[ Www.nguoithay.com ] hon 250 bai phuong trinh va he phuong trinh 2012

www.nguoithay.com
BÀI GIẢI CHI TIẾT PHƢƠNG TRÌNH – HỆ PHƢƠNG TRÌNH . GIÚP ÔN THI ĐẠI HỌC
WWW.NGUOITHAY.COM HOẶC WWW.NGUOITHAY.ORG
2x  3  x  1  3x  2 2x2  5x  3  16 .

1/ Giải phƣơng trình:

Giải: Đặt t  2x  3  x  1 > 0. (2)  x  3
2/

Giải bất phƣơng trình:

21 x  2x  1
2x  1

Giải: 0  x  1

1
log
2


2

0

1
( x  3)  log4 ( x  1)8  3log8(4x) .
4

Giải: (1)  ( x  3) x  1  4x  x = 3; x = 3  2 3
4/ Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm x   0; 1  3  :



m







x2  2x  2  1  x(2  x)  0

(2)

t2  2
Giải:Đặt t  x  2x  2 . (2)  m 
(1  t  2),dox  [0;1  3]
t 1
2

Khảo sát g(t) 

t 2  2t  2
t2  2
 0 . Vậy g tăng trên [1,2]
với 1  t  2. g'(t) 
t 1
(t  1)2

2
t2  2
Do đó, ycbt  bpt m 
có nghiệm t  [1,2]  m  max g(t )  g(2) 
3
t 1
t1;2
5/ Giải hệ phƣơng trình :

 x4  4x2  y2  6y  9  0

 2
2
 x y  x  2y  22  0


(2)

( x 2  2)2  ( y  3) 2  4
 x2  2  u

. Đặt 
2
2
( x  2  4)( y  3  3)  x  2  20  0
y  3  v


Giải: (2)  

u 2  v 2  4

Khi đó (2)  

u  2
u  0
hoặc 
v  0
v  2

 

u.v  4(u  v)  8
 x  2  x  2  x  2  x   2


 
;
;
;
y  3 y  3 y  5 y  5




6/

1) Giải phƣơng trình: 5.32 x 1  7.3x 1  1  6.3x  9x 1  0 (1)
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phƣơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

Bài giảng trực tuyến bằng video tại www.nguoithay.com

www.nguoithay.com
log ( x  1)  log ( x  1)  log3 4
(a)

3
3

2
log2 ( x  2x  5)  mlog( x2 2x5) 2  5 ( b)

3
5

Giải: 1) Đặt t  3x  0 . (1)  5t 2  7t  3 3t 1  0  x  log3 ; x   log3 5
log 3 ( x  1)  log 3 ( x  1)  log 3 4 (a)
2) 

2
log 2 ( x  2 x  5)  m log ( x2  2 x 5) 2  5


(b)

 Giải (a)  1 < x < 3.
 Xét (b): Đặt t  log2 ( x2  2 x  5) . Từ x  (1; 3)  t  (2; 3).
(b)  t 2  5t  m . Xét hàm f (t )  t 2  5t , từ BBT  m   


25

; 6 
 4


7/ Giải hệ phƣơng trình:

8 x3 y 3  27  18 y 3

 2
2
4 x y  6 x  y


3

 
(2x)3   3   18
3

 y
Giải: (2)  
. Đặt a = 2x; b = . (2) 
y
2x. 3  2x  3   3


 y
y



a  b  3

ab  1

 3 5
6   3 5
6 
;
;
 ,

 4
3 5   4
3 5 



1
1
8/ Giải bất phƣơng trình sau trên tập số thực:
(1)

x  2  3 x
5  2x
1
Giải:  Với 2  x  : x  2  3  x  0, 5  2x  0 , nên (1) luôn đúng
2
1
5
5
 Với  x  : (1)  x  2  3  x  5  2 x  2  x 
2
2
2
1  5

Tập nghiệm của (1) là S   2;    2; 
2  2

2
 x  1  y ( y  x)  4 y

9/ Giải hệ phƣơng trình:  2
(x, y  )
( x  1)( y  x  2)  y


Hệ đã cho có nghiệm: 

 x2  1
 y x2  2
 x2  1

1
 x 1
 x  2
 y

Giải: (2)   2
 
hoặc 

y
y  2
 y5
 x  1 ( y  x  2)  1
y  x  2 1

 y


10/ Giải bất phƣơng trình:
Giải: BPT 
Đặt

log 2 x  log 2 x 2  3  5 (log 4 x 2  3)
2

log 2 x  log 2 x2  3  5(log 2 x  3) (1)
2

t = log2x. (1)  t 2  2t  3  5(t  3)  (t  3)(t  1)  5(t  3)


www.nguoithay.com
t  1
1

log 2 x  1
t  1

0  x  2
 
  t  3




3  t  4
3  log 2 x  4
2
 (t  1)(t  3)  5(t  3)
8  x  16

11/Giải phƣơng trình: log2 ( x2  1)  ( x2  5)log( x2  1)  5x2  0

Giải: Đặt log( x2  1)  y . PT  y 2  ( x2  5) y  5x2  0  y  5  y   x2 ;

8 1  2
x

3

2

x 1

Nghiệm: x   99999 ; x = 0

1

Giải: Đặt 2x  u  0; 3 2x 1  1  v .
x  0
u 3  1  2v
 3
u  v  0

u  1  2v
PT   3
 

 3
2
2
 x  log 1  5
v  1  2u
(u  v)(u  uv  v  2)  0
u  2u  1  0


2


2

 x2 y  x2  y  2

có ba nghiệm phân biệt
2
2
m  x  y   x y  4


13/ Tìm m để hệ phƣơng trình: 

(m  1) x 4  2(m  3) x 2  2m  4  0 (1)
Giải: Hệ PT   x 2  2
.

y  2
x 1

2 x 2  1  0
 Khi m = 1: Hệ PT   x 2  2

y  2
x 1


(VN )

 Khi m ≠ 1. Đặt t = x2 , t  0 . Xét f (t )  (m 1)t 2  2(m  3)t  2m  4  0 (2)
Hệ PT có 3 nghiệm phân biệt  (1) có ba nghiệm x phân biệt
 (2) có một nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t > 0 

 f (0)  0

 ...  m  2 .
2  m  3

0
S 
1 m


 x  y 1


14/ Tìm m để hệ phƣơng trình có nghiệm: 

 x x  y y  1  3m


u  v  1

.

u  v  1

.
uv  m
u  v  1  3m
x
15/ Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm: x( x  1)  4( x  1)
m
x 1

Giải: Đặt u  x , v  y (u  0, v  0) . Hệ PT  

Giải: Đặt t  ( x  1)

3

3

x
. PT có nghiệm khi t 2  4t  m  0 có nghiệm, suy ra m  4 .
x 1

Liên hệ www.nguoithay.org để xem bài giảng bằng video

3x.2x = 3x + 2x + 1


1
4

ĐS: 0  m  .

www.nguoithay.com
Giải: Nhận xét; x =  1 là các nghiệm của PT. PT  3x 

2x  1
.
2x  1

Dựa vào tính đơn điệu  PT chỉ có các nghiệm x =  1.
Giải

 x 2  y 2  xy  3

 2
2
 x 1  y 1  4


(a)
(b)

(b)  x2  y 2  2 ( x2  1).( y 2  1)  14  xy  2 ( xy)2  xy  4  11 (c)
p 3

2
 p  35
3 p  26 p  105  0

3

 p  11

Đặt xy = p. (c)  2 p 2  p  4  11  p  
(a)   x  y   3xy  3  p = xy = 
2

 xy  3

x y 3
x  y  2 3


1/ Với 

Vậy hệ có hai nghiệm là:



35
(loại)
3

 p = xy = 3  x  y  2 3
 xy  3

x y 3
 x  y  2 3


2/ Với 

3; 3  ,   3;  3 

1
2 2




18/ Giải bất phƣơng trình: log 2 (4 x 2  4 x  1)  2 x  2  ( x  2)log 1   x 
1
1
1

 x  hoặc x < 0
2

4
2
2
 x  1  y( x  y)  4 y

(x, y  )
 2
( x  1)( x  y  2)  y


Giải: BPT  xlog 2 (1  2x)  1  0  x   

 x2  1
 x y22

 y
Giải: y = 0 không phải là nghiệm. Hệ PT   2
 x  1 ( x  y  2)  1
 y


x2  1
Đặt u 
, v  x  y  2 . Ta có hệ
y

 x2  1
1
u  v  2

 u  v 1   y

uv  1
x  y  2  1


Nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (–2; 5).
20/ Tìm m sao cho phƣơng trình sau có nghiệm duy nhất: ln(mx)  2ln( x  1)
Giải: 1) ĐKXĐ: x  1, mx  0 . Nhƣ vậy trƣớc hết phải có m  0 .
Khi đó, PT  mx  ( x  1)2  x2  (2  m) x  1  0
(1)
2
Phƣơng trình này có:   m  4m .
 Với m  (0;4)   < 0  (1) vô nghiệm.
 Với m  0 , (1) có nghiệm duy nhất x  1 < 0  loại.
 Với m  4 , (1) có nghiệm duy nhất x = 1 thoả ĐKXĐ nên PT đã cho có nghiệm duy nhất.
 Với m  0 , ĐKXĐ trở thành 1  x  0 . Khi đó   0 nên (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2  .
Mặt khác, f (1)  m  0, f (0)  1  0 nên x1  1  x2  0 , tức là chỉ có x2 là nghiệm của phƣơng trình
đã cho. Nhƣ vậy, các giá trị m  0 thoả điều kiện bài toán.


www.nguoithay.com
 Với m  4 . Khi đó, điều kiện xác định trở thành x > 0 và (1) cũng có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2  x1  x2  . Áp dụng định lý Viet, ta thấy cả hai nghiệm này đều dƣơng nên các giá trị m  4 cũng
bị loại.
Tóm lại, phƣơng trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: m  (;0)  4 .
 x 2  91  y  2  y 2 (1)

 2
 y  91  x  2  x 2 (2)



Giải: Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta đƣợc:
x2  91  y 2  91  y  2  x  2  y 2  x 2


x2  y 2
x  91  y  91
2

2

yx
 ( y  x)( y  x)
y2  x2





x y
1
 ( x  y) 

 x  y  0
 x 2  91  y 2  91

x2  y2



 x = y (trong ngoặc luôn dƣơng và x và y đều lớn hơn 2)
x2  91  x  2  x 2  x2  91  10  x  2  1  x 2  9

Vậy từ hệ trên ta có:


x2  9
x 2  91  10







1
1
 1 
0
 ( x  3)( x  3)  ( x  3)  ( x  3)  2

x  2 1
x  2 1
 x  91  10 


x=3
x 3

Vậy nghiệm của hệ x = y = 3
22/ Giải bất phƣơng trình: log2 ( 3x  1  6)  1  log 2 (7  10  x )
1
  x  10
Giải: Điều kiện: 3

BPT 

log 2

3x  1  6
3x  1  6
 log 2 (7  10  x )
 7  10  x
2
2


3x  1  6  2(7  10  x ) 
369
 1 ≤ x ≤ 49 (thoả)



Giải:
Đặt:

3x  1  2 10  x  8  49x2 – 418x + 369 ≤ 0

2 x  1  x x2  2  ( x  1) x 2  2 x  3  0

 v2  u 2  2x  1
2
u  x 2  2, u  0
 2

u  x  2

 2


v2  u 2  1
2
2
v  x  2 x  3  x 2 
v  x  2 x  3, v  0


2

v  u  0

 v  u  1
(v  u )  (v  u )  1 
0 

 (v  u )  1  v  u   1  0
2  2






2  2


PT 

Vì u > 0, v > 0, nên (c) vô nghiệm.

(b)
(c )

www.nguoithay.com
v  u  0  v  u  x2  2x  3  x2  2  x  

Do đó: PT 

1
2

x 2  3x  2  2 x 2  3x  1  x  1

1

 ;   1   2;  
2
Giải: Tập xác định: D = 

 x = 1 là nghiệm

 x  2: BPT  x  2  x  1  2 x  1 vô nghiệm
1
1

2  x  1  x  1  2 x có nghiệm x 2
 x 2 : BPT 
1

 ;   1
2
 BPT có tập nghiệm S= 


Giải:
Điều kiện:

x

x2  2( x  1) 3x  1  2 2 x2  5x  2  8x  5 .

1
3.

