Conceitos Básicos de Matemática Financeira

PAULO VIEIRA NETO

Conceitos Básicos de Matemática Financeira

São Paulo, Julho/2006-A

Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 1

Matemática Financeira: Dentre várias definições, “é a ciência que estuda o dinheiro no tempo” (Lawrence Jeffrey
Gitman). O conhecimento de matemática financeira é indispensável para compreender e operar nos mercados financeiro
e de capitais, e atuar em administração financeira com baixos tempo e custo de decisão.
1. Qual o objetivo principal da matemática financeira?
A matemática financeira busca, essencialmente, analisar a evolução do dinheiro ao longo do tempo, determinando o
valor das remunerações relativas ao seu tempo.
2. Conceitos básicos de juro, capital e regime de capitalização.
2.1. juro: É a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital.1
2.1.1. Fatores necessários para calcular o valor do juro:
Capital, Principal ou Valor Presente;
Taxa de Juros [Rate: i/100 ]. (i = Interest = juros);
Tempo, Prazo ou Período. [Empregaremos a letra n, do inglês - number]
2.2. Capital: quantia de dinheiro envolvida numa operação financeira.
2.3. Regime de capitalização: Entende-se por regime de capitalização o processo de formação de juro. Há dois tipos
de regimes de capitalização:
2.3.1. Regime de capitalização a juro simples2: por convenção, os juros incidem somente sobre o capital inicial.
Apenas o capital inicial rende juros, i.e., o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa.
Não é incorporado ao capital, para render juro no período seguinte; dizemos que os juros não são
capitalizados3.
2.3.2. Regime de capitalização a juro composto: o juro formado no fim de cada período é incorporado ao capital
que tínhamos no início desse período, passando o montante a render juro no período seguinte; dizemos
que os juros são capitalizados.
2.4. Juro exato e juro comercial
2.4.1. Juro exato: é o juro obtido tomando como base o ano de 365 ou 366 dias como os anos bissextos;
2.4.2. Juro comercial: é o juro obtido tomando como base o ano de 360 dias (ano comercial) e mês de 30 dias
(mês comercial).
2.5. Montante: define-se como montante de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de n períodos, como sendo a
soma do juro mais o capital inicial.
Seja C o principal, aplicado por n períodos e à taxa de juros i, temos o montante (M) como sendo:
M=C+J
3. Fluxo de caixa: é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro, seja de uma empresa ou uma pessoa física por um
determinado período de tempo. Sua representação consta de um eixo horizontal onde é marcado o tempo, a partir de
um determinado instante inicial (origem) “dia, mês, ano etc.". As entradas de dinheiro são indicadas por setas voltadas
para cima, as saídas, por setas para baixo.

Entrada
↑ ( + ) R$ .
t0 t1 ↓ ( - ) R$ Saída

I. Taxa de Juros
Taxa de Juros: O juro é determinado através de um coeficiente referido a um determinado período de tempo. Tal
coeficiente corresponde à remuneração do capital aplicado por um prazo igual àquela taxa.
As taxas de juros são apresentadas de duas maneiras:
• Forma percentual: Nesta situação diz-se aplicada a centos do capital, isto é, ao que se obtém após dividir-se o
capital por 100;
• Forma unitária: Aqui, a taxa refere-se à unidade do capital, ou seja, calculamos o rendimento da aplicação de uma
unidade do capital no intervalo de tempo referido pela taxa;

Forma percentual Transformação Forma Unitária
12% a.a. 12/100 0,12 a.a.
3% a.t. 3/100 0,03 a.t.
1% a.m. 1/100 0,01 a.m.

Diagramas de capital no tempo [Fluxos]: Os problemas financeiros dependem basicamente de um fluxo (entradas e
saídas) de dinheiro no tempo. Este fluxo é conhecido como fluxo de caixa, que é uma representação esquemática útil na
resolução de problemas. Basicamente conta com um eixo horizontal onde marcamos o tempo, a partir de um instante
inicial (origem); marcamos a unidade de tempo (ano, semestre, mês, dia etc.). A representação pode ser a seguinte:
600 400 500 (+) Entradas
↑ ↑ ↑ . .....................
0 1 2 3 4 5 6 ( - ) Saídas
↓ 1000 ↓ 500
Taxa Nominal: é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquela a que se refere.

1
TOSI, José Armando. Matemática Financeira: prática e objetiva. São Paulo : mimo.
2
A capitalização simples está mais relacionada às operações com períodos de capitalização inferiores a 1 e a descontos de
títulos junto aos agentes financeiros (GIMENES, 2006:19)
3
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. São Paulo : Saraiva, 2001, p. 80.


Taxa Efetiva: é aquela que realmente é apurada (paga).
Taxas Proporcionais: são proporcionais quando, aplicadas sucessivamente no cálculo dos juros simples de um mesmo
capital, por um certo período de tempo, produzem juros iguais.

II. JUROS SIMPLES
No regime de juros simples, os juros incidem somente sobre a aplicação capital inicial, qualquer que seja o número
períodos de capitalização.
Por definição, o juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa de juro
por período o fator de proporcionalidade4. Assim, sendo:
• C = Capital inicial ou principal; [C, P ou PV: Present Value]
• j = juro simples;
• n = tempo de aplicação
• .i = taxa de juros unitária. [ i/100 ]
vamos escrever a fórmula de juros simples da seguinte maneira: J = Cin

Juros simples

Rendimento
Mês C i n Juros Montante
1 1.000,00 5% 1 50,00 1.050,00
2 1.000,00 5% 1 50,00 1.100,00
3 1.000,00 5% 1 50,00 1.150,00
4 1.000,00 5% 1 50,00 1.200,00

J = Cin (1)
M=C+j (2)
M = C +Cin (3) J= M-C (4)
M = C (1+ in) ( 5 )

Capitalização Simples: . M = C(1 + in) (5) . . C = M/(1 + in) (6) .
• Na calculadora financeira HP-12C pode-se calcular diretamente qualquer uma das variáveis da fórmula. A taxa de
juros simples deve ser expressa em anos e o período em dias.

Exemplo:
Aplica-se um capital de $ 5.000,00 a 3% a. m. durante 5 meses.
a) qual o Juro e montante Comercial? "Juro comercial: é o juro obtido considerando o ano de 360 dias (ano comercial)
e mês de 30 dias (mês comercial)”.
b) Qual o juro e o montante exato? "Juro Exato: é o juro obtido considerando o ano de 365 ou 366 dias”.
C = 5.000 - i = 3/100 = 0.03 -n=5
J = Cin ⇒ 5000 x (0,03 x 5) = 750. O juro produzido no período é igual a $ 750,00.
Vamos utilizar a calculadora HP-12C
Solução: 3% a. m. é igual a 36% a. a.
5 meses é igual a 150 dias

5000 CHS PV Capital inicial com sinal ( - )

36 i Taxa de juros em anos

150 n Período em dias

f INT 750 juro comercial

+ 5.750 montante

Atenção, não apague os dados inseridos. Para calcular o juro e montante exatos basta teclar a seqüência de teclas a
seguir:

.f INT R↓ X≷Y 739,73 juro exato

+ 5.739,73 montante exato

Observações: Para que a calculadora HP-12C funcione de maneira correta, quando o prazo (n) não for inteiro, torna-se
mister que ela esteja ajustada para a convenção exponencial (juros compostos). No visor, à direita - embaixo - precisa
que apareça a letra "c". Se não estiver aparecendo, tecle .STO . EEX . Para retirar essa instrução, volte a teclar
as mesmas teclas. Se não aparecer a letra "c", a calculadora HP-12C não capitaliza prazos fracionários.

4
CRESPO, op cit. pp. 80-1.


Da fórmula de Juros [Fórmula (1)], [ dada 3 variáveis, encontrar a 4ª variável ]

J
→ C= [7]
in
J
J = Cin [1] → i= [8]
Cn
J
→ n= [9]
Ci

Exemplo:
C: 1200,00 J = Cin
i: 5% a.m. J = 1200,00 x [ (5/100) x 4 ]
n: 4 m. J = 1200,00 x 0,2
J: ? J = 240,00

i: 5% a.m. C = J / in
n: 4 m C = 240,00 / [ (5/100) x 4 ]
J: 240,00 C = 240,00 / 0,2
C: ? C = 1200,00

C: 1200,00 i = J / cn
n: 4 m i = 240,00 / [ 1200,00 x 4 ]
J: 240,00 i = 240,00 / [ 4800,00 ]
i: ? i = 0,05 ⇒ [ 0,05 x 100 ] ⇒ 5% i = 5% .

C: 1200,00 n = J / ci
i: 5% a.m. n = 240,00 / [ 1200,00 x (5/100) ]
J: 240,00 n = 240,00 / 60,00
n: ? n= 4

Exercícios Resolvidos
1.Um capital de $ 2.000,00 foi aplicado durante 3 meses, à juros simples, à taxa de 30% a.a. Pede-se:
a) Juros b) Montante.

