Mat porcentagem

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Mat porcentagem

  1. 1. PorcentagemÉ muito freqüente o aparecimento de situações que traduzem acréscimos ou reduções em números, preçosou quantidades, sempretomando por base o número 100. Vejamos alguns exemplos: A custo de vida teve um aumento de 14 %. Isso significa que em cada R$ 100 houve um acréscimo de R$14,00 Se uma loja anuncia um desconto de 12 % em qualquer de seus produtos, isso significa que em cada R$100 foi dado um descontode R$ 12,00 Dos funcionários de uma empresa, 67 % são do sexo masculino. Isso significa que em cada 100funcionários dessa empresa,67 são homens. Foram 6 % de votos nulos e 9 % de votos em branco. Isso significa que, numa eleição, em cada 100 votos,6 foram nulos e 6 delesforam em branco. Razão centesimalNós já havíamos estudado que toda fração de denominador 100 pode ser lida na forma de porcentagem.Assim :3 centésimos ===> 3/100 ====> 3 porcento ====> 3 %64 centésimos ===> 64 / 100 ====> 64 porcento ====> 64 %95 centésimos ===> 95 / 100 ====> 95 porcento ====> 95 %Vamos estender esse conceito para o estudo das razõesToda a razão que tem para conseqüente o número 100 denomina-se razão centesimal. Dessa forma :23 : 100 ===> 0,23 ===> 23 porcento ===> 23 %80 : 100 ===> 0,80 ===> 80 porcento ===> 80 %320 : 100 ===> 3,20 ===> 320 porcento ===> 320 %As razões 23 / 100 ; 80 / 100 e 320 / 100 são razões centesimais e as expressões 23 % , 80 % e 320 % sãochamadas taxas centesimais outaxas percentuais. Transformação de uma razão qualquer para razão centesimal.Analisemos os seguintes problemas :Exemplo 1 - De cada quatro meninos de minha rua, três deles jogam futebol. Que porcentagem dos meninosjoga futebol ?Já sabemos que a razão entre os meninos que jogam futebol e a totalidade dos meninos é de : e paraescrevê-la na forma porcentualprecisamos igualá-la a uma razão de conseqüente 100. Assim teremos :e resolvendo essa proporção, teremos :
  2. 2. Dizer que 3 em cada quatro meninos jogam futebol é o mesmo que dizer que 75 % deles jogam futebol.Exemplo 2 - A pontuação máxima em uma gincana é de 50 pontos. Que porcentagem dos pontos consegui secheguei, ao final,com 18 pontos ?Se fiz 18 pontos nos 50 pontos possíveis, reconhecemos que a razão entre eles é de : e para escrevê-la naforma porcentual precisamosigualá-la a uma razão de conseqüente 100. Assim teremos :e resolvendo essa proporção, teremos :Quem faz 18 pontos em 50 pontos possíveis está fazendo 36 % dos pontos possíveis. Cálculo da Porcentagem de um número.Principal é o valor, quantidade ou quantia mais importante em uma proporção. Se eu ganho R$ 3.500,00 por mês, esse é o Principal, desde que eu queira saber uma parte dele. Numproblema, ele deve serigualado a 100 % Se o Flamengo tem um plantel de 42 jogadores, esse é o Principal, desde que eu queira saber uma partedele. Num problema, eledeve ser igualado a 100 % Se numa eleição 3.000 eleitores votaram no candidato A, esse valor não é o Principal, já que o esse valor éuma parte do Principalque é o total de eleitores. Num problema, ele deve ser igualado a 100 %Vamos resolver algumas situações problemáticas :Exemplo 3 - Determine 45 % de R$ 2.000,00Método 1 - Sabemos, por frações, que :Método 2 - Resolvendo, por proporções, teremos que :Método 3 - Resolvendo, pelo conceito de principal :R$ 2.000,00 é o principal, já pretendo encontrar uma parte dele . Sendo, assim podemos montar uma regra detrês simples e diretadessa forma :
  3. 3. 100 % esta correspondendo a 2.000,00, assim como 45 % está correspondendo para x,* note que porcentagem esta embaixo de porcentagem e quantia está embaixo de quantia *x = R$ 900,00 Cálculo de um número dada uma Porcentagem.Exemplo 4 - Numa Olimpíada de Matemática, vários alunos se increveram, mas apenas 35 % deles obteve anota mínima 5 ou superiora ela. Quantos alunos foram inscritos se apenas 1.050 deles passaram para a segunda fase ?Nesse caso o problema nos pede justamente o Principal ( quantidade de alunos inscritos ), escrevemos : Lucro e Prejuízo com Porcentagem.Em muitas situações problemáticas envolvendo porcentagem ( que também pode aparecer escrita comopercentagem ), nosdeparamos casos de lucro e prejuízo. Vamos a alguns exemplos :Exemplo 5 - Pedro Henrique adquiriu uma bicicleta por R$ 400,00 e decide revendê-la com um lucro de 25 %sobre o preço que pagara.Por quanto Pedro deverá vender essa bicicleta ?Nesse caso, o problema nos deixa claro que o Principal será o preço pago pela bicicleta :Método 1 - Vamos descobrir o valor do lucro desejado por Pedro Henrique :E que adicionado ao preço de compra nos dará o preço de revenda : R$ 400,00 + R$ 100,00 = R$ 500,00Método 2 - Se o principal são os nossos 100 % e Pedro deseja um lucro de 25 % , o preço de revenda seráobtido pela soma de custo elucro, assim: 100 % + 25 % = 125 %E aplicando a regra de três simples e direta, vem :Exemplo 6 - Uma loja de eletrodomésticos oferece a seguinte promoção :Nesse caso, o problema nos deixa claro que o Principal será o preço cobrado pelo fogão :Método 1 - Vamos descobrir o valor do desconto para compras à vista :
