 constante 2a > 2c, tem a equa¸˜o reduzida ca + 2 = 1, com a2 = b2 + c2 . a2 b y Elementos: B2 Centro: C = (0, 0) V´rtices: A1 = (−a, 0) e A2 = (a, 0) e B1 = (0, −b) e B2 = (0, b) x Focos: F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) A1 F 1 F A2 2 Eixo maior: A1 A2 Eixo menor: B1 B2 c Excentricidade: e = B1 a Observe que 0 < e < 1. Note tamb´m que se e ´ aproximadamente 0, ent˜o c ´ e e a e muito menor do que a e portanto b2 ´ aproximadamente igual a a2 ; isto significa e que, neste caso, a elipse E ´ mais redonda. (Se e = 0, ´ um c´ e e ırculo!) Analogamente, se e ´ aproximadamente 1, ent˜o a ´ aproximadamente igual e a e a c e portanto b2 ´ aproximadamente 0; isto significa que, neste caso, a elipse E e ´ mais alongada. e Passamos a deduzir a equa¸˜o reduzida. S˜o equivalentes: ca a P = (x, y) ∈ E d((x, y), F1 ) + d((x, y), F2 ) = 2a d((x, y), (−c, 0)) + d((x, y), (c, 0)) = 2a (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = 2a (x + c)2 + y 2 = 2a − (x − c)2 + y 2 x2 + 2cx + c2 + y 2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y 2 + x2 − 2cx + c2 + y 2 4cx − 4a2 = 4a (x − c)2 + y 2 cx − a2 = a (x − c)2 + y 2 c2 x2 − 2a2 cx + a4 = a2 (x2 − 2cx + c2 + y 2 ) (c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 c2 − a4 = a2 (c2 − a2 ) (a2 − c2 )x2 − a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ) como a2 − c2 > 0, tomamos b2 = a2 − c2 e obtemos b 2 x 2 − a2 y 2 = a 2 b 2 c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 6. 4 C´lculo IA a x2 y 2 + 2 =1 a2 b Em dois dos passos acima, ´ importante ter o radicando positivo, para ter o e mesmo conjunto-solu¸˜o da equa¸˜o e de seu quadrado. ca ca b) Par´bola P: determinada por seu foco F = (p, 0) e por sua diretriz D : x = −p, a tem a equa¸˜o reduzida y 2 = 4px. ca y D Elementos: x Diretriz: D : x = −p F V´rtice: V = (0, 0) e Foco: F = (p, 0) A dedu¸˜o da equa¸˜o reduzida ´ semelhante ` do item a). ca ca e a c) Hip´rbole H: determinada por seus focos F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), e pela e x2 y 2 constante 2a < 2c, tem a equa¸˜o reduzida ca − 2 = 1, com b2 = c2 − a2 . a2 b y Elementos: a Centro: C = (0, 0) b V´rtices: V1 = (−a, 0) e V2 = (a, 0) e c x Focos: F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) F o o V V o o F2 1 1 2 b b ıntotas: y = − x e y = x Ass´ a a c Excentricidade: e = a Observe que e > 1. Note tamb´m que se e ´ aproximadamente 1, ent˜o c ´ e e a e 2 aproximadamente a e portanto b ´ aproximadamente igual a 0; isto significa e que, neste caso, a hip´rbole H ´ muito mais fechada. e e Analogamente, se e ´ muito maior do que 1, ent˜o c ´ muito maior do que a e a e e portanto b2 ´ muito maior do que 0; isto significa que, neste caso, a hip´rbole e e H ´ muito mais aberta. ec Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 7. ˆCONICAS 5 A dedu¸˜o da equa¸˜o reduzida ´ semelhante ` do item a). ca ca e a Em Anima¸oes/Varia¸oes/Par^metros podem ser encontradas