1) J = Cin 2) M = C + J 3) M = C +Cin 4) M = C (1+ in) 5) J = M - C 5b) J = C (1+ in) - 1

Solução: C = 4000,00 i = 18% a.a. n=3m
[Fórmula 1] HP-12C Calculadora Científica
J = Cin fixar 8 Casas decimais fixar 8 Casas decimais .2nd .TAB . 8
J = 4000 x { [ ( 18/100 )/12 ] x 3 } .f . 8 18 ÷ 100 ÷ 12 x 3 x 4000 =
J = 4000 x { [ ( 0,18 ) /12 ] x 3 } 4000 CHS PV 180,00000000
J = 4000 x { [ 0,015] x 3 } 18 i Para representar os valores em Reais,
J = 4000 x { 0,045 } 90 n. Vamos fixar 2 Casas decimais .2nd .TAB . 2
J = 4000 x 0,045 .f .INT . 180,00
J = 180,00 180,00000000 M=C+J
M=C+J fixar 2 Casas decimais M = 4000,00 + 180,00
M = 4000,00 + 180,00 .f . 2 M = 4.180,00
M = 4.180,00 Montante tecle +

Ou pela fórmula do Montante [Fórmula 4]
M = C (1+ in) HP-12C Calculadora Científica
M = 4000 x {1 + [ (( 18/100 ))/12) x 3 ] } .f . 6 .2nd .TAB .8 - Fixa 8 casas decimais
M = 4000 x { 1 + [ (( 0,18 ) /12 ) x 3 ] } 18 Enter 18 ÷ 100 ÷ 12 x 3 + 1 = 1,045
M = 4000 x { 1 + [ ( 0,015 ) x 3 ] } 100 ÷ [0,180000] x 4000 =
M = 4000 x { 1 + [ 0,045 ] } 12 ÷ [0,015000] 4.180,00 = M
M = 4000 x { 1 + 0,045 } 3x [0,045000] J=M-C
M = 4000 x { 1,045 } 1+ [1,045000] 4180 - 4000 = 180,00000000
M = 4.180,00. 4000 x [4.180,000000] .2nd .TAB . 2 - Fixa 2 casas decimais
Aplicando a fórmula 5: J = M - C 4000 - [180,000000] 180,00
J = 4180,00 - 4000,00 = . J = 180,00 . .f . 2 [180,00]


2.Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado durante 120 dias, à juros simples, à taxa de 48% a.a. Pede-se:
a) Juros b) Montante.
[Fórmula 1]
J = Cin HP-12C Calculadora Científica
J = 5000 x { [ ( 48/100 )/360 ] x 120 } .f . 8 .2nd .TAB .8 - Fixa 8 casas decimais
J = 5000 x { [ ( 0,48 ) /360 ] x 120 } 48 Enter 48 ÷ 100 ÷ 360 x 120 = 0,16
J = 5000 x { [ 0,000133333333] x 120 } 100 ÷ [0,480000] x 5000 =
J = 5000 x { 0,16 } 360 ÷ [0,00133333] 800,00000000 = J
J = 5000 x 0,16 120 x [0,16000000] M= C+J
J = 800,00 5000 x [800,0000000] .2nd .TAB . 2 - Fixa 2 casas decimais
M = C + J → M = 5000,00 + 800,00 .f . 2 [800,00] 5000 + 800 =
M = 5.800,00 5000 + [5.800,00] 5.800,00

Ou pela fórmula do Montante [Fórmula 4] Ano Comercial: 360 dias, meses: 30 dias
M = C (1+ in) ⇒ M = 5000 x {1 + [ (( 48/100 ))/360) x 120 ] } Ano civil: 365 ou 366 dias.
M = 5000 x { 1 + [ (( 0,48 ) /360 ) x 120 ] }
M = 5000 x { 1 + [ ( 0,000133333333 ) x 120 ] }
M = 5000 x { 1 + [ 0,16 ] }
M = 5000 x { 1 + 0,16 }
M = 5000 x { 1,16 }
M = 5.800,00.
Aplicando a fórmula 5: J = M - C → J = 5800,00 - 150,00 = . J = 800,00 . [ Juro comercial ]

3. Utilizando os dados do exercício 2, calcule o juro exato e o Montante [365 dias].
[Utilizando a fórmula 1]
J = Cin ⇒ J = 5000 x { [ ( 48/100 )/365 ] x 120 }
J = 5000 x { [ ( 0,48 ) /365 ] x 120 }
J = 5000 x { [ 0,001315068] x 120 }
J = 5000 x { 0,157808219 }
J = 5000 x 0,157808219
J = 789,04
M = C + J → M = 5000,00 + 789,04 → M = 5.789,04

II.1. MONTANTE: Define-se como Montante de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de n períodos como
sendo a soma do juro mais o capital inicial5.
M = C + J: De modo análogo ao visto para juro, dado 3 valores da fórmula poderemos obter o quarto valor. [como
vimos nas fórmulas 1 a 5].

M
→ C= [10]
(1 + in)
 M 
   −1 
C
M = C(1 + in) [6] → i=    X 100 [11]
 n 
 
 
 M 
   −1 
C
→ n=     [12]
 i 
 
 

Exemplo:

C: 1200,00 [6] M= C(1 + in) M = 1200 x {1 + [(5/100) x 4]}
i: 5% a.m. M = 1200 X {1 + [0,05 x 4]} M = 1200 x {1 + 0,2}
n: 4 m M = 1200 X 1,2}
M: ? M = 1440,00

M: 1440,00 [10] C= M(1 + in) C = 1440/{1 + [(5/100) x 4]}
i: 5% a.m. C = 1440 /{1 + [0,05 x 4]} C = 1440/{1 + 0,2}
n: 4 m. C = 1440/1,2
C: ? C = 1200,00

5
MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. São Paulo : Atlas, 1993, p. 26.


C: 1200,00 [11] i = {[(M/C) -1]/n} x 100 i = {[(1440/1200) -1] /4} x 100
M: 1440,00 i = {[1,2 – 1]/4]} x 100 i = {0,2/4} x 100
n: 4 m i = 0,05 x 100
i=? i = 5%

C: 1200,00 [12] n = {[(M/C) -1]/i} n = {[(1440/1200) -1] /(5/100)}
M: 1440,00 n = {[1,2 – 1]/0,05]}
i: 5% a.m. n = 0,2/0,05
n=? n = 4

III. RAZÕES E PROPORÇÕES
Razão de dois números: Razão do nº a para o nº b (diferente de zero) é o quociente de a por b .

É indicado por: a/b ou a : b ( lemos: a para b )
Os números a e b são os termos da razão; a é chamado antecedente e b, conseqüente da razão.
Exemplos:
A razão de 5 para 15 é:
1º) 3/15 = 1/5; 2º) 18/3 = 6; 3º) 5 e 1/2 = 5/(1/2) = 5 x (2/1) = 10

Duas razões são inversas entre si quando uma é igual ao inverso multiplicativo da outra.

Se a e b são números reais não-nulos, então a/b e b/a são razões inversas; a/b x b/a = 1.
1. A razão inversa de 3/4 é 4/3; 2. A razão inversa de 4 é 1/4; 3. A razão inversa de 1/5 é 5.

Proporção: Dados, em certa ordem, quatro números ( a, b, c e d ) diferentes de zero, dizemos que eles formam uma
proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b ) é igual a razão entre os dois últimos.
A razão a/b é igual a razão c/d. Essa proporção é indicada por a/b = c/d, onde a e d são chamados extremos e b e
c são chamados meios.

Na proporção: a/b = c/d, temos:
a, b, c e d são os termos ( 1º, 2º, 3º e 4º termos, respectivamente)
a e c são os antecedentes
b e d são os conseqüentes
a e d são os extremos
b e c são os meios
Propriedade fundamental: Sejam a, b, c e d números reais diferentes de zero, tais que:
a/b = c/d,
Multiplicando os dois membros da igualdade b/d, (produto dos conseqüentes da proporção), obtemos:
a/b x bd = c/d x bd . Simplificando temos: a/d = c/b, Logo, podemos afirmar que:
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios

Exemplo: Dada a proporção 6/8 = 3/4, temos:
6 x 4 = 24
8 x 3 = 24 6x4=8x3

IV. DIVISÃO PROPORCIONAL E REGRA DE SOCIEDADE
Dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados é decompô-lo em parcelas proporcionais a
esses números.

Exemplo: Vamos supor que Maria, Carlos e Jorge tenham associados para comprar uma casa no valor de $ 60.000,00.
Maria entrou com a maior parte, $ 30.000,00, Carlos com $ 20.000,00 e Jorge, com a menor parte, $ 10.000,00. Um
ano depois eles venderam essa casa por $ 90.000,00. Qual a parte que cabe a cada um deles?
Por convenção, a cada $ 1,00 empregado na compra da casa deve corresponder a mesma quantia resultante da
venda, i.e., uma quota. Essa quota é, o quociente do preço de venda pelo preço de compra, ou seja:
90.000/60.000 = 1,5. Logo:
Maria: 30.000 x 1,5 = $ 45.000
Carlos: 20.000 x 1,5 = $ 30.000
Jorge: 10.000 x 1,5 = $ 15.000
Total 60.000 x 1,5 = 90.000

V. REGRA DE SOCIEDADE
A regra de sociedade é uma das aplicações da divisão proporcional. O objetivo é a divisão dos lucros ou dos prejuízos
entre as pessoas envolvidas (sócios) que formam uma sociedade, por ocasião do Balanço geral exigido anualmente por
lei ou quando da saída de uma das pessoas da sociedade ou da admissão de um novo membro à sociedade constituída.
Por convenção, o lucro ou prejuízo é dividido pelos sócios proporcionalmente aos recursos empregados, levando em
conta as condições que rezam no contrato.


Há quatro casos a considerar:
1º Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo. Afim de obter a parte de cada um dos sócios, divide-
se o lucro ou prejuízo pelo número deles.
Exemplo: Três sócios lucraram $ 222.600 no último exercício. Sabendo que seus capitais eram iguais, determine a
parte de cada um nos lucros:
222.600/3 = 74.200
Logo, a parte que cabe a cada um é de $ 74.200.
2º) Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo. Neste caso, divide-se o lucro ou prejuízo em
partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios.
Exemplo: Na apuração do Balanço anual da empresa ZYX, formada por 3 sócios, apurou-se um lucro de $ 33.750.
Determine a parte corresponde a cada sócio, sabendo que seus capitais são de $ 540.000, $ 450.000 e $ 360.000:

A → 540 A = 540 x 0,025 = 13,50
33,75 B → 450 ⇒ y = 33.75/1350 = 0,025 ⇒ B = 450 x 0,025 = 11,25
C → 360 C = 360 x 0,025 = 9,00
1.350 33,75
Logo, o Lucro de cada sócio é de: $ 13.50, $ 11,25 e $ 9,00, respectivamente.
3º) Os capitais são iguais e empregados durante tempos desiguais. Teoricamente, o lucro ou prejuízo que cabe a cada
sócio é determinado dividindo-se o lucro ou prejuízo, da sociedade, em partes diretamente proporcionais aos tempos.
4º) Os capitais são desiguais e empregados durante também por tempos desiguais. Teoricamente, as partes do lucro
ou prejuízo seriam diretamente proporcionais aos capitais pelos respectivos tempos de dos sócios.

