Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

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Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

  1. 1. Ângulos NotáveisO estudo da trigonometria é fundamentado nas relações existentes entre ângulos emedidas. No triângulo retângulo, essas relações são constantemente trabalhadas e algunsângulos presentes nesse tipo de triângulo são usados com maior frequência, eles recebem onome de ângulos notáveis e seus valores são de 30º, 45º e 60º.Vamos relembrar as relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo: seno,cosseno e tangente.Para demonstrarmos as relações trigonométricas no triângulo retângulo dos ângulos 30°e60°, é preciso obter um triângulo que tenha esses dois ângulos.Observe o triângulo equilátero (todos os ângulos internos são iguais a 60º) ABC de ladoigual a x, é preciso calcular o valor da sua altura. Traçar sua altura é o mesmo que traçar abissetriz do ângulo A e a mediatriz da base BC. Para calcular a sua altura, basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo AHC:Com o valor da altura em função de x e utilizando o triângulo retângulo AHC, podemosdeterminar as relações trigonométricas dos ângulos de 30° e de 60º no triângulo AHC.
  2. 2. Como o triângulo equilátero não possui ângulo de 45°, precisamos traçar a diagonal doquadrado formando dois triângulos retângulos, a diagonal é uma bissetriz, ou seja, divide oângulo de 90º em dois de 45º. Veja como:Dado o quadrado ABCD de lado x e diagonal Aplicando o Teorema de Pitágoras nod. triângulo ABD, iremos descobrir um valor para a diagonal (d) em função de x.Assim, com o valor da diagonal é possível calcular o valor das relações trigonométricas dotriângulo retângulo ABD com o ângulo de 45°.Com base em algumas deduções geométricas e cálculos matemáticos, conseguimos calcularas relações trigonométricas seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º dotriângulo retângulo. A partir dos cálculos efetuados construímos a seguinte tabela derelações trigonométricas:
  3. 3. Arcos com Mais de uma VoltaTemos que uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π rad, deacordo com a ilustração a seguir:Note que o círculo possui raio medindo uma unidade e é dividido em quatro quadrantes,facilitando a localização dos ângulos trigonométricos, de acordo com a seguinte situação:1º quadrante: abscissa positiva e ordenada positiva → 0º < α < 90º.2º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 90º < α < 180º.3º quadrante: abscissa negativa e ordenada negativa → 180º < α < 270º.4º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 270º < α < 360º.Nos estudos trigonométricos existem arcos que possuem medidas maiores que 360º, isto é,eles possuem mais de uma volta. Sabemos que uma volta completa equivale a 360º ou 2π rad,com base nessa informação podemos reduzi-lo à primeira volta, realizando o seguintecálculo: dividir a medida do arco em graus por 360º (volta completa), o resto da divisão seráa menor determinação positiva do arco. Dessa forma, a determinação principal do arco emum dos quadrantes fica mais fácil.Exemplo 1Determinar a localização principal do arco de 4380º utilizando a regra prática.4380º : 360º é correspondente a 4320º + 60º, portanto, o resto da divisão é igual a 60º que éa determinação principal do arco, dessa forma, sua extremidade pertence ao 1º quadrante.Exemplo 2Qual a determinação principal do arco com medida igual a 1190º?1190º : 360º, a divisão possui resultado igual a 3 e resto 110, concluímos que o arco possuitrês voltas completas e extremidade no ângulo de 110º, pertencendo ao 2º quadrante.
  4. 4. Arcos CôngruosDois arcos são côngruos quando possuem a mesma origem e a mesma extremidade. Umaregra prática eficiente para determinar se dois arcos são côngruos consiste em verificar se adiferença entre eles é um número divisível ou múltiplo de 360º, isto é, a diferença entre asmedidas dos arcos dividida por 360º precisa ter resto igual a zero.Exemplo 3Verifique se os arcos de medidas 6230º e 8390º são côngruos.8390º – 6230º = 21602160º / 360º = 6 e resto igual a zero. Portanto, os arcos medindo 6230º e 8390º são côngruos.Exemplo 4Confira se os arcos de medidas 2010º e 900º são côngruos.2010º – 900º = 1110º1110º / 360º = 3 e resto igual a 30. Portanto, os arcos não são côngruos.As Razões Inversas do Seno, Cosseno e da TangenteAs razões trigonométricas seno, cosseno e tangente estão associadas ao triângulo retângulo eàs relações entre os catetos e a hipotenusa. Essas relações são constituídas de acordo com asseguintes razões:senocossenotangenteEssas razões trigonométricas possuem inversas que são nomeadas cossecante, secante ecotangente.A inversa do seno é a cossecante (cossec).A inversa do cosseno é a secante (sec).