2
2
2
2
2

 

PT  ( x  1)  2( x  1) 3x  1   3x  1     x  2   2 2 x  5x  2   2 x  1    0

26/ Giải

hệ phƣơng trình:

 x3  6x2 y  9xy2  4y3  0


 xy  x y 2


Giải:
 x3  6x2 y  9xy2  4y3  0


 xy  x y  2


(1)
x  y
(2) . Ta có: (1)  ( x  y)2 ( x  4y)  0   x  4y


 Với x = y:

(2)  x = y = 2

 Với x = 4y:

(2)  x  32  8 15; y  8  2 15


x2  3x  1   tan


6

x2  x2  1

Giải:
PT 

x2  3x  1  

3 4
x  x2  1
3
(1)

4
2
2
2
2
2
2
Chú ý: x  x  1  ( x  x  1)( x  x  1) , x  3x  1  2( x  x  1)  ( x  x  1)

Do đó: (1) 

2( x2  x  1)  ( x2  x  1)  

2
Chia 2 vế cho x  x  1 





x2  x  1

3
( x2  x  1)( x2  x  1)
3
.
t

2

và đặt


x2  x  1
x2  x  1

,t0

www.nguoithay.com

3
0
t 
2 3

t  1
3
2t 2 
t 1  0

3
3
Ta đƣợc: (1) 
 

 x2  5x  y  9

28/ Giải hệ phƣơng trình:  3 2
2
3x  x y  2xy  6x  18

 y  9  x2  5x

 4
3
2

Giải: Hệ PT   x  4x  5x  18x+18  0 
 x  1; y  3
 x  3; y  15

 x  1  7; y  6  3 7

  x  1  7; y  6  3 7

x2  x  1
x  x 1
2



1
3  x  1.

 y  9  x2  5x

 x  1

  x  3
  x  1  7


x  3  x  12  2x  1

Giải: BPT  3  x  4 .

 x  2y  xy  0

30/ Giải hệ phƣơng trình: 
.
 x  1  4y  1  2








 x y
 x 2 y  0
x 2 y  0


 x  4y





Giải : Hệ PT   x  1  4y  1  2
  x  1  4y  1  2   4y  1  1
x  2

1

y  2
 
8x3y3  27  7y3
(1)

4x2y  6x  y2
(2)

Giải:
8x3y3  27  7y3
t  xy

Từ (1)  y  0. Khi đó Hệ PT   2 2
 3
2
3
4x y  6xy  y
8t  27  4t  6t

t  xy

 
3
1
9
t   2 ; t  2 ; t  2

3
1
 Với t   : Từ (1)  y = 0 (loại).  Với t  : Từ (1) 
2
2
 Với t 



3
9
; y  33 4 
: Từ (1)   x 
3
2
2 4




3x.2x  3x  2x  1



1
3 
 x  3 ;y  4
2 4



www.nguoithay.com
Giải

1
không phải là nghiệm của (1).
2
1
2x  1
2x  1
Với x  , ta có: (1)  3x 
 3x 
0
2x  1
2
2x  1
6
1
2x  1 x
3
Đặt f ( x)  3x 
. Ta có: f  ( x)  3x ln3 
 3  2
 0, x 
2
2x  1
2x  1
2
(2x  1)

1

1
Do đó f(x) đồng biến trên các khoảng  ;  và  ;    Phƣơng trình f(x) = 0 có nhiều nhất 1

2
2



1  1
nghiệm trên từng khoảng  ;  ,  ;   .

2  2

Ta thấy x  1, x  1 là các nghiệm của f(x) = 0. Vậy PT có 2 nghiệm x  1, x  1.
PT  3x (2x  1)  2x  1 (1). Ta thấy x 

4

x  x2  1  x  x2  1  2
Giải:
 x2  1  0

Điều kiện: 
 x  1.
2
x  x 1

Khi đó:
 VT >

4

x  x2  1  x  x2  1  x  x2  1
4

CoâSi


4

8

x  x2  1  x  x2  1  2

x

(do x  1)





x2  1 x  x2  1 = 2  PT vô nghiệm.

 2
2xy
2
1
x  y 
x y

 x  y  x2  y


 2
2xy
2
1
x  y 
Giải: 
x y
 x  y  x2  y


(1)

.

Điều kiện: x  y  0 .

(2)



(1)  ( x  y)2  1  2xy  1 


1 
2
2
  0  ( x  y  1)( x  y  x  y)  0  x  y  1  0
x y

(vì x  y  0 nên x2  y2  x  y  0 )

Thay x  1  y vào (2) ta đƣợc: 1  x2  (1  x)  x2  x  2  0   x  1 ( y  0)
 x  2 ( y  3)
Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3).


23 3x  2  3 6  5x  8  0

3
 3

6


Giải: Điều kiện: x  . Đặt u  3x  2  u2  3x  2 .

5

v  6  5x


v  6  5x


2u  3v  8


. Giải hệ này ta đƣợc u  2  3x  2  2  x  2 .
3
2
v  4
6  5x  16
5u  3v  8

Ta có hệ PT: 


www.nguoithay.com
Thử lại, ta thấy x  2 là nghiệm của PT. Vậy PT có nghiệm x  2 .
2
 2
2 y  x  1
 3
3
2 x  y  2 y  x


Giải: Ta có: 2 x3  y3   2 y 2  x2   2 y  x   x3  2 x 2 y  2 xy 2  5 y3  0
Khi y  0 thì hệ VN.
3

2

x
x
 x
Khi y  0 , chia 2 vế cho y  0 ta đƣợc:    2    2    5  0
 y
 y
 y
y  x
x

Đặt t  , ta có : t 3  2t 2  2t  5  0  t  1   2
 x  y  1, x  y  1
y
y 1

3

 2y  x  m
37/ Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ phƣơng trình 
có nghiệm duy nhất.
y  xy  1

2y  x  m
Giải: 
 y  xy  1

(1)
.
(2)

y  1

1
Từ (1)  x  2y  m, nên (2)  2y  my  1 y  
(vì y  0)
m y  2

y

1
1
Xét f  y  y   2  f '  y   1
0
y
y2
Dựa vào BTT ta kết luận đƣợc hệ có nghiệm duy nhất  m  2 .
3 x3  y3  4xy

 2 2
x y  9

2





Giải: Ta có : x2 y 2  9  xy  3 .
 Khi: xy  3 , ta có: x3  y3  4 và x3 .   y3   27

Suy ra: x3 ;   y3  là các nghiệm của phƣơng trình: X 2  4 X  27  0  X  2  31
Vậy nghiệm của Hệ PT là:

x  3 2  31, y   3 2  31 hoặc x  3 2  31, y   3 2  31 .

 Khi: xy  3 , ta có: x3  y3  4 và x3 .   y3   27

 

Suy ra: x3 ;  y 3 là nghiệm của phƣơng trình: X 2  4 X  27  0



3
y
2 1
 2 2
x
 x  y 1

 x2  y2  4 x  22

y


Giải: Điều kiện: x  0, y  0, x2  y2  1  0

( PTVN )

www.nguoithay.com
3 2
3 2
x


(1)
. Hệ PT trở thành:  u  v  1
 u  v  1
y
u  1 4v  22 u  21 4v
(2)


v  3
3
2
Thay (2) vào (1) ta đƣợc:
  1  2v2  13v  21  0  
7
v 
21 4v v

2
2
2
x  y 1  9
 2 2

x  3
 x  3
 Nếu v = 3 thì u = 9, ta có Hệ PT:  x
  x  y  10  

y  1
 y  1
 x  3y
y  3


Đặt u  x2  y2  1; v 

 Nếu v 

7
thì u = 7, ta có Hệ PT:
2



2
 x2  y2  1  7  x2  y2  8  y  4 2
 y  4



53  
53


x 7

7

x y
y 2

 x  14 2
 x  14 2

2


53 
53


So sánh điều kiện ta đƣợc 4 nghiệm của Hệ PT.
 3  x  y   2 xy

2
2 x  y  8


 3  x  y   2 xy

Giải: 
2
2 x  y  8


(1)

. Điều kiện : x. y  0 ; x  y

(2)

Ta có: (1)  3( x  y)2  4 xy  (3x  y)( x  3 y)  0  x  3 y hay x 

y
3

 Với x  3 y , thế vào (2) ta đƣợc : y 2  6 y  8  0  y  2 ; y  4
 x  6  x  12
;
 Hệ có nghiệm 
y  2 y  4
y
 Với x  , thế vào (2) ta đƣợc : 3 y 2  2 y  24  0 Vô nghiệm.
3
 x  6  x  12
;
Kết luận: hệ phƣơng trình có 2 nghiệm là: 
y  2 y  4

 x 2  y 2  xy  1  4 y

2
2
 y( x  y)  2 x  7 y  2

 x2  1
x y  4

 x 2  y 2  xy  1  4 y
y


.
Giải: Từ hệ PT  y  0 . Khi đó ta có: 
2
2
2
 y( x  y)  2 x  7 y  2
( x  y ) 2  2 x  1  7

y



www.nguoithay.com
Đặt u 

x2  1
, v  x  y ta có hệ:
y

 uv  4
 u  4v
 v  3, u  1
 2

 2
v  2u  7
v  2v  15  0
v  5, u  9

 x2  1  y
 x2  1  y
 x2  x  2  0
 x  1, y  2



 Với v  3, u  1 ta có hệ: 
.
 x  2, y  5
x y 3
 y  3 x
 y  3 x
 x2  1  9 y
 x2  1  9 y
 x 2  9 x  46  0


 Với v  5, u  9 ta có hệ: 
, hệ này vô nghiệm.
 x  y  5
 y  5  x
 y  5  x
Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm: (1; 2), (2; 5) .
Giải: Điều kiện x  0 .

x  1 1  4x2  3x


PT  4x2  1 3x  x  1  0  (2x  1)(2x  1) 

2x  1

0
3x  x  1


1
1
 (2x  1)  2x  1
  0  2x  1  0  x  .
2
3x  x  1 

43 / Giải hệ phƣơng trình:
2log1 x ( xy  2 x  y  2)  log 2 y ( x 2  2 x  1)  6


=1
log1 x ( y  5)  log 2 y ( x  4)

 xy  2 x  y  2  0, x 2  2 x  1  0, y  5  0, x  4  0
(*)
Giải: Điều kiện: 
0  1  x  1, 0  2  y  1
Hệ PT 
2log1 x [(1  x)( y  2)]  2log 2 y (1  x)  6
log1 x ( y  2)  log 2 y (1  x)  2  0 (1)




= 1 log1 x ( y  5)  log 2 y ( x  4)
= 1 (2)
log1 x ( y  5)  log 2 y ( x  4)



1
Đặt log 2 y (1  x)  t thì (1) trở thành: t   2  0  (t  1)2  0  t  1.
t
Với t  1 ta có: 1  x  y  2  y   x  1 (3) . Thế vào (2) ta có:
x  4
x  4
log1 x ( x  4)  log1 x ( x  4)
= 1  log1 x
1 
 1  x  x2  2 x  0
x4
x4
x0


 x  2
 Với x  0  y  1 (không thoả (*)).
 Với x  2  y  1 (thoả (*)).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x  2, y  1 .
x1


 4x – 2.2x – 3 .log2 x –3  4 2

 4x

Giải:BPT  (4x  2.2x  3).log2 x  3  2x1  4x  (4x  2.2x  3).(log2 x  1)  0


www.nguoithay.com
  x  log2 3

 2x  3
 22x  2.2x  3  0
 x  1


 x  log2 3

log2 x  1
log2 x  1  0

2





 
1
  x  log 3
 2x  3
 22x  2.2x  3  0
0  x 
2




2

  log2 x  1
 log2 x  1  0
 0  x  1



2


45/ Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phƣơng trình sau có nghiệm duy nhất:
log5(25x – log5 a)  x
t  5x , t  0

2
t  t  log5 a  0


Giải: PT  25x  log5 a  5x  52x  5x  log5 a  0  

(* )

PT đã cho có nghiệm duy nhất  (*) có đúng 1 nghiệm dƣơng  t 2  t  log5 a có đúng 1 nghiệm
dƣơng.
Xét hàm số f (t )  t 2  t với t  [0; +∞). Ta có: f  (t )  2t  1  f  (t )  0  t 

 1
1
1
. f     , f (0)  0 .
4
2
 2

Dựa vào BBT ta suy ra phƣơng trình f (t )  log5 a có đúng 1 nghiệm dƣơng
a  1
 log5 a  0


1  a  1 .

 log5 a  
4

5
4




2log3  x2 – 4  3 log3( x  2)2  log3( x – 2)2  4

 x2  4  0
 x2  4  0


x  2
 

(**)
2
2
 x  3
( x  2)  1
log3 ( x  2)  0




PT  log3  x2 – 4  3 log3( x  2)2  log3( x – 2)2  4
2

 log3( x  2)2  3 log3( x  2)2  4  0 


log3 ( x  2)2  1  ( x  2)2  3





log3 ( x  2)2  4



log3 ( x  2)2  1  0

 x  2  3

Kiểm tra điều kiện (**) chỉ có x  2  3 thỏa mãn.
Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất là: x  2  3
 x3  4y  y3  16x

47 / Giải hệ phƣơng trình: 
.
2
2
1  y  5(1 x )

3
 3 4

Giải:  x  2 y  y  16x
2

1  y  5(1  x )


(1)
(2)

Từ (2) suy ra y2 – 5x2  4 (3).