VI. TAXA PROPORCIONAL: Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com
os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.
Dada duas taxas (percentuais ou unitárias) i e i', relativas, respectivamente, aos tempos n e n', referidos à mesma
unidade, temos:

i n
=
i´ n´
Logo, as taxas 30% ao ano ou 2,5% ao mês, por exemplo, são proporcionais, pois:

30 12 0,30 12
= → ou ⇒ = → [ 0,30 x 1 ] ÷ [ 0,025 x 12 ] ⇒ 0,30 ÷ 0,30 = 1 → (1 ano = 12 meses)
2,5 1 0,025 1
Determinemos então uma fórmula para facilitar obter, mais rapidamente, uma taxa proporcional a outra taxa dada.
Seja i a taxa de juro relativa a um período e ik a taxa proporcional:

i
ik = ( 12 )
k

Exemplo: 1. Calcule a taxa mensal proporcional a 18% ao ano.

i 18
ik = → ik = = 1,5
k 12

2. Calcule a taxa mensal proporcional a 0,05% ao dia.
Solução: [1 mês = 30 dias]
i
0,05 = → [ 0,05 x 30 = i] ⇒ i = 1,5 → i = 1,5% a.m.
30

3. Calcule a taxa anual proporcional a 4,5% ao trimestre.
Solução: [1 ano = 4 trimestres]

i
4,5 = → [ 4,5 x 4 = i] ⇒ i = 18 → i = 18% a.a.
4


TAXA PROPORCIONAL (2): Duas taxas são proporcionais quando, aplicadas sucessivamente no cálculo de
juros simples de um mesmo capital, durante o mesmo prazo, produzem juros iguais.
Exemplos:
a) 5% ao mês ⇒ 30% ao semestre ( 5 x 6 = 30)
b) 3% ao mês ⇒ 36% ao ano ( 3 x 12 = 36)
c) 18% ao ano ⇒ 1,5% ao mês ( 18 / 12 = 1,5)
d) 5% ao trimestre ⇒ 20% ao ano ( 5 x 4 = 20)
DE PARA FÓRMULA DE FÓRMULA PARA
a.m. a.a. ia = ( im ) x 12 1,5% a.m. [(1,5%) x 12] 18% a.a.
a.d. a.m. im = ( id ) x 30 0,05% a.d. [(0,05%) x 30] 1,5% a.m.
a.d. a.a. ia = ( id ) x 360 0,05% a.d. [(0,05%) x 360] 18% a.a.
a.a. a.m. im = ( ia ) / 12 18% a.a. [(18%) / 12] 1,5% a.m.
a.m. a.d. ia = ( im ) / 30 1,5% a.m. [(1,5%) / 30] 00,5% a.d.
a.a. a.d. id = ( ia ) / 360 18% a.a. [(18%) / 360] 00,5% a.d.
Exercícios:
1a) Calcular os juros de uma aplicação de $ 15.000,00 a 30% ao ano, pelo prazo de 1 trimestre.
Dados: Solução:
C = $ 15.000,00 J = Cin
i = 30% a.a. J = 15000 x { [ (30/100)/12 ] x 3 }
n = 1 trimestre = 1/4 ano J = 15000 x { 0,075 } ⇒ J = 1.125,00
1a) Calcular os juros de uma aplicação de $ 15.000,00 a 2,5% ao mês, pelo prazo de 90 dias.
Dados: Solução:
C = $ 15.000,00 J = Cin
i = 30% a.a. J = 15000 x { [ (2,5/100)/30 ] x 90 }
n = 1 trimestre = 1/4 ano J = 15000 x { 0,075 } ⇒ J = 1.125,00
Nota-se que, nas duas situações, os juros produzidos são iguais. Portanto, 30% ao ano e 2,5% ao mês são taxas
proporcionais.

VII. DESCONTOS:
Desconto: Quando uma pessoa faz um investimento, com vencimento predeterminado, ela obtém um comprovante da
aplicação, que pode ser, por exemplo, uma letra de câmbio ou uma nota promissória. Caso, esta pessoa, precise do
dinheiro antes de vencer o prazo da aplicação, ela deve procurar a instituição onde fez a aplicação, transferir a posse do
título e levantar o principal acrescido dos juros já ganhos.
Outra situação: Uma empresa faz uma venda a prazo e recebe uma duplicata com um certo vencimento. Se esta
empresa precisar do dinheiro, antes do vencimento da duplicata, ela pode ir a um banco e transferir a posse desta
duplicata, recebendo dinheiro em troca.
Estas operações são chamadas de desconto e o ato de efetuá-las é chamado de descontar um título.
DESCONTO : É a quantia abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
DESCONTO
DESCONTO
[Valor Nominal também chamado de Valor Futuro ou Valor de Face ou Valor de Resgate]
DESCONTO COMERCIAL E DESCONTO RACIONAL
A diferença básica entre essas duas modalidades de cálculo do desconto é que o desconto por fora representa o juro
incidente sobre o valor nominal (valor “de fora”, o maior valor) e o desconto racional representa o juro incidente sobre o
valor atual ou líquido (valor “de dentro”, menor valor).
Chamamos de DESCONTO COMERCIAL [ Dc ], bancário ou por fora, o equivalente a juros simples,
produzido pelo valor nominal [ N ] do título no período de tempo correspondente e a taxa fixada.
Valor do desconto comercial:

Dc = Nin 1 .
Onde:
Dc: o valor do desconto comercial;
N: o valor Nominal do título;
Vc: o valor atual comercial ou valor descontado comercial;
n: tempo;
i: a taxa de desconto.
Valor atual comercial ou valor descontado comercial.

Vc = N - Dc 2 .
Substituindo Dc pelo seu valor obtido em 1 .

Vc = N - Nin 3 .

Vc = N(1 - in) 4 .


DESCONTO RACIONAL ou por dentro, é o equivalente a juros simples, produzido pelo valor atual do título numa taxa
fixada e durante o tempo correspondente.
Se preferir: DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO “POR DENTRO” : Definição: É o desconto obtido pela diferença
entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado n períodos antes do seu vencimento. Logo:
Dr = N – Vr, onde Dr denota o desconto racional.
Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal.
Valor descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto, isto é, Vr = N – Dr, onde Dr é o desconto e Vr, (ou
V, se não houver perigo de confusão), é o valor atual ou valor descontado racional.
Em síntese: No desconto comercial (por fora), a taxa de desconto incide sobre o valor nominal ( N ) do título e no
desconto racional ele incide sobre o valor atual ( V ).

Dr = Vin 5 .

Vr = N - Dr 6 .

Vr = N - Vin 7 . → → V = N - Vin → N = V + Vin [ Vamos adotar Vr = V ]

N = V + Vin 8 .

N = V(1 + Vin) 9 .
N
V= 10 .
1 + in
Da fórmula 6 → V = N - Dr, chegamos à fórmula → Dr = N - V . → 11 .

Se Dr = N - V [ V da fórmula 10, vamos substituí-lo em 12 ]

N
Dr = N - 12 .
1 + in
Uma coisa nós já verificamos, o desconto comercial é maior que o desconto racional efetuado nas mesmas condições.
Dc > Dr
As fórmulas para calculá-los são:
Nin
Dr = Dc = Nin
1 + in
Vamos usar estas duas fórmulas:

Nin
Dr = [1] Dc = Nin [2] VA = N – d [3] d = N – VA [4]
1 + in

N
VAr = [5] VAc = N(1 – in) [6]
1 + in

Se fizermos a divisão do desconto comercial pelo desconto racional, membro a membro, temos:
Nin
Dc = Nin → Dr =
1 + in
( Dc ) = ( Nin ) ⇒ portanto →
Dc
= 1 + in
[ Dr ]  Nin  Dr
 1 + in 
 
ou,
Dc = Dr(1 + in)

O Desconto comercial pode ser entendido como sendo o montante do desconto racional calculado para o mesmo período e à mesma taxa.
EXEMPLO: Uma dívida de $ 3.500,00, será saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional será
obtido, se a taxa de juros que reza no contrato é de 2,5% a.m.?
N = 3.500
n = 3 meses
i = 2,5% a.m.

1. Desconto Comercial
a) Vamos Aplicar a fórmula nº 1. Valor do desconto comercial: Dc = Nin 1 .
dc = Nin
dc = 3500 x [(2,5/100) x 3]
dc = 3500 x [0,025 x 3]
dc = 3500 x 0,075


dc = 262,50

b) Fórmula nº 2. Valor atual comercial ou valor descontado comercial: Vc = N - Dc 2 .
Vc = 3500 - 262,50
Vc = 3.237,50

c) Fórmula nº 4. Substituindo Dc pelo seu valor obtido em 1 . Vc = N - Nin 3. Vc = N(1 - in) 4 .
Vc = N(1 - in)
Vc = 3500{[1 - [(2,5/100) x 3]}
Vc = 3500{[1 - [0,025 x 3]}
Vc = 3500{1 - 0,075 }
Vc = 3500 x 0,925
Vc = 3.237,50

2. Desconto Racional
Vamos Aplicar as fórmula nº 5, 6, 9 a 11. .
Dr = Vin 5 .
Vr = N - Dr 6 .

Vr = N - Vin 7 . → → V = N - Vin → N = V + Vin [ Vamos adotar Vr = V ]

N = V + Vin 8 .