  5. 5. A inversa da tangente é a cotangente (cotg).As razões inversas de seno, cosseno e tangente podem ser representadas pelas seguintesexpressões:cossecantesecantecotangenteO conhecimento das razões trigonométricas e de suas inversas auxiliará nos estudos ligadosàs relações fundamentais entre as funções de um mesmo arco, relações derivadas e aodesenvolvimento das identidades trigonométricas.As razões recíprocas do seno, do co-seno e datangenteO cálculo das funções trigonométricas seno, co-seno, tangente é encontrado levando emconsideração um triângulo retângulo que possui uma hipotenusa e dois catetos, assim:Sen x = cateto oposto ao ângulo x HipotenusaCos x = cateto adjacente ao ângulo x HipotenusaTg x = cateto oposto ao ângulo x cateto adjacente ao ângulo xInvertendo cada uma das funções trigonométricas (razões trigonométricas) citadas acima,será possível encontrar as suas recíprocas, que serão nomeadas como:• A recíproca do seno é co-secante (cossec)Cossec x = Hipotenusa cateto oposto ao ângulo x• A recíproca do co-seno é secante (sec)Sec x = Hipotenusa cateto adjacente ao ângulo x• A recíproca da tangente é co-tangente (cotg)
  6. 6. Cotg x = cateto adjacente ao ângulo x cateto oposto ao ângulo xComo essas recíprocas são razões inversas às razões seno, co-seno e tangente, elas devem serindicadas da seguinte forma:Cossec x = 1 Sen xSec x = 1 Cos xCotg x = 1 = cos x Tg x Sen xCircunferência trigonométricaA circunferência trigonométrica está representada no plano cartesiano com raio medindouma unidade. Ela possui dois sentidos a partir de um ponto A qualquer, escolhido como aorigem dos arcos. O ponto A será localizado na abscissa do eixo de coordenadas cartesianas,dessa forma, este ponto terá abscissa 1 e ordenada 0. Os eixos do plano cartesiano dividem ocírculo trigonométrico em quatro partes, chamadas de quadrantes, onde serão localizados osnúmeros reais α relacionados a um único ponto P. Os sentidos dos arcos trigonométricosestão de acordo com as seguintes definições:Se α = 0, P coincide com A.Se α > 0, o sentido do círculo trigonométrico será anti-horário.Se α < 0, o sentido do círculo será horário.O comprimento do arco AP será o módulo de α.Na ilustração a seguir estão visualizados alguns números importantes, eles são referenciaispara a determinação principal de arcos trigonométricos:
  7. 7. Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π radianos, se oângulo α a ser localizado possuir módulo maior que 2π, precisamos dar mais de uma volta nocírculo para determinarmos a sua imagem.Por exemplo, para localizarmos 8π/3 = 480º, damos uma volta completa no sentido anti-horário e localizamos o arco de comprimento 2π/3, pois 8π/3 = 6π/3 + 2π/3 = 2π + 2π/3.Na localização da determinação principal de –17π/6 = –510º, devemos dar 2 voltas completasno sentido horário e localizarmos o arco de comprimento –5π/6, pois –17π/6 = –12π/6 – 5π/6= 2π – 5π/6.
  8. 8. Equação trigonométricaPara que exista uma equação qualquer é preciso que tenha pelo menos uma incógnita e umaigualdade.Agora, para ser uma equação trigonométrica é preciso que, além de ter essas característicasgerais, é preciso que a função trigonométrica seja a função de uma incógnita.sen x = cos 2xsen 2x – cos 4x = 04 . sen3 x – 3 . sen x = 0São exemplos de equações trigonométricas, pois a incógnita pertence à funçãotrigonométrica.x2 + sen 30° . (x + 1) = 15Esse é um exemplo de equação do segundo grau e não de uma equação trigonométrica, pois aincógnita não pertence à função trigonométrica.Grande parte das equações trigonométricas é escrita na forma de equações trigonométricaselementares ou equações trigonométricas fundamentais, representadas da seguinte forma:sen x = sen acos x = cos atg x = tag aCada uma dessas equações acima possui um tipo de solução, ou seja, de um conjunto devalores que a incógnita deverá assumir em cada equação.
