PAULO VIEIRA NETOConceitos Básicos de Matemática Financeira               São Paulo, Julho/2006-A
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  1. 1. PAULO VIEIRA NETOConceitos Básicos de Matemática Financeira São Paulo, Julho/2006-A
  2. 2. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 1Conceitos Básicos de Matemática FinanceiraMatemática Financeira: Dentre várias definições, “é a ciência que estuda o dinheiro no tempo” (Lawrence JeffreyGitman). O conhecimento de matemática financeira é indispensável para compreender e operar nos mercados financeiroe de capitais, e atuar em administração financeira com baixos tempo e custo de decisão.1. Qual o objetivo principal da matemática financeira?A matemática financeira busca, essencialmente, analisar a evolução do dinheiro ao longo do tempo, determinando ovalor das remunerações relativas ao seu tempo.2. Conceitos básicos de juro, capital e regime de capitalização. 2.1. juro: É a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital.1 2.1.1. Fatores necessários para calcular o valor do juro: Capital, Principal ou Valor Presente; Taxa de Juros [Rate: i/100 ]. (i = Interest = juros); Tempo, Prazo ou Período. [Empregaremos a letra n, do inglês - number] 2.2. Capital: quantia de dinheiro envolvida numa operação financeira. 2.3. Regime de capitalização: Entende-se por regime de capitalização o processo de formação de juro. Há dois tipos de regimes de capitalização: 2.3.1. Regime de capitalização a juro simples2: por convenção, os juros incidem somente sobre o capital inicial. Apenas o capital inicial rende juros, i.e., o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa. Não é incorporado ao capital, para render juro no período seguinte; dizemos que os juros não são capitalizados3. 2.3.2. Regime de capitalização a juro composto: o juro formado no fim de cada período é incorporado ao capital que tínhamos no início desse período, passando o montante a render juro no período seguinte; dizemos que os juros são capitalizados. 2.4. Juro exato e juro comercial 2.4.1. Juro exato: é o juro obtido tomando como base o ano de 365 ou 366 dias como os anos bissextos; 2.4.2. Juro comercial: é o juro obtido tomando como base o ano de 360 dias (ano comercial) e mês de 30 dias (mês comercial). 2.5. Montante: define-se como montante de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de n períodos, como sendo a soma do juro mais o capital inicial. Seja C o principal, aplicado por n períodos e à taxa de juros i, temos o montante (M) como sendo: M=C+J3. Fluxo de caixa: é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro, seja de uma empresa ou uma pessoa física por umdeterminado período de tempo. Sua representação consta de um eixo horizontal onde é marcado o tempo, a partir deum determinado instante inicial (origem) “dia, mês, ano etc.". As entradas de dinheiro são indicadas por setas voltadaspara cima, as saídas, por setas para baixo. Entrada ↑ ( + ) R$ . t0 t1 ↓ ( - ) R$ SaídaI. Taxa de JurosTaxa de Juros: O juro é determinado através de um coeficiente referido a um determinado período de tempo. Talcoeficiente corresponde à remuneração do capital aplicado por um prazo igual àquela taxa.As taxas de juros são apresentadas de duas maneiras:• Forma percentual: Nesta situação diz-se aplicada a centos do capital, isto é, ao que se obtém após dividir-se o capital por 100;• Forma unitária: Aqui, a taxa refere-se à unidade do capital, ou seja, calculamos o rendimento da aplicação de uma unidade do capital no intervalo de tempo referido pela taxa; Forma percentual Transformação Forma Unitária 12% a.a. 12/100 0,12 a.a. 3% a.t. 3/100 0,03 a.t. 1% a.m. 1/100 0,01 a.m.Diagramas de capital no tempo [Fluxos]: Os problemas financeiros dependem basicamente de um fluxo (entradas esaídas) de dinheiro no tempo. Este fluxo é conhecido como fluxo de caixa, que é uma representação esquemática útil naresolução de problemas. Basicamente conta com um eixo horizontal onde marcamos o tempo, a partir de um instanteinicial (origem); marcamos a unidade de tempo (ano, semestre, mês, dia etc.). A representação pode ser a seguinte: 600 400 500 (+) Entradas ↑ ↑ ↑ . ..................... 0 1 2 3 4 5 6 ( - ) Saídas ↓ 1000 ↓ 500Taxa Nominal: é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquela a que se refere.1 TOSI, José Armando. Matemática Financeira: prática e objetiva. São Paulo : mimo.2 A capitalização simples está mais relacionada às operações com períodos de capitalização inferiores a 1 e a descontos detítulos junto aos agentes financeiros (GIMENES, 2006:19)3 CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. São Paulo : Saraiva, 2001, p. 80.
  3. 3. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 2Taxa Efetiva: é aquela que realmente é apurada (paga).Taxas Proporcionais: são proporcionais quando, aplicadas sucessivamente no cálculo dos juros simples de um mesmocapital, por um certo período de tempo, produzem juros iguais.II. JUROS SIMPLESNo regime de juros simples, os juros incidem somente sobre a aplicação capital inicial, qualquer que seja o númeroperíodos de capitalização.Por definição, o juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa de juropor período o fator de proporcionalidade4. Assim, sendo: • C = Capital inicial ou principal; [C, P ou PV: Present Value] • j = juro simples; • n = tempo de aplicação • .i = taxa de juros unitária. [ i/100 ]vamos escrever a fórmula de juros simples da seguinte maneira: J = Cin Juros simples Rendimento Mês C i n Juros Montante 1 1.000,00 5% 1 50,00 1.050,00 2 1.000,00 5% 1 50,00 1.100,00 3 1.000,00 5% 1 50,00 1.150,00 4 1.000,00 5% 1 50,00 1.200,00J = Cin (1)M=C+j (2)M = C +Cin (3) J= M-C (4)M = C (1+ in) ( 5 )Capitalização Simples: . M = C(1 + in) (5) . . C = M/(1 + in) (6) .• Na calculadora financeira HP-12C pode-se calcular diretamente qualquer uma das variáveis da fórmula. A taxa de juros simples deve ser expressa em anos e o período em dias.Exemplo:Aplica-se um capital de $ 5.000,00 a 3% a. m. durante 5 meses.a) qual o Juro e montante Comercial? "Juro comercial: é o juro obtido considerando o ano de 360 dias (ano comercial) e mês de 30 dias (mês comercial)”.b) Qual o juro e o montante exato? "Juro Exato: é o juro obtido considerando o ano de 365 ou 366 dias”.C = 5.000 - i = 3/100 = 0.03 -n=5J = Cin ⇒ 5000 x (0,03 x 5) = 750. O juro produzido no período é igual a $ 750,00.Vamos utilizar a calculadora HP-12CSolução: 3% a. m. é igual a 36% a. a. 5 meses é igual a 150 dias 5000 CHS PV Capital inicial com sinal ( - ) 36 i Taxa de juros em anos 150 n Período em dias f INT 750 juro comercial + 5.750 montanteAtenção, não apague os dados inseridos. Para calcular o juro e montante exatos basta teclar a seqüência de teclas aseguir: .f INT R↓ X≷Y 739,73 juro exato + 5.739,73 montante exatoObservações: Para que a calculadora HP-12C funcione de maneira correta, quando o prazo (n) não for inteiro, torna-semister que ela esteja ajustada para a convenção exponencial (juros compostos). No visor, à direita - embaixo - precisaque apareça a letra "c". Se não estiver aparecendo, tecle .STO . EEX . Para retirar essa instrução, volte a teclaras mesmas teclas. Se não aparecer a letra "c", a calculadora HP-12C não capitaliza prazos fracionários.4 CRESPO, op cit. pp. 80-1.
