Exercicios resolvidos red matematica

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Exercicios resolvidos red matematica

  1. 1. ¸˜ Redacao ´ em Matematica Leandro Augusto FerreiraCoord. Profa. Dra Edna Maura Zuffi Centro de Divulga¸˜o Cient´ ca ıfica e Cultural Universidade de S˜o Paulo - CDCC a Agosto - 2008
  2. 2. 2
  3. 3. Sum´rio a1 Formaliza¸˜o do texto ca 7 1.1 Disserta¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 7 1.2 Disserta¸˜o em matem´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca a 7 1.3 Simbologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Estrutura dissertativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 9 1.4.2 Desenvolvimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.3 Conclus˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 12 1.5 Modelos de disserta¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 13 1.5.1 A disserta¸˜o escolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 13 1.5.2 “Receita” para um texto dissertativo . . . . . . . . . . . . 13 1.5.3 Exemplos de textos dissertativos - Exerc´ ıcios de vestibular 14 1.6 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 L´gica matem´tica o a 20 2.1 Defini¸˜es gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co . . . . . 20 2.2 Princ´ıpios da l´gica matem´tica . . . . . . . . . . . . . . o a . . . . . 21 2.2.1 N˜o contradi¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ca . . . . . 21 2.2.2 Terceiro exclu´ ıdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Proposi¸˜es do tipo “se A, ent˜o B” . . . . . . . . . . . co a . . . . . 21 2.4 A rec´ıproca de uma proposi¸˜o . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . 22 2.5 Proposi¸˜es do tipo “A se, e somente se B” . . . . . . . co . . . . . 22 2.6 Nega¸˜o de uma Proposi¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . ca ca . . . . . 23 2.6.1 Nega¸˜o de conectivos . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . 23 2.7 Exerc´ ıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.8 Tipos de Demonstra¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . co . . . . . 24 2.8.1 Demonstra¸˜o direta . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . 24 2.8.2 Demonstra¸˜o por meio de argumentos l´gicos . ca o . . . . . 25 2.8.3 Demonstra¸˜o por contradi¸˜o (ou por absurdo) ca ca . . . . . 26 2.9 Nomenclatura para proposi¸˜es . . . . . . . . . . . . . . co . . . . . 27 2.10 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.11 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Sugest˜es e Respostas o 32Apˆndice e 33 3
  4. 4. ´SUMARIO 4A C´lculo de inversa de matrizes a 34 A.1 Via sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 A.2 Via matriz dos cofatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35B M´todo para resolu¸˜o de sistemas lineares e ca 37C Equa¸˜es alg´bricas co e 39Referˆncias Bibliogr´ficas e a 40´Indice Remissivo 41
  5. 5. ´SUMARIO 5 “N˜o se preocupem com as dificuldades em matem´tica, as minhas s˜o muito maiores” a a a Albert Einstein
  6. 6. Pref´cio a Esta apostila foi elabora para a utiliza¸˜o no curso ”Reda¸˜o em matem´tica”, ca ca aministrado no CDCC (Centro de Divulga¸˜o Cient´ ca ıfica e Cultural) da USP emS˜o Carlos. Pode servir como material de apoio para alunos do Ensino M´dio, e a etem como principal objetivo auxiliar no aprendizado da escrita em matem´tica. a A apostila est´ dividida de acordo com a ordem do curso: no Cap´ a ıtulo 1,tratamos da formaliza¸˜o do texto, caracterizando a disserta¸˜o em matem´tica ca ca ade forma simplificada e pr´tica, trabalhando com exemplos de exerc´ a ıcios devestibulares de forma progressiva, conforme a ordem: introdu¸˜o, desenvolvi- camento e conclus˜o. Demos ainda algumas orienta¸˜es de como redigir um bom a cotexto, mostrando algumas coisas que devemos evitar numa reda¸˜o. No Cap´ ca ıtulo2, trabalhamos com a l´gica matem´tica, assunto absolutamente importante no o aensino de matem´tica, mas alertamos, que este assunto foi tratado com bas- atante simplicidade, deixando um pouco de lado o rigor dos bons livros de l´gica, otentando passar apenas algumas id´ias elementares. Ainda nesses cap´ e ıtulo, trou-xemos alguns exerc´ ıcios resolvidos e propostos. Deixamos algumas sugest˜es de ocomo resolvˆ-los no final desta apostila. e Alguns assuntos, talvez pouco explorados no Ensimo M´dio, foram acrescen- etados como apˆndice, pois acreditamos que ser˜o de grande valia ao leitor em e asua base Matem´tica para empliar a compreens˜o e a reda¸˜o de textos da ´rea. a a ca a Gostaria de agradecer ao apoio dado pela Profa. Dra. Edna Maura Zuffi nacoordena¸˜o deste projeto, ao apoio de Jonas Eduardo Carraschi pela colabora- ca¸˜o na ministra¸˜o do minicurso e a todos os participantes do mesmo.ca ca Leandro Augusto Ferreira S˜o Carlos, 28 de Julho de 2008. a 6
  7. 7. Cap´ ıtulo 1Formaliza¸˜o do texto ca Para redigir um bom texto, ´ necess´rio estimular o racioc´ e a ınio, a capacidadede an´lise e s´ a ´ ıntese. E preciso desenvolver um pensamento ordenado, revestidopor um vocabul´rio expressivo, revelando assim, um repert´rio preciso e comu- a onicativo. Em matem´tica n˜o ´ diferente: temos as mesmas necessidades quando de- a a esejamos redigir um bom texto, seja ele na resolu¸˜o de um exerc´ ou na de- ca ıciomonstra¸˜o de uma proposi¸˜o. ca ca Daremos aqui alguns conceitos necess´rios para uma boa escrita. Nossos tex- atos ser˜o todos dissertativos, por isso estudaremos como fazer uma disserta¸˜o. a ca1.1 Disserta¸˜o ca Dissertar ´ desenvolver uma id´ia, uma opini˜o, um conceito ou tese sobre e e aum determinado assunto. Como outras formas de reda¸˜o, a disserta¸˜o se ap´ia ca ca oem alguns elementos: introdu¸˜o, desenvolvimento e conlus˜o. ca a A introdu¸˜o deve apresentar, de maneira clara, o assunto que ser´ tratado ca ae delimitar as quest˜es referentes a ele que ser˜o abordadas. Neste momento o apode-se formular uma tese, que dever´ ser discutida e provada no texto, propor auma pergunta, cuja resposta dever´ constar no desenvolvimento e explicitada na aconclus˜o. a O desenvolvimento ´ a parte do texto em que as id´ias, pontos de vista, con- e eceitos, informa¸˜es de que se disp˜e ser˜o desenvolvidas, desenroladas e avaliadas co o aprogressivamente. A conclus˜o ´ o momento final do texto, e dever´ apresentar um resumo forte a e ade tudo o que j´ foi dito, expondo uma avalia¸˜o final do assunto discutido. a ca1.2 Disserta¸˜o em matem´tica ca a Quando resolvemos um exerc´ ıcio ou um problema de matem´tica, por e- axemplo, estamos tamb´m dissertando; estamos convencedo o leitor de que nosso eracioc´ ınio est´ correto. De forma an´loga, vamos estabelecer os conceitos de a aintrodu¸˜o, desenvolvimento e conclus˜o, vistos na se¸˜o anterior. ca a ca A introdu¸˜o deve apresentar as vari´veis utilizadas no texto, bem como a ca a ´que conjuntos pertencem e o que representam no problema. E claro que exis- 7