  4. 4. E que descontado ao preço de venda nos dará o preço com o desconta já incluído : R$ 450,00 - R$ 36,00 = R$414,00Método 2 - Se o principal são os nossos 100 % e Pedro obtém, na compra à vista, um desconte de 8 % , opreço de compra será obtidopela diferença entre o preço original e o desconto, assim: 100 % - 8 % = 92 %E aplicando a regra de três simples e direta, vem : Fator de Multiplicação.Normalmente, os donos de estabelecimentos comerciais tem uma facilidade muito grande no cálculo deporcentagens. Vamosaprender a regra prática que eles utilizam para serem mais rápidos que nós.Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenasmultiplicando essevalor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim pordiante. Vejamos opor quê disso :Se o principal é 100 % e a ele devo adicionar um aumento de 10 %, ele se transformará em : 100 % + 10 % =110 %, que escrito na formadecimal nos daria :O que o empresário faz é digitar na calculadora o preço do produto e a ele multiplicar o fator de multiplicação1,1 . Rapidinho né ?Se ele quiser praticar um desconto, o procedimento é semelhante:Se ele pretende aplicar um desconto de 12 % numa mercadoria, ele faz :100 % - 12 % = 88 % e quetransformado na forma decimalnos dá :Veja na tabela abaixo alguns exemplos de acréscimos e seus respectivos fatores multiplicativos: Fator deAcréscimo ou Lucro Multiplicação 1% 1,01 5% 1,05 10 % 1,10
  5. 5. 15 % 1,15 37 % 1,37 100 % 2,00 185 % 2,85Veja na tabela abaixo alguns exemplos de descontos e seus respectivos fatores multiplicativos: Fator dePrejuízo ou Desconto Multiplicação 1% 0,99 5% 0,95 10 % 0,90 25 % 0,75 37 % 0,63 50 % 0,50 80 % 0,20 Porcentagem e Gráficos.É muito comum o aparecimento de gráficos explicativos em situações que envolvem porcentagem.Conheçamos alguns tiposilustrativos de porcentagem em forma de gráficos.Exemplo 7 - Num clube esportivo foi feita uma pesquisa para se conhecer quais eram as preferências dossócios pelos clube de futebolprofissional do Rio de Janeiro. Se foram ouvidos um total de 300 sócios. Pergunta-se : Esse gráfico éconhecido como gráfico desetores ou gráfico de "pizza". 1 - Quantos torcem pelo Flamengo ? 2 - Quantos torcem pelo Fluminense ? 3 - Quantos torcem pelo Vasco ? 4 - Quantos torcem pelo Botafogo ? 5 - Quantos preferiram não opinar ?E respondendo, vem :1 - Torcem pelo Flamengo 33 % x 300 = 99 sócios2 - Torcem pelo Fluminense 21 % x 300 = 63 sócios3 - Torcem pelo Vasco 16 % x 300 = 48 sócios4 - Torcem pelo Botafogo 24 % x 300 = 72 sócios
  6. 6. 4 - Não Opinaram 6 % x 300 = 18 sóciosExemplo 8 - Numa prévia eleitoral entre os três candidatos a prefeito de uma cidade, foi anotada as seguintesintenções de voto:O candidato A teve a preferência do eleitorado com 40 % dos votos, o candidato B com 36 % e o candidato Ccom 24 %. Se esseprognóstico se mantiver inalterado até a eleição, quantos votos terá cada um dos candidatos, se essemunicípio possui 12.000 eleitores.Se o município possui 1.200 elitores, cada um dos candidatos terá :A 40 % de 1.200 = 0,4 x 1.200 = 480 votosB 36 % de 1.200 = 0,36 x 1.200 = 432 votosC 24 % de 1.200 = 0,24 x 1.200 = 288 votos Porcentagem - Exercícios PropostosI - Escreva na forma percentual as razões.01) 3/4 02) 1/203) 2/5 04) 7/25II - Escreva como razões as porcentagens.05) 25 % 06) 37 %07) 15 % 08) 120 %III - Calcule as porcentagens :09) 25 % de R$ 250,00 10) 18 % de 450 litros11) 40 % de 360 alunos 12) 120 % de R$ 75,00IV - Determine :13) Qual é o número cujos 30 % valem 90 ?14) Qual é a quantia cujos 60 % valem R$120,00 ?15) 75 % de um número valem 42. Qual é esse número ?16) 120 % de um valor equivale a R$ 360,00. Que valor é esse ?V - Resolva os problemas :17) Qual foi a taxa de aprovação de uma 6ª série de 50 alunos e onde 38 deles foram aprovados ?18) Um produto de R$ 200,00 é revendido por R$ 280,00. Qual foi a taxa de lucro nessa revenda ?
