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Mat equacoes do 1 grau  004
 

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  • Fazem 34 anos que eu não entro em uma sala de aula estou fazendo o ultimo ano do ensino médio alguém pode me ajudar por gentileza?
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  • Alguém pode determinar esta equação do 1º grau com duas incognitas?
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    Mat equacoes do 1 grau  004 Mat equacoes do 1 grau 004 Document Transcript

    • Equações do 1º grau (Parte 4) Profa. Dra. Denise Ortigosa StolfSumário PáginaEquações do 1º grau com duas incógnitas ...................................................................... 1 Solução de uma equação do 1º grau com duas incógnitas ....................................... 2Par ordenado e plano cartesiano ..................................................................................... 6Gráfico da equação ax + by = c....................................................................................... 7Sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas ............................................ 9 Solução de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas ................10 Método da substituição ....................................................................................... 11 Método da comparação ....................................................................................... 12 Método da adição................................................................................................ 14 Representação gráfica de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas................................................................................................................ 16Referências bibliográficas............................................................................................. 20 "Sempre que desconheceres algo, chama-o de x e empenha-te em investigá-lo" (Albert Einstein)
    • 1EQUAÇÕES DO 1º GRAUEquações do 1º grau com duas incógnitasObserve esta situação:► Uma equipe de basquete disputa, em um torneio, 4 jogos. No quadroseguinte, vamos colocar todas as possibilidades de vitórias e de derrotas dessaequipe no torneio: Vitórias Derrotas Partidas disputadas 4 0 4+0=4 3 1 3+1=4 2 2 2+2=4 1 3 1+3=4 0 4 0+4=4Indicando-se pela letra x o possível número de vitórias e pela letra y o possívelnúmero de derrotas, a sentença “Uma equipe de basquete disputa, em umtorneio, 4 jogos” pode ser representada pela sentença matemática: x+ y=4Essa sentença matemática é chamada equação do 1º grau com duas incógnitas.Assim, podemos afirmar: Toda equação que pode ser reduzida a uma equivalente da forma ax + by = c ,com a ≠ 0 e b ≠ 0 , denomina-se equação do 1º grau com duas incógnitas, x e y.Exemplos de equações de 1º grau com duas incógnitas:a) x + y = 23b) x − y = 19c) 3 x + y = 7d) 2 x − 3 y = 31
    • 2Solução de uma equação do 1º grau com duas incógnitas► Considerando a equação 2 x + 5 y = 16 , quais devem ser os valores dosnúmeros x e y para que a igualdade seja verdadeira?Observe:a) Se atribuirmos a x o valor 3 e a y o valor 2, teremos:2 x + 5 y = 162 ⋅ 3 + 5 ⋅ 2 = 166 + 10 = 1616 = 16 → a igualdade é verdadeirab) Considerando a x = −2 e y = 4 , teremos:2 x + 5 y = 162 ⋅ (−2) + 5 ⋅ 4 = 16− 4 + 20 = 1616 = 16 → a igualdade é verdadeira 1c) Considerando a x = e y = 3 , teremos: 22 x + 5 y = 16 12 ⋅ + 5 ⋅ 3 = 16 21 + 15 = 1616 = 16 → a igualdade é verdadeirad) Considerando a x = 4 e y = 1 , teremos:2 x + 5 y = 162 ⋅ 4 + 5 ⋅ 1 = 168 + 5 = 1613 = 16 → a igualdade não é verdadeira, pois 13 ≠ 16
    • 3 2e) Considerando a x = −4 e y = , teremos: 52 x + 5 y = 16 22 ⋅ (−4) + 5 ⋅ = 16 5− 8 + 2 = 16− 6 = 16 → a igualdade não é verdadeira, pois − 6 ≠ 16Através do que foi visto, você notou que existem vários pares de números quetornam verdadeira a equação:• x=3 e y=2• x = −2 e y = 4 1• x= e y=3 2Todos esses pares de valores são soluções da equação 2 x + 5 y = 16 . Os outrospares não são soluções da equação dada.Então: Uma equação do 1º grau com duas incógnitas tem infinitas soluções. Cada solução da equação é um par ordenado de números: o primeiro número representa sempre o valor de x, enquanto o segundo representa sempre o valor de y. Daí o nome par ordenado. Indica-se: (x, y).Assim:• O par de valores formado por x = 3 e y = 2 é uma solução da equação 2 x + 5 y = 16 . Essa solução pode ser indicada por (3, 2).• O par de valores formado por x = −2 e y = 4 é uma solução da equação 2 x + 5 y = 16 . Essa solução pode ser indicada por (−2, 4). 1• O par de valores formado por x = e y = 3 é uma solução da equação 2 1  2 x + 5 y = 16 . Essa solução pode ser indicada por  , 3  . 2 
