Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidos

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Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidos

  1. 1. Exercícios Resolvidos de Fatoração AlgébricaExemplo 19) Fatore c2 - 2bc - a2 + b2 2 2 2 2 2 2Reagrupando o polinômio, teremos : b - 2bc + c - a = (b - 2bc + c ) - a 2 2 2O trinômio b - 2bc + c pode ser fatorado como : (b - c) 2 2E dessa forma, teremos a diferença de dois quadrados (b - c) - a , e finalmente, teremos : 2 2(b - c) - a = (b - c + a) (b - c - a) 8 4Exemplo 20) Fatore: 5m + 10m - 15Percebemos que o fator 5 pode ser evidenciado, Assim: 8 4 8 45m + 10m - 15 = 5(m + 2m - 3) 8 4O trinômio m + 2m - 3 não é um trinômio quadrado perfeito, mas poderá ser um trinômio de Stevin.E realmente o é, pois os números 3 e -1, têm por soma 2 e por produto - 3, e a soma aparece multiplicada pelaraiz quadrada m4 8de m . 8 4 8 4 4 4Dessa forma, teremos : 5m + 10m - 15 = 5(m + 2m - 3) = 5(m + 3) (m - 1) 4 2 2 2 8 4 4 2E como (m - 1) = (m + 1) (m - 1) , e como (m - 1) (m + 1)(m - 1) teremos : 5m + 10m - 15 = 5(m + 3)(m + 1)(m+ 1)(m - 1) 2Exemplo 21) Fatore: (x - y) + 2(y - x) - 24 2 2Antes de mais nada, lembremos que (x - y) = (y - x) ( verifique se isso é verdade ) 2Com isso podemos escrever a expressão dada como : (y - x) + 2(y - x) - 24Para facilitar o reconhecimento do caso de fatoração, chamemos o binômio (y - x) de A, então : 2 2(y - x) + 2(y - x) - 24 = A + 2A - 24O trinômio não é quadrado perfeito, mas parece ser de Stevin.Verificando, percebemos que os números - 4 e + 6 têm por soma + 2 e por produto - 24 e a soma + 2 aparecemultiplicada pela raiz 2quadrada A de A . 2 2E assim : A + 2A - 24 = (A + 6) (A - 4) e como A = y - x, finalmente teremos: (x - y) + 2(y - x) - 24 = (y - x + 6) (y -x - 4) 6 6Exemplo 22) Fatore x - y1ª Resolução: Considerando uma diferença de dois cubosComo ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada. 6 2 2 2A raiz cúbica de x6 é x2 e a raiz cúbica de y é y . Assim já temos o nosso primeiro fator x - y 2 4 2 2 2 2A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de x é x ; o produto entre x e y é x y e oquadrado do 2 4segundo é y é y .E dessa forma, teremos: 6 6 2 2 4 2 2 4 2 2x - y = (x - y ) ( x + x y + y ). Como a diferença de quadrados (x - y ) ainda pode ser fatorado, teremos :
  2. 2. 6 6 4 2 2 4x - y = (x + y) (x - y) ( x + x y + y ). 4 2 2 4Se escrevermos o trinômio ( x + x y + y ) de uma outra forma, perceberemos que ele também poderá serfatorado. Vejamos : 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2x + x y + y = x + 2x y + y - x y = (x + y ) - x y , que é uma diferença de dois quadrados. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2Assim : (x + y ) - x y = ( x + y + xy) ( x + y - xy) = ( x - xy + y ) ( x + xy + y ). E finalmente : 6 6 2 2 2 2x - y = (x + y) (x - y) ( x - xy + y ) ( x + xy + y )2ª Resolução: Considerando uma diferença de dois quadrados. Como ambos são quadrados, temos umadiferença de doisquadrados. 6 3 6 3A raiz quadrada de x é x e a raiz quadrada de y é y . 3 3 3 3Assim já temos o nosso primeiro fator (x + y ) e o segundo fator (x - y ).Assim, teremos : x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) . 3 3 3 3Como a soma e a diferença de dois cubos (x + y ) e (x - y ) ainda podem ser fatorados, teremos : 6 6 3 3 3 3 2 2 2 2x - y = (x + y ) (x - y ) = (x + y) ( x - xy + y ) (x - y) ( x + xy + y ) , ou ainda : 6 6 2 2 2 2x - y = (x + y) (x - y) ( x - xy + y ) ( x + xy + y )OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTESempre que fatoramos uma expressão algébrica ou quando efetuamos um produto notável devemos utilizar osinal de identidadeque é uma ampliação do conceito de igualdade.Vamos entender melhor essa diferenciação:Quando afirmamos que 3x + 4 = 19, sabemos que apenas o valor de x = 5 tornará verdadeira essa sentença.Nesse caso utilizaremos o sinal de igualdade.Quando afirmamos que 2(x + 3) = 2x + 6, percebemos que qualquer valor de x, torna essa sentença verdadeira.Nesse caso devemos utilizar o sinal de identidade .E escrevermos :Assim o correto seria utilizarmos o sinal de identidade para todos os casos de produtos notáveis e, também,de fatoração.Assim, por exemplo : Fatoração Algébrica - Exercícios PropostosI - Fatore colocando em evidência
  3. 3. II - Fatore os trinômios quadrados perfeitosIII - Fatore as diferenças entre quadradosIV - Fatore os trinômios de StevinV - Fatore as Somas ou diferenças entre dois cubosVI - Fatore por agrupamentoVII - Fatore as expressões algébricas Resposta dos Exercícios Propostos de Fatoração Algébrica

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