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Mat grandezas proporcionais regra de tres simples
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Mat grandezas proporcionais regra de tres simples

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  • 1. Grandezas ProporcionaisTudo o que possa ser mensurado, medido, contado é definido como grandeza, assim: O tempo, a massa deum corpo,a velocidade de um trem, o comprimento de uma rua, a área de um terreno e a capacidade de trabalho de umapessoa sãoexemplos de grandezas.Por inúmeras vezes em nosso dia a dia vivemos situações em que relacionamos duas ou mais grandezas.Analisemos algumas dessas situações :Exemplo I - Dúzias de laranjas e o preço pago por elasExemplo II - Latas de tinta e área a ser pintadaExemplo III - Velocidade de um automóvel e o tempo gasto para percorrer certa distanciaExemplo IV - Número de operários e o tempo gasto numa obraExemplo V - A idade de uma criança e a sua estatura Grandezas Diretamente ProporcionaisDuas grandezas são definidas como diretamente proporcionais quando o aumento de uma deles ocasionar oaumento proporcionalda outra, ou da mesma forma, quando a diminuição de uma delas significar a diminuição proporcional daoutra.Analisemos com auxilio da tabela abaixo o nosso exemplo II :Quanto pagarei por ... dúzias de laranjas se por uma dúzia pago R$ 1,30Laranjas Preço 1 dúzia R$ 1,30 2 dúzias R$ 2,60 3 dúzias R$ 3,9010 dúzias R$ 13,00Observemos que :Se a quantidade de dúzias de laranjas dobrar, o preço a ser pago também dobrará.Se a quantidade de dúzias de laranjas triplicar, o preço a ser pago também triplicará.Se a quantidade de dúzias de laranjas for multiplicada por 10, o preço a ser pago também ficará multiplicadopor 10.Observemos, que as razões entre as dúzias de laranjas e o preço a ser pago são sempre iguais.Neste caso as duas grandezas envolvidas, quantia a ser paga e quantidade de dúzias de laranjas, sãochamadasgrandezas diretamente proporcionais.Analisemos, agora, com auxilio da tabela o nosso exemplo II:
  • 2. Para pintar uma parede de 32 m2 gasto 1 lata de tinta, quantas latas de tinta gastarei para pintar ..... Área a serLatas de Tinta pintada 1 lata 32 m2 2 latas 64 m2 3 latas 96 m2 15 latas 480 m2Observemos que :Se a quantidade de latas de tinta dobrar, a área a ser pintada também dobrará.Se a quantidade de latas de tinta triplicar, a área a ser pintada também triplicará.Se a quantidade de latas de tinta for multiplicada por 15, a área a ser pintada também ficará multiplicado por15.Observemos, que as razões entre as latas de tinta e a área a ser pintada são sempre iguais.Também neste caso as duas grandezas envolvidas, latas de tinta e área a ser pintada, são GrandezasDiretamenteProporcionais. Grandezas Inversamente ProporcionaisDuas grandezas são definidas como inversamente proporcionais quando o aumento de uma deles ocasionaruma diminuiçãoproporcional da outra, ou da mesma forma, quando a diminuição de uma delas significar um aumentoproporcional da outra.Analisemos, agora, com auxilio da tabela abaixo o nosso exemplo III :Viajando a 20 km/h percorro uma certa distância em 12 horas, quanto tempo levarei se viajar a ... km/hVelocidade Tempo 20 km/h 12 horas 30 km/h 8 horas 40 km/h 6 horas 80 km/h 3 horasObservemos que :Se a velocidade dobrar, o tempo decorrido se reduzirá a metade.Se a velocidade triplicar, o tempo decorrido se reduzirá à sua terça parte.Se a velocidade for multiplicada por 4, o tempo decorrido será dividido por 4.Observemos, que as razões entre as velocidades e o inverso dos tempos decorridos são sempre iguais, ou deuma forma
  • 3. mais prática, o produto entre a velocidade e o tempo é sempre constante.Neste caso as duas grandezas envolvidas, velocidade e o tempo decorrido, são chamadasGrandezas Inversamente ProporcionaisAnalisemos com auxilio da tabela abaixo o nosso exemplo IV :3 operários pavimentam uma rua em 24 dias, quantos operários serão necessários para pavimentar a mesmaestrada em .... dias. Operários Tempo 3 operários 24 dias 4 operários 18 dias 6 operários 12 horas12 operários 6 horasObservemos que :Se o número de operários dobrar, o tempo da obra se reduzirá a metade.Se o número de operários triplicar, o tempo da obra se reduzirá à sua terça parte.Se a velocidade for multiplicada por 4, o tempo da obra será dividido por 4.Observemos, que as razões entre o número de operários e o inverso do tempo da obra são sempre iguais, oude uma formamais prática, o produto entre o número de operários e o tempo da obra é sempre constante.Neste caso as duas grandezas envolvidas, número de operários e o tempo da obra, são chamadas GrandezasInversamenteProporcionais Grandezas Não ProporcionaisEm muitas situações de nosso dia a dia nos deparamos com grandezas não proporcionais. O nosso exemploV é um dessescasos, não podemos estabelecer proporcionalidade entre as grandezas idade de uma criança e a sua estatura.Se uma criança de 5 anos tem 80 cm de altura, nada nos leva a concluir que aos 10 anos ela terá 1,60 m, ouque aos 15 anosela teria proporcionalmente 2,40 m e teria, nessa proporção, inimagináveis 8 metros de estatura aos 50 anosde idade.Portanto, são inúmeras as grandezas que não guardam entre si qualquer tipo de proporcionalidade. Regra de Três