N = V(1 + Vin) 9 .
N
V = --------------- 10 .
( 1 + in )

Da fórmula 6 → V = N - Dr, chegamos à fórmula → Dr = N - V . → 11 ..
a) Para aplicarmos a fórmula nº 5, precisamos do Valor Atual sem nenhuma correção. Para descobrimos isto aplicamos
a fórmula 10..
N
V = --------------- 10 .
( 1 + in )

3500 .3500 .3500
V = --------------------------- ⇒ V = ------------------------ ⇒ V = -------------------- =
{1 + [(2,5/100) x 3]} {1 + [0,025 x 3]} {1 + 0,075 }

3500
V = ------------------- = 3.255,81
1,075

b) Fórmula nº 5. Dr = Vin 5 .
Dr = Vin
Dr = 3255,81 x [(2,5/100) x 3]
Dr = 3255,81 x [0,025 x 3]
Dr = 3255,81 x 0,075
Dr = 244,19

c) Fórmula nº 6. Vr = N - Dr 6 .
Vr = N - Dr
Vr = 3255,81 - 244,19
Vr = 3.011,62

d) Fórmula nº 11. Dr = N - Vr { Fórmulas 10 menos 6 }.
Resultado fórmula nº 10 = 3.255,81
Resultado fórmula nº 6 = 3.011,62
Dr = 244,19

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1a. Uma dívida de $ 13.500,00, será saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional será obtido, se a
taxa de juros que reza no contrato é de 30% a.a.?
N = 13.500
n = 3 meses
i = 30% a.a.
Dr = ?


Para encontrarmos o Dr, poderíamos usar a fórmula Dr = Vin 5 se nós conhecêssemos o (Vr) Valor Atual [Racional].
Vamos utilizar a fórmula 12 , pois não conhecemos o (Vr).

Nin 13500 x [(0,30/12) x 3] 13500 x [0,025 x 3] 13500 x 0,075 13500 x 0,075 1012,50
Dr = ⇒ Dr = → Dr = → Dr = → Dr = → Dr = → Dr = 941,84
1 + in 1 + [(0,30/12) x 3] 1 + [0,025 x 3] 1 + 0,075 1 + 0,075 1,075

$ 941,86 é, portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dívida.
Poderíamos utilizar também a fórmula: Vr = N - Vin 7 , conhecendo o Vr = N - Dr = 13500 - 941,86 = 12.558,14.
Vr = 13500 - {12558,54 x [(30/12)/100) x 4]}→ Vr = 13500 - (12558,54 x 0,075) →Vr = 13500 - 941,89 →Vr = 12.558,14

1b. Vamos calcular o n, nas mesmas condições, admitindo que não o conhecemos:
N = 13.500
n= ?
i = 30% a.a.
Dr = 941,86

Nin 13500 x ( 0,30 /12 ) x n 337,50 x n
Dr = → 941,86 = → 941,86 = → 941,86 + 23,54650n = 337,50n ⇒
1 + in 1 + [ ( 0,30/12 ) x n 1 + 0,25 x n

941,86
⇒ 941,86 = 337,50 n - 23,54650 n → 941,86 = 313,953488 n → n = a n =3
313,953488

1c. Vamos calcular a taxa de juros i, nas mesmas condições, admitindo que não a conhecemos:
N = 13.500
n= 3
i = ?
Dr = 941,86

Nin 13500 x i x 3n 13500 x i x3n 40.500i
Dr = ------------- ⇒ 941,86 = ------------------- ⇒ 941,86 = ---------------- ⇒ 941,86 = ------------
1 + in 1 + 3i 1+ix3 1 + 3i

⇒ 941,860451 + 2.825,81395i = 40.500i ⇒ 941,86 = 37.674,81861i

941,86
i = --------------------- ⇒ i = 0,025 ⇒ i = 0,025 x 12 = 0,30 ⇒ 0,30 x 100 ∴ i = 30% a.a.
37.674,81861

1d. Vamos calcular o valor nominal (N), nas mesmas condições, admitindo que não o conhecemos:

N=? Nin
n= 3 Dr = ----------
i = 30% a.a. 1 + in
Dr = 941,86

Nin N x (0,30/12) x 3 0,075N
Dr = ----------- ⇒ 941,860451 = ------------------------- ⇒ 941,860451 = ------------- ⇒
1 + in 1 + (0,30/12) x 3 1 + 0,075

0,075N 1.01250
941,860451 = ------------ ⇒ 1.01250 = 0,075N N = ------------ ⇒ N = 13.500
1,075 0,075

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Um título descontado de $ 4.000,00 vai ser descontado à taxa de 2.3% ao mês. Faltando 45 dias para o seu vencimento.
Determine: a) o valor do desconto comercial; b) o valor atual comercial.
Resolução: { N = 4.000 - n = 45 d - i = 2,3% a.m. = [2,3/100 = 0,023 a.m. - 0,023/30 a.m. ]
a) Dc = Nin ⇒ Dc = 4000 x {[(2,3/100)/30] x 45} ⇒ Dc = 4000 x {[0,023/30] x 45} ⇒ Dc = 4000 x {0,0007666667 x 45}
⇒ Dc = 4000 x 0,0345 ⇒ Dc = 138,00
a) Vc = N - Dc ⇒ Vc = 4000 - 138 ⇒ Vc = 3.862,00 ou Vc = N(1 - in) ⇒ Vc = 4000(1 - 0,0345) ⇒ Vc = 4000(0,9655)
Vc = 4000 x 0,9655 = 3.862,00


2. Uma duplicata de valor nominal é de $ 3.500,00, foi resgatada 4 meses antes do seu vencimento, à taxa de 26.4% ao ano.
Qual o desconto comercial;
Dc = Nin ⇒ Dc = 3500 x {[(26,4/100)/12] x 4} ⇒ Dc = 3500 x {[0,264/12] x 4} ⇒ Dc = 3500 x {0,022 x 4}
⇒ Dc = 3500 x 0,088 ⇒ Dc = 308,00
Utilizando as fórmulas 6 Vc = N(1 - in) e Dc = N - Vc 4.
Vc = N(1 - in) ⇒ Vc = 3500{ 1 - [(26,4/100)/12] x 4} ⇒ Vc = 3500( 1 - 0,022x4) ⇒ Vc = 3500( 1 - 0,088) ⇒
Vc = 3500 x 0,912 ⇒ Vc = 3.192,00
Agora aplicamos a fórmula Dc = N - Vc 4 . ⇒ Dc = 3500 - 3192 ⇒ Dc = 308,00

3. O desconto comercial de um título descontado 5 meses antes de seu vencimento e à taxa de 36% a.a. é de $ 690,00. Qual é
o desconto racional?
Resolução: Vamos aplicar a fórmula: Dc = Dr(1 + in)

i = 36/100 = 0,36
0,36 690,00
672,00 = Dr ( 1 + ------- x 5 ) ⇒ 672,00 = Dr ( 1 + 0,15 ) ⇒ Dr = ------------- ⇒ Dr = $ 600,00
12 1,15

4. Uma dívida de $ 13.500,00, será saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional será obtido, se a taxa de
juros que reza no contrato é de 30% a.a.?

Nin 13500 x [(0,30/12) x 3] 1012,50
Dr = -------------- ⇒ Dr = ------------------------------ = --------------- = $ 941,86
1 + in 1 + [ (0,30/12) x 3 ] 1,075

$ 941,86 é, portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dívida.

5. Por quanto posso comprar um título com vencimento daqui a 5 meses, se seu valor nominal for de $ 15.000,00 se eu quiser
ganhar 36% a.a. ?

Resolução: Deve-se calcular o valor atual do título tal que seja possível obter a rentabilidade de 36% a.a.
N: 15.000
i: 36% a.a. ⇒ (36/100) ⇒ 0,36 [ Calcular o Vr: Valor Atual ]
n: 5 meses
N 15000 15000
Vr = -------------- ⇒ Dr = ---------------------------- = ----------- = $ 13.043,48
1 + in 1 + [ (0,36/12) x 5 ] 1,15

VIII. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO - REVISÃO:
POTENCIAÇÃO
Para a ∈ R, b ∈ R, n ∈ N, temos: Assim definimos:
.a: base •a0 = 1 •a1 = a
n
.a = b, onde n: expoente •an = a x a x a ... x a, se n≥ 2 •a-n = 1/an, a ≠ 0
b: potência
Exemplo:
n 3
.a = 2 .a = .2 = 2 x 2 x 2 = 8
.n = 3
Propriedades:
Para m ∈ Z, n ∈ Z, a∈R e b ∈ R, temos: [Vide anexo II, conjuntos numéricos]

m n m+n 4 3 7
a) a • a =a =2 x2 = 16 x 8 = 128; 2 = 128
m n m-n 4 3 1
b) a /a =a =2 -2 = 16/8 = 2; 2 = 2
n
m mxn 4 3 1
c) (a ) = a =2 -2 = 16/8 = 2; 2 = 2
m m m 3 3 3 3
d) (a • b) =a • b = (2 x 3) = 6 = 216; 2 x3 = 8 x 27 = 216;
m m m 3 3 3 3
e) (a / b) =a /b = (6 / 3) = 2 = 8; 6 /3 = 216 / 27 = 8.

