1. Prof. Flavio Fernandes
Números decimais:
A notação decimal
A necessidade dos seres humanos de registrar números que não são inteiros é muito
antiga. No Egito Antigo, os faraós tinham funcionários que mediam e demarcavam os terrenos.
Eles usavam cordas, com nós separados sempre pela mesma distância. Para medir um
comprimento, a corda era esticada e se verificava quantas vezes a unidade de medida cabia
neste comprimento. Como nem sempre a unidade de medida não cabia em um inteiro, foi
preciso criar uma maneira para representar isso, o que foi a primeira noção de fração.
Já aprendemos que as frações decimais são aquelas que têm como denominador uma
potência de 10, como 10, 100, 1000, 10000 entre outras. No século XVI novas formas de
registro foram criadas para representar essas frações, utilizando as regras do Sistema de
Numeração Decimal.
Essas idéias foram aperfeiçoadas e hoje funcionam assim:
O sistema decimal é posicional, isto é, o valor do algarismo depende da posição que
ele ocupa no numeral.
...Unidades de milhar Centenas Dezenas Unidades
Cada ordem vale dez vezes a ordem que está imediatamente à sua direita, ou cada
ordem é a décima parte da ordem que está imediatamente à esquerda.
Se prosseguirmos com o mesmo padrão, criando ordens à direita da unidade, teremos:
Décimos de
...Unidades, Décimos Centésimos Milésimos
milésimos...
Coloca-se uma vírgula para
separar a parte inteira da parte
fracionária
Registramos a décima parte da unidade como 0,1, que é a representação decimal de
:
= 0,1 (um décimo ou zero vírgula um)
A centésima parte da unidade corresponde a 0,01:
= 0,01 (um centésimo ou zero vírgula zero um)
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A milésima parte da unidade corresponde a 0,001:
= 0,001 (um milésimo ou zero vírgula zero zero um)
O número de casas à direita da vírgula é igual ao número de zeros da potência de dez que
está no denominador da fração.
Exemplo:
= 0,0003 (Três décimos de milésimos ou zero vírgula zero, zero, zero três)
Confira a tabela de leitura dos números decimais:
Parte inteira Vírgula Parte decimal
Unidade
de Centena Dezena Unidade décimo centésimo milésimo
milhar
1
0 , 1
0 , 0 1
0 , 0 0 1
Toda fração cujo denominador é uma potência de 10 chama-se fração decimal. As
frações decimais podem ser representadas da forma decimal, conforme percebe-se nos
exemplos anteriores.
Atualmente, o uso dos números em forma decimal é muito mais comum do que na
forma fracionária e podem aparecer expressando valores monetários, mediadas, ordem de
grandeza ou porcentagens, entre outros.
Propriedades dos numerais decimais:
Um numeral decimal não se altera quando retiramos ou
acrescentamos um ou mais zeros à direita de sua parte decimal.
Exemplo:
23,1 = 23,10 = 23,100 = 23,1000 = 23,10000
Note que:
23,1 = = = ...
Para multiplicar um numeral decimal por 10, por 100, por 1000, etc.,
basta deslocar a vírgula uma, duas, três ou mais casas decimais para
a direita.
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23,1 x 10 = . = = 231
23,1 x 100 = . = = 2310
Para dividir um numeral decimal por 10, por 100, por 1000... basta
deslocar a vírgula uma, duas, três ou mais casas decimais para a
esquerda.
23,1 ÷ 10 = ÷ = . = 2,31
23,1 ÷ 100 = ÷ = . = 0,231
Leitura dos números decimais:
Para fazer a leitura de um número decimal, devemos ler:
a) A parte inteira do número.
b) A parte decimal do número seguido da palavra:
• Décimos, se a parte decimal tem apenas um algarismo.
• Centésimos, se a parte decimal tem dois algarismos.
• Milésimos, se a parte decimal tem três algarismos
Vamos fazer a leitura do número 2,8.
C D U d c m
2 , 8
Lê-se: dois inteiros e oito décimos
Vamos fazer a leitura do número 6,25:
C D U d c m
6 , 2 5
Lê-se: seis inteiros e vinte e cinco centésimos
Vamos fazer a leitura do número 4,206
C D U d c m
4 , 2 0 6
Lê-se: quatro inteiros e duzentos e seis milésimos
Faça a leitura do número 0,047
C D U d c m
0 , 0 4 7
Lê-se: quarenta e sete milésimos.
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Quando a parte inteira for zero, lemos apenas a parte decimal.
Comparação de números decimais
Observe os exemplos:
1.
0,40
0,4
Como já foi visto anteriormente, um número decimal não se altera quando se
acrescenta ou se suprime um ou mais zeros à direita de sua parte decimal, portanto,
podemos concluir que 0,4 (quatro décimos) é igual a 0,40 (quarenta centésimos).
Veja outros exemplos:
2,55 = 2,550 = 2,55000
0,00100 = 0,0010 = 0,001
2. Quem é maior, 2,3 ou 1,4?
2,3 1,4
Quando comparamos dois números decimais, o maior é o que tem a parte
inteira maior.
