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Mat equacoes do 1 grau  001
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Mat equacoes do 1 grau 001

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  • 1. Equações do 1º grau (Parte 1) Profa. Dra. Denise Ortigosa StolfSumário PáginaIgualdade .................................................................................................................................... 1 Propriedades da igualdade................................................................................................... 2 Propriedade reflexiva ...................................................................................................... 2 Propriedade simétrica ...................................................................................................... 2 Propriedade transitiva...................................................................................................... 2 Princípios de equivalência................................................................................................... 3 Princípio aditivo .............................................................................................................. 3 Princípio multiplicativo................................................................................................... 3Conhecendo as equações............................................................................................................ 4Referências bibliográficas .......................................................................................................... 6
  • 2. 1EQUAÇÕES DO 1º GRAUPara resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar umasentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita emlinguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícilda Matemática.IgualdadeA maioria das sentenças usadas em Matemática faz afirmações sobre números.Nas sentenças matemáticas, os verbos são normalmente representados pelossímbolos = (igual), ≠ (diferente), < (menor que) e > (maior que).Uma sentença matemática onde se use o símbolo = representa uma igualdadeExemplos:a) 2 + 5 = 7 a soma de dois e cinco é igual a seteb) 23 − 5 = 3 o cubo de dois diminuído de cinco é igual a trêsc) 32 + 42 = 52 a soma dos quadrados de três e de quatro é igual ao quadrado de cinco De um modo geral, podemos representar uma igualdade por a = b, onde a e b são nomes diferentes para um mesmo número.2+5=7{ { 23 − 5 = 3 13 { 2 32 23 = 5 2 1+ 4 2 { a b a b a bEm uma igualdade:• A expressão matemática situada à esquerda do símbolo = é denominada1º membro de igualdade.• A expressão matemática situada à direita do símbolo = é denominada2º membro de igualdade.Assim: 2+5 = { 7 { 23 − 5 = 13 2 3 { 32 23 = 1+ 4 2 52 {1o membro 2 o membro 1o membro 2 o membro 1o membro 2 o membro
  • 3. 2Propriedades da igualdadeUma igualdade apresenta as seguintes propriedades:Propriedade reflexiva2=22 2 a = a , para qualquer número racional a =3 3Propriedade simétrica2+5=7⇒7= 2+523 − 5 = 3 ⇒ 3 = 23 − 5 a = b ⇒ b = a , para quaisquer a e b32 + 4 2 = 5 2 ⇒ 5 2 = 32 + 4 2Propriedade transitiva2 + 5 = 7 e 7 = 8 −1⇒ 2 + 5 = 8 −1 a=b e b=c⇒a=c23 − 5 = 3 e 3 = 2 + 20 ⇒ 23 − 5 = 2 + 20 para quaisquer a, b e c32 + 4 2 = 5 2 e 5 2 = 25 ⇒ 32 + 4 2 = 25
  • 4. 3Princípios de equivalênciaOs princípios de equivalência de uma igualdade serão muito úteis na resoluçãode equações.Princípio aditivoAdicionando um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, obtemos uma nova igualdade, ou seja: a=b⇒a+c=b+cExemplos:a) 5 + 3 = 8 ⇒ (5 + 3) + 2 = (8) + 2 adicionamos + 2 aos dois membros 1 24 4 3 1 3 2 10 10b) 5 + 3 = 8 ⇒ (5 + 3) − 2 = (8) − 2 adicionamos − 2 aos dois membros 1 24 4 3 1 3 2 6 6Princípio multiplicativo Multiplicando os dois membros de uma igualdade pelo mesmo número, diferente de zero, obtemos uma nova igualdade, ou seja: a = b ⇒ a⋅c = b⋅cExemplos:a) 5 + 3 = 8 ⇒ (5 + 3) ⋅ 2 = (8) ⋅ 2 multiplicamos os dois membros por 2 1 24 1 3 4 3 2 16 16 1 1 1b) 5 + 3 = 8 ⇒ (5 + 3) ⋅ = (8) ⋅ multiplicamos os dois membros por 1 242 1 3 4 3 22 2 4 4
  • 5. 4Conhecendo as equaçõesDurante muito tempo, as situações problema foram resolvidas com o uso depalavras e desenhos. O uso de letras para representar os números desconhecidostrouxe enormes progressos para a Matemática, facilitando a resolução deproblemas.Observe a seguinte situação:1) Um carpinteiro serra uma tábua de 1 m (ou 100 cm) em dois pedaços. Um dospedaços tem um comprimento igual ao triplo do outro. Calcular oscomprimentos dos dois pedaços.Resolução: Devemos encontrar dois números que representem, em centímetros,os comprimentos dos pedaços em que a tábua foi serrada. Como um dos pedaçostem o triplo do outro, vamos indicar o comprimento do menor braço pela letra ye o comprimento do maior pedaço por 3y.Podemos fazer um esboço gráfico usando a letra y:Pelo esboço gráfico, podemos escrever a sentença matemática: y = 25 Portanto, um pedaço deverá ter 25 cm de comprimento e o outro 75 cm.Note que formamos uma sentença matemática representada por uma igualdade,em que usamos a letra y para representar o número desconhecido dessa sentença.Essa sentença matemática que escrevemos é chamada de equação. Toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual exista uma ou mais letras que representem números desconhecidos dessa sentença, é denominada equação. Cada letra que representa um número desconhecido chama-se incógnita.Na situação estudada a letra y é a incógnita da equação. A palavra incógnitasignifica desconhecida e equação tem o prefixo equa que provém do Latim esignifica igual.
  • 6. 5Exemplos:a) A sentença matemática 2 x + 1 = 19 é uma equação com uma incógnita representada pela letra x.b) A sentença matemática x − y = 20 é uma equação com duas incógnitas representadas pelas letras x e y.c) A sentença 5m + 2 = 2m − 19 é uma equação com uma incógnita representada pela letra m.Como toda equação é uma igualdade, temos:y + 3 y = 100 {1 3 2 o1o membro 2 membroAs expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos daequação.Podemos ver que toda equação tem:• Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incógnitas;• Um sinal de igualdade, denotado por =;• Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda;• Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.Observação: Não são equações as sentenças matemáticas:• 32 + 1 = 2 + 23 → embora seja uma igualdade, não apresenta elemento desconhecido• x + 3 < 20 → embora apresente elemento desconhecido, não representa uma igualdade
  • 7. 6Referências bibliográficas[1] A conquista da matemática (5ª a 8ª Série). Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora FTD.[2] Matemática (Projeto Araribá) (5ª a 8ª Série). Editora Moderna.[3] Tudo é matemática (5ª a 8ª Série). Luiz Roberto Dante. Editora Ática.[4] Matemática hoje é feita assim (5ª a 8ª Série). Antonio José Lopes Bigode. Editora FTD.