GUIDG.COM – PG. 114/4/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos – Cônicas* Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch...
GUIDG.COM – PG. 2      f   g        39f        ff         ff          f          f                                        ...
GUIDG.COM – PG. 3Livro, pg. 269, exercício 23.Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Centro C(-...
GUIDG.COM – PG. 4E a equação geral:                         b            c2         +2     `      a2          y ff1 ff    ...
GUIDG.COM – PG. 5Prova: exercício 2 (2009/2) (2,0 pt cada)Representar graficamente e escrever a equação da elipse cujo cen...
GUIDG.COM – PG. 6                                 5x2 @ 30x + 9 y 2 @ 18y + 9 = 0Ou fatorando (completando os quadrados e ...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Mat s conicas resolvidos

11,843

Published on

Published in: Education
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
11,843
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
226
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Mat s conicas resolvidos

  1. 1. GUIDG.COM – PG. 114/4/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos – Cônicas* Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.* Da lista de exercícios e também da prova de ALGA-1, da UDESC-CCT.Lista, exercício 18.Determine a equação da parábola que passa pelos pontos P(2,1), Q(4,6) r R(5,0).Solução:Existem varias formas de se resolver, aqui vai uma das soluções:Para melhor visualizar, colocamos os pontos no sistema cartesiano (A); e façamos um esboço dosgráficos possíveis (B) e (C). (A) (B) (C)Então pela definição, sabemos que a equação da parábola pode ser:Para (B): y = @ ax 2 + bx + cPara (C) x = ay 2 + by + cResolvendo para (B), substituímos os pontos P(2,1), Q(4,6) e R(5,0) na equação, depois resolvemoso sistema e encontramos a equação:P x ,y :y = @ax2 + bx + c ` aX b c^P 2,1 : 1 = @ ` 4a a + `2a b + c^^^^^^ b c^ Q 4,6 : 6 = @ 16 a + 4 b + c ` a ` a^^ b c^^^ZR 5,0 :0 = @ 25 a + 5 b + c^^ ` a ` a^(1) Agora veja que se multiplicarmos a primeira equação por (-4) e somarmos com a segunda,eliminamos o coeficiente a, e ficamos com: 2 = @ 4b @ 3c ou 2 + 4b = @ 3c .Da mesma forma, se multiplicarmos a primeira por (-25) e a terceira por (4), somando as equaçõestambém eliminamos a, e ficamos com: @ 25 = @ 30b @ 21c 25f @ffff ff fffff ff f30bf f f ffff = ffff@ 3c @ ff+ fff= @ 3c . 25f 30bf ff fff f f ff ff(2) Dividindo a equação por sete: @ ou 7 7 7 7 25f 30bf ff fff ff fff f f + ff = 2 + 4b , resolvendo encontramos b = ff ff 39f ff f fComparando as equações temos: @ . 7 7 2Agora substituímos b em algumas das equações (1) ou (2) para encontrar c:
  2. 2. GUIDG.COM – PG. 2 f g 39f ff ff f f @fff ffff f80f fff fff2+4 = @ 3c , resolvendo encontramos c = . 2 3Por último substituímos b e c, na primeira equação para encontrar a: f g 17f ff ff f f1 = @ 4 a + 2 b + c [ 1 = @ 4 a + 2 ff @ ff , resolvendo encontramos a = . ` a ` a ` a ` a 39f 80f ff f f ff ff 2 3 6Substituindo na equação geral: y = @ ax 2 + bx + c = @ ffx 2 + ffx @ ff 17f ff ff 39f 80f ff f f ff f f 6 2 3Para obter a equação da parábola (C), basta seguir o mesmo procedimento, mas alterando a variável eos coeficientes já que o gráfico esta paralelo ao eixo x: x = ffy 2 @ fffy + 5 17f ff f f 107f fff ff ff 30 30