5,5 > 4,8
9,1 > 8,9
25,234 > 24,999
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3. Quem é maior, 1,32 ou 1,25?
1,35 1,24
Quando comparamos dois números decimais, se as partes inteiras são
iguais, igualamos a quantidade de casas após a vírgula e comparamos as
partes decimais. O maior dos dois números decimais é o que tem maior parte
decimal.
Exemplos:
4,2 > 4,15 pois 4,2 = 4,20 e 4,20 > 4,15 ou, comparando apenas os decimais, 20 > 15
9,7 > 9,124 pois 700 > 124
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Adição e subtração com números decimais
N
a sua viagem de férias, dona Flora está levando duas malas, uma com 14,23
quilos e outra com 9,3 quilos.
Quantos quilos de bagagem a balança vai registrar?
Para resolver esse problema, precisamos juntar as quantidades.
D U d c
1 4 , 2 3
+ 9 , 3 0
2 3 , 5 3
Igualamos as casas decimais e adicionamos conforme a tabela.
A
contece que a companhia aérea em que dona Flora vai viajar oferece a seus
clientes o transporte gratuito de apenas 20 quilos de bagagem. O que tiver a
mais é pago como excesso de bagagem.
Em quantos quilos a bagagem de dona Flora excedeu os 20 quilos?
Para solucionar esse problema, precisamos tirar uma quantidade de outra.
D U d c
2 3 , 5 3
-2 0 , 0 0
3 , 5 3
Igualamos as casas decimais e subtraímos!
Para adicionar ou subtrair dois números decimais:
Colocamos um número embaixo do outro, com vírgula sob
vírgula;
Em seguida, se houver casas vazias, completamos com zeros
Por último, adicionamos ou subtraímos os números decimais
como se fossem números naturais, mantendo a vírgula na
mesma posição das vírgulas das parcelas
Veja outros exemplos:
D U d c
3 , 8 0
-2 , 5 4
1 , 2 6
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D U d c
1 0 , 0 3
+ 5 , 2 0
1 5 , 2 3
Multiplicação de números decimais
A costureira Dalva está calculando quantos metros de tecido gastou nos vestidos que acaba de
fazer. Vamos ajudá-la?
Se para cada vestido, Dalva gasta 2,80 metros, para três vestidos ela gastará três vezes
mais, isto é, 3 x 2,80 m. Então:
3 ∙ 2,80 = 3 ∙ 2,8 = 3 ∙ = = 8,4
Ou
2,8 + 2,8 + 2,8 = 8,4
Usando o quadro posicional: MODO PRÁTICO:
U d U2 d 2
2 , 8 2 , 8 2,8 1 casa decimal
x3 x3
x 3 0 casa decimal
6 24 8 4
8,4 1 casa decimal
24 = 20 + 4 = 2U + 4 d (vinde décimos são 2 unidades).
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Marilda comprou 1,5 quilograma de lagarto no açougue Rincão. Quanto ela gastou?
Pela tabela de preço do açougue, sabemos que o quilograma de lagarto custa R$ 9,30. Se
Marilda comprou 1,5 quilograma, fazemos a multiplicação:
9,30 ∙ 1,50 = 9,3 ∙ 1,5 = ∙ = = 13,95
MODO PRÁTICO:
1
Então Marilda gastou R$ 13,95. 9, 3 1 casa decimal
x 1 ,5 1 casa decimal
465
+93
1 3,9 5 2 casas decimais
No supermercado em que Lena faz compras, a laranja-pêra estava em oferta: R$ 0,98 o
quilograma. Lena comprou 2,5 quilogramas. Qual foi seu gasto?
MODO PRÁTICO:
0,98 2 casas decimais
x 2 ,5 1 casa decimal
490
+196
2, 4 5 0 3 casas decimais
Então, Lena gastou R$ 2,45.
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Para MULTIPLICAR dois números decimais ou para multiplicar um número natural por um
número decimal, realizamos a operação como se fossem números naturais e, no produto,
colocamos um número de casas decimais igual à soma do número de casas decimais dos
fatores
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Atividades: Leitura de números decimais e comparação entre números decimais.
1) Escreva V para verdadeiro e F para falso:
a) 3,15 = 3,150 ( ) d) 3,8 < 3,750 ( ) g) 0,001 < 0,0010 ( )
b) 0,18 = 0,1800 ( ) e) 23,88 < 23,8 ( ) h) 0,002 < 0,0002 ( )
c) 4,015 = 4,15 ( ) f) 13,99 > 14,00 ( ) i) 10,01 = 10,0010 ( )
2) Usando algarismos, escreva na forma decimal os números expressos por:
a) nove inteiros e quatro décimos.
b) seis inteiros e trinta e dois centésimos.
c) oito inteiros e duzentos e treze milésimos.
d) cinco inteiros e um décimo.
e) nove décimos.
f) dois inteiros e quatro centésimos.
g)vinte e dois centésimos.
h) trinta e três milésimos.