anima¸˜es refletindo c~ c~ a covaria¸˜es dos parˆmetros das cˆnicas. co a o 4. Equa¸˜o Canˆnica das Cˆnicas com Centro Gen´rico (h, k) ca o o e As equa¸˜es canˆnicas das cˆnicas descritas anteriormente tˆm todas focos no eixo Ox co o o ee centro em (0, 0); analisamos ainda o caso em que o centro ´ um ponto (h, k) qualquer do eplano e os focos est˜o na reta paralela ao eixo Ox, y = k ou paralela ao eixo Oy, x = h. a As equa¸˜es com um centro gen´rico em (h, k) e focos na reta y = k s˜o: co e a (x − h)2 (y − k)2 Elipse: + =1 com a2 = b2 + c 2 ; a2 b2 Par´bola: a (y − k)2 = 4p (x − h); (x − h)2 (y − k)2 Hip´rbole: e − =1 com b 2 = c 2 − a2 . a2 b2 As equa¸˜es respectivas com centro gen´rico em (h, k) mas focos na reta x = h, s˜o co e aobtidas trocando x − h por y − k nas equa¸˜es acima. co Em Anima¸oes/Varia¸oes/Transla¸oes podem ser encontradas anima¸˜es apresen- c~ c~ c~ cotando transla¸˜es das cˆnicas. co o 5. Identifica¸˜o das Cˆnicas e de seus Elementos ca o A equa¸˜o geral do segundo grau em duas vari´veis ´ da forma ca a e Ax2 + By 2 + Cx + Dy + Exy + F = 0 (♦)e representa uma cˆnica, uma cˆnica degenerada ou o conjunto vazio. Quando (♦) repre- o osenta uma cˆnica e o coeficiente do termo em xy ´ n˜o-nulo (E = 0), esta tem os focos em o e auma reta n˜o-paralela aos eixos coordenados; este caso n˜o ser´ estudado nesta disciplina, a a a ´mas sim na de Algebra Linear. Se vocˆ deseja ter uma id´ia do que acontece neste caso e eE = 0, consulte Anima¸oes/Varia¸oes/Rota¸oes. c~ c~ c~ Quando E = 0, os focos est˜o sobre uma reta paralela a um dos eixos Ox ou Oy; aque ´ o caso aqui estudado. Para identificarmos essa cˆnica, completamos quadrados e e oreescrevemos (♦) como uma das equa¸˜es da Se¸˜o 4. co ca O an´logo de (♦) no caso tridimensional (a equa¸˜o geral do segundo grau em trˆs a ca evari´veis) pode ser encontrado no link Qu´dricas da p´gina de C´lculo IIA. a a a a c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 8. 6 C´lculo IA a 6. Exerc´ ıcios ResolvidosExerc´ıcio 1. Identifique a cˆnica de equa¸˜o 4x2 + 9y 2 − 16x + 18y − 11 = 0, seus o caelementos e fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico. c c aSolu¸˜o: Dada a equa¸˜o 4x2 + 9y 2 − 16x + 18y − 11 = 0, primeiro agrupamos os termos ca caem x e os termos em y : 4(x2 − 4x) + 9(y 2 + 2y) − 11 = 0,completamos o quadrado: 4 (x − 2)2 − 4 + 9 (y + 1)2 − 1 − 11 = 0,e reescrevemos: 4(x − 2)2 − 16 + 9(y + 1)2 − 9 − 11 = 0 ∴ 4(x − 2)2 + 9(y + 1)2 − 36 = 0;finalizamos colocando no formato canˆnico: o (x − 2)2 (y + 1)2 + = 1. 