  8. 8. CAP´ ¸˜ ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 8tem v´rias formas de fazer uma introdu¸˜o: veremos basicamente duas formas, a caposteriormente. O desenvolvimento ´ a parte do texto em que as id´ias devem ser trabalhadas e eatrav´s da l´gica, dos dados do problema e da simbologia matem´tica. Esta ´ e o a ea parte mais complexa do texto matem´tico, por isso n˜o exibiremos aqui um a am´todo e, sim, resolveremos alguns problemas e comentaremos alguns t´picos e omais relevantes. A conclus˜o ´ parte mais simples, finalizamos o texto explicitando a resposta a edo problema, ou o que quer´ ıamos provar numa demonstra¸˜o de uma proposi¸˜o. ca ca Daqui por diante, quando mencionarmos a palavra disserta¸˜o, estamos na caverdade nos referindo a disserta¸˜o em matem´tica. ca a1.3 Simbologia Muita gente se pergunta: ”Por que devemos utilizar os s´ ımbolos quandoredigimos um texto matem´tico?”. A resposta para esta pergunta ´ bastante a esimples, utilizamos s´ ımbolos para escrever um texto de uma forma mais compactae concentramos nossos esfor¸os nos racioc´ c ınios, mais do que nas palavras em si. Tome cuidado com o exagero em sua utiliza¸˜o, pois os textos em geral ficam cacarregados com o uso excessivo da simbologia, e nesse caso ficar˜o cansativos de aserem lidos. Vejamos agora alguns dos principais s´ ımbolos matem´ticos: a • N: N´meros naturais. u • Z: N´meros inteiros. u • Q: N´meros racionais. u • I ou R-Q: N´meros irracionais. u • R: N´meros reais. u • C: N´meros Complexos. u • ∈ : Pertence • ⊂: Contido • ⊃: Cont´m e • ⇒: Implica • ∴ : Portanto • ∃ : Existe • ∀ : Para todo, ou ”para qualquer”. Caso vocˆ n˜o conhe¸a o emprego correto destes s´ e a c ımbolos, n˜o tente sim- aplesmente memoriz´-los, eles aparecem natulmente no estudo da matem´tica do a aensino fundamental e m´dio, e alguns deles ser˜o comentados no cap´ e a ıtulo 2:L´gica matem´tica. o a
  9. 9. CAP´ ¸˜ ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 91.4 Estrutura dissertativa Assim como existem muitas maneiras de escrever um texto, uma introdu¸˜o, cao mesmo ocorre para o desenvolvimento e a conclus˜o. Na verdade mostraremos aas maneiras mais comuns, na matem´tica, para tratar da resolu¸˜o de exerc´ a ca ıciose problemas.1.4.1 Introdu¸˜o ca Como foi dito anteriormente, devemos exibir as vari´veis do problema: para aisto, uma maneira batante simples ´ nomear as vari´veis colocando dois pontos e a(:) na frente delas e explicando o que representam. Esta forma n˜o ´ nada rigo- a erosa, pois n˜o dizemos, necessariamente, a que conjunto pertencem as vari´veis, a apor exemplo, mas para exerc´ ıcios de sistemas lineares, ´ uma forma bastante epr´tica, pois j´ sabemos, pelo contexto do problema, a que conjunto as vari´veis a a apertencem. Vejamos o exemplo abaixo, que mostra a utiliza¸˜o deste formato de in- catrodu¸˜o. ca ˜Exemplo 1.4.1 Joao entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambur- ´gueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$21,50. Na mesa ao ´lado,algumas pessoas pediram 8 hamburgueres, 3 sucos de laranjae 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preco de um ¸ ´hamburguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocadatotaliza R$ 10,00, calcule o preco de cada um desses itens. ¸ A introdu¸˜o ser´ feita da seguinte maneira: ca a x: quantitade de hamburgueres y: quantitade de sucos de laranja z: quantitade de cocadas No texto fica bem claro que x,y,z ∈ N, (x, y e z s˜o n´meros naturais), por a uisso foi omitido na introdu¸˜o, mas em textos mais rigorosos, existe a necessidade cadesta informa¸˜o, por isso adotaremos, sempre, uma maneira mais rigorosa para cafazer uma introdu¸˜o. ca Uma outra forma de fazer a introdu¸˜o, seria utilizando a palavra ”seja”, capara dizer quem s˜o as vari´veis do problema, logo em seguida a que conjuntos a aelas pertencem e o que representam no problema. Veja o exemplo abaixo:Exemplo 1.4.2 Ainda no problema do exemplo 1.4.1, a introdu¸˜o poder´ ser ca afeita da seguinte maneira: Sejam x, y, z ∈ N, que representam respectivamente, quantidade de hambur-gueres, de sucos de laranja e cocadas.
  10. 10. CAP´ ¸˜ ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 10 Este formato ´ muito mais formal e completo, como j´ foi dito, mas caso o e aleitor n˜o se sentiu muito ` vontade em utiliz´-lo, daremos a seguir mais um a a aexemplo de sua utiliza¸˜o. caExemplo 1.4.3 Como resultado de uma pesquisa sobre a relacao en-¸˜tre o comprimento do pe de uma pessoa, em cent´ ´ ´ ımetros, e o numero ´(tamanho) do calcado brasileiro, Carla obteve uma formula que ¸ ´ ´ ´da, em media, o numero inteiro n (tamanho do calcado) em funcao ¸ ¸˜ ´ ´do comprimento c, do pe, em cm. Pela formula, tem-se n = [x], onde 5x = 4 c + 7 e [x] indica o menor inteiro maior ou igual a x. Por exem- ˜plo, se c = 9 cm, entao x = 18, 25 e n = [18, 25] = 19. Com base nessa ´formula, ´ ´ a) determine o numero do calcado correspondente a um pe cujo ¸ ´ comprimento e 22 cm. ´ ´ ˜ b) se o comprimento do pe de uma pessoa e c = 24 cm, entao ela calca 37. Se c > 24 cm, essa pessoa calca 38 ou mais. Determine ¸ ¸ o maior comprimento poss´ ´ ıvel, em cm, que pode ter o pe de uma pessoa que calca 38. ¸ Sejam x ∈ R∗ e n ∈ N, como no enunciado. + Desta vez, de uma forma mais resumida, dizemos simplesmente que as vari´veis as˜o da mesma forma como no enunciado, j´ que no problema estava bem explicito a ao que x e c representavam.1.4.2 Desenvolvimento Chegamos, agora, na parte mais trabalhosa da disserta¸˜o e o mais impor- catante ´ tentar escrever seu texto numa forma l´gica sequencial, caso contr´rio, e o atornaremos a leitura do exerc´ uma verdadeira ca¸a ao tesouro. ıcio c Prosseguiremos na resolu¸˜o dos exemplos vistos no t´pido introdu¸˜o. ca o caExemplo 1.4.4 Pelo exemplo 1.4.1, t´ ınhamos conclu´ que: ıdo x: quantitade de hamburgueres y: quantitade de sucos de laranja z: quantitade de cocadas Ent˜o, a do enunciado, temos o seguinte sistema linear:   3x + y + 2z = 21, 50 8x + 3y + 5z = 57  x + y + z = 10
