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Matemática Básica                       Volume único – Módulo 1SUMÁRIO   Apresentação e Objetivos ________________________...
Apresenta¸˜o e Objetivos                          ca      Prezado(a) aluno(a), gostar´ıamos de dar boas-vindas nesta que p...
tremamente util, tanto na vida profissional quanto na vida pessoal. Mas ´                          ´                       ...
H´ muita coisa a respeito da Matem´tica que a maioria das pessoas       a                                 adesconhece. O c...
O que nos oferece a Matem´tica B´sica                                       a      a                    Nesta disciplina, ...
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  1. 1. .
  2. 2. Matemática BásicaVolume único – Módulo 1 Dirce Uesu Pesco 5ª edição Roberto Geraldo Tavares Arnaut Apoio:
  3. 3. Fundação Cecierj / Consórcio Cederj Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira – Rio de Janeiro, RJ – CEP 20943-001 Tel.: (21) 2334-1569 Fax: (21) 2568-0725 Presidente Masako Oya Masuda Vice-presidente Mirian Crapez Coordenação do Curso de Matemática UFF - Regina Moreth UNIRIO - Luiz Pedro San Gil JutucaMaterial DidáticoELABORAÇÃO DE CONTEÚDO Departamento de ProduçãoDirce Uesu PescoRoberto Geraldo Tavares Arnaut EDITORA PROGRAMAÇÃO VISUAL Tereza Queiroz Giuseppe ToscanoCOORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTOCristine Costa Barreto COORDENAÇÃO EDITORIAL CAPA Jane Castellani Eduardo BordoniCOORDENAÇÃO DE LINGUAGEMMaria Angélica Alves Sami Souza COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃO PRODUÇÃO GRÁFICA Jorge Moura Fábio Rapello Alencar Copyright © 2005, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação. A745m Pesco, Dirce Uesu. Matemática básica. v. único / Dirce Uesu Pesco; Roberto Geraldo Tavares Arnaut. 5.ed. – Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2009. 324p.; 21 x 29,7 cm. ISBN: 978-85-7648-424-0 1. Fatoração. 2. Equação do 1° grau. 3. Equação do 2º grau. 4. Progressão aritmética. 5. Progressão geométrica. 6. Análise combinatória. I.Título.2009/2 CDD: 510 Referências Bibliográficas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT.
  4. 4. Governo do Estado do Rio de Janeiro Governador Sérgio Cabral Filho Secretário de Estado de Ciência e Tecnologia Alexandre CardosoUniversidades ConsorciadasUENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DONORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO RIO DE JANEIROReitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho Reitor: Aloísio TeixeiraUERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURALRIO DE JANEIRO DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Vieiralves Reitor: Ricardo Motta MirandaUFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADOReitor: Roberto de Souza Salles DO RIO DE JANEIRO Reitora: Malvina Tania Tuttman
  5. 5. Matemática Básica Volume único – Módulo 1SUMÁRIO Apresentação e Objetivos ____________________________________ 7 Aula 1 – Frações _____________________________________________ 11 Aula 2 – Números Decimais _____________________________________ 37 Aula 3 – Potenciação __________________________________________ 53 Aula 4 – Radiciação___________________________________________ 59 Aula 5 – Fatoração ___________________________________________ 69 Aula 6 – Equação do 1º grau ____________________________________ 77 Aula 7 – Sistema de Equações do 1º grau___________________________ 81 Aula 8 – Equação do 2º grau ____________________________________ 85 Aula 9 – Inequação do 1º grau___________________________________ 93 Aula 10 – Progressão Aritmética ________________________________ 103 Aula 11 – Progressão Geométrica _______________________________ 115 Aula 12 – Conjuntos _________________________________________ 129 Aula 13 – Introdução às Funções _______________________________ 141 Aula 14 – Funções Compostas e Inversa __________________________ 159 Aula 15 – Função do 1º grau___________________________________ 171 Aula 16 – Função Quadrática __________________________________ 183 Aula 17 – Função Modular ____________________________________ 195 Aula 18 – Função Exponencial _________________________________ 205 Aula 19 – Função Logaritmo ___________________________________ 215 Aula 20 – Trigonometria ______________________________________ 231 Aula 21 – Funções Trigonométricas ______________________________ 243 Aula 22 – Relações Fundamentais e Redução ao 1º Quadrante _________ 263 Aula 23 – Transformações_____________________________________ 277 Aula 24 – Equações Trigonométricas _____________________________ 291 Aula 25 – Funções Circulares Inversas ____________________________ 305 Aula 26 – Inequações Trigonométricas ___________________________ 313
