Mat progressoes geometricas p g
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Mat progressoes geometricas p g Document Transcript

  • 1. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS ( P.G.)1 - Definição Vamos analisar algumas seqüências:  ( 4 , 8 , 16 , 32 , 64 ) ( 6, - 18 , 54 , - 162 ) 1 1 1  (8,2, , , ) 2 8 32 Em todas essas seqüências, a lei de formação é : cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior,multiplicado por um número fixo. Toda a seqüência que tiver essa lei de formação será denominada PROGRESSÃO GEOMÉTRICA. O número fixo pelo qual estamos multiplicando cada termo é chamado razão da progressão.2 - REPRESENTAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G. ) A representação matemática de uma progressão geométrica (P.G.) é : (a1 , a2, a3 , a4 , ......, an ,...... ) em que : a1 significa primeiro termo ( lê-se : a índice 1 ) a2 significa segundo termo ( lê-se : a índice 2 ) a3 significa terceiro termo ( lê-se : a índice 3 ) 1
  • 2. onde : a 2  a3  a 4  . . . .  q  q é a razão da P.G. a1 a 2 a3Vejamos alguns exemplos :1º) Escreva uma P.G. de cinco termos em que a1 = 2 e q = 3 .2º) Escreva uma P.G. de cinco termos em que a1 = - 3 e q = 4 . 13º) Escreva uma P.G. de cinco termos em que a1 = 800 e q = . 44º) Determine a razão de cada uma das P.G. abaixo : a) ( 2, 8 ,32, . . . ) b) ( 200, 50 , . . . )5º) Se a sequência ( x , 3x + 2 , 10x + 12 ) é uma P.G. , calcule x. 2
  • 3. EXERCÍCIOS1º) Escrever os cinco primeiros termos de cada P.G. abaixo, onde : a) a1 = 5 e q=2 b) a1= 3 e q = -4 c) a1 = - 2 e q= 3 d) a1 = - 3 e q = - 22º) Determine a razão de cada uma das seguintes P.G. : a) (3 , 12 , 48 , . . . ) b) (10 , 5 , . . . ) c) ( 5, - 15 , . . . ) 1 3 2 d) (10 , 50 , . . . ) e) ( 8 , . . .) f) ( , , . . .) 2 4 53º) Complete cada uma das P.G. : a) (3,6,......,.......,.....,.......) b) (1 , 5 , ......,........,.........,.........) c) (400 , 200 , ........ ,.........,..........,............) d) (-2 , - 6 , ......... ,..........,............,..........) 3
  • 4. 4º) Se a sequência ( x , 3x + 2 , 10x + 12 ) é uma P.G. , calcule x.5º) Determine o valor de x de modo que os números x + 1 , x + 4 e x + 10 , formem uma P.G.6º) Calcule o valor de x de modo que a sequência ( 1 + x , 3 + x , 4 + x ) seja uma P.G. 4
  • 5. 3 - FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P . G. - Da mesma forma como fizemos para a P.A. vamos demonstrar a fórmula do termo geral de uma P.G. , que permite encontrar qualquer termo sem precisar escreve-la integralmente. Observe: (a1 , a2, a3 , a4 , ......, an ,...... ) (2 , 6 ,18 , 54 , 162 , 486 , . . . ) EXEMPLOS: 1º) Achar o décimo termo da P.G. ( 1 , 4, . . . ) . 2º) Achar o vigésimo termo da P.G. ( 2 ,6 , . . . ) . 5
  • 6. 3º) Numa P.G. de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. Calcular o primeiro termo dessa P.G. 4º) Numa P.G. de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último termo é 486. Calcular a razão dessa P.G. 5º) Numa P.G. de razão 4 , o primeiro termo é 8 e o último é 231 . Quantos termos tem essa P.G. ?6º) Calcular o número de termos da P. G. ( 3 , 6 , . . . , 768 ). 6
  • 7. EXERCÍCIOS1º) Ache o décimo segundo termo da P. G. ( 2 , 6 , . . . ) 12º) Encontre o décimo termo da P.G. ( , 2 ,... ) 23º) Numa P.G. de seis termos o primeiro termo é 2 e o último é 15552. Calcular a razão dessa P.G.4º) Qual é o sexto termo da P.G. ( 512, 256, . . . ) ?5º) Numa P. G. o 1º termo é 4 e o quarto termo é 4000. Qual é a razão dessa P . G. ? 7
  • 8. 6º) Determine quantos termos tem a P G ( 6 , 18 , . . . , 1458 ) .7º) Interpolar quatro meios geométricos entre 2 e 486 .8º) faça a interpolação de 5 meios geométricos entre 4 e 2916 . 1 49º) (UGF – RJ) Calcule a razão de uma P G , na qual o 1º termo é e o 4º termo é . 2 27 8
  • 9. 10º) Calcule o 1º termo de uma P G , sabendo que a 9 = 1280 e q = 2 .11º) Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48 .12º) (UCB – 01) Inserindo-se quatro meios geométricos entre a e 486, obtém-se uma PG de razão igual a 3 . Qual o valor de a ? 13º) (UERJ-80) Numa P.G. de razão 3 , o primeiro termo é 27 e o último é 315 . Quantos termos tem essa P.G. ? 9
  • 10. 4 - FÓRMULA DA SOMA DOS n TERMOS DE UMA P.G FINITA Seja a P.G. finita ( a1 , a2 , a3 , . . . na ) de razão q , a soma dos seus termosÉ dada por :1º caso : Se q = 1 Sn = n.a12º caso : Se q  1 a1  q n  1      a n . q  a1 Sn = ou Sn = q 1 q 1EXEMPLOS1º) Dada a P.G. ( 1 , 3 , 9 , 27 , . . . ) calcular a soma dos 6 primeiros termos.2º) Dada a P.G. ( 2 , 8 , . . . ) calcular a soma dos 8 primeiros termos.3º) Qual é a soma dos 30 primeiros termos da P.G. em que a1 = 1 e q = 3 ? 10
  • 11. 4º) Dar o valor de x na igualdade x + 3x + . . . + 729x = 5465 , sabendo-se que os termos do 1º membro formam uma P.G.Exercícios1º) Obtenha a soma dos 6 primeiros termos da P.G. ( 7 , 14 , . . . ) .2º) Qual será a soma dos 20 primeiros termos de uma P.G. em que a1 = 1 e q = 2 ?3º) Dar o valor de x na igualdade 10x + 20x +40x . . . +1280x = 7650 , sabendo-se que os termos do1º membro formam uma P.G 11
  • 12. 5 - FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA Se em uma P.G. – 1 < q < 1 ou seja q  1 a soma de seus infinitos termos é dada por: a1 S  1 qEXEMPLOS  1 1 1º) Calcular a soma dos termos da P.G. 1 , , , . . .   4 16   6 12 24 2º) Calcular a soma dos termos da P.G. infinita  3 , , , ,..   5 25 125  1 1 13º) Calcular a soma dos infinitos termos da série 1 +    ..... 3 9 27 12
  • 13. EXERCÍCIOS1º) Calcule a soma dos termos de cada uma das seguintes P.G. :  1  a)  5 , 1 , , . . .   5  b) (20 , 10 , 5 , . . . )  10  c)   30 ,  10 ,  , . .   3  13
  • 14. 2º) Resolva as equações em que o primeiro membro representa a soma dos termos de uma P.G. infinita : x xa) 80x + 4ox + 20x + ... = 320 b) x    .....  12 3 9c) 1 + x + x2 + x3 + . . . = 3 2 2 23º) Calcule a soma da série infinita    ... 3 9 27 14
  • 15. 15