  4. 4. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 3Da fórmula de Juros [Fórmula (1)], [ dada 3 variáveis, encontrar a 4ª variável ] J → C= [7] in JJ = Cin [1] → i= [8] Cn J → n= [9] CiExemplo:C: 1200,00 J = Cini: 5% a.m. J = 1200,00 x [ (5/100) x 4 ]n: 4 m. J = 1200,00 x 0,2J: ? J = 240,00i: 5% a.m. C = J / inn: 4 m C = 240,00 / [ (5/100) x 4 ]J: 240,00 C = 240,00 / 0,2C: ? C = 1200,00C: 1200,00 i = J / cnn: 4 m i = 240,00 / [ 1200,00 x 4 ]J: 240,00 i = 240,00 / [ 4800,00 ]i: ? i = 0,05 ⇒ [ 0,05 x 100 ] ⇒ 5% i = 5% .C: 1200,00 n = J / cii: 5% a.m. n = 240,00 / [ 1200,00 x (5/100) ]J: 240,00 n = 240,00 / 60,00n: ? n= 4 Exercícios Resolvidos1.Um capital de $ 2.000,00 foi aplicado durante 3 meses, à juros simples, à taxa de 30% a.a. Pede-se:a) Juros b) Montante. 1) J = Cin 2) M = C + J 3) M = C +Cin 4) M = C (1+ in) 5) J = M - C 5b) J = C (1+ in) - 1Solução: C = 4000,00 i = 18% a.a. n=3m[Fórmula 1] HP-12C Calculadora CientíficaJ = Cin fixar 8 Casas decimais fixar 8 Casas decimais .2nd .TAB . 8J = 4000 x { [ ( 18/100 )/12 ] x 3 } .f . 8 18 ÷ 100 ÷ 12 x 3 x 4000 =J = 4000 x { [ ( 0,18 ) /12 ] x 3 } 4000 CHS PV 180,00000000J = 4000 x { [ 0,015] x 3 } 18 i Para representar os valores em Reais,J = 4000 x { 0,045 } 90 n. Vamos fixar 2 Casas decimais .2nd .TAB . 2J = 4000 x 0,045 .f .INT . 180,00J = 180,00 180,00000000 M=C+JM=C+J fixar 2 Casas decimais M = 4000,00 + 180,00M = 4000,00 + 180,00 .f . 2 M = 4.180,00M = 4.180,00 Montante tecle +Ou pela fórmula do Montante [Fórmula 4]M = C (1+ in) HP-12C Calculadora CientíficaM = 4000 x {1 + [ (( 18/100 ))/12) x 3 ] } .f . 6 .2nd .TAB .8 - Fixa 8 casas decimaisM = 4000 x { 1 + [ (( 0,18 ) /12 ) x 3 ] } 18 Enter 18 ÷ 100 ÷ 12 x 3 + 1 = 1,045M = 4000 x { 1 + [ ( 0,015 ) x 3 ] } 100 ÷ [0,180000] x 4000 =M = 4000 x { 1 + [ 0,045 ] } 12 ÷ [0,015000] 4.180,00 = MM = 4000 x { 1 + 0,045 } 3x [0,045000] J=M-CM = 4000 x { 1,045 } 1+ [1,045000] 4180 - 4000 = 180,00000000M = 4.180,00. 4000 x [4.180,000000] .2nd .TAB . 2 - Fixa 2 casas decimaisAplicando a fórmula 5: J = M - C 4000 - [180,000000] 180,00J = 4180,00 - 4000,00 = . J = 180,00 . .f . 2 [180,00]
  5. 5. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 42.Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado durante 120 dias, à juros simples, à taxa de 48% a.a. Pede-se:a) Juros b) Montante.[Fórmula 1]J = Cin HP-12C Calculadora CientíficaJ = 5000 x { [ ( 48/100 )/360 ] x 120 } .f . 8 .2nd .TAB .8 - Fixa 8 casas decimaisJ = 5000 x { [ ( 0,48 ) /360 ] x 120 } 48 Enter 48 ÷ 100 ÷ 360 x 120 = 0,16J = 5000 x { [ 0,000133333333] x 120 } 100 ÷ [0,480000] x 5000 =J = 5000 x { 0,16 } 360 ÷ [0,00133333] 800,00000000 = JJ = 5000 x 0,16 120 x [0,16000000] M= C+JJ = 800,00 5000 x [800,0000000] .2nd .TAB . 2 - Fixa 2 casas decimaisM = C + J → M = 5000,00 + 800,00 .f . 2 [800,00] 5000 + 800 =M = 5.800,00 5000 + [5.800,00] 5.800,00Ou pela fórmula do Montante [Fórmula 4] Ano Comercial: 360 dias, meses: 30 diasM = C (1+ in) ⇒ M = 5000 x {1 + [ (( 48/100 ))/360) x 120 ] } Ano civil: 365 ou 366 dias. M = 5000 x { 1 + [ (( 0,48 ) /360 ) x 120 ] } M = 5000 x { 1 + [ ( 0,000133333333 ) x 120 ] } M = 5000 x { 1 + [ 0,16 ] } M = 5000 x { 1 + 0,16 } M = 5000 x { 1,16 } M = 5.800,00.Aplicando a fórmula 5: J = M - C → J = 5800,00 - 150,00 = . J = 800,00 . [ Juro comercial ]3. Utilizando os dados do exercício 2, calcule o juro exato e o Montante [365 dias].[Utilizando a fórmula 1]J = Cin ⇒ J = 5000 x { [ ( 48/100 )/365 ] x 120 } J = 5000 x { [ ( 0,48 ) /365 ] x 120 } J = 5000 x { [ 0,001315068] x 120 } J = 5000 x { 0,157808219 } J = 5000 x 0,157808219 J = 789,04 M = C + J → M = 5000,00 + 789,04 → M = 5.789,04II.1. MONTANTE: Define-se como Montante de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de n períodos comosendo a soma do juro mais o capital inicial5.M = C + J: De modo análogo ao visto para juro, dado 3 valores da fórmula poderemos obter o quarto valor. [comovimos nas fórmulas 1 a 5]. M → C= [10] (1 + in)  M     −1  CM = C(1 + in) [6] → i=    X 100 [11]  n       M     −1  C → n=     [12]  i     Exemplo:C: 1200,00 [6] M= C(1 + in) M = 1200 x {1 + [(5/100) x 4]}i: 5% a.m. M = 1200 X {1 + [0,05 x 4]} M = 1200 x {1 + 0,2}n: 4 m M = 1200 X 1,2}M: ? M = 1440,00M: 1440,00 [10] C= M(1 + in) C = 1440/{1 + [(5/100) x 4]}i: 5% a.m. C = 1440 /{1 + [0,05 x 4]} C = 1440/{1 + 0,2}n: 4 m. C = 1440/1,2C: ? C = 1200,005 MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. São Paulo : Atlas, 1993, p. 26.
  6. 6. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 5C: 1200,00 [11] i = {[(M/C) -1]/n} x 100 i = {[(1440/1200) -1] /4} x 100M: 1440,00 i = {[1,2 – 1]/4]} x 100 i = {0,2/4} x 100n: 4 m i = 0,05 x 100i=? i = 5%C: 1200,00 [12] n = {[(M/C) -1]/i} n = {[(1440/1200) -1] /(5/100)}M: 1440,00 n = {[1,2 – 1]/0,05]}i: 5% a.m. n = 0,2/0,05n=? n = 4III. RAZÕES E PROPORÇÕESRazão de dois números: Razão do nº a para o nº b (diferente de zero) é o quociente de a por b .É indicado por: a/b ou a : b ( lemos: a para b )Os números a e b são os termos da razão; a é chamado antecedente e b, conseqüente da razão.Exemplos:A razão de 5 para 15 é:1º) 3/15 = 1/5; 2º) 18/3 = 6; 3º) 5 e 1/2 = 5/(1/2) = 5 x (2/1) = 10 Duas razões são inversas entre si quando uma é igual ao inverso multiplicativo da outra.Se a e b são números reais não-nulos, então a/b e b/a são razões inversas; a/b x b/a = 1.1. A razão inversa de 3/4 é 4/3; 2. A razão inversa de 4 é 1/4; 3. A razão inversa de 1/5 é 5.Proporção: Dados, em certa ordem, quatro números ( a, b, c e d ) diferentes de zero, dizemos que eles formam umaproporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b ) é igual a razão entre os dois últimos.A razão a/b é igual a razão c/d. Essa proporção é indicada por a/b = c/d, onde a e d são chamados extremos e b ec são chamados meios. Na proporção: a/b = c/d, temos: a, b, c e d são os termos ( 1º, 2º, 3º e 4º termos, respectivamente) a e c são os antecedentes b e d são os conseqüentes a e d são os extremos b e c são os meiosPropriedade fundamental: Sejam a, b, c e d números reais diferentes de zero, tais que: a/b = c/d,Multiplicando os dois membros da igualdade b/d, (produto dos conseqüentes da proporção), obtemos:a/b x bd = c/d x bd . Simplificando temos: a/d = c/b, Logo, podemos afirmar que: Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meiosExemplo: Dada a proporção 6/8 = 3/4, temos: 6 x 4 = 24 8 x 3 = 24 6x4=8x3IV. DIVISÃO PROPORCIONAL E REGRA DE SOCIEDADEDividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados é decompô-lo em parcelas proporcionais aesses números. Exemplo: Vamos supor que Maria, Carlos e Jorge tenham associados para comprar uma casa no valor de $ 60.000,00.Maria entrou com a maior parte, $ 30.000,00, Carlos com $ 20.000,00 e Jorge, com a menor parte, $ 10.000,00. Umano depois eles venderam essa casa por $ 90.000,00. Qual a parte que cabe a cada um deles? Por convenção, a cada $ 1,00 empregado na compra da casa deve corresponder a mesma quantia resultante davenda, i.e., uma quota. Essa quota é, o quociente do preço de venda pelo preço de compra, ou seja: 90.000/60.000 = 1,5. Logo: Maria: 30.000 x 1,5 = $ 45.000 Carlos: 20.000 x 1,5 = $ 30.000 Jorge: 10.000 x 1,5 = $ 15.000 Total 60.000 x 1,5 = 90.000V. REGRA DE SOCIEDADE A regra de sociedade é uma das aplicações da divisão proporcional. O objetivo é a divisão dos lucros ou dos prejuízosentre as pessoas envolvidas (sócios) que formam uma sociedade, por ocasião do Balanço geral exigido anualmente porlei ou quando da saída de uma das pessoas da sociedade ou da admissão de um novo membro à sociedade constituída. Por convenção, o lucro ou prejuízo é dividido pelos sócios proporcionalmente aos recursos empregados, levando emconta as condições que rezam no contrato.
