Concurso Público Banco do Brasil                                             INTRODUÇÃO                    Temos seis conj...
NÚMEROS NATURAIS           Começando pelo zero e acrescentando uma unidade, vamos escrevendo o           conjunto dos núme...
percorrer até chegar em Maceió? Esta é uma pergunta relativamente fácil de           responder, basta somar as distâncias:...
Exemplo:           A expressão (10 - 5) + 2 = 5 + 2 = 7 e 10 - (5 + 2) = 10 - 7 = 3, são diferentes, daí a           impor...
Somando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos termos de uma subtração,           a diferença não se altera.           Ex...
2º) (7 - 4) x 5 = 7 x 5 - 5 x 4 = 15           Essa propriedade é chamada distributiva porque o multiplicador se distribui...
⇒ 53 = 6 × 8 + 5                                      NÚMEROS INTEIROS (Z)           Em tempos remotos, com o desenvolvime...
1) Calcule a soma algébrica: -150 - 200 + 100 + 300           Resolução:                                                  ...
-4 - 14 + 3           -18 + 3           -15                         NÚMEROS RACIONAIS (Q) - FRAÇÕES           São aqueles ...
⇒ Representação                 Uma fração é representada por meio de dois números inteiros, obedecendo           uma cert...
b) Frações Impróprias: O numerador se apresenta maior que o denominador.           Nesse caso a fração é maior que a unida...
1-)             3       1                 =             6       2           2-)            mmc (2, 5, 7) = 70           3-...
2) Se multiplicarmos ou dividirmos o denominador de uma fração por um número               diferente de zero, o valor da f...
NÚMEROS MISTOS                  Número misto é aquele formado por um número inteiro e uma fração.                  Para tr...
4   4             4              >      >            5   7            10           3) Quando as frações têm numeradores e ...
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES                   Significa obter uma outra fração equivalente na qual o numerador e o           ...
v Caso 2:           Denominadores Diferentes                "Reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum e aplica-se ...
4            7        2       2       7           2         28                  ×           ×        =       ×           ×...
A união de todos os conjuntos vistos até agora dará origem ao conjunto dos           números reais, representado pela letr...
c) 7 elementos d) 8 elementos           P6) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 1080 para se obter um       ...
e) e) e)           P15) Quer-se circundar de árvores, plantadas à máxima distância comum, um           terreno de forma qu...
P25) Sueli trabalha após as aulas numa loja de fazendas. Uma tarde recebeu uma           peça de linho de 45 metros para v...
P39) R$120,00 são distribuídos entre cinco pobres. O primeiro recebe ½, o           segundo 1/5 do que recebeu o primeiro ...
P51) É correto afirmar que dividir 804 por 4 e multiplicar o resultado por 3 dá o           mesmo resultado que multiplica...
P15) C           P16) 1941           P17) Duas voltas da menor ou três voltas da menor           P18) Os ciclistas se enco...
P40) 45.000           P41) 105           P42) 14 quilômetros e 21 quilômetros           P43) 1º) 14,0839; 2º) 462,791     ...
Escrevem-se os números decimais uns sobre os outros de modo que as           vírgulas se correspondam; somam-se os números...
Reduzem-se o dividendo e o divisor ao mesmo número de casas decimais,           desprezam-se as vírgulas de ambos, e efetu...
53 - {[ 48 + 4 ] - [ 25 - 25]}                                                      53 - {52 - 0}                         ...
Todo número que é par é divisível por 2.           Exemplos: 762, 1 572, 3 366 etc.           Somam-se os algarismos do nú...
Exemplos:           760, 1 575, 3 320.           Todo número que é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, será também, di...
Como 42 é divisível por 7, então 4 809 também o é.           Observe os três últimos algarismos, se for três zeros ou uma ...
Um número será divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem           par e a soma dos algari...
Nota: utilizando-se os critérios de divisibilidade, poderemos evitar algumas dessas divisões.           Exemplo:          ...
Vamos determinar o total de divisores de 80.           Fatorando-se o número 80 encontraremos:              80 = 24 × 51  ...
Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte forma:                   MDC (60, 280) = 20           2-) Deter...
3O. Passo: O resto da divisão vai para a lacuna do meio do lado direito de 60 e repete-se os           passos 1, 2 e 3 até...
mdc (144, 160) = 24 = 16           Então:           144 ÷ 16 = 9           O maior divisor de 144 é 16 e o menor quociente...
Isto significa que 18 e 36 são múltiplos comuns de 6 e 9, isto é, estes números são           divisíveis ao mesmo tempo po...
Então:           mmc (70, 140, 180) = 22 x 32 x 5 x 7 = 1260                                RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC   ...
EXERCÍCIO RESOLVIDO                   Para identificarmos se um problema deve ser resolvido através do M.M.C. temos       ...
MEDIDAS DE COMPRIMENTO                  A medida básica de comprimento é o metro cujo símbolo é m.                  O metr...
MUDANÇA DE UNIDADE           Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de unidades        ...
EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE COMPRIMENTO           P 1) Reduzir 28,569 hm a metros.           P 2) Exprimir 456,835 cm em quilô...
P 13) Com 32,40 m de arame, Roberto quer formar 20 pedaços de mesmo comprimento.           Qual deverá ser o comprimento d...
P11) 16 cm           P12) Passando por C           P13) 1,62 m           P14) 87,5 km           P15) E                    ...
Quilômetro Quadrado (km2 ) - que corresponde a uma região quadrada de 1 km de           lado, eqüivalendo a 1.000.000 m2. ...
Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros quadrados para           centímetros quadrados, vamos multiplicar o...
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS AGRÁRIAS           P 1) Uma fazenda tem 6 há de área. Qual sua área em m2?           P 2) Uma res...
" Capacidade é o volume de líquido que um sólido pode conter em seu interior".                    Assim, quando dizemos qu...
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MEDIDAS DE MASSA                 "Massa de um corpo qualquer é a quantidade de matéria que esse corpo contém".            ...
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MEDIDAS DE TEMPO                  A unidade fundamental do tempo é o segundo. As unidades secundárias, que se           ap...
MUDANÇA DE UNIDADES           Podem ocorrer dois casos:           Caso 1: Transformação de número complexo em unidades inf...
P 6) As 9 h da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 min em 24 h. Que horas serão, na           verdade, quando o relóg...
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE             "São ângulos cujos lados de um, são semi-retas opostas aos lados do outro,       ...
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CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS ÂNGULOSPDF Creator - PDF4Free v2.0                              http://www.pdf4free.com
QUADRILÁTEROS                       "Os Quadriláteros são Polígonos de quatro lados".                                     ...
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  1. 1. Concurso Público Banco do Brasil INTRODUÇÃO Temos seis conjuntos numéricos existentes, os naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos. Estudaremos, nesta primeira parte, somente os cinco primeiros. O conjunto dos números naturais são os primeiros a serem estudados. São os inteiros e positivos. O conjunto dos números inteiros são aqueles que envolvem os naturais e os negativos. O conjunto dos racionais são todos aqueles que podem ser escritos na forma de frações, já os irracionais não podem ser escritos na forma de fração. Os reais vão englobar todos os anteriores.PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  2. 