Thế vào (1) đƣợc: x3   y2 – 5x2  .y  y3  16x  x3 – 5x2y –16 x  0
 x  0 hoặc x2 – 5xy –16  0
 Với x  0  y2  4  y  2 .


www.nguoithay.com
2

 x2  16 
x2  16
 Với x – 5xy –16  0  y 
(4). Thế vào (3) đƣợc: 
  5x2  4
5x
 5x 

 x4 –32x2  256 –125x4  100x2  124 x4  132x2 – 256  0  x2  1   x  1 ( y  3) .
 x  1 ( y  3)
2

Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3)
log x  y  3log ( x  y  2)
 2
8

x2  y2  1  x2  y2  3

Giải: Điều kiện: x  y  0, x  y  0


x  y  2 x  y

Hệ PT  
.
 x2  y2  1  x2  y2  3

 u  v  2 (u  v)
 u  v  2 uv  4


u  x  y
 2 2
Đặt: 
ta có hệ:
 u2  v2  2
u v 2
v  x  y

 uv  3 
 uv  3
2
2


 u  v  2 uv  4
(1)


.
(u  v)2  2uv  2

 uv  3 (2)
2

Thế (1) vào (2) ta có:

uv  8 uv  9  uv  3  uv  8 uv  9  (3  uv)2  uv  0 .

 uv  0
 u  4, v  0 (với u > v). Từ đó ta có: x = 2; y = 2.(thoả đk)
Kết hợp (1) ta có: 
u  v  4
Kết luận: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 2).
49/ Giải phƣơng trình: 25x – 6.5x + 5 = 0
Giải: Câu 2: 1) 25x – 6.5x + 5 = 0  (5x )2  6.5x  5  0  5x = 1 hay 5x = 5
 x = 0 hay x = 1.
 x  2 y  xy  0

 x 1  4 y 1  2

x  1
 x  2 y  xy  0
(1)


Giải: 
Điều kiện: 
1
(2)
y  4
 x 1  4 y 1  2


x
 2  0  x = 4y
y
1
Nghiệm của hệ (2; )
2
51/ Tìm m để bất phƣơng trình: 52x – 5x+1 – 2m5x + m2 + 5m > 0 thỏa với mọi số thực x.
Giải: Đặt X = 5x  X > 0

Từ (1) 

x

y


www.nguoithay.com
Bất phƣơng trình đã cho trở thành: X2 + (5 + 2m)X + m2 + 5m > 0 (*)
Bpt đã cho có nghiệm với mọi x khi và chỉ khi (*) có nghiệm với mọi X > 0
 < 0 hoặc (*) có hai nghiệm X1 ≤ X2 ≤ 0
Từ đó suy ra m
1
52/ Giải bất phƣơng trình: log3 x 2  5 x  6  log 1 x  2  log 1  x  3
2
3
3
Giải: Điều kiện: x  3 ; Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng:
1
1
1
1
1
1
log3  x 2  5 x  6   log31  x  2   log31  x  3  log3  x 2  5 x  6   log3  x  2    log3  x  3
2
2
2
2
2
2
x2

 log3  x  2  x  3  log3  x  2   log3  x  3  log3  x  2  x  3   log 3 





 x3
x2
  x  2  x  3 
x3
 x   10
Giao với điều kiện, ta đƣợc nghiệm của phƣơng trình đã cho là x  10
 x2  9  1  
 x  10

53/ Cho phƣơng trình

x  1  x  2m x 1  x   2 4 x 1  x   m3

Tìm m để phƣơng trình có một nghiệm duy nhất.
Giải: Phƣơng trình

x  1  x  2m x 1  x   2 4 x 1  x   m3 (1)

Điều kiện : 0  x  1
Nếu x   0;1 thỏa mãn (1) thì 1 – x cũng thỏa mãn (1) nên để (1) có nghiệm duy nhất thì cần có điều kiện

m  0
1
1
1
1
 m  2.
 m3  
. Thay x  vào (1) ta đƣợc: 2.
2
2
2
2
m  1
2
1
*Với m = 0; (1) trở thành: 4 x  4 1  x  0  x  Phƣơng trình có nghiệm duy nhất.
2
* Với m = -1; (1) trở thành
x  1 x  x 





x  1  x  2 x 1  x   2 4 x 1  x   1








 



x  1  x  2 4 x 1  x   x  1  x  2 x 1  x   0
4

x  4 1 x

 
2

x  1 x



2

0

1
+ Với
2
Trƣờng hợp này, (1) cũng có nghiệm duy nhất.

+ Với

4

x  4 1 x  0  x 

* Với m = 1 thì (1) trở thành:

x  1  x  2 4 x 1  x   1  2 x 1  x  



4

x  1 x  0  x 

x  4 1 x

 
2

x  1 x

1
2



2

1
nên trong trƣờng hợp này (1) không có nghiệm duy nhất.
2
Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất khi m = 0 và m = -1.

Ta thấy phƣơng trình (1) có 2 nghiệm x  0, x 


www.nguoithay.com
54/ Giải phƣơng trình : log 4  x  1  2  log

4  x  log 8  4  x 

2

Giải: log 4  x  1  2  log
2

2

3

4  x  log8  4  x  (2)
3

2

Điều kiện:
x 1  0
2
4  x  4 (2)  log 2 x  1  2  log 2  4  x   log 2  4  x   log 2 x  1  2  log 2 16  x 

4  x  0  
 log 2 4 x  1  log 2 16  x 2   4 x  1  16  x 2
 x  1
4  x  0

x  2
+ Với 1  x  4 ta có phƣơng trình x2  4 x  12  0 (3) ; (3)  
 x  6  lo¹i 
+ Với 4  x  1 ta có phƣơng trình x2  4 x  20  0 (4);
 x  2  24
; Vậy phƣơng trình đã cho có hai nghiệm là x  2 hoặc x  2 1  6
 4  
 x  2  24  lo¹i 








2
1). Giải phƣơng trình: 2x +1 +x x  2  x  1

55/

x1

2) Giải phƣơng trình: 4  2
x

 

x2  2x  3  0



 2 2x  1 sin 2x  y  1  2  0 .

x2  x1

3) Giải bất phƣơng trình: 9





2

 1  10.3x

 x 2

.

Giải
1) Giải phƣơng trình : 2x +1 +x x2  2   x  1 x2  2x  3  0 . (a)

 v2  u2  2x  1
 u  x 2  2, u  0
u2  x 2  2



 2

* Đặt: 
v2  u2  1
2
2
2
v  x  2x  3  x 
v  x  2x  3, v  0



2


Ta có:

 v2  u2  1 
 v2  u2  1 
 v2  u2 
u  v2  u2 
v
(a)  v2  u2  
.u  
 1 .v  0  v2  u2  
.u   


 .v   0




 2 
2
2
2  2 
2








v  u  0
(b)

 v  u  1

 (v  u) (v  u)  1 
    0  (v  u)  1  v  u   1  0 (c)
2  2





2  2





Vì u > 0, v > 0, nên (c) vô nghiệm.
Do đó:


www.nguoithay.com
(a)  v  u  0  v  u  x 2  2x  3  x 2  2  x 2  2x  3  x 2  2  x  
Kết luận, phƣơng trình có nghiệm duy nhất: x = 



 

1
.
2



1
2

2) Giải phƣơng trình 4x  2x1  2 2x  1 sin 2x  y  1  2  0 (*)







Ta có: (*)  2 x  1  sin 2 x  y  1



2













Từ (2)  sin 2 x  y  1  1 .


Khi sin  2


 y  1  1 , thay vào (1), ta đƣợc: 2

Khi sin 2 x  y  1  1 , thay vào (1), ta đƣợc: 2x = 0 (VN)
x

x

= 2  x = 1.



 k , k  Z .
2



Kết luận: Phƣơng trình có nghiệm: 1; 1   k , k  Z  .
2


2
x  x1
x  x 2
 1  10.3
3) Giải bất phƣơng trình: 9
.
Đặt t  3x  x , t > 0.
Thay x = 1 vào (1)  sin(y +1) = -1  y  1 

2

2

Bất phƣơng trình trở thành: t2 – 10t + 9  0  ( t  1 hoặc t  9)
Khi t  1  t  3x

2

x

Khi t  9  t  3x

2

x

 1  x2  x  0  1  x  0 .(i)
 x  2
(2i)
 9  x2  x  2  0  
x  1

Kết hợp (i) và (2i) ta có tập nghiệm của bpt là: S = (- ; -2][-1;0][1; + ).
56/ Giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình:

1.

1
 x  2  x  


2


log3 x



2 x  1  sin 2 x  y  1  0(1)

 cos 2 2 x  y  1  0  
x
cos 2  y  1  0(2)


 x2
;

Giải: 1) Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng:


 x  y  x 2  y 2  12


2
2

2.  y x  y  12

www.nguoithay.com
 x2 0
x  2  0
x  2



log x
log x


1

1 3
 
1 3
  ln  x  
  log 3 x ln  x    0
0
1  
 x  



2
2

 
2
 


x  2  0

 x  2
 x  2


x  2
x  2
x  2



  log 3 x  0
 x  1
 x  1



  
 
 
 x  2 Điều kiện: | x |  | y |
1
 x  1  1  x  3
  ln  x    0

2
2
2
 



 x  2
 x  2
 x  2




u  x 2  y 2 ; u  0
1
u2 

Đặt 
; x   y không thỏa hệ nên xét x   y ta có y   v   .
2
v 
v  x  y

2) Hệ phƣơng trình đã cho có dạng:
u  v  12
u  3
u  4

hoặc 

u2 
u 
v  9
v  8
 2  v  v   12



 x2  y 2  4
u  4

+ 
(I)

v  8
x  y  8

u  3  x 2  y 2  3

+ 
(II) Giải hệ (I), (II). Sau đó hợp các kết quả lại, ta đƣợc tập nghiệm của hệ

v  9
x  y  9


phƣơng trình ban đầu là S   5;3 ,  5;4  Sau đó hợp các kết quả lại, ta đƣợc tập nghiệm của hệ phƣơng
trình ban đầu là S   5;3 ,  5;4 

 x 2  1  y( x  y )  4 y
 2
57/ Giải hệ phƣơng trình: ( x  1)( x  y  2)  y
(x, y 
Giải:
 x2  1
 y  ( x  y  2)  2

2) HÖ ph-¬ng tr×nh t-¬ng ®-¬ng víi  2
 x  1 ( x  y  2)  1
 y


)

x2  1
§Æt u 
,v  x  y 2
y

x2  1
1
u  v  2

 u  v 1
Ta cã hÖ 
Suy ra  y
.
uv  1
x  y  2  1

Gi¶i hÖ trªn ta ®-îc nghiÖm cña hpt ®· cho lµ (1; 2), (-2; 5)
58 / Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phƣơng trình sau có nghiệm thực:


www.nguoithay.com
2
2
91 1 x  (m  2)31 1 x  2m  1  0 (1)

Giải: * Đk x[-1;1] , đặt t = 31

1 x2

; x[-1;1]  t  [3;9]

t 2  2t  1
Ta có: (1) viết lại t  (m  2)t  2m  1  0  (t  2)m  t  2t  1  m 
t 2
2
2
t  1
t  2t  1
t  4t  3 /
Xét hàm số f(t) =
, với t  [3;9] . Ta có:
f / (t ) 
, f (t )  0  
(t  2)
t 2
t  3
2

2

Lập bảng biến thiên
t
f/(t)

3

9
+

48
7

f(t)
4

Căn cứ bảng biến thiêng, (1) có nghiệm x[-1;1]  (2) có nghiệm t  [3;9]  4  m  48
7

3
log 1 x
2
4

2

2

3

log 1 4

x

3

log 1 x

4

4

Giải: bất phƣơng trình:
1
1
log 2 ( x 2  4 x  5)  log 1 (
) (1)
2
x7
2

 x 2  4 x  5  0  x  (;5)  (1;)

Đk: 
 x  (7;5)  (1  )
x7 0
 x  7

1
Từ (1)  log 2 ( x 2  4 x  5)  2 log 2
x7
2
2
 log 2 ( x  4 x  5)  log 2 ( x  7)  x 2  4 x  5  x 2  14 x  49

 10 x  54  x 

27
5

Kết hợp điều kiện: Vậy BPT có nghiệm: x  (7;