  7. 7. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 6 Há quatro casos a considerar: 1º Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo. Afim de obter a parte de cada um dos sócios, divide-se o lucro ou prejuízo pelo número deles. Exemplo: Três sócios lucraram $ 222.600 no último exercício. Sabendo que seus capitais eram iguais, determine aparte de cada um nos lucros: 222.600/3 = 74.200 Logo, a parte que cabe a cada um é de $ 74.200. 2º) Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo. Neste caso, divide-se o lucro ou prejuízo empartes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios. Exemplo: Na apuração do Balanço anual da empresa ZYX, formada por 3 sócios, apurou-se um lucro de $ 33.750.Determine a parte corresponde a cada sócio, sabendo que seus capitais são de $ 540.000, $ 450.000 e $ 360.000: A → 540 A = 540 x 0,025 = 13,50 33,75 B → 450 ⇒ y = 33.75/1350 = 0,025 ⇒ B = 450 x 0,025 = 11,25 C → 360 C = 360 x 0,025 = 9,00 1.350 33,75Logo, o Lucro de cada sócio é de: $ 13.50, $ 11,25 e $ 9,00, respectivamente. 3º) Os capitais são iguais e empregados durante tempos desiguais. Teoricamente, o lucro ou prejuízo que cabe a cadasócio é determinado dividindo-se o lucro ou prejuízo, da sociedade, em partes diretamente proporcionais aos tempos. 4º) Os capitais são desiguais e empregados durante também por tempos desiguais. Teoricamente, as partes do lucroou prejuízo seriam diretamente proporcionais aos capitais pelos respectivos tempos de dos sócios.VI. TAXA PROPORCIONAL: Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção comos tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.Dada duas taxas (percentuais ou unitárias) i e i, relativas, respectivamente, aos tempos n e n, referidos à mesmaunidade, temos: i n =i´ n´Logo, as taxas 30% ao ano ou 2,5% ao mês, por exemplo, são proporcionais, pois:30 12 0,30 12 = → ou ⇒ = → [ 0,30 x 1 ] ÷ [ 0,025 x 12 ] ⇒ 0,30 ÷ 0,30 = 1 → (1 ano = 12 meses)2,5 1 0,025 1Determinemos então uma fórmula para facilitar obter, mais rapidamente, uma taxa proporcional a outra taxa dada.Seja i a taxa de juro relativa a um período e ik a taxa proporcional: iik = ( 12 ) kExemplo: 1. Calcule a taxa mensal proporcional a 18% ao ano. i 18ik = → ik = = 1,5 k 122. Calcule a taxa mensal proporcional a 0,05% ao dia.Solução: [1 mês = 30 dias] i0,05 = → [ 0,05 x 30 = i] ⇒ i = 1,5 → i = 1,5% a.m. 303. Calcule a taxa anual proporcional a 4,5% ao trimestre.Solução: [1 ano = 4 trimestres] i4,5 = → [ 4,5 x 4 = i] ⇒ i = 18 → i = 18% a.a. 4
  8. 8. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 7TAXA PROPORCIONAL (2): Duas taxas são proporcionais quando, aplicadas sucessivamente no cálculo dejuros simples de um mesmo capital, durante o mesmo prazo, produzem juros iguais.Exemplos:a) 5% ao mês ⇒ 30% ao semestre ( 5 x 6 = 30)b) 3% ao mês ⇒ 36% ao ano ( 3 x 12 = 36)c) 18% ao ano ⇒ 1,5% ao mês ( 18 / 12 = 1,5)d) 5% ao trimestre ⇒ 20% ao ano ( 5 x 4 = 20) DE PARA FÓRMULA DE FÓRMULA PARA a.m. a.a. ia = ( im ) x 12 1,5% a.m. [(1,5%) x 12] 18% a.a. a.d. a.m. im = ( id ) x 30 0,05% a.d. [(0,05%) x 30] 1,5% a.m. a.d. a.a. ia = ( id ) x 360 0,05% a.d. [(0,05%) x 360] 18% a.a. a.a. a.m. im = ( ia ) / 12 18% a.a. [(18%) / 12] 1,5% a.m. a.m. a.d. ia = ( im ) / 30 1,5% a.m. [(1,5%) / 30] 00,5% a.d. a.a. a.d. id = ( ia ) / 360 18% a.a. [(18%) / 360] 00,5% a.d.Exercícios:1a) Calcular os juros de uma aplicação de $ 15.000,00 a 30% ao ano, pelo prazo de 1 trimestre.Dados: Solução:C = $ 15.000,00 J = Cin i = 30% a.a. J = 15000 x { [ (30/100)/12 ] x 3 } n = 1 trimestre = 1/4 ano J = 15000 x { 0,075 } ⇒ J = 1.125,001a) Calcular os juros de uma aplicação de $ 15.000,00 a 2,5% ao mês, pelo prazo de 90 dias.Dados: Solução:C = $ 15.000,00 J = Cin i = 30% a.a. J = 15000 x { [ (2,5/100)/30 ] x 90 } n = 1 trimestre = 1/4 ano J = 15000 x { 0,075 } ⇒ J = 1.125,00Nota-se que, nas duas situações, os juros produzidos são iguais. Portanto, 30% ao ano e 2,5% ao mês são taxasproporcionais.VII. DESCONTOS:Desconto: Quando uma pessoa faz um investimento, com vencimento predeterminado, ela obtém um comprovante daaplicação, que pode ser, por exemplo, uma letra de câmbio ou uma nota promissória. Caso, esta pessoa, precise dodinheiro antes de vencer o prazo da aplicação, ela deve procurar a instituição onde fez a aplicação, transferir a posse dotítulo e levantar o principal acrescido dos juros já ganhos.Outra situação: Uma empresa faz uma venda a prazo e recebe uma duplicata com um certo vencimento. Se estaempresa precisar do dinheiro, antes do vencimento da duplicata, ela pode ir a um banco e transferir a posse destaduplicata, recebendo dinheiro em troca.Estas operações são chamadas de desconto e o ato de efetuá-las é chamado de descontar um título.DESCONTO : É a quantia abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual.DESCONTODESCONTO[Valor Nominal também chamado de Valor Futuro ou Valor de Face ou Valor de Resgate]DESCONTO COMERCIAL E DESCONTO RACIONALA diferença básica entre essas duas modalidades de cálculo do desconto é que o desconto por fora representa o juroincidente sobre o valor nominal (valor “de fora”, o maior valor) e o desconto racional representa o juro incidente sobre ovalor atual ou líquido (valor “de dentro”, menor valor).Chamamos de DESCONTO COMERCIAL [ Dc ], bancário ou por fora, o equivalente a juros simples,produzido pelo valor nominal [ N ] do título no período de tempo correspondente e a taxa fixada.Valor do desconto comercial: Dc = Nin 1 .Onde: Dc: o valor do desconto comercial; N: o valor Nominal do título; Vc: o valor atual comercial ou valor descontado comercial; n: tempo; i: a taxa de desconto.Valor atual comercial ou valor descontado comercial. Vc = N - Dc 2 .Substituindo Dc pelo seu valor obtido em 1 . Vc = N - Nin 3 . Vc = N(1 - in) 4 .
  9. 9. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 8DESCONTO RACIONAL ou por dentro, é o equivalente a juros simples, produzido pelo valor atual do título numa taxafixada e durante o tempo correspondente.Se preferir: DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO “POR DENTRO” : Definição: É o desconto obtido pela diferençaentre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado n períodos antes do seu vencimento. Logo:Dr = N – Vr, onde Dr denota o desconto racional.Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal.Valor descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto, isto é, Vr = N – Dr, onde Dr é o desconto e Vr, (ouV, se não houver perigo de confusão), é o valor atual ou valor descontado racional.Em síntese: No desconto comercial (por fora), a taxa de desconto incide sobre o valor nominal ( N ) do título e nodesconto racional ele incide sobre o valor atual ( V ). Dr = Vin 5 . Vr = N - Dr 6 . Vr = N - Vin 7 . → → V = N - Vin → N = V + Vin [ Vamos adotar Vr = V ] N = V + Vin 8 . N = V(1 + Vin) 9 . N V= 10 . 1 + in Da fórmula 6 → V = N - Dr, chegamos à fórmula → Dr = N - V . → 11 .Se Dr = N - V [ V da fórmula 10, vamos substituí-lo em 12 ] NDr = N - 12 . 1 + inUma coisa nós já verificamos, o desconto comercial é maior que o desconto racional efetuado nas mesmas condições. Dc > DrAs fórmulas para calculá-los são: NinDr = Dc = Nin 1 + inVamos usar estas duas fórmulas: NinDr = [1] Dc = Nin [2] VA = N – d [3] d = N – VA [4] 1 + in NVAr = [5] VAc = N(1 – in) [6] 1 + inSe fizermos a divisão do desconto comercial pelo desconto racional, membro a membro, temos: NinDc = Nin → Dr = 1 + in( Dc ) = ( Nin ) ⇒ portanto → Dc = 1 + in[ Dr ]  Nin  Dr  1 + in   ou, Dc = Dr(1 + in)O Desconto comercial pode ser entendido como sendo o montante do desconto racional calculado para o mesmo período e à mesma taxa.EXEMPLO: Uma dívida de $ 3.500,00, será saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional seráobtido, se a taxa de juros que reza no contrato é de 2,5% a.m.? N = 3.500 n = 3 meses i = 2,5% a.m.1. Desconto Comerciala) Vamos Aplicar a fórmula nº 1. Valor do desconto comercial: Dc = Nin 1 .dc = Nindc = 3500 x [(2,5/100) x 3]dc = 3500 x [0,025 x 3]dc = 3500 x 0,075
  10. 10. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 9dc = 262,50b) Fórmula nº 2. Valor atual comercial ou valor descontado comercial: Vc = N - Dc 2 .Vc = 3500 - 262,50Vc = 3.237,50c) Fórmula nº 4. Substituindo Dc pelo seu valor obtido em 1 . Vc = N - Nin 3. Vc = N(1 - in) 4 .Vc = N(1 - in)Vc = 3500{[1 - [(2,5/100) x 3]}Vc = 3500{[1 - [0,025 x 3]}Vc = 3500{1 - 0,075 }Vc = 3500 x 0,925Vc = 3.237,502. Desconto RacionalVamos Aplicar as fórmula nº 5, 6, 9 a 11. . Dr = Vin 5 . Vr = N - Dr 6 . Vr = N - Vin 7 . → → V = N - Vin → N = V + Vin [ Vamos adotar Vr = V ] N = V + Vin 8 . N = V(1 + Vin) 9 . N V = --------------- 10 . ( 1 + in ) Da fórmula 6 → V = N - Dr, chegamos à fórmula → Dr = N - V . → 11 ..a) Para aplicarmos a fórmula nº 5, precisamos do Valor Atual sem nenhuma correção. Para descobrimos isto aplicamosa fórmula 10.. N V = --------------- 10 . ( 1 + in ) 3500 .3500 .3500V = --------------------------- ⇒ V = ------------------------ ⇒ V = -------------------- = {1 + [(2,5/100) x 3]} {1 + [0,025 x 3]} {1 + 0,075 } 3500V = ------------------- = 3.255,81 1,075b) Fórmula nº 5. Dr = Vin 5 .Dr = VinDr = 3255,81 x [(2,5/100) x 3]Dr = 3255,81 x [0,025 x 3]Dr = 3255,81 x 0,075Dr = 244,19c) Fórmula nº 6. Vr = N - Dr 6 .Vr = N - DrVr = 3255,81 - 244,19Vr = 3.011,62d) Fórmula nº 11. Dr = N - Vr { Fórmulas 10 menos 6 }.Resultado fórmula nº 10 = 3.255,81Resultado fórmula nº 6 = 3.011,62Dr = 244,19EXERCÍCIOS RESOLVIDOS1a. Uma dívida de $ 13.500,00, será saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional será obtido, se ataxa de juros que reza no contrato é de 30% a.a.? N = 13.500 n = 3 meses i = 30% a.a. Dr = ?