2. NÚMEROS NATURAIS Começando pelo zero e acrescentando uma unidade, vamos escrevendo o conjunto dos números naturais, representados pela letra IN: IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} A reticências significa que o conjunto não tem fim, pois um número natural sempre possui um sucessor e a partir do zero um sucessor. Exemplos: v o sucessor de 10 é 11 e o antecessor de 10 é 9. v o ano que sucede 2003 é 2004 e 2002 antecede 2003. v Generalizando: o sucessor de n é n + 1 e o antecessor de n é n - 1. Exercícios Resolvidos 1) Um número natural e seu sucessor chamam-se consecutivos. Escreva todos os pares de números consecutivos entre esses números: 2 - 10 - 9 - 101 - 0 - 1 - 256 - 702 - 500 - 255 Resolução: 0 e 1; 1 e 2; 9 e 10; 255 e 256 2) Hudson disse: "Reinivaldo tem 45 anos. Thaís é mais velha que Reinivaldo. As idades de Reinivaldo e Thaís são números consecutivos. A minha idade é um número que é o sucessor do sucessor da idade de Thaís ". Quantos anos Hudson tem? Resolução: Como Thaís é mais velha que Reinivaldo e as suas idades são números consecutivos, então se Reinivaldo tem 45 anos, Thaís tem 46 anos. Como a idade de Hudson é o sucessor do sucessor de 46, então esta idade será 48 anos. 3) Escreva todos os números naturais que são maiores que 3 e menores que 7. Resolução: Seja o conjunto: A = {x ∈ IN / 3 < x < 7}, por uma propriedade específica o enunciado do exercício ficará escrito desta forma, ilustrando todos os elementos fica assim: A = {4, 5, 6} ADIÇÃO Um automóvel segue de João Pessoa com destino a Maceió. Seu condutor deseja passar por Recife, sabendo-se que a distância de João Pessoa até Recife é de 120 km e que Recife está a 285 km de Maceió, quantos quilômetros o automóvel iráPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  3. 3. percorrer até chegar em Maceió? Esta é uma pergunta relativamente fácil de responder, basta somar as distâncias: 285 + 120 = 405 km. Adição é uma operação que tem por fim reunir em um só número, todas as unidades de dois, ou mais, números dados. O resultado da operação chama-se soma ou total, e os números que se somam, parcelas ou termos. Propriedades Fechamento - A soma de dois números naturais é sempre um número natural. Ex: 8 + 6 = 14 Elemento Neutro - Adicionando-se o número 0 (zero) a um número natural, o resultado é o próprio número natural, isto é, o 0 (zero) não influi na adição. Ex: 3 + 0=3 Comutativa - A ordem das parcelas não altera a soma. Ex: 3 + 5 + 8 = 16 ou 5 + 8 + 3 = 16 Associativa - A soma de vários números não se altera se substituirmos algumas de suas parcelas pela soma efetuada. Os sinais empregados para associações são denominados: ( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves Exemplos: 8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 = 11 + 5 = 16 13 + 5 + 2 + 7 = (13 + 5) + (2 + 7) = 18 + 9 = 27 De um modo geral a + (b + c) = (a + b) + c Nota: Estudando-se as línguas, verificamos a importância da colocação das vírgulas para entendermos o significado das sentenças. Exemplo: 1) "Tio Sérgio, André vai ao teatro." 2)"Tio, Sérgio André vai ao teatro." Podemos verificar que essas duas sentenças apresentam significados diferentes, pelo fato da vírgula ter sido deslocada. Nas expressões e sentenças matemáticas, os sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves) podem funcionar como verdadeiras vírgulas. Resolvem-se os sinais na seqüência: ( ) parênteses [ ] colchetes{ } chavesPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  4. 4. Exemplo: A expressão (10 - 5) + 2 = 5 + 2 = 7 e 10 - (5 + 2) = 10 - 7 = 3, são diferentes, daí a importância da associação. Dissociativa - Em toda soma pode-se substituir uma parcela por outra cuja soma seja igual a ela. Esta propriedade é de sentido contrário da anterior. Exemplo: 9 + 3 + 8 = (5 + 4) + 3 + 8 (Neste caso o número 9 foi dissociado em dois outros 5 e 4). De uma maneira geral (a + b) + c = a + b + c. Observe que o zero como parcela não altera a soma e pode ser retirado. Exemplo: 20 + 7 + 0 + 3 = 20 + 7 + 3 SUBTRAÇÃO Fabiano fez um depósito de R$ 1 200,00 na sua conta bancária. Quando retirou um extrato, observou que seu novo saldo era de R$ 2 137,00. Quanto Fabiano tinha em sua conta antes do depósito? Para saber, efetuamos uma subtração: 2 137 minuendo 1 200 subtraendo resto ou R$ 937,00 diferença Denomina-se subtração a diferença entre dois números, dados numa certa ordem, um terceiro número que, somado ao segundo, reproduz o primeiro. A subtração é uma operação inversa da adição. O primeiro número recebe o nome de minuendo e o segundo de subtraendo, e são chamados termos da subtração. A diferença é chamada de resto. Propriedades Fechamento:- Não é válida para a subtração, pois no campo dos números naturais, não existe a diferença entre dois números quando o primeiro é menor que o segundo. Ex: 3 - 5 Comutativa: Não é válida para a subtração, pois 9-0 ≠0-9 Associativa: Não é válida para a subtração, pois (15 - 8) - 3 = 7 - 3 = 4 e 15 - (8 - 3) = 15 - 5 = 10PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  5. 5. Somando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos termos de uma subtração, a diferença não se altera. Exemplo: seja a diferença 15 - 8 = 7, somando-se 4 aos seus dois termos, teremos (15 + 4) - (8 + 4) = 19 - 12 = 7 MULTIPLICAÇÃO Multiplicar é somar parcelas iguais. Exemplo: 5 + 5 + 5 = 15 Nesta adição a parcela que se repete (5) é denominada multiplicando e o número de vezes que o multiplicamos (3) é chamado multiplicador e o resultado é chamado de produto. Então: 5 multiplicando ×3 multiplicador 15 produto Multiplicação é a operação que tem por fim dados dois números, um denominado multiplicando e outro multiplicador, formar um terceiro somando o primeiro tantas vezes quando forem as unidades do segundo. O multiplicando e o multiplicador são chamados de fatores. Propriedades 1) Fechamento - O produto de dois números naturais é sempre um número natural. Ex: 5 x 2 = 10 2) Elemento Neutro - O número 1 (um) é denominado de elemento neutro da multiplicação porque não afeta o produto. Ex: 10 x 1 = 10 3) Comutativa - A ordem dos fatores não altera o produto. Ex: 5 x 4 = 20 ou 4 x 5 = 20 4) Distributiva em relação à soma e a diferença - Para se multiplicar uma soma ou uma diferença indicada por um número, multiplica-se cada uma das suas parcelas ou termos por esse número, e em seguida somam-se ou subtraem-se os resultados. Exemplo: 1º) (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3 = 27PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  6. 6. 2º) (7 - 4) x 5 = 7 x 5 - 5 x 4 = 15 Essa propriedade é chamada distributiva porque o multiplicador se distribui por todos os termos. Para multiplicar uma soma por outra, pode-se multiplicar cada parcela da primeira pelas parcelas da segunda e somar os produtos obtidos. Exemplo: (6+ 3) x (2 + 5) = 6 x 2 + 6 x 5 + 3 x 2 + 3 x 5 = 63 DIVISÃO Divisão Exata Divisão exata é a operação que tem por fim, dados dois números, numa certa ordem, determinar um terceiro que, multiplicado pelo segundo, reproduza o primeiro. A indicação dessa operação é feita com os sinais:ou ÷ que se lê: dividido por. O primeiro número chama-se dividendo, o segundo divisor e o resultado da operação, quociente. Exemplo: 15 : 3 = 5, pois 5 x 3 = 15 Onde 15 é o dividendo, 3 é o divisor e 5 é o quociente. Divisão Aproximada No caso de se querer dividir, por exemplo, 53 por 6, observa-se que não se encontra um número inteiro que, multiplicado por 6, reproduza 53, pois 8 ´ 6 = 48 é menor que 53 e 9 ´ 6 = 54 é maior que 53. O número 8, que é o maior número que multiplicado por 6 não ultrapassa o dividendo 53, é denominado quociente aproximado a menos de uma unidade por falta, porque o erro que se comete, quando se toma o número 8 para o quociente, é menor que uma unidade. Temos, assim, a seguinte definição: chama-se resto de uma divisão aproximada a diferença entre o dividendo e o produto do quociente aproximado pelo divisor. A indicação dessa divisão é feita assim: DIVIDENDO = DIVISOR × QUOCIENTE + RESTO Exemplo:PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  7. 7. ⇒ 53 = 6 × 8 + 5 NÚMEROS INTEIROS (Z) Em tempos remotos, com o desenvolvimento do comércio, um comerciante desejando ilustrar a venda de 3 kg de um total de 10 kg de trigo existente num saco, escreve no saco: "- 3", a partir daí um novo conjunto numérico passa a existir, o Conjunto dos Números Inteiros, hoje, representamos pela letra Z. Z = {..., -3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...} A reticências, no início ou no fim, significa que o conjunto não tem começo nem fim. Concluímos, então, que todos os números inteiros possuem um antecessor e um sucessor. Com a relação às operações que serão possíveis de se efetuar, ilustraremos exemplos da adição e multiplicação. ADIÇÃO v Sinais Iguais: Somam-se os números prevalecendo o sinal. Exemplos: (+2) + (+3) = +5 (-2) + (-3) = - 5 v Sinais Diferentes: Subtraem-se os números prevalecendo o sinal do maior número em módulo. Exemplos: (-2) + (+3) = +1 (+2) + (-3) = -1 Exercícios ResolvidosPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  8. 8. 1) Calcule a soma algébrica: -150 - 200 + 100 + 300 Resolução: -150 - 200 + 100 + 300 -350 + 100 + 300 -250 + 300 50 2) Alexandre tinha 20 figurinhas para jogar bafo. Jogou com Marcelo e perdeu 7 figurinhas, jogou com Jorge e ganhou 2, ao jogar com Gregório ganhou 3 e perdeu 8 e com Hudson ganhou 1 e perdeu 11. Com quantas figurinhas ficou Alexandre no final do jogo? Resolução: Representando em soma algébrica: 20 - 7 + 2 + 3 - 8 + 1 - 11 = 0 Resposta: Nenhuma. MULTIPLICAÇÃO Na multiplicação de números inteiros vamos, sempre, considerar a seguinte regra: (+) . (+) = (+) (+) . (-) = (-) (-) . (+) = (-) (-) . (-) = (+) Exemplos: v (+2) × (+3) = (+6) v (+2) × (- 3) = (- 6) v (-2) × (+ 3) = (- 6) v (-2) × (- 3) = (+ 6) Exercício Resolvido 1) Calcule o valor da expressão abaixo: {(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3 . (-1) Resolução: {(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3 . (-1) {12 + [-6 - 7]} .