  • 4. Definimos regra de três como sendo a regra prática que utilizamos para a resolução de problemas envolvendograndezasproporcionais, sejam elas diretamente ou inversamente proporcionais. Regra de Três SimplesUma regra de três é simples quando envolve, tão somente, duas grandezas proporcionais.I - Se as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais dizemos que a Regra de Três é Simples e Direta.II - Se as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais dizemos que a Regra de Três é Simples eInversa.E como regra de três se aprende exercitando, vamos a alguns exemplos :Exemplo 1 - Por três quilos de cenouras pago R$ 2,25 , quanto pagarei por 5 quilos de cenouras ?Ao compararmos as grandezas quilos de cenouras e preço a pagar percebemos que elas são diretamenteproporcionais,já que quanto mais de cenoura eu compro mais eu tenho que pagar e com isso as razões entre suas medidassão iguais.Montando a igualdade entre essas razões teremos :Esse é um exemplo de uma Regra de Três Simples e DiretaExemplo 2 - Um relógio atrasa 7 segundos a cada 10 minutos. Quanto atrasará em 4 horas e 30 minutos ?Ao compararmos as grandezas segundos de atraso e tempo percebemos que elas são diretamenteproporcionais, já quequanto mais tempo o relógio funcionar mais atrasado ele ficará e com isso as razões entre suas medidas sãoiguais.Montando a igualdade entre essas razões teremos :Antes porém transformemos 4 h 30 min em minutos è 4 x 60 + 30 = 270 minEsse é mais um exemplo de uma Regra de Três Simples e DiretaExemplo 3 - Viajando a 60 km/h chego em Rezende em 4 horas, Em quanto tempo chegarei se aumentar aminha velocidadepara 80 km/h ?Ao compararmos as grandezas velocidade e o tempo gasto percebemos que elas são inversamenteproporcionais, já que quantomaior a minha velocidade menos tempo gastarei para chegar a meu destino e com isso a razão entre asmedidas da grandezavelocidade será igual ao inverso da razão entre as medidas da grandeza tempo. Montando a igualdade entreessas razões teremos :
  • 5. Esse é um exemplo de uma Regra de Três Simples e InversaNa prática o que fazemos é igualar uma das razões ao inverso da outra razãoExemplo 4 - Tenho uma certa quantidade de livros para distribuir entre meus melhores alunos, se escolher 6deles darei a cada um12 livros. Quantos alunos acabei escolhendo se cada um deles recebeu 8 livros?Ao compararmos as grandezas numero de alunos e quantidade individual de livros percebemos que elas sãoinversamenteproporcionais, já que quanto maior for o número de alunos escolhidos menor será a quantidade de livrosrecebidos por cadaum deles e com isso a razão entre a quantidade de livros será igual ao inverso da razão entre a quantidade dealunos escolhidos.Montando a igualdade e dessa vez já invertendo uma das razões, teremos :Esse é mais um exemplo de uma Regra de Três Simples e Inversa Regra de Três Simples - Exercícios Propostos01) Se 5 kg de café custam R$ 7,50 quanto se deverá pagar por 12 kg ?02) Em cada 5 voltas, um parafuso avança 3,5 mm. Quantas voltas dará para avançar 4,2 mm ?03) Um mecânico torneia 84 peças em 6 horas. Quantas peças ele tornearia em 8 horas de trabalho ?04) Em uma prova de valor 7, Rodrigo obteve a nota 5,6. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtidapor Rodrigo ?05) A água do mar contém 2,5 g de sal para cada 100 ml de água. Quantos gramas de sal teremos em 5 litrosde água do mar ?06) Um trem, com velocidade de 48 km/h, gasta 1 hora e 20 minutos para percorrer certa distância. Para fazero mesmo percurso a60 km/h o trem gastaria.07) Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em 75 minutos. Em quanto tempo 5 torneiras,semelhantes às primeirase completamente abertas, encheriam esse mesmo tanque ?08) Para fazer uma cerca, são necessários 80 postes distantes entre si de 2,5 m. Quantos postes serãonecessários, se a distânciaentre eles for de 2 m?09) Se 3,5 kg de feijão custam R$ 4,55, quanto custarão 6,5 kg ?10) Junior pagou R$ 4,20 por 6 kg de farinha. Quanto pagará por 8,5 kg ?11) Com 100 kg de trigo podemos fabricar 65 kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessáriospara fabricar 136,5 kg defarinha?12) Ricardo comprou 4,70 m de fita por R$ 11,28, quanto pagaria por 7,40 m da mesma fita?13) Se 22 litros de álcool custam R$ 12,10, qual será o preço de 27 litros ?
