O documento resume as propriedades e operações com radicais aritméticos. Explica como simplificar expressões com radicais através de extração de fatores, adição e subtração de radicais iguais, e racionalização de denominadores. Também apresenta produtos notáveis e potenciação de radicais.

1. RADICIAÇÃO

3. EXERCÍCIOS
Radical aritmético e suas propriedades
Toda expressão matemática da forma n
a , com a ∈ R+ , n ∈ N e n ≥ 2 , recebe o nome de
radical aritmético.
m
Observe: an = n a m (m > 0, n > 0)
Assim:
No radical 5 , o índice é 2 e o radicando é 5.
No radical 3 10 , o índice é 3 e o radicando é 10.
Propriedades
1ª) Propriedade
n
a n = a , com a ∈ R+ , n ∈ N e n > 1
Exemplos:
a) 5
32 = 5 25 = 2
b) 49 = 7 2 = 7
c) 4
81 = 4 34 = 3

4. 2ª) Propriedade
n n: p
am = a m: p , com p ≠ 0 e p divisor de m e n.
n⋅ p
n
am = a m⋅ p
Exemplos:
8
a) 32 = 8:2 32:2 = 4 3
15
b) 7 9 = 15:3 7 9:3 = 5 7 3
c) 42 = 2⋅3 42⋅3 = 6 46
3ª) Propriedade
mn
a = m⋅n a , com a ∈ R+ , m ∈ N , n ∈ N , m > 1 e n > 1 .
Exemplos:
a) 5 = 2⋅2 5 = 4 5
b) 6 4
2 = 6⋅ 4 2 = 24 2
4ª) Propriedade
n
a ⋅ b = n a ⋅ n b , com a ∈ R+ , b ∈ R+ , n ∈ N , n > 1.
Exemplos:
a) 5 12 = 5 3 ⋅ 4 = 5 3 ⋅ 5 4
b) 2 ⋅ 3 = 2⋅3 = 6

5. 5ª) Propriedade
a na *
n = n , com a ∈ R+ , b ∈ R+ , n ∈ N , n > 1 .
b b
Exemplos:
5 45
a) 4 =
7 47
3 3
b) = = 1 =1
3 3

6. Simplificando radicais: extração de fatores do radicando
Observe as seguintes expressões:
a) 52 ⋅ 7 = 5 2 ⋅ 7 = 5 ⋅ 7 = 5 7
3
b) 2 ⋅ 33 ⋅ 73 = 3 2 ⋅ 3 33 ⋅ 3 73 = 3 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 213 2
c) 103 = 10 2 ⋅10 = 10 2 ⋅ 10 = 10 10
d) 3
32 = 3 23 ⋅ 22 = 2 ⋅ 3 22 = 23 4
e) 2 2 ⋅ 132 ⋅ 29 = 2 ⋅ 13 ⋅ 29 = 26 29
3
f) 23 ⋅ a 4 ⋅ b 2 = 3 23 ⋅ a 3 ⋅ a ⋅ b 2 = 2a 3
ab 2
Se um ou mais fatores do radicando têm o expoente igual ao índice do radical, esses
fatores podem ser extraídos do radicando e escritos como fatores externos (sem o
expoente).

7. Introduzindo um fator externo no radicando
Observe os seguintes exemplos:
a) Se 22 ⋅ 3 = 2 3 , então 2 3 = 22 ⋅ 3
3
b) Se 5 ⋅ 73 = 73 5 , então 73 5 = 3 5 ⋅ 73
c) Se 5
64 = 5 26 = 5 25 ⋅ 2 = 25 2 , então 25 2 = 5 25 ⋅ 2 = 5 26 = 5 64
Um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando para isso
escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical.
Veja agora:
a) 5 3 = 52 ⋅ 3 = 25 ⋅ 3 = 75
5 3
b) 5
x3 x = x 3 ⋅ x = 15 x 4

8. Adicionando, algebricamente, dois ou mais radicais
Observe os seguintes exemplos:
a)
10 3 + 5 3 − 11 3 + 3 =
(10 + 5 − 11 + 1) 3 =
5 3
b)
6 5 −2 7 −5 5 +3 7 =
(6 − 5) 5 + (−2 + 3) 7 =
1 5 +1 7 =
5+ 7
Observações:
a)
5 + 7 ≠ 12
2,23 + 2,64 ≠ 3,46
4,87 ≠ 3,46
b)
5− 2≠ 3
2,23 − 1,41 ≠ 1,73
0,82 ≠ 1,73
c)
3+ 3 ≠ 4 3
3 + 1,73 ≠ 4 ⋅ 1,73
4,73 ≠ 6,92

9. Veja agora como simplificar algumas expressões:
a)
50 + 18 =
2 ⋅ 52 + 2 ⋅ 32 =
5 2 +3 2 =
(5 + 3) 2 =
8 2
b)
3
125 x 4 y − 3 27 x 4 y + 3 8 x 4 y =
3
53 ⋅ x3 ⋅ x ⋅ y − 3 33 ⋅ x 3 ⋅ x ⋅ y + 3 23 ⋅ x3 ⋅ x ⋅ y =
5 x3 xy − 3 x3 xy + 2 x3 xy =
(5 x − 3 x + 2 x)3 xy =
4 x3 xy
c)
200 + 500 + 8 − 45 =
22 ⋅ 2 ⋅ 52 + 22 ⋅ 52 ⋅ 5 + 22 ⋅ 2 − 32 ⋅ 5 =
2⋅5 2 + 2⋅5 5 + 2 2 − 3 5 =
10 2 + 10 5 + 2 2 − 3 5 =
(10 + 2) 2 + (10 − 3) 5 =
12 2 + 7 5
d)
12 + 75
=
2 147
2 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 52
=
2 3 ⋅ 72
2 3+5 3
=
2⋅7 3
2 3+5 3
=
14 3
7 3 1
=
14 3 2