[-12 -(-16)] + (-14) - (-3) {12 + [-13]} . [-12 + 16] - 14 + 3 {12 - 13} . 4 - 14 + 3 {-1}.4 - 14 + 3PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  9. 9. -4 - 14 + 3 -18 + 3 -15 NÚMEROS RACIONAIS (Q) - FRAÇÕES São aqueles constituído pelos números inteiros e pelas frações positivas e a negativas. Número racional é todo número indicado pela expressão b , com b ≠ 0 e é representado pela letra Q. Atenção: I) Todo número natural é um racional. II) Todo número inteiro relativo é racional. FRAÇÕES Número fracionário ou fração é o número que representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais. Exemplos: v 1 hora = 60 minutos v ¼ hora = 15 minutos 2 v 4 hora = 30 minutos 3 v 4 hora = 45 minutosPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  10. 10. ⇒ Representação Uma fração é representada por meio de dois números inteiros, obedecendo uma certa ordem, sendo o segundo diferente de zero, chamados respectivamente de numerador e denominador, e que constituem os termos da fração. O denominador indica em quantas partes foi dividida a unidade, e o numerador, quantas partes foram tomadas. As frações podem ser decimais e ordinárias. FRAÇÕES DECIMAIS Quando o denominador é representado por uma potência de 10, ou seja, 10, 100, 1000, etc. Exemplo: FRAÇÕES ORDINÁRIAS São todas as outras frações: TIPOS DE FRAÇÕES a) Frações Próprias: O numerador é menor que o denominador. Nesse caso a fração é menor que a unidade. Exemplo:PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  11. 11. b) Frações Impróprias: O numerador se apresenta maior que o denominador. Nesse caso a fração é maior que a unidade. Exemplo: c) Frações Aparentes: São frações impróprias que tem o numerador divisível pelo denominador e que são chamadas de frações aparentes. Porque são iguais aos números internos que se obtém dividindo o numerador pelo denominador. Exemplo: d) Frações Irredutíveis: São frações reduzidas à sua forma mais simples, isto é, não podem mais ser simplificadas, pois seus dois termos são números primos entre si, e por esta razão não têm mais nenhum divisor comum. Exemplo: 24 2 Simplificando-se , temos (fração irredutível) 36 3 REDUÇÕE DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR 1) Reduzem-se as frações à forma irredutível 2) Determina-se o M.M.C. dos denominadores dessas frações 3) Divide-se o mmc pelo denominador e multiplica-se pelo numerador o resultado da divisão. Exemplo:PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  12. 12. 1-) 3 1 = 6 2 2-) mmc (2, 5, 7) = 70 3-) 2 1 28 , , 4 ⇒ , , ⇒ , 35 , 40 5 2 7 70 70 70 70 70 70 PROPRIEDADE DAS FRAÇÕES 1) Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador de uma fração por um certo número diferente de zero, o valor de fração fica multiplicado ou dividido por esse número. Exemplo: 3 6 Seja a fração 10 . Se multiplicarmos o numerador por 2, obteremos a fração 10 , 3 6 que é duas vezes maior que 10 , pois se em 10 tomamos 6 das 10 divisões da 3 unidade, em 10 tomamos apenas três. Ilustração: 3 6 Observando a ilustração, verificamos que 10 é duas vezes menor que 10 .PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  13. 13. 2) Se multiplicarmos ou dividirmos o denominador de uma fração por um número diferente de zero, o valor da fração fica dividido ou multiplicado por esse número. Exemplo: 2 2 Seja a fração 5 . Multiplicando o denominador por 2, obtemos a fração 10 , que é 2 2 duas vezes menor que 5 , pois em 5 dividimos a unidade em 5 partes iguais e das 2 cinco tomamos duas, enquanto que em 10 , a mesma unidade foi dividida em 10 partes iguais e tomadas apenas duas em dez. Ilustrações: 2 Comparando-se as ilustrações, podemos verificar que 5 é duas vezes maior que 2 10 . 3) Multiplicando-se ambos os termos de uma fração por um número diferente de zero, o valor da fração não se altera. Exemplo: 2 2 ⋅2 4 ⇒ ⇒ 5 5 ⋅2 10 2 4 Logo: = 5 10 Ilustrações:PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  14. 14. NÚMEROS MISTOS Número misto é aquele formado por um número inteiro e uma fração. Para transformarmos um número misto em uma fração, basta multiplicar o denominador da fração imprópria pelo número inteiro e somamos o resultado obtido com o numerador. Exemplo: 4 42 + 4 46 6 = = 7 7 7 COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES Podemos comparar duas ou mais frações para sabermos qual é a maior e qual a menor. Para isto, devemos conhecer os critérios de comparação: 1) Quando várias frações têm o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numerador. Exemplo: 4 3 1 > > 10 10 10 2) Quando várias frações têm o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador. Exemplo:PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  15. 15. 4 4 4 > > 5 7 10 3) Quando as frações têm numeradores e denominadores diferentes a comparação é feita reduzindo-as ao mesmo denominador ou ao mesmo numerador. Exemplo: 2 1 4 28 35 40 < < ⇒ < < 5 2 7 70 70 70 Exercício Resolvido 1) Coloque as seguintes frações em ordem crescente, empregando o sinal <. 4 7 2 1 6 , , , , 5 10 5 2 3 Resolução: Vamos reduzir as frações ao mesmo denominador, e paratanto o mmc (2, 3, 5, 10) = 30: 4 , 7 , 2, 1, 6 ⇒ , , , , ⇒ 5 10 5 2 3 30 30 30 30 30 24 21 12 15 60 ⇒ , , , , 30 30 30 30 30 Logo: 12 15 21 24 60 2 1 < < < < ⇒ < <7 <4 <6 30 30 30 30 30 5 2 10 5 3 FRAÇÕES EQUIVALENTES São frações que representam a mesma parte do inteiro, ou seja, são frações de mesmo valor. 1 3 2 = = 2 6 4 Na figura acima temos: logo são frações equivalentes.PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  16. 16. SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES Significa obter uma outra fração equivalente na qual o numerador e o denominador são números primos entre si. Para simplificar uma fração basta dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número. 36 36 ÷ 4 9 9 ÷3 3 1 O . M odo: ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 48 48 ÷ 4 12 12 ÷ 3 4 3 4 está na sua forma irredutível. 2O. Modo: Um outro processo para simplificar frações é achar o M.D.C. (máximo divisor comum) entre o mdc (48,36) = 12 36 ÷ 12 3 ⇒ 48 ÷ 12 4 Exercício Resolvido 3 1) Obter 3 frações equivalentes a 5 . Resolução: 3 Basta tomar os termos da fração 5 multiplicá-lo por um mesmo número diferente de zero: 3 ×3 9 3 ×7 21 3 × 12 36 = = = 5 × 3 15 5 × 7 35 5 × 12 60 ADIÇÃO DE FRAÇÕES Temos dois casos à considerar: v Caso 1: Denominadores Iguais "Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum". Exemplo: 11 9 2 11 + 9 + 2 22 + + = = 5 5 5 5 5PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  17. 17. v Caso 2: Denominadores Diferentes "Reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum e aplica-se a regra anterior ". Exemplo: 4 7 2 1 6 24 21 12 15 60 + + + + ⇒ + + + + ⇒ 5 10 5 2 3 30 30 30 30 30 24 + 21 + 12 + 15 + 60 ⇒ = 132 30 30 Podemos simplificar a resposta, deixando a fração na sua forma irredutível: 132 ÷ 6 22 = 30 ÷ 6 5 Nota: Em caso da adição de frações envolver números mistos, transformamos os números mistos em frações impróprias. SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES Para a subtração, irão valer as mesmas regras da adição (Caso 1 e Caso 2). MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES Ao efetuar o produto entre duas ou mais frações, não importando se os numeradores e denominadores são iguais ou diferentes, vamos sempre: Multiplicar os numeradores entre si, assim como os denominadores. Exemplos: 3 6 3 × 6 18 Þ × = = 5 7 5 × 7 35 4 7 2 4 × 7 × 2 56 56 ÷2 28 Þ × × = = = = 5 10 5 5 × 10 × 5 250 250 ÷ 2 125 Nota: Neste último exemplo as simplificações poderiam ter sido feitas durante o produto, observe:PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  18. 18. 4 7 2 2 7 2 28 × × = × × = 5 10 5 5 5 5 125 , simplificamos o 4 com o 10 no primeiro membro. DIVISÃO DE FRAÇÕES Na divisão de duas frações, vamos sempre: Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda. Exemplo: 3 6 3 7 1 7 1× 7 7 Þ ÷ = × = × = = 5 7 5 6 5 2 5×2 10 EXPRESSÕES ARITMÉTICAS FRACIONÁRIAS O cálculo de expressões aritméticas fracionárias, que são conjuntos de frações ligadas por sinais de operações é feito na segunda ordem: 1º) As multiplicações e divisões 2º) As adições e subtrações, respeitadas as ordens dos parênteses, colchetes e chaves. Exemplo: Vamos resolver a seguinte expressão: 9 1  2  11 11 4 1 5  − 2 +  ÷  ÷ + ⋅ ÷ = 2 4  5   3 7 3 2 6 9 1  10 + 2  11 7 4 5 = −   ÷  × + ÷ = 2 4  5   3 11 6 6  9  1 12 7 4 6 9 3  7 4 = − × ÷ 3 + 6 × 5  = 2 − 5  ÷ 3 + 5  =  2 4 5         45 − 6  35 + 12  39 47 39 15 =  ÷  15  = ÷ = × =  10    10 15 10 47 39 3 39 3 117 = × = × = 2 47 2 47 94 NÚMEROS REAIS (IR)PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  19. 