Mat numeros racionais

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Mat numeros racionais

  1. 1. Números racionais Colégio Trilíngüe Inovação Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf Rua Mato Grosso 420-E Fone/Fax: (49) 3322.4422 Chapecó – Santa Catarina CEP. 89801-600Sumário PáginaNúmeros racionais...................................................................................................................... 1 Conjunto dos números racionais (Q)................................................................................... 2 Outros subconjuntos de Q ................................................................................................... 2 Alguns símbolos matemáticos............................................................................................. 3 A reta numérica racional ..................................................................................................... 3Módulo ou valor absoluto de um número racional .................................................................... 4Número racional oposto ou simétrico ........................................................................................ 5Comparação de dois números racionais ..................................................................................... 5Operações com números racionais............................................................................................. 6 Adição algébrica de números racionais............................................................................... 6 Multiplicação e divisão de números racionais .................................................................... 7 Potenciação de números racionais ...................................................................................... 8 Potenciação de números racionais com expoentes inteiros não negativos...................... 8 Potenciação de números racionais com expoentes inteiros negativos ............................ 9 Raiz quadrada exata de números racionais ....................................................................... 11Expressões numéricas .............................................................................................................. 12Estudo das médias .................................................................................................................... 13 Média aritmética e média aritmética ponderada ............................................................... 13Referências bibliográficas ........................................................................................................ 14
  2. 2. 1NÚMEROS RACIONAISNúmeros racionaisJá estudamos que os números 40, –10, 1258 e –54 pertencem ao conjunto dosnúmeros inteiros (Z). 1E os números e 1,15, a que conjunto numérico pertencem? 10 1Você já sabe que é uma fração. As frações representam razões entre números 10inteiros. Essas razões chamadas de números racionais, pertencem ao conjuntodos números racionais. aNúmeros que podem ser escritos na forma fracionária, ou seja, na forma , bsendo a e b números inteiros e b ≠ 0, são chamados números racionais. 115O número 1,15 também pode ser escrito na forma fracionária. Veja: 1,15 = . 100Os números 40, –10, 1258 e –54 também podem ser escritos na formafracionária: 40• 40 = 1 10• − 10 = − 1 1258• 1258 = 1 54• − 54 = − 1Dizemos que esses números também são números racionais.
  3. 3. 2Conjunto dos números racionaisO conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos númerosinteiros.O conjunto formado pelos números racionais positivos, os números racionaisnegativos e o zero são um novo conjunto que chamamos de conjunto dosnúmeros racionais e é representado por Q.Veja como o conjunto dos números racionais Q se relaciona com o conjunto dosnúmeros naturais N e com o conjunto dos números inteiros Z:• O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z.• Os conjuntos N e Z são subconjuntos de Q.• N está contido em Z e Z está contido em Q. Indicamos: N ⊂ Z e Z ⊂ Q.Outros subconjuntos de Q:• Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero;• Q + é o conjunto dos números racionais positivos e o zero;• Q − é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero;• Q* é o conjunto dos números racionais e positivos; +• Q* é o conjunto dos números racionais negativos. −
  4. 4. 3Alguns símbolos matemáticos = Igual ≠ Diferente > Maior que < Menor que ∈ Pertence ∉ Não pertence ⊂ Está contido ⊄ Não está contido ⊃ ContémA reta numérica racionalJá estudamos que os números inteiros podem ser representados numa retanumérica. O mesmo vai ocorrer com os números racionais.Exemplos: 1a) Representar na reta numérica o número racional . 3 1Sabemos que o número está localizado entre os números 0 e +1. Então, 3vamos dividir o segmento AB em 3 partes iguais e considera uma dessas partesa partir do ponto A, para a direita. 1 1O ponto C chama-se imagem geométrica do número racional . O número é 3 3chamado abscissa do ponto C.