10. Multiplicando e dividindo expressões com radicais de mesmo
índice e de índices diferentes
• Se os índices forem iguais, basta usar as propriedades dos radicais.
Exemplos:
a) 3
7 ⋅ 3 2 = 3 7 ⋅ 2 = 3 14
b) 18 : 3 = 18 : 3 = 6
c)
5 ⋅ (3 2 − 5 ) =
5 ⋅3 2 − 5 ⋅ 5 =
3 5 ⋅ 2 − 52 =
3 10 − 5
d)
( 3 + 2 2) ⋅ ( 3 − 5 2) =
3 ⋅ 3 − 3 ⋅5 2 + 2 2 ⋅ 3 − 2 2 ⋅5 2 =
32 − 5 3 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 22 =
3 − 5 6 + 2 6 − 10 ⋅ 2 =
3 − 5 6 + 2 6 − 20 =
− 17 − 3 6
• Se os índices forem diferentes, devemos reduzir os radicais ao mesmo índice para
depois efetuar as operações.
Exemplos:
a) 4
2 ⋅ 6 3 = 12 8 ⋅ 12 9 = 12 8 ⋅ 9 = 12 72
b) 10 : 6 5 = 6 1000 : 6 5 = 6 1000 : 5 = 6 200

11. Produtos notáveis
a) Quadrado da soma de dois termos: ( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2
b) Quadrado da diferença de dois termos: ( x − y ) 2 = x 2 − 2 xy + y 2
c) Produto da soma pela diferença dois termos: ( x + y ) ⋅ ( x − y ) = x 2 − y 2
Potenciação de radicais
(a)
n r
m
= n a r ⋅m
Exemplos:
a) ( 2) =
5
3 5
23 = 5 8
b) (5)=
7 3
2
7
53⋅2 = 7 56

12. Racionalização de denominadores de uma expressão com radicais
No conjunto dos números reais existem frações que apresentam um radical no
1
denominador, como, por exemplo. .
3
1 1
Agora veja: é aproximadamente , que é um cálculo difícil de fazer.
3 1,7320508
1
Multiplicando por 3 o numerador e o denominador de encontraremos uma fração
3
1
equivalente a , que vai facilitar o cálculo. Veja:
3
1 1⋅ 3 3 3
= = =
3 3⋅ 3 32 3
Esse procedimento é chamado de racionalização do denominador. Veja que é mais
1,7320508
simples efetuar .
3
Exemplos:
1 1⋅ 2 2 2
a) = = =
2 2⋅ 2 22 2
2 2⋅ 7 2 7 2 7
b) = = =
7 7⋅ 7 72 7
5 5 ⋅ 3 22 53 4 53 4
c) 3 = = =
2 3 2 ⋅ 3 2 2 3 23 2
6 6⋅ 3 18 18 2 ⋅ 32 3 2 2
d) = = = = = =
2 3 2 3⋅ 3 2 3 2 2⋅3 6 6 2
8 8 ⋅ (4 − 5 ) 32 − 8 5 32 − 8 5 32 − 8 5
e) = = 2 = =
4 + 5 (4 + 5 ) ⋅ (4 − 5 ) 4 − ( 5 ) 2 16 − 5 9

13. Simplificando expressões com radicais
Exemplos:
a)
1 1 1 ⋅ (3 − 7 ) + 1 ⋅ (3 + 7 )
+ = =
3+ 7 3− 7 (3 + 7 )(3 − 7 )
(3 − 7 ) + (3 + 7 ) 3 − 7 + 3 + 7
= =
32 − ( 7 ) 2 9−7
6
=3
2
b)
4 4 18 ⋅ 2 − 4
3⋅ 6 − = 18 − = =
2 2 2
36 − 4 2 62 − 4 6 − 4 2
= = = =
2 2 2 2
2⋅ 2 2 2 2 2
= = = 2
2⋅ 2 22 2
2 2⋅ 7 2 7 2 7
= = =
7 7⋅ 7 72 7

14. Potências com expoente fracionário
m
Observe: an = n a m (m e n inteiros e n ≠ 0 )
Exemplos:
1
a) 32 = 3
1
b) 52 = 5
2
c) 63 = 3 62 = 3 36
1
d) (−8) 3 = 3 − 8 = −2
REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO
[1] A conquista da matemática (5ª a 8ª Série). Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora FTD.
[2] Matemática (Projeto Araribá) (5ª a 8ª Série). Editora Moderna.
[3] Tudo é matemática (5ª a 8ª Série). Luiz Roberto Dante. Editora Ática.
[4] Matemática hoje é feita assim (5ª a 8ª Série). Antonio José Lopes Bigode. Editora FTD.