  11. 11. CAP´ ¸˜ ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 11 Pela regra de Crammer, temos: 21, 5 1 2 57 3 5 10 1 1 4 x= = = 4, 3 1 2 1 8 3 5 1 1 1 3 21, 5 2 3 1 21, 5 8 57 5 8 3 57 1 10 1 2, 5 1 1 10 3, 5 y= = = 2, 5 e z = = = 3, 5 3 1 2 1 3 1 2 1 8 3 5 8 3 5 1 1 1 1 1 1Faremos algumas observa¸˜es sobre o texto acima: co 1. Utilizamos poucos s´ ımbolos na resolu¸˜o. ca 2. Escrevemos o texto de forma objetiva, omitimos alguns c´lculos. a Ex: N˜o escrevemos passo a passo os c´lculos dos determinantes. a a 3. Citamos a Regra de Crammer, pois a utilizamos na resolu¸˜o. ca Faremos a resolu¸˜o de outro exemplo iniciado no t´pico introdu¸˜o. ca o caExemplo 1.4.5 Pelo exemplo 1.4.3, temos: a) Pela f´rmula dada, temos: o 5 x= · 22 + 7 ⇒ x = 34, 5 4 ∴ n = 35 b) Podemos escrever a desigualdade: 5 37 ≤ · c + 7 ≤ 38 4 Resolvendo, temos: 5 30 ≤ · c ≤ 31 4 4 4 24 = 30 · ≤ c ≤ 31 · = 24, 8 5 5 Portanto, c = 24, 8. Faremos algumas observa¸˜es sobre o texto acima: co 1. Utilizamos alguns s´ ımbolos na resolu¸˜o. ca
  12. 12. CAP´ ¸˜ ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 12 2. Escrevemos o texto de forma objetiva e omitimos alguns c´lculos. a Ex: N˜o escrevemos passo a passo os c´lculos nas desigualdades. a a 3. Em x = 5 ·22+7 ⇒ x = 34, 5 , poder´ 4 ıamos ter escrito x = 5 ·22+7 = 34, 5, 4 sem a utiliza¸˜o do s´ ca ımbolo de implica¸˜o (⇒). Note que os s´ ca ımbolos “⇒” e “=” n˜o s˜o usados com as mesmos significados, em geral. Pense por a a quˆ. e1.4.3 Conclus˜o a Como j´ dissemos anteriormente, esta ´ parte mais simples do texto, uma a evez que a resolu¸˜o esteja feita, de forma clara, devemos destacar, no caso de caum exerc´ ou problemas a sua resposta, ou, no caso de uma demonstra¸˜o, o ıcio caque quer´ ıamos demonstrar. ´ E importante sempre indicar as unidades de medida da vari´vel utilizada. aVejamos, agora, alguns exemplos mostrando como devemos proceder.Exemplo 1.4.6 Pelo exemplo 1.4.4, temos: Logo o pre¸o do hamburguer ´ R$ 4,00, o do suco de laranja ´ R$ 2,50 e o c e eda cocaca ´ R$ 3,50. eExemplo 1.4.7 Pelo exemplo 1.4.5, temos: a) Portanto o n´mero do cal¸ado ser´ 35. u c a b) Portanto, o maior tamanho de p´ ser´ 24, 8 cm. e a Nas provas de vestibular, em geral, devemos ainda explicitar, no final daresolu¸˜o, todas as respostas de cada item de forma resumida. Vejamos como caficariam os exemplos anteriores com este formato.Exemplo 1.4.8 Pelo exemplo 1.4.4, temos:Logo o pre¸o do hamburguer ´ R$ 4,00, o do suco de laranja ´ R$ 2,50 e o da c e ecocaca ´ R$ 3,50. e Respostas: R$4,00, R$2,50 e R$3, 50Exemplo 1.4.9 Pelo exemplo 1.4.5, temos: a) Portanto o n´mero do cal¸ado ser´ 35. u c a b) Portanto o maior tamanho de p´ ser´ 24, 8 cm. e aRespostas: a) 35 b) 24,8 cm
  13. 13. CAP´ ¸˜ ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 131.5 Modelos de disserta¸˜o ca Trataremos, aqui, do tipo de disserta¸˜o que interessa ao aluno do Ensino caM´dio. Em especial, daremos nesta se¸˜o uma contextualiza¸˜o para a formali- e ca caza¸˜o do texto. ca1.5.1 A disserta¸˜o escolar ca O aluno de Ensino M´dio, principalmente o vestibulando, depara-se com uma egrande dificuldade de elaborar textos matem´ticos. A express˜o das id´ias ´ algo a a e ea ser conquistado, e em geral, o aluno precisa adquirir uma certa maturidade paraexpressar suas id´ias de forma t˜o precisa. e a Apesar de tratarmos aqui de alguns aspectos da cria¸˜o de textos, sabemos cao esfor¸o que o aluno ter´ para aprender a escrever uma disserta¸˜o, ao longo de c a catoda a sua forma¸˜o escolar ca1.5.2 “Receita” para um texto dissertativo Considerando toda a formaliza¸˜o apresentada at´ aqui, observe a s´ ca e ıntese dasprincipais id´ias de como elaborar um texto dissertativo. e • Como come¸ar? c Leia atentamente e interprete o enunciado. • Como elaborar? Comece dizendo quais s˜o as vari´veis do problema, bem como a qual a a conjunto elas pertencem. • Como argumentar? Seja claro e siga uma sequencia l´gica no desenvolvimento, utilizando de o forma moderada a simbologia matem´tica. a • Como concluir? Para concluir, interprete o rac´ ıocinio desenvolvido e escreva a resposta.Etapas para elaborar uma disserta¸˜o ca 1. Ler atentamente o tema e refletir sobre o assunto. 2. Fazer um esbo¸o do encadeamento das id´ias. c e 3. Ler o texto, submetendo-o a uma avalia¸˜o cr´ ca ıtica. 4. Pass´-lo a limpo. aOrienta¸˜o para elaborar uma disserta¸˜o ca ca • Seu texto deve apresentar introdu¸˜o, desenvolvimento e conclus˜o. ca a • Redija na 3o pessoa do singular ou do plural, ou ainda na 1o pessoa do plural. Por exemplo:
  14. 14. CAP´ ¸˜ ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 14 ◦ Sejam a, b, c vari´veis . . . a ◦ Sabemos que a2 = b2 + c2 . . . ◦ Tome f (x) = x2 . . . ◦ Desta forma obtemos o polinˆmio p(x) = x2 − 1 . . . o • Se n˜o souber resolver o exerc´ a ıcio, n˜o tente inventar teorias matem´ticas a a para aparentar resolvˆ-lo. e • N˜o construa frases embromat´rias. Verifique se as palavras e s´ a o ımbolos empregados s˜o fundamentais e informativos. a • N˜o utilize s´ a ımbolos em demasia; isso pode tornar seu texto enfadonho. • Observe se h´ repeti¸˜o de id´ias, falta de clareza e constru¸˜es sem nexo. a ca e co • Verifique se os argumentos utilizados s˜o convincentes. a • Tente citar os nomes dos principais teoremas e resultados da teoria que est´ utilizando, isso enriquece o texto, mas cuidado para n˜o utiliz´-los a a a erroneamente. • N˜o utilize abrevia¸˜es das palavras usuais sa L´ a co ıngua Portuguesa: vocˆ e corre o risco do leitor n˜o enterder o que quer dizer. a1.5.3 Exemplos de textos dissertativos - Exerc´ ıcios de vestibularExerc´ ıcio 1.5.1 Em uma determinada residˆncia, o consumo mensal de ´gua e acom descarga de banheiro corresponde a 33% do consumo total e com higienepessoal, 25% do total. No mˆs de novembro foram consumidos 25 000 litros de e´gua no total e, da quantidade usada pela residˆncia nesse mˆs para descarga dea e ebanheiro e higiene pessoal, uma adolescente, residente na casa, consumiu 40%.Determine a quantidade de ´gua, em litros, consumida pela adolescente no mˆs a ede novembro com esses dois itens: descarga de banheiro e higiene pessoal. Resolu¸˜o: Sejam Qd , Qh e Qa , respectivamente, as quantidades de descarga cade banheiro, higiene pessoal e total de ´gua consumida, por essa adolescente. aTemos: Qd = 25% · 25000 = 6250 Qh = 33% · 25000 = 8250 Logo, Qa = (40% · Qd ) + (40% · Qh ) = (40% · 6250) + (40% · 8250) = = 2500 + 3300 = 5800 Portanto a adolescente gastou 2500 litros com descarga, 3300 litros comhigiene pessoal, somando no total 5800 litros. Resposta: 2500 litros, 3300 litros e 5800 litros