RADICIAÇÃO
Para a ∈ R, b ∈ R, n ∈ N*, m ∈ N*, temos:

: radical

n
b =a a: raiz b = radicando → extrair a raiz n-ésima de um nº, é só exponenciá-lo ao inverso do índice
n: índice


LOGARITMOS
O logaritmo de um número N, no sistema de base a, é o expoente x da potência a que é preciso elevar a base a para
de se obter esse número N. A base a deve ser positiva e diferente da unidade e N é sempre positivo.
x
Assim, se N = a , então x = logaN.
Exemplos: 10
2
= 100 ou log100 = 2
10
1
25 2 = 5 ou 5
log25 = 1
2
1 1
2-3 = ou log2 = - 3
8
8

1. - Propriedades dos logaritmos
M
a) logaM.N = logaM + logaN b) loga   = logaM − logaN
N
c) logaMn = n.logaM n
d) loga M = (1/n) . logaM

Normalmente se considera a base a igual a 10 (logaritmos decimais ou vulgares). Assim, o logaN se escreveria
simplesmente como logN.
3 1
Exemplos: 10 = 1000 ou log 1000 = 3 10 = 10 ou log 10 = 1
-1 -3
10 = 0,1 ou log 0,1 = -1 10 = 0,001 ou log 0,001 = -3

1.2 - Característica e Mantissa
Em geral o logaritmo não é número inteiro, isto é, comumente é um número inteiro mais uma parte fracionária avaliada
em decimais. A parte inteira chama-se característica e a parte decimal como mantissa.
A mantissa é encontrada na "Tábua de Logaritmos" e seu valor é sempre positivo.
A característica possui duas regras: (a) se o número N for maior do que 1, a característica será igual a tantas unidades,
menos uma, quantos algarismos estiverem à esquerda da vírgula decimal; e, (b) se o número N for menor do que 1, a
característica será negativa e, se o primeiro algarismo, diferente de zero, estiver na n-ésima ordem decimal, a
característica poderá ser menos n.
Exemplos: 135,2 possui característica igual a 2
57,35 possui característica igual a 1
2,693 possui característica igual a 0
0,0735 possui característica igual a 8-10
0,000037 possui característica igual a 5-10
1.3. - Antilogaritmos e Cologaritmos
Se o logaritmo é dado, o problema consiste em encontrar o número que o originou. Este número é denominado de
Antilogaritmo. A característica do logaritmo dado determina a posição da vírgula decimal no antilogaritmo e a mantissa
0,3729
os seus algarismos. Assim, se sob a forma exponencial, 2,36 = 10 , o número 2,36 é chamado o Antilogaritmo
de 0,3729, ou antilog 0,3729. É um número cujo logaritmo é 0,3729.
O Cologaritmo de um número é o logaritmo de seu inverso. Assim, o colog 35,7 = log 1 - log 35

1.4. Logaritmo na base 10 e logaritmo neperiano base e [base e = 2,71828182845905, número de Euler]
O logaritmo em um novo sistema será dado pela relação:
1
.logb N = loga N x ----------
loga b

Para resolver o problema, bastará multiplicar o logaritmo do número no sistema de base a pelo fator constante.

1
M = ------------
loga b

que recebe o nome de módulo do sistema . LN(10) = 2,30258509299405 .

a) Passagem do sistema decimal para neperiano6
1 1
módulo = ------------------------------- = --------- = 2,30258509299405
logaritmo decimal de e log e

6
Em excel: =LN(10)


b) Passagem do sistema neperiano para decimal
1 1
módulo = -------------------------------- = ------------- = 0,434294481903252
logaritmo neperiano de 10 ln(10)

Para converter Logaritmo Em Logaritmo Multiplicar por Aproximadamente
Decimal Natural 2,30258509299405 2,3025851
Natural Decimal 0,434294481903252 0,4342945

Exemplo: log(6) = 0,778151250 - Algumas calculadoras só tem o LN. Há duas opções para obter o log na base 10, se
nós dispormos só de LN. Podemos fazer a seguinte operação: Log(x) = LN(x)/LN(10) - ou usar a conversão acima:
Log(x) = LN(x)/LN(10) → Vamos obter o Log(6), utilizando a conversão acima. Log(6) = LN(6) x 0,434294481903252.
Portanto: Log(6) = 1,791759469 x 0,434294482 = 0,77815125

IX. JUROS COMPOSTOS
No regime de juros simples, os juros incidem somente sobre o capital inicial. No regime de juros compostos, o
rendimento gerado pela aplicação será incorporado a ela a partir do segundo período. Dizemos, então, que os
rendimentos ou juros são capitalizados:

Juros simples Juros compostos
Rendimento Rendimento
Mês C i n Juros Montante C i n Juros Montante
1 1.000,00 5% 1 50,00 1.050,00 1.000,00 5% 1 50,00 1.050,00
2 1.000,00 5% 1 50,00 1.100,00 1.050,00 5% 1 52,50 1.102,50
3 1.000,00 5% 1 50,00 1.150,00 1.102,50 5% 1 55,13 1.157,63
4 1.000,00 5% 1 50,00 1.200,00 1.157,63 5% 1 57,88 1.215,51
J = Cin (1) M = C(1 + i)n (6)
M=C+j (2) M=C+J (7)
M = C +Cin (3) J= M-C (5)
M = C (1+ in) (4) J = C[(1 + i)n - 1] (8)
J= M-C (5)
n
• O fator (1 + i) é chamado de fator de acumulação de capital, para pagamento único, pode ser calculado
diretamente, através de calculadoras ou pode ser obtido através de tabelas financeiras;
• Nas calculadoras financeiras pode-se calcular diretamente qualquer uma das quatro variáveis da fórmula, dados os
valores das outras três:
• PV (Presente Value, do inglês) representa o capital C
• FV (Future Value, do inglês) representa o montante M
• i Representa a taxa de juros, onde i/100
• n Representa o número de períodos.
Exemplo: Um capital de $ 1.000.00 é aplicado a juros compostos durante 4 meses, à taxa de 5% a.m., Calcule:
a) O montante; b) Os juros auferidos
Resolução Calculadora HP-12C
Temos: (5/100 + 1) = 1,05 5 Enter
1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 = 1,21550625 (Fator de Acumulação) 100 ÷
M = 1.000 x 1,21550625 = 1.215,51 1+ (1,05) Resultado
J = M - C → 1.215,51 - 1.000,00 = 215,51 4 YX 1,21550625 (Resultado)
1000 X 1,215,51 (Resultado)
Para Calcularmos utilizaremos a seguinte fórmula: (Exponencial)
M = (1 + i)n → M = (1 + 0,05)4 = 1,21550625
M = 1.000 x 1,21550625 = 1.215,51
J = M - C → 1.215,51 - 1.000,00 = 215,51
Utilizando uma calculadora Financeira:
4 n
5 i → FV = 1.215,51
-1000 PV
Caso não dispomos de uma calculadora financeira, podemos calcular através de logaritmos. Precisamos do fator
4
(1,05) = 1,21550625. Este fator pode ser encontrado nas tabelas financeiras, porém se não a tivermos em mãos
4 4
podemos fazer o seguinte: (1 + 5/100) . → (1,05) → ( 1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 ) = 1,21550625 ou podemos
calcular utilizando logaritmos. Vamos ver como fica?

Exercício: Um capital $ 2.500,00 foi aplicado durante 5 meses, à taxa de 3% a.m.. Calcule o Montante e o juro.


. t0 i = 3% a.m. ↑ 2500 + J .
↓ 2500 t5

Solução
C: 2500
i: 3% a.m. [0,03]
n: 5 m

n
M = C(1 + i)
5 5
M = 2500(1 + 3/100) M = 2500(1 + 3/100)
5 5
M = 2500(1 + 0,03) M = 2500(1,03)
M = 2500(1,159274074) M = 2.898,19

J=M-C
J = 2898,19 - 2500 J = 398,19

Vamos utilizar uma calculadora científica. Como ficariam os cálculos?
1º) Vamos resolver o (FC: Fator de Capitalização): M = C(1 + i)n (Vamos Chamar de Y → (1 + i) – (Exponencial, Base.
Isto é, o Y é a base) de x → ”n” o Expoente, então o nosso (1 + i)n podemos trocar por YX.
2º) utilizando uma calculadora científica podemos utilizar a tecla YX. Exemplo: vamos encontrar o FC (1,03)5. [você
pode fazer o seguinte cálculo: 1,03 x 1,03 x 1,03 x 1,03 x 1,03 = 1,159274074]. Cálculos simples como este você não
encontra nenhuma dificuldade para fazê-lo. Imagine para 60 meses. Vamos aos cálculos?
3º) com sua calculadora científica faça o seguinte: 1,03YX5= 1,159274074

Utilizando-se de logaritmos:
JURO COMPOSTO - Cálculos [Calculadoras Financeiras; Exponencial, Logaritmos decimal e neperiano e
Tabelas Financeiras]
Para Calcularmos o Montante utilizaremos a seguinte fórmula: (Exponencial)
n
M = (1 + i) → M = (1 + 0,05)5 = 1,276281562
M = 2.000 x 1,276281562 = 2.552,56
J = M - C → 2.552,56 - 2.000,00 = 552,56

Utilizando uma Calculadora Financeira:
5 .n
5 .i → FV = 2.552,56
-2000 PV
Caso não dispomos de uma calculadora financeira, podemos calcular através de logaritmos. Precisamos do fator
5
(1,05) = 1,276281562. Este fator pode ser encontrado nas tabelas financeiras, porém se não a tivermos em mãos
5 5
podemos fazer o seguinte: (1 + 5/100) . → (1,05) → ( 1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 ) = 1,276281562
Se queremos calcular os juros do capital de $ 2.000,00, durante 4 meses à taxa de 5% a.m., multiplicamos o fator:
1,276281562 x 2000 = 2.552,56. Logo, M = 2.552,56. ( J = M - C → J = 2552,56 - 2000 = 552,56) → J = $ 552,56
ou podemos calcular utilizando logaritmos. Vamos ver como fica?
Utilizando-se de logaritmos:
5
(1 +0,05) = x, → onde x = fator procurado.
5 log (1,05) = log x
5(0,02118930) = log x
0,105946495 = log x.
0,105946495
Extraímos o antilogaritimo: ( 10 )
0,08475720
( 10 )=x
1,276281563 = x, este é o fator procurado: 1,276281563.

Está complicado? - Vamos utilizar outro método [que eu acho mais fácil].