  5. 5. 4b) Representar na reta numérica o número racional − 0,7 . 7Vamos considerar que − 0,7 = − (forma fracionária) 10 7O número − está localizado entre os números − 1 e 0. Então, vamos dividir o 10segmento AD , que vai de − 1 até 0, em 10 partes iguais:O ponto E é a imagem geométrica do número racional − 0,7 . O número − 0,7 éa abscissa do ponto E.Módulo ou valor absoluto de um número racionalConforme vimos no conjunto dos números inteiro, temos: 5 5• O módulo ou valor absoluto do número + é 3 3 5 5Indica-se: + = 3 3 3 3• O módulo ou valor absoluto do número − é 7 7 3 3Indica-se: − = 7 7• O módulo ou valor absoluto do número − 2,63 é 2,63Indica-se: − 2,63 = 2,63
  6. 6. 5Número racional oposto ou simétricoQuando dois números racionais de sinais contrários têm o mesmo módulo sãochamados opostos ou simétricos.Exemplos de números racionais opostos ou simétricos: 2 2a) e− 3 3b) − 3,5 e 3,5c) 15 e − 15Comparação de dois números racionais 10 12Que número é maior, ou ? Você tem idéia de como verificar isso? 4 8Veja dois modos de comparar esse números:1º) Escrevendo-os na forma decimal:10 12 = 10 : 4 = 2,5 = 12 : 8 = 1,5 4 8 10 12Como 2,5 > 1,5, temos: > 4 82º) Escrevendo-os na forma fracionária com um mesmo denominador:10 12 20 12 , = , 4 8 8 8 20 12 10 12Como > , pois 20 > 12, temos: > 8 8 4 8Observação: Outro recurso para comparar dois números racionais é a retanumérica. O maior é sempre o que se encontra à direita do outro na retanumérica.
  7. 7. 6Operações com números racionaisAdição algébrica de números racionaisPara simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somasalgébricas. Eliminamos os parênteses e escrevemos os números um ao lado dooutro, da mesma forma como fazemos com os números inteiros.Exemplo 1: Qual é a soma:17  5  17 5 1 ⋅ 17 − 4 ⋅ 5 17 − 20 3 1 + −  = − = = =− =−24  6  24 6 24 24 24 8 4 1Exemplo 2: Calcule o valor da expressão 0,3 − + − 1,8 : 5 2 4 10,3 − + − 1,8 = 5 2 3 4 1 18 − + − =10 5 2 103 − 8 + 5 − 18 = 10 18 9− =− 10 5Observação: As propriedades da adição com números inteiros também sãoválidas para a adição com números racionais. São elas: Fechamento,Comutativa, Associativa, Elemento neutro e Elemento oposto.
  8. 8. 7Multiplicação e divisão de números racionaisNa multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador pornumerador, e denominador por denominador.Exemplos: 8 4 8 ⋅ 4 32a) ⋅ = = 3 3 3⋅3 9 5 4 − 5⋅4 20 10b) − ⋅ = =− =− 2 3 2⋅3 6 3Observação: As propriedades da multiplicação com números inteiros tambémsão válidas para a multiplicação com números racionais. São elas: Fechamento,Comutativa, Associativa, Distributiva da multiplicação em relação à adiçãoalgébrica e Elemento neutro.Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração peloinverso da segunda.Exemplos: 8 4 82 31 2 ⋅1 2 / /a) : = 1 ⋅ 1 = = =2 3 3 3 4 1 ⋅1 1 / / 5 − 5 4 − 5⋅ 4 20 10b) 2 = − ⋅ = =− =− 3 2 3 2⋅3 6 3 4
  9. 9. 8Potenciação de números racionaisNa potenciação, quando elevamos um número racional a um determinadoexpoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente.Exemplos: 2 4 4 2 16a)   = 2 = 3 3 9 3  2 23 8b)  −  = − 3 = −  3 3 27Potenciação de números racionais com expoentes inteiros não negativosA definição da potenciação de números racionais com expoentes inteirospositivos é a mesma das potências com números inteiros.• Sempre que o expoente de uma potência for par, o resultado será um número positivo.• Sempre que o expoente de uma potência for ímpar, o resultado terá o mesmo sinal da base.• Se um número racional a é diferente de zero, a 0 = 1 .• Para todo número racional a tem-se: a1 = a .Exemplos: 2  2 4a)   = 7 49 0  2b)  −  = 1  3 1  8  8c)   =  45  45