  9. 9. Equações do Tipo sen x = aEquações trigonométricas são igualdades que evolvem uma ou mais funções trigonométricasde arcos incógnitos. Para a resolução de equações trigonométricas não existe um processoúnico, o que devemos fazer é tentar reduzi-las a equações mais simples, do tipo senx = α,cosx = α e tgx = α, denominadas equações fundamentais. Das três equações citadas vamosabordar os conceitos e as formas de resolução da equação senx = α.As equações trigonométricas na forma senx = α possui soluções no intervalo –1 ≤ x ≤ 1. Adeterminação dos valores de x que satisfazem esse tipo de equação obedecerá à seguintepropriedade: Se dois arcos têm senos iguais, então eles são côngruos ou suplementares.Consideremos x = α uma solução da equação sen x = α. As outras possíveis soluções são osarcos côngruos ao arco α ou ao arco π – α. Então: sen x = sen α. Observe a representação nociclo trigonométrico:Concluímos que:x = α + 2kπ, com k Є Z ou x = π – α + 2kπ, com k Є ZExemploResolva a equação: sen x = √3/2Sabemos pela tabela de razões trigonométricas que √3/2 corresponde ao seno do ângulo de60º. Então:sen x = √3/2 → sen x = π/3 (π/3 = 180º/3 = 60º)Dessa forma, a equação senx = √3/2 possui como solução todos os arcos côngruos ao arco π/3ou ao arco π – π/3. Observe ilustração:
  10. 10. Concluímos que as possíveis soluções da equação sen x = √3/2 são:x = π/3 + 2kπ, com k Є Z ou x = 2π/3 + 2kπ, com k Є ZEquações e Inequações TrigonométricasO que difere a equação e inequação trigonométrica das outras é que elas possuem funçõestrigonométricas das incógnitas.Função trigonométrica é a relação feita entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo.Essas relações recebem o nome de seno, co-seno, tangente, co-secante, secante, co-tangente.►Veja alguns exemplos de quando uma equação é trigonométrica e quando ela não étrigonométrica.sen x + cos y = 3 é uma equação trigonométrica, pois as incógnitas x e y possuem funçõestrigonométricas.x + tg30º - y2 + cos60º = √3 não é uma equação trigonométrica, pois as funçõestrigonométricas não pertencem às incógnitas, ou seja, as incógnitas independem das funçõestrigonométricas.►Veja agora exemplos de inequações trigonométricas e quando uma inequação não étrigonométrica por que possui funções trigonométricas.sen x > √3 é uma inequação trigonométrica pois função trigonométrica é função de umaincógnita.(sen 30°) . x + 1 > 2 não é uma função trigonométrica, pois função trigonométrica não é umafunção da incógnita.
  11. 11. Fórmulas de adição de arcosAo somarmos dois ângulos e calcularmos uma função trigonométrica deles percebemos quenão obteremos o mesmo resultamos se antes de somarmos esses ângulos aplicarmos apropriedade da adição em alguns casos, ou seja, nem sempre podemos aplicar a seguintepropriedade cos (x + y) = cos x + cos y. Veja alguns exemplos:Exemplo 1:cos (π + π) = cos (2π + π) = cos (3π) = cos 270º = 0 2 2 2cos (π + π) = cos π + cos π = cos 180° + cos 90º = -1 . 0 = 0 2 2Nesse exemplo foi possível obter o mesmo resultado, mas veja o exemplo abaixo:Exemplo 2:cos (π + π) = cos (2π) = cos 270º = 0 3 3 3cos (π + π) = cos π + cos π = cos 60º + cos 60º = 1 + 1 = 1 3 3 3 3Verificamos que a igualdade cos (x + y) = cos x + cos y não é verdadeira para qualquer valorque x e y assumir, por isso que concluímos que as igualdades:sen(x + y) = sen x + sen ysen (x – y) = sen x -sen ycos (x + y) = cos x + cos ycos(x - y) = cos x + cos ytg(x + y) = tg x + tg ytg(x - y) = tg x + tg ySão igualdades que não são verdadeiras para qualquer valor que x e y assumirem, assim vejaas verdadeiras igualdades para o cálculo da adição ou diferença de arcos do seno, cosseno etangente.• sen(x + y) = sen x . cos y + sen y . cos x • tg (x + y) = tg x + tg y 1 – tg x . tg y• sen(x - y) = sen x . cos y – sen y . cos x • tg (x - y) = tg x - tg y• cos (x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y 1 + tg x . tg y• cos (x – y) = cos x . cos y + sen x . sen y