  6. 6. Apresenta¸˜o e Objetivos ca Prezado(a) aluno(a), gostar´ıamos de dar boas-vindas nesta que podeser considerada a primeira disciplina do seu Curso de Licenciatura em Ma-tem´tica da UFF/CEDERJ/UAB. Vocˆ est´ iniciando uma jornada que mu- a e adar´ a sua vida. Vocˆ agora ´ parte de uma universidade p´blica, que lhe a e e uoferece a oportunidade de obter uma forma¸˜o de excelente qualidade. ca Estamos felizes por iniciar esta caminhada juntos em dire¸˜o a este cat˜o nobre objetivo que ´ a forma¸˜o de quadros docentes com qualidade em a e canosso Estado, para atua¸˜o nos Ensinos Fundamental e M´dio. Para atingir ca et˜o precioso objetivo, planejamos um curso aberto, com a maior flexibilidade aposs´ ıvel, e favorecendo o processo individual de constru¸˜o de sua autonomia. caA proposta do curso ´ a forma¸˜o de qualidade diversificada, permitindo e caplanejar caminhadas futuras em P´s-gradua¸˜es, sem limites na escalada do o coprocesso de conhecimento, na perspectiva maior da educa¸ao autˆnoma, cujo c˜ olema ´ aprender ao longo da vida. e Em todo o curso de Gradua¸˜o do CEDERJ, apoiado na metodologia cada Educa¸˜o a Distˆncia, a orienta¸˜o de estudos ´ uma forte componente. ca a ca e Vocˆ, provavelmente, est´ cursando esta disciplina por orienta¸˜o da e a cacoordena¸˜o do curso, que ponderou oportuna uma recupera¸˜o de estudos ca cacentrada em conte´dos importantes de Matem´tica, pelos quais vocˆ passou u a eno Ensino M´dio. N˜o considere esta tarefa menor. Em nenhuma ´rea e a ado conhecimento os conte´dos est˜o t˜o encadeados e dependentes uns dos u a aoutros como em Matem´tica. a Se construirmos um bom alicerce, o edif´ ser´ s´lido! ıcio a o Como in´ ıcio de percurso nesta boa jornada, teremos o tempo de cami-nhar e de descansar e tamb´m de enfrentar algumas ladeiras. Faz parte do e ´jogo! E imposs´ chegar a lugares significativos, sem subir uma ladeira! ıvelMas, uma vez no alto do morro, poderemos contemplar o horizonte que des-cortina a bela paisagem panorˆmica. aComo ter sucesso fazendo uma gradua¸˜o na modalidade a distˆncia? ca a Vocˆ j´ conhece as enormes vantagens que essa modalidade de ensino e aoferece e com certeza seu compromisso com o curso ´ grande. Sua forma¸˜o e cainicia nesta disciplina com a constru¸˜o de uma s´lida base de conhecimentos ca omatem´ticos e com o desenvolvimento de h´bitos necess´rios para ter sucesso a a ana empreitada. Essa bagagem toda, adquirida nesta disciplina, lhe ser´ ex- a 7 CEDERJ
  7. 7. tremamente util, tanto na vida profissional quanto na vida pessoal. Mas ´ ´ e importante salientar algumas daquelas caracter´ ısticas t˜o necess´rias para se a a ter sucesso nessa forma de aprendizagem. Entre outras coisas pode-se mencionar a importˆncia de se ter for¸a a c de vontade, autodisciplina e dedica¸˜o. Organiza¸˜o tamb´m ´ fundamental. ca ca e e Vamos nomear algumas sugest˜es que ser˜o uteis: o a ´ ´ • Estude regularmente. E preciso que vocˆ fa¸a uma agenda de trabalho e c que lhe garanta um tempo espec´ıfico para o estudo. Isso significa que vocˆ n˜o pode estudar somente quando “tiver” tempo. Somos n´s os e a o respons´veis pelo nosso tempo. a • Consulte a tutoria para tirar d´vidas. A sua presen¸a `s se¸˜es de u c a co tutoria e a forma¸˜o de grupos de estudo s˜o ferramentas poderosas ca a que vocˆ disp˜e para progredir no curso. e o • Busque apoio na execu¸˜o das atividades propostas. A tutoria a distˆncia ca a tem um papel importante a cumprir no seu programa de estudos. Ela lhe dar´ uma maior agilidade para debelar d´vidas e isso ´ um privil´gio a u e e acess´ aos alunos do ensino a distˆncia. ıvel a • Estamos sempre trabalhando para que o material did´tico disponibili- a zado seja de qualidade e lhe dˆ um caminho seguro para a constru¸˜o e ca do seu conhecimento. • O trabalho semanal com os EPs, Exerc´ ıcios Programados, que ser˜oa disponibilizados todas as semanas, e a posterior an´lise dos correspon- a dentes gabaritos, o ajudar˜o a estar em dia com os estudos. Esse tra- a balho lhe permitir´ tra¸ar um mapa do curso, pelo qual vocˆ precisa a c e navegar. Ele lhe indicar´ os temas semanais que vocˆ precisa estudar, a e determinar´ os exerc´ a ıcios t´ ıpicos que vocˆ n˜o deve deixar de fazer, e a marcando um ritmo de estudo e progresso que vocˆ deve tentar manter. e Matem´tica, uma grande op¸˜o! a ca Vamos falar agora um pouco sobre Matem´tica, que j´ foi chamada a a “a rainha das ciˆncias”. e A Matem´tica desempenha um papel fundamental no desenvolvimento a cient´ıfico e tecnol´gico de nossa sociedade. Assim, maior ´ a nossa respon- o e sabilidade de contribuir para uma boa forma¸˜o nessa ´rea. ca aCEDERJ 8
  8. 8. H´ muita coisa a respeito da Matem´tica que a maioria das pessoas a adesconhece. O conhecimento delas pode mudar muito a nossa perspectivadessa ciˆncia, sempre respeitada, mas nem sempre devidamente estimada. eE, como vocˆ sabe, a motiva¸˜o ´ fundamental para o aprendizado. e ca e No intuito de contribuir positivamente a esse respeito, ressaltamos al-guns pontos importantes para sua reflex˜o. a • A matem´tica n˜o lida apenas com n´meros, ela lida com n´meros, a a u u formas, rela¸˜es, argumenta¸˜es, enfim, lida com diversas id´ias e suas co co e inter-rela¸˜es. co • Estabelecer a verdade ´ o fim principal de qualquer tipo de ciˆncia. e e Chegar `quilo a que chamamos “verdade cient´ a ıfica”. Fundamental a respeito disso ´ a maneira como, no ˆmbito de cada atividade cient´ e a ıfica, se estabelece a verdade. Na Matem´tica, a “verdade” ´ estabelecida a partir de um conjunto de a e afirma¸˜es, chamadas de axiomas. Uma vez estabelecidas essas “verda- co des fundamentais”, usamos regras da l´gica para deduzir ou estabelecer o ´ todas as outras verdades. E o que chamamos “m´todo dedutivo”. Em e outras ciˆncias, a no¸˜o de verdade ´, em geral, estabelecida por expe- e ca e ´ rimentos. E por isso que, em muitos casos, uma nova teoria toma o lugar da anterior, que j´ n˜o consegue explicar os fenˆmenos que prevˆ a a o e ou em fun¸˜o do desenvolvimento de novas t´cnicas. Isso n˜o ocorre ca e a na Matem´tica, onde o conhecimento ´ sempre acumulativo. Esse fato a e distingue a Matem´tica das demais ciˆncias. a e • A principal atividade dos matem´ticos ´ resolver problemas. Podemos a e afirmar at´ que um matem´tico feliz ´ um matem´tico que acabou de e a e a resolver um bom problema e, ao fazer isso, descobriu mais uma por¸˜o ca de novos problemas para pensar. • Matem´tica tamb´m ´ sinˆnimo de diversidade. Em muitas l´ a e e o ınguas a palavra matem´tica ´ usada no plural. H´ tantas ramifica¸˜es e sub- a e a co a ´reas na matem´tica contemporˆnea que ´ imposs´ a a e ıvel acompanhar o desenvolvimento em todas as frentes de pesquisa. A matem´tica en- a contra inspira¸˜o para seu desenvolvimento nas mais diversas ´reas de ca a atua¸˜o humana. Uma boa id´ia pode surgir tanto em um problema mo- ca e tivado intrinsecamente na matem´tica como em uma situa¸ao pr´tica, a c˜ a ocorrida em algum campo fora dela. 9 CEDERJ
  9. 9. O que nos oferece a Matem´tica B´sica a a Nesta disciplina, Matem´tica B´sica, vocˆ ir´ rever alguns conceitos a a e a do Ensino Fundamental e M´dio. A diferen¸a aqui estar´ na forma da abor- e c a dagem que ser´ dada. Al´m de rever esses conceitos, de maneira efetiva, a e vocˆ construir´ uma atitude matem´tica profissional. A Matem´tica deixar´ e a a a a de ser um conjunto de regras e conven¸˜es e se desenvolver´ num conjunto co a sustentado de conhecimentos que se relacionam e se sustentam. Esperamos que ao final deste semestre vocˆ tenha sucesso e se sinta bastante confiante e para enfrentar os futuros desafios de seu curso. Para orientar seu estudo, a disciplina ´ apresentada em dois volumes, e cada um apresentando o conte´do program´tico sob a forma de aulas. Neste u a Volume I, que inicia a disciplina Matem´tica B´sica, revisaremos conte´dos a a u importantes do Ensino M´dio, entre as quais se destacam: Fra¸˜es, N´meros e co u Decimais, Potencia¸˜o, Radicia¸˜o, Equa¸˜es do Primeiro e Segundo Graus, ca ca co Inequa¸˜es, Progress˜es Aritm´tica e Geom´trica e Conjuntos. co o e e Elementos integrantes em todas as aulas s˜o os exemplos e as atividades a a serem resolvidas. Eles formam parte do conte´do e pontuam o encadea- u mento da disciplina. Assim, ´ importante que vocˆ entenda bem o desenvol- e e vimento dos exerc´ıcios e resolva todas as atividades. Bom estudo!! Conte sempre com nossa ajuda e nosso est´ ımulo. Sucesso! Roberto Geraldo Arnaut, Celso Costa, M´rio Olivero, Regina Moreth e Dirce Uesu Pesco. aCEDERJ 10
  10. 10. Fra¸oes c˜ ´ MODULO 1 - AULA 1 Aula 1 – Fra¸˜es co Os n´ meros est˜o no ˆmago de todas as coisas. u a a Pit´goras aIntrodu¸˜o ca A Matem´tica, na forma como conhecemos hoje, teve seu in´ a ıcio noPer´ıodo de Ouro da Antiga Gr´cia. Parte primordial deste desenvolvimento ese deve a um grupo de matem´ticos que foi liderado por Pit´goras, autor de a afrases famosas, como a que abre essa aula. Os gregos foram particularmente felizes ao estruturar os conhecimentosmatem´ticos desenvolvidos pelas civiliza¸˜es que os precederam, arrumando- a coos essencialmente nos moldes que praticamos at´ hoje. Eles tinham uma vis˜o e apredominantemente geom´trica desses conhecimentos, mas deram tamb´m os e eprimeiros passos no estudo dos n´meros. A palavra Aritm´tica, por exemplo, u e´ de origem grega.e Ao relermos a frase de Pit´goras mais uma vez, somos levados a conside- arar a seguinte quest˜o: que tipo de n´ meros ele tinha em mente ao pronunciar a ufrase t˜o lapidar? a A quest˜o procede, pois o conceito de n´ mero, como vemos hoje, de- a umorou muito tempo para se estabelecer e recebeu contribui¸˜es de muitas coculturas, por gera¸˜es e gera¸˜es de matem´ticos. co co a Por exemplo, os gregos n˜o tinham uma nota¸˜o espec´ a ca ıfica para repre-sentar os n´ meros, usavam letras, tais como os romanos depois deles. u A Matem´tica, assim como as ciˆncias em geral, n˜o teria se desenvol- a e avido da maneira como observamos hoje sem a contribui¸˜o inestim´vel das ca aculturas hindu e ´rabe, que nos legaram os algarismos hindu-ar´bicos, assim a acomo o sistema num´rico posicional. eN´ meros Naturais u Mas calma, voltemos um pouco, aos n´ meros tais como foram inici- ualmente concebidos. Na forma mais primitiva, quando dizemos n´meros, uestamos nos referindo aos n´ meros chamados naturais, cujo conjunto repre- usentamos pela letra N: N = { 1, 2, 3, 4, . . . } Os pontinhos indicam que podemos continuar assim, outro n´mero e uoutro ainda, indefinidamente. Ou seja, o conjunto N ´ um manancial ines- egot´vel dessa mat´ria prima que usamos na confec¸˜o da Matem´tica. a e ca a 11 CEDERJ