  11. 11. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 10Para encontrarmos o Dr, poderíamos usar a fórmula Dr = Vin 5 se nós conhecêssemos o (Vr) Valor Atual [Racional].Vamos utilizar a fórmula 12 , pois não conhecemos o (Vr). Nin 13500 x [(0,30/12) x 3] 13500 x [0,025 x 3] 13500 x 0,075 13500 x 0,075 1012,50Dr = ⇒ Dr = → Dr = → Dr = → Dr = → Dr = → Dr = 941,84 1 + in 1 + [(0,30/12) x 3] 1 + [0,025 x 3] 1 + 0,075 1 + 0,075 1,075$ 941,86 é, portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dívida.Poderíamos utilizar também a fórmula: Vr = N - Vin 7 , conhecendo o Vr = N - Dr = 13500 - 941,86 = 12.558,14.Vr = 13500 - {12558,54 x [(30/12)/100) x 4]}→ Vr = 13500 - (12558,54 x 0,075) →Vr = 13500 - 941,89 →Vr = 12.558,141b. Vamos calcular o n, nas mesmas condições, admitindo que não o conhecemos: N = 13.500 n= ? i = 30% a.a. Dr = 941,86 Nin 13500 x ( 0,30 /12 ) x n 337,50 x n Dr = → 941,86 = → 941,86 = → 941,86 + 23,54650n = 337,50n ⇒ 1 + in 1 + [ ( 0,30/12 ) x n 1 + 0,25 x n 941,86 ⇒ 941,86 = 337,50 n - 23,54650 n → 941,86 = 313,953488 n → n = a n =3 313,9534881c. Vamos calcular a taxa de juros i, nas mesmas condições, admitindo que não a conhecemos: N = 13.500 n= 3 i = ? Dr = 941,86 Nin 13500 x i x 3n 13500 x i x3n 40.500iDr = ------------- ⇒ 941,86 = ------------------- ⇒ 941,86 = ---------------- ⇒ 941,86 = ------------ 1 + in 1 + 3i 1+ix3 1 + 3i⇒ 941,860451 + 2.825,81395i = 40.500i ⇒ 941,86 = 37.674,81861i 941,86i = --------------------- ⇒ i = 0,025 ⇒ i = 0,025 x 12 = 0,30 ⇒ 0,30 x 100 ∴ i = 30% a.a. 37.674,818611d. Vamos calcular o valor nominal (N), nas mesmas condições, admitindo que não o conhecemos:N=? Ninn= 3 Dr = ----------i = 30% a.a. 1 + inDr = 941,86 Nin N x (0,30/12) x 3 0,075NDr = ----------- ⇒ 941,860451 = ------------------------- ⇒ 941,860451 = ------------- ⇒ 1 + in 1 + (0,30/12) x 3 1 + 0,075 0,075N 1.01250941,860451 = ------------ ⇒ 1.01250 = 0,075N N = ------------ ⇒ N = 13.500 1,075 0,075 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS1. Um título descontado de $ 4.000,00 vai ser descontado à taxa de 2.3% ao mês. Faltando 45 dias para o seu vencimento.Determine: a) o valor do desconto comercial; b) o valor atual comercial.Resolução: { N = 4.000 - n = 45 d - i = 2,3% a.m. = [2,3/100 = 0,023 a.m. - 0,023/30 a.m. ]a) Dc = Nin ⇒ Dc = 4000 x {[(2,3/100)/30] x 45} ⇒ Dc = 4000 x {[0,023/30] x 45} ⇒ Dc = 4000 x {0,0007666667 x 45}⇒ Dc = 4000 x 0,0345 ⇒ Dc = 138,00a) Vc = N - Dc ⇒ Vc = 4000 - 138 ⇒ Vc = 3.862,00 ou Vc = N(1 - in) ⇒ Vc = 4000(1 - 0,0345) ⇒ Vc = 4000(0,9655) Vc = 4000 x 0,9655 = 3.862,00
  12. 12. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 112. Uma duplicata de valor nominal é de $ 3.500,00, foi resgatada 4 meses antes do seu vencimento, à taxa de 26.4% ao ano.Qual o desconto comercial;Dc = Nin ⇒ Dc = 3500 x {[(26,4/100)/12] x 4} ⇒ Dc = 3500 x {[0,264/12] x 4} ⇒ Dc = 3500 x {0,022 x 4}⇒ Dc = 3500 x 0,088 ⇒ Dc = 308,00Utilizando as fórmulas 6 Vc = N(1 - in) e Dc = N - Vc 4.Vc = N(1 - in) ⇒ Vc = 3500{ 1 - [(26,4/100)/12] x 4} ⇒ Vc = 3500( 1 - 0,022x4) ⇒ Vc = 3500( 1 - 0,088) ⇒Vc = 3500 x 0,912 ⇒ Vc = 3.192,00Agora aplicamos a fórmula Dc = N - Vc 4 . ⇒ Dc = 3500 - 3192 ⇒ Dc = 308,003. O desconto comercial de um título descontado 5 meses antes de seu vencimento e à taxa de 36% a.a. é de $ 690,00. Qual éo desconto racional?Resolução: Vamos aplicar a fórmula: Dc = Dr(1 + in) i = 36/100 = 0,36 0,36 690,00672,00 = Dr ( 1 + ------- x 5 ) ⇒ 672,00 = Dr ( 1 + 0,15 ) ⇒ Dr = ------------- ⇒ Dr = $ 600,00 12 1,154. Uma dívida de $ 13.500,00, será saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional será obtido, se a taxa dejuros que reza no contrato é de 30% a.a.? Nin 13500 x [(0,30/12) x 3] 1012,50Dr = -------------- ⇒ Dr = ------------------------------ = --------------- = $ 941,86 1 + in 1 + [ (0,30/12) x 3 ] 1,075$ 941,86 é, portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dívida.5. Por quanto posso comprar um título com vencimento daqui a 5 meses, se seu valor nominal for de $ 15.000,00 se eu quiserganhar 36% a.a. ?Resolução: Deve-se calcular o valor atual do título tal que seja possível obter a rentabilidade de 36% a.a. N: 15.000 i: 36% a.a. ⇒ (36/100) ⇒ 0,36 [ Calcular o Vr: Valor Atual ] n: 5 meses N 15000 15000Vr = -------------- ⇒ Dr = ---------------------------- = ----------- = $ 13.043,48 1 + in 1 + [ (0,36/12) x 5 ] 1,15VIII. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO - REVISÃO:POTENCIAÇÃOPara a ∈ R, b ∈ R, n ∈ N, temos: Assim definimos: .a: base •a0 = 1 •a1 = a n.a = b, onde n: expoente •an = a x a x a ... x a, se n≥ 2 •a-n = 1/an, a ≠ 0 b: potênciaExemplo: n 3.a = 2 .a = .2 = 2 x 2 x 2 = 8.n = 3Propriedades:Para m ∈ Z, n ∈ Z, a∈R e b ∈ R, temos: [Vide anexo II, conjuntos numéricos] m n m+n 4 3 7a) a • a =a =2 x2 = 16 x 8 = 128; 2 = 128 m n m-n 4 3 1b) a /a =a =2 -2 = 16/8 = 2; 2 = 2 n m mxn 4 3 1c) (a ) = a =2 -2 = 16/8 = 2; 2 = 2 m m m 3 3 3 3d) (a • b) =a • b = (2 x 3) = 6 = 216; 2 x3 = 8 x 27 = 216; m m m 3 3 3 3e) (a / b) =a /b = (6 / 3) = 2 = 8; 6 /3 = 216 / 27 = 8.RADICIAÇÃOPara a ∈ R, b ∈ R, n ∈ N*, m ∈ N*, temos: : radicaln b =a a: raiz b = radicando → extrair a raiz n-ésima de um nº, é só exponenciá-lo ao inverso do índice n: índice
  13. 13. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 12LOGARITMOSO logaritmo de um número N, no sistema de base a, é o expoente x da potência a que é preciso elevar a base a parade se obter esse número N. A base a deve ser positiva e diferente da unidade e N é sempre positivo. xAssim, se N = a , então x = logaN.Exemplos: 10 2 = 100 ou log100 = 2 10 125 2 = 5 ou 5 log25 = 1 2 1 12-3 = ou log2 = - 3 8 81. - Propriedades dos logaritmos Ma) logaM.N = logaM + logaN b) loga   = logaM − logaN Nc) logaMn = n.logaM n d) loga M = (1/n) . logaMNormalmente se considera a base a igual a 10 (logaritmos decimais ou vulgares). Assim, o logaN se escreveriasimplesmente como logN. 3 1Exemplos: 10 = 1000 ou log 1000 = 3 10 = 10 ou log 10 = 1 -1 -310 = 0,1 ou log 0,1 = -1 10 = 0,001 ou log 0,001 = -31.2 - Característica e MantissaEm geral o logaritmo não é número inteiro, isto é, comumente é um número inteiro mais uma parte fracionária avaliadaem decimais. A parte inteira chama-se característica e a parte decimal como mantissa.A mantissa é encontrada na "Tábua de Logaritmos" e seu valor é sempre positivo.A característica possui duas regras: (a) se o número N for maior do que 1, a característica será igual a tantas unidades,menos uma, quantos algarismos estiverem à esquerda da vírgula decimal; e, (b) se o número N for menor do que 1, acaracterística será negativa e, se o primeiro algarismo, diferente de zero, estiver na n-ésima ordem decimal, acaracterística poderá ser menos n.Exemplos: 135,2 possui característica igual a 257,35 possui característica igual a 12,693 possui característica igual a 00,0735 possui característica igual a 8-100,000037 possui característica igual a 5-101.3. - Antilogaritmos e CologaritmosSe o logaritmo é dado, o problema consiste em encontrar o número que o originou. Este número é denominado deAntilogaritmo. A característica do logaritmo dado determina a posição da vírgula decimal no antilogaritmo e a mantissa 0,3729os seus algarismos. Assim, se sob a forma exponencial, 2,36 = 10 , o número 2,36 é chamado o Antilogaritmode 0,3729, ou antilog 0,3729. É um número cujo logaritmo é 0,3729.O Cologaritmo de um número é o logaritmo de seu inverso. Assim, o colog 35,7 = log 1 - log 351.4. Logaritmo na base 10 e logaritmo neperiano base e [base e = 2,71828182845905, número de Euler]O logaritmo em um novo sistema será dado pela relação: 1.logb N = loga N x ---------- loga bPara resolver o problema, bastará multiplicar o logaritmo do número no sistema de base a pelo fator constante. 1 M = ------------ loga bque recebe o nome de módulo do sistema . LN(10) = 2,30258509299405 .a) Passagem do sistema decimal para neperiano6 1 1módulo = ------------------------------- = --------- = 2,30258509299405 logaritmo decimal de e log e6 Em excel: =LN(10)