32 22Vemos, portanto (observe o sinal +), que se trata de uma elipse com a = 3, b = 2 e √c = 5 , pois c2 = 9 − 4 = 5. Al´m disto, temos: e y Elementos: B2 1 o Centro: C = (2, −1) –1 2 5 x V´rtices: e A1 = (−1, −1), A2 = (5, −1) B1 = (2, −3), B2 = (2, 1) √ A1 o o F1 –1 o C o F2 o A2 Focos: F1 = (2 − √5, −1) e F2 = (2 + 5, −1) √ 5 Excentricidade: e = 3 –3 o B1Exerc´ıcio 2. Identifique a cˆnica de equa¸˜o 25x2 − 36y 2 − 100x − 72y − 836 = 0, seus o caelementos e fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico. c c aSolu¸˜o: Dada a equa¸˜o 25x2 − 36y 2 − 100x − 72y − 836 = 0, primeiro agrupamos os ca catermos em x e os termos em y : 25(x2 − 4x) − 36(y 2 + 2y) − 836 = 0,completamos o quadrado: 25[(x − 2)2 − 4] − 36[(y + 1)2 − 1] − 836 = 0,e reescrevemos:25(x − 2)2 − 100 − 36(y + 1)2 + 36 − 836 = 0 ∴ 25(x − 2)2 − 36(y + 1)2 − 900 = 0,finalizamos colocando no formato canˆnico: o (x − 2)2 (y + 1)2 − = 1. 62 52c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 9. ˆCONICAS 7Vemos, portanto (observe o sinal −), que se trata de uma hip´rbole com a = 6, b = 5 e √ e 2c = 61 , pois c = 36 + 25 = 61. Al´m disto, temos: e y Elementos: Centro: C = (2, −1) V´rtices: e V1 = (−4, −1) e V2 = (8, −1) √ 2 x Focos: F1 = (2 − √61, −1) –1 F1o o V1 o o o F2 e F2 = (2 + 61, −1) C V2 Ass´ıntotas: 5 5 y = (x − 2) − 1 e y = − (x − 2) − 1 6 6 √ 61 Excentricidade: e = 6Exerc´ıcio 3. Identifique a cˆnica de equa¸˜o y 2 − 4y − 12x − 8 = 0, seus elementos e o cafa¸a um esbo¸o de seu gr´fico. c c aSolu¸˜o: Dada a equa¸˜o y 2 − 4y − 12x − 8 = 0, primeiro agrupamos os termos em x e ca caos termos em y : y 2 − 4y = 12x + 8,completamos o quadrado: (y − 2)2 − 4 = 12x + 8 ∴ (y − 2)2 = 12x + 12 = 12(x + 1),finalizamos colocando no formato canˆnico: o (y − 2)2 = 4 · 3(x + 1).Vemos, portanto (observe que s´ h´ um quadrado), que se trata de uma par´bola com o a ap = 3. Al´m disto, temos: e y D Elementos: Diretriz: D : x = −4 V F o o x V´rtice: V = (−1, 2) e –4 –1 2 Foco: F = (−1 + 3, 2) = (2, 2)Exerc´ıcio 4. Identifique a cˆnica de equa¸˜o 9x2 + 4y 2 − 72x + 36y − 164 = 0, seus o caelementos e fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico. c c a c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 10. 8 C´lculo IA aSolu¸˜o: Dada a equa¸˜o 9x2 + 4y 2 − 72x + 36y − 164 = 0, primeiro agrupamos os termos ca caem x e os termos em y : 9(x2 − 8x) + 4(y 2 + 6y) − 164 = 0,completamos o quadrado: 9 (x − 4)2 − 16 + 4 (y + 1)2 − 9 − 164 = 0,e reescrevemos: 9(x − 4)2 − 151 + 4(y + 3)2 − 36 − 164 = 0 ∴ 9(x − 4)2 + 4(y + 3)2 − 351 = 0;finalizamos colocando no formatocanˆnico: o y A2 (x − 4)2 (y + 3)2 6 o + = 1. 62 92 o F2Vemos, portanto (observe o sinal +),que se trata de uma elipse com a = 9, √ √ –2 4 10 xb = 6 e c = 45 = 3 5 , pois c2 =81 − 36 = 45. Al´m disto, temos: e C B1 o o o B2 Elementos: –3 Centro: C = (4, −3) V´rtices: e A1 = (4, −12), A2 = (4, 6) B1 = (−2, −3), B2 = (10, −3) o F1 √ Focos: F1 = (4, −3 − 3√5 ) –12 o e F2 = (4, −3 +√ 5 ) 3 A1 45 √ Excentricidade: e = = 35 6Exerc´ıcio 5. Identifique a cˆnica de equa¸˜o −16x2 + 9y 2 − 160x − 54y − 885 = 0, seus o caelementos e fa¸a um esbo¸o de seu gr´fico. c c aSolu¸˜o: Dada a equa¸˜o −16x2 + 9y 2 − 160x − 54y − 885 = 0, primeiro agrupamos os ca catermos em x e os termos em y : −16(x2 + 10x) + 9(y 2 − 6y) − 885 = 0,completamos o quadrado: −16[(x + 5)2 − 25] + 9[(y − 3)2 − 9] − 885 = 0,e reescrevemos:−16(x + 5)2 + 390 + 9(y − 3)2 − 81 − 885 = 0 ∴ −16(x + 5)2 + 9(y − 3)2 − 576 = 0,finalizamos colocando no formato canˆnico: o (y − 3)2 (x + 5)2 − = 1. 