  11. 11. Fra¸oes c˜ Preferimos n˜o incluir o zero nesse conjunto, uma vez que o zero, a n´ mero t˜o importante nas nossas vidas e na Matem´tica, custou bastante u a a para se estabelecer. A propriedade fundamental geradora dos N´ meros Naturais ´ a que u e cada um deles tem um sucessor. Essa no¸˜o ´ formalizada nos dois axiomas ca e conhecidos como Axiomas de Peano. O primeiro estabelece a existˆncia do e n´ mero natural 1 (afinal, ´ preciso come¸ar de alguma coisa) e o segundo u e c afirma que todo n´ mero natural tem um sucessor. Assim, come¸amos com u c 1, cujo sucessor ´ 2, seguido do 3, e assim por diante. e O que mais podemos fazer com os naturais? ´ E claro que a seq¨ˆncia de n´ meros naturais serve primordialmente ue u para contar coisas, tais como carneiros, frutas, flechas, dias e tudo o mais. Mas queremos mais do que isso. Veja, n˜o se deixe enganar pela simplicidade a desses n´ meros. u O que torna os n´ meros inteiros objetos matem´ticos de grande inte- u a resse ´ o fato de podermos operar com eles, somando-os e multiplicando-os. e Munido dessas duas opera¸˜es, o conjunto dos n´ meros naturais passa a apre- co u sentar quest˜es v´rias. Algumas delas continuam a desafiar mentes brilhantes o a at´ hoje. e Um teorema not´vel a Esse especial interesse matem´tico pelos n´ meros naturais ocorre es- a u pecialmente devido ` multiplica¸˜o. Nesse contexto surge um dos primeiros a ca resultados matem´ticos profundos com que tomamos contato. Do ponto de a vista da multiplica¸˜o, os n´ meros maiores do que 1 se dividem em duas ca u categorias: primos e compostos, dependendo de seus divisores. O teorema que mencionamos afirma que todo n´ mero natural, maior do que dois, se u decomp˜e em fatores primos e, mais ainda, a decomposi¸˜o ´ unica, a menos o ca e ´ da ordem dos fatores. Em linguagem informal, o teorema afirma que, do ponto de vista da multiplica¸˜o, todos os n´ meros podem ser montados a partir de ca u pe¸as b´sicas, os n´ meros primos, como um infinito brinquedo lego. Assim, c a u 6 = 2 × 3, 30 = 2 × 3 × 5, 121 = 112 , 660 = 22 × 3 × 5 × 11 e 47 = 47, pois 47 ´, ele pr´prio, um n´ mero primo. e o u Esse resultado matem´tico era conhecido pelos antigos gregos (vocˆ a e sabe o que ´ o crivo de Erat´stenes?) mas s´ foi rigorosamente demonstrado e o o 12 bem posteriormente, por Gauss, um dos maiores matem´ticos de todos os aCEDERJ
  12. 12. Fra¸oes c˜ ´ MODULO 1 - AULA 1 tempos. Seu nome cient´ ıfico ´ Teorema Fundamental da Aritm´tica. Mas, e e n˜o se preocupe com isso agora, haver´ tempo para ele no futuro. Mas, a a para que vocˆ n˜o fique apenas lendo, temos aqui duas atividades. Vocˆ e a e encontrar´ as solu¸˜es no fim da aula. a co Atividade 01 Explique de maneira convincente o porque dos n´ meros 1134 e 53172 u serem divis´ ıveis por 9. Atividade 02 Por que ´ dif´ decompor o n´ mero 97343 em fatores primos? e ıcil u Dois velhos conhecidos . . . Atrav´s da decomposi¸˜o em fatores primos podemos chegar a dois e ca importantes conceitos associados a dois n´ meros dados, digamos a e b: o u m´ınimo m´ltiplo comum, mmc(a, b), e o maior divisor comum, mdc(a, b). u Para que servem esses n´ meros? u Deve haver uma boa resposta para essa pergunta, uma vez que nos ensinam a determin´-los desde os primeiros passos na escola... Bem, eles a servem para efetuar certas opera¸˜es de maneira ´tima! co o Como calcul´-los? a Se sabemos a decomposi¸˜o em fatores primos dos n´ meros a e b, ´ ca u e muito f´cil: para o mmc basta tomar os fatores primos que comparecem em a pelo menos um dos dois n´ meros (levando em conta a maior potˆncia, caso u e ele compare¸a tanto em a como em b); para o mdc basta tomar os primos c que aparecem simultaneamente nos dois n´ meros (levando em conta a menor u potˆncia, caso ele compare¸a tanto em a como em b). Veja dois exemplos na e c tabela a seguir. a b mdc(a, b) mmc(a, b) 6=2×3 15 = 3 × 5 3 2 × 3 × 5 = 301050 = 2 × 3 × 52 × 7 3 280 = 2 × 5 × 7 70 = 2 × 5 × 7 4200 = 23 × 3 × 52 × 7 Como os antigos matem´ticos faziam? a Os antigos gregos j´ conheciam algoritmos para calcular o mdc e o mmc a de pares de n´ meros. A id´ia do algoritmo se baseia no seguinte fato: u e Se r ´ o resto quando a ´ dividido por b, ent˜o mdc(a, b) = mdc(b, r). e e a Assim, usando divis˜es sucessivas, chegamos ao mdc. Veja, por exem- o plo, como calculamos o maior divisor comum de 72 e 30. 13 CEDERJ
  13. 13. Fra¸oes c˜ Num diagrama de trˆs linhas, colocamos os n´ meros 72 e 30 na linha e u do meio. Ao alto de 30 colocamos a parte inteira da divis˜o (Algoritmo de a Euclides) de 72 por 30 e sob o 72 colocamos o resto desta divis˜o. a 2 72 30 12 No segundo passo, colocamos o resto da primeira divis˜o ao lado do 30 a e repetimos a opera¸˜o: ca 2 2 72 30 12 12 6 Como todo algoritmo, basta prosseguir repetindo os passos at´ . . . e 2 2 2 72 30 12 6 12 6 0 O que aconteceu de diferente nessa etapa do algoritmo? Vocˆ notou e que o resto desta vez ´ igual a zero. Bom, isso indica que chegamos ao fim e do processo e o n´ mero obtido nesta etapa, 6, ´ o mdc: mdc(72, 30) = 6. u e 3 2 Realmente, 72 = 2 × 3 e 30 = 2 × 3 × 5 e, portanto, mdc(72, 30) = 2 × 3. Pratique o algoritmo calculando mdc(450, 105). Agora, um algoritmo para o c´lculo do mmc. Ele lembra bastante a o conhecido algoritmo de decomposi¸˜o em fatores primos. A diferen¸a ´ ca c e que efetuamos a decomposi¸˜o dos dois n´ meros simultaneamente. Veja, na ca u pr´tica, o c´lculo de mmc(132, 124). a a 132 126 2 66 63 2 33 63 3 11 21 3 mmc(132, 126) = 22 × 32 × 7 × 11 = 2772 11 7 7 11 1 11 1 1 Vocˆ pode usar essa t´cnica para calcular o mmc de mais do que dois e e n´ meros. S´ para ter certeza, vocˆ n˜o gostaria de calcular mmc(297, 140, 90)? u o e aCEDERJ 14