  14. 14. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 13b) Passagem do sistema neperiano para decimal 1 1módulo = -------------------------------- = ------------- = 0,434294481903252 logaritmo neperiano de 10 ln(10) Para converter Logaritmo Em Logaritmo Multiplicar por Aproximadamente Decimal Natural 2,30258509299405 2,3025851 Natural Decimal 0,434294481903252 0,4342945Exemplo: log(6) = 0,778151250 - Algumas calculadoras só tem o LN. Há duas opções para obter o log na base 10, senós dispormos só de LN. Podemos fazer a seguinte operação: Log(x) = LN(x)/LN(10) - ou usar a conversão acima:Log(x) = LN(x)/LN(10) → Vamos obter o Log(6), utilizando a conversão acima. Log(6) = LN(6) x 0,434294481903252.Portanto: Log(6) = 1,791759469 x 0,434294482 = 0,77815125IX. JUROS COMPOSTOSNo regime de juros simples, os juros incidem somente sobre o capital inicial. No regime de juros compostos, orendimento gerado pela aplicação será incorporado a ela a partir do segundo período. Dizemos, então, que osrendimentos ou juros são capitalizados: Juros simples Juros compostos Rendimento Rendimento Mês C i n Juros Montante C i n Juros Montante 1 1.000,00 5% 1 50,00 1.050,00 1.000,00 5% 1 50,00 1.050,00 2 1.000,00 5% 1 50,00 1.100,00 1.050,00 5% 1 52,50 1.102,50 3 1.000,00 5% 1 50,00 1.150,00 1.102,50 5% 1 55,13 1.157,63 4 1.000,00 5% 1 50,00 1.200,00 1.157,63 5% 1 57,88 1.215,51J = Cin (1) M = C(1 + i)n (6)M=C+j (2) M=C+J (7)M = C +Cin (3) J= M-C (5)M = C (1+ in) (4) J = C[(1 + i)n - 1] (8)J= M-C (5) n• O fator (1 + i) é chamado de fator de acumulação de capital, para pagamento único, pode ser calculado diretamente, através de calculadoras ou pode ser obtido através de tabelas financeiras;• Nas calculadoras financeiras pode-se calcular diretamente qualquer uma das quatro variáveis da fórmula, dados os valores das outras três:• PV (Presente Value, do inglês) representa o capital C• FV (Future Value, do inglês) representa o montante M• i Representa a taxa de juros, onde i/100• n Representa o número de períodos.Exemplo: Um capital de $ 1.000.00 é aplicado a juros compostos durante 4 meses, à taxa de 5% a.m., Calcule:a) O montante; b) Os juros auferidos Resolução Calculadora HP-12CTemos: (5/100 + 1) = 1,05 5 Enter 1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 = 1,21550625 (Fator de Acumulação) 100 ÷ M = 1.000 x 1,21550625 = 1.215,51 1+ (1,05) Resultado J = M - C → 1.215,51 - 1.000,00 = 215,51 4 YX 1,21550625 (Resultado) 1000 X 1,215,51 (Resultado)Para Calcularmos utilizaremos a seguinte fórmula: (Exponencial) M = (1 + i)n → M = (1 + 0,05)4 = 1,21550625 M = 1.000 x 1,21550625 = 1.215,51 J = M - C → 1.215,51 - 1.000,00 = 215,51Utilizando uma calculadora Financeira: 4 n 5 i → FV = 1.215,51 -1000 PVCaso não dispomos de uma calculadora financeira, podemos calcular através de logaritmos. Precisamos do fator 4(1,05) = 1,21550625. Este fator pode ser encontrado nas tabelas financeiras, porém se não a tivermos em mãos 4 4podemos fazer o seguinte: (1 + 5/100) . → (1,05) → ( 1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 ) = 1,21550625 ou podemoscalcular utilizando logaritmos. Vamos ver como fica?Exercício: Um capital $ 2.500,00 foi aplicado durante 5 meses, à taxa de 3% a.m.. Calcule o Montante e o juro.
  15. 15. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 14. t0 i = 3% a.m. ↑ 2500 + J . ↓ 2500 t5SoluçãoC: 2500i: 3% a.m. [0,03]n: 5 m nM = C(1 + i) 5 5M = 2500(1 + 3/100) M = 2500(1 + 3/100) 5 5M = 2500(1 + 0,03) M = 2500(1,03)M = 2500(1,159274074) M = 2.898,19J=M-CJ = 2898,19 - 2500 J = 398,19Vamos utilizar uma calculadora científica. Como ficariam os cálculos?1º) Vamos resolver o (FC: Fator de Capitalização): M = C(1 + i)n (Vamos Chamar de Y → (1 + i) – (Exponencial, Base.Isto é, o Y é a base) de x → ”n” o Expoente, então o nosso (1 + i)n podemos trocar por YX.2º) utilizando uma calculadora científica podemos utilizar a tecla YX. Exemplo: vamos encontrar o FC (1,03)5. [vocêpode fazer o seguinte cálculo: 1,03 x 1,03 x 1,03 x 1,03 x 1,03 = 1,159274074]. Cálculos simples como este você nãoencontra nenhuma dificuldade para fazê-lo. Imagine para 60 meses. Vamos aos cálculos?3º) com sua calculadora científica faça o seguinte: 1,03YX5= 1,159274074Utilizando-se de logaritmos:JURO COMPOSTO - Cálculos [Calculadoras Financeiras; Exponencial, Logaritmos decimal e neperiano eTabelas Financeiras]Para Calcularmos o Montante utilizaremos a seguinte fórmula: (Exponencial) n M = (1 + i) → M = (1 + 0,05)5 = 1,276281562 M = 2.000 x 1,276281562 = 2.552,56 J = M - C → 2.552,56 - 2.000,00 = 552,56Utilizando uma Calculadora Financeira: 5 .n 5 .i → FV = 2.552,56 -2000 PVCaso não dispomos de uma calculadora financeira, podemos calcular através de logaritmos. Precisamos do fator 5(1,05) = 1,276281562. Este fator pode ser encontrado nas tabelas financeiras, porém se não a tivermos em mãos 5 5podemos fazer o seguinte: (1 + 5/100) . → (1,05) → ( 1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 ) = 1,276281562Se queremos calcular os juros do capital de $ 2.000,00, durante 4 meses à taxa de 5% a.m., multiplicamos o fator:1,276281562 x 2000 = 2.552,56. Logo, M = 2.552,56. ( J = M - C → J = 2552,56 - 2000 = 552,56) → J = $ 552,56ou podemos calcular utilizando logaritmos. Vamos ver como fica?Utilizando-se de logaritmos: 5 (1 +0,05) = x, → onde x = fator procurado. 5 log (1,05) = log x 5(0,02118930) = log x 0,105946495 = log x. 0,105946495Extraímos o antilogaritimo: ( 10 ) 0,08475720 ( 10 )=x 1,276281563 = x, este é o fator procurado: 1,276281563.Está complicado? - Vamos utilizar outro método [que eu acho mais fácil].Utilizando-se de logaritmos: [ Outro exemplo, uma maneira que gosto de usar ]C = 2500 M = (1 + i)n [ Exponencial ] i = 4% a.m. M = C(1 +0,04)5n = 5m M = 2500(1,04)5M = 3.041,63 M = 3041.632255 nM = (1 + i) [ Logaritmo ] nlogM = log[ C(1 + i) ]