 27
)
5

x 3  y 3  1

 2
2
3

60/ Giải hệ phƣơng trình :  x y  2 xy  y  2
Giải:
x 3  y 3  1
x 3  y 3  1


 3
 2
2
3
 x y  2 xy  y  2
2 x  y 3  x 2 y  2 xy 2  0




(1)
(2)

6

3

www.nguoithay.com
x 3  y 3  1
(3)

y  0 . Ta có:   x  3  x  2
x
(4)
2      2   1  0
 y  y
 y
 
    
x
1
Đặt :  t (4) có dạng : 2t3 – t2 – 2t + 1 = 0  t =  1 , t = .
y
2
3
3
x  y  1
1
xy3
a) Nếu t = 1 ta có hệ 
2
x  y
x 3  y 3  1
b) Nếu t = -1 ta có hệ 
 hệ vô nghiệm.
x   y
3
x 3  y 3  1
3
23 3
1
x
, y
c) Nếu t =
ta có hệ 
3
3
2
 y  2x

61/
Giải:

Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm thực:
D = [0 ; + )

4

x2 1  x  m
3

*Đặt f(x) = 4 x 2  1  x  f ' ( x) 

1  4 (1 

x
24 ( x 2  1) 3



1
2 x



x x  ( x  1)
4

2

3

24 ( x 2  1) 3 . x

1 3
)
x2

3

x 2  x 2 4 (1 

2x

3
24

(1 

 0 x  (0 ;  )
1 3
24 (1  2 ) . x
x
 x2 1  x 


x2 1 x2
  lim 
* lim (4 x 2  1  x )  lim 
0
2
x 
x  4
 x  (4 x 2  1  x )( x 2  1  x) 


 x 1  x 
* BBT
x
0
+
f’(x)
Suy ra: f’(x) =

f(x)

1
0

Vậy: 0 < m  1

log x 3  log x 3
3


1 3
)
x2

1 3
) . x
x2

www.nguoithay.com
x  0

Giải: ĐK :  x  1
x  3


1

log 3 x

1
log 3

x
3



Bất phƣơng trình trở thành :

1
1
1
1



0
log 3 x log 3 x  1
log 3 x log 3 x  1

1
 0  log 3 x(log 3 x  1)  0  log 3 x  0  log 3 x  1
log 3 x(log 3 x  1)
* log 3 x  0  x  1 kết hợp ĐK : 0 < x < 1
* log 3 x  0  x  3
Vậy tập nghiệm của BPT: x  (0 ; 1)  (3 ;  )


63/ .Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh

log 2 x  log 2 x 2  3  5 (log 4 x 2  3)
2

x  0
Giải: §K:  2
2
log 2 x  log 2 x  3  0
BÊt ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi
®Æt t = log2x,
2.BPT (1)

log 2 x  log 2 x 2  3  5 (log 2 x  3)
2

(1)

 t 2  2t  3  5 (t  3)  (t  3)(t  1)  5 (t  3)

t  1
1

log 2 x  1
t  1

0  x  2 VËy BPT ®· cho cã tËp

 t  3




3  t  4
3  log 2 x  4
2
 (t  1)(t  3)  5(t  3)
8  x  16

1
nghiÖm lµ: (0; ]  (8;16)
2
 x 2  91  y  2  y 2 (1)

 2
2

64/ Giải hệ phƣơng trình  y  91  x  2  x (2)
Giải: Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta đƣợc:
x2  91  y 2  91  y  2  x  2  y 2  x 2


x2  y 2
x  91  y  91
2


 ( x  y) 



2



yx
 ( y  x)( y  x)
y2  x2

x y
x 2  91 

y 2  91



1
x2 


 x y  0

y2


 x = y (trong ngoặc luôn dƣơng và x vay đều lớn hơn 2)


www.nguoithay.com
Vậy từ hệ trên ta có:



x2  9
x 2  91  10



x2  91  x  2  x2  x2  91  10  x  2  1  x2  9




x 3
1
1
 ( x  3)( x  3)  ( x  3)  ( x  3) 
 1 
0

2
x  2 1
x  2 1 
 x  91  10 



x=3
Vậy nghiệm của hệ x = y = 3
3 x  34  3 x  3  1
Giải: §Æt u  3 x  34, v  3 x  3 . Ta cã :
u  v  1
u  v  1


 3 3
2
2
u  v  37
 u  v   u  v  uv   37

  u  3

u  v  1
u  v  1

 v  4



2
 u  4
uv  12

 u  v   3uv  37

v  3

Víi u = -3 , v = - 4 ta cã : x = - 61
Víi u = 4, v = 3 ta cã : x = 30 ;
VËy Pt ®· cho cã 2 nghiÖm : x = -61 vµ x = 30
66/ Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh log 2 x  log 2 x  3  5 (log 4 x  3)
x  0
Giải: §K:  2
2
log 2 x  log 2 x  3  0
2

2

BÊt ph-¬ng tr×nh ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi
®Æt t = log2x,
BPT (1)

2

log 2 x  log 2 x 2  3  5 (log 2 x  3)
2

(1)

 t 2  2t  3  5 (t  3)  (t  3)(t  1)  5 (t  3)

t  1
1

log 2 x  1
t  1

0  x  2 VËy BPT ®· cho cã tËp
t 3

 




3  t  4
3  log 2 x  4
2
 (t  1)(t  3)  5(t  3)
8  x  16

1
nghiÖm lµ: (0; ]  (8;16)
2
67/ .
1.

Giải phƣơng trình:

3.25 x2  3x  105 x2  x  3

log x cos x  sin x   log 1 cos x  cos 2 x   0
2.Giải phƣơng trình:
3) Giải bất phƣơng trình:
Giải:

x

3

 



x

 1  x 2  1  3x x  1  0


.

www.nguoithay.com
3.25 x2  3x  105 x2  x  3

1.



 


 



 5 x2 3.5 x2  1  x 3.5 x2  1  3 3.5 x2  1  0
 3.5 x2  1 5 x2  x  3  0





3.5 x2  1  0
1
  x 2
5  x  3  0 2

1  5x2  1  x  2  log 5 1  2  log 5 3 2  5 x2   x  3
3
3
Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm x = 2 nên là nghiệm duy nhất.
Vậy Pt có nghiệm là: x = 2  log 5 3 và x = 2

log x cos x  sin x   log 1 cos x  cos 2 x   0

2/

x

0  x  1

Điều kiện: cos x  sin x  0 . Khi đó Pt
cos x  cos 2 x  0




 cos 2 x   sin x  cos 2 x  cos x  
2





x   k 2
2 x  x   k 2





2
2


2 x   x    k 2
 x     k 2



6
3
2

Kết hợp với điều kiện ta đƣợc: x  



 





6



k 2
(Với k ∊N* k 3/ 3/
3



3/. x  1  x  1  3x x  1  0  x  x
3

2

.

3

2

 3

x3  x 2  2  0

2

t   3
2
2
2
 t 2  3t  2  0 Đặt t  x x  1    
 t  1  t    x x  1    x  1
3
3
3

t  2


x
x
68/ Giải phƣơng trình: 3 .2x = 3 + 2x + 1
Giải: Ta thấy phƣơng trình: 3x.2x = 3x + 2x + 1 (2) có hai nghiệm x =  1.
1
Ta có x = không là nghiệm của phƣơng trình nên
2
2x 1
(2)  3x 
2x 1
Ta có hàm số y = 3x tăng trên R

www.nguoithay.com
1 1 
2x 1

luôn giảm trên mỗi khoảng  ;  ,  ;  
2x 1
2 2 

Vậy Phƣơng trình (2) chỉ có hai nghiệm x =  1
1
1
log 2 ( x  3)  log 4 ( x  1) 8  3 log 8 (4 x)
4
69/ Giải phƣơng trình: 2
.
hàm số y =

1
1
log 2 ( x  3)  log 4 ( x  1) 8  3 log 8 (4 x) .
2
4
Điều kiện:
 x  3

 x  1  0  x  1. Biến đổi theo logarit cơ số 2 thành phƣơng trình
x  0

i
 x  1  loaï 
log 2  x  3 x  1   log 2  4x   x 2  2x  3  0  
 x  3.


x  3
70/ Tìm các giá trị của tham số m để phƣơng trình sau có nghiệm duy nhất thuộc đoạn :

Giải:

3 1  x 2  2 x 3  2 x 2  1  m ( m  R ).
Giải:Đặt

f  x   3 1  x 2  2 x 3  2x 2  1

, suy ra

f  x

 1 
xác định và liên tục trên đoạn   ;1 .
 2 

 3

3x  4
 x 

.
2
1 x2
x 3  2x 2  1
x 3  2x 2  1 
 1 x
4
3
3x  4
 1 

 0.
x    ;1 ta có x    3x  4  0 
3
 2 
1 x2
x 3  2x 2  1
Vậy:
f '  x   0  x  0 .Bảng biến thiên:
f ' x  

3x





x
f ' x

1
2
||

3x2  4x

0


0

1


||

1
CÑ
f

 x

3 3
2

22
4

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
3 3  22
 1 
Phƣơng trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất thuộc   ;1  4  m 
hoặc m  1 .
2
 2 
71/ 1.Giaûi baát phöông trình:

x2  3x  2  x2  4 x  3  2. x 2  5x  4
2
2
2
2
2.Cho phöông trình: 2log 4 (2 x  x  2m  4m )  log1 2 ( x  mx  2m )  0

www.nguoithay.com
2
2
Xaùc ñònh tham soá m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm x1 , x2 thoûa : x1  x2  1

Giải: 1) Giaûi baát phöông trình: x2  3x  2  x 2  4 x  3  2. x 2  5x  4
 x 2  3x  2  0


Ñieàu kieän:  x 2  4 x  3  0  x  1  x  4
 2
 x  5x  4  0

Ta coù:
Baát phöông trình  ( x  1)( x  2)  ( x  1)( x  3)  2 ( x  1)( x  4) (*)
Neáu x = 1 thì hieån nhieân (*) ñuùng . Suy ra x=1 laø nghieäm cuûa phöông trình
2  x  3 x  2 4  x
Neáu x < 1 thì (*) trôû thaønh :
 2 x  4 x

Nhaän xeùt: 
Suy ra Baát phöông trình voâ
 2 x  3 x  2 4 x
 3 x  4 x

nghieäm.
x 2  x 3  2 x 4
Neáu x  4 thì (*) trôû thaønh :

 x2  x4
Nhaän xeùt: 
Suy ra Baát phöông trình ñuùng
 x 2  x 3  2 x 4
 x 3  x 4

x  4 .
Toùm laïi: Baát phöông trình coù nghieäm laø: x  1  x  4 .
2) 2log (2 x 2  x  2m  4m2 )  log ( x 2  mx  2m2 )  0
4
1
2
 x 2  mx  2m 2  0

 log (2 x 2  x  2m  4m2 )  log ( x 2  mx  2m 2 )  0  
2
2
 x 2  (1  m) x  2m  2m 2  0

 x 2  mx  2m2  0


 x1  2m, x2  1  m

x 2  x 2  1
2
 1
 2
Yeâu caàu baøi toaùn
vôùi x1  2m , x  1  m
  x  mx  2m2  0
2
1
1

 x 2  mx  2m2  0
2
 2
5m2  2m  0

2
1

  4m 2  0
 1  m  0   m 
5
2

2
2m  m  1  0



www.nguoithay.com
1
 2
2 x  x  y  2

2
2

72/ Giải hệ phƣơng trình  y  y x  2 y  2
Giải: ĐK : y  0
1
 2
2x  x   2  0

 2
y
2u  u  v  2  0

hệ  
đƣa hệ về dạng  2
2v  v  u  2  0

 2  1 x20
 y2 y


3 7
u 

2
hoặc 
,
1  7
v 


2

 u  v

 u  1  v

 2
2v  v  u  2  0

u  v  1
u  v  1



3 7
u 

2

v  1  7


2

Từ đó ta có nghiệm của hệ(-1 ;-1),(1 ;1), (

3 7
2
3 7
2
), (
)
;
;
2
2
7 1
7 1

log3 ( x  1)2  log 4 ( x  1)3
0
x2  5x  6
73/ Giải bất phƣơng trình
3log3 ( x  1)
2 log3 ( x  1) 
log3 ( x  1)
log3 4
Giải: Đk: x > - 1 ; bất phƣơng trình 
0 0 x6
0 
x6
( x  1)( x  6)
2
74/ Giải phƣơng trình: 2x  3  x  1  3x  2 2x  5x  3  16 .
Giải : Đặt t  2x  3  x  1 > 0. (2)  x  3

log ( x2  y2 )  log (2x)  1  log ( x  3y)
4
4
 4
 x

2
log4 ( xy  1)  log4 (4y  2y  2x  4)  log4  y   1
 


x  
 x=2
Giải : 
vôù >0 tuyø
i
yùvaø

y 

 y=1


2 x  10  5x  10  x  2 (1)