  15. 15. CAP´ ¸˜ ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 15Exerc´ ıcio 1.5.2 Uma empresa pretende, no ano de 2006, reduzir em 5% aprodu¸˜o de CO2 com a queima de combust´ de sua frota de carros, diminuindo ca ıvela quantidade de quilˆmetros a serem rodados no ano. O total de quilˆmetros ro- o odados pelos carros dessa empresa em 2005 foi de 199 200 km. Cada carro fazem m´dia 12 km por litro de gasolina, e a queima de cada 415 litros desse com- ebust´ pelos carros da empresa produz aproximadamente uma tonelada de CO2 . ıvelMantidas as mesmas condi¸˜es para os carros, em termos de consumo e queima code combust´ ıvel, determine quantas toneladas a menos de CO2 os carros da em-presa deixariam de emitir em 2006, relativamente ao ano de 2005. Resolu¸˜o: Sejam Ql e Qt , respectivamente, a quantidade de combust´ ca ıvel,em litros, em 2005, e a quantidade, em toneladas, de CO2 produzida pela queimadesse combust´ ıvel, ent˜o: a 199200 Ql = = 16600 12 16600 Qt = = 40 415Portanto os carros deixariam de emitir 5% de 40t, que ´ igual a 2t. e Resposta: 2t (ou 2 toneladas)Exerc´ ıcio 1.5.3 Seja x o n´mero de anos decorridos a partir de 1960 (x = 0). uA fun¸˜o y = f (x) = x+320 fornece, aproximadamente, a m´dia de concentra¸˜o ca e cade CO2 na atmosfera em ppm (partes por milh˜o) em fun¸˜o de x. A m´dia de a ca evaria¸˜o do n´ ca ıvel do mar, em cm, em fun¸ao de x, ´ dada aproximadamente c˜ epela fun¸˜o g(x) = x . Seja h a fun¸˜o que fornece a m´dia de varia¸˜o do ca 5 ca e can´ do mar em fun¸˜o da concentra¸˜o de CO2 . No diagrama seguinte est˜o ıvel ca ca arepresentadas as fun¸˜es f , g e h. co g T / MV < h zzzz f zz zz CT : tempo (anos)M V : M´dia da varia¸˜o do n´ do mar(cm) e ca ıvelC: Concentra¸˜o de CO2 (ppm) ca Determine a express˜o de h em fun¸˜o de y e calcule quantos cent´ a ca ımetros on´ do mar ter´ aumentado quando a concentra¸˜o de CO2 na atmosfera for ıvel a cade 400 ppm. Resolu¸˜o: Sejam f , g e h, como no enunciado, cae seja ainda p : R −→ R, tal que, y → p(y).Sabemos que: y = f (x) = x + 320, ent˜o x = y − 320. Tome p(y) = y − 320, logo a 1 h(y) = g ◦ p(y) =⇒ h(y) = · (y − 320) 5
  16. 16. CAP´ ¸˜ ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 16 400 − 320 Ent˜o: h(400) = a 5 O n´ do mar ter´ subido 16cm. ıvel a 1 Resposta: h(y) = 5 · (y − 320) e 16 cmExerc´ ıcio 1.5.4 Considere a matriz   x 1 x A= 0 x 1− x 2  2 0 xO determinante de A ´ um polinˆmio p(x). e o a) Verifique se 2 ´ uma raiz de p(x). e b) Determine todas as ra´ ızes de p(x).Resolu¸ao: c˜ a) Seja A como no enunciado, como o determinante de A ´ p(x), ent˜o e a p(x) = x3 − 2x2 − x + 2. Logo p(2) = 8 − 8 − 2 + 2 = 0 Portanto 2 ´ raiz de p(x). e b) Pelo item a, 2 ´ raiz de p(x) e Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos: 2 1 -2 -1 2 1 0 -1 0 Desta forma obtemos o polinˆmio p(x) = x2 − 1, cujo as ra´ o ızes s˜o: ±1. a Ent˜o S = {−1, 1, 2} a Respostas: a) 2 ´ raiz de p(x) e b) -1,1 e 2.Exerc´ ıcio 1.5.5 Um polinˆmio de grau 3 possui trˆs ra´ o e ızes reais que, colocadasem ordem crescente, formam uma progress˜o aritm´tica em que a soma dos a etermos ´ igual a 9 . A diferen¸a entre o quadrado da maior raiz e o quadrado e 5 cda menor raiz ´ 24 . Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do e 5polinˆmio ´ 5, determine o e a) a progress˜o aritm´tica. a e b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinˆmio. o
  17. 17. CAP´ ¸˜ ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 17 Resolu¸ao: c˜ a) Sejam a − r, a e a + r as trˆs ra´ e ızes em progress˜o aritm´tica com r 0, a e temos, pelo enunciado:  9  a = 3  a−r + a + a+r = 5 5 24 =⇒ (a + r)2 − (a − r)2 = 5   r = 2 Logo a progress˜o aritm´tica ser´: a e a 7 3 13 − , e 5 5 5 b) Pelo enunciado, temos P (x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + 5. Pelas rela¸oes de c˜ Girard, temos: a2 7 3 7 13 3 13 73 = − · + − · + · =− 5 5 5 5 5 5 5 5Respostas: a) − 7 , 3 e 5 5 13 5 b) − 73 5Exerc´ıcio 1.5.6 Em uma progress˜o aritm´tica a1 , a2 , . . . , an . . . a soma dos n a eprimeiros termos ´ dada por Sn = bn e 2 + n sendo b um n´mero real. Sabendo-se uque a3 = 7 , determine a) o valor de b e a raz˜o da progress˜o aritm´tica. a a e b) o 20o termo da progress˜o. a c) a soma dos 20 primeiros termos da progress˜o. a Resolu¸ao: c˜ a) Admitindo que Sn = bn2 + n ´ v´lida, ent˜o: e a a 6 7 = a3 = S3 − S2 = b22 + 2 − b32 − 3 = 5b + 1 =⇒ b = 5 6 23 a2 = S2 − S1 = 3b + 1 = 3 · +1= 5 5 Portanto a raz˜o ser´: a a 23 12 r = a3 − a2 = 7 − = 5 5 b) Temos que 6 239 a20 = S20 − S19 = b202 + 20 − b192 − 19 = 39b + 1 = 39 · = 5 5
  18. 18. CAP´ ¸˜ ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 18 c) Utilizando a express˜o fornecida pelo enunciado, temos: a S20 = b202 + 20 = 500Respostas: 6 12 a) b = er= 5 5 239 b) a20 = 5 c) S20 = 500
  19. 19. CAP´ ¸˜ ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 191.6 Exerc´ ıcios propostos 1. Sejam a e b n´meros inteiros e seja N(a, b) a soma do quadrado da diferen¸a u c entre a e b com o dobro do produto de a por b. a) Calcule N(3, 9). b) Calcule N(a, 3a) e diga qual ´ o algarismo final de N(a, 3a) para e qualquer a ∈ Z. 2. Em Matem´tica, um n´mero natural a ´ chamado pal´ a u e ındromo se seus al- garismos, escritos em ordem inversa, produzem o mesmo n´mero. Por u exemplo, 8, 22 e 373 s˜o pal´ a ındromos. Pergunta-se: a) Quantos n´meros naturais pal´ u ındromos existem entre 1 e 9 999? b) Escolhendo-se ao acaso um n´mero natural entre 1 e 9 999, qual ´ a u e probabilidade de que esse n´mero seja pal´ u ındromo? Tal probabilidade ´ maior ou menor que 2%? Justifique sua resposta. e 3. Se Am´lia der R$ 3,00 a L´cia, ent˜o ambas ficar˜o com a mesma quantia. e u a a Se Maria der um ter¸o do que tem a L´cia, ent˜o esta ficar´ com R$ 6,00 c u a a a mais do que Am´lia. Se Am´lia perder a metade do que tem, ficar´ com e e a uma quantia igual a um ter¸o do que possui Maria. Quanto possui cada c uma das meninas Am´lia, L´cia e Maria? e u 4. Sejam a e b dois n´meros inteiros positivos tais que mdc(a, b) = 5 e o u mmc(a, b) = 105. a) Qual ´ o valor de b se a = 35? e b) Encontre todos os valores poss´ ıveis para (a, b). 5. Dada a equa¸˜o polinomial com coeficientes reais ca x3 − 5x2 + 9x − a = 0 a) Encontre o valor num´rico de a de modo que o n´mero complexo 2 + i e u seja uma das ra´ ızes da referida equa¸ao. c˜ b) Para o valor de a, encontrado no item anterior, determine as outras duas ra´ ızes da mesma equa¸˜o. ca