Utilizando-se de logaritmos: [ Outro exemplo, uma maneira que gosto de usar ]

C = 2500 M = (1 + i)n [ Exponencial ]
i = 4% a.m. M = C(1 +0,04)5
n = 5m M = 2500(1,04)5
M = 3.041,63 M = 3041.632255

n
M = (1 + i) [ Logaritmo ]
n
logM = log[ C(1 + i) ]


logM = logC + n•log(1+i)
M
logM ⇒ antilogM ⇒ M ⇒ 10
5
logM = log[ 2500(1 +0,04) ]
logM = log2500 + 5 • log(1,04)
logM = 3,3979400009 + [5 • (0,01703339)]
logM = 3,3979400009 + 0,085166697
logM = 3,483106706
3,483106706
antilogM = 10
M = 3,041632262
Montante ⇒ M = 3.041,63 .
Por LN [ Logaritmos Neperianos.]

Lembrando: que o sistema LN, a base é o número e ( e = 2,71828182845905 ), também chamado
de Sistema de Logaritmos Naturais. O nome está ligado ao autor John Napier (1550 - 1617).
1,60943791 1,60943791
Exemplo: LN 5 = 1,60943791. e = 5, isto é, = 2,718281828 = 5.
n
M = (1 + i)
n
LNM = LN[ C(1 + i) ]
LNM = LNC + n•LN(1+i)
M M
LNM ⇒ Antilogaritmo Natural M ⇒ M ⇒ e ⇒ 2,718281828 .
5
LNM = LN[ 2500(1 +0,04) ]
LNM = LN2500 + 5•LN(1,04)
LNM = 7,824046011 + [5•(0,03922071)]
LNM = 7,824046011 + 0,196103566
LNM = 8.020149577 M
M 8.020149577
Antilogaritmo Natural M ⇒ M ⇒ e ⇒ 2,718281828 . ⇒ M = 3,041632253
Montante ⇒ M = 3.041,63 .

Utilizando [Log e LN ], outro exemplo (agora para encontrarmos o tempo: n): Durante quanto tempo um Capital de $ 400.000,00
deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 3.5% a.m., para que produza um montante de 526.723,61?
C = 400.000
M = 526.723,61
i = 3.5% = 0.035
n
526723,61 = 400000 x (1,035)
n
(1,035) = 1,31680903 → (526723,61/400000)

  FV  
 log  
n=   PV  
 log(1 + i) 
 
 
Tomando o logaritmo decimal de ambos os membros:
n
Log(1,035) = Log 1,31680903
n x Log(1,035) = Log 1,31680903
Porém: Log(1,035) = 0,01494035 (na Calculadora HP: LogX = LNx / LN10) ⇒ LN(1,035)/LN(10) = 0,01494035
Log(1,31680903) = 0,119522798
Então: n x 0,01494035 = 0,119522798
n = 0,119522798 / 0,01494035 = 8 meses
Por LN [ Logaritmos neperianos.]
n = [ LN(FV/PV) / LN(1 + i) ]
n = [ LN(526.7236148/400.000) / LN(1.035) ] n = [ LN(1.316809037) / LN(1,035) ]
n = [ 0.275211414 / 0.034401427 ] n = 8 meses
Resolvendo com a ajuda de uma calculadora financeira:
3,5 .i
400000 PV → n = 8 meses
-526723.61 FV


Resumo: Fórmulas Juros Compostos
Fórmula básica de Juros Compostos:
n Equação JC-1
J = C[(1 + i) – 1]

Sabendo-se que M = C + J, a fórmula do Montante deduzida da fórmula básica de juros compostos é:
n Equação JC-2
M = C(1 + i)

Podemos deduzir outras equações a partir das equações dadas:

 M 
C=  Equação JC-3
 (1 + i)n
 


 M 
 log  
n= C 
 log(1 + i)  Equação JC-4
 
 

  1  
  M  n   Equação JC-5
i =   C  − 1  x 100 
    
   

Utilizando-se de Tabelas Financeiras:
É fácil usar as tabelas financeiras. É só procurar o FC [Fator de Correção] desejado e multiplicar pelo capital inicial (PV)
que encontrará o Montante (FV).
Exemplo: na tabela abaixo, (procure a tabela) com a taxa i = 5% [só apresentamos uma tabela com i = 5%; n = 1 a
9]. Em n = 5, na segunda coluna encontramos o fator = 1,27628156. [ aplicamos PV x FC ] 2000,00 x 1,27628156 =
2.552,563120 [M ou FV].
Experimentem fazer o seguinte cálculo: multiplique o FV = 2552,563120 encontrado, x o fator de PV [n = 5, 2ª coluna
= 0,78352617 x 2552,563120 = 2.000,00 ].

Tabelas Financeiras (Taxa) i = 5,0 % Profº Paulo Vieira Neto
n n n
1 . (1 + i ) - 1 (1 + i ) - 1 . i(1 + i ) . i(1 + i ) n - 1
n (1 + i ) n (1 + i ) n i(1 + i ) n i (1 + i ) n - 1 (1 + i ) n - 1
1 1,05000000 0,95238095 0,95238095 1,00000000 1,05000000 1,00000000
2 1,10250000 0,90702948 1,85941043 2,05000000 0,53780488 0,51219512
3 1,15762500 0,86383760 2,72324803 3,15250000 0,36720856 0,34972244
4 1,21550625 0,82270247 3,54595050 4,31012500 0,28201183 0,26858270
5 1,27628156 0,78352617 4,32947667 5,52563125 0,23097480 0,21997600
6 1,34009564 0,74621540 5,07569207 6,80191281 0,19701747 0,18763568
7 1,40710042 0,71068133 5,78637340 8,14200845 0,17281982 0,16459030
8 1,47745544 0,67683936 6,46321276 9,54910888 0,15472181 0,14735411
9 1,55132822 0,64460892 7,10782168 11,02656432 0,14069008 0,13399055

Juros Valor Atual Amortização Capitalização Amortização Amortização
Compostos PV - (Desconto an i Sn i 1ª no ato
M = PV + J Composto) PMT PMT PMT

X. DESCONTO COMPOSTO
Valor atual (VA) de um título de valor nominal N, resgatável depois de um certo período n, à uma taxa i de juros
compostos, é aquele que aplicado durante o período n, à taxa i, se transforma em N.

Vamos utilizar a seguinte fórmula:


N  1   1 
N = VA (1 + i )n → VA = ou VA = N   ⇒ ou PV = FV  
(1 + i)n  (1 + i)n 
   (1 + i)n 
 

 1 
PV = FV  
 (1 + i)n
 


Onde:
VA = Valor atual ou PV = Valor Presente
N = Valor nominal FV = Valor Futuro [Valor do título no vencimento]
n = Período
i = Taxa de juros compostos
DESCONTO COMPOSTO: O conceito de desconto composto é semelhante ao que vimos em desconto simples, a
diferença é quanto ao regime de capitalização.
Para obtermos o desconto composto de um título aplicado, aplicamos a fórmula desenvolvida, em epígrafe, onde iremos
chamar de d o desconto obtido.
Desconto racional: É a diferença entre o valor nominal do título e seu valor na data de resgate.

d = N - VA.
Ex: Um título de valor nominal igual a $ 4.000,00 é resgatado 3 meses antes do seu vencimento, segundo o critério de
desconto racional composto. Sabendo que i = 4% a.m., qual o desconto?
N = 5000 (FV)
n = 3m
i = 4% a.m.

N  1   5000  5000
VA = ⇒ VA = 5000   → VA =   → VA = → VA = 4.444,98 ⇒ d = 5000 - 4444,98 ⇒ d = 555,02
(1 + i)n  (1 + 0,04 )3 
   (1,04 ) 

3 1,124864

Desconto Comercial: Consiste na aplicação sucessiva do conceito de desconto comercial simples. (na prática o
desconto comercial composto é raramente usado)
Seja N o valor nominal de um título, n o número de períodos de antecipação e i taxa de desconto.
Calcula-se o valor descontado comercial simples para o instante (n - 1); sobre este valor descontado aplica-se novamente o
desconto comercial simples e obtém-se o valor descontado para o instante (n - 2) e assim sucessivamente.
n
a fórmula é Dc = N - V ⇒ Dc = N - N(1 - i)

Ex: Um título de valor nominal igual a $ 5.000,00 é resgatado 4 meses antes do seu vencimento, segundo o critério de desconto
comercial composto. Sabendo que a (taxa de desconto, i) i = 5% a.m., Calcule o Valor Atual comercial e o desconto comercial
Desconto Comercial – Composto
Rendimento
Mês N .i n Desconto Valor Atual
1 5.000,00 5% 1 250,00 4,750,00
2 4.750,00 5% 1 237,50 4.512,50
3 4.512,50 5% 1 225,63 4.286,88
4 4.286,88 5% 1 214,34 4.072,53
Total 927,43

Fórmulas
n n
Dc = N - N(1 - i) [1] VA = N(1 - i) [2] VA = N – d [3]
N = 5000 (FV)
n = 4m
i = 5% a.m.
Solução:
n
VA = N(1 - i)
4 4 4
VA = 5000(1 – 5/100) VA = 5000(1 – 0,05) VA = 5000(0,95)
4
VA = 5000(0,95) VA = 5000(0,81450625) VA = 4.072,53

d = N – VA
d = 5000 - 4072,53 = 927,43


XI. TAXAS EQUIVALENTES
O conceito de taxas equivalentes, em juros compostos. é semelhante ao estudado em juros simples.
Duas taxas são equivalentes a juros compostos quando, aplicadas a um mesmo capital, por um determinado período de
tempo, produzem montantes iguais.

( 1 + i1 )n1 = ( 1 + i2 )n2
Exemplo: Qual a taxa semestral equivalente à taxa de mensal de 5% a.m., no regime de juros compostos?
Vamos adotar como intervalo de tempo um semestre (6 meses ou 180 dias) e chamando de i1 a taxa procurada (um semestre):
i1 (taxa semestral) i2 = 5% a.m.
n1 = n2 = 6
(1 + i1)1 = (1 +0.5)6
i1 = (1,05)6 - 1
i1 = 0,34009 → 0,34009 x 100
i1 = 34,01% a.s.