82 62Vemos, portanto (observe o sinal −), que se trata de uma hip´rbole com a = 8, b = 6 e e 2c = 10, pois c = 64 + 36 = 100. Al´m disto, temos: ec Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 11. ˆCONICAS 9 y Elementos: F Centro: C = (−5, 3) o 2 o V´rtices: e V1 = (−5, −5) e V2 = (−5, 11) Focos: F1 = (−5, −7) Co 3 x –5 e F2 = (−5, 13) o Ass´ıntotas: o F1 4 4 y = (x + 5) + 3 e y = − (x + 5) + 3 3 3 8 Excentricidade: e = = 4 3 6Exerc´ıcio 6. Identifique a cˆnica de equa¸˜o x2 − 6x + 4y − 11 = 0, seus elementos e o cafa¸a um esbo¸o de seu gr´fico. c c aSolu¸˜o: Dada a equa¸˜o x2 − 6x + 4y − 11 = 0, primeiro agrupamos os termos em x e ca caos termos em y : x2 − 6x = −4y + 11,completamos o quadrado: (x − 3)2 − 9 = −4y + 11 ∴ (x − 3)2 = −4y + 20 = −4 · (y − 5),finalizamos colocando no formatocanˆnico: o y (x − 3)2 = −4 · (y − 5). 6 D VVemos, portanto (observe que s´ h´ o a 5 o 4 oum quadrado), que se trata de uma Fpar´bola com p = −1. Al´m disto, a etemos: x 3 Elementos: Diretriz: D : y = 6 V´rtice: V = (3, 5) e Foco: F = (3, 5 − 1) = (3, 4) c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 12. 10 C´lculo IA a 7. Par´bola × Ensino M´dio a e A par´bola ´, certamente, a cˆnica mais trabalhada no Ensino M´dio e, muitas vezes, a e o etamb´m a unica. Ocorre que, nesse n´ e ´ ıvel, a maioria dos livros did´ticos apresenta a aequa¸˜o y = ax2 + bx + c do 2o grau em x e simplesmente afirma que o gr´fico da mesma ca a´ uma curva denominada par´bola e n˜o a caracteriza como lugar geom´trico.e a a e Faremos isto agora, ou seja, partindo da equa¸˜o y = ax2 + bx + c, vamos obter casua forma canˆnica e assim caracteriz´-la como par´bola; tamb´m reconheceremos seus o a a eelementos, bem como suas eventuais intersec¸˜o com o eixo 0x (ra´ ca ızes). 2 Completando o quadrado no lado direito da equa¸˜o y = ax + bx + c, obtemos ca b b2 b2 y = a x2 + x + 2 + c − , a 4a 4aque ´ equivalente ` equa¸˜o e a ca 4ac − b2 b 2 y− =a x+ , (†) 4a 2ae esta, por sua vez, reconhecemos como sendo a equa¸˜o canˆnica de uma par´bola, com ca o a b 4ac − b2 b −∆v´rtice no ponto e , = , onde ∆ = b2 − 4ac ´ o discriminante de e 2a 4a 2a 4a 1y = ax2 + bx + c e com p = . 4a Agora, ´ f´cil obter as ra´ da equa¸˜o y = ax2 + bx + c, ou seja, deduzir a f´rmula e a ızes ca ode Bhaskara: queremos encontrar todos os poss´ ıveis valores de x para os quais y = 0. Por(†), as equa¸˜es a seguir s˜o equivalentes: co a y = 0, ax2 + bx + c = 0, e 4ac − b 2 b 2 − =a x+ . 