  14. 14. Fra¸oes c˜ ´ MODULO 1 - AULA 1Por que representamos os inteiros pela letra Z? Os n´ meros naturais n˜o nos permitem representar certas situa¸˜es im- u a coportantes, como as que envolvem perdas e preju´ ızos. Mais ainda, h´ situa¸˜es a conas quais sentimos a necessidade de estender os n´ meros naturais a um con- ujunto, digamos assim, mais completo. Por exemplo, a equa¸ao x + 5 = 3 c˜n˜o tem solu¸˜o no conjunto dos n´ meros naturais. Assim, a Matem´tica a ca u ademanda o que chamamos conjunto dos n´meros inteiros: u Z = { . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }. Vocˆ sabe por que representamos os inteiros pela letra Z no lugar de ealgo como I? Bem, como vocˆ deve saber, a Teoria de Conjuntos foi criada por Georg eCantor, que falava alem˜o. A palavra para n´ meros em alem˜o ´ Zahlen. a u a eAtividade 03 Quais das seguintes equa¸˜es podem ser resolvidas no ˆmbito dos n´ meros co a unaturais? E no ˆmbito dos n´ meros inteiros? a u a) x + 2 = 7 c) 3x + 7 = 4 e) 2x + 5 = 7 b) x + 4 = 1 d) 2x + 4 = 8 f) 2x + 6 = 13Os N´ meros Racionais u Como vocˆ deve ter notado, ao fazer a atividade anterior, h´ situa¸˜es e a conas quais nem mesmo o conjunto dos inteiros permite considerar. Em con-trapartida aos n´ meros inteiros dever´ u ıamos considerar os n´ meros quebrados, un˜o ´ mesmo? a e Realmente, h´ situa¸˜es tanto no ˆmbito da Matem´tica quanto no a co a acaso de situa¸˜es, digamos assim, do dia-a-dia, nas quais lan¸amos m˜o da co c ano¸˜o de propor¸˜o. Veja o exemplo a seguir. ca caExemplo 01 Na figura a seguir, determine o comprimento do segmento AB. B N˜o ´ preciso ser gˆnio para concluir que o a e e comprimento do segmento AB ´ 4 unida- e des de comprimento, pois o fato de que, em triˆngulos semelhantes, lados corres- a pondentes s˜o proporcionais. Assim, AB a 2 ´ 4 unidades de comprimento, pois 1 est´ e a O A para 2 assim como 2 est´ para 4. a 1 1 Essa essˆncia da propor¸˜o ´ que queremos registrar numericamente. e ca e 15 CEDERJ
  15. 15. Fra¸oes c˜ Exemplo 02 Desde os prim´rdios os cozinheiros, os construtores e tantos outros pro- o fissionais tˆm usado essa no¸˜o de propor¸˜o em seus afazeres. Algo como: e ca ca “cinco medidas de ´gua para duas medidas de arroz” ou “uma medida de a cimento para seis de areia”. Seguindo essa receita podemos variar a quanti- dade daquilo que queremos preparar, seja arroz para duas pessoas, seja arroz para uma fam´ de doze pessoas, contanto que mantenhamos a propor¸˜o ılia ca 5 : 2 (cinco por dois). O que ´ um n´mero racional? e u Tornando uma hist´ria longa mais curta, queremos nos referir nume- o ricamente a propor¸˜es tais como as que foram exemplificadas: 1 : 2, 5 : 2 co ou 1 : 6 e assim por diante. Isto ´, propor¸˜es nas quais comparamos dois e co n´ mero inteiros. Para isso, ´ claro, precisamos de dois n´ meros inteiros, a e u e u b, com a propriedade importante de que b = 0, e representamos a propor¸˜o ca a a : b pela nota¸˜o . ca b Tudo muito bem, com o seguinte cuidado: devemos levar em conta que, por exemplo, 1 : 2 e 2 : 4 representam a mesma propor¸˜o. Assim, na vers˜o ca a 1 2 num´rica, e s˜o iguais. e a 2 4 Ufa! Podemos ent˜o dizer que um n´ mero racional ´ representado por a u e a uma fra¸˜o do tipo , na qual a e b s˜o n´ meros inteiros com b = 0 e que ca a u b duas fra¸˜es representam o mesmo n´ mero se, e somente se, satisfazem a co u seguinte rela¸˜o de igualdade: ca a c = ⇐⇒ a · d = c · b. b d Assim, obtemos o conjunto representado por Q, como uma esp´cie de e n extens˜o dos inteiros. Ou seja, se estabelecermos que, se n ∈ Z, ent˜o n = , a a 1 temos Z ⊂ Q. Atividade 04 Use a defini¸˜o anterior de igualdade de n´ meros racionais para verificar ca u 3 −3 que = . −5 5 −a a a Assim, de um modo geral, = , que denotamos por − . b −b b Atividade 05 2 1 Determine o valor de x tal que = . x−1 3CEDERJ 16
  16. 16. Fra¸oes c˜ ´ MODULO 1 - AULA 1Nota¸˜o ca Dado um par de n´ meros inteiros a e b, com b = 0, obtemos o n´ mero u u aracional e chamamos a de numerador e b de denominador. A palavra bfra¸˜o tamb´m ´ usada, mas serve para contextos mais gerais, nos quais ca e enumeradores e denominadores s˜o outros objetos matem´ticos e n˜o apenas a a a πn´ meros inteiros. Por exemplo, vocˆ deve ter ouvido falar da fra¸˜o ou da u e ca √ 2 2fra¸˜o ca . Mas, por enquanto, tomaremos o termo fra¸˜o por sinˆnimo de ca o 2n´ mero racional. uLeitura de uma fra¸˜o ca Na tabela abaixo indicamos, para cada n´ mero de partes iguais em que ufoi dividida a unidade, o nome de cada parte. N´ mero de u Nome de N´ mero de u Nome de partes cada parte partes cada parte 2 −→ meio 9 −→ nono 3 −→ ter¸o c 10 −→ d´cimo e Curiosidade 4 −→ quarto 11 −→ onze avos Os homens da idade da Pedra n˜o usavam fra¸oes. O con- a c˜ 5 −→ quinto 12 −→ doze avos ceito de fra¸ao tornou-se ne- c˜ 6 −→ sexto 13 −→ treze avos cess´rio com a evolu¸ao dos a c˜ conhecimentos. 