19. A união de todos os conjuntos vistos até agora dará origem ao conjunto dos números reais, representado pela letra IR. Observe o diagrama: v Observação ⇒ "Números Irracionais" A parte que está em forma de "telhado", ou seja, IR - Q representa o conjunto dos números irracionais, e estes por sua vez são aqueles que não podem ser escritos na forma de fração: Exemplos: 2, 3,π etc. EXERCÍCIOS P1) Que restos pode dar na divisão por 5, um número que não seja divisível por 5 ? P2) Qual o menor número que se deve somar a 4831 para que resulte um número divisível por 3 ? P3) Qual o menor número que se deve somar a 12318 para que resulte um número divisível por 5 ? P4) Numa caixa existem menos de 60 bolinhas. Se elas forem contadas de 9 em 9 não sobra nenhuma e se forem contadas de 11 em 11 sobra uma. Quantas são as bolinhas? P5) O conjunto A é formado por todos os divisores de 10 ou 15 ; então podemos afirmar que o conjunto A tem : a) 5 elementos b) 6 elementosPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  20. 20. c) 7 elementos d) 8 elementos P6) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 1080 para se obter um número divisível por 252? P7) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 2205 para se obter um número divisível por 1050? P8) Assinalar a alternativa correta. a) O número 1 é múltiplo de todos os números primos b) Todo número primo é divisível por 1 c) Às vezes um número primo não tem divisor d) Dois números primos entre si não tem nenhum divisor P9) Assinalar a alternativa falsa: a) O zero tem infinitos divisores b) Há números que tem somente dois divisores: são os primos; c) O número 1 tem apenas um divisor: ele mesmo; d) O maior divisor de um número é ele próprio e o menor é zero. P10) Para se saber se um número natural é primo não: a) Multiplica-se esse número pelos sucessivos números primos; b) Divide-se esse número pelos sucessivos números primos; c) Soma-se esse número aos sucessivos números primos; d) Diminuí-se esse número dos sucessivos números primos. P11) Determinar o número de divisores de 270. P12) Calcule o valor das expressões abaixo: a) (12 - 6) + (14 - 10) x 2 - (3 + 7) b) 103 - [ 23 + (29 - 3 x 5) ] + 14 x 2 c) 22 - { 14 + [ 2 x 10 - (2 x 7 - 3) - (2 + 4) ] } + 7 d) [ 60 - (31 - 6) x 2 + 15] ¸ [ 3 + (12 - 5 x 2) ] e) [150 ¸ (20 - 3 x 5) + 15 x (9 + 4 x 5 x 5) ] ¸ 5 + 12 x 2 f) ( 4 + 3 x 15) x ( 16 - 22 ¸ 11) - 4 x [16 - (8 + 4 x 1) ¸ 4] ¸ 13 P13) Calcular os dois menores números pelos quais devemos dividir 180 e 204, a fim de que os quocientes sejam iguais. a) 15 e 17 b) 16 e 18 c) 14 e 18 d) 12 e16 P14) Deseja-se dividir três peças de fazenda que medem, respectivamente, 90, 108 e 144 metros, em partes iguais e do máximo tamanho possível. Determinar então, o número das partes de cada peça e os comprimentos de cada uma. 9, 8, 6 partes de 18 metros 8, 6, 5 partes de 18 metros 9, 7, 6 partes de 18 metros 10, 8, 4 partes de 18 metrosPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  21. 21. e) e) e) P15) Quer-se circundar de árvores, plantadas à máxima distância comum, um terreno de forma quadrilátera. Quantas árvores são necessárias, se os lados do terreno tem 3150,1980, 1512 e 1890 metros? a) 562 árvores b) 528 árvores c) 474 árvores d) 436 árvores P16) Numa república, o Presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo, os senadores 6 anos e os deputados 3 anos. Em 1929 houve eleições para os três cargos, em que ano deverão ser realizadas novamente eleições para esses cargos? P17) Duas rodas de engrenagens tem 14 e 21 dentes respectivamente. Cada roda tem um dente esmagador. Se em um instante estão em contato os dois dentes esmagadores, depois de quantas voltas repete-se novamente o encontro? P18) Dois ciclistas percorrem uma pista circular no mesmo sentido. O primeiro percorre em 36 segundos, e o segundo em 30 segundos. Tendo os ciclistas partido juntos, pergunta-se; depois de quanto tempo se encontrarão novamente no ponto de partida e quantas voltas darão cada um? P19) Uma engrenagem com dois discos dentados tem respectivamente 60 e 75 dentes, sendo que os dentes são todos numerados. Se num determinado momento o dento nº 10 de cada roda estão juntos, após quantas voltas da maior, estes dentes estarão juntos novamente? P20) Sabendo-se que o M.M.C. entre dois números é o produto deles, podemos afirmar que: a) os números são primos b) eles são divisíveis entre si c) os números são primos entre si d) os números são ímpares P21) Da estação rodoviária de São Paulo partem para Santos, ônibus a cada 8 minutos; para Campinas a cada 20 minutos e para Taubaté a cada 30 minutos. Às 7 horas da manhã partiram três ônibus para essas cidades. Pergunta-se: a que horas do dia, até às 18 horas haverá partidas simultâneas? P22) No aeroporto de Santos Dumont partem aviões para São Paulo a cada 20 minutos, para o Sul do país a cada 40 minutos e para Brasília a cada 100 minutos; às 8 horas da manhã á um embarque simultâneo para partida. Quais são as outras horas, quando os embarques coincidem até as 18 horas. P23) Para ladrilhar 5/7 de um pátio empregando-se 46.360 ladrilhos. Quantos ladrilhos iguais serão necessários para ladrilhar 3/8 do mesmo pátio? P24) A soma de dois números é 120. O menor é 2/3 do maior. Quais são os números?PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  22. 22. P25) Sueli trabalha após as aulas numa loja de fazendas. Uma tarde recebeu uma peça de linho de 45 metros para vender. Nesta mesma tarde vendeu 3/5 da peça, depois 1/3 do que sobrou. Quantos metros restaram por vender? P26) Uma senhora repartiu R$273,00 entre seus três filhos. O primeiro recebeu 3/4 do que tocou ao segundo e este, 2/3 do que tocou ao terceiro. Quanto recebeu cada um ? P27) Um negociante vendeu uma peça de fazenda a três fregueses. O primeiro comprou 1/3 da peça e mais 10 metros. O segundo comprou 1/5 da peça e mais 12 metros e o terceiro comprou os 20 metros restantes. Quantos metros tinha a peça ? P28) Dois amigos desejam comprar um terreno. Um deles tem 1/5 do valor e outro, 1/7. Juntando ao que possuem R$276.000,00, poderiam comprar o terreno. Qual o preço do terreno ? P29) Paulo gastou 1/3 da quantia que possuía e, em seguida, 3/5 do resto. Ficou com R$80,00. Quanto possuía? P30) Qual é o número que multiplicado por 1/5 dá 7 3/4? P31) Um alpinista percorre 2/7 de uma montanha e em seguida mais 3/5 do restante. Quanto falta para atingir o cume? P32) Qual é o número que aumenta 1/8 de seu valor quando se acrescentam 3 unidades? P33) Um trem percorre 1/6 do caminho entre duas cidades em 1 hora e 30 minutos. Quanto tempo leva de uma cidade a outra uma viagem de trem? P34) Lia comeu 21/42 de uma maçã e Léa comeu 37/74 dessa mesma maçã. Qual das duas comeu mais e quanto sobrou? P35) Dividindo os 2/5 de certo número por 2/7 dá para quociente 49. Qual é esse número? P36) Um pacote com 27 balas é dividido igualmente entre três meninos. Quantas balas couberam a cada um, se o primeiro deu 1/3 do que recebeu ao segundo e o segundo deu ½ do que possuía ao terceiro? P37) Uma herança de R$70.000,00 é distribuída entre três herdeiros. O primeiro recebe ½, o segundo 1/5 e o terceiro o restante. Qual recebeu a maior quantia? P38) Uma torneira leva sete horas para encher um tanque. Em quanto tempo enche 3/7 desse tanque?PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  23. 23. P39) R$120,00 são distribuídos entre cinco pobres. O primeiro recebe ½, o segundo 1/5 do que recebeu o primeiro e os restantes recebem partes iguais. Quanto recebeu cada pobre? P40) Em um combate morrem 2/9 de um exército, em novo combate morrem mais 1/7 do que restou e ainda sobram 30.000 homens. Quantos soldados estavam lutando? P41) 2/5 dos 3/7 de um pomar são laranjeiras; 4/5 dos ¾ são pereiras; há ainda mais 24 árvores diversas. Quantas árvores há no pomar? P42) Um corredor depois de ter decorrido os 3/7 de uma estrada faz mais cinco quilômetros e assim corre 2/3 do percurso que deve fazer. Quanto percorreu o corredor e qual o total do percurso, em quilômetros? P43) Efetuar as adições: 1º) 12,1 + 0,0039 + 1,98 2º) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39 P44) Efetuar as subtrações: 1º) 6,03 - 2,9456 2º) 1 - 0,34781 P45) Efetuar as multiplicações 1º) 4,31 x 0,012 2º) 1,2 x 0,021 x 4 P46) Calcular os seguintes quocientes aproximados por falta. 1º) 56 por 17 a menos de 0,01 2º) 3,9 por 2,5 a menos de 0,1 3º) 5 por 7 a menos de 0,001 P47) Em uma prova de 40 questões, Luciana acertou 34. Nestas condições: Escreva a representação decimal do número de acertos; Transformar numa fração decimal; Escreva em % o número de acertos de Luciana. d) d) d) P48) Calcular o valor da seguinte expressão numérica lembrando a ordem das operações: 0,5 + ( 0,05 ¸ 0,005). P49) Quando o professor pediu a Toninho que escrevesse a fração decimal que 81 representa o número 0,081 na forma de fração decimal, Toninho escreveu 10 ; Ele acertou ou errou a resposta. P50) Dentre os números 2,3; 2,03; 2,030; 2,003 e 2,0300, quais tem o mesmo valor ?PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  24. 