  16. 16. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 15logM = logC + n•log(1+i) MlogM ⇒ antilogM ⇒ M ⇒ 10 5logM = log[ 2500(1 +0,04) ]logM = log2500 + 5 • log(1,04)logM = 3,3979400009 + [5 • (0,01703339)]logM = 3,3979400009 + 0,085166697logM = 3,483106706 3,483106706antilogM = 10M = 3,041632262Montante ⇒ M = 3.041,63 .Por LN [ Logaritmos Neperianos.] Lembrando: que o sistema LN, a base é o número e ( e = 2,71828182845905 ), também chamado de Sistema de Logaritmos Naturais. O nome está ligado ao autor John Napier (1550 - 1617). 1,60943791 1,60943791 Exemplo: LN 5 = 1,60943791. e = 5, isto é, = 2,718281828 = 5. nM = (1 + i) nLNM = LN[ C(1 + i) ]LNM = LNC + n•LN(1+i) M MLNM ⇒ Antilogaritmo Natural M ⇒ M ⇒ e ⇒ 2,718281828 . 5LNM = LN[ 2500(1 +0,04) ]LNM = LN2500 + 5•LN(1,04)LNM = 7,824046011 + [5•(0,03922071)]LNM = 7,824046011 + 0,196103566LNM = 8.020149577 M M 8.020149577Antilogaritmo Natural M ⇒ M ⇒ e ⇒ 2,718281828 . ⇒ M = 3,041632253Montante ⇒ M = 3.041,63 .Utilizando [Log e LN ], outro exemplo (agora para encontrarmos o tempo: n): Durante quanto tempo um Capital de $ 400.000,00deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 3.5% a.m., para que produza um montante de 526.723,61? C = 400.000 M = 526.723,61 i = 3.5% = 0.035 n 526723,61 = 400000 x (1,035) n (1,035) = 1,31680903 → (526723,61/400000)   FV    log  n=   PV    log(1 + i)     Tomando o logaritmo decimal de ambos os membros: n Log(1,035) = Log 1,31680903 n x Log(1,035) = Log 1,31680903Porém: Log(1,035) = 0,01494035 (na Calculadora HP: LogX = LNx / LN10) ⇒ LN(1,035)/LN(10) = 0,01494035 Log(1,31680903) = 0,119522798Então: n x 0,01494035 = 0,119522798 n = 0,119522798 / 0,01494035 = 8 mesesPor LN [ Logaritmos neperianos.] n = [ LN(FV/PV) / LN(1 + i) ]n = [ LN(526.7236148/400.000) / LN(1.035) ] n = [ LN(1.316809037) / LN(1,035) ]n = [ 0.275211414 / 0.034401427 ] n = 8 mesesResolvendo com a ajuda de uma calculadora financeira: 3,5 .i 400000 PV → n = 8 meses -526723.61 FV
  17. 17. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 16Resumo: Fórmulas Juros CompostosFórmula básica de Juros Compostos: n Equação JC-1 J = C[(1 + i) – 1]Sabendo-se que M = C + J, a fórmula do Montante deduzida da fórmula básica de juros compostos é: n Equação JC-2 M = C(1 + i)Podemos deduzir outras equações a partir das equações dadas:  M  C=  Equação JC-3  (1 + i)n     M   log   n= C   log(1 + i)  Equação JC-4       1     M  n   Equação JC-5 i =   C  − 1  x 100          Utilizando-se de Tabelas Financeiras:É fácil usar as tabelas financeiras. É só procurar o FC [Fator de Correção] desejado e multiplicar pelo capital inicial (PV)que encontrará o Montante (FV).Exemplo: na tabela abaixo, (procure a tabela) com a taxa i = 5% [só apresentamos uma tabela com i = 5%; n = 1 a9]. Em n = 5, na segunda coluna encontramos o fator = 1,27628156. [ aplicamos PV x FC ] 2000,00 x 1,27628156 =2.552,563120 [M ou FV].Experimentem fazer o seguinte cálculo: multiplique o FV = 2552,563120 encontrado, x o fator de PV [n = 5, 2ª coluna= 0,78352617 x 2552,563120 = 2.000,00 ].Tabelas Financeiras (Taxa) i = 5,0 % Profº Paulo Vieira Neto n n n 1 . (1 + i ) - 1 (1 + i ) - 1 . i(1 + i ) . i(1 + i ) n - 1 n (1 + i ) n (1 + i ) n i(1 + i ) n i (1 + i ) n - 1 (1 + i ) n - 1 1 1,05000000 0,95238095 0,95238095 1,00000000 1,05000000 1,00000000 2 1,10250000 0,90702948 1,85941043 2,05000000 0,53780488 0,51219512 3 1,15762500 0,86383760 2,72324803 3,15250000 0,36720856 0,34972244 4 1,21550625 0,82270247 3,54595050 4,31012500 0,28201183 0,26858270 5 1,27628156 0,78352617 4,32947667 5,52563125 0,23097480 0,21997600 6 1,34009564 0,74621540 5,07569207 6,80191281 0,19701747 0,18763568 7 1,40710042 0,71068133 5,78637340 8,14200845 0,17281982 0,16459030 8 1,47745544 0,67683936 6,46321276 9,54910888 0,15472181 0,14735411 9 1,55132822 0,64460892 7,10782168 11,02656432 0,14069008 0,13399055 Juros Valor Atual Amortização Capitalização Amortização Amortização Compostos PV - (Desconto an i Sn i 1ª no ato M = PV + J Composto) PMT PMT PMTX. DESCONTO COMPOSTOValor atual (VA) de um título de valor nominal N, resgatável depois de um certo período n, à uma taxa i de juroscompostos, é aquele que aplicado durante o período n, à taxa i, se transforma em N. Vamos utilizar a seguinte fórmula:
  18. 18. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 17 N  1   1  N = VA (1 + i )n → VA = ou VA = N   ⇒ ou PV = FV   (1 + i)n  (1 + i)n     (1 + i)n     1  PV = FV    (1 + i)n   Onde:VA = Valor atual ou PV = Valor PresenteN = Valor nominal FV = Valor Futuro [Valor do título no vencimento]n = Períodoi = Taxa de juros compostosDESCONTO COMPOSTO: O conceito de desconto composto é semelhante ao que vimos em desconto simples, adiferença é quanto ao regime de capitalização.Para obtermos o desconto composto de um título aplicado, aplicamos a fórmula desenvolvida, em epígrafe, onde iremoschamar de d o desconto obtido.Desconto racional: É a diferença entre o valor nominal do título e seu valor na data de resgate. d = N - VA.Ex: Um título de valor nominal igual a $ 4.000,00 é resgatado 3 meses antes do seu vencimento, segundo o critério dedesconto racional composto. Sabendo que i = 4% a.m., qual o desconto?N = 5000 (FV)n = 3mi = 4% a.m. N  1   5000  5000VA = ⇒ VA = 5000   → VA =   → VA = → VA = 4.444,98 ⇒ d = 5000 - 4444,98 ⇒ d = 555,02 (1 + i)n  (1 + 0,04 )3     (1,04 )   3 1,124864Desconto Comercial: Consiste na aplicação sucessiva do conceito de desconto comercial simples. (na prática odesconto comercial composto é raramente usado)Seja N o valor nominal de um título, n o número de períodos de antecipação e i taxa de desconto.Calcula-se o valor descontado comercial simples para o instante (n - 1); sobre este valor descontado aplica-se novamente odesconto comercial simples e obtém-se o valor descontado para o instante (n - 2) e assim sucessivamente. na fórmula é Dc = N - V ⇒ Dc = N - N(1 - i)Ex: Um título de valor nominal igual a $ 5.000,00 é resgatado 4 meses antes do seu vencimento, segundo o critério de descontocomercial composto. Sabendo que a (taxa de desconto, i) i = 5% a.m., Calcule o Valor Atual comercial e o desconto comercial Desconto Comercial – Composto Rendimento Mês N .i n Desconto Valor Atual 1 5.000,00 5% 1 250,00 4,750,00 2 4.750,00 5% 1 237,50 4.512,50 3 4.512,50 5% 1 225,63 4.286,88 4 4.286,88 5% 1 214,34 4.072,53Total 927,43Fórmulas n nDc = N - N(1 - i) [1] VA = N(1 - i) [2] VA = N – d [3]N = 5000 (FV)n = 4mi = 5% a.m.Solução: nVA = N(1 - i) 4 4 4VA = 5000(1 – 5/100) VA = 5000(1 – 0,05) VA = 5000(0,95) 4VA = 5000(0,95) VA = 5000(0,81450625) VA = 4.072,53d = N – VAd = 5000 - 4072,53 = 927,43
  19. 19. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 18XI. TAXAS EQUIVALENTESO conceito de taxas equivalentes, em juros compostos. é semelhante ao estudado em juros simples.Duas taxas são equivalentes a juros compostos quando, aplicadas a um mesmo capital, por um determinado período detempo, produzem montantes iguais.( 1 + i1 )n1 = ( 1 + i2 )n2Exemplo: Qual a taxa semestral equivalente à taxa de mensal de 5% a.m., no regime de juros compostos?Vamos adotar como intervalo de tempo um semestre (6 meses ou 180 dias) e chamando de i1 a taxa procurada (um semestre):i1 (taxa semestral) i2 = 5% a.m.n1 = n2 = 6 (1 + i1)1 = (1 +0.5)6 i1 = (1,05)6 - 1 i1 = 0,34009 → 0,34009 x 100 i1 = 34,01% a.s. De a.m. para a.a → ia = [(1+im)12 - 1] x 100 [1] De a.d. para a.m. → im = [(1+id)30 - 1 ] x 100 [2] De a.d. para a.a. → ia = [(1+id)360 - 1] x 100 [3] De a.a. para a.m. → im = [(1+ia)1/12 - 1] x 100 [4] De a.m. para a.d. → id = [(1+im)1/30 - 1] x 100 [5] De a.a para a.d. → id = [(1+ia)1/360 - 1] x 100 [6]Para facilitar nosso entendimento, vamos fazer uso da seguinte fórmula:  q  iq =   (1 + it)t − 1  x 100    Onde:.iq = Taxa procurada (taxa que eu quero).it = Taxa fornecida (taxa que eu tenho).q = Prazo final (Prazo que eu quero).t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho)Exemplo 1:Tenho a taxa [fornecida] de 34,4888824% a.a. (12 meses) e quero a taxa mensal [procurada] 1 mês.Vamos aplicar a fórmula:.iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) → iq - i?.it = Taxa fornecida (taxa que eu tenho) → 34,4888824%.q = Prazo final (Prazo que eu quero) → 1 mês.t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho) → 1 ano (12 meses)A fórmula é a seguinte: iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100 . Calculadora HP-12C Calculado CientíficaTransportando os dados para a fórmula: 34,4888824 Enter 34,4888824 100 ÷ ÷ 100 + 1 =im = [ (1 + 34,4888824/100)1/12 - 1] x 100 1+ 1,344888824 Res. 1,344888824 Res.im = [ (1,344888824) - 1] x 100 0,08333333333 1 Enter YX (1 ÷ 12) =im = [ 1,025 - 1] x 100 12 ÷ 0,0833333 Res 1,025 Res.im = 0,025 x 100 YX 1,025 Res. -1 = x 100 =i = 2,5% a.m. 1- 2,5% Res. 100 x 2,5% Res.Ouim = [ (1 + 34,4888824/100)30/360 - 1] x 100im = [ (1,344888824) - 1] x 100 0,08333333333