7 −→ s´timo e 100 −→ cent´simoe Os antigos eg´ ıpcios tinham 8 −→ oitavo 1000 −→ mil´simoe uma nota¸ao especial de c˜ fra¸ao com numerador 1. A c˜ Para efetuar a leitura de uma fra¸˜o vocˆ deve ler o numerador e, em ca e 1 fra¸ao , por exemplo, era in- c˜seguida, o nome de cada parte. Este ultimo depende do n´ mero de partes ´ u 3 dicada colocando-se sobre oem que foi dividida a unidade, isto ´, do denominador da fra¸˜o. e ca inteiro 3 um sinal oval alon- gado: ; os babilˆnios usa- oExemplos: vam fra¸oes com denomina- c˜ 1 1 dores 60, 602 , 603 , etc; j´ os a lˆ-se “um meio” e lˆ-se “um quinze avos” e romanos usavam fra¸oes com c˜ 2 15 denominador 12. 3 7 A nossa maneira atual de re- lˆ-se “trˆs quintos” e e lˆ-se “sete d´cimos” e e 5 10 presentar fra¸ao, por meio de c˜ uma barra, surgiu no s´culo e 8 49 lˆ-se “oito onze avos” e lˆ-se “quarenta e nove cent´simos” e e XVI. 11 100Exerc´ ıcios 1. Qual a fra¸˜o representada pela parte sombreada de cada figura? ca a) b) c) d) 17 CEDERJ
  17. 17. Fra¸oes c˜ 7 2. Jo˜o acertou a dos 15 problemas de uma prova. Responda: 15 a) quantos problemas ele acertou? b) quantos problemas ele errou? c) que fra¸˜o representa o n´ mero de problemas que ele errou? ca u 3. Uma estante ´ formada por 9 prateleiras. Se enchermos 3 prateleiras e de livros, que fra¸˜o da estante n˜o foi aproveitada? ca a 4. Escreva como vocˆ lˆ as fra¸˜es: e e co 3 2 11 27 51 a) b) c) d) e) 5 10 50 100 1000 5. Determine 2 1 3 5 a) de 20 b) de 40 c) de 32 d) de 14 5 4 4 7 1 6. Se de um n´ mero ´ 5, qual ´ esse n´ mero? u e e u 3 3 1 7. Se de um n´ mero ´ 30, quanto ´ desse n´ mero? u e e u 5 5 3 8. Uma escola tem 40 professores, dos quais s˜o mulheres. Determine a 8 o n´ mero de professoras dessa escola. u Gabarito 3 3 1 5 1. a) b) c) d) 4 5 2 9 8 2. a) 7 b) 8 c) 15 6 3. 9 4. a) trˆs quintos e b) dois d´cimos e c) onze cinq¨ enta avos u d) vinte e sete cent´simos e e) cinq¨ enta e um mil´simos u e 5. a) 8 b) 10 c) 24 d) 10 6. 15 7. 10 8. 15CEDERJ 18
  18. 18. Fra¸oes c˜ ´ MODULO 1 - AULA 1Tipos de Fra¸˜es co Observe os seguintes exemplos:1o ) Tomamos uma unidade, dividimos em quatro partes iguais e tomamosuma delas. 1 4 1 Encontramos essa fra¸˜o ca em que o numerador ´ menor que o e 4denominador. Fra¸˜es assim s˜o chamadas de fra¸˜es pr´prias. co a co o2o ) Tomamos outras duas unidades, dividimos cada uma delas em quatropartes iguais e tomamos cinco delas. 5 4 5 Encontramos uma fra¸˜o ca em que o numerador ´ maior que o e 4denominador. Fra¸˜es assim s˜o chamadas fra¸˜es impr´prias. co a co o 5 1 Note que ´ o mesmo que uma unidade inteira e mais da unidade. e 4 4 5 1 5 1Por isso dizemos que ´ o mesmo que 1 inteiro e . Indicamos: = 1 + . e 4 4 4 4 1 1 Outra maneira de indicar 1 + ´ 1 . e 4 4 1 A forma 1 lˆ-se “um inteiro e um quarto”. e 4 1 A forma 1 , composta de uma parte inteira e outra fracion´ria, ´ cha- a e 4 5mada forma mista para representar . 4 Podemos passar uma fra¸˜o impr´pria para a forma mista sem recorrer ca oa desenhos ou figuras. 19 CEDERJ
  19. 19. Fra¸oes c˜ 21 Exemplo: Passar para a forma mista. 6 21 Devemos descobrir quantas unidades inteiras est˜o contidas em a e 6 quantos sextos sobram depois da separa¸˜o dessas unidades. ca Descobrimos isso dividindo 21 por 6 21 6 21 3 3 → unidades inteiras contidas em 6 ↑ n´ mero de sextos u que sobram 21 3 Ent˜o a =3 . 6 6 Transformar um n´ mero misto em fra¸˜o impr´pria. u ca o Exemplos: 2 2 3 2 5 1) 1 =1+ = + = 3 3 3 3 3 3 3 5 5 3 10 3 13 2) 2 =1+1+ = + + = + = 5 5 5 5 5 5 5 5 1 4 4 4 4 4 1 20 1 21 3) 5 = + + + + + = + = 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3o ) Tomamos duas unidades, dividimos cada uma delas em quatro partes iguais e tomamos as oito partes. 8 4 8 Encontramos uma fra¸˜o ca em que o numerador ´ m´ ltiplo do de- e u 4 8 nominador. Fra¸˜es assim s˜o chamadas fra¸˜es aparentes. Note que ´ o co a co e 4 mesmo que 2 unidades inteiras, isto ´, 2 inteiros. e 8 Indicamos: = 2 4 A fra¸˜o aparente ´ uma outra forma de representar o n´ mero natural 2. ca e u 3 4 5 23 , , , s˜o fra¸˜es aparentes que representam o n´ mero natural 1. a co u 3 4 5 23CEDERJ 20
  20. 20. Fra¸oes c˜ ´ MODULO 1 - AULA 1 As fra¸˜es podem ser classificadas em trˆs categorias. co e * Fra¸˜es Pr´prias → s˜o aquelas em que o numerador ´ menor que o co o a e denominador * Fra¸˜es Impr´prias → s˜o aquelas em que o numerador ´ maior ou co o a e igual ao denominador. * Fra¸˜es Aparentes → s˜o as fra¸˜es impr´prias em que o numerador ´ co a co o e m´ ltiplo do denominador. u As fra¸˜es aparentes podem ser escritas na forma de n´ mero natural. co uAs fra¸˜es impr´prias e n˜o aparentes podem ser escritas na forma mista. co o aExerc´ ıcios 1. Classifique cada uma das fra¸˜es em pr´prias (P), impr´prias (I) ou co o o aparentes (A). 8 18 2 32 57 a) b) c) d) e) 4 1 13 5 2 2. Escreva na forma mista as seguintes fra¸˜es impr´prias: co o 3 8 13 31 57 a) b) c) d) e) 2 3 4 6 11 3. Transforme cada n´ mero misto em fra¸˜o impr´pria: u ca o 1 1 3 1 3 a) 3 b) 4 c) 1 d) 5 e) 6 4 3 5 2 8 4 4. Em uma cidade, dos 280 ve´ ıculos existentes s˜o autom´veis e os a o 5 demais s˜o caminh˜es. Quantos caminh˜es h´ nessa cidade? a o o a 3 5. Jos´ possui R$ 480,00 e isto equivale a de sua d´ e ıvida na lanchonete 4 de Manoel. Quanto Jos´ deve a lanchonete? eGabarito 1. a) A b) A c) P d) I e) I 1 2 1 1 2 2. a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 5 2 3 4 6 11 13 13 8 11 51 3. a) b) c) d) e) 4 3 5 2 8 21 CEDERJ