    • 4As soluções de uma equação do 1º grau com duas variáveis podem serencontradas atribuindo-se valores para a incógnita x (ou para a incógnita y) e, aseguir, calculando-se o valor da outra incógnita.Exemplos:a) Determinar pelo menos três pares ordenados que sejam soluções da equação2x + y = 3 .Vamos atribuir valores arbitrários para x, calculando em seguida o valor de y: 2 Para x = 1 Para x = −4 Para x = 3 2x + y = 3 2x + y = 3 2x + y = 3 2 ⋅1 + y = 3 2 ⋅ (−4) + y = 3 2 2⋅ + y = 3 2+ y =3 −8+ y = 3 3 y =3−2 y =3+8 4 + y =3 y =1 y = 11 3 (−4,11) 4 (1,1) y =3− 3 9−4 y= 3 5 y= 3  2 5  ,   3 3  2 5Logo, os pares (1, 1), (−4, 11) e  ,  são algumas das soluções da equação  3 32x + y = 3 .
    • 5b) Determinar uma solução da equação 3 x − 7 y = −12 , na qual y = 6.3 x − 7 y = −123 x − 7 ⋅ 6 = −123 x − 42 = −123 x = −12 + 423 x = 30 30x= 3x = 10Logo, o par ordenado (10, 6) é uma solução da equação.c) Sabe-se que 2 x + 3 y = 7 . Se x = 2m + 1 e y = m − 3 , determinar o valor de m,de x e de y. 2x + 3 y = 7 Vamos calcular o valor de x e de y: 2 ⋅ (2m + 1) + 3 ⋅ (m − 3) = 7 x = 2m + 1 y = m−3 4m + 2 + 3m − 9 = 7 x = 2⋅ 2 +1 y = 2−3 7m − 7 = 7 x = 4 +1 y = −1 7m = 7 + 7 x=5 7 m = 14 Portanto, m = 2, x = 5 e y = −1. 14 m= 7 m=2d) Sabe-se que y = 10 − 3 x . Nessas condições, determinar o valor de x naequação 7 x − 3 y = 18 .7 x − 3 y = 187 x − 3 ⋅ (10 − 3 x) = 187 x − 30 + 9 x = 1816 x = 18 + 3016 x = 48 48x= 16x=3Logo, temos x = 3.
    • 6Par ordenado e plano cartesianoEm 1637, ao publicar seu livro La Geométrie, o filósofo e matemático francêsRené Descartes lançou a idéia de que um par de números, disposto numa certaordem, poderia determinar uma posição no plano.Usamos o sistema de Descartes, conhecido como sistema de coordenadascartesianas, para fazer, por exemplo, gráficos, mapas de ruas ou mapas-mundi.Vamos ver como se constrói um sistema de coordenadas cartesianas:• partindo-se de um ponto de referência, são traçadas duas retas perpendiculares e orientadas;• cada reta orientada é chamada de eixo. Observe que o sentido de cada eixo indica o crescente dos números;• o eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou normalmente eixo x;• o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas ou normalmente eixo y;• o ponto de intersecção dos dois eixos recebe o nome de origem do sistema, e corresponde ao par ordenado (0,0);• nos eixos, a cada ponto fazemos corresponder um número: os números positivos à direita e acima da origem; os números negativos à esquerda e abaixo da origem.• o sistema assim formado recebe o nome de plano cartesiano.• os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro partes iguais, chamadas quadrantes:Dessa maneira um ponto P (x, y) pode ser representado por um par de númerosque chamamos de par ordenado. O primeiro número do par indica a abscissa doponto e o segundo número indica a ordenada. Por exemplo, P (3, 4), teria suarepresentação assim:
    • 7Gráfico da equação ax + by = cConsidere a equação x + y = 2 . Vamos escolher algumas soluções dessa equaçãoe desenhar os gráficos dessas soluções. x y =2− x ( x, y) 0 y =2−0=2 (0, 2) 1 y = 2 −1 = 1 (1, 1) 2 y =2−2=0 (2, 0) −1 y = 2 − (−1) = 3 (−1, 3) 3 y = 2 − 3 = −1 (3,−1)Para construirmos o gráfico dessa equação, temos que utilizar esses paresordenados, onde o primeiro valor de cada par ordenado é o valor de x e osegundo valor é sempre o valor de y.A construção de qualquer gráfico é feita no plano cartesiano, que tem o eixo x eo eixo y. Esses pares ordenados quando colocados no gráfico representampontos do gráfico, veja:
    • 8Observe que todos os pontos do gráfico estão alinhados, portanto, ligando essespontos, temos uma reta.Essa reta é a representação gráfica da equação x + y = 2 e contém todos ospontos soluções da equação. Como a reta é uma figura geométrica formada porinfinitos pontos, podemos concluir que existem infinitos valores que satisfazema equação x + y = 2 .OBS.: Embora dois pontos sejam suficientes para traçar uma reta, é convenienteescolher ao menos um terceiro ponto para comprovação.