4a 2aDividindo esta ultima equa¸˜o por a e arrumando o sinal do termo da esquerda, obtemos: ´ ca b2 − 4ac b 2 = x+ . (††) 4a2 2aNa ultima equa¸˜o o lado direito da igualdade ´ sempre positivo ou nulo, portanto o ´ ca emesmo deve ocorrer com o lado esquerdo; como 4a2 > 0, estabelecemos que y = 0 se,e somente se, b2 − 4ac ≥ 0. Assim, se b2 − 4ac ≥ 0, nossa equa¸˜o tem solu¸˜o e, para ca caobtˆ-la, extra´ e ımos a raiz quadrada dos dois lados de (††): b2 − 4ac b 2 = x+ , 4a 2ae portanto, √ b b2 − 4ac − b + b2 − 4ac x=− + = 2a 4a2 2aou √ b b2 − 4ac − b − b2 − 4ac x=− − = , 2a 4a2 2aque ´ a conhecida f´rmula de Bhaskara. e oc Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 13. ˆCONICAS 11 8. Exerc´ ıciosExerc´ ıcio 1. Estabele¸a a equa¸˜o de cada uma das par´bolas a seguir, sabendo que: c ca a a) ´ sim´trica em rela¸˜o ao eixo Oy, tem v´rtice em V = (0, 0) e cont´m o ponto e e ca e e P = (2, −3); b) tem v´rtice em V = (−2, 3) e foco em F = (−2, 1); e 1 c) tem foco em F = (3, −1) e diretriz x = . 2Exerc´ıcio 2. Determine o v´rtice, o foco, a equa¸˜o da diretriz e esboce o gr´fico de e ca acada uma das par´bolas a seguir: a a) y 2 − x = 0; b) x2 − 2x − 20y − 39 = 0; c) 8x = 10 − 6y + y 2 .Exerc´ıcio 3. Determine os centros, os v´rtices, os focos e a excentricidade e esboce o egr´fico de cada uma das elipses a seguir: a a) 9x2 + 5y 2 − 45 = 0; b) 25x2 + 16y 2 + 50x + 64y − 311 = 0; c) 4x2 + 9y 2 − 24x + 18y + 9 = 0.Exerc´ ıcio 4. Estabele¸a a equa¸˜o de cada uma das elipses a seguir, sabendo que: c ca a) seu eixo maior mede 10um e os focos s˜o F1 = (−4, 0) e F2 = (4, 0); a 3 b) tem centro em C = (2, 4), um foco em F = (5, 4) e excentricidade e = . 4Exerc´ ıcio 5. Estabele¸a a equa¸˜o de cada uma das hip´rboles a seguir, sabendo que: c ca e a) tem ass´ıntotas de equa¸˜es y = 2x e y = −2x e v´rtices em V1 = (−3, 0) e co e V2 = (3, 0); b) tem focos em F1 = (3, −2) e F2 = (3, 4) e excentricidade e = 2.Exerc´ıcio 6. Determine os centros, os v´rtices, os focos e a excentricidade e esboce o egr´fico de cada uma das hip´rboles a seguir: a e a) 3x2 − y 2 + 3 = 0; b) 9x2 − 4y 2 − 54x + 8y + 113 = 0; c) 16x2 − 9y 2 − 64x − 18y + 199 = 0.Exerc´ıcio 7. Classifique, dˆ todos os elementos e esboce o gr´fico de cada uma das e acurvas com equa¸˜es dadas a seguir: co a) 16x2 + 9y 2 − 96x + 72y + 144 = 0; b) y 2 − 16x2 + 2y + 49 = 0; c) 4x2 − y 2 − 32x + 4y + 24 = 0.Exerc´ ıcio 8. A ´gua que esguicha de um bocal, mantido horizontalmente a 4 m acima ado solo, descreve uma curva parab´lica com v´rtice no bocal e, medida na vertical, desce o e1 m nos primeiros 10 m de movimento horizontal. Calcule a distˆncia horizontal do bocal aem que a ´gua atinge o solo. a c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 14. 12 C´lculo IA aExerc´ ıcio 9. Uma ponte suspensa de 400 11 00 11 00m de comprimento ´ sustentada por um cabo e 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00principal parab´lico (veja a figura). O cabo o 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00principal est´ 100 m acima da ponte nos ex- a 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00tremos e 4 m acima da ponte em seu centro. 