  3. 3. GUIDG.COM – PG. 3Livro, pg. 269, exercício 23.Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Centro C(-2,1), eixo real paralelo a Ox, passando por P(0,2) e Q(-5,6).Solução:1º Fazemos o gráfico, e colocando asinformações dadas, é isso que temos (fig.1).Agora analisando, concluímos pela definiçãoque a equação da hipérbole é: b c2` a2 yffffff kfff @ffff xffffff ffff @h fffffff fff fff ffffff ffffff fff f @ =1 a2 b 2Pois está fora da origem do sistema, e as“concavidades” estão no eixo real paralelo a Ox. (fig.1)(reta y = 1)O centro foi dado, C(-2,1) então substituímos:b ` ac2 b ` ac2 b c2 +ffff fffffff x ffffffff fffffff @ @2 y@ 1 ` a2 y ff1ff @f ffffffffff ffffffff ffffffffff ffffffff fffffffff f xffffff fffffff 2ff ffffff 2 @ fffffff= 1 2 [ ffffff ffff ff f @ =1 a b a2 b 2Agora só precisamos achar a² e b², para isso substituímos na equação os pontos P(0,2) e Q(-5,6): c `0 + 2a2 `2 @ 1a2 ffffff ffffff ffffff ffffff ffffff ffffff ffffff ffffff b =1 4b @ a 2 = a 2 b (1) 2 2P 0,2 : @ [ a2 b 2 c `@ 5 + 2a2 `6 @ 1a2 ffffffff ffffff ffffffff ffffff ffffffff ffffff fffffff ffffff b =1 9b @ 25a 2 = a 2 b (2) 2 2Q @ 5,6 : @ [ a2 b 2Comparando (1) com (2): Substituindo b² na equação: Substituindo a² na equação: 4b @ a 2 = a 2 b 2 2 4b @ a 2 = a 2 b 2 24b @ a = 9b @ 25a 2 2 2 2 f g f g 4b @ ff = ff b 2 2 91f 91f 2 ff f f ff f f 4 ffff a 2 = a 2 ffff 24aff fff fff ff 24aff fff fff ff 25b = 24a 2 2 @ 24 24 5 5 2b = ffff 24aff fff fff ff f g 2 a 2 ff 1 = a 2 ffff 2 96f ff f f 24aff fff fff ff f g 4 @ ff = ff @ 2 91f 91f ff ff ff f f 5 5 5 b 24 24 2 91f 24aff ff ffff ff fff ff fff = ff f g 5f 91f ff ff ff ff ff f f = 2 5 5 b 24 24 a 2 = ff 91f ff f f b = ff 2 91f ff f f 24 5Logo a equação reduzida da hipérbole com centro fora da origem é: b c2 +ffff fffffff` a2 y ff1 ff @f xffffff fffffff ffffff ffff ff 2ff ffffff f 91f @ 91 =1 ff ff ff f f ff ff ff f 24 5
  4. 4. GUIDG.COM – PG. 4E a equação geral: b c2 +2 ` a2 y ff1 ff @ xffffff ffffff ffffff ffffff24 @ 5 fffffff 1 fffffff ffffff f f = 91 91 b c224 x + 2 @ 5 y @ 1 = 91 ` a2 b c b c24 x 2 + 4x + 4 @ 5 y 2 @ 2y + 1 = 9124x 2 + 96x + 96 @ 5 y 2 + 10y @ 5 @ 91 = 024x 2 @ 5 y 2 + 96x + 10y = 0Não foi necessário desenhar o gráfico, mas paravisualizarmos, utilizando a ajuda do computador,o gráfico da hipérbole esta ao lado.Prova: exercício 1 (2009/2) (1,0 pt cada)Usando uma translação de eixos, obtenha a equação reduzida, identifique a cônica, obtenha oselementos (focos, vértices) e represente graficamente.a) 8x² – y² – 64x – 4y + 116 = 0b) 16x² + 9y² + 96x – 72y + 144 = 0Solução:a) Simplificando a equação, chega-se à forma reduzida: b c2 +2 y fffff x @ 4 @ fffffff 1 fffffff ffffff f =` a2 8Que defini uma hipérbole