  10. 10. 9Observação: As propriedades da potenciação com números inteiros também sãoválidas quando a base é um número racional diferente de zero e seus expoentessão números inteiros. São elas: Produto de potências de mesma base, Quocientede potências de mesma base, Potência de uma potência e Potência de umproduto ou de um quociente.Potenciação de números racionais com expoentes inteiros negativosQual o valor de 3−1 ? E de 3−2 ?Para saber observe a seqüência em que o expoente diminui de 1 em 1 e aspotências são divididas por 3:
  11. 11. 10 1 −1 1 1 1• 3 = 1: 3 = = 1 =   3 3  3 2 −2 1 1 1 1 1 1• 3 = :3 = ⋅ = = 2 =   3 3 3 9 3  3Para todo número racional a, com a ≠ 0, definimos: n −n 1 1 1a = n =   , em que n é um número natural e é o inverso de a. a a a −n n a 1 1 bn bn  b Observação:   = n = n =1⋅ n = n =   b  a a a a a   b bnExemplos: 1 1 −2 2 a) 7 −2 = 2=  2  3 9 49 c)  −  = −  = 7  3  2 4 −1 −3 3 1 1 1 5  7  2 8 d) (− 3,5) −3 b)   = = = 1⋅ = 5 = −  = −  = − 5 1 1 1 1  2  7 343   5 5
  12. 12. 11Raiz quadrada exata de números racionaisNa radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional,estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador.Exemplos: 25 52 5a) = 2 = 64 8 8 144 12 2 12 6b) 1,44 = = = = 100 10 2 10 5c) 1024 = 210 = 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32 Fatoração completa 1024 2 515 2 256 2 128 2 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 81 32 ⋅ 32 3⋅3 9d) = == = 121 112 11 11 Fatoração completa 81 3 121 11 27 3 11 11 9 3 1 3 3 1
  13. 13. 12 441 32 ⋅ 7 2 (3 ⋅ 7) 2 212 21e) 4,41 = = = = = = 2,1 100 2 2 ⋅ 52 (2 ⋅ 5) 2 10 2 10 441 32 ⋅ 7 2 3 ⋅ 7 21ou 4,41 = = = = = 2,1 100 2 2 ⋅ 5 2 2 ⋅ 5 10 Fatoração completa 441 3 100 2 147 3 50 2 49 7 25 5 7 7 5 5 1 1Expressões numéricas 4 2  1  1Paulo e Beto resolveram a expressão:  −  :  −  − 4 −1 ⋅ 0,25  5  5Só que eles percorreram caminhos diferentes. Veja os cálculos que cada um fez: Paulo preferiu calcular com frações Beto optou pela forma decimal 4 2 4 2  1  1 −1  1  1 −1  −  :  −  − 4 ⋅ 0,25 =  −  :  −  − 4 ⋅ 0,25 =  5  5  5  5 (− 0,2)4 : (− 0,2)2 − 11 ⋅ 0,5 = 2  1 1 25 −  − 1 ⋅ = 4  5 4 100 1 1 5 − ⋅ = (− 0,2)2 − 1 ⋅ 0,5 = 25 4 10 4 1 5 0,04 − 0,25 ⋅ 0,5 = − = 0,04 − 0,125 = 25 40 8 − 25 − 0,085 = 200 − 17 = 200 17 − 200
  14. 14. 13Estudo das médiasMédia aritmética e média aritmética ponderadaAs notas de um aluno, em matemática, no 2º Bimestre foram: 1ª Prova Atividade extraclasse 2ª Prova 5,0 8,0 5,0Nessas condições, qual seria a média do aluno no bimestre?Para responder a esta questão, devemos considerar dois casos:1º Caso: O professor não atribuiu pesos diferentes para as notas.Neste caso, pode-se calcular a média do aluno adicionando-se as três notas edividindo-se o resultado por 3, ou seja:5,0 + 8,0 + 5,0 18,0 = = 6,0 3 3A média do aluno é 6,0.Dizemos que o valor 6,0 é a média aritmética dos números 5,0; 8,0 e 5,0. A média aritmética de n números representa a soma de todos os números dividida por n.2º Caso: O professor atribuiu pesos diferentes para cada nota. 1ª Prova Atividade extraclasse 2ª Prova 5,0 (peso 3) 8,0 (peso 2) 5,0 (peso 5)
  15. 15. 14Neste caso, a média do aluno é calculada assim:(3 ⋅ 5,0) + (2 ⋅ 8,0) + (5 ⋅ 5,0) = 15,0 + 16,0 + 25,0 = 56,0 = 5,6 3+ 2+5 10 10A média do aluno é 5,6.Dizemos que o valor 5,6 é a média ponderada dos números 5,0; 8,0 e 5,0, aosquais atribuímos os pesos 3, 2 e 5, respectivamente. Através dos dois casos dados, observamos que uma média depende das regras estabelecidas para seu cálculo.Referências bibliográficas[1] A conquista da matemática (5ª a 8ª Série). Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora FTD.[2] Matemática (Projeto Araribá) (5ª a 8ª Série). Editora Moderna.[3] Tudo é matemática (5ª a 8ª Série). Luiz Roberto Dante. Editora Ática.[4] Matemática hoje é feita assim (5ª a 8ª Série). Antonio José Lopes Bigode. Editora FTD.

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