  20. 20. Cap´ ıtulo 2L´gica matem´tica o a O objetivo deste cap´ ıtulo ´ mostrar a importˆncia da l´gica matem´tica tanto e a o ana demonstra¸˜o de teoremas quanto na leitura de enunciados e produ¸˜es de ca cotextos.2.1 Defini¸oes gerais c˜Defini¸˜o 2.1.1 Uma proposi¸˜o ´ todo o conjunto de palavras ou s´ ca ca e ımbolosque exprimem um pensamento de sentido completo.Exemplo 2.1.1 Vejamos agora alguns exemplos de proposi¸˜es. co a) A Lua ´ um Sat´lite da Terra. e e b) Recife ´ a Capital de Pernambuco. e c) 5 ´ a raiz quadrada de 25. e d) 9 = 2 · 4 + 1Defini¸˜o 2.1.2 Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar no- cavas proposi¸˜es a partir de outras. co Estudaremos apenas os conectivos: a) e b) ou c) N˜o a d) Se, ent˜o a e) Se, e somente sePois s˜o os mais utilizados em l´gica matem´tica. a o aExemplo 2.1.2 Vejamos alguns exemplos de proposi¸˜es formadas por outra coproposi¸˜es utilizando os conectivos listados acima. co 20
  21. 21. CAP´ ´ ´ ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 21 a) O n´mero 6 ´ par e o n´mero 8 ´ cubo perfeito. u e u e b) O triˆngulo ABC ´ retˆngulo ou ´ is´sceles. a e a e o c) N˜o est´ chovendo. a a d) Se Jorge ´ Policial, ent˜o ele tem arma. e a e) O triˆngulo ABC ´ eq¨il´tero se, e somente se ´ eq¨iˆngulo. a e u a e ua2.2 Princ´ ıpios da l´gica matem´tica o a Enunciaremos aqui os dois prnc´ ıpios da l´gica matem´tica. o a2.2.1 N˜o contradi¸˜o a ca Uma proposi¸˜o n˜o pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. ca a2.2.2 Terceiro exclu´ ıdo Toda proposi¸˜o ou ´ verdadeira ou ´ falsa, isto ´, verifica-se sempre um ca e e edestes casos e nunca um terceiro.2.3 Proposi¸oes do tipo “se A, ent˜o B” c˜ a Encontra-se com freq¨ˆncia um tipo de proposi¸˜o importante em Matem´tica: ue ca aas proposi¸˜es da forma se A, ent˜o B, onde, A e B s˜o proposi¸˜es. Note que co a a coformamos esta proposi¸˜o utilizando o conectivo Se, ent˜o, mostrado anterior- ca amente. Esta comumente chamada de “implica¸˜o l´gica”. ca oExemplo 2.3.1 Os exemplos a seguir ser˜o utilizados em todo cap´ a ıtulo. ¸˜Proposicao 2.3.1 Se m e n s˜o inteiros pares, ent˜o o produto ´ um inteiro a a epar. ¸˜ ımpar, ent˜o m = 2k 2 + 1 , para algumProposicao 2.3.2 Se m ´ inteiro ´ e an´mero inteiro k. uNa proposi¸˜o 2.3.1, A ´ a proposi¸˜o ”m e n s˜o inteiros pares”, e B ´ a ca e ca a eproposi¸˜o ”produto m · n ´ um inteiro par”. ca e Na proposi¸˜o 2.3.2, A ´ a senten¸a ”m ´ inteiro ´ ca e c e ımpar”, e B ´ a senten¸a e c”m = 2k 2 + 1, para algum n´ mero inteiro k.” u A partir de agora, chamaremos A de hip´tese e B de Tese. o Analisando as proposi¸˜es acima, o leitor pode se perguntar: ”As proposi¸˜es co coacima sempre s˜o verdadeiras?”, ou ainda: ”Proposi¸˜es do tipo se A, ent˜o B s˜o a co a asempre verdadeiras?”. A resposta para essas perguntas ´ n˜o, vejamos quando e auma proposi¸˜o deste tipo ´ verdadeira. ca e
  22. 22. CAP´ ´ ´ ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 22 Uma proposi¸˜o ”Se A, ent˜o B”´ verdadeira quando em todas ca a e as situa¸˜es nas quais a hip´tese seja verdadeira co o a tese tamb´m seja verdadeira. e Ent˜o podemos concluir que uma proposi¸˜o ”Se A, ent˜o B”´ falsa quando a ca a eem pelo menos uma situa¸˜o a hip´tese seja verdadeira a tese seja falsa. Neste ca ocaso, dizemos que a proposi¸˜o possui um contra-exemplo, ou seja, um exemplo caque mostra que a proposi¸˜o ´ falsa. ca e Vejamos, abaixo, um contra-exemplo para a proposi¸˜o 2. ca e ımpar e 5 = 2k 2 +1,Exemplo 2.3.2 Tome o inteiro 5, sabemos que o mesmo ´ ´para qualquer que seja k. (Experimente!) Cuidado: Enquanto um s´ contra-exemplo permite concluir o que uma proposi¸˜o ´ falsa, ca e n˜o basta exibir exemplos para a mostrar que uma proposi¸˜o seja verdadeira. ca Mais adiante veremos como mostrar quando uma proposi¸˜o ´ verdadeira, ca emas vejamos primeiro como podemos reformular uma proposi¸˜o deste tipo. ca • A implica B. • A =⇒ B. • Se A for verdadeira, ent˜o B ser´ verdadeira. a a • A ´ uma condi¸˜o suficiente para B e ca • B ´ uma condi¸˜o necess´ria para A. e ca a2.4 A rec´ ıproca de uma proposi¸˜o ca Considere uma proposi¸˜o do tipo “Se A‘, ent˜o B”, a proposi¸˜o “Se B, ca a caent˜o A” ´ dita ser a rec´ a e ıproca da proposi¸˜o inicial. caExemplo 2.4.1 Se a proposi¸˜o ´ verdadeira n˜o significa que a rec´ ca e a ıproca seja verdadeira evice-versa, por isso estudaremos o caso quando ambas s˜o verdadeiras. a2.5 Proposi¸oes do tipo “A se, e somente se B” c˜ Como foi dito anteriormente, se tivermos que uma proposi¸˜o e sua rec´ ca ıprocasejam ambas verdadeiras, ent˜o teremos uma proposi¸˜o “A se, e somente se B”. a ca De forma an´loga, mostraremos as formas equivalentes de enunciar este tipo ade proposi¸˜o. ca • A implica B e reciprocamente
  23. 23. CAP´ ´ ´ ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 23 • A ⇐⇒ B • A ´ verdadeira se, e somente se, B for verdadeira e • A ´ uma condi¸˜o necess´ria e suficiente para B e ca a • A e B s˜o equivalentes. a Uma proposi¸˜o “A se, e somente se B” ´ verdadeira ca e quando “Se A, ent˜o B” e “Se B, ent˜o A” s˜o verdadeiras.. a a a Observa¸˜o: Se tivermos, por exemplo, duas defini¸˜es equivalentes, ent˜o ca co adeveremos mostrar que a primeira implica na segunda e a segunda na primeira.2.6 Nega¸˜o de uma Proposi¸˜o ca ca Ser´ de extrema importˆncia o conceito de nega¸˜o de uma proposi¸˜o, n˜o a a ca ca aque isso ir´ de fato mudar sua vida, mas geralmente muitos alunos cometem erros aquando tentam negar proposi¸˜es. Denotaremos a nega¸˜o de uma proposi¸˜o co ca caP por n˜o P , ou simplesmente por ∼ P . aExemplo 2.6.1 ”Rodrigo n˜o ´ cantor.” ´ a nega¸˜o da proposi¸˜o ”Rodrigo ´ a e e ca ca ecantor.”2.6.1 Nega¸˜o de conectivos ca Quando negamos uma proposi¸˜o nossa intui¸˜o falha quando tentamos negar ca caconectivos. Vejamos como fazer isso. 1. N˜o “e” = “ou” a 2. N˜o “ou” = “e” a 3. N˜o “Para todo” = “Existe” a 4. “N˜o Existe” = “Para todo” a Vejamos alguns exemplo de nega¸˜es de proposi¸˜es co coExemplo 2.6.2 Vamos negar as proposi¸˜es abaixo: co a) Eu tenho um carro. b) Renato ´ aluno e mecˆnico. e a c) Para toda tampa existe uma panela.Ent˜o a nega¸˜o ser´: a ca a a) Eu n˜o tenho um carro. a b) Renato n˜o ´ aluno ou mecˆnico. a e a c) Existe uma panela que N˜o tem tampa. a