24. P51) É correto afirmar que dividir 804 por 4 e multiplicar o resultado por 3 dá o mesmo resultado que multiplicar 804 por 0,75? P52) Um número x é dado por x = 7,344 ¸ 2,4. Calcule o valor de 4 - x . P53) Uma indústria A, vende suco de laranja em embalagem de 1,5 litro que custa R$ 7,50. Uma indústria B vende o mesmo suco em embalagem de 0,8 litro que custa R$ 5,40. Qual das duas vende o suco mais barato? P54)Em certo dia, no final do expediente para o público, a fila única de clientes de um banco, tem um comprimento de 9 metros em média, e a distância entre duas pessoas na fila é 0,45m. Responder: a) Quantas pessoas estão na fila? b) Se cada pessoa, leva em média 4 minutos para ser atendida, em quanto tempo serão atendidas todas as pessoas que estão na fila? GABARITO - CONJUNTOS NUMÉRICOS P1) 1,2,3,4 P2) 2 P3) 2 P4) 45 P5) B P6) 7 P7) 10 P8) B P9) D P10) B P11) 16 P12) a) 4 b) 94 c) 12 d) 5 e) 357 f) 682 P13) A P14) BPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  25. 25. P15) C P16) 1941 P17) Duas voltas da menor ou três voltas da menor P18) Os ciclistas se encontraram depois de 180 segundos P19) Após 4 voltas P20) C P21) 9h; 11h; 13h; 15h; 17h P22) 11h e 20min; 11h e 40min; 18h P23) 24.339 P24) 72 e 48 P25) 12 metros P26) R$63,00 ; R$84,00 ; R$126,00 P27) 90 metros P28) R$420.000,00 P29) R$300,00 P30) 155/4 P31) 2/7 P32) 24 P33) 9 h P34) Cada comeu ½ e não sobrou nada P35) 35 P36) 6,6,15 P37) R$35.000,00 P38) 3horas P39) 1º- R$60,00 , 2º- R$12,00 , 3º 4º e 5º R$16,00PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  26. 26. P40) 45.000 P41) 105 P42) 14 quilômetros e 21 quilômetros P43) 1º) 14,0839; 2º) 462,791 P44) 1º) 3,0844; 2º) 0,65219; P45) 1º) 0,05172; 2º) 0,1008; P46) 1º) 3,29; 2º) 1,5; 3º) 0,714; 85 P47) a) 0,85 b) 100 c) 85% P48) 0,05 P49) Errou, a resposta é 81/1000 P50) 2,03; 2,030 e 2,0300 P51) Nos dois casos é correto afirmar, pois o resultado é 603 P52) 13,6256 P53) a indústria A P54) a) 20 pessoas b) 80 minutos. NÚMEROS DECIMAIS Os números decimais fazem parte do conjunto dos números racionais, e no entanto, estes números merecem uma atenção especial, que aparecem muito em nosso cotidiano, além de se relacionar com muitas questões de provas de concursos públicos. ADIÇÃOPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  27. 27. Escrevem-se os números decimais uns sobre os outros de modo que as vírgulas se correspondam; somam-se os números como se fossem inteiros, e, coloca-se a vírgula na soma, em correspondência com as parcelas. Exemplo: 13,8 + 0,052 + 2,9 = 13,8 13,800 0,052 ou 0,052 2,9 2,900 16,752 16,752 SUBTRAÇÃO Escreve-se o subtraendo sob o número de modo que as vírgulas se correspondam. Subtraem-se os números como se fossem inteiros, e coloca-se a vírgula no resultado em correspondência com os dois termos. Exemplo: 5,08 - 3,4852 = 5,0800 −3,4852 1,5948 MULTIPLICAÇÃO Para se efetuar o produto entre números na forma decimal, deve-se multiplicar normalmente, como se fossem números inteiros e após conta-se a quantidade de casas decimais que cada um dos fatores apresenta somando em seguida e transferindo para o resultado do produto. Exemplo: 1,23 × 0,4 = 0,492; 12,345 × 5,75 = 70,98375 DIVISÃOPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  28. 28. Reduzem-se o dividendo e o divisor ao mesmo número de casas decimais, desprezam-se as vírgulas de ambos, e efetua-se a divisão como se fossem inteiros. Obtido o quociente, coloca-se ao mesmo tempo, uma vírgula a sua direita e um zero a sua esquerda do resto, a fim de continuar a divisão. Os demais algarismos do quociente serão sempre obtidos colocando-se um zero a direita de cada resto. Exemplo: 72,2379 ÷ 5,873 Igualando-se as casas decimais do dividendo e do divisor temos: EXPRESSÕES ARITMÉTICAS É um conjunto de números reunidos entre si por sinais de operações. A partir do estudo da adição e subtração, já podemos começar a resolver expressões aritméticas, envolvendo adições e subtrações. O cálculo dessas expressões é feito na ordem em que é indicada, devendo observar-se que são feitas inicialmente as operações indicadas entre parênteses, em seguida as indicadas entre colchetes e finalmente as indicadas entre chaves. Exemplos: 1) Calcular o valor da expressão aritmética 35 - [4 + (5 - 3)] efetuando-se as operações indicadas dentro dos parênteses obtemos 35 - [4 + 2] efetuando-se as operações indicadas dentro dos colchetes temos 35 - 6 = 29 2) Calcular o valor da expressão aritmética 86 - {26 - [8 - (2 + 5)]} efetuando-se as operações indicadas nos parênteses obtemos 86 - {26 - [8 - 7]} efetuando-se as operações indicadas nos colchetes temos 86 - {26 - 1} efetuando as operações indicadas entre as chaves vem que 86 - 25 = 61 3) Calcular o valor da expressão aritmética 53 - {[48 + (7 - 3)] - [(27 - 2) - (7 + 8 + 10)]}PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  29. 29. 53 - {[ 48 + 4 ] - [ 25 - 25]} 53 - {52 - 0} 53 - 52 = 1 O cálculo das expressões aritméticas que contém as 4 operações (adição, subtração, multiplicação e divisão) deve obedecer a seguinte ordem: Inicialmente as multiplicações e divisões e em seguida, as adições e subtrações, respeitando-se a ordem de se iniciar com os parênteses mais internos, a seguir os colchetes e finalmente as chaves. Exemplo: 54 - 3 x [ (7 + 6 : 2) - (4 x 3 - 5) ] efetuando-se inicialmente as multiplicações e divisões que estão indicadas nos parênteses temos: 54 - 3 x [ 10 - 7 ] efetuando-se os colchetes vem que 54 - 3 ´ [ 3 ] 54 - 9 = 45 Exercício Resolvido 1) Resolva a seguinte expressão aritmética {[( 8 x 4 + 3) : 7 + ( 3 + 15 : 5) x 3] x 2 - (19 - 7) : 6} x 2 + 12 Resolução: { [ ( 32 + 3) : 7 + (3 + 3) x 3 ] x 2 - 12 : 6} x 2 + 12 { [ 35 : 7 + 6 x 3 ] x 2 - 2 } x 2 + 12 { [ 5 + 18 ] x 2 - 2 } x 2 + 12 { 23 x 2 - 2} x 2 + 12 { 46 - 2 } x 2 + 12 44 x 2 + 12 88 + 12 100 DIVISIBILIDADE Existem algumas regras que podem nos auxiliar a identificar se um número é ou não divisível por outro. Por exemplo, sabemos que 16 é divisível por 2, ou que 27 é divisível por 3, e no entanto será que 762 é divisível por 2? E por 3?PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  30. 30. Todo número que é par é divisível por 2. Exemplos: 762, 1 572, 3 366 etc. Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por 3, então o número inicial o será também. Exemplos: v 762, pois 7 + 6 + 2 = 15 v 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 v 53 628, pois 5 + 3 + 6 + 2 + 8 = 24 Observe os dois últimos algarismos se for dois zeros ou se terminar numa dezena divisível por 4 o número será divisível por 4. Exemplos: v 764, pois 64 é divisível por 4. v 1 572, pois 72 é divisível por 4. v 3 300, pois o número termina em dois zeros. Observe o último algarismo se for zero ou cinco o número será divisível por 5.PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  31. 31. Exemplos: 760, 1 575, 3 320. Todo número que é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, será também, divisível por 6. Exemplos: 762, 1 572, 33 291. Seguindo um algoritmo apresentado por um professor, vamos seguir 3 passos: 1O. Separe a casa das unidades do número; 2O. Multiplique esse algarismo separado (da direita) por 2; 3O. Subtraia esse resultado do número à esquerda se esse resultado for divisível por 7, então o número original também o será. Exemplos: v 378 é divisível por 7, pois Passo1: 37 ........ 8 Passo 2: 8 × 2 = 16 Passo 3: 37 − 16 = 21 Como 21 é divisível por 7, então 378 também o é. v 4 809 é divisível por 7, pois Passo1: 480 ........ 9 Passo 2: 9 × 2 = 18 Passo 3: 480 − 18 = 462 Repetindo os passos para o número encontrado: Passo1: 46 ........ 2 Passo 2: 2 × 2 = 4 Passo 3: 46 − 4 = 42PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  32. 32. Como 42 é divisível por 7, então 4 809 também o é. Observe os três últimos algarismos, se for três zeros ou uma centena divisível por 8 então o número original também será. Exemplos: 1 416, 33 296, 57 800, 43 000. Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por 9, então o número inicial o será também. Exemplos: v 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 v 53 928, pois 5 + 3 + 9 + 2 + 8 = 27 v 945 675, pois 9 + 4 + 5 + 6 + 7 + 5 = 36 Observe o último algarismo se for zero o número será divisível por 10. Exemplos: 760, 3 320, 13 240.PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  33. 33. Um número será divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar tiver como resultado um número divisível por 11. Exemplos: v 2 937, pois: soma dos algarismos de ordem par: 9 + 7 = 16 soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 3 = 5 fazendo a diferença: 16 - 5 = 11 v 28 017, pois: soma dos algarismos de ordem par: 8 + 1 = 9 soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 0 + 7 = 9 fazendo a diferença: 9 - 9 = 0 MÚLTIPLOS E DIVISORES ⇒ Múltiplo: é o resultado da multiplicação de um número natural por outro natural. Exemplos: v 24 é múltiplo de 3, pois 3 x 8 = 24. v 20 é múltiplo de 5, pois 5 x 4 = 20 e é múltiplo de 2, pois 2 x 0 = 0 ⇒ Divisor: se um número x é divisível por y, então y será um divisor de x. Exemplos: v 8 é divisor de 864, pois 864 é divisível por 8. v 21 é divisor de 105, pois 105 é divisível por 21. NÚMEROS PRIMOS Todo número que apresenta dois divisores naturais, sendo eles: o próprio número e a unidade; ele será considerado um número primo, são eles: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... RECONHECENDO UM NÚMERO PRIMO: Dividimos o número, de maneira sucessiva, pelos números que formam a série dos números primos, até encontramos um coeficiente igual ou menor ao divisor. Caso nenhuma dessas divisões seja exata, então o número é primo.PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  34. 