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00Calcule o comprimento dos cabos de suten- 11 00 11 00 11 00 11 00ta¸˜o que s˜o colocados a intervalos de 50 m ca a 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00ao longo da ponte. (Sugest˜o: Utilize o sis- a 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 1111111111111111 0000000000000000tema de coordenadas retangulares em que a 11 00 11 00 1111111111111111 0000000000000000 11 00 11 00 11 00 11 00ponte ´ o eixo 0x e a origem est´ no meio da e a 11 00 11 00 11 00 11 00ponte.)Exerc´ ıcio 10. O segmento de reta que passa pelo foco de uma par´bola, ´ paralelo a e` diretriz da par´bola e tem suas extremidades na pr´pria par´bola ´ chamado o lactusa a o a erectum da par´bola. Mostre que a medida do lactus rectum ´ o dobro da distˆncia entre a e ao foco e a diretriz.Exerc´ıcio 11. Qual ´ o comprimento de um fio usado para delimitar um jardim el´ e ıpticocom 20 m de largura e 60 m de comprimento? qual ´ a area deste jardim? e ´Exerc´ ıcio 12. Exceto por pequenas perturba¸˜es, um sat´lite em ´rbita ao redor da co e oTerra se move numa elipse, com um dos focos no centro da Terra. Suponha que no perigeu(o ponto da orbita mais pr´ximo do centro da Terra) o sat´lite est´ a 400 km da superf´ ´ o e a ıcieda Terra e que no apogeu (o ponto da orbita mais afastado do centro da Terra) o sat´lite ´ eest´ a 600 km da superf´ da Terra. Calcule o eixo maior e o eixo menor da orbita a ıcie ´el´ ıptica deste sat´lite, supondo que a Terra ´ um esfera de 6371 km de raio. e eExerc´ıcio 13. Dados os pontos A = (−2, −2) e B = (6, 6) do plano cartesiano,determine o lugar geom´trico de um ponto P que se move pelo plano de tal modo que o ecoeficiente angular da reta por A e P, acrescido de duas unidades, ´ igual ao coeficiente eangular da reta por B e P.Exerc´ ıcio 14. Determine o lugar geom´trico de um ponto P que se move no plano ecartesiano de tal modo que o quadrado de sua distˆncia a origem ´ igual ao dobro de sua a ` edistˆncia ao eixo das ordenadas. aExerc´ıcio 15. Represente graficamente o lugar geom´trico dos pontos (x, y) que satis- efazem as condi¸˜es: co √ x−1 1 36 − 4x2 a) y 2 + 4y + 16x − 44 = 0; b) = ; c) y = . x+1 2 3 ıcio 16. Escreva a integral que calcula a area da figura de equa¸˜o geral x2 +Exerc´ ´ ca4y − 2x − 3 = 0. 2Exerc´ ıcio 17. Indique a integral que calcula o volume do s´lido obtido pela rota¸˜o da o caregi˜o formada pelas curvas: a a) x2 − y 2 = 1 e x = 3 ao redor da reta x = −2; b) y = −x2 + 1, y = x + 1 e o eixo 0x ao redor do eixo 0x.Exerc´ ıcio 18. Escreva a integral que fonece: a) a area do primeiro quadrante no interior da circunferˆncia x2 + y 2 = a2 ; ´ e 2 x y2 b) a area do primeiro quadrante no interior da elipse 2 + 2 = 1. ´ a bc Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 15. ˆCONICAS 13 c) Mostre que a integral do item b) ´ igual a b/a vezes a integral do item a) e, dessa e forma, obtenha a area da elipse a partir da conhecida area do c´ ´ ´ ırculo.Exerc´ ıcio 19. Calcule o volume do elips´ide que ´ o s´lido de revolu¸˜o obtido girando o e o ca x2 y 2a elipse + = 1 em torno do eixo 0x. 25 9Exerc´ ıcio 20. Determine as equa¸˜es da reta tangente e da reta normal a cada elipse coa seguir no ponto indicado. a) x2 + 9y 2 = 255 em (9, 4); b) x2 + 4y 2 − 2x + 8y = 35 em (3, 2).Exerc´ ıcio 21. Um ponto se move sobre a elipse x2 + 4y 2 = 25 de tal modo que suaabscissa crese numa raz˜o constante de 8 unidades por segundo. Com que rapidez varia aa ordenada no instante em que ela ´ igual a −2 unidades e a abscissa ´ positiva? e eExerc´ıcio 22. Determine as equa¸˜es da reta tangente e da reta normal a cada hip´rbole co ea seguir no ponto indicado. a) x2 − y 2 = 9 em (−5, 4); b) x2 − 4x − y 2 − 2y = 0 em (0, 0).Exerc´ ıcio 23. Um ponto se move sobre a hip´rbole 4x2 − 9y 2 = 27 de tal modo que sua eabscissa crese numa raz˜o constante de 8 unidades por segundo. Com que rapidez varia aa ordenada no ponto (3, 1)?Exerc´ ıcio 24. Determine a menor (m´ ınima) distˆncia do ponto (3, 0) a hip´rbole a ` ey 2 − x2 = 18. y y 1 4 Exerc´ ıcio 25. Calcule a area da re- ´ gi˜o sombreada delimitada pela reta a x x a) x = 1 e a elipse x2 + 4y 2 = 4;−2 1 2 b) y = 4 e a elipse 9x2 + y 2 = 25. (Sugest˜o: Utilize substitui¸˜o trigono- a ca −1 m´trica.) e ıcio 26. Seja R a regi˜o plana delimitada pelas curvas y 2 − x2 = 16 e y = 5.Exerc´ a a) Esboce a regi˜o R; a b) Apresente uma integral que expressa esta area; ´ c) Qual ´ a t´cnica de integra¸˜o que vocˆ usaria para resolver esta integral? e e ca e 9. RespostasExerc´ ıcio 1. 3 a) y = − x2 ou, equivalentemente, 4y + 3x2 = 0. 4 (x + 2)2 b) y = 3 − ou, equivalentemente, x2 + 4x + 8y − 20 = 0. 8 c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 16. 14 C´lculo IA a c) (y + 1)2 = 5(x − 7 ). 4Exerc´ ıcio 2. a) V = (0, 0), F = ( 1 , 0), x = − 1 . 4 4 b) V = (1, −2), F = (1, 3), y = −7. c) V = ( 1 , 3), F = ( 17 , 3), x = − 15 . 8 8 8Exerc´ ıcio 3. a) C = (0, 0), V1 = (0, −3), V2 = (0, 3), F1 = (0, −2), F2 = (0, 2), e = 2 . 3 b) C = (−1, −2), V1 = (−1, −7), V2 = (−1, 3), F1 = (−1, 1), F2 = (−1, −5), e = 3 5 . √ c) C = (3, −1), √ 1 = (0, −1), V2 = (6, −1), F1 = (3 + 5, −1), F2 = (3 − V √ 5, −1), e = 35 .Exerc´ ıcio 4. a) 9x2 + 25y 2 = 225. b) 7x2 + 16y 2 − 28x − 128y + 172 = 0.Exerc´ ıcio 5. x2 y 2 a) − = 1. 9 36 b) 12y 2 − 4x2 + 24x − 24y − 51 = 0.Exerc´ ıcio 6. √ √ √ a) C = (0, 0), V1 = (0, − 3), V2 = (0, 3), F1 = (0, −2), F2 = (0, 2), e = 2 3 3 . √ √ b) C = (3, 1), V1 = (3, 4), V2 = (3, −2), F1 = (3, 1− 13), F2 = (3, 1+ 13), e = √ 13 3 . c) C = (2, −1), V1 = (2, −5), V2 = (2, 3), F1 = (2, −6), F2 = (2, 4), e = 5 . 4Exerc´ ıcio 7. √ a) Elipse: C = (3, −4), V1 = (3, −8), V2 = (3, 0), F1 = (3, −4 − 7), F2 = √ √ (3, −4 + 7), e = 47 . b) Par´bola: V = (3, −1), F = (7, −1), x = −1. a √ c) Hip´rbole: C = (4, 2), V1 = (1, 2), V2 = (7, 2), F1 = (4 − 3 5, 2), F2 = e √ √ (4 + 3 5, 2), e = 5.Exerc´ ıcio 8. Distˆncia horizontal = 160 m. a 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 10000 11 11 00 100 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 58 11 00Exerc´ ıcio 9. Fun¸˜o altura: ca 11 00 58 00 11 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 3 2 11 00 11 00 11 00 11 00 28 28 11 00 11 00 y= x + 4. 