    • 9► Veja como desenhamos a reta a qual pertencem todos os pontos querepresentam as soluções da equação 2 x + y = 1 . x y = 1 − 2x (x, y) 1 y = 1 − 2 ⋅ 1 = −1 (1, −1) 2 y = 1 − 2 ⋅ 2 = −3 (2, −3) −2 y = 1 − 2 ⋅ (−2) = 5 (−2, 5)Sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitasOs sistemas de equação são ferramentas muito comuns na resolução deproblemas em várias áreas (matemática, química, física, engenharia,...) eaparecem sempre em concursos e exames, como é o caso do vestibular.Consideremos a seguinte situação:► A soma de dois números é 12 e a diferença entre eles é 4. Quais são estesnúmeros?Para a resolução de problemas como este que apresenta duas incógnitasdesconhecidas, utilizamos um sistema de equações.Chamamos de x o primeiro número (o maior) e de y o segundo número.
    • 10Pelo enunciado:» a soma de dois números é 12, ou seja: x + y = 12 (I)» a diferença entre eles é 4, isto é: x − y = 4 (II)Como as duas equações se referem ao mesmo fato, elas são ligadas peloconectivo “e” e, em Matemática, dizemos que formam um sistema de duasequações do 1º grau com duas incógnitas, x e y, e indicamos por: x + y = 12 x− y=4A solução de um sistema de duas equações do 1º grau com duas variáveis é umpar ordenado (x, y) de números reais que satisfaz as duas equações (I e II).Verificando o par ordenado (8, 4), notamos que satisfaz as duas equações:x + y = 12 x− y=48 + 4 = 12 8−4= 412 = 12 (V ) 4 = 4 (V )Logo a solução do sistema é (8, 4).Convém notar que cada uma das equações, quando consideradas isoladamente,tem infinitas soluções, mas o sistema de equações por elas formado tem umaúnica solução, quando ela existe.Solução de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitasJá sabemos como formar um sistema de equações do 1º grau com duasincógnitas. Sabemos também que o sistema apresenta uma única solução,quando ela existe. Como faremos para descobrir que o para ordenado (3, 1) é asolução do sistema de equações formado pelas equações x + y = 4 e 2 x + y = 7 ?Vejamos agora os métodos para a resolução de sistema de equações.