  7. 7. 19) Na compra de um aparelho de som obtive um desconto de 15 %, que corresponde a R$ 450,00. Qual é opreço do aparelhosem o desconto ?20) Num colégio 32 % dos alunos são meninas. Se os meninos totalizam 340, quantas são as meninas dessecolégio ?21) Uma editora vendeu no ano de 2004 40.000 exemplares de sua obra "Matemática Muito Fácil". De quantopercentualmenteaumentaram as vendas se no ano seguinte foram vendidos 42.000 exemplares?22) Paulo recebeu a noticia de que o aluguel da casa onde mora vai passar de R$ 154,00 reais para R$ 215,60.De quanto seráo percentual de aumento que o aluguel vai sofre.23) Nádia teve um reajuste salarial de 41%, passando a ganhar R$ 4.089,00. Qual era o salário antes doreajuste?24) Em certo trimestre as cadernetas de poupança renderam 2,1% de correção monetária. Paulo deixou R$1000,00 depositadosdurante três meses. Quanto tinha no fim do trimestre.25) Em uma cidade, 35% da população são de homens e 40% de mulheres. Qual a população da cidade, se onúmero de criançasé de 8.000?26) Um comerciante comprou 120 camisas a R$ 22,00 cada uma. Vendeu a metade por R$ 26,40 e o resto a R$30,80 cada. Dequantos por cento foi o lucro?27) Uma mistura é formada por 120 ml de leite e 30 ml de água.a) Qual a taxa percentual de leite na mistura?b) Retirando-se 10 ml de água da mistura original, qual será o percentual de água na mistura?28) No campeonato de 4ª divisão de futebol, foram marcados 140 gols. O "Pernas de Pau FC" marcou 25%desse total. WallaceBOM DE BOLA, artilheiro do time, marcou 7 gols. Quantos por cento dos gols marcados pelo seu timerepresentam os gols deWallace?29) Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos num total de 450 peixes. Desses, 30% são vermelhos.Uma doença mataalguns peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada, verificou-se que noaquário 50 % dos peixesvivos eram amarelos. Qual a porcentagem de peixes amarelos que morreram?30) Por quanto devo revender um objeto que comprei por R$ 40,00 de modo que tenha um lucro de 20% sobreo preço de venda?(Dica: preço de venda = preço de custo + lucro)31) Um recipiente contém uma mistura de leite natural e de leite de soja num total de 200 litros, dos quais 25%são de leitenatural. A quantidade de leite de soja que deve ser acrescentada a esta mistura para que ela venha conter 20%de leite natural é:a) 20 litros b) 30 litros c) 40 litros d) 45 litros e) 50litros32) A expressão (10%)2 - (5%)2 equivale a:a) 75 % b) 7,5 % c) 0,75 % d) 25 % e) 2,5 %
  8. 8. 33) ( Fuvest - SP ) Sobre o preço de um carro importado incide um imposto de 30 %. Em função disso, o seupreço para oimportador é de R$ 19.500,00. Supondo que tal imposto passe de 30 % para 60 % , qual será, em reais, o novopreço do carro parao importador ?a) R$ 22.500,00 b) R$ 24.000,00 c) R$ 25.350,00 d) R$ 31.200,00e) R$ 39.000,0034) ( UFAC 2001 ) O preço de um objeto de valor aumenta todo mês 10% . Nessas condições, no quarto mêsde aumento onovo preço será :a) 21 % maior que o preço original b) 21,1 % maior que o preço originalc) 40,0 % maior que o preço original d) 46,41 % maior que o preço originale) 58,54 % maior que o preço original35) Questão Desafio (UFRJ) Das 100 pessoas que estão em uma sala, 99% são homens. Quantos homensdevem sair paraque a porcentagem de homens na sala passe a ser 98%? Porcentagem - Respostas dos Exercícios Propostos

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