  12. 12. Função trigonométrica do arco metadeO cálculo das funções trigonométricas do arco metade será feito considerando a fórmula docosseno do arco duplo (cos 2β = cos2 β – sen2 β) e a relação fundamental da trigonometria(sen2 β + cos2 β = 1).Para encontrar as fórmulas das funções trigonométricas (cos, sen e tg) do arco metade,iremos considerar um arco qualquer x e o seu arco metade sendo x/2.• Cos (x/2).Sabendo que cos 2 β = cos2 β – sen2 β, substituindo sen2 β por sen2 β = 1 - cos2 β, teremos:cos 2 β = cos2 β – 1 - cos2 β = 2cos2 β - 1, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:Cos x =2cos2 (x/2) – 1Isolando cos2 (x/2), teremos:cos2 (x/2) = cos x + 1 2Portando, o cosseno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:• Sen x/2Sabendo que cos 2β = cos2 β – sen2 β, substituindo cos2 β por cos2 β = 1 - sen2 β, teremos:cos 2 β = 1 - sen2 β - sen2 β = 1- 2sen2 β, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:Cos x = 1- 2 sen2 (x/2)Isolando sen2 (x/2), teremos:sen2 (x/2) = 1 - cos x 2Portando, o seno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:
  13. 13. • Tg (x/2)Sabendo que tg β = sen β. Podemos dizer que: cos βTg (x/2) = sen (x/2). cos (x/2)Portando, a tangente do arco metade será calculada pela seguinte fórmula:Funções TrigonométricasFunção SenoChama-se função seno a função definida de R em R por f (x) = sen x. Para analisar a funçãoseno, podemos observar a extremidade de um arco percorrendo a circunferênciatrigonométrica no sentido anti-horário.Função do Tipo f(x) = α sem (ax)
  14. 14. Função CossenoÉ a função definida de R em R por f (x) = cos xFunção tangenteFunção tangente é a função definida para x ≠ π/2 + kπ, k pertencendo a Z por f (x) = tg x.Enquanto as funções seno e cosseno têm períodos iguais a 2π, a função tangente tem períodoigual a π.Função Cotangente, Secante e CossecanteO período da função cotangente é igual a π. f(x) = cotg x
  15. 15. O período da função secante é igual a 2π.O período da função cossecante é igual a 2π.
  16. 16. Funções trigonométricas do arco duploConsidere um arco da circunferência trigonométrica que mede 45°, o seu arco duplo é umarco de 90°, mas isso não significa que o valor das funções trigonométricas (seno, cosseno etangente) do arco duplo seja o dobro das do arco, por exemplo:Se o arco for igual a 30º, o seu arco duplo será 60º. O sen 30º = 1/2, o sen 60º = √3/2,portanto, percebemos que por mais que 60º seja o dobro de 30°, o sen 60º não é o dobro dosen 30º. Podemos aplicar essa mesma situação com vários outros arcos e funçõestrigonométricas, contudo iremos chegar à mesma conclusão.De uma maneira geral considere um arco qualquer de medida β, o seu arco duplo será 2β,portanto, sen β ≠ sen 2β, ou seja, sen 2β ≠ 2 . sen β.Assim, para encontrar o valor das funções trigonométricas de um arco duplo (sen 2β, cos 2β etg 2β) teremos que seguir algumas relações, entre um arco β e o seu arco duplo 2β.Essas relações serão feitas através das funções trigonométricas da adição de arcos. Vejacomo:• Cos 2βSegundo a adição de arcos, cos 2β é igual a:cos 2β = cos (β + β) = cos β . cos β – sen β . sen βUnindo os termos semelhantes teremos:cos 2β = cos (β + β) = cos2 β – sen2 βPortanto, o cálculo do cos 2β será feito através da seguinte fórmula:cos 2β = cos2 β – sen2 β• Sen 2βSegundo a adição de arcos, sen 2β é igual a:Sen 2β = sen(β + β) = sen β . cos β + sen β . cos βColocando os termos semelhantes em evidência teremos:Sen 2β = sen(β + β) = 2 . sen β . cos βPortanto, o cálculo do sen 2β será feito através da seguinte fórmula:Sen 2β = 2 . sen β . cos β
  17. 17. • tg 2βSegundo a adição de arcos, tg 2β é igual a:tg 2β = tg (β + β) = tg β + tg β 1 – tg x . tg βUnindo os termos semelhantes teremos:tg 2β = tg (β + β) = 2 tgβ 1 – tg2βPortanto, o cálculo do tg 2β será feito através da seguinte fórmula:tg 2β = 2 tgβ 1 – tg2βIdentificando os Quadrantes do CicloTrigonométricoO ciclo trigonométrico é uma circunferência orientada, com raio unitário, associada a umsistema de coordenadas cartesianas. O centro da circunferência coincide com a origem dosistema cartesiano. Dessa forma, o círculo fica dividido em quatro quadrantes, identificadosde acordo com o sentido anti-horário a partir do ponto A.Considerando x a medida de um arco no ciclo trigonométrico, então os valores de x, tais que0º < x < 360º, estão presentes nos seguintes quadrantes:Primeiro quadrante: 0º < x < 90º