Giải:

Điều kiện: x  2

1 

2 x  10  x  2  5x  10

 2 x 2  6 x  20  x  1(2)

Khi x  2 => x+1>0 bình phƣơng 2 vế phƣơng trình (2)
(2)  2 x2  6 x  20  x2  2 x  1  x2  4 x  11  0  x   ; 7  3;  
Kết hợp điều kiện vậy nghiệm của bất phƣơng trình là: x  3


www.nguoithay.com
log 2 (x  2)  log 4 (x  5) 2  log 1 8  0
2

Giải: . Điều kiện: x > – 2 và x  5 (*)
Với điều kiện đó, ta có phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với phƣơng trình:
log 2 (x  2) x  5   log 2 8  (x  2) x  5  8  (x 2  3x  18)(x 2  3x  2)  0


2
 x  3x  18  0
3  17
 2
 x  3; x  6; x 
2
 x  3x  2  0


Đối chiếu với điều kiện (*), ta đƣợc tất cả các nghiệm của phƣơng trình đã cho là: x  6 và x 

3  17
2


log x x 2  14 log16 x x3  40 log 4 x x  0.
2

Giải: Giải phƣơng trình 3  4 sin2 2 x  2 cos 2 x 1  2 sin x 
Biến đổi phƣơng trình về dạng 2 sin 3x  2 sin x  1   2 sin x  1  0
 Do đó nghiệm của phƣơng trình là

7
 k 2
5 k 2
x    k 2 ; x 
 k 2 ; x  
;x 

6
6
18
3
18
3
2
3
Giải phƣơng trình log x x  14 log16 x x  40 log 4 x x  0.
2

1
1
;x  .
4
16
 Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho Với x  1 . Đặt t  log x 2 và biến đổi phƣơng trình về dạng

 Điều kiện: x  0; x  2; x 

1
1
2
42
20
. Vậy pt có 3 nghiệm x =1;


 0 , Giải ra ta đƣợc t  ;t  2  x  4; x 
2
1  t 4t  1 2t  1
2
1
x  4; x 
.
2
79 / Giải phƣơng trình
1
1
3.4 x  .9 x  2  6.4 x  .9 x 1
3
4
.

1
1
Giải: Giải phƣơng trình 3.4 x  .9 x  2  6.4 x  .9 x 1 Biến đổi phƣơng trình đã cho về dạng
3
4
x
9 2x
2
2
3
2x
2x
2x
 x  log 3
3.2  27.3  6.2  .3 Từ đó ta thu đƣợc   
4
39
39
2
2

f ( x)  e x  sin x 

80/ Cho hàm số
có đúng hai nghiệm.

x2
3
2
. Tìm giá trị nhỏ nhất của f (x) và chứng minh rằng f ( x)  0


www.nguoithay.com
Giải: Ta có f ( x )  e x  x  cos x. Do đó f '  x   0  e x   x  cos x. Hàm số y  e x là hàm đồng biến;
hàm số y   x  cosx là hàm nghịch biến vì y'  1  sin x  0,x . Mặt khác x  0 là nghiệm của phƣơng
trình e x   x  cos x nên nó là nghiệm duy nhất. Lập bảng biến thiên của hàm số y  f  x  (học sinh tự
làm) ta đi đến kết luận phƣơng trình f ( x)  0 có đúng hai nghiệm.
Từ bảng biến thiên ta có min f  x   2  x  0.
81/ 1) Giải hệ phƣơng trình:

2 xy
 2
x  y2 
1

x y

 x  y  x2  y

log 1 log 5

2) Giải bất phƣơng trình:

3





x 2  1  x  log 3 log 1
5



x2  1  x



Giải:
1)

2 xy
 2
x  y2 
 1 1

x y

 x  y  x2  y  2


1   x  y 

2

 2 xy 



 dk x  y  0 

2 xy
3
 1  0   x  y   2 xy  x  y   2 xy   x  y   0
x y



  x  y   x  y   1  2 xy  x  y  1  0

 x  y  1  3
 2
2
x  y  x  y  0
  x  y  1  x  y  x  y  1  2 xy   0



2

 4

Dễ thấy (4) vô nghiệm

vì x+y>0

x  y  1
 x  1; y  0

……
2
 x  y  1  x  2; y  3

Thế (3) vào (2) ta đƣợc x  y  1

Giải hệ 

2

2)

log 1 log5
3

Đk: x  0 ;

1  log

3

log 1
5







x 2  1  x  log3 log 1
5



x 2  1  x  log 3 log 5


 log 3  log 1
 5



 0  log5

x 2  1  x .log 5





x2  1  x





x2  1  x  0

(1)



x2  1  x  1










2
x 2  1  x   0  log 5







x2  1  x  1

www.nguoithay.com
*) 0  log 5
*) log 5







x2  1  x  x  0



x 2  1  x  1  x 2  1  x  5  x 2  1  5  x  ...  x 

12
5

 12 

 5

Vậy BPT có nghiệm x   0;
Đề 87.

2
2
1. Giải bất phƣơng trình x  x  2  3 x  5x  4 x  6
( x  R).
2
x  x  2  0

Giải:Điều kiện  x  0
 x  2 ;Bình phƣơng hai vế ta đƣợc 6 x( x  1)( x  2)  4 x 2  12 x  4
5 x 2  4 x  6  0

x( x  2)
x( x  2)
 3 x( x  1)( x  2)  2 x( x  2)  2( x  1)  3
2
2
x 1
x 1

 1
t
x( x  2)
2
 0 ta đƣợc bpt 2t  3t  2  0  
Đặt t 
2  t  2 ( do t  0 )

x 1
t  2
 x  3  13
x( x  2)
 2  x2  6 x  4  0  
Với t  2 
 x  3  13
x 1
 x  3  13

( do x  2 ) Vậy bpt có nghiệm x  3  13
82/ Giải hệ phƣơng trình

y  x  0
y  0

1

log 1  y  x   log 4 y  1
 4
 2 2
 x  y  25

( x, y  )

1
yx


yx 1
log 4  y  x   log 4 y  1 log 4 y  1  y  4
Hệ phƣơng trình  


2
2
2
2
 x  y  25
 x  y  25
 x 2  y 2  25





 15

5 

;
 x; y   

x  3y
x  3y
x  3y
 10 10 

(

 2
 2
  2 25 
2
2

y 
5 
 15
 x  y  25 9 y  y  25

10

;
 x; y    






10

Vậy hệ phƣơng trình đã cho vô nghiệm.
83/ Giải hpt :


10 

loại)

www.nguoithay.com
3

2
4 xy  4(( x  y )  2 xy ))  ( x  y )2  7


 x  y  1  ( x  y)  3

x y


Giải:
3
3


2
2
 4 xy  4(( x  y )  2 xy ))  ( x  y ) 2  7
4( x  y )  4 xy  ( x  y ) 2  7




 x  y  1  ( x  y)  3
 x  y  1  ( x  y)  3


x y
x y


3
3


2
2
2
2
2
3( x  y )  (( x  y )  4 xy )  ( x  y ) 2  7
3( x  y )  ( x  y  2 xy )  ( x  y ) 2  7




 x  y  1  ( x  y)  3
 x  y  1  ( x  y)  3


x y
x y


 
3

1

2
2
2
 ( x  y)2  7
3  ( x  y ) 
2 
3( x  y )  ( x  y ) 2  ( x  y )  7
( x  y) 

 


 x  y  1  ( x  y)  3
 x  y  1  ( x  y)  3


x y
x y



84/

3
2
1. Giải bất phƣơng trình : 2log( x  8)  2log( x  58)  log( x  4 x  4) .

x
x
x
x
2. Giải pt : 3  5  10  3  15.3  50  9  1
 x3  8  ( x  2)( x 2  2 x  4)  0

Giải:1. Đk :  x  58  0
 x  2
 x 2  4 x  4  ( x  2) 2  0

Bpt đã cho  log( x3  8)  log(( x  58)( x  2))  ( x  2)  x 2  3x  54  0



 x  6 ;  2  x  9 (0.25) .So dk , ta co : 2  x  9 (0.25)

2.Giải pt : 3x  5  10  3x  15.3x  50  9x  1
Đặt : t  3x  5  10  3x (t  0)  t 2  5  2 15.3x  50  9 x
t  3(nhan)
Ta có pt : t 2  2t  3  0 (0.25)  
t  1(loai )

t  3  3x  5  10  3x  3. Dat : y  3x ( y  0).
Ta co pt : 9  5  2 15. y  50  y 2  15. y  50  y 2  2
3 x  9
x  2
y  9
 y 2  15 y  54  0  
 x

y  6
 x  log 3 6
3  6

2 log 1 x ( xy  2 x  y  2)  log 2 y ( x 2  2 x  1)  6

log 1 x ( y  5)  log 2 y ( x  4)  1



www.nguoithay.com
2 log 1 x ( xy  2 x  y  2)  log 2 y ( x 2  2 x  1)  6

Giải: hÖ ph-¬ng tr×nh: 
log 1 x ( y  5)  log 2 y ( x  4)  1

 4  x  1, x  0
§K 
 y  2; y  1
§-a ph-¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ vÒ d¹ng: log1 x (2  y)  log 2 y 1  x   2
§Æt t  log1 x (2  y) , t×m ®-îc t = 1, kÕt hîp víi ph-¬ng tr×nh thø hai cña hÖ,®èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn trªn,
t×m ®-îc nghiÖm x; y    2;1 .

1
1
8
log 2 ( x  3)  log 4 x  1  log 2 4 x .
2
4
1
1
8
Giải: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: log 2 ( x  3)  log 4 x  1  log 2 4 x .
2
4
3 3
8x y  27  18y3 (1)
87/ 1/.Giải hệ phƣơng trình:  2
2
4x y  6x  y (2)
86/ Gi¶i ph-¬ng tr×nh:

8x3 y3  27  18y3 (1)
Giải: hệ phƣơng trình:  2
2
4x y  6x  y (2)
(1)  y  0
3

 3
3
8x3  27  18
(2x)     18

y3


 y
Hệ   2

 4x  6x  1
2x. 3  2x  3   3



y2

 y
y
y

a3  b3  18
a  b  3
Đặt a = 2x; b = 3 . Ta có hệ: 

y
ab(a  b)  3 ab  1
 Hệ đã cho có 2 nghiệm  3  5 ; 6  ,  3  5 ; 6 

 

 4
3 5   4
3 5 
88/ Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phƣơng trình sau có nghiệm thực:
(m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0. (1)
Giải: Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phƣơng trình sau có nghiệm thực:
(m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0. (1)
Đk x  0. đặt t = x ; t  0
(1) trở thành (m–3)t+(2-m)t2 +3-m = 0  m  2t 2  3t  3 (2)
2

t  t 1

Xét hàm số f(t) = 2t 2  3t  3 (t  0)
2

t  t 1

Lập bảng biến thiên

(1) có nghiệm  (2) có nghiệm t  0  5  m  3
3
89/ Giải phƣơng trình: 2 log 5 (3x  1)  1  log 3 5 (2 x  1) .

www.nguoithay.com
Giải: Giải phƣơng trình: 2 log 5 (3x  1)  1  log 3 5 (2 x  1) .
1
§iÒu kiÖn x  . (*)
3
Víi ®k trªn, pt ®· cho  log 5 (3x  1) 2  1  3 log 5 (2 x  1)

 log 5 5(3x  1) 2  log 5 (2 x  1) 3
 5(3x  1) 2  (2 x  1) 3
 8 x 3  33x 2  36 x  4  0
 ( x  2) 2 (8 x  1)  0
x  2

x  1
8

§èi chiÕu ®iÒu kiÖn (*), ta cã nghiÖm cña pt lµ x  2.
2
2
 4
x  4x  y  6 y  9  0
90/ . Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh :  2
.
 x y  x 2  2 y  22  0


x 4  4x 2  y 2  6 y  9  0

Giải: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh :  2
.
 x y  x 2  2 y  22  0

* HÖ ph-¬ng tr×nh t-¬ng ®-¬ng víi

( x 2  2) 2  ( y  3) 2  4 ( x 2  2)2  ( y  3)2  4


 2

2
( x  2) y  x  22  0 ( x 2  2  4)( y  3  3)  x 2  2  20  0


 x2  2  u
Dat 
* Thay vµo hÖ ph-¬ng tr×nh ta cã:
y 3  v


u 2  v 2  4

u.v  4(u  v)  8

u  2
u  0
hoÆc 

v  0
v  2

 x  2  x  2  x  2  x   2

thÕ vµo c¸ch ®Æt ta ®-îc c¸c nghiÖm cña hÖ lµ : 
;
;
;
;
y  3 y  3 y  5 y  5



x2  35  5x  4  x 2  24

Giải: Giải bất phƣơng trình:
BPT tƣơng đƣơng

x2  35  5x  4  x 2  24

x 2  35  x 2  24  5 x  4 

11
x 2  35  x 2  24

 5x  4

 11  (5 x  4)( x 2  35  x 2  24)
Xét:


www.nguoithay.com
a)Nếu x 

4
không thỏa mãn BPT
5

b)Nếu x>4/5: Hàm số y  (5x  4)( x 2  35  x 2  24) với x>4/5
1
1
y'= 5( x 2  35  x 2  24)  (5 x  4)(

) >0 mọi x>4/5
x 2  35
x 2  24
Vậy HSĐB.
+Nếu 4/5<x  1 thì y(x)  11
+Nếu x>1
thì y(x)>11
Vậy nghiệm BPT x>1

 x3  y 3  3 y 2  3x  2  0

92/ Tìm m để hệ phƣơng trình: 
có nghiệm thực
2
2
2
x  1  x  3 2 y  y  m  0

2
1  x  0
1  x  1


2
 2 y  y  0 0  y  2

Đặt t = x + 1  t[0; 2]; ta có (1)  t3  3t2 = y3  3y2.
Hàm số f(u) = u3  3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên:
(1)  t = y  y = x + 1  (2)  x  2 1  x  m  0
2

Đặt v  1  x

2

2

 v[0; 1]  (2)  v2 + 2v  1 = m.