  21. 21. Fra¸oes c˜ 4 4. Observe que se s˜o autom´veis e o restante s˜o caminh˜es ent˜o a o a o a 5 5 representamos todos os ve´ıculos por 5 5 4 1 A fra¸˜o que representa o n´ mero de caminh˜es ´ − = ca u o e 5 5 5 N´ mero total de ve´ u ıculos: 280 1 1 de 280 – n´ mero total de caminh˜es → 280 = 56 u o 5 5 3 5. Vamos representar a d´ ıvida de Jos´ por x. Logo, temos que e x = 480 4 Ent˜o a 3x = 4 · 480 = 1920 x = 1920 : 3 = 640 Portanto, Jos´ deve R$ 640,00 a lanchonete. e Fra¸˜es Equivalentes co Note estas a¸˜es: co A¸˜o 1 ca A¸˜o 2 ca A¸˜o 3 ca Dividir uma pizza em Dividir uma pizza em Dividir uma pizza em duas partes iguais e quatro partes iguais e oito partes iguais e comer comer uma parte comer duas partes quatro partes iguais As a¸˜es acima s˜o diferentes, entretanto, as fra¸˜es obtidas represen- co a co tam a mesma parte do todo. Por esse motivo, dizemos que essas fra¸˜es se co 1 2 4 equivalem, isto ´, as fra¸˜es , e co e s˜o equivalentes. a 2 4 8 Fra¸˜es equivalentes s˜o fra¸˜es que representam a mesma parte do todo. co a co Obten¸˜o de fra¸˜es equivalentes ca co 1 Vamos obter fra¸˜es equivalentes ` fra¸˜o co a ca ? 3 1·1 1 1·2 2 1·3 3 1·4 4 = = = = 3·1 3 3·2 6 3·3 9 3·4 12 1 2 3 4 1 Assim, , , , s˜o algumas das fra¸˜es equivalentes a . a co 3 6 9 12 3CEDERJ 22
  22. 22. Fra¸oes c˜ ´ MODULO 1 - AULA 1 Para encontrar essas fra¸˜es equivalentes, multiplicamos o numerador co 1e o denominador da fra¸˜o por uma mesmo n´ mero natural diferente de ca u 3zero. a Note que para obter uma fra¸˜o equivalente ` fra¸˜o (b = 0) basta ca a ca bdividir (se poss´ ıvel) ou multiplicar o numerador e o denominador por ummesmo n´ mero natural, desde que ele seja diferente de zero. uSimplifica¸˜o de fra¸˜es ca co 6 1 1 Uma fra¸˜o equivalente a ca ´ . A fra¸˜o foi obtida dividindo-se e ca 12 2 2 6ambos os termos da fra¸˜o ca por 6. 12 1 6 Dizemos que a fra¸˜o ´ uma fra¸˜o simplificada de ca e ca 2 12 Uma fra¸˜o que n˜o pode ser simplificada ´ chamada de irredut´ ca a e ıvel. 1Por exemplo, a fra¸˜o n˜o pode ser simplificada, porque 1 e 2 n˜o pos- ca a a 2 1suem fator comum (mdc(1,2)=1). Podemos dizer, ent˜o, que ´ a fra¸˜o a e ca 2 6irredut´ de ıvel . 12Exerc´ ıcios 1 1. Quais das fra¸˜es s˜o equivalentes a co a ? 5 2 3 4 5 7 12 a) b) c) d) e) f) 10 12 18 25 30 60 2. Quais das fra¸˜es abaixo s˜o irredut´ co a ıveis? 1 7 15 24 12 a) b) c) d) e) 3 8 45 36 60 3. Encontre a fra¸˜o de denominador 20 equivalente a cada uma das se- ca guintes fra¸˜es: co 1 3 a) c) 5 2 1 400 b) d) 4 2000 4. As letras abaixo representam n´ meros. Quais s˜o esses n´ meros? u a u 4 a b 32 2 c a) = b) = c) = 6 18 5 20 5 50 23 CEDERJ
  23. 23. Fra¸oes c˜ Gabarito 1. a, d, f 2. a,b 4 5 30 4 3. a) b) c) d) 20 20 20 20 4. a) a = 12 b) b = 8 c)c = 20 Redu¸˜o de fra¸˜es a um mesmo denominador ca co 4 4 1 Observe as fra¸˜es , e . Elas tˆm denominadores diferentes. Vamos co e 3 5 6 procurar trˆs fra¸˜es, equivalentes `s trˆs fra¸˜es dadas, tendo todas o mesmo e co a e co denominador. O novo denominador ´ m´ ltiplo de 3, 5 e 6. O menor n´ mero e u u ´ o mmc(3,5,6) que ´ 30. e e 4 4 Estamos, ent˜o, com o problema - obter fra¸˜es equivalentes a , e a co 3 5 1 tendo todas elas denominador 30. 6 4 ? 4 40 = ⇒ o numerador ´ 4 · 10 = 40 ⇒ e = 3 30 3 30 4 ? 4 24 = ⇒ o numerador ´ 4 · 6 = 24 ⇒ e = 5 30 5 30 1 ? 1 5 = ⇒ o numerador ´ 1 · 5 = 5 e ⇒ = 6 30 6 30 Para reduzirmos duas ou mais fra¸˜es ao menor denominador comum: co 1o ) Calculamos o mmc dos denominadores, esse mmc ser´ o menor denomi- a nador comum; 2o ) Multiplicamos o numerador de cada fra¸˜o pelo quociente entre o deno- ca minador comum e o denominador inicial da fra¸˜o. ca Exerc´ ıcios 1. Reduza ao mesmo denominador comum. 3 5 12 3 a) e b) e 2 3 5 11 2 1 7 2 1 5 c) , e d) , e 5 3 6 7 6 9 2. Jo˜o e Maria v˜o repartir entre si um prˆmio da Loteria Federal. Jo˜o a a e a 2 ir´ receber do prˆmio e Maria R$ 1.500.000,00. Qual o valor total a e 5 do prˆmio? eCEDERJ 24
  24. 24. Fra¸oes c˜ ´ MODULO 1 - AULA 1Gabarito 9 10 132 15 12 10 35 36 21 70 1. a) e b) e c) , e d) , e 6 6 55 55 30 30 30 126 126 126 2. A fra¸˜o que representa o valor do prˆmio que ser´ recebido por Maria ca e a 5 2 3 ´ − = do total. Como ela ir´ receber R$ 1.500.000,00, ent˜o o e a a 5 5 5 3 valor total do prˆmio (x) pode ser determinado por x = 1.500.000, 00. e 5 Da´ı, 3x = 5 · 1.500.000, 00 = 7.500.000, 00 x = 7.500.000, 00 : 3 = 2.500.000, 00Compara¸˜o de Fra¸˜es ca co Comparar duas fra¸˜es significa estabelecer se elas s˜o iguais, ou n˜o. co a aSe forem diferentes, estabelecer qual delas ´ a maior. e1a Situa¸˜o: As fra¸˜es tˆm denominadores iguais. ca co e 2 4Exemplo: e 5 5 2 2 4 Usamos o s´ ımbolo “<” que 5 ´ menor que e significa “´ menor que” e o e 5 5 s´ ımbolo “>” que significa “´ e 2 4 maior que” 4 < 5 5 5 Quando duas fra¸˜es tem denominadores iguais, a maior delas ´ a que co e tem maior numerador.2a Situa¸˜o: As fra¸˜es tˆm denominadores diferentes. ca co e 6 4 Vamos comparar as fra¸˜es co e . 7 5 Vamos reduzir as fra¸˜es ao mesmo denominador. mmc(7,5)=35 co 30 28 e 35 35 30 28 6 4 Da´ como ı > temos que > . 35 35 7 5 Quando vamos comparar duas fra¸˜es que tˆm denominadores diferentes, co e reduzimos ao mesmo denominador e aplicamos a regra anterior. 25 CEDERJ
