• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Mat conicas elipses
 

Mat conicas elipses

on

  • 5,730 views

 

Statistics

Views

Total Views
5,730
Views on SlideShare
5,730
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
86
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Mat conicas elipses Mat conicas elipses Document Transcript

    • GUIDG.COM – PG. 15/11/2009 – ALGA-1: Resumo e dicas – Cônicas: Elipses • Do Livro de Geometria Analítica – Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.Uma brevíssima revisão de conteúdo, sem formalidades!Definição, Teoria, Dicas, Completando Quadrados, Exercício resolvido Comentado e Ilustrado.Elipse com centro em (0,0) Definição: Elipse é o lugar geométrico, cuja soma das distâncias de P(x,y) até seus fotos F1 e F2 é igual a 2a (veja a figura ao lado). Ou seja, mesmo que P mude de lugar, a distância continua a mesma, por isso a elipse tem este formato. Assim a elipse é o rastro deixado por P, quando ele “caminhou” sem alterar seu modulo |PF1 | + |PF2 | = 2a ou sua distância, em relação à F1 e F2. Elementos: F1 e F2 são os focos. Distância focal, é a distância entre F1 e F2, e é dado por 2c. c é a distância de um dos focos até o Centro. Centro C, é o ponto médio do segmento F1F2.Eixo maior, é a distância 2a, Eixo menor é a distância 2bVértices são A1 e A2 (no eixo maior), e B1 e B2 (no eixo menor). cfExcentricidade é: e = f ff aEm toda elipse vale a relação de Pitágoras, isto é: a² = b² + c²A equação reduzida da elipse se obtém quando abrimos a definição substituindo valores genéricos,isto é: P(x,y) um ponto qualquer da elipse, cujos focos são F(-c,0) e F(c,0).Substituindo os valores na definição chega-se à: 2 2 2 2 xff yff ff ff ff ff f f xff yff ff ff ff ff f f 2 + 2 =1 ou 2 + 2 =1 a b b a Equação reduzida da elipse com eixo maior em x ou y, com centro C(0,0).Agora façamos algumas considerações: a e b podem variar como denominadores de x ou y.
    • GUIDG.COM – PG. 2A dica é analisar a equação, e se a > b, e a estiver como denominador de x, então o eixo maior estano eixo dos x ou paralelo a este.O mesmo se aplica se o contrario ocorrer, ou seja: se a > b, e a estiver como denominador de y,então o eixo maior esta no eixo dos y ou paralelo a este.A elipse com centro fora da origem:Aplica-se translação de eixos, ou seja usa-se umvalor de x’ e y’. para fazer o centro sair daorigem e ir até o centro da elipse (que esta forada origem do sistema). x’ = x – h y’ = y - k h e k, são as distâncias: horizontal e vertical do centro da elipse à origem do sistema.Então a equação reduzida, com centro fora da origem fica: b c2 2 2 ` a2 yffffff kfff @ffff x.ff y.ff fff fff ff fff ff ff xffffff ffff @h fffffff fff fff ffffff ffffff fff f + 2 =1 = + =1 a2 b a2 b 2Veja que se o centro estiver na origem, então h = k = 0, e a equação volta à ser aquela obtida atravésda definição.Chama-se Equação geral da elipse, aquela que se obtém quando se expande a equação.A Circunferência é um caso particular da elipse, isto se deve ao fato do eixo maior ser igual ao eixomenor, assim quando os eixos forem iguais, dá-se o nome de raio, lembrando que o dobro do raio échamado de diâmetro.Demonstração de exercício e aplicação de conceitos:Determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse, Esboçar o gráfico.Pg. 243, exercício 27.16x² + 9y² - 96x + 72y + 144 = 0Solução:A equação esta na forma geral (expandida), temos que passa-la para a forma reduzida a fim deidentificarmos o centro, e as medidas a e b para esboçar o gráfico.Precisa-se usar um artifício conhecido como “técnica de completar quadrados”.E consiste no seguinte, veja e interprete a demonstração:16x² - 96x + 9y² + 72y + 144 = 0 (organizando os termos, primeiro em x e depois y)16(x² - 6x) + 9(y² + 8y) + 144 = 0 (fatorando)
    • GUIDG.COM – PG. 3Agora como podemos expressar (x² - 6x) como (x - k)² ? , que é o formato da eq. reduzida.Sabemos que (x - k)² = (x - k)(x - k) = x² - 2xk + k² x menos k ao quadrado é igual: ao quadrado do primeiro (x), menos duas vezes o primeiro (x) vezes o segundo (k), mais o quadrado do segundo (k), (Essa é a leitura do produto notável).Então (x² - 6x) = (x - 3)² - 9Pois: (x - 3)² - 9 = x² - 2x3 + 3² - 9 = x² + 6x Completar quadrados é uma técnica simples, mas só se aprende fazendo vários exercícios!O mesmo para (y² + 8y)(y² + 8y) = (y + 4)² - 16Pois: (y + 4)² - 16 = y² + 2y4 + 4² - 16 = y² + 8yAgora substituímos os valores na equação:16(x² - 6x) + 9(y² + 8y) + 144 = 016[ (x - 3)² - 9 ] + 9[ (y + 4)² - 16] + 144 = 0Ou: 16(x - 3)² - 144 + 9(y + 4)² - 144 + 144 = 016(x - 3)² - 144 + 9(y + 4)² = 0 (Somando 144 dos dois lados da igualdade, a eq. fica...)16(x - 3)² + 9(y + 4)² = 144 (dividindo por 144 dos dois lados, a eq. fica...) b c2 1f ff 1f ff ff ff c2 ` a2 y+ 4 xffffff ffffff fff3ff ffffff @f ffffff fffffff ffffff ffffff x@3 + + =1 b y+ 4 =1 ` a2 ou 9 16 9 16Agora comparamos com a eq. reduzida e identificamos as medidas a e b.Identificamos o centro:x’ = x – h = x -(3) , logo h = 3y’ = y – k = y -(-4) , logo k = -4Assim o Centro C(3,-4)Como 16 > 9, então de acordo com a teoria,a² = 16, e b² = 9Tirando a raiz, a = ± 4 , b = ± 3 , são essesvalores que darão as coordenadas dos vértices daelipse. Logo a elipse tem eixo maior paralelo ao eixodos y. E já podemos esboçar (desenhar) ográfico. (figura ao lado)
    • GUIDG.COM – PG. 4Sabemos, que a² = b² + c² , logo c² = a² - b² pois só temos as medias a² e b², e precisamosdescobrir c², para encontrar os focos. w w w w ww wLogo c² = 16 - 9 , c = F p 7 . ww w w w wEntão os focos da elipse são: F(3, @ 4 F p7 ) w w w w ww w cf f ff pff f7 f fff fff ffA excentricidade é o número e = , logo e = a 4 b c b c b c b cE os vértices são: V1 3, @ 8 , V 2 3,0 , V 3 0, @ 4 , V 4 6, @ 4