11 00 11 00 1250 11 00 11 00 10 10 11 00 11 00 11 00 4 11 00 11 00 1111111111111111 0000000000000000 11 00 11 00 11 00 0000000000000000 1111111111111111 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00Exerc´ ıcio 10. Aula.c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 17. ˆCONICAS 15 √Exerc´ ıcio 11. Comprimento do fio = 40π 5 e a area do jardim = 1200π. ´Exerc´ıcio 12. Eixo menor da orbita el´ ´ ıptica do sat´lite = 13.740,54 km e eixo maior = e13.742,00 km. x2 ıcio 13. O lugar geom´trico ´ a par´bola de equa¸˜o y = −Exerc´ e e a ca . 2Exerc´ ıcio 14. O lugar geom´trico ´ a circunferˆncia de centro C = (0, 0) e raio 1 dada e e epor x + y − 2x = 0. 2 2Exerc´ ıcio 15. 4 12 10 8 y 6y 2 4 x 2 0 2.5 3 3.5 4 xa) –2 b) –4 –6 –2 –8 –10 –12 –4 –14 –16 2 1.8 1.6 1.4 y 1.2c) 1 0.8 0.6 0.4 –3 –2 –1 0 1 2 3 x 1 (x + 1)2Exerc´ ıcio 16. A = 2 1− dx. −3 4Exerc´ ıcio 17. √ 2 2 a) V = 2π 25 − (2 + 1 + y 2 )2 dy. 0 0 b) V = π (1 − x2 )2 − (x + 1)2 dx. −1Exerc´ ıcio 18. a √ a) A = a2 − x2 dx. 0 c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 18. 16 C´lculo IA a b a√ 2 b) A = a − x2 dx. a 0 ´ c) Area da elipse = πab.Exerc´ ıcio 19. V = 60π.Exerc´ ıcio 20. a) reta tangente: 4y + x − 25 = 0, reta normal: y − 4x + 32 = 0; b) reta tangente: 6y + x − 15 = 0, reta normal: y − 6x + 16 = 0.Exerc´ ıcio 21. Varia a 3 unidades por segundo.Exerc´ ıcio 22. a) reta tangente: 4y + 5x + 9 = 0, reta normal: 5y − 4x − 40 = 0; b) reta tangente: y + 2x = 0, reta normal: 2y − x = 0. 32Exerc´ ıcio 23. Varia a unidades por segundo. 3 √ 3 10Exerc´ ıcio 24. Menor (m´ ınima) distˆncia ´ a e . 2Exerc´ ıcio 25.√ 2π 3 a) − ; 3 2 25 3 b) arcsen − 4. 3 5Exerc´ ıcio 26. a) Esboce a regi˜o R; a 3 √ b) A = 2 5 − 16 + x2 dx; 0 x c) Substitui¸˜o trigonom´trica ca e = tg θ. 4c Instituto de Matem´tica – UFRGS a
  • 19. ˆCONICAS 17 Bibliografia • Anton, Howard: C´lculo, um novo horizonte, Bookman, 2000. a • ´ Avila, Geraldo S.: Clculo, LTC, 1992. • Edwards, B., Hostetler, R. e Larson, R.: C´lculo com Geometria Anal´ a ıtica, LTC 1994 • Edwards, C.H. e Penney, D.E., C´lculo com Geometria Analtica, Prentice a Hall do Brasil, 1997. • Hugues-Hallett, Deborah e outros: Calculus, John Wiley & Sons, 1994. • Leithold, Louis: O C´lculo com Geometria Anal´ a ıtica, Harbra, 1976. • Munem, M.A. e Foulis, D.J.: C´lculo, Guanabara, 1982. a • Shenk, Al: C´lculo e Geometria Anal´ a ıtica, Campus, 1984. • Simmons, George F.: C´lculo com Geometria Anal´ a ıtica, McGraw-Hill, 1987. • Strang , Gilbert: Calculus, Wellesley–Cambridge Press, 1991. • Swokowski, Earl W.: C´lculo com Geometria Analtica, McGraw-Hill, 1983. a c Instituto de Matem´tica – UFRGS a

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