  25. 25. Fra¸oes c˜ Exerc´ ıcios 1. Compare entre si as fra¸˜es: co 7 1 1 1 2 3 3 5 41 43 a) e b) e c) e d) 2 e2 e) e 5 5 6 13 5 7 6 7 13 15 9 3 7 2. Qual o maior elemento do conjunto A = , , , 2 5 4 3 3 4 5 1 1 3. Coloque em ordem crescente as fra¸˜es: co , , , e 5 7 8 2 4 2 7 4. Em certa classe, dos alunos foram reprovados em Matem´tica e a 5 9 em Portuguˆs. Que mat´ria reprovou mais? e e 5 5. Num campeonato nacional o Fluminense ganhou dos pontos que 7 11 disputou, enquanto o Vasco ganhou . Qual dos dois obteve melhores 16 resultados? Gabarito 7 1 1 1 3 2 3 5 41 43 1. a) > b) > c) > d) 2 <2 e) > 5 5 6 13 7 5 6 7 13 15 7 2. 3 1 1 4 3 5 3. , , , , 4 2 7 5 8 2 18 7 35 35 18 4. Portuguˆs, pois mmc(5, 9) = 45, e = e = e > 5 45 9 45 45 45 5 80 11 77 80 77 5. Fluminense, pois mmc(7, 16) = 112, = e = e > 7 112 16 112 112 112 Adi¸˜o e subtra¸˜o de n´ meros fracion´rios ca ca u a 1o Caso: Denominadores iguais 3 1 No mercado gastei do que possuia em alimentos e em material de 5 5 limpeza. Quanto gastei da importˆncia que possuia? a Vamos representar graficamente. gasto em alimentos gasto com material de limpeza 3 1 5 5 3 1 4 Da´ + = (s´ observar o gr´fico) ı o a 26 5 5 5CEDERJ
  26. 26. Fra¸oes c˜ ´ MODULO 1 - AULA 1 A soma de fra¸˜es com denominadores iguais ´ uma fra¸˜o cujo denomi- co e ca nador ´ igual ao das parcelas e cujo numerador ´ a soma dos numeradores e e das parcelas. 4 1 No mercado gastei do que possuia em alimentos e em material de 6 6limpeza. Quanto gastei a mais em alimentos? Vamos representar graficamente. gasto com gasto com material 4 1 alimentos: de limpeza: 6 6 Observando o gr´fico vem: a 4 1 3 − = 6 6 6 A diferen¸a entre duas fra¸˜es com denominadores iguais ´ uma fra¸˜o c co e ca cujo denominador ´ igual ao das fra¸˜es dadas e cujo numerador ´ a e co e diferen¸a dos numeradores. c2o Caso: Denominadores diferentes Quando as fra¸˜es tem denominadores diferentes temos que, em pri- comeiro lugar, obter fra¸˜es equivalentes que tenham denominadores iguais. co 4 5Exemplo: + 10 6 4 8 12 16 20 24 4 , , , , , . . . s˜o fra¸˜es equivalentes a a co . 10 20 30 40 50 60 10 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 5 , , , , , , , , , . . . s˜o fra¸˜es equivalentes a . a co 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 6 Procurando as fra¸˜es equivalentes que tem o mesmo denominador e cousando a regra anterior vem: 12 25 37 24 50 74 37 + = ou + = = 30 30 30 60 60 60 30 Note que mmc(10,6)=30. Devemos, usando o mmc, determinar a fra¸˜o caequivalente com denominador 30. Quando vamos somar ou subtrair fra¸˜es que tem denominadores di- co ferentes, devemos primeiro reduz´ ı-las ao mesmo denominador e, depois, aplicar a regra anterior. 27 CEDERJ
  27. 27. Fra¸oes c˜ Exerc´ ıcios 1. Calcule: 3 1 5 2 3 a) + c) 3 − e) 4 +6 4 4 6 7 7 13 5 1 2 1 b) − d) 2 + + f) 5 − 4 4 4 4 4 9 2. Calcule: 1 1 1 4 2 6 3 a) + c) + + e) + 3 4 5 3 9 5 4 4 3 11 13 3 1 b) − d) + f) − 3 4 60 72 7 3 3. Calcule o valor de cada express˜o abaixo: a 4 1 5 1 a) − + − 3 5 4 3 1 1 4 1 b) 1 + − − − 3 5 3 2 1 1 1 c) 3 + 2 − 4 4 2 6 1 1 7 1 1 d) 3 −1 + 2 − − 2 −2 11 4 4 2 3 1 1 4. No s´ de Daniel, da planta¸˜o ´ de milho, ´ de feij˜o e o restante ıtio ca e e a 3 5 ´ de arroz. Qual ´ a fra¸˜o correspondente ` planta¸˜o de arroz? e e ca a ca 11 5. O censo revelou que, do total da popula¸˜o brasileira, ca s˜o brancos, a 20 10 s˜o morenos e negros e a fra¸˜o restante ´ de ra¸a amarela. a ca e c 25 Qual a fra¸˜o da popula¸˜o brasileira corresponde ` ra¸a amarela? ca ca a c Gabarito 13 11 75 8 1. a) 1 b) 2 c) d) e) f) 6 4 7 9 7 7 79 131 39 2 2. a) b) c) d) e) f) 12 12 45 360 20 21 123 9 19 80 3. a) b) c) d) 60 30 12 33CEDERJ 28
  28. 28. Fra¸oes c˜ ´ MODULO 1 - AULA 1 1 1 5 3 8 4. + = + = . 3 5 15 15 15 15 15 8 7 A planta¸˜o inteira corresponde a ca logo, temos de arroz − = 15 15 15 15 5 5. 100Multiplica¸˜o e divis˜o de n´ meros fracion´rios ca a u aMultiplica¸˜o ca Jo˜o tem um terreno quadrado de lados medindo 1 km. Ele precisa acercar uma parte desse terreno para o pasto de seu gado. Para isso, vai usar3 3 de um lado e do outro. Que fra¸˜o do terreno ser´ o pasto? Qual ser´ ca a a4 5a ´rea desse pasto? a 3 3 Como v˜o ser usados de um lado e do a 4 5 9 outro, o pasto ser´ a do terreno. (Observe 20 o gr´fico) aMas o terreno ´ quadrado e a ´rea de um quadrado ´: A = 1 km · 1 km = e a e 21 km . 9 9 Como o pasto ´ igual a e do terreno, sua ´rea ´ a e de 1 km2 , ou 20 20 9seja, km2 . Assim, a ´rea do pasto, que ´ um retˆngulo, pode ser obtida a e a 20aplicando a f´rmula: Aretˆngulo = b · h onde b → base e h → altura. o a 3 3 3 3 9 Da´ Aretˆngulo = ı a · km2 . Temos que · = . 4 5 4 5 20 Portanto para multiplicar duas fra¸˜es, basta multiplicar os numerado- cores entre si e os denominadores entre si.Exemplos: 3 5 3·5 15 5 3 7 21 1) · = = = 2) · = =1 4 6 4·6 24 8 7 3 21Observa¸˜o: Podemos evitar a simplifica¸˜o do produto de fra¸˜es se tomar- ca ca comos o cuidado de cancelar os fatores comuns ao numerador e denominadordas fra¸˜es que v˜o ser multiplicadas. co aExemplos: 8 4 40 32 1) · = 1 7 5 7 1 105 50 3 5 2) · = 12 2 5 1 42 29 CEDERJ
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