Hàm số g(v) = v2 + 2v  1 đạt min g (v)  1; m ax g (v)  2
[ 0;1]

[ 0;1]

Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm khi và chỉ khi 1  m 2

1
1
 2
x  x  (1  )  4

y
y


2
.
 x  x  1  4  x3
 y2
y
y3

Giải:

1
1
 2
x  x  (1  )  4

y
y

2
hệ phƣơng trình:  x
.
  x  1  4  x3
 y2
y
y3

1
1
 2
 2
 x  x  y (1  y )  4
x 



§k y  0 
2
 x  x  1  4  x3
 x3 
2
3
y

y
y



1
1
x 4
2
y
y
®Æt
1
x 1
 (  x)  4
y3 y y


1

a  x  y


b  x

y


www.nguoithay.com
a 2  a  2b  4
a 2  a  4  2b
a 2  a  4  2b
a  2



Ta ®-îc  3
 3
 2

2
a  2ab  4
a  a(a  a  4)  4
 a  4a  4  0
b  1



x  y
y 1

Khi ®ã  1
KL

x  1
x  x  2

94/ Giải phƣơng trình
log3 (x 2  5x  6)  log3 (x 2  9x  20)  1  log3 8

Giải: log3 (x 2  5x  6)  log3 (x 2  9x  20)  1  log3 8 (*)
 x  5

2


+ Điều kiện :  x  5x  6  0  x  3  x  2   4  x  3 , và có : 1  log3 8  log3 24
 2


 x  9x  20  0


 x  5  x  4

 x  2


2
2
2

 2


+ PT (*)  log3 (x  5x  6)(x  9x  20)   log 3 24  (x  5x  6)(x  9x  20)  24


(x  5)  (4  x  3)  (x  2)

(x  5)  (4  x  3)  (x  2)

(x  2)(x  3)(x  4)(x  5)  24 (*)

(x  5)  (4  x  3)  (x  2) (**)

+ Đặt t  (x  3)(x  4)  x 2  7x  12  (x  2)(x  5)  t  2 , PT (*) trở thành :
t(t-2) = 24  (t  1)2  25  t  6  t  4


t = 6 : x 2  7x  12  6  x 2  7x  6  0   x  1 ( thỏa đkiện (**))

 x  6
t = - 4 : x 2  7x  12  4  x 2  7x  16  0 : vô nghiệm


+ Kết luận : PT có hai nghiệm là x = -1 và x = - 6
8

1
 log  3x 1 1 
3 x 1

95/ Cho khai triển  2log2 9 7  2 5 2
 . Hãy tìm các giá trị của x biết rằng số hạng thứ 6 trong khai



triển này là 224
k 8

k
Giải: Ta có :  a  b    C8 a 8k bk với a  2log2
8

k 0

3

9x 1  7

1

=  9x 1  7  3 ; b  2





1
 log 2 3x 1 1
5

  3x 1  1



1
5

+ Theo thứ tự trong khai triển trên , số hạng thứ sáu tính theo chiều từ trái sang phải của khai triển là
1

5
T6  C8   9x 1  7  3 



3

5

1
 
1

.   3x 1  1 5   56  9x 1  7  .  3x 1  1


x 1
1
+ Theo giả thiết ta có : 56  9x 1  7  .  3x 1  1 = 224  9 x 1  7  4  9x 1  7  4(3x 1  1)
3 1
x 1
3  1
2
x  1
  3x 1   4(3x 1 )  3  0   x 1

3  3  x  2

log 9
log x
log 3
96/ Giải phƣơng trình x 2  x2 .3 2  x 2


www.nguoithay.com
Giải: 1.ĐK: x>0.
Ta có phƣơng trình xlog2 9  x2 .3log2 x  xlog2 3  3log2 x  x2  1.
t

t

Đặt log2 x  x  2t .

 3  1
Phƣơng trình trở thành 3  4  1        1  t  1  x  2
 4  4
97/ .1.Cho hÖ ph-¬ng tr×nh:
t

t

 x  xy  y  m  2
 2
2
 x y  xy  m  1
1) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh víi m  3 .
2) T×m m ®Ó hÖ ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt.
3

2
2
4 xy  4( x  y )  ( x  y ) 2  7

2.Giải hệ phƣơng trình sau: 
2 x  1  3

x y


Giải: 1.Cho hÖ ph-¬ng tr×nh:

 x  xy  y  m  2
 2
2
 x y  xy  m  1
1) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh víi m  3 .
NhËn thÊy r»ng ®©y lµ hÖ ph-¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i I. Khi ®ã:

x  y  S
§Æt 
, ®iÒu kiÖn S 2  4P  0
 xy  P
ViÕt l¹i hÖ ph-¬ng tr×nh d-íi d¹ng:

 x  y   xy  m  2
S  P  m  2



 SP  m  1
 x  y  xy  m  1


I 

Khi ®ã S , P lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai:

t  1
t 2   m  2 t  m  1  0  
t  m  1
 x  y  1

 f  u   u 2  u  m  11
  xy  m  1


2
 x  y  m  1
 g  u   u   m  1 u  1 2 


  xy  1

Víi m=-3, ta ®-îc:

www.nguoithay.com
u  1  x  1; y  2

u  2
 x  2; y  1

1  u 2  u  2  0  

 2  u 2  u  1  0  u  1  x  y  1
VËy: víi m  3 , hÖ ph-¬ng tr×nh ®· cho cã ba cÆp nghiÖm lµ:  1;2  ,  2; 1 ,  1; 1 .
2) T×m m ®Ó hÖ ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt.
§iÒu kiÖn cÇn: NhËn xÐt r»ng nÕu hÖ cã nghiÖm  x0 ; y0  th×  y0 ; x0  còng lµ nghiÖm cña hÖ, do ®ã hÖ cã
nghiÖm duy nhÊt khi x0  y0 .
Khi ®ã:

m  1
2
3
 x0  2 x0  m  2
m  2 x0  1



 3
 m  3
 3
2
2 x0  m  1
2 x0  x0  2 x0  1  0 


3
m  

4

§iÒu kiÖn ®ñ:
+Víi m  1 , ta ®-îc:

 xy   x  y   3

I   


 xy  x  y   2


Khi ®ã x, y lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh:

 x  y  1
 vn 

t  1
 xy  2
t 2  3t  2  0  

 x  y  1 lµ nghiÖm duy nhÊt cña hÖ.
 x  y  2
t2


  xy  1

+Víi m  1 , ta cã:

 xy   x  y   1

I   


 xy  x  y   0


. NhËn thÊy hÖ lu«n cã cÆp nghiÖm  0;1 vµ 1;0  .

3
+Víi m   , ta cã:
4


www.nguoithay.com
5

 xy   x  y   4
I   

 xy  x  y   1


4
Khi ®ã x  y vµ xy lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh:
 x  y  1

  xy  1
t  1

5 1
1

4
t2  t   0   1  
 x  y  lµ nghiÖm duy nhÊt cña hÖ.
t 
4 4
2

 x  y  1
 4
4  vn 

  xy  1


VËy: víi m  1 hoÆc m  

3
hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt.
4

3

4 xy  4( x 2  y 2 ) 
7

( x  y)2

2. Giải hệ phƣơng trình sau: 
2 x  1  3

x y

ĐK: x + y  0
3

3( x  y ) 2  ( x  y ) 2 
7

( x  y)2

Ta có hệ  
x  y  1  x  y  3

x y


Đặt u = x + y +

1
( u  2 ) ; v = x – y ta đƣợc hệ :
x y

3u 2  v 2  13

u  v  3

Giải hệ ta đƣợc u = 2, v = 1 do ( u  2 )
1

2
x  y  1 x  1
x  y 
x y


Từ đó giải hệ 
x  y  1
y  0
x  y  1


 x1  y 1  4
Đề 103.1. Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh: 
 x 6  y  4  6
Giải: 1. §iÒu kiÖn: x  -1, y  1
Céng vÕ theo vÕ råi trõ vÕ theo vÕ ta cã hÖ
 x1  x6  y1  y4 10

 x6  x1  y 4  y1  2


www.nguoithay.com

 u  v 10
u 5
x 3
§Æt u= x  1  x  6 , v = y  1  y  4 . Ta cã hÖ 
 v 5  y 5 lµ nghiÖm cña hÖ
5 5
  2
u v





98/ 1. T×m a ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:
2.Gi¶i ph-¬ng tr×nh:





3 1

log2 x

 x.



Giải:1.§iÒu kiÖn: ax + a > 0 ; Bpt tƣơng đƣơng
NÕu a>0 th× x +1 >0.Ta cã



3 1

x 2  1  log 1 (ax  a)

3

log2 x

3

 1  x2

x 2  1  a( x  1)

x2  1
a
x 1

NÕu a<0 th× x +1 <0.Ta cã

log 1

x2  1
a
x 1

x2  1
víi x  - 1
x 1

XÐt hµm sè y =
y’ =

§Æt



x 1

=0 khi x=1

( x  1) x  1
2.§iÒu kiÖn : x>0
2

2



3 1

log2 x

=u,





3 1

2
hoÆc a < - 1
2

=> a>

log2 x

1
  u 2 . . . x =1

 uv 1

 v ta cã pt u +uv2 = 1 + u2 v2  (uv2-1)(u – 1) = 0







 x  y  x 2  y 2  13

 x, y   .
2
2
 x  y  x  y  25

 x  y  x 2  y 2  13

Giải: hệ phƣơng trình: 
 x, y   .
x  y  x 2  y 2  25


 x  y  x 2  y 2  13 1
x3  xy 2  x2 y  y3  13 1' 


 3

2
2
3
2
2
y  xy  x y  x  25  2 ' 
 x  y  x  y  25  2 


LÊy (2’) - (1’) ta ®îc : x2 y– xy2 = 6   x  y  xy  6 (3)
KÕt hîp víi (1) ta cã :
 x  y  x 2  y 2  13

 I  . §Æt y = - z ta cã :

 x  y  xy  6

2



 x  z  x2  z 2  13

 x  z   x  z   2xz   13



I  
  x  z  xz  6
 x  z  xz  6
























www.nguoithay.com
®Æt S = x +z vµ P = xz ta cã :
S S 2  2P  13 S 3  2SP  13 S  1




 P  6
SP  6
SP  6

x  z  1
x  3
x  2
Ta cã : 
. HÖ nµy cã nghiÖm 
hoÆc 
x.z  6
z  2
z  3
VËy hÖ ®· cho cã 2 nghiÖm lµ : ( 3 ; 2) vµ ( -2 ; -3 )
Đề 106. a) Giải bất phƣơng trình: log x (log 4 (2 x  4))  1





Giải:a) Giải bất phƣơng trình: log x (log 4 (2 x  4))  1

0  x  1

log x (log 4 (2 x  4))  1 . Đk: log 4 (2 x  4)  0  x  log 2 5
 x
2  4  0
Do x  1  PT  log4 (2x  4)  x  2x  4  4x  4x  2x  4  0 đúng với mọi x. Do vậy BPT có
nghiệm: x  log 2 5
Đề 107. Tìm m để phƣơng trình sau có một nghiệm thực:

2 x2  2(m  4) x  5m  10  x  3  0
Giải: 2 x2  2(m  4) x  5m  10  x  3  0  2 x2  2(m  4) x  5m  10  x  3
x  3
x  3  0



 2
x2  2 x  1
2
2 x  2(m  4) x  5m  10  ( x  3)
m



2x  5

2
2( x 2  5 x)
x  2x 1
 f '( x) 
Xét hàm số, lập BBT với f ( x) 
2x  5
(2 x  5)2
Khi đó ta có:
Bảng biến thiên:
x
-
0
5/2
3
5
y’
+
0
0
y
8
24/5
 24 
Phƣơng trình có 1 nghiệm m     (8; )
5

100/ Tìm m để phƣơng trình: m
Giải: Tìm m để phƣơng trình: m





+
+
+



x 2  2x  2  1  x(2  x)  0 (2) có nghiệm x  0; 1  3 





x 2  2x  2  1  x(2  x)  0 (2) có nghiệm x  0; 1  3 




www.nguoithay.com
Đặt t  x2  2x  2  t2  2 = x2  2x
t2  2
Khảo sát g(t) 
với 1  t  2 ;
t 1

Do đó, ycbt  bpt m 

Bpt (2)  m 
g'(t) 

t2  2
(1  t  2),dox  [0;1  3]
t 1

t 2  2t  2
(t  1)2

 0 . Vậy g tăng trên [1,2]

2
t2  2
có nghiệm t  [1,2]  m  max g(t)  g(2) 
3
t 1
t1;2

Vậy m 

2
3

101/ . 1) Giải phƣơng trình: log3  x 2  x  1  log3 x  2 x  x 2
2) Giải bất phƣơng trình: (log x 8  log 4 x 2 )log 2 2x  0
Giải:

x2  x  1
1
 x  2  x   3x  2  x   x  1 
x
x
1
Đặt:f(x)= 3x 2 x  ; g(x)= x  1 
(x  0)
x
Dùng pp kshs =>max f(x)=3; min g(x)=3=>PT f(x)= g(x)  max f(x)= min g(x)=3 tại x=1
=>PT có nghiệm x= 1
2. Điều kiện x > 0 , x  1
1.

(1)  log3





 1
1
1
 2log4 x  log2 2x  0  
 log2 x   log2 x  1  0
(1)  
 log8 x
2
 1 log2 x

3

 log2 x  1 
log2 x  1
 (log2 x  3) 
0
0
2
log2 x
 log2 x 
1
 log2 x  1hayl og2 x  0  0  x  hay x  1
2
x

102/ Giải phƣơng trình: 3x 2 2 x1  6
2

x

Giải: Giải phƣơng trình: 3x 2 2 x1  6
2

x
log3 2  1  log3 2
2x 1
2
Đƣa phƣơng trình về dạng: (x – 1)(2x2 + x – 1 - log 3 ) = 0.

Lấy logarit theo cơ số 3 cho hai vế ta đƣợc: x 2 

Từ đó suy ra nghiệm x = 1; x 
103/ .Giải bất phƣơng trình
Giải: Giải bất phƣơng trình

1  9  8log 3 2
4

log 2 x  log 2 x 2  3  5 (log 4 x 2  3)
2
log 2 x  log 2 x 2  3  5 (log 4 x 2  3)
2


www.nguoithay.com
x  0
ĐK:  2
2
log 2 x  log 2 x  3  0
Bất phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với
đặt t = log2x,

log 2 x  log 2 x 2  3  5 (log 2 x  3)
2

(1)

BPT (1)  t 2  2t  3  5 (t  3)  (t  3)(t  1)  5 (t  3)

t  1
log x  1
t  1

 t  3

 2
3  t  4
3  log 2 x  4
(t  1)(t  3)  5(t  3) 2

1

0  x  2 Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là: (0; 1 ]  (8;16)


2
8  x  16

( x  1)( y  1)( x  y  2)  6
104/ Giải hệ phƣơng trình:  2
2
x  y  2x  2 y  3  0
( x  1)( y  1)( x  y  2)  6
Giải: hệ phƣơng trình:  2
2
x  y  2x  2 y  3  0
( x  1)( y  1)( x  1  y  1)  6
uv(u  v)  6
uv(u  v)  6
u  x  1
 2

Hệ  
với 
2
2
2
2
v  y  1
( x  1)  ( y  1)  5  0
u  v  5  0
(u  v)  2uv  5  0

P.S  6
S  3
S  u  v

Đặt: 
đƣợc  2
P  2
 P  u.v
S  2 P  5  0
X  1
x  1  2 x  1  1


u, v là nghiệm của phƣơng trình: X2 – 3X + 2 = 0  
X  2
y 1  1 y 1  2
Vậy nghiệm của hệ: (3 ; 2), (2 ; 3)
105/ 1. Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm: 4x – 4m(2x – 1) = 0



2.Tìm m để phƣơng trình: 4 log 2 x



2

 log 1 x  m  0 có nghiệm trong khỏang (0 ; 1).
2

Giải:
1. Đặt t = 2x (t > 0) ta có phƣơng trình: t2 – 4mt + 4m = 0 (*)
t2
 4m (t  0  t  1)
(*) 
x
-
t 1
y'
t 2  2t
t2
Xét y 
có y ' 
y
t 1
t  12
y’ = 0  t  0  t  2
-
Từ bảng biến thiên ta có : m < 0  m  1


0

1

2

+

0

0
+

0
-

+
4

www.nguoithay.com
2

1

2. Pt đã cho  4 log 2 x   log 2 x  m  0 x  (0 ; 1)  log 2 x  log 2 x  m  0 (*)
2
2

Đặt t  log 2 x , x  (0 ; 1)  t  ( ; 0)
(*)  t 2  t  m  0  m  t 2  t t  ( ; 0)
Xét hàm số y = -t2 – t có y’ = -2t – 1
1
1
y’ = 0  t   , y 
2
4
1
t
-
0
2
y’

+

0

-

1
4

y
-
106/ Giải bất phƣơng trình
Giải:

0

 4x  3

ĐS : m 

x 2  3x  4  8x  6

bất phƣơng trình:  4x  3 x 2  3x  4  8x  6 (1)
(1)   4 x  3





x 2  3x  4  2  0

Ta có: 4x-3=0<=>x=3/4

x 2  3x  4  2 =0<=>x=0;x=3
Bảng xét dấu:
x
-
0
4x-3
x  3x  4  2
Vế trái
2

¾
0

+

2
+

+ 0
- 0

+

- 0
+
+
0
0
+
 3
Vậy bất phƣơng trình có nghiệm: x  0;   3;  
 4
1
1
107 / Giải phƣơng trình: log 2 ( x  3)  log 4 ( x  1) 8  3 log 8 (4 x) .
2
4
1
1
Giải: phƣơng trình: log 2 ( x  3)  log 4 ( x  1) 8  3 log 8 (4 x) .
2
4
1
1
log 2 ( x  3)  log 4 ( x  1) 8  3 log 8 (4 x) .
2
4
 x  3

Điều kiện:  x  1  0  x  1. Biến đổi theo logarit cơ số 2 thành phƣơng trình
x  0



1
4

www.nguoithay.com
i
 x  1  loaï 
log 2  x  3 x  1   log 2  4x   x 2  2x  3  0  
 x  3.


x3


 1 
108/ Tìm các giá trị của tham số m để phƣơng trình sau có nghiệm duy nhất thuộc đoạn  ;1 :
 2 

3 1  x 2  2 x 3  2 x 2  1  m ( m  R ).
 1 
Giải:Đặt f  x   3 1 x2  2 x3  2x2  1 , suy ra f  x  xác định và liên tục trênđoạn   ;1 .
 2 
 3

3x
3x2  4x
3x  4
f ' x  

 x 

.
2
1 x2
x 3  2x 2  1
x 3  2x 2  1 
 1 x
4
3
3x  4
 1 

 0.
x    ;1 ta có x    3x  4  0 
3
 2 
1 x2
x 3  2x 2  1

f ' x  0  x  0 .
Vậy:
Bảng biến thiên:


x
f ' x

1
2
||

0


0

1


||

1
CÑ
f

 x

3 3
2

22
4

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Phƣơng trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất thuộc
3 3  22
 1 
hoặc m  1 .
  2 ;1  4  m 
2



y2  2
3y 
109/ 1. Giải hệ phƣơng trình sau: 
x2


2
3x  x  2

y2


2. Giải phƣơng trình:
Giải:1. Giải hệ phƣơng trình sau:

3

2x  1  3 2x  2  3 2x  3  0


y2  2
3y 
x2


2
3x  x  2

y2


3x 2 y  y 2  2

điều kiện x>0, y>0. Khi đó hệ tƣơng đƣơng  2
2
3xy  x  2

Trừ vế theo vế hai phƣơng trình ta đƣợc: (x-y)(3xy+x+y) = 0  x  y thay lại phƣơng trình Giải tìm
đƣợc nghiệm của hệ là: (1;1).
3
2. Giải phƣơng trình:
2x  1  3 2x  2  3 2x  3  0


www.nguoithay.com
Tập xác định: D = R. Đặt f(x) =
Ta có:

2

f ' ( x) 
3

(2 x  1) 2

2x  1  3 2x  2  3 2x  3

3

2


3

2



(2 x  2) 2

3

1
3
 0; x   ,1,
2
2
(2 x  3) 2

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên tập M=   , 1     1 ,1    1, 3     3 , 

 
 
 




2

 2





1
2

2

 2



3
2

Ta thấy f(-1)=0  x=-1 là một nghiệm của (1). Ta có: f ( )  3; f ( )  3
Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):
x

-∞  3
2

f’(x)



-1





1
2

+∞


+∞

F(x)
0
-∞

3

-3

Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = 0  x = -1. Vậy phƣơng trình đã cho có duy nhất một nghiệm x = -1.

u  3 2 x  1

Cách 2: Hs có thể đặt 
khi đó ta đƣợc hệ
v  3 2x  3




u 3  v3
uv
0

giải hệ này và tìm đƣợc
2

v 3  u 3  2


nghiệm.
Giaûi phöông trình : 2 3 3x  2  3 6  5x  8  0 (x  R)
6
Giải: 2 3 3x  2  3 6  5x  8  0 , ñieàu kieän : 6  5 x  0  x 
5
3
8  5t 3
t 2
Ñaët t = 3 3x  2  t3 = 3x – 2  x =
vaø 6 – 5x =
3
3
110/

8  5t 3
8  0
Phöông trình trôû thaønh : 2t  3
3



8  5t 3
t4
 8  2t 
 3
 t = -2. Vaäy x = -2
15t 3  4t 2  32t  40  0
3
log 2 (x 2  y 2 )  1  log 2 (xy)

111/ Gæai heä phöông trình :  2
(x, y  R)
x  xy  y2
 81
3

Giải: Ñieàu kieän x, y > 0

log 2 (x 2  y 2 )  log 2 2  log 2 (xy)  log 2 (2xy)

 2
2
 x  xy  y  4



www.nguoithay.com
 x 2  y 2  2xy
(x  y)2  0
x  y
x  2
 x  2

  2
 
 
 
hay 
2
 x  xy  y  4
 xy  4
y  2
 y  2
 xy  4

2 y  x  m

112/ Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ phƣơng trình 
có nghiệm duy nhất
 y  xy  1

y 1

2
Giải Ta có : x  2 y  m , nên : 2 y  my  1  y . PT  
( vì y = 0 PTVN). Xét
1
m  y  y  2

1
1
f  y   y   2  f '  y   1  2  0 . Lập BTT. KL: Hệ có nghiệm duy nhất  m  2 .
y
y
113/