De a.m. para a.a → ia = [(1+im)12 - 1] x 100 [1]
De a.d. para a.m. → im = [(1+id)30 - 1 ] x 100 [2]
De a.d. para a.a. → ia = [(1+id)360 - 1] x 100 [3]
De a.a. para a.m. → im = [(1+ia)1/12 - 1] x 100 [4]
De a.m. para a.d. → id = [(1+im)1/30 - 1] x 100 [5]
De a.a para a.d. → id = [(1+ia)1/360 - 1] x 100 [6]

Para facilitar nosso entendimento, vamos fazer uso da seguinte fórmula:

 q 
iq = 

(1 + it)t − 1  x 100

 

Onde:
.iq = Taxa procurada (taxa que eu quero)
.it = Taxa fornecida (taxa que eu tenho)
.q = Prazo final (Prazo que eu quero)
.t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho)

Exemplo 1:
Tenho a taxa [fornecida] de 34,4888824% a.a. (12 meses) e quero a taxa mensal [procurada] 1 mês.
Vamos aplicar a fórmula:
.iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) → iq - i?
.it = Taxa fornecida (taxa que eu tenho) → 34,4888824%
.q = Prazo final (Prazo que eu quero) → 1 mês
.t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho) → 1 ano (12 meses)
A fórmula é a seguinte:

iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100 .
Calculadora HP-12C Calculado Científica
Transportando os dados para a fórmula: 34,4888824 Enter 34,4888824
100 ÷ ÷ 100 + 1 =
im = [ (1 + 34,4888824/100)1/12 - 1] x 100 1+ 1,344888824 Res. 1,344888824 Res.

im = [ (1,344888824) - 1] x 100
0,08333333333
1 Enter YX (1 ÷ 12) =

im = [ 1,025 - 1] x 100 12 ÷ 0,0833333 Res 1,025 Res.
im = 0,025 x 100 YX
1,025 Res. -1 = x 100 =
i = 2,5% a.m. 1- 2,5% Res.
100 x 2,5% Res.
Ou

im = [ (1 + 34,4888824/100)30/360 - 1] x 100
im = [ (1,344888824) - 1] x 100
0,08333333333


im = [ 1,025 - 1] x 100
im = 0,025 x 100
i = 2,5% a.m.

Exemplo 2: Tenho a taxa [fornecida] de 34,4888824% a.a. (12 meses) e quero a taxa diária [procurada] 1 dia.
Vamos aplicar à fórmula:
.q = Prazo final (Prazo que eu quero) → 1 dia
.t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho) → 1 ano (12 meses = 360 dias)

Utilizando a fórmula:

iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100 .

id = [ (1 + 34,4888824/100)1/360 – 1 ] x 100
0,002777778
id = [ (1,344888824) – 1 ] x 100
id = [ 1,000823426 - 1] x 100
id = 0,000823426 x 100
i = 0,0823426% a.d.
Exemplo 3: Tenho a taxa [fornecida] de 2,5% a.m. (1 mês). Calcular a taxa equivalente para 36 dias. [Taxa que eu
quero] - [procurada] 36 dias.
.q = Prazo final (Prazo que eu quero) → 36 dias
.t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho) → 1 mês (30 dias)
Utilizando-se a fórmula:

iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100 .

i36d = [ (1 + 2,5/100)36/30 - 1] x 100
1,2
i36d = [ (1,025) - 1] x 100
i36d = [ 1,0300745 - 1] x 100
i36d = 0,0300745 x 100
i36d = 3,00745% a.p.
Exemplo 4: Tenho a taxa [fornecida] de 3,00745% para 36 dias (36 - período). Calcular a taxa equivalente ao mês
30 dias. [Taxa que eu quero - procurada] 30 dias.
.q = Prazo final (Prazo que eu quero) → 36 dias
.t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho) → 1 mês (30 dias)

Utilizando a fórmula:

iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100 .

i30d = [ (1 + 3,00745/100)30/36 - 1] x 100
0,8333333333
i30d = [ (1,0300745) - 1] x 100
i30d = [ 1,025 - 1] x 100
i30d = 0,025 x 100
i30d = 2,5% a.m.


XII. TAXA EFETIVA: é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de
tempo dos períodos de capitalização. Exemplo:
12
1% ao mês, capitalizados mensalmente; {[(1+ 0,01) - 1] x 100} ≅ 12,6825% a.a.
4
3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente {[(1+ 0,03) - 1] x 100} ≅ 12,55% a.a.
2 2
10% ao ano, capitalizados semestralmente: {[(1+ (0,10/2)) - 1] x 100} = {[(1+ 0,05) - 1] x 100} ≅ 10,25% a.a.

XIII. SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS OU RECEBIMENTOS A
JUROS COMPOSTOS
Até agora, analisamos problemas financeiros envolvendo capital ( C ou PV ), aplicado ou emprestado a uma
determinada taxa de juros ( i ) simples ou composta. Ao final do período ( n ), gerava um determinado montante (M ou
FV), isto é, o empréstimo ou aplicação era liquidado através de um único pagamento ou recebimento.
A partir deste momento, vamos estudar os casos financeiros que envolvam o empréstimo ou aplicação de um
capital ( C ou PV ) que será liquidado em diversas ( n ) prestações iguais, com periodicidade constante e sucessivas, a
uma determinada taxa de juros compostos.
O valor das prestações - (PMT, Payment - Pagamento) - iguais e consecutivas de uma série uniforme, vamos
identificá-la por PMT.
Por ora, para tornar mais prático e objetivo, trataremos somente das séries uniformes com as seguintes
características:
•Séries uniformes finitas, isto é, com um número finito de pagamentos (PMT);
•A periodicidade dos vencimentos serão constantes;
•Utilizaremos nos cálculos os juros compostos, onde cada prestação igual é composta por uma parcela de juros e
outra de capital amortizado;
•Os vencimentos dos pagamentos ou recebimentos podem ocorrer no início [BGN] (termos antecipados) ou no final
[END] (termos postecipados) de cada período.
Uma série uniforme é uma seqüência de pagamentos ou recebimentos iguais e efetuados a intervalos iguais. Os
vencimentos dos termos de uma série uniforme podem ocorrer no final de cada período (termos postecipados) no
início (termos antecipados), ou ao término de um período de carência (termos diferidos).
Fluxos de séries uniformes:

Postecipados
.0 ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT .
1 2 3 ............ n

Antecipados

. 0 ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT .
1 2 3 4 ............ n -1

Diferidas
. 0 ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT .
↓ PV c c+1 c+ 2 ............ c + n

Exemplo: As lojas ZYX vendeu e financiou um aparelho de som ao Sr. Luiz Carlos no valor de $ 1.200,00 para ser
liquidado em 4 parcelas iguais, mensais e consecutivas, com o vencimento da primeira parcela um mês após a
contratação do financiamento. A taxa de juros praticada - da financeira ligada às lojas ZXY - é de 5% a.m., no regime
de juros compostos. Qual o valor das prestações a serem liquidadas.
O fluxo de caixa do Sr. Luiz Carlos:
PV = 1200 i = 5% a.m
↑. T30 T60 T90 T120 .
T0 ↓ PMT ↓ PMT ↓ PMT ↓ PMT

Com o uso de uma calculadora financeira:
PV = 1200
n= 4
i= 5 ⇒ PMT = ? .
Vamos ver como ficam os cálculos, sem os recursos das teclas financeiras das calculadoras!
Podemos considerar, cada PMT, com um montante (FV) a ser pagos em duas datas distintas, sendo (PV) igual à soma
dos (PV's) de cada prestação.

n
FV = PV•(1 + i)


FV
PV =
(1 + i)n
Vamos substituir os dados do exercício:

PMT PMT PMT PMT
1200 = + + +
(1 + 0,05 )1 (1 + 0,05 )2 (1 + 0,05 )3 (1 + 0,05)4
 1 1 1 1 
1200 = PMT  + + + 
 (1 + 0,05 ) 1
 (1 + 0,05) 2 (1 + 0,05) 3 (1 + 0,05) 4 

1200 = PMT • [ 0,9523810 + 0,9070295 + 0,8638376 + 0,8227025 ] ⇒ 1200 = PMT • (3,545950505)
1200
PMT = = 338,41 ⇒ PMT = 338,41
3,545950505

Na HP12-C [Não esqueça de teclar g END “g-8”, para indicar à calculadora que o cálculo a ser efetuado é postecipado]
1000 PV
4 n
5 i
PMT ? ⇒ PMT = -338,41

Com base na expressão:
PMT PMT PMT PMT
PV = + + + • • • +
(1 + i) 1 (1 + i) 2 (1 + i) 3 (1 + i) n
1
Podemos observar que se trata de uma PG de razão
(1 + i)
Deduzindo da fórmula, nos leva a:

 (1 + i)n • i 
PMT = PV •  
 (1 + i)n − 1 
 

Solução
4
(1 + 0,05 ) • 0,05
PMT = 1200 • [---------------------------] ⇒ PMT = 1200 • 0,28201183 ⇒ PMT = 338,41 .
4
(1 + 0,05 ) - 1

1). Prestações iguais - TERMOS POSTECIPADOS:
1.1) Dado PV - calcular PMT [Taxa e número de parcelas iguais]

↓ PV 1 2 3 ............ n
Fórmula:
 (1 + i)n • i 
PMT = PV •  
 (1 + i)n − 1 
 
Uma geladeira está anunciada na loja ZYX por $ 600,00 para pagamento a vista ou em 6 parcelas iguais, mensais e
consecutivas, sendo que a primeira parcela será paga um mês após a compra (termos postecipados).
A taxa de juros cobrada é de 8% a.m. Calcule o valor das prestações [Regime de juros compostos].
Fluxo caixa da financeira da Loja ZYX
.0 ↑ PMT? ↑ PMT? ↑ PMT? ↑ PMT? ↑ PMT? ↑ PMT? .
↓ PV= 600 1 2 3 4 5 6
i = 8% a.m.