  • 6. 14) Em 5 ha de um sítio foram plantados 8 000 pés de café. Quantos hectares seriam necessários para seremplantados 36 000 pésde café ?15) Com 72 kg de lã, faz-se uma peça de fazenda de 63 m de comprimento. Quantos kg de lã seriamnecessários para fazer 84 m damesma fazenda?16) Com o preço equivalente a 1,6 kg de frango posso comprar 10 kg de milho. Quantos quilos de frangonecessitarei para comprar1,8 toneladas de milho ?17) Determine o número de tacos de 6 cm de largura por 24 cm de comprimento necessários para assoalharuma sala de 3,6 m delargura por 4,2 cm de comprimento.18) Pedro comprou 2,4 m de tecido para fazer uma calça. Quantos metros de tecido seriam necessários paraque Pedro pudessefazer 9 calças iguais.19) Um determinado relógio atrasou 26 minutos em 48 horas. Determine o atraso em 30 dias.20) As dimensões de um tanque retangular são 1,5 m, 2,0 m e 3,0 m. Com uma torneira de vazão igual a 10litros por minuto, qual omenor tempo gasto para enchê-lo ?21) Uma vara de 5 m, colocada em posição vertical, projeta no chão uma sombra de 3,5 m. Calcule a altura deum prédio que, namesma hora e o mesmo local, projeta uma sombra de 12,6 m.22) Um edifício projeta uma sombra de 12 m no mesmo instante em que um objeto de 2 m de altura projetauma sobra de 80 cm.Calcule a altura do edifício.23) Numa viagem de automóvel, uma pessoa gastou 9 horas andando à velocidade de 80 km/h. Na volta,quanto tempo irá gastar,se andar com velocidade de 100 km/h ?24) Abrindo completamente 3 torneiras idênticas consegue-se encher um tanque com água em 2 h 24 min.Dispondo-se de 5 dessastorneiras, em quanto tempo é possível encher o mesmo tanque?25) Trabalhando 10 horas por dia, certa máquina faz um trabalho em 240 dias. Se a mesma máquina funcionar8 horas por dia, emquantos dias fará o mesmo trabalho?26) Uma torneira enche um tanque de 100 litros em 1 hora, enquanto uma segunda gasta 2 horas. As duasjuntas encherão o tanqueem quanto tempo?27) Para escrever um texto, usando 54 letras por linha, foram necessárias 15 linhas. Quantas linhas serãonecessárias para 30 letrasem cada linha?28) Cinco pedreiros constroem uma casa em 300 dias. Quantos dias serão necessários para que 10 pedreirosconstruam essa mesmacasa?29) Para fazer um determinado serviço, 15 homens gastam 40 dias; para fazer o mesmo serviço, em 30 diasquantos novos operários
  • 7. têm de ser contratados?30) Se 15 operários levam 10 dias para completar um certo trabalho, quantos operários farão esse mesmotrabalho em 6 dias.31) Num campeonato, há 48 atletas e alimento suficiente para um mês. Com a eliminação de 16 atletas paraquantos dias dará aquantidade de alimento ?32) Três operários constroem uma piscina em 10 dias. Quantos dias levarão 10 operários para construírem amesma piscina?33) ( EsPECEx - 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em10 km/h, teria percorridoessa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h.34) ( Vunesp - SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas pordia. Se o prazo concedidofosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado :A) 2 horas a menos por dia B) 2 horas a mais por diaC) 3 horas a menos por dia D) 3 horas a mais por dia Regra de Três Simples - Respostas dos Exercícios Propostos

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