1. Giải phƣơng trình 2 xlog4 x  8log2 x .
2. Giải bất phƣơng trình 2 1  log2 x  log4 x  log8 x  0 .

Giải 1. ĐK : x  0 . Ta có: 1  log 2 x log 4 x  3log 2 x . Đặt t  log 2 x .Ta có:
t 2  3t  2  0  t  1, t  2 . Khi: t  1 thì log 2 x  1  x  2(th) . Khi: t  2 thì log 2 x  2  x  4(th) . KL:
Nghiệm PT x  2, x  4 .
t
4
2. ĐK : x  0 . Đặt t  log 2 x , ta có : 1  t  t   0 , BPT  3t 2  4t  0    t  0 . KL:
3
3
4
1
  log 2 x  0  3  x  1 .
3
2 2
( x  1)(4  x)
2x
 x2 
x2
x2
Giải
 x  2


  x   0;7 

 7
ĐK:? bpt   x2  3x  4  x  2  
 x   1; 
 2

 x  2

  x   1; 4

3

115/ Giải phƣơng trình: 8x  1  2 2 x1  1
3

Giải : 8x  1  2 2 x1  1

Đặt 2 x  u  0; 3 2 x1  1  v

u 3  1  2v
 3
u  v  0
1  5

u  1  2v
 x  0; x  log 2
 3

 3
2
2
2
v  1  2u
(u  v)(u  uv  v  2)  0
u  2u  1  0



1
1
 2
x  x  (1  )  4

y
y

2
116/ Giải hệ phƣơng trình:  x
.
  x  1  4  x3
 y2
y
y3


www.nguoithay.com
1
1
1
 2
 2 1
1

 x  x  y (1  y )  4
x  y2  x  y  4
a  x  y




Giải : §k y  0 
®Æt 
2
 x  x  1  4  x3
 x 3  1  x ( 1  x)  4
b  x
3
2
3
y


y
y y
y
y
y



a 2  a  2b  4
 2
a 2  a  4  2b
a  2

a  a  4  2b

Ta ®-îc  3
 3
 2

2
a  2ab  4
a  a(a  a  4)  4
 a  4a  4  0
b  1



x  y
y 1

Khi ®ã  1
KL

x 2
x  1

x

117/ Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh :

3

 x 1 
9 x  5.3x  14.log 3 
0
 x2

Giải:
KL:2. +) Đ/K: x>2 or x<-1

 x 1 
 x 1 
x
x
9 x  5.3x  14.log 3 
  0  3 3  7 3  2 log 3 
0
 x2
 x2
 x 1 
 3x  7 log 3 
0
 x2
x 1 
3
 x 1 
XÐt x>2 ta cã log 
0 x2
0
 1
3
x2
 x2
 x2
x 1 
x 1
3
XÐt x<-1 ta cã log 
1
 0  x  2 . KL:?
0
3
x2
x2
x2




3









118 / Gi¶i ph-¬ng tr×nh : 4  2
x

x 1



 



 2 2 x  1 sin 2 x  y  1  2  0

Giải: Đặt 2 x  t , đ ƣa về pt bậc 2 ẩn t ,giải ti ếp. Ho ặc đ ƣa pt vrrf d ạng t ổng c ác b ình ph ƣ ơng
119/ Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm thực :

 x 2  3x  2   x 2  2mx  2m

Giải Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm thực :  x 2  3x  2   x 2  2mx  2m (*)

1 x  2


1 x  2
 x 2  3x  2  0


3x  2
 2
(*)


f ( x) 
 2m
2m( x  1)  3x  2
 x  3x  2   x 2  2mx  2m



x 1


5
 0, x  1; 2  f (x) đồng biến trên 1;2
f(x) liên tục trên 1; 2 và có f ( x) 
2
 x  1
Bài toán yêu cầu  f (1)  2m  f (2) 

1
2
m
4
3


www.nguoithay.com



120/ Giải hệ phƣơng trình :

log y  log x   y  x  x 2  xy  y 2
3
3

2
2

 x2  y 2  4




2

y 3

Giải: Điều kiện : x > 0 ; y > 0 . Ta có : x  xy  y   x    y 2  0 x, y >0 ; Xét x > y
2 4

2

2

VT(*)  0
y
 (*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.
3
3
VP(*)  0
2
2
VT(*)  0
 (*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.
Xét x < y  log 3 x  log 3 y  
VP(*)  0
2
2
 log

x  log

0  0
Khi x = y hệ cho ta  2
 x = y = 2 ( do x, y > 0). Vậy hệ có ngd nh  x; y  
2x  2 y2  4

Vậy hệ có ngd
1



2; 2

1



121/ Giải phƣơng trình: (x  24) 3  (12  x) 2  6 .
Giải; Nhận xét: Theo định nghĩa của lũy thừa số mũ hữu tỉ, cơ số phải dƣơng nên điều kiện có nghĩa
 x  24  0
của biểu thức là: 
 24  x  12 .
12  x  0
1

1

Đặt: u  (x  24) 3 ; v  (12  x) 2

với u , v  0.

u  v  6
u  v  6
u  v  6
u  v  6
 3
 3
 2
Ta có:  3
2
2
2
 u  v  36
 u  (6  u)  36
u  u  12u  0
u(u  u  12)  0
1

(x  24) 3  3

 x  24  27
1

u  3


2

(do u, v  0)  (12  x)  3  12  x  9  x  3 (thỏa)
v  3
 24  x  12
 24  x  12




122/ Giải phƣơng trình log3 (x 2  5x  6)  log3 (x 2  9x  20)  1  log3 8

 x  5

2


Giải: Điều kiện :  x  5x  6  0  x  3  x  2   4  x  3 , và có : 1  log3 8  log3 24
 2


 x  9x  20  0


 x  5  x  4

 x  2


2
2
2

 2


+ PT (*)  log3 (x  5x  6)(x  9x  20)   log 3 24  (x  5x  6)(x  9x  20)  24


(x  5)  (4  x  3)  (x  2)

(x  2)(x  3)(x  4)(x  5)  24 (*)

(x  5)  (4  x  3)  (x  2) (**)

(x  5)  (4  x  3)  (x  2)


www.nguoithay.com
+ Đặt t  (x  3)(x  4)  x 2  7x  12  (x  2)(x  5)  t  2 , PT (*) trở thành :
t(t-2) = 24  (t  1)2  25  t  6  t  4


t = 6 : x 2  7x  12  6  x 2  7x  6  0   x  1 ( thỏa đkiện (**))

 x  6
t = - 4 : x  7x  12  4  x  7x  16  0 : vô nghiệm


+ Kết luận : PT có hai nghiệm là x = -1 và x = - 6
2

2

123/ Giải hệ phƣơng trình.

Giải: Đặt : t = x + y ; ĐK: t

=>

; Hệ đã cho trở thành

Vậy hệ dã cho có một nghiệm
Đề 132 : Giải phƣơng trình:
Giải: ĐK: x > 1; Với ĐK trên phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng

Vậy phƣơng trình đã cho có một nghiệm :

x4  x4
 x  x 2  16  6
2

x  4  0
 x  4. Đặt t =
Giải : * Đk: 
x  4  0
t  2( L)
BPT trở thành: t2 - t - 6  0  
t  3

x  4  x  4 (t > 0)


www.nguoithay.com
 x  4
(a)

9 - 2x  0

2
* Với t  3  2 x  16  9 - 2x  x  4

(b)
 9 - 2x  0
 2
2
 4( x  16)  (9  2 x)
*

(a)  x 

9
.
2

145
9
145

 x < . *Tập nghệm của BPT là: T= 
;  
36
2
 36


(b) 

*

 xy  18  12  x 2

125/
1. Giải hệ phƣơng trình: 
1 2
 xy  9  y
3

x
x
2. Giải phƣơng trình: 9 + ( x - 12).3 + 11 - x = 0
 xy  18  12  x 2  12  x 2  0  x  2 3

Giải 1) Giải hệ: 
1 2
 xy  9  y  x y  2 3 y  x  2 3
3


 x  2 3  xy  18







 x   2 3;2 3 , tƣơng ứng y   3 3;3 3

Thử lại, thoả mãn hệ đã cho





Vậy, x; y    2 3;3 3 , 2 3;3 3



   x 123

2) Giải phương trình: 3x

2



x

 11  x  0

3 x  1
x  0

 x
x
3  11  x
 f ( x)  3  x  11  0(*)


(a + b + c = 0)

f ' ( x)  3 x ln 3  1  0, x 
  (*) có nghiệm duy nhất x = 2
f (2)  0

Vậy, tập nghiệm của phƣơng trình: S = {0 ; 2
126/
Giải:





Giải phƣơng trình: x 2  1

x

2

2

 5  x 2 x 2  4;

 1  5  x 2 x 2  4;
2

xR

xR

t2
 1  5  t  t 2  2t  8  0
Đặt t  x 2 x  4  t  2( x  2 x ) ta đƣợc phƣơng trình
2
t  4

t  2
2

2

4

2


www.nguoithay.com
x  0

x  0
x  0
 4
 2
x 2
4
2
2
2( x  2 x )  16
x  2x  8  0
x  2

+ Với t =  4 Ta có x 2 x 2  4  4  
+ Với t = 2 ta có

x  0
x  0
x  0

 2
x
x 2x2  4  2   4
 4
2( x  2 x 2 )  4
x  2 x2  2  0
x  3 1



ĐS: phƣơng trình có 2 nghiệm x   2, x 

3 1

3 1

2


 3
 log 1 x  1   log 2  x  1  6
2
 2
127/ Giải bất phƣơng trình: 
 log 2  x  1
2  log 1 ( x  1)
Giải; Đ ặt log 2  x  1  t rồi giải tiếp
Giải

2

7  x2  x x  5  3  2 x  x2

(x  )


3  x  1
3  2 x  x 2  0
3  2 x  x 2  0



 x  0
PT  

2
2
7  x  x x  5  3  2 x  x
 x x  5  2( x  2)



x2
 x  5  2.
x

2  x  0


 x  1 ; Vậy phƣơng trình đã cho có một nghiệm x = - 1.
2
 x  1  x  16   0


1

log 1  y  x   log 4  1

y
129/ Giải hệ phƣơng trình  4
 2
2
 x  y  25

( x, y  )

y  x  0
; Hệ phƣơng trình
y  0
1
yx


yx 1
log 4  y  x   log 4 y  1 log 4 y  1  y  4



 x 2  y 2  25
 x 2  y 2  25
 x 2  y 2  25




5 
 15
;
 x; y   
x  3y

x  3y
x  3y
 10 10 


(không thỏa mãn đk)
 2
 2
  2 25 
2
2

5 
 15
 x  y  25 9 y  y  25  y 
;
 x; y    
10


10 

 10

Vậy hệ phƣơng trình đã cho vô nghiệm.
x

130/ Tìm các giá trị của tham số m để phƣơng trình: m  e 2  4 e

2x

 1 có nghiệm thực .

www.nguoithay.com
Giải: Đặt t  e

x
2

PT trở thành: m  4 t 4  1  t .Xét f (t )  4 t 4  1  t với t > 0 .

ĐK: t > 0 .

3

 t4 
f '(t )   4   1  0  hàm số NB trên  0;    . lim f (t )  lim
t 
t 
 t 1 
4

f(0) = 1.



1

4

t4 1  t



t 4 1  t 2



0;

KL: 0< m <1.



131/ Giải phƣơng trình: log 3 4.16  12
x

x

  2 x  1.

Giải: PT  4.16x  12x  32 x1  4.42 x  4x.3x  3.32 x . Chia 2 vế cho 32 x  0 , ta
2x

x

x

3
4
4
4
có: 4       3  0 ; Đặt t    . ĐK: t  0 ; 4t 2  t  3  0  t  1(kth); t  (th) .
4
3
3
3
1

x

3
3 4
4
Khi t  , ta có:        x  1 .
4
4 3
3

 x  y  x 2  y 2  12

 y x 2  y 2  12

Giải: Điều kiện: | x |  | y |

u  x 2  y 2 ; u  0
1
u2 

Đặt 
; x   y không thỏa hệ nên xét x   y ta có y   v   .
2
v 
v  x  y

u  v  12
u  3
u  4

Hệ phƣơng trình đã cho có dạng:  u 
hoặc 

u2 
v  9
v  8
 2  v  v   12

 
 x2  y 2  4
u  4
u  3  x 2  y 2  3




+ 
(I) ;
+ 
(II)
v  8
v  9
x  y  8
x  y  9


Giải hệ (I), (II).Sau đó hợp các kết quả lại, ta đƣợc tập nghiệm của hệ phƣơng trình ban đầu là
S   5;3 ,  5;4 

log x x 2  14 log16 x x3  40 log 4 x x  0.
2

Giải :

phƣơng trình log x x 2  14 log16 x x3  40 log 4 x x  0.
2

1
1
; x  . Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho;Với x  1 . Đặt
4
16
2
42
20
t  log x 2 và biến đổi phƣơng trình về dạng


 0 ;Giải ra ta đƣợc
1  t 4t  1 2t  1
1
1
1
t  ;t  2  x  4; x 
. Vậy pt có 3 nghiệm x =1; x  4; x 
.
2
2
2

 Điều kiện: x  0; x  2; x 


[ Www.nguoithay.com ] hon 250 bai phuong trinh va he phuong trinh 2012

[ Www.nguoithay.com ] hon 250 bai phuong trinh va he phuong trinh 2012

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (16)

Similar to [ Www.nguoithay.com ] hon 250 bai phuong trinh va he phuong trinh 2012

Similar to [ Www.nguoithay.com ] hon 250 bai phuong trinh va he phuong trinh 2012 (20)

[ Www.nguoithay.com ] hon 250 bai phuong trinh va he phuong trinh 2012