  20. 20. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 19im = [ 1,025 - 1] x 100im = 0,025 x 100i = 2,5% a.m.Exemplo 2: Tenho a taxa [fornecida] de 34,4888824% a.a. (12 meses) e quero a taxa diária [procurada] 1 dia.Vamos aplicar à fórmula:.iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) → iq - i?.it = Taxa fornecida (taxa que eu tenho) → 34,4888824%.q = Prazo final (Prazo que eu quero) → 1 dia.t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho) → 1 ano (12 meses = 360 dias)Utilizando a fórmula: iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100 .id = [ (1 + 34,4888824/100)1/360 – 1 ] x 100 0,002777778id = [ (1,344888824) – 1 ] x 100id = [ 1,000823426 - 1] x 100id = 0,000823426 x 100i = 0,0823426% a.d.Exemplo 3: Tenho a taxa [fornecida] de 2,5% a.m. (1 mês). Calcular a taxa equivalente para 36 dias. [Taxa que euquero] - [procurada] 36 dias.Vamos aplicar à fórmula:.iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) → iq - i?.it = Taxa fornecida (taxa que eu tenho) → 2,5%.q = Prazo final (Prazo que eu quero) → 36 dias.t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho) → 1 mês (30 dias)Utilizando-se a fórmula: iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100 .i36d = [ (1 + 2,5/100)36/30 - 1] x 100 1,2i36d = [ (1,025) - 1] x 100i36d = [ 1,0300745 - 1] x 100i36d = 0,0300745 x 100i36d = 3,00745% a.p.Exemplo 4: Tenho a taxa [fornecida] de 3,00745% para 36 dias (36 - período). Calcular a taxa equivalente ao mês30 dias. [Taxa que eu quero - procurada] 30 dias.Vamos aplicar à fórmula:.iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) → iq - i?.it = Taxa fornecida (taxa que eu tenho) → 3,00745%.q = Prazo final (Prazo que eu quero) → 36 dias.t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho) → 1 mês (30 dias)Utilizando a fórmula: iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100 .i30d = [ (1 + 3,00745/100)30/36 - 1] x 100 0,8333333333i30d = [ (1,0300745) - 1] x 100i30d = [ 1,025 - 1] x 100i30d = 0,025 x 100i30d = 2,5% a.m.
  21. 21. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 20XII. TAXA EFETIVA: é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade detempo dos períodos de capitalização. Exemplo: 12 1% ao mês, capitalizados mensalmente; {[(1+ 0,01) - 1] x 100} ≅ 12,6825% a.a. 4 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente {[(1+ 0,03) - 1] x 100} ≅ 12,55% a.a. 2 2 10% ao ano, capitalizados semestralmente: {[(1+ (0,10/2)) - 1] x 100} = {[(1+ 0,05) - 1] x 100} ≅ 10,25% a.a.XIII. SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS OU RECEBIMENTOS A JUROS COMPOSTOS Até agora, analisamos problemas financeiros envolvendo capital ( C ou PV ), aplicado ou emprestado a umadeterminada taxa de juros ( i ) simples ou composta. Ao final do período ( n ), gerava um determinado montante (M ouFV), isto é, o empréstimo ou aplicação era liquidado através de um único pagamento ou recebimento. A partir deste momento, vamos estudar os casos financeiros que envolvam o empréstimo ou aplicação de umcapital ( C ou PV ) que será liquidado em diversas ( n ) prestações iguais, com periodicidade constante e sucessivas, auma determinada taxa de juros compostos. O valor das prestações - (PMT, Payment - Pagamento) - iguais e consecutivas de uma série uniforme, vamosidentificá-la por PMT. Por ora, para tornar mais prático e objetivo, trataremos somente das séries uniformes com as seguintescaracterísticas: •Séries uniformes finitas, isto é, com um número finito de pagamentos (PMT); •A periodicidade dos vencimentos serão constantes; •Utilizaremos nos cálculos os juros compostos, onde cada prestação igual é composta por uma parcela de juros e outra de capital amortizado; •Os vencimentos dos pagamentos ou recebimentos podem ocorrer no início [BGN] (termos antecipados) ou no final [END] (termos postecipados) de cada período. Uma série uniforme é uma seqüência de pagamentos ou recebimentos iguais e efetuados a intervalos iguais. Osvencimentos dos termos de uma série uniforme podem ocorrer no final de cada período (termos postecipados) noinício (termos antecipados), ou ao término de um período de carência (termos diferidos).Fluxos de séries uniformes:Postecipados .0 ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT . 1 2 3 ............ nAntecipados . 0 ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT . 1 2 3 4 ............ n -1Diferidas . 0 ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT . ↓ PV c c+1 c+ 2 ............ c + nExemplo: As lojas ZYX vendeu e financiou um aparelho de som ao Sr. Luiz Carlos no valor de $ 1.200,00 para serliquidado em 4 parcelas iguais, mensais e consecutivas, com o vencimento da primeira parcela um mês após acontratação do financiamento. A taxa de juros praticada - da financeira ligada às lojas ZXY - é de 5% a.m., no regimede juros compostos. Qual o valor das prestações a serem liquidadas.O fluxo de caixa do Sr. Luiz Carlos: PV = 1200 i = 5% a.m↑. T30 T60 T90 T120 .T0 ↓ PMT ↓ PMT ↓ PMT ↓ PMTCom o uso de uma calculadora financeira:PV = 1200 n= 4 i= 5 ⇒ PMT = ? .Vamos ver como ficam os cálculos, sem os recursos das teclas financeiras das calculadoras!Podemos considerar, cada PMT, com um montante (FV) a ser pagos em duas datas distintas, sendo (PV) igual à somados (PVs) de cada prestação. nFV = PV•(1 + i)
  22. 22. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 21 FVPV = (1 + i)nVamos substituir os dados do exercício: PMT PMT PMT PMT1200 = + + + (1 + 0,05 )1 (1 + 0,05 )2 (1 + 0,05 )3 (1 + 0,05)4  1 1 1 1 1200 = PMT  + + +   (1 + 0,05 ) 1  (1 + 0,05) 2 (1 + 0,05) 3 (1 + 0,05) 4  1200 = PMT • [ 0,9523810 + 0,9070295 + 0,8638376 + 0,8227025 ] ⇒ 1200 = PMT • (3,545950505) 1200PMT = = 338,41 ⇒ PMT = 338,41 3,545950505Na HP12-C [Não esqueça de teclar g END “g-8”, para indicar à calculadora que o cálculo a ser efetuado é postecipado]1000 PV4 n5 iPMT ? ⇒ PMT = -338,41Com base na expressão: PMT PMT PMT PMTPV = + + + • • • + (1 + i) 1 (1 + i) 2 (1 + i) 3 (1 + i) n 1Podemos observar que se trata de uma PG de razão (1 + i)Deduzindo da fórmula, nos leva a:  (1 + i)n • i PMT = PV •    (1 + i)n − 1   Solução 4 (1 + 0,05 ) • 0,05PMT = 1200 • [---------------------------] ⇒ PMT = 1200 • 0,28201183 ⇒ PMT = 338,41 . 4 (1 + 0,05 ) - 11). Prestações iguais - TERMOS POSTECIPADOS:1.1) Dado PV - calcular PMT [Taxa e número de parcelas iguais] .0 ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT . ↓ PV 1 2 3 ............ nFórmula:  (1 + i)n • i PMT = PV •    (1 + i)n − 1   Uma geladeira está anunciada na loja ZYX por $ 600,00 para pagamento a vista ou em 6 parcelas iguais, mensais econsecutivas, sendo que a primeira parcela será paga um mês após a compra (termos postecipados).A taxa de juros cobrada é de 8% a.m. Calcule o valor das prestações [Regime de juros compostos]. Fluxo caixa da financeira da Loja ZYX .0 ↑ PMT? ↑ PMT? ↑ PMT? ↑ PMT? ↑ PMT? ↑ PMT? . ↓ PV= 600 1 2 3 4 5 6 i = 8% a.m.