34. Nota: utilizando-se os critérios de divisibilidade, poderemos evitar algumas dessas divisões. Exemplo: Vamos verificar se o número 193 é primo. Utilizando os critérios da divisibilidade, podemos verificar que 193 não é divisível por 2, 3, 5, 7. Então, dividindo: 193 11 193 13 193 17 83 17 63 14 23 11 6 11 6 Quociente menor que o divisor ⇒ 11 < 17, e não houve divisão exata, então o número 193 é primo. DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Quando um número não é primo, pode ser decomposto num produto de fatores primos. A fatoração consiste, portanto, em encontrar todos os fatores primos divisores de um número natural. ⇒ Regra: dividimos o número pelo seu menor divisor primo, excetuando-se a unidade, a seguir, dividimos o quociente pelo menor divisor comum e assim sucessivamente até encontrarmos o quociente 1. O número dado será igual ao produto de todos os divisores encontrados que serão números primos. Exemplo: QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO Podemos determinar o total de divisores de um número, mesmo não se conhecendo todos os divisores. ⇒ Regra: O número total de divisores de um número é igual ao produto dos expoentes dos seus fatores primos aumentados (cada expoente) de uma unidade. Exemplo:PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  35. 35. Vamos determinar o total de divisores de 80. Fatorando-se o número 80 encontraremos: 80 = 24 × 51 Aumentando-se os expoentes em 1 unidade: v 4 +1 =5 v 1 +1 =2 Efetuando-se o produto dos expoentes aumentados 5 × 2 = 10 Portanto, o número de divisores de 80 é 10. Nota: Ao determinarmos a quantidade de divisores estamos encontrando apenas os divisores positivos desse número. MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) Denomina-se máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não nulos, ao maior número natural que divide a todos simultaneamente. Exemplo: O máximo divisor comum entre 6, 18 e 30 é o número 6, pois este divide ao mesmo tempo o 6, o 18 e o 30 e, além disso, é o maior dos divisores simultâneos dos números dados. MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Decompõe-se os números em fatores primo e em seguida escolhe-se os fatores primos comuns com os menores expoentes e em seguida efetua-se o produto destes expoentes. Exemplo: 1-) Encontrar o MDC entre os números 60 e 280 Escolhemos agora os fatores primos comuns aos dois números que decompomos, com os menores expoentes. Os fatores comuns aos dois números são 2 e 5, e estes fatores com seus menores expoentes são : 22 × 5 = 4 × 5 = 20PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  36. 36. Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte forma: MDC (60, 280) = 20 2-) Determinar o M.D.C. entre 480 e 188 O único fator primo comum entre 480 e 188 é 2, e como deve ser escolhido aquele que tiver o menor expoente, então temos 22 = 4 mdc (480, 188) = 4 MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS (MÉTODO DE EUCLIDES) Vamos encontrar o máximo divisor comum entre 60 e 280. 1O. Passo: Utilize o dispositivo abaixo colocando o maior número na primeira lacuna (do meio) e o menor na segunda lacuna (do meio): 2O. Passo: Divida 280 por 60 colocando o quociente na lacuna de cima do 60 e o resto na lacuna abaixo do 280:PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  37. 37. 3O. Passo: O resto da divisão vai para a lacuna do meio do lado direito de 60 e repete-se os passos 1, 2 e 3 até encontrarmos resto zero. 4O. Passo: O último divisor encontrado será o mdc. mdc (60, 280) = 20 Nota: "Números Primos entre Si" Dois ou mais números são considerados primos entre si se e somente o Máximo Divisor Comum entre esses números for igual a 1. Exemplo: 21 e 16, pois mdc (21, 16) = 1 Exercícios Resolvidos 1) Determinar os dois menores números pelos quais devemos dividir 144 e 160, a fim de obtermos quocientes iguais. Resolução: Determinamos o M.D.C. entre 144 e 160PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  38. 38. mdc (144, 160) = 24 = 16 Então: 144 ÷ 16 = 9 O maior divisor de 144 é 16 e o menor quociente 9, Vem que 160 ÷ 16 = 10 onde 16 é também o maior divisor de 160 e 10 o menor quociente. Logo os números procurados são 9 e 10, pois 144 ÷ 9 = 16 e 160 ÷ 10 = 16. 2) Um terreno de forma retangular tem as seguintes dimensões, 24 metros de frente e 56 metros de fundo. Qual deve ser o comprimento de um cordel que sirva para medir exatamente as duas dimensões? Resolução: Então: mdc ( 56, 24) = 8 Resposta: O comprimento do maior cordel que pode ser utilizado para medir as dimensões do terreno deve ser de 8 metros de comprimento, pois, 8 é o maior dos divisores comuns entre 56 e 24. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C) "Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais não nulos é o menor dos múltiplos, não nulo, comum a esses números." Sejam dois conjuntos, um constituído pelos múltiplos de 6 e outro constituído pelos múltiplos de 9. v M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...} v M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, ...} Observando-se os dois conjuntos de múltiplos de 6 e 9, verificamos que existem números que aparecem em ambos, isto é, são comuns aos dois conjuntos, como os números 18 e 36, isto é: M(6) ∩ M(9) = {0, 18, 36, ...}PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  39. 39. Isto significa que 18 e 36 são múltiplos comuns de 6 e 9, isto é, estes números são divisíveis ao mesmo tempo por 6 e por 9. Logo teremos como Mínimo Múltiplo Comum entre 6 e 9 o número 18, isto é: mmc (6, 9) = 18 MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, obtém-se decompondo simultaneamente este números e efetuando-se o produto dos fatores primos comuns e não comuns escolhidos com seus maiores expoentes. Exemplo: Determinar o M.M.C. dos números 70, 140, 180. Fatorando os números: 70 2 140 2 180 2 35 5 70 2 90 2 7 7 35 5 45 3 1 7 7 15 3 1 5 5 1 Então temos: 70 = 2 x 5 x 7 140 = 22 x 5 x 7 180 = 22 x 32 x 5 Os fatores primos comuns, isto é, que aparecem nas três fatorações são 2e 5.O número 7 não é fator primo comum porque só aparece na fatoração dos números 70 e 140. O número 3 também não é fator primo comum porque só aparece na fatoração do número 180. Logo: v fatores primos comuns escolhidos com os maiores expoentes: 22 e 5. v Fatores primos não comuns escolhidos com os maiores expoentes: 32 e 7. mmc (70, 140,180) = 22 x 5 x 32 x 7 = 1260 MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEAPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  40. 40. Então: mmc (70, 140, 180) = 22 x 32 x 5 x 7 = 1260 RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC O produto de dois números dados é igual ao produto do M.D.C. desses números. mmc (a, b) × mdc (a,b) = a x b Exemplo: Sejam os números 18 e 80 Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18, 80) × mdc (18, 80) O produto é 18 × 80 = 1440. Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números. 80, 18 2 40, 9 2 20, 9 2 10, 9 2 5, 9 3 5, 3 3 5, 1 5 1, 1 mmc (80, 18) = 24 x 32 x 5 = 720 Logo: mdc(80, 18) = 1440 ÷ mmc(18, 80) = 1440 ÷ 720 = 2PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  41. 41. EXERCÍCIO RESOLVIDO Para identificarmos se um problema deve ser resolvido através do M.M.C. temos algumas indicações importantes. I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos, significa que estes fatos são múltiplos; II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns; III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o M.M.C. Exemplo: Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias. Sabendo-se que hoje os três se encontram, quando acontecerá o novo encontro? Resolução: v Existe a idéia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se encontraram, quando ocorrerá o novo encontro?" ⇒ Múltiplo v "Encontrar-se-ão num determinado dia" ⇒ Comum v "Quando acontecerá o novo encontro" ⇒ Mínimo Portanto 15, 20, 25 2 15, 10, 25 2 15, 5, 25 3 5, 5, 25 5 1, 1, 5 5 1, 1 1 300 Resposta: O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias. SISTEMA LEGAL DE MEDIDASPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  42. 42. MEDIDAS DE COMPRIMENTO A medida básica de comprimento é o metro cujo símbolo é m. O metro é um padrão adequado para medir a largura de uma rua, o comprimento de um terreno, a altura de uma sala. Para medir grandes distâncias, há unidades derivadas de metro e que são maiores que ele, como por exemplo medir a extensão de uma estrada. Há também unidades derivadas do metro e que servem para medir pequenos comprimentos, como por exemplo o comprimento de um prego. Observe a tabela que representa os múltiplos e submúltiplos do metro. Nome Símbolo Relação Múltiplos do Metro decâmetro dam 10 m hectômetro hm 100 m quilômetro km 1000 m Submúltiplos do Metro decímetro dm 0,1 m centímetro cm 0,01 m milímetro mm 0,001 m Nota: Os múltiplos e os submúltiplos do metro são obtidos a partir do metro, realizando sucessivas multiplicações ou divisões por 10.PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  43. 