    • 11Método da substituiçãoEsse método consiste em:• Isolar uma das incógnitas numa das equações.• Substituir a expressão do valor desta incógnita na outra equação.• Resolver a equação do 1º grau assim obtida. x+ y=4Vamos agora resolver o sistema 2x + y = 71º Passo: Isolamos uma das incógnitas em uma das equações. Escolhemos aincógnita que for mais fácil de isolar. Se alguma delas tiver coeficiente um, éessa que devemos escolher. Nesse caso, será o x na primeira equação:x+ y=4x =4− y2º Passo: Na outra equação vamos substituir a incógnita x pelo seu valor 4 − y edescobrir o valor da incógnita y: 2x + y = 7 2 ⋅ (4 − y) + y = 7 8 − 2y + y = 7 Para facilitar os cálculos, podemos obter uma equação equivalente com sinais trocados − y = 7 −8 multiplicando ambos os membros por (–1) − y = −1 (−1) y =13º Passo: Substituindo o valor de y em x = 4 − y , determinamos o valor daincógnita x:x =4− yx = 4 −1x=3
    • 12Verificação:» 1ª equação: » 2ª equação: x+ y=4 2x + y = 7 3 +1 = 4 2 ⋅3 +1 = 7 4 = 4 (V) 6 +1 = 7 7 = 7 (V )Logo, a solução do sistema é dada pelo par ordenado (3, 1).Método da comparaçãoEsse método consiste em:• Isolar uma mesma incógnita em cada equação.• Igualar as duas expressões.• Resolver a equação do 1º grau assim obtida. x+ y=4Vamos agora resolver o sistema 2x + y = 71º Passo: Escolhemos uma das incógnitas, x ou y, isolando-a em ambas asequações. Optamos, nesse caso, pela incógnita x:» Na primeira equação: » Na segunda equação: x+ y=4 2x + y = 7 x = 4 − y (I) 2x = 7 − y 7− y x= (II) 2
    • 132º Passo: Se a incógnita x pode ser expressa na forma ( 4 − y ) e na forma7− y  , então essas duas expressões são iguais. Portanto, comparando as 2 igualdades (I) = (II), podemos descobrir o valor da incógnita y: 7− y4− y = 22 ⋅ ( 4 − y ) 1 ⋅ (7 − y ) = / 2 2/2 ⋅ ( 4 − y ) = 1 ⋅ (7 − y )8 − 2y = 7 − y− 2y + y = 7 − 8− y = −1 (−1)y =13º Passo: Substituindo o valor de y (que nesse caso é 1) em qualquer uma dasexpressões onde o x aparece isolado, (I) ou (II), determinamos o valor daincógnita x:» Substituindo na equação (I): » Substituindo na equação (II): x =4− y 7− y x= x = 4 −1 2 x=3 7 −1 x= 2 6 x= 2 x=3Logo, a solução do sistema é dada pelo par ordenado (3, 1).
    • 14Método da adiçãoEsse método consiste em:• Multiplicar cada equação pelo número que nos interessa de modo que uma incógnita tenha coeficientes opostos nas duas expressões.• Somar as equações do sistema para obter uma outra equação com uma única incógnita.• Resolver a equação do 1º grau assim obtida. x+ y=4Vamos agora resolver o sistema 2x + y = 71º Passo:» Em primeiro lugar, vamos escolher a incógnita que queremos eliminar; porexemplo, x. A incógnita x tem coeficiente 2 na segunda equação e coeficiente 1na primeira. −» Multiplicamos a primeira equação por (−2) para obter outra equivalente, naqual a incógnita x apareça com o coeficiente (−2): − 2 x − 2 y = −8 .» Efetuamos, então, a soma das duas equações:− 2 x − 2 y = −8 2x + y = 7 0 − y = −1 (−1) y =1
    • 152º Passo: Substituindo o valor de y (que nesse caso é 1) em qualquer uma dasequações do sistema, determinamos o valor da incógnita x:» Substituindo na primeira equação: » Substituindo na segunda equação: − 2 x − 2 y = −8 2x + y = 7 − 2 x − 2 ⋅ 1 = −8 2x + 1 = 7 − 2 x − 2 = −8 2x = 7 − 1 − 2 x = −8 + 2 2x = 6 − 2 x = −6 6 x= −6 2 x= −2 x=3 x=3Logo, a solução do sistema é dada pelo par ordenado (3, 1).Exemplos: x − 2 y = −1a) Resolva o sistema de equações − 2x + 4 y = 2Resolvendo pelo método da substituição temos:Isolando x na 1ª equação: Substituindo o valor de x Existem infinitos pares x − 2 y = −1 na 2ª equação: ordenados que satisfazem − 2x + 4 y = 2 o sistema. Neste caso x = 2y −1 dizemos que o sistema é − 2 ⋅ (2 y − 1) + 4 y = 2 indeterminado. − 4y + 2 + 4y = 2 − 4y + 4y = 2 − 2 0y = 0
    • 16 x − y = −1b) Resolva o sistema de equações x − y = −3Resolvendo pelo método da substituição temos: Isolando x na 1ª equação: Substituindo o valor de x Não existe y que x − y = −1 na 2ª equação: satisfaça a equação, x − y = −3 portanto o sistema não x = y −1 tem solução. Neste caso ( y − 1) − y = −3 dizemos que o sistema é y − 1 − y = −3 impossível. 0 y = −3Representação gráfica de um sistema de duas equações do 1º grau comduas incógnitasPara obter graficamente a solução de um sistema de duas equações de 1º graucom duas incógnitas, vamos representar graficamente cada equação.Sabemos que a representação gráfica de uma equação linear é uma reta;portanto, a representação gráfica de duas equações consiste em duas retas quetêm as seguintes possibilidades:1) As retas cortam-se em um ponto.2) As retas coincidem.3) As retas são paralelas.Essas três possibilidades têm interpretações distintas:• No primeiro caso, o sistema tem exatamente uma solução. O ponto comum, ou de interseção das retas obtidas, é a solução do sistema.• No segundo caso, o sistema tem infinitas soluções, portanto é indeterminado.• No terceiro caso, o sistema não tem solução, portanto é impossível.Devemos observar que este método é apenas aproximado.