  23. 23. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 22Solução  (1 + i)n • i PMT = PV •    (1 + i)n − 1   Solução  (1 + 0,08 ) 6 x 0,08 PMT = 600 x   ⇒ PMT = 600 x 0,216315386 → PMT = 129,79  ( 1 + 0,08 ) 6 − 1   1.2) Dado PMT - Calcular PV:Dado PMT- calcular PV [Dado o número de prestações, valor de cada prestação e a taxa de juros, calcular o PVfinanciado] .0 ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT . ↓ PV 1 2 3 ............ nFórmula: (1 + i)n − 1 PV = PMT •    (1 + i)n • i Exemplo: Calcular o valor a vista de um financiamento para pagamento em 05 prestações, mensais, iguais econsecutivas de $ 5000 (a primeira paga 30 dias após a contratação). A taxa de juros é de 6% a.m., no regime de juroscompostos. .0 ↑ PMT= 5000 ↑ PMT= 5000 ↑ PMT= 5000 ↑ PMT= 5000 ↑ PMT= 5000 . ↓ PV= ? 1 2 3 4 5 i = 6% a.m.Solução:  (1 + i) n − 1  (1 + 0,06 ) 5− 1  PV = PMT •   → PV = 5000 •   → PV = 5000 • 4,21236379 ⇒ PV = 21.061,82  (1 + i) n • i   (1 + 0,06 )5 • 0,06 1.3) Dado PMT - Calcular FV:Dado PMT- calcular FV [ Dado o número de prestações, valor de cada prestação e a taxa de juros, calcular o valor domontante acumulado FV] .0 ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT . 1 2 3 ........... n ↓ FV = ?Fórmula:  (1 + i )n − 1 FV = PMT x     i  Dado PMT - Calcular FV: [ Dado o número de prestações, valor de cada prestação e a taxa de juros, calcular o valordo montante acumulado FV]Fórmula:  (1 + i)n − 1FV = PMT x     i  3. Dona Ana quer trocar sua geladeira daqui a 4 meses. O preço da geladeira, a vista é, $ 862.03. O Gerente da loja garantiu aDona Ana que o preço se manterá inalterado nos próximos 6 meses. A Dona Ana conseguiu encontrou uma instituição financeiraque paga 5% a.m. caso ela faça 4 aplicações, mensais, consecutivas no valor de $ 200,00 por mês. Quanto a Dona Ana terá nofinal do período acordado, isto é, 4 meses.Solução:Vamos ajudar a Dona Ana efetuar os cálculos para ver se ela consegue comprar sua geladeira no final daqui a 4 meses.Solução: Calculadora HP-12CPMT = 200,00 200 CHS PMT.i = 5% a.m. 5 i.n = 4 m. 4 n [tecle] FV 862,03 .n PMT FV 1 200,00 200,00 2 200,00 200 x 1,05 = 210,00 410,00
  24. 24. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 23 3 200,00 200 x 1,05 = 210,00 210,00 x 1,05 = 220,50 630,50 4 200,00 200 x 1,05 = 210,00 210,00 x 1,05 = 220,50 220,50 x 1,05 = 231,53 862,03Total 200,00 210,00 220,50 231,53 862,03Podemos calcular da seguinte maneira: 0 1 2 3 4 n-1FV = PMT [ (1 + i) + (1 + i) + (1 + i) + (1 + i) + (1 + i) + ... + (1 + i ) ] 0 1 2 3FV = 200 [ (1,05) + (1,05) + (1,05) + (1,05) ]FV = 200 [ 1 + 1,05 + 1,1025 + 1,157625 ]FV = 200[4,310125]FV = 862,03Dá muito trabalho fazer uma tabela semelhante a esta, não é mesmo? - Vamos utilizar a seguinte fórmula:  (1 + i ) n - 1   (1 + 0,05 ) 4 - 1  1,21550625 - 1  FV = PMT x   ⇒ FV = 200 x   → FV = 200 x  i (5/100)  0,05 →           0,21550625 → FV = 200 x  0,05  → FV = 200 x 4,310125 ⇒ FV = 862,03  2º Exemplo: Calcular o valor de resgate, referente a aplicação de 5 parcelas mensais, iguais e consecutivas de $ 4000, a umataxa de juros é de 8% a.m., no regime de juros compostos. [Dentro do conceito de termos postecipados]. 0 1 2 3 4 5↑ FV = ? . ↓ PMT= 4000 ↓ PMT= 4000 ↓ PMT= 4000 ↓ PMT= 4000 ↓ PMT= 4000 i = 6% a.m.Solução: n 5 (1+ i) - 1 (1 + 0,08) - 1FV = PMT • [-------------------- ] ⇒ FV = 4000 • [---------------------] ⇒ FV = 4000 • 5,86660096 ⇒ .FV = 23.466,40 . i 0,08HP12-CPMT = 4000 n = 5 ( termos postecipados ) i = 8% ao mês FV = ? ⇒ FV = 23.466,40 .1.4) Dado FV - Calcular PMT: Dado FV- calcular PMT [ Dado o valor Do montante acumulado, número deprestações e a taxa de juros, calcular o valor das prestações PMT] .0 ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT . 1 2 3 ........... n ↓ FV = ?Fórmula:  i PMT = FV •    (1 + i)n − 1   Exemplo: Quanto devo aplicar por mês, a uma taxa de juros compostos de 4% a.m. para resgatar daqui a 5 meses a quantiade $ 5000? [ considerar uma série uniforme com termos postecipados]. 0 1 2 3 4 5 ↑ FV = 5000 . ↓ PMT? ↓ PMT? ↓ PMT? ↓ PMT? ↓ PMT? i = 4% a.m.Solução: .i 0,04PMT = FV • [-------------------] ⇒ PMT = 5000 • [------------------] ⇒ PMT = 5000 • [ 0,18462711 ] ⇒ .PMT = 923,14 . n 5 (1 + i) - 1 (1+ 0,04) - 1HP12-CFV = 5000 n = 5 ( termos postecipados ) i = 4% ao mêsPMT = ? ⇒ PMT = -923,14 .2.Prestações iguais TERMOS ANTECIPADOS: (A primeira prestação paga ou recebida no ato da contratação)2.1. Dado PV - calcular PMT [Taxa e número de parcelas iguais, uma paga no ato da compra], encontrar ovalor das prestações.
  25. 25. Conceitos Básicos de Matemática Financeira - Paulo Vieira Neto 24 . 0↑ PMT ? ↑ PMT ? ↑ PMT ? ↑ PMT ? ↑ PMT ? . ↓ PV 1 2 3 ............ nVamos utilizar a seguinte fórmula para encontrarmos o valor das prestações. [Lembrando, uma paga no ato]:Fórmula:  (1 + i)n • i  1PMT = PV •  •  (1 + i)n − 1  (1 + i)  Exemplo:Uma motocicleta está anunciada por $ 6.000,00 para pagamento a vista, ou financiada em 5 prestações iguais, mensais esucessivas, sendo que a primeira prestação deverá ser paga no ato da compra (termos antecipados).Calcule o valor das prestações, sabendo-se que a taxa de juros compostos praticada pela financeira foi de 10% a.m. . 0↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT ↑ PMT . ↓ 1 2 3 4 PV = 6000 i = 10% a.m. n (1 + i ) • i 1PMT = PV • [ ---------------------- ] • ------------ n (1 + i ) - 1 (1 + i )Solução Utilizando a fórmula 5 5 (1 + 0,10 ) • 0,10 1 (1,10 ) • 0,10 1PMT = 6000 • [ ------------------------- ] • -------------- ⇒ 6000 • [ -------------------- ] • ---------- 5 5 (1 + 0,10) - 1 (1 + 0,10) (1,10) - 1 (1,10) 0,161051PMT = 6000 •[ -------------- ] • 0,90909091 ⇒ 6000 •[0,26379748] • 0,90909091 ⇒ 6000•[0,23981589] = 1.438,90 0,61051Utilizando a calculadora HP 12-C TECLE VISOR SIGNIFICADO .f CLX 0,00 Limpa todos os registradores .g BEG [ g7 ] 0,00 BEGIN Coloca no modo "BEGIN" 6000 CHS PV -6000,00 BEGIN Entra com o valor do principal 10 i 10,00 BEGIN Entra com a taxa de juros mensal 5 n 5,00 BEGIN Entra com o prazo PMT 1.438,90 BEGIN Calcula o valor das prestações2.2. Dado PMT - calcular PV [Taxa e número de parcelas iguais, uma paga no ato da compra], encontrar o valor dasprestações.Vamos utilizar a seguinte fórmula para encontrarmos o valor das prestações. [Lembrando, uma paga no ato]:Fórmula: n (1 + i) - 1PV = PMT • [ ---------------------- ] • (1 + i ) n (1 + i) •iO Sr. Zé Roberto deseja comprar uma Motocicleta que custa $ 6.000,00. A Financeira PagaBem – somente para o Sr. ZéRoberto – garantiu remunerar ao Sr. Zé, nos próximos 5 meses, caso ele efetue depósito, mensais, iguais [sem interrupção],uma remuneração de 10% a.m. Quais as parcelas mensais que o Sr. Zé Roberto deverá aplicar para que ele tenha $ 6.000,00daqui a 5 meses.PS: Um país sem inflação.Fazendo uso da Fórmula:  (1 + i)n − 1 PV = PMT •   • (1 + i)  (1 + i)n • 1 Solução  (1 + 0,10)5 − 1   (1,10)5 − 1   0,61051  PV = 1438,90 •   • (1 + 0,10) → PV = 1438,90 •   • (1,10) → PV = 1438,90 •  0,061051  • (1,1) →  (1 + 0,10) 5 • 0,10   (1,10) 5 • 0,10   → PV = 143 8,90 • 3,790786769 • (1,1) ⇒ PV = 1438,89535 • 4,169865446 → PV = 6.000,00

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