43. MUDANÇA DE UNIDADE Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de unidades abaixo representada: Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros para centímetros, vamos multiplicar o número por 100, pois estaremos descendo dois degraus. Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus esta escada (metros pra hectômetro por exemplo), iríamos dividir o número por 100. Analogamente, de acordo com a quantidade de degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de dez. Exemplo1: Vamos reduzir 424,286 hectômetros pra metros. v hm → m ⇒ × 100 (Desce 2 degrau) 424,286 ×100 = 42428,6 m Exemplo2: Reduzindo 5645,8 decímetros para quilômetros. v dm → km ⇒ ÷ 10.000 (Sobe 4 degraus) 5645,8 ¸10.000 = 0,56458 km OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS RELACIONADAS AO METRO v Polegada = 2,54 cm v Pé = 30,48 cm v Milha = 1609 metrosPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  44. 44. EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE COMPRIMENTO P 1) Reduzir 28,569 hm a metros. P 2) Exprimir 456,835 cm em quilômetros. P 3) Quantos metros existem em 8 dm? P 4) Quanto dista, em quilômetros, a terra da lua; sabendo-se que essa distância equivale, em média, a 60 raios terrestres? (Nota: o raio da terra mede 6.370.000 m). P 5) Um viajante percorreu em 7 horas, 33.600 metros. Quantos quilômetros ele fez, em média, por hora? P 6) O passo de um homem mede cerca de 0,80m. Quanto tempo empregará esse homem para percorrer 4.240 km de uma estrada, sabendo-se que anda à razão de 100 passos por minuto? P 7) Uma senhora comprou 20 metros de fazenda à razão de R$ 84,00 o metro. Se esta fazenda foi medida com uma régua que era 1 cm mais curta que o metro verdadeiro; pergunta-se: 1º) Quanto de fazenda a senhora recebeu? 2º) Quanto pagou a mais? P 8) Numa construção, chama-se pé direito a distância do chão ao teto. Nos prédios de apartamentos, o pé direito mínimo é de 2,70 m. Qual a altura aproximada de um prédio de 15 andares? P 9) As telas dos aparelhos de televisão costumam ser medidas, em diagonal por polegadas. Considerando-se a polegada igual a 2,5 cm. Quantos cm tem a diagonal de um aparelho de 16 polegadas? P 10) De acordo com a Bíblia, a arca de Noé tinha 300 cúbitos de comprimento, 50 cúbitos de largura e 30 cúbitos de altura. Considerando-se 1 cúbito = 0,5 m. Calcule as dimensões da arca de Noé. P 11) Em um mapa cada cm corresponde a 25 km no real. Sabendo-se que a distância real de São Paulo a Curitiba é de aproximadamente 400 km, essa distância corresponde a quantos cm no mapa? P 12) A figura a seguir mostra parte de um mapa onde estão localizadas as cidades A, B, C< D e as distâncias (em km) entre elas. Um automóvel percorria uma menor distância saindo de A, passando por B e chegando a D ou saindo de A, passando por C e chegando a D?PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  45. 45. P 13) Com 32,40 m de arame, Roberto quer formar 20 pedaços de mesmo comprimento. Qual deverá ser o comprimento de cada pedaço? P 14) Uma cidade A está ligada a uma cidade B por uma estrada que tem 52,5 km de comprimento. Por sua vez a cidade B está ligada a cidade C por uma estrada cujo comprimento é igual a 2/3 da distância de A até B. Quantos quilômetros percorrerá um veículo que sai de A, passa por B e atinge C? P 15) Um carpinteiro está colocando rodapé no contorno de uma sala que tem 7,40m de comprimento por 4,15m de largura. Esta sala tem três portas, duas delas com 90 cm de vão cada uma e a outra com 130 cm de vão. Considerando-se que ele não vai colocar rodapé no vão da porta, podemos dizer que ele vai usar de rodapé: a) 16m b) 17m c) 18 m d) 19 m e) 20 m GABARITO - MEDIDAS DE COMPRIMENTO P1) 2856,9 P2) 0,00456835 P3) 0,80 P4) 382.200 km P5) 4,8 km/h P6) 53.000 minutos P7) Recebeu 19,80 m e pagou a mais 16,80 P8) 40,50 m P9) 40 cm P10) 150 m de comprimento, 25 m de largura e 15 m de alturaPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  46. 46. P11) 16 cm P12) Passando por C P13) 1,62 m P14) 87,5 km P15) E MEDIDAS DE SUPERFÍCIE "Superfície é a região do plano determinada por segmentos de reta ou por linhas curvas. Medir uma superfície é compará-la com outra tomada como unidade". Para medirmos as superfícies, utilizamos as unidades da área do sistema métrico internacional, cuja unidade básica é o metro quadrado (m2 ) e que corresponde a um quadrado de 1 metro de lado. Neste sistema, cada unidade de área é cem vezes maior que a unidade imediatamente inferior. O metro quadrado foi criado para medir grandes superfícies, como por exemplo, a superfície de uma fazenda. Para medir grandes superfícies foram criadas unidades maiores que o metro quadrado, bem como, foram criadas unidades menores que o metro quadrado para medir pequenas superfícies. Múltiplos do Metro Quadrado Decâmetro Quadrado (dam2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 dam de lado, eqüivalendo a 100 m2. Hectômetro Quadrado (hm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 hm de lado, eqüivalendo a 10.000 m2.PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  47. 47. Quilômetro Quadrado (km2 ) - que corresponde a uma região quadrada de 1 km de lado, eqüivalendo a 1.000.000 m2. Submúltiplos do Metro Quadrado Decímetro Quadrado (dm2 ) - que corresponde a uma região quadrada de 1 dm de lado, equivalendo a 0,01 m2 . Centímetro Quadrado (cm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 cm de lado, equivalendo a 0,0001 m2. Milímetro Quadrado (mm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 mm de lado, equivalendo a 0,000001 m2 QUADRO DAS UNIDADES DAS MEDIDAS DE SUPERFÍCIE As unidades de superfície variam de 100 em 100, assim, qualquer unidade é sempre 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior e 100 vezes menor que a unidade imediatamente superior. MUDANÇA DE UNIDADE Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de unidades abaixo representada:PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  48. 48. Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros quadrados para centímetros quadrados, vamos multiplicar o número por 10.000, pois estaremos descendo dois degraus. Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus desta escada (metros quadrados pra decâmetros quadrados por exemplo), iríamos dividir o número por 10.000. Analogamente, de acordo com a quantidade de degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de cem. MEDIDAS AGRÁRIAS São medidas utilizadas na agricultura para medir campos, fazendas, etc. As unidades são o hm2, o dam2 e o m2 que recebem designações especiais. A unidade fundamental de medida é o ARE, cujo símbolo é a, eqüivale a 1 dam2 ou seja 100 m2. O are possui apenas um múltiplo e um submúltiplo: v O múltiplo do are é o hectare que vale 100 ares ou 1 hectômetro quadrado. Seu símbolo é ha. v O submúltiplo do are é o centiare, cujo símbolo é ca e cujo valor corresponde a 0,01 are e equivale a 1m2. Múltiplo hectare ha Hectômetro quadrado 10.000 m2 are a Decâmetro quadrado 100 m2 Sub-múltiplo centiare ca Metro quadrado 1 m2 Observação: Existem unidades não legais que pertencem ao sistema métrico decimal. v Alqueire Paulista = 24.200 m2 v Alqueire Mineiro = 48.400 m2PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  49. 49. EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS AGRÁRIAS P 1) Uma fazenda tem 6 há de área. Qual sua área em m2? P 2) Uma reserva florestal tem 122.800m2 de área. Qual a área dessa reserva em ha? P 3) Uma plantação de café tem uma área de 406 ha. Qual a área dessa plantação em km2? P 4) Uma gleba de terra tem uma área de 5/8 ha. 60% da área dessa gleba foi reservada para pasto. Quantos m2 de pasto foram formados nessa gleba? P 5) Roberto comprou 6 alqueires paulistas de terra, Quantos m2 ele comprou? P 6) Numa fazenda de criação de gados para engorda, foram formados 50 alqueires (mineiros) de pasto de excelente qualidade. Quantos m2 de pasto foram formados nessa fazenda? P 7) Uma plantação de cana de açúcar cobre uma extensão de 42 ha. Qual é, em m2, a superfície ocupada pela plantação? GABARITO - MEDIDAS AGRÁRIAS P1) 60.000 m2 P2) 12,28 ha P3) 4,06 km2 P4) 3750 m2 P5) 145.20 m2 P6) 2.420.000 m2 P7) 420.000 m2 MEDIDAS DE CAPACIDADEPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  50. 