  24. 24. CAP´ ´ ´ ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 242.7 Exerc´ ıcios resolvidosExerc´ ıcio 2.7.1 Se algu´m te dissesse: “Se fizer Sol ent˜o eu vou ` praia”, e e a adias depois vocˆ visse essa pessoa na praia o que vocˆ concluiria? e e Resolu¸˜o: ca Nada podemos concluir, pois se trata de uma proposi¸˜o do tipo “Se A, ent˜o ca aB”, logo, se B, ´ verdadeira n˜o, podemos concluir que A ´ verdadeira. (Pode e a eestar chovendo e ele estar na praia, pois a afirma¸˜o n˜o diz nada sobre quando ca aestiver chovendo).2.8 Tipos de Demonstra¸oes c˜ Vejamos como podemos responder a quest˜o deixada na se¸˜o anterior, ou a caseja, como podemos demonstrar (mostrar, provar,..) que uma proposi¸˜o ´ ver- ca edadeira. Infelizmente n˜o existe um m´todo pr´tico para fazer isso em qualquer a e asitua¸˜o, ali´s existem problemas abertos na matem´tica que ainda n˜o se sabe ca a a acomo demonstrar e prˆmios que valem US$ 1.000.000. Mas podemos respon- eder outra pergunta: “Quais s˜o as maneiras de se provar uma proposi¸˜o?” , a cavejamos abaixo, como classific´-las: a 1. Demonstra¸˜o direta ca 2. Demonstra¸˜o por meio de argumentos l´gicos ca o 3. Demonstra¸˜o por contradi¸˜o (ou por absurdo) ca ca Ao final de cada demonstra¸˜o, devemos indicar ao leitor o seu t´rmino. Isso ca epode ser feito de duas formas: utilizando o s´ ımbolo ou a sigla c.q.d .2.8.1 Demonstra¸˜o direta ca Neste tipo de demonstra¸˜o, verificamos todos os casos em que a proposi¸˜o ca ca ´seja verdadeira. E bom lembrar que isto s´ acontece quando temos um n´mero o ufinito de casos para verificar.Exemplo 2.8.1 Considere a proposi¸˜o ”Se n ∈ {3, 5, 17, 31}, ent˜o n ´ um ca a en´mero primo” uverificaremos os casos em que a proposi¸˜o seja verdadeira. caComo podemos ver, todos os n´meros deste conjunto s˜o primos, logo a proposi¸˜o u a ca´ verdadeira.eExemplo 2.8.2 Prove que o conjunto P = {6, 28, 496}, possui pelo menos 2n´meros perfeitos . uProva:Vejamos, os divisores pr´prios de 6 s˜o 3, 2 e 1 e 6 = 3 + 2 + 1 o ae analogamente temos que 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, logo 6 e 28 s˜o n´meros a uperfeitos.Portanto P possui pelo menos 2 n´meros perfeitos. u
  25. 25. CAP´ ´ ´ ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 252.8.2 Demonstra¸˜o por meio de argumentos l´gicos ca o Esse tipo ´ a mais utilizada, talvez a id´ia mais intuitiva quando tentamos e efazer uma demonstra¸˜o. O objetivo ´ concluir a veracidade da tese com ar- ca egurmentos l´gicos e sempre utilizando as hip´teses. Embora pare¸a f´cil, n˜o o o c a aexiste um m´todo pr´tico para este tipo de demonstra¸˜o; ali´s, essa ´ a maior e a ca a edificuldade de se provar proposi¸˜es. co Veremos agora alguns exemplos de demonstra¸˜es. coExemplo 2.8.3 Prove que o quadrado de um n´mero par ´ sempre par e o u equadrado de um n´mero ´ u ımpar ´ sempre ´ e ımpar. Prova:Seja x um n´mero par, ent˜o x = 2n, para algum n ∈ Z, elevando x ao quadrado, u atemos x2 = (2n)2 , ent˜o x2 = 22 n2 = 2(2n2 ). Logo x2 ´ par. a e Analogamente, seja x um n´mero ´ u ımpar, ent˜o x = 2n+1, para algum n ∈ Z, aelevando x ao quadrado, temos x2 = (2n + 1)2 , ent˜o x2 = (2n)2 + 2(2n) + 1 = a2(2n 2 + 2n) + 1. Logo x2 ´ ´ e ımpar.Exemplo 2.8.4 Prove que p(x) = x2 − 5x + 6 e q(x) = x2 − 1, n˜o possuem ara´ ızes em comum. Prova: Achando as ra´ ızes de p(x) x2 − 5x + 6 = 0,ent˜o por B´skara x = 2 ou x = 3 a aPortanto S1 = {2, 3} Achando as ra´ ızes de q(x) x2 − 1 = 0 x2 = 1 x = ±1,Portanto S2 = {−1, 1} Como S1 ∩ S2 = ∅, ent˜o p(x) e q(x) n˜o possuem ra´ a a ızes em comum.
  26. 26. CAP´ ´ ´ ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 262.8.3 Demonstra¸˜o por contradi¸˜o (ou por absurdo) ca ca Este tipo de demonstra¸˜o ´ muito comum em matem´tica, apesar de n˜o ca e a aser natural aos iniciantes. Para provamos uma proposi¸˜o por absurdo, procedemos da seguinte maneira: caNegamos a tese e chegamos na nega¸˜o da hip´tese. Veremos agora alguns e- ca oxemplos.Exemplo 2.8.5 Prove que p(x) = x2 − 5x + 6 e q(x) = x2 − 1, n˜o possuem ara´ ızes em comum. Prova: Vamos supor por absurdo que p(x) e q(x) possuam pelo menos umaraiz em comum. Ent˜o existe um n´mero a tal que p(a) = q(a) a u a2 − 5a + 6 = a2 − 1 Ent˜o a 5a − 6 = 1, 7 Logo a = 5 Como p( 7 ) 5 = 0, ent˜o chegamos num absurdo. a Portanto p(x) e q(x) n˜o possuem ra´ a ızes em comum. √Exemplo 2.8.6 Prove que 2 n˜o ´ um n´mero racional . a e u √ Prova: Vamos supor por absurdo que 2 ∈ Q, ent˜o existem p ∈ Z e q ∈ Z∗ , √ atais que p = 2, seja uma fra¸˜o irredut´ q ca ıvel. Elevando ao quadrado, temos: 2 p =2 q p2 =2 q2 p2 = 2q 2 , Ent˜o p2 ´ par. a e Afirma¸˜o: p2 ´ par, ent˜o p tamb´m ´ par. ca e a e e Vamos supor por absurdo que p fosse ´ ımpar, ent˜o p = 2k + 1, para algum ak ∈ Z =⇒ p2 = (2k)2 + 2(2k) + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1, logo p2 ´ ´ e ımpar. Mas isso ´ um absurdo, pois p2 ´ par. e e Ent˜o p ´ par. a eComo p ´ par, ent˜o p = 2a. Logo e a (2a)2 = 2q 2 2a2 = q 2 ,Analogamente q 2 ´ par e portanto q ´ par. e e p Portanto q ´ uma fra¸˜o redut´ e ca ıvel, pois p e q s˜o ambos pares. a
  27. 27. CAP´ ´ ´ ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 27 o que ´ um absurdo, pois p ´ uma fra¸˜o irredut´ e q e ca ıvel. √ Logo 2 n˜o ´ um n´mero racional. a e u2.9 Nomenclatura para proposi¸oes c˜ Estudamos at´ agora um tipo especial de proposi¸˜es, mas veremos que exis- e cotem contextos em que nomeamos estes tipos de proposi¸˜es. Vejamos agora esta conomenclatura. • Axioma: Proposi¸˜o aceita como verdadeira. ca • Teorema: Proposi¸˜o que pode ser demonstrada. ca • Lema: Teorema usado na demonstra¸˜es de outros teoremas principais. co • Corol´rio: Consequˆncia imediata de um teorema. a e
  28. 28. CAP´ ´ ´ ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 282.10 Exerc´ ıcios ResolvidosExerc´ ıcio 2.10.1 Sejam A e B duas matrizes de ordem n × n, tal que n ´ einteiro. Sabendo que det(A · B) = det(A) · det(B): a) Mostre o resultado para o caso particular n = 2. b) Mostre que det(A) · det(A−1 ) = 1, onde A−1 ´ a inversa de A. eResolu¸ao: c˜ a11 a12 b11 b12 a) Tome A = e B = , ent˜o fazendo a multi- a a21 a22 b21 b22 plica¸˜o de matrizes temos: ca a11 a12 b11 b12 a11 · b11 + a12 · b21 a11 · b12 + a12 · b22 · = a21 a22 b21 b22 a21 · b11 + a22 · b21 a21 · b12 + a22 · b22 Calculando det(A · B), temos: det(A · B) = (a11 ·b11 +a12 ·b21 )(a21 ·b12 +a22 ·b22 )−(a21 ·b11 +a22 ·b21 )(a11 ·b12 +a12 ·b22 ) = (a11 · b11 · a21 · b12 + a12 · b21 · a21 · b12 + a11 · b11 · a22 · b22 + a12 · b21 · a22 · b22 )− (a21 · b11 · a11 · b12 + a22 · b21 · a11 · b12 + a21 · b11 · a12 · b22 + a22 · b21 · a12 · b22 ) = (a11 · a22 · b11 · b22 + a12 · a21 · b12 · b21 ) − (a11 · a22 · b12 · b21 + a12 · a21 · b11 · b22 ) = a11 · a22 · b11 · b22 − a11 · a22 · b12 · b21 − a12 · a21 · b11 · b22 + a12 · a21 · b12 · b21 = (a11 · a22 − a12 · a21 )(b11 · b22 − b12 · b21 ) = det(A) · det(B). b) Sabemos que A · A−1 = In , ent˜o det(A) · det(A−1 ) = det(A · A−1 ) = a det(In ) = 1Exerc´ ıcio 2.10.2 Sejam α, β e γ os ˆngulos internos de um triˆngulo. a a a) Mostre que as tangentes desses trˆs ˆngulos n˜o podem ser, todas elas, e a a maiores ou iguais a 2. b) Supondo que as tangentes dos trˆs ˆngulos sejam n´meros inteiros posi- e a u tivos, calcule essas tangentes.