de centro C(4, –2).Fazendo o gráfico.Logo: os Vértices são: V’(3, –2) e V’’(5, –2)Para encontrarmos os focos, fazemos: c 2 = a 2 + b 2 wwww wwww wwww wwww wwww wwww www www www www www www www www www wwc = F qa 2 + b = F p8 + 1 = F 3 2Logo: os Focos são: F’(1, –2) e F’’(7, –2)b) Simplificando a equação, chega-se à forma reduzida: b c2 +f` a2 yffffff 2ff @ffff xffffff ffff fff3ff fff ffffff ffffff ffffff f + =1 9 16Que defini uma elipse de centro C(-3, 4).Fazendo o gráfico.Os vértices são: V(-3, 0), V(-3, 8), V(-6, 4) e V(0,4)Para encontrarmos os focos, fazemos: a 2 @ b = c 2 2 wwww wwww wwww wwww wwww wwww wwww www wwww wwww wwww www www www www www w w w w ww wc = F qa 2 @ b = F p16 + 9 = F p 7 2 w ww w w wwLogo: os Focos são: F(-3, 4 F p 7 )
  5. 5. GUIDG.COM – PG. 5Prova: exercício 2 (2009/2) (2,0 pt cada)Representar graficamente e escrever a equação da elipse cujo centro coincide com o foco da parábolax² - 4x - 8y + 12 = 0 e tangencia o eixo y e a diretriz da parábola.Solução:Primeiro colocamos a equação da parábola na forma padrão,depois fazemos o desenho.x 2 @ 4x @ 8y + 12 = 0 b c x @2 =8 y@1` a2Logo é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y,Com vértice em V(2, 1) .então 2p = 8logo: ff 2 pf ff = 2Isso nos da a distância do foco F(2, 3) e da diretriz (y = -1) emrelação ao vértice.Sabemos que o centro da elipse coincide com o foco, então, apartir da definição temos: b c2` a2 yffffff 3ff @ffff xffffff ffff @2 fffffff ffffff ffffff ffffff fff f + =1 4 16Que é a equação reduzida da elipse com centro no foco da parábola, com eixo maior paralelo ao eixoy (a²=16), e eixo menor paralelo ao eixo x (b²=4). Isso é fácil perceber pelo que o enunciado disse,que a elipse tangencia o eixo y e a diretriz da parábola (veja a figura).Prova: exercício 3 (2009/2) (2,0 pts)Determine a equação do lugar geométrico dos pontos P(x, y), tal que a soma das distâncias de P aospontos A(1, 1) e B(5, 1) é 6 unidades.Solução:Se escrevermos na linguagem matemática temos (repetindo o enunciado): Ljk Ljj jj jj jj j M jj j jM j j j j jj k j jDetermine a equação do lugar geométrico dos pontos P(x, y) | LPAM+LPBM= 6 . L M L MLogo isso é a definição da elipse, desenvolvendo um pouco mais chegamos a:LA @ PM+LB @ PM= 6L M L MLb c ` M L M M b c `L 1, 1 @ x, y M+L 5, 1 @ x, y M= 6L a L aML M L MLb c L M b cML 1 @ x, 1 @ y M+L 5 @ x, 1 @ y M= 6L M L ML M L MDaqui pra frente o processo é longo, mas a intenção é simplificar essa última equação (eliminandoos módulos através de manipulação algébrica). No livro, página 229, tem a expansão da definição,então seguindo o mesmo procedimento:
  6. 6. GUIDG.COM – PG. 6 5x2 @ 30x + 9 y 2 @ 18y + 9 = 0Ou fatorando (completando os quadrados e tal...) chegamos à equação reduzida: b c2 ` a2 yffffff 1ff @ffff xffffff ffff @3 fffffff fff fff ffffff ffffff fff f + =1 9 5Ou seja, uma elipse com eixo maior paralelo ao eixo dos x, e eixo menor paralelo ao eixo dos y, comcentro em C(3, 1).E por curiosidade (o exercício não pede), o gráfico:

×