Solução
 (1 + i)n • i 
PMT = PV •  
 (1 + i)n − 1 
 
Solução
 (1 + 0,08 ) 6 x 0,08 
PMT = 600 x   ⇒ PMT = 600 x 0,216315386 → PMT = 129,79
 ( 1 + 0,08 ) 6 − 1 
 
1.2) Dado PMT - Calcular PV:
Dado PMT- calcular PV [Dado o número de prestações, valor de cada prestação e a taxa de juros, calcular o PV
financiado]
↓ PV 1 2 3 ............ n
Fórmula:
(1 + i)n − 1
PV = PMT •  
 (1 + i)n • i 
Exemplo: Calcular o valor a vista de um financiamento para pagamento em 05 prestações, mensais, iguais e
consecutivas de $ 5000 (a primeira paga 30 dias após a contratação). A taxa de juros é de 6% a.m., no regime de juros
compostos.
.0 ↑ PMT= 5000 ↑ PMT= 5000 ↑ PMT= 5000 ↑ PMT= 5000 ↑ PMT= 5000 .
↓ PV= ? 1 2 3 4 5
i = 6% a.m.
Solução:
 (1 + i) n − 1  (1 + 0,06 ) 5− 1 
PV = PMT •   → PV = 5000 •   → PV = 5000 • 4,21236379 ⇒ PV = 21.061,82
 (1 + i) n • i   (1 + 0,06 )5 • 0,06 

1.3) Dado PMT - Calcular FV:
Dado PMT- calcular FV [ Dado o número de prestações, valor de cada prestação e a taxa de juros, calcular o valor do
montante acumulado FV]

1 2 3 ........... n ↓ FV = ?
Fórmula:
 (1 + i )n − 1
FV = PMT x  

 i 

Dado PMT - Calcular FV: [ Dado o número de prestações, valor de cada prestação e a taxa de juros, calcular o valor
do montante acumulado FV]
Fórmula:
 (1 + i)n − 1
FV = PMT x  

 i 

3. Dona Ana quer trocar sua geladeira daqui a 4 meses. O preço da geladeira, a vista é, $ 862.03. O Gerente da loja garantiu a
Dona Ana que o preço se manterá inalterado nos próximos 6 meses. A Dona Ana conseguiu encontrou uma instituição financeira
que paga 5% a.m. caso ela faça 4 aplicações, mensais, consecutivas no valor de $ 200,00 por mês. Quanto a Dona Ana terá no
final do período acordado, isto é, 4 meses.
Solução:
Vamos ajudar a Dona Ana efetuar os cálculos para ver se ela consegue comprar sua geladeira no final daqui a 4 meses.
Solução: Calculadora HP-12C
PMT = 200,00 200 CHS PMT
.i = 5% a.m. 5 i
.n = 4 m. 4 n
[tecle] FV 862,03

.n PMT FV
1 200,00 200,00
2 200,00 200 x 1,05 = 210,00 410,00


3 200,00 200 x 1,05 = 210,00 210,00 x 1,05 = 220,50 630,50
4 200,00 200 x 1,05 = 210,00 210,00 x 1,05 = 220,50 220,50 x 1,05 = 231,53 862,03

Total 200,00 210,00 220,50 231,53 862,03

Podemos calcular da seguinte maneira:
0 1 2 3 4 n-1
FV = PMT [ (1 + i) + (1 + i) + (1 + i) + (1 + i) + (1 + i) + ... + (1 + i ) ]
0 1 2 3
FV = 200 [ (1,05) + (1,05) + (1,05) + (1,05) ]
FV = 200 [ 1 + 1,05 + 1,1025 + 1,157625 ]
FV = 200[4,310125]
FV = 862,03

Dá muito trabalho fazer uma tabela semelhante a esta, não é mesmo? - Vamos utilizar a seguinte fórmula:

 (1 + i ) n - 1   (1 + 0,05 ) 4 - 1  1,21550625 - 1 
FV = PMT x   ⇒ FV = 200 x   → FV = 200 x 
i (5/100)  0,05 →


 
 
 

 0,21550625 
→ FV = 200 x
 0,05  → FV = 200 x 4,310125 ⇒ FV = 862,03
 
2º Exemplo: Calcular o valor de resgate, referente a aplicação de 5 parcelas mensais, iguais e consecutivas de $ 4000, a uma
taxa de juros é de 8% a.m., no regime de juros compostos. [Dentro do conceito de termos postecipados].

0 1 2 3 4 5↑ FV = ? .
↓ PMT= 4000 ↓ PMT= 4000 ↓ PMT= 4000 ↓ PMT= 4000 ↓ PMT= 4000
i = 6% a.m.

Solução:
n 5
(1+ i) - 1 (1 + 0,08) - 1
FV = PMT • [-------------------- ] ⇒ FV = 4000 • [---------------------] ⇒ FV = 4000 • 5,86660096 ⇒ .FV = 23.466,40 .
i 0,08
HP12-C
PMT = 4000
n = 5 ( termos postecipados )
i = 8% ao mês
FV = ? ⇒ FV = 23.466,40 .

1.4) Dado FV - Calcular PMT: Dado FV- calcular PMT [ Dado o valor Do montante acumulado, número de
prestações e a taxa de juros, calcular o valor das prestações PMT]
1 2 3 ........... n ↓ FV = ?
Fórmula:

 i 
PMT = FV •  
 (1 + i)n − 1 
 
Exemplo: Quanto devo aplicar por mês, a uma taxa de juros compostos de 4% a.m. para resgatar daqui a 5 meses a quantia
de $ 5000? [ considerar uma série uniforme com termos postecipados].
0 1 2 3 4 5 ↑ FV = 5000 .
↓ PMT? ↓ PMT? ↓ PMT? ↓ PMT? ↓ PMT?
i = 4% a.m.
Solução:
.i 0,04
PMT = FV • [-------------------] ⇒ PMT = 5000 • [------------------] ⇒ PMT = 5000 • [ 0,18462711 ] ⇒ .PMT = 923,14 .
n 5
(1 + i) - 1 (1+ 0,04) - 1

HP12-C
FV = 5000
n = 5 ( termos postecipados )
i = 4% ao mês
PMT = ? ⇒ PMT = -923,14 .

2.Prestações iguais TERMOS ANTECIPADOS: (A primeira prestação paga ou recebida no ato da contratação)
2.1. Dado PV - calcular PMT [Taxa e número de parcelas iguais, uma paga no ato da compra], encontrar o
valor das prestações.


. 0↑ PMT ? ↑ PMT ? ↑ PMT ? ↑ PMT ? ↑ PMT ? .
↓ PV 1 2 3 ............ n
Vamos utilizar a seguinte fórmula para encontrarmos o valor das prestações. [Lembrando, uma paga no ato]:
Fórmula:

 (1 + i)n • i  1
PMT = PV •  •
 (1 + i)n − 1  (1 + i)
 

Exemplo:
Uma motocicleta está anunciada por $ 6.000,00 para pagamento a vista, ou financiada em 5 prestações iguais, mensais e
sucessivas, sendo que a primeira prestação deverá ser paga no ato da compra (termos antecipados).
Calcule o valor das prestações, sabendo-se que a taxa de juros compostos praticada pela financeira foi de 10% a.m.
. 0↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT .
↓ 1 2 3 4
PV = 6000 i = 10% a.m.

n
(1 + i ) • i 1
PMT = PV • [ ---------------------- ] • ------------
n
(1 + i ) - 1 (1 + i )

Solução Utilizando a fórmula
5 5
(1 + 0,10 ) • 0,10 1 (1,10 ) • 0,10 1
PMT = 6000 • [ ------------------------- ] • -------------- ⇒ 6000 • [ -------------------- ] • ----------
5 5
(1 + 0,10) - 1 (1 + 0,10) (1,10) - 1 (1,10)

0,161051
PMT = 6000 •[ -------------- ] • 0,90909091 ⇒ 6000 •[0,26379748] • 0,90909091 ⇒ 6000•[0,23981589] = 1.438,90
0,61051

Utilizando a calculadora HP 12-C
TECLE VISOR SIGNIFICADO
.f CLX 0,00 Limpa todos os registradores
.g BEG [ g7 ] 0,00 BEGIN Coloca no modo "BEGIN"
6000 CHS PV -6000,00 BEGIN Entra com o valor do principal
10 i 10,00 BEGIN Entra com a taxa de juros mensal
5 n 5,00 BEGIN Entra com o prazo
PMT 1.438,90 BEGIN Calcula o valor das prestações

2.2. Dado PMT - calcular PV [Taxa e número de parcelas iguais, uma paga no ato da compra], encontrar o valor das
prestações.
Vamos utilizar a seguinte fórmula para encontrarmos o valor das prestações. [Lembrando, uma paga no ato]:
Fórmula:
n
(1 + i) - 1
PV = PMT • [ ---------------------- ] • (1 + i )
n
(1 + i) •i

O Sr. Zé Roberto deseja comprar uma Motocicleta que custa $ 6.000,00. A Financeira PagaBem – somente para o Sr. Zé
Roberto – garantiu remunerar ao Sr. Zé, nos próximos 5 meses, caso ele efetue depósito, mensais, iguais [sem interrupção],
uma remuneração de 10% a.m. Quais as parcelas mensais que o Sr. Zé Roberto deverá aplicar para que ele tenha $ 6.000,00
daqui a 5 meses.
PS: Um país sem inflação.

Fazendo uso da Fórmula:
 (1 + i)n − 1
PV = PMT •   • (1 + i)
 (1 + i)n • 1 

Solução
 (1 + 0,10)5 − 1   (1,10)5 − 1   0,61051 
PV = 1438,90 •   • (1 + 0,10) → PV = 1438,90 •   • (1,10) → PV = 1438,90 •  0,061051  • (1,1) →
 (1 + 0,10) 5 • 0,10
  (1,10) 5 • 0,10
  

→ PV = 143 8,90 • 3,790786769 • (1,1) ⇒ PV = 1438,89535 • 4,169865446 → PV = 6.000,00

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