  29. 29. CAP´ ´ ´ ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 29 Resolu¸˜o: ca a) Suponha por absurdo que as trˆs tangentes sejam maiores ou iguais a 2, e ou seja,    tg(α) 2  α 60o tg(β) 2 =⇒ β 60o   tg(γ) 2 γ 60o Ent˜o chegamos num absurdo, que α + β + γ 180o . a b) Sabemos que α + β = 180o − γ, ent˜o: a tg(α + β) = tg(−γ) = −tg(γ), ent˜o a tg(α) + tg(β) = −tg(γ) 1 − tg(α) · tg(β) tg(α) + tg(β) = −tg(γ) + tg(α) · tg(β) · tg(γ) tg(α) + tg(β) + tg(γ) = tg(α) · tg(β) · tg(γ). Pelo item a, sabemos que as tangentes n˜o podem ser todas elas maiores a que 2, ent˜o sabemos que pelo menos uma das tangentes ´ igual a 1, pois a e s˜o n´meros inteiros, supondo digamos que tg(α) = 1, ent˜o a u a 1 + tg(β) + tg(γ) = tg(β) · tg(γ). Como todas as tangentes s˜o n´meros inteiros positivos, ent˜o basta a u a testar um n´mero pequeno que casos e concluir que tg(α) = 1, tg(β) = 2 e u tg(γ) = 3.Respostas: a) Demosntra¸˜o ca b) 1, 2 e 3Exerc´ ıcio 2.10.3 Sejam x = 1 e y = 0, 999 . . . (d´ ızima per´ ıodica). Quais dasafirma¸˜es s˜o verdadeiras? co a a) x y b) x = y c) x yJustifique rigorosamente sua resposta. Resolu¸˜o: Exibiremos duas maneiras para resolver esse exerc´ ca ıcio.
  30. 30. CAP´ ´ ´ ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 301o Modo Sabemos que y = 0, 999 . . ., ent˜o 10y = 9, 999 . . .. a Subtraindo a segunda equa¸˜o pela primeira, temos: ca 10y − y = 9, 999 . . . − 0, 999 . . . =⇒ 9y = 9 =⇒ y = 1, e portanto x = y.2o Modo Sabemos que y = 0, 999 . . ., ent˜o escrevendo y uma forma diferente, a temos: y = 0, 999 . . . = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + 0, 0009 + . . . que ´ nada mais do que uma soma infinita de uma e P.G. (0, 9; 0, 09; 0, 009; 0, 0009; . . .)r=10−1 , logo 0, 9 0, 9 y = 0, 999 . . . = 0, 9+0, 09+0, 009+0, 0009+. . . = −1 = = 1 = x, 1 − 10 0, 9 logo x = y. Alternativa b 1Exerc´ıcio 2.10.4 Considere as fun¸˜es f (x) = log3 (9x2 ) e g(x) = log3 ( x ), codefinidas para todo x 0. a) Resolva as equa¸oes f (x) = 1 e g(x) = −3 c˜ b) Mostre que 1 + f (x) + g(x) = 3 + log3 xResolu¸ao: c˜ √ 1 3 a) log3 (9x2 ) = 1=⇒9x2 = 3=⇒x2 = =⇒x = ± , mas como tinhamos a 3 3 condi¸˜o x 0. ca √ 3 Ent˜o S = { a } 3 1 1 1 log3 ( x ) = −3 =⇒ = =⇒ x = 27. x 27 Ent˜o S = {27} a b) Temos que: 1 1 + f (x) + g(x) = 1 + log3 (9x2 ) + log3 ( ) = x 1 1 log3 (3) + log3 (9x2 ) + log3 ( ) = log3 (3 · 9x2 · ) = x x log3 (33 x) = log3 (33 ) + log3 (x) = 3 + log3
  31. 31. CAP´ ´ ´ ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 312.11 Exerc´ ıcios Propostos 1. Sejam a e b n´meros naturais, mostre que: u a) Se a e b s˜o pares, ent˜o a + b ´ par. a a e b) Se a e b s˜o pares, ent˜o a · b ´ par. a a e c) Se a e b s˜o ´ a ımpares, ent˜o a + b ´ par. a e d) Se a e b s˜o ´ a ımpares, ent˜o a · b ´ ´ a e ımpar. 2. Prove as seguintes igualdades trigonom´tricas: e 1 1 a) cos(a2 ) = 2 + 2 cos2a 1 1 b) sen(a2 ) = 2 − 2 cos2a c) sen(a + b) · sen(a − b) = cos2 a − cos2 b 3. Prove que: a) A fun¸˜o f : X −→ Y ´ injetora se, e somente se, existe uma fun¸˜o ca e ca g : Y −→ X tal que g(f (x)) = x, para todo x ∈ X. b) A fun¸˜o f : X −→ Y ´ sobrejetora se, e somente se, existe uma ca e fun¸˜o h : Y −→ X tal que f (h(y)) = y, para todo y ∈ Y . ca 4. Mostre que se a 0, b 0 e c 0, c = 1 ent˜o: a a logc ( ) = logc (a) − logc (b) b 5. Demonstre que a mediana relativa ` base de um triˆngulo is´sceles ´ a a o e tamb´m bissetriz. e 6. Demonstre que a bissetriz relativa ` base de um triˆngulo is´sceles ´ tamb´m a a o e e mediana. 7. Demonstre que as medianas relativas aos lados congruentes de um triˆngulo a is´sceles s˜o congruentes. o a 8. Enuncie e prove o teorema de Pit´goras. a
  32. 32. Sugest˜es e Respostas o Cap. 1 1. a) Primeiro calcule a express˜o geral N (a, b) = (a − b)2 + 2ab = a2 + b2 , para a ent˜o concluir que N (3, 9) = 90. a b) Com a express˜o geral encontrada conclua que N (a, 3a) ´ um n´mero m´ltiplo a e u u de 10, logo possui final 0. 2. a) 198 n´meros pal´ u ındromos. 198 22 2 2 b) Calculando a probabilidade, temos = = = 2% 9999 1111 101 100 3. Am´lia possui 24 reais, L´cia possui 18 reais e Maria possui 36 reais. e u 4. a) Utilize a rela¸˜o mdc(a, b) · mmc(a, b) = a · b, ent˜o conclua que b = 15 ca a b) Decomponha 105 em n´meros primos e veja que o unico fator comum entre u ´ 105 e 35 ´ 5, ent˜o as unicas possibilidades s˜o (5; 105), (15; 35), (35; 15) e a ´ a ou (105; 5). 5. a) Substitua 2 + i na equa¸˜o e iguale a zero, obtendo a = 5. ca b) Utilize o teorema das ra´ complexas e conclua que 2 − i ´ uma outra raiz ızes e da equa¸˜o, utilize uma das rela¸˜es de Girard e conclua que 1 ´ a terceira ca co e raiz. Cap. 2 1. a) Tome a = 2k e b = 2n, ent˜o a + b = 2(k + n). Logo a + b ´ par. a e b) Tome a = 2k e b = 2n, ent˜o a · b = 2(k · n). Logo a · b ´ par. a e c) Tome a = 2k + 1 e b = 2n + 1, ent˜o a + b = 2(k + n + 1).Logo a + b ´ par. a e d) Tome a = 2k + 1 e b = 2n + 1, ent˜o a · b = 2[2(k · n) + (k · n)] + 1 =. Logo a a·b ´´ e ımpar. 2. a) Na f´rmula da soma de cossenos, cos(a + b) = cos(a) · cos(b) − sen(a) · sen(b), o tome a = b. Ent˜o cos(2a) = cos2 (a)−sen2 (a) = cos(2a) = 2cos2 (a)−1 =⇒ a cos(a2 ) = 1 + 1 cos2a 2 2 b) An´logo ao ”item a”. a c) Na f´rmula da soma e diferen¸a de senos, temos sen(a+b) = sen(a)·cos(b)+ o c sen(b) · cos(a) e sen(a − b) = sen(a) · cos(b) − sen(b) · cos(a). Ent˜o fa¸a a c sen(a + b) · sen(a − b) e conclua a igualdade. 3. a) Sabemos que f ´ injetora, logo se f (x1 ) = f (x2 ), ent˜o x1 = x2 , portanto e a tomamos g(x) = x, pois x1 = g(f (x1 )) = g(f (x2 )) = x2 . Reciprocamente, se existe uma g : Y −→ X tal que g(f (x)) = x, ent˜o em particular, g(f (x1 )) = a x1 e g(f (x2 )) = x2 , logo se f (x1 ) = f (x2 ), ent˜o x1 = x2 , o que implica que a f ´ injetora. e 32