  18. 18. Segundo quadrante: 90º < x < 180ºTerceiro quadrante: 180º < x < 270ºQuarto quadrante: 270º < x < 360ºOs valores dos arcos também podem aparecer em radianos, 0 < x < 2πPrimeiro quadrante: 0 < x < π/2Segundo quadrante: π/2 < x < π
  19. 19. Terceiro quadrante: π < x < 3π/2Quarto quadrante: 3π/2 < x < 2πÉ importante conhecer a localização dos ângulos nos quadrantes, isto facilitará a construçãodos arcos trigonométricos, pois cada ponto no ciclo está associado a um arco. Por exemplo:O arco de medida π/6 rad ou 30º está localizado no 1º quadrante.O arco de medida 3π/4 rad ou 135º está localizado no 2º quadrante.O arco de medida 7π/6 rad ou 210º está localizado no 3º quadrante.O arco de medida 5π/3 rad ou 300º está localizado no 4º quadrante.O arco de medida π/3rad ou 60º está localizado no 1º quadrante.
  20. 20. Lei do cossenoUtilizamos a lei dos cossenos nas situações envolvendo triângulos nãoretângulos, isto é, triângulos quaisquer. Esses triângulos não possuem ânguloreto, portanto as relações trigonométricas do seno, cosseno e tangente nãosão válidas. Para determinarmos valores de medidas de ângulos e medidas delados utilizamos a lei dos cossenos, que é expressa pela seguinte lei deformação:Exemplo 1Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo aseguir:a² = b² + c² – 2 * b * c * cos7² = x² + 3² – 2 * 3 * x * cos60º49 = x² + 9 – 6 * x * 0,549 = x² + 9 – 3xx² –3x – 40 = 0Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos:x = 8 e x" = – 5, por se tratar de medidas descartamos x" = –5 e utilizamos x =8. Então o valor de x no triângulo é 8 cm.
  21. 21. Exemplo 2 Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício.Aplicando a lei dos cossenosa = 7, b = 6 e c = 57² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A49 = 36 + 25 – 60 * cos A49 – 36 – 25 = –60 * cos A–12 = –60 * cos A12 = 60 * cos A12/60 = cos Acos A = 0,2O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º.Exemplo 3 Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo dafigura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * cos 60ºx² = 25 + 100 – 100 * (–0,5)x² = 125 + 50x² = 175√x² = √175x = √5² * 7x = 5√7Portanto, a diagonal do paralelogramo mede 5√7 cm.
  22. 22. Aplicações Trigonométricas na FísicaAs aplicações das definições matemáticas são primordiais nos estudos físicos, pois através decálculos obtemos comprovações para as teorias relacionadas à Física. As funçõestrigonométricas seno, cosseno e tangente estão presentes em diversos ramos da Física,auxiliando nos cálculos relacionados à Cinemática, Dinâmica, Óptica entre outras. Dessaforma, Matemática e Física caminham juntas com o objetivo único de fornecerconhecimentos e ampliar novas pesquisas científicas. Veja através de exemplos resolvidos asaplicações da Matemática na Física.Exemplo 1 – DinâmicaFórmula que permite calcular o trabalho da força F no deslocamento d de um corpo:τ = F * d * cosDetermine o trabalho realizado pela força F de intensidade √3/3 num percurso de 2m, deacordo com a ilustração, considerando que a superfície seja lisa. Use seno 30º = √3/2.Exemplo 2 - Cinemática: Lançamento OblíquoA altura máxima atingida, o tempo de subida e o alcance horizontal são alguns dos elementosque constituem um lançamento oblíquo. De acordo com o ângulo formado entre olançamento e a superfície o corpo, pode percorrer diferentes trajetórias. Caso a inclinação(ângulo) aumente, o objeto logicamente atinge uma altura mais elevada e um alcancehorizontal menor; se o ângulo de inclinação diminui, a altura também diminui e o alcancehorizontal se torna maior.Um objeto é lançado obliquamente no vácuo com velocidade inicial de 100m/s com umainclinação de 30º. Determine o tempo de subida, a altura máxima e o alcance horizontal doobjeto. Considere g = 10m/s².
  23. 23. Tempo de subida Altura máxima Alcance horizontal ’

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