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  • 1 Profa. Denise Ortigosa Stolf Colégio Trilíngüe Inovação Rua Mato Grosso 420-E Fone/Fax: (49) 3322.4422 Aulas Chapecó – Santa Catarina CEP. 89801-600SumárioPotenciação ...............................................................................................................................................2Radiciação .................................................................................................................................................4Bibliografia ...............................................................................................................................................8
  • 2POTENCIAÇÃOSlide 1 Slide 4 Potência de um número real com expoente inteiro negativo Para todo número racional a, com a ≠ 0, definimos: n 1 1 1 a− n = =   , em que n é um número natural e é o inverso de a. Potenciação an  a  a Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf 1 4Slide 2 Potência de um número real com expoente natural Slide 5 Sinal de uma potência de base não nula Expoente Base positiva Base negativa A potência a n do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente. Par Potência positiva Potência positiva Ímpar Potência positiva Potência negativa a = a ⋅ 42⋅43 n 1 a ⋅ a ... ⋅ a 4 4 n vezes a é multiplicado por a n vezes 2 5Slide 3 Propriedades Slide 6 Potências de 10 1ª) Produto de potências de mesma base Para facilitar a escrita de número com muitos dígitos iguais a zero, podemos a n ⋅ a m = a n+ m utilizar potências de 10. Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 2ª) Quociente de potências de mesma base positiva, indica que iremos “aumentar” o número de zeros à direita ou a n : a m = a n− m “movimentar” para direita a vírgula tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos: 3ª) Potência de uma potência (a ) n m = a n ⋅m 54 x 105 = 5400000 Acrescentamos 5 zeros à direita do 54 2050 x 102 = 205000 Acrescentamos 2 zeros à direita do 2050 4ª) Potência de um produto ou de um quociente 0,00021 x 104 = 2,1 “Movimentamos” a vírgula 4 casas para a direita ( a ⋅ b) n = a n ⋅ b n 0,000032 x 10 3 = 0,032 “Movimentamos” a vírgula 3 casas para a direita ( a : b) n = a n : b n 3 6
  • 3Slide 7 Slide 9 Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 negativa, indica que iremos “diminuir” o número de zeros à direita ou “movimentar” a vírgula para esquerda tantas casas quanto indicar o expoente Um número escrito na notação científica é o produto de um número entre 1 e da base 10. Veja alguns exemplos: 10 por uma potência de 10. 54 x 10-5 = 0,00054 “Movimentamos” a vírgula 5 casas para a esquerda Assim, a distância do Sol à Terra, em notação científica, é aproximadamente “Movimentamos” a vírgula 2 casas para a esquerda. 1,5·108 km e a espessura de um vírus é 8·10-4 mm. 2050 x 10 -2 = 20,5 Lembrando que 20,5 = 20,50 -4 0,00021 x 10 = 0,000000021 “Movimentamos” a vírgula 4 casas para a esquerda 0,000032 x 10 -3 = 0,000000032 “Movimentamos” a vírgula 3 casas para a esquerda 32500000 x 10-4 = 3250 “Diminuímos” 4 zeros que estavam à direita 7 9Slide 8 Notação científica Slide 10 Bibliografia ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002. Físicos, químicos, biólogos, engenheiros, astrônomos e outros cientistas BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006. utilizam números com muitos zeros. Como já vimos, estes números podem ser escritos de várias maneiras, usando potências de 10. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São A distância do Sol à Terra, por exemplo, é, aproximadamente, 150000000 km Paulo: Moderna, 2007. e pode ser indicada por 150·10 6 Km ou 15·107 Km ou 1,5·10 8 Km ou GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. 0,15·10 9 Km. São Paulo: FTD, 2005. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A espessura de um vírus é, aproximadamente, 0,0008 mm ou 8·10-4 mm ou A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998. 0,8·10-3 mm ou 0,008·10-1 mm. GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004. GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998. Nos trabalhos científicos, para facilitar os cálculos e a comunicação, quando IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: aparecem números com muitos zeros, esses números são escritos numa Scipione, 2006. forma padrão chamada notação científica. MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006. MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 1997. 8 10
  • 4RADICIAÇÃOSlide 1 Slide 4 Radiciação Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf 1 4Slide 2 Raiz enésima de um número real Slide 5 2º Caso: O índice n é ímpar. Consideremos um número real a e um número natural n, com n = 2. Vamos examinar o conceito de raiz enésima desse número, indicada pela expressão: Temos dois casos a examinar: 1º Caso: O índice n é par. Através dos exemplos dados, podemos dizer: Dado um número real a e sendo n é um número natural ímpar, a expressão n a é um único número real b tal que bn = a. 2 5Slide 3 Já vimos que não se define a raiz quadrada de um número real negativo, pois ao elevarmos um número real ao quadrado não obtemos um número real Slide 6 Radical aritmético e suas propriedades negativo. Esse fato se estende quando temos a raiz quarta ou a raiz sexta ou a raiz oitava,... e assim por diante, de um número real negativo. Assim: Podemos dizer que: Quando o número real a é positivo (a > 0) e n é um número natural par, diferente de zero, dizemos que a expressão n a é igual ao número real positivo b tal que bn = a. Quando o número real a é negativo (a < 0) e n é um número natural par, diferente de zero, dizemos que a expressão n a não é definida no conjunto dos números reais. 3 6
  • 5Slide 7 Propriedades Slide 10 7 10Slide 8 Slide 11 8 11Slide 9 Slide 12 Simplificando radicais: extração de fatores do radicando Se um ou mais fatores do radicando têm o expoente igual ao índice do radical, esses fatores podem ser extraídos do radicando e escritos como 9 fatores externos (sem o expoente). 12
  • 6Slide 13 Introduzindo um fator externo no radicando Slide 16 Um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando para isso escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical. 13 16Slide 14 Adicionando, algebricamente, dois ou mais Slide 17 Multiplicando e dividindo expressões com radicais radicais de mesmo índice e de índices diferentes Observe os seguintes exemplos: • Se os índices forem iguais, basta usar as propriedades dos radicais. OBS.: 14 17Slide 15 Veja agora como simplificar algumas expressões: Slide 18 • Se os índices forem diferentes, devemos reduzir os radicais ao mesmo índice para depois efetuar as operações. 15 18
  • 7Slide 19 Produtos notáveis Slide 22 19 22Slide 20 Potenciação de uma expressão com radicais Slide 23 Simplificando expressões com radicais 20 23Slide 21 Racionalizando denominadores de uma Slide 24 Potências com expoente fracionário expressão fracionária 21 24
  • 8Slide 25 Bibliografia ANDRINI, Álvaro; V ASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002. BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. EDIÇÕES EDUCATIV DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: AS Matemática. São Paulo: Moderna, 2007. GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998. GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004. GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998. IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006. MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006. MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 1997. 25BIBLIOGRAFIAANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo:Brasil, 2002.BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo:Moderna, 2007.GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. SãoPaulo: FTD, 2005.GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista damatemática. São Paulo: FTD, 1998.GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998.IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione,2006.MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 1997.