  33. 33. CAP´ ´ ´ ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 33 4. Tome x = log( a )c , y = log(a)c e z = log(b)c . Pelas propriedades de logaritmo b cy e potencia¸˜o, temos: cx = a , cy = a e cz = b =⇒ cx = z = cy−z =⇒ x = ca b c y − z=⇒log( a )c = log(a)c − log(b)c . b 5. Tome um triˆngulo ABC is´sceles de base BC, seja M um ponto em BC, tal que a o AM seja a mediana. Por constru¸˜o AB ≡ AC e BM ≡ M C e B ≡ C, logo ca pelo caso LAL (lado ˆngulo lado), os triˆngulo ABM e ACM s˜o congruentes e a a a portanto os ˆngulos B AM e C AM s˜o congruentes e por isso AM tamb´m ´ a a a e e bissetriz do triˆngulo. a 6. An´logo ao anterior. a 7. Tome um triˆngulo ABC is´sceles de base BC, sejam M, N, pontos em AC e a o AB,respectivamente, tais que BM e CN sejam as medianas destes triˆngulos rela- a tivas aos lados AC e AB. Constru´ ımos, desta forma, dois triˆngulos ACN e ABM a congruentes pelo caso LAL, ent˜o conclu´ a ımos que BM e CN s˜o congruentes. a
  34. 34. Apˆndice A eC´lculo de inversa de matrizes aA.1 Via sistemas linearesDefini¸˜o A.1.1 Seja A uma matriz quadrada de ordem n, se exister uma ma- catriz quadrada A−1 de ordem n tal que A · A−1 = In e A−1 · A = In , onde In ´ a ematriz identidade de ordem n, ent˜o A−1 ´ dita ser a matriz inversa de A. a eVeremos agora atrav´s de um exemplo como podemos encontrar a matriz inversa epela defini¸˜o. ca 2 1 x11 x12Exemplo A.1.1 Seja A = , ent˜o tomamos A−1 = a , 1 2 x21 x22usando a defini¸˜o, temos: ca 2 1 x11 x12 0 1 A · A−1 = I =⇒ · = 1 2 x21 x22 1 0Fazendo a multiplica¸˜o das matrizes e igualdando matriz resultante com a ma- catriz identidade, temos o seguinte sistema:   x11 = 2     3  2x11 + x21 = 1              2x12 +  12 = − 1  x   x22 = 0  3 =⇒   x11   1   + 2x21 = 1  x  21 = −         3    x12 + 2x22 = 0     x 2 22 = 3  2 1  −  3 3  Logo, A−1 =     1 2 − 3 3 34
  35. 35. ˆ ´APENDICE A. CALCULO DE INVERSA DE MATRIZES 35A.2 Via matriz dos cofatores Com o uso deste m´todo ´ poss´ e e ıvel calcular inversas de matrizes de ordemmaiores que 2 e 3, cujo os c´lculos pela defini¸˜o costumam ser longos. a caDefini¸˜o A.2.1 Sejam M uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e aij um caelemento de M , definimos menor complementar do elemento aij , o deter-minante da matriz que se obt´m suprimindo a linha i e a coluna j de M e o eindicaremos por Dij .Defini¸˜o A.2.2 Sejam M uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e aij um caelemento de M , o cofator do elemento aij ´ dito ser, o n´mero (−1)i+j · aij · Dij e ue o indicaremos por Aij   4 3 4Exemplo A.2.1 Seja A =  2 1 5 , calculando os cofatores de a11 = 4 e 3 3 2a23 = 5 1 5 4 4 A11 = (−1)1+1 · = −6 e A23 = (−1)2+3 · = −6 3 2 3 2Defini¸˜o A.2.3 Seja M uma matriz quadrada, a matriz formada pelos cofa- catores dos elemnetos de M ´ dita ser a matriz dos cofatores de M e ´ repre- e esentada por M , ou seja,     a11 a12 . . . a1n A11 A12 . . . A1n  a21 a22 . . . a2n   A21 A22 . . . A2n       a31 a32 . . . a3n   A31 A32 . . . A3n  M =  =⇒ M =    . . . . .. . .   . . . . .. . .   . . . .   . . . .  an1 an2 . . . ann An1 An2 . . . Ann 2 1Exemplo A.2.2 Seja M = , calculando os cofatores da matriz M , 1 2temos A11 = 2, A12 = −1, A21 = −1 e A22 = −2 2 −1 M = −1 2   1 0 2Exemplo A.2.3 Seja M =  2 1 3 , calculando os cofatores da matriz 3 1 0M , temos A11 = −3, A12 = 9, A13 = −1, A21 = 2, A22 = −6, A23 = −1 A31 = −2, A32 = 1, A33 = 1
  36. 36. ˆ ´APENDICE A. CALCULO DE INVERSA DE MATRIZES 36   −3 9 −1 M =  2 −6 −1  −2 1 1Defini¸˜o A.2.4 Seja M como na defini¸˜o anterior, a transposta da matriz ca cados cofatores ´ dita ser a matriz adjunta, e ´ denotada por e e M = (M )t .Teorema A.2.1 Seja M ´ uma matriz quadrada de ordem n e det(M ) = 0 eent˜o a matriz inversa ´ dada por: a e M M −1 = . det(M )   1 0 2Exemplo A.2.4 Seja M =  2 1 3 , Vemos facilmente que 3 1 0 det(M ) = −5,Ent˜o a     −3 9 −1 −3 2 −2 M =  2 −6 −1  =⇒ M =  9 −6 1  −2 1 1 −1 −1 1Pelo teorema,   3 2 2 −  5 5 5       9 6 1  M −1 = −  5 −   5 5      1 1 3  − 5 5 5
  37. 37. Apˆndice B eM´todo para resolu¸˜o de e casistemas lineares Sejam A, X e B matrizes, tais que A seja invert´ e ıvel A·X =BComo A ´ invert´ e ıvel ent˜o existe uma matriz A−1 tal que A · A−1 = In , onde aIn ´ a matriz identidade de ordem n. Se multiplicarmos A · X = B, por A−1 , eteremos: A−1 · A · X = A−1 · B,Ent˜o a X = A−1 · B.E como vimos, conseguimos expressar a matrix X em fun¸˜o de A e B. caAgora considere o sistema linear abaixo:   a11 x1 + a12 x2 + . . . a1n xn = b1    a21 x1 + a22 x2 + . . . a2n xn = b2 . . . . . . . .   . . ... . .   an1 x1 + an2 x2 + . . . ann xn = bn   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n     Sejam A, X e B matrizes, ent˜o Tome A =  a31 a32 . . . a3n a ,  . . .. .   . . . . . . .  an1 an2 . . . ann     x1 b1  x2   b2       x3    X=  e B =  b3   .   .   .  .  .  . xn bn E desta forma, encontramos a matriz X formada pela inc´gnitas x1 , x2 , . . . , xn oe ent˜o resolvemos o sistema linear. a 37

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