3. Usando os símbolos >, < ou =, compare os números:
a) 5,2 ____ 5,3 c) 15,5 ___ 15,4 e) 4,89 ___ 4,718
b) 43,54 ___ 43,540 d) 0,213 ___ 0,4 f) 13,105 ___ 13,1
4. Qual dos números a seguir é o maior: 12,28; 12,7; 9,43 ou 9,4?
5. Escreva cinco números cuja parte inteira é 12, maiores que 12,9.
6. Pinte a parte correspondente em cada figura e responda qual dos dois números decimais é o
maior.
0,3 0,30
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7. Pinte a parte correspondente em cada figura e estabeleça a relação de tamanho entre as
duas partes pintadas.
0,3 0,03
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Atividades: Adição e subtração com números decimais.
1. Antes de comprar uma bicicleta, resolvi fazer uma pesquisa de preços. Escolhi a marca e o
modelo e fui em três lojas. Veja, na tabela abaixo, os dados que recolhi. Qual a diferença de
preços da loja que está cobrando mais caro para que está cobrando mais barato?
Loja Preço
A R$ 108,20
B R$ 93,50
C R$ 135,00
2. Qual a diferença entre os comprimentos dos dois aviões? E entre as alturas deles?
3. Calcule:
a) 3,5 + 2,74 c) 0,15 + 2,85 e) 14,099 + 0,001
b) 0,813 + 1,72 d) 33,4 + 22,0123 f) 15,4 + 11,223
4. Calcule as subtrações:
a) 3,5 - 2,74 c) 14 – 12,99 e) 23,98 – 14,243
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b) 100 – 0,001 d) 56,015 – 55,08 f) 23,9 – 1,55
5. Qual é o número que a letra x está representando?
a) x + 1,8 = 3,9 c) 15,9 – x = 12
b) 78,3 + x = 101,08 d) 31,08 – x = 22,4
6. Esta é uma tabela de dupla entrada, que você preenche adicionando os números das linhas
e das colunas. Resolva cada uma das adições:
+ 0,25 0,5 0,75 1 1,25
0,1 0,35
0,25
0,5
0,75 1,50
1
1,25 2,50
Pesquise:
Escolha uma marca e um modelo de notebook e pesquise o preço em três lojas diferentes
(pode ser lojas virtuais).
Loja Preço
Qual é a diferença entre o preço maior e o preço menor? (Caso tenha pesquisado na
internet, registre os sites consultados).
Desafio:
Dois automóveis partiram, em sentidos contrários, de dois pontos, A e B, distantes entre si 100
quilômetros. Um deles percorreu 22,43 quilômetros e parou. O outro percorreu 34,15
quilômetros e parou. Qual é, agora, a distância entre os dois automóveis?
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14. Prof. Flavio Fernandes
Atividades: Multiplicação de números decimais
1. Qual o valor total da impressora?
2. Para a casa de Marina ficar pronta, só
falta colocar o rodapé na sala.
a) Que comprimento total de rodapé
Marina deverá comprar?
b) Mariana fez uma pesquisa de preços de
rodapés, e o mais baixo que encontrou foi
R$ 4,90 o metro. Quanto ela irá gastar?
3. Um carro faz, em média, 12,5 quilômetros com um litro de gasolina. Quantos quilômetros
terá rodado, em média, depois de consumir:
a) 6 litros de gasolina? b) 25 litros de gasolina? c)38,5 litros de gasolina?
4. A velocidade de um navio é 20 nós. Mantendo essa velocidade, quantos quilômetros
percorrerá em:
a) 2 horas?
b) 3,5 horas?
Obs: Um nó equivale a 1,852 quilômetros por hora.
5. Complete a tabela com os dados que faltam:
Quantidade Produto Preço unitário R$
25 Lápis 0,46
18 Borracha 0,35
32 Pasta-fichário 6,5
500 CD 1,10
7 Grampeador 4,58
Total
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6. Na mercearia, Elvira comprou 3 kg de arroz, 1 kg de feijão, 5 kg de batata e meio quilo de
café.
7. Complete a tabela multiplicando linha por coluna:
x 0,25 0,5 0,75 1 1,25
2 0,50
3
0,5
4 3
1
5 2,50
Referências:
ANDRINI, Álvaro. Novo Praticando Matemática. São Paulo: editora do Brasil, 2002.
BONJORNO, José Roberto. Matemática: fazendo a diferença – 1. ed. São Paulo: FTD, 2006.
IEZZI, Gelson. Matemática e realidade: 5ª série – 5. ed. – São Paulo: Atual, 2005.
LANNES, Rodrigo. Matemática, volume 1 – São Paulo: Editora do Brasil, 2001.
GIOVANNI, José Ruy; PARENTE, Eduardo. Aprendendo Matemática: novo. São Paulo: FTD,
1999.
GIOVANNI, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998
ROSA, Ernesto. Matemática: construir e aprender. São Paulo: FTD, 2004.
FERNANDES, Flavio. Organização e Adaptação. Chapecó, 2008.
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