50. " Capacidade é o volume de líquido que um sólido pode conter em seu interior". Assim, quando dizemos que no interior de uma garrafa de água mineral cabe meio litro, estamos medindo a quantidade de líquido que a garrafa pode conter. Como a capacidade é um volume, podemos utilizar as unidades de volume para medir os líquidos. Mas para este fim, utilizamos uma outra unidade de medida chamada litros, que se abrevia por l.O litro corresponde à capacidade de um cubo com 1 dm de aresta, ou seja, corresponde ao volume de um decímetro cúbico. Exemplo: O hidrômetro de uma casa registrou no mês que passou, um consumo de 25m 3 de água. Quantos litros de água foram consumidos nessa casa? •25m3 = (25 x 1000)dm3 = 25.000dm3 = 25.000l MUDANÇA DE UNIDADE Como os múltiplos e submúltiplos do litro variam de 10 em 10, pode-se concluir que as mudanças de unidades são feitas como nas medidas de comprimento, ou seja, deslocando- se a vírgula de uma em uma casa decimal para a esquerda ou para a direita ou ainda, como foi dito, utilizando a escada de transformações representada abaixo:PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  51. 51. EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE CAPACIDADE P 1) Expressar 2l em ml. P 2) Sabendo-se que 1dm3 = 1l, expressar 250 l em cm3. P 3) Na leitura de um hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi de 36m3, quantos litros de água foram consumidos? P 4) Uma indústria farmacêutica fabrica 1400 litros de uma vacina que deve ser colocada em ampolas de 35cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com esta quantidade de vacina? P 5) O volume interno de uma carreta de caminhão-tanque é de 85m3. Quantos litros de combustível essa carreta pode transportar quando totalmente cheia? P 6) Um reservatório, cujo volume é de 10m3, estava totalmente cheio quando deles foram retirados 2.200 l. Numa segunda vez foi retirado 1/3 da quantidade de água que restou. Nessas condições, quantos litros ainda restam no reservatório? P 7) O volume máximo interno de uma ampola de injeção é de 12cm3. Qual é a capacidade máxima em ml desta ampola? P 8) Qual é a capacidade, em litros, de uma caixa d´água cujo volume interno é de 0,24m3? GABARITO - MEDIDAS DE CAPACIDADE P1) 2000ml P2) 250000 cm3 P3) 36.000 litros P4) 40.000 ampolas P5) 85.000l de combustível P6) 5200 litrosPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  52. 52. MEDIDAS DE MASSA "Massa de um corpo qualquer é a quantidade de matéria que esse corpo contém". O sistema métrico decimal é utilizado, para estabelecer as unidades que servem para medir a massa de um corpo. A unidade padrão para medir a massa de um corpo é a massa de um decímetro cúbico de água, a uma temperatura de 4ºC. Entretanto, por ser mais prático, foi utilizado como unidade principal o grama (abrevia-se g) e que se constitui numa massa igual a milésima parte do quilograma ou seja, 1g = 0,001kg ou 1kg = 1000g. RELAÇÃO IMPORTANTE Volume Capacidade Massa 1 dm3 = 1 litro = 1 kg Exemplo: Um recipiente, totalmente cheio contém um volume de 5m3 de água pura. Qual é o peso (massa) da água contida neste recipiente? v 5m3 = 5.000 dm3 = 5000 kg Logo, o peso dessa água contida nesse recipiente é de 5.000 kg OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS RELACIONADAS AO GRAMA v Tonelada (T) = 1.000 kg v Megaton = 1.000 toneladas v Quilate = 0,2 g (unidade para medida de pedras e metais preciosos)PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  53. 53. EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE MASSA P 1) Com uma certa quantidade de papel, foram feitos 25.000 blocos, todos com o mesmo número de páginas. Se cada bloco tem 0,75 kg, quantos quilogramas de papel foram usados para fazer esses blocos? P 2) Uma laje é formada por 40 blocos de concreto. Cada bloco de concreto tem 1 1/4 T. de massa. Qual a massa da laje toda? P 3) Um litro de uma certa substância corresponde a uma massa de 2.5 kg. Quantos kg há em 6 m3 dessa substância? P 4) Um comprimido contém 3,5 mg de vitamina x. Uma pessoa toma três desses comprimidos por dia. Quantos miligramas de vitamina x essa pessoa vai ingerir após 1 mês de 30 dias? P 5) Um recipiente contém água pura. A massa dessa água é de 18.000 kg. Qual é em m3 o volume interno desse recipiente? P 6) Um volume de 0,01 m3 corresponde a quantos decímetros cúbicos? P 7) Um reservatório tem um volume de 81 m3 e está totalmente cheio d´água. Uma válvula colocada nesse reservatório deixa passar 1500l de água a cada 15 minutos. Esta válvula ficou aberta durante um certo tempo e depois foi fechada. Verificou-se que havia, ainda 27m3 de água no reservatório. Durante quanto tempo esta válvula permaneceu aberta? a) 8 horas b) 9 horas c) 12 horas d) 18 horas e) 36 horas GABARITO - MEDIDAS DE MASSA P1) 18.750 kg P2) 50 T P3) 15.000 kg P4) 315 mg P5) 18 m3 P6) 10 dm3 P7) BPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  54. 54. MEDIDAS DE TEMPO A unidade fundamental do tempo é o segundo. As unidades secundárias, que se apresentam somente como múltiplos, constam no quadro: NOMES Símbolos Valores em segundos Segundo s ou seg 1 Minuto min 60 Hora h 3.600 Dia d 86.400 Outras unidades, usadas na prática, são: v Semana (se) 7 dias v Mês (me) 30, 31 ou 29 ou 28 dias v Ano (a) 360, 365 ou 366 dias O ano compõe-se de 12 meses. O ano comercial tem 360 dias, o ano civil tem 365 dias e ano bissexto 366 dias. Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias; os meses de abril, junho, setembro e novembro têm 30 dias. O mês de fevereiro tem 28 dias nos anos comuns (civil) e 29 dias nos anos bissextos. Todo ano que for divisível por 4, são bissextos. Assim, por exemplo: 1940, 1952, 1964 são bissextos 1910, 1953, 1965 não são bissextos Nomenclaturas: v 02 anos chama-se biênio v 03 anos chama-se triênio v 04 anos chama-se quadriênio v 05 anos chama-se quinquênio ou lustro v 10 anos chama-se decênio ou década v 100 anos chama-se século v 1000 anos chama-se milênio v 02 meses chama-se bimestre v 03 meses chama-se trimestre v 06 meses chama-se semestre A representação do número complexo que indica unidade de tempo, é feita escrevendo-se em ordem decrescente o valor, s números correspondentes às diversas unidades acompanhados dos respectivos símbolos. Exemplo: v 9a 4 me 18 d 15 h 23 min 17 segPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  55. 55. MUDANÇA DE UNIDADES Podem ocorrer dois casos: Caso 1: Transformação de número complexo em unidades inferiores também chamadas de medidas simples ou número incomplexo. Exemplo: Verificar quantos minutos há em 3d 8h 13min? v Como 1 dia tem 24 horas → 24 h x 3 = 72 h v Temos + 8 h. Estas 72 h + 8 h dá 80 h. v Como a hora vale 60 min. → 80 h x 60 min = 4800 min. v Somando-se ainda mais 13 min. → 4813 min. Caso2: Transformação de um número expresso em medidas simples ou unidades inferiores ou em números incomplexos. Exemplo: Transformar 4813 min. em número não decimal, é o mesmo que determinar quantos dias, horas e minutos há em 4813 min. Neste caso efetuamos as operações inversas do problema anterior. v 4813 ¸ 60 = 80 h e 13 min v 80h ¸ 24 = 3 d e 8 h Logo, 4813 minutos é o mesmo que 3 dias 8horas e 13 minutos. EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE TEMPO P 1) Dizer: a) Quantos minutos há numa semana? b) Quantas horas há em duas semanas? P 2) Converter: a) 2d 12 h 15 min em minutos. b) 4 a 8 me 12 d em dias. P 3) Efetuar a operação: 13 d 55 h 42 min + 8 d 34 h 39 min. P 4) Exprimir quantos meses e dias contém a fração 5/8 do ano. P 5) Numa certa fábrica um operário trabalhou 2 a 10 me 15 d e outro durante 11 me 29 d. Qual é a diferença entre os tempos de trabalho dos dois operários?PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  56. 56. P 6) As 9 h da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 min em 24 h. Que horas serão, na verdade, quando o relógio marcar 5 h da tarde? GABARITO - MEDIDAS DE TEMPO P1) a) 10.080 min b) 336 h P2) a) 3.615 min b) 1.712 dias P3) 242 d 18 h 21 min P4) 7 me e 20 d P5) 1 a 10me 14d P6) 4 h 58 min INTRODUÇÃO Antes de iniciarmos o estudo de perímetros de figuras planas, vamos revisar alguns conceitos básicos da Geometria Plana. ÂNGULOS "Ângulo é a união de duas semi-retas de mesma origem". ˆ Ângulo: A O B BISSETRIZ "É uma semi-reta de origem no vértice do ângulo, que o divide em 2 ângulos congruentes".PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  57. 57. ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE "São ângulos cujos lados de um, são semi-retas opostas aos lados do outro, como ilustra a figura". TEOREMA: a = b ˆ ˆ CLASSIFICAÇÕESPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  58. 58. ÂNGULOS ADJACENTES TRIÂNGULOS "Os Triângulos são Polígonos de três lados". CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS LADOSPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  59. 59. CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS ÂNGULOSPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  60. 60. QUADRILÁTEROS "Os Quadriláteros são Polígonos de quatro lados". TRAPÉZIO "Quadrilátero com dois lados paralelos e ângulos consecutivos (agudo e obtuso) suplementares". Trapézio ABCD: v AD // BC v A + B = 180O ˆ ˆ ˆ ˆ v C + D = 180º PARALELOGRAMO "Quadrilátero com lados dois a dois paralelos, ângulos opostos iguais e consecutivos suplementares". Paralelogramo ABCD: v AB // CD e AC // BD v A + B = 180 O ˆ ˆ ˆ ˆ v C + D = 180º ˆ ˆ ˆ ˆ v A= D e C= B LOSANGOPDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com

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