    • 17Exemplos:Caso 1 x+ y=4Resolva graficamente o sistema 2x + y = 7Veja como desenhamos a reta a qual pertencem todos os pontos que representamas soluções das equações x + y = 4 e 2 x + y = 7 .» Isolando y na 1ª equação: » Isolando y na 2ª equação: x+ y=4 2x + y = 7 y =4− x y = 7 − 2x x y =4− x (x, y) 0 y =4−0=4 (0, 4) 1 y = 4 −1 = 3 (1, 3) −2 y = 4 − (−2) = 6 (−2, 6) x y = 7 − 2x (x, y) 0 y = 7 − 2⋅0 = 7 (0, 7) 1 y = 7 − 2 ⋅1 = 5 (1, 5) 2 y = 7 − 2⋅2 = 3 (2, 3)Verificação:» 1ª equação: » 2ª equação: x+ y=4 2x + y = 7 3 +1 = 4 2 ⋅3 +1 = 7 4 = 4 (V) 6 +1 = 7 7 = 7 (V )Logo, a solução do sistema é dada pelo par ordenado (3, 1).
    • 18Caso 2 x − 2 y = −1Resolva graficamente o sistema − 2x + 4 y = 2Veja como desenhamos a reta a qual pertencem todos os pontos que representamas soluções das equações x − 2 y = −1 e − 2 x + 4 y = 2 .» Isolando x na 1ª equação: » Isolando x na 2ª equação: x − 2 y = −1 − 2x + 4 y = 2 x = 2y −1 − 2 x = −4 y + 2 (−1) 2x = 4 y − 2 4y − 2 x= 2 2 ⋅ (2 y − 1) x= 2 x = 2y −1 y x = 2y −1 (x, y) 0 x = 2 ⋅ 0 − 1 = −1 (−1, 0) 1 x = 2 ⋅1 − 1 = 1 (1, 1) 2 x = 2 ⋅ 2 −1 = 3 (3, 2) y x = 2y −1 (x, y) 0 x = 2 ⋅ 0 − 1 = −1 (−1, 0) 1 x = 2 ⋅1 − 1 = 1 (1, 1) 2 x = 2 ⋅ 2 −1 = 3 (3, 2)O sistema tem infinitas soluções, pois os gráficos das duas equações sãocoincidentes. Logo, a solução do sistema é indeterminada.
    • 19Caso 3 x − y = −1Resolva graficamente o sistema x− y =3Veja como desenhamos a reta a qual pertencem todos os pontos que representamas soluções das equações x − y = −1 e x − y = −3 .» Isolando x na 1ª equação: » Isolando x na 2ª equação: x − y = −1 x − y = −3 x = y −1 x = y −3 y x = y −1 (x, y) 0 x = 0 − 1 = −1 (−1, 0) 2 x = 2 −1 = 1 (1, 2) 4 x = 4 −1 = 3 (3, 4) y x = y −3 (x, y) 3 x = 3−3= 0 (0, 3) 5 x =5−3= 2 (2, 5) 7 x = 7−3= 4 (4, 7)O sistema não tem solução, os gráficos das duas equações são retas paralelas.
    • 20Referências bibliográficasANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.BRASIL ESCOLA. Disponível em: <http://www.brasilescola.com>. Acesso em: 17 de agosto de 2008.DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.EXATAS. Disponível em: <http://www.exatas.mat.br>. Acesso em: 17 de agosto de 2008.GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998.IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.KLICK EDUCAÇÃO: O PORTAL DA EDUCAÇÃO. Disponível em: <http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 19 de agosto de 2008.MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.