Your SlideShare is downloading. ×
Vurdering og matematikk
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Saving this for later?

Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime - even offline.

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Vurdering og matematikk

6,249
views

Published on

Presentasjon til PPU-samling om vurdering.

Presentasjon til PPU-samling om vurdering.

Published in: Education

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
6,249
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
81
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Vurdering Matematikk Tor Espen Kristensen 19. Februar 2009
  • 2. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Vurdering Noen grunnleggende spørsmål Hvem skal vurdere? Hva skal vurderes? Når skal det vurderes? Hvorfor skal det vurderes? Hvordan vurdere? Hvordan skal vurderingen formidles? Tor Espen Kristensen | Vurdering 2
  • 3. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Hvem skal vurderes? Tor Espen Kristensen | Vurdering 3
  • 4. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Formativ og summativ vurdering Formativ vurdering: Formativ vurdering er vurdering som har som mål å forme eller danne i fremtid. Vi ønsker å avdekke elevens læringspotensial og finne ut hvordan vi best kan tilrettelegge undervisningen Summativ vurdering: Den summative vurderingen er karakterisert ved at den forsøker å bestemme resultatet etter endt underviningsforløp. Tor Espen Kristensen | Vurdering 4
  • 5. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Vurdering Formål med vurderingen Formål med vurdering er å fremme læring og utvikling hos elever og lærlinger. Vurdering skal dokumentere kompetanse underveis og til slutt i opplæringsløpet og sikre en nasjonal standard i opplæringen, slik at alle elever og lærlinger får et godt og likeverdig opplæringstilbud. Tor Espen Kristensen | Vurdering 5
  • 6. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Vurdering Formål med vurderingen Formål med vurdering er å fremme læring og utvikling hos elever og lærlinger. Vurdering skal dokumentere kompetanse underveis og til slutt i opplæringsløpet og sikre en nasjonal standard i opplæringen, slik at alle elever og lærlinger får et godt og likeverdig opplæringstilbud. Sluttvurdering har til hensikt å dokumentere elevers og lærlingers kompetanse etter endt opplæring på gitte trinn som grunnlag for sortering og sertifisering. Tor Espen Kristensen | Vurdering 5
  • 7. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Vurdering L97: Elevens «helhetlig kompetanse» skulle vurderes. Hovedmål: fremme læring og utvikling Tor Espen Kristensen | Vurdering 6
  • 8. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Vurdering L97: Elevens «helhetlig kompetanse» skulle vurderes. Hovedmål: fremme læring og utvikling LK06: Elever og lærlinger skal vurderes i forhold til kompetansemålene i læreplaner for fag. Grunnleggende ferdigheter er integrert i kompetansemålene. Vurderingen skal uttrykkes positivt som ulik grad av oppnådd kompetanse. vurdering underveis sluttvurdering orden og atferd Tor Espen Kristensen | Vurdering 6
  • 9. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Backwash effekten Daviv Clarke: Hva som skal evalueres bestemmer hva som skal undervises i. Det som blir verdsatt i evalueringen fungerer som mål i undervisningen. Tor Espen Kristensen | Vurdering 7
  • 10. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Backwash effekten Daviv Clarke: Hva som skal evalueres bestemmer hva som skal undervises i. Det som blir verdsatt i evalueringen fungerer som mål i undervisningen. Barnes et al: Endringer i testformer kan fremme reformer i matematikkundervisningen Tor Espen Kristensen | Vurdering 7
  • 11. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Backwash effekten I 1995 ble i Danmark en Færdighed i elementær regning ferdighetsprøve i matematikk avskaffet. 110 I 1997 ble den igjen 100 innført. 90 addition % rigtige 80 subtraktion multiplikation 70 division 60 50 40 1985 1988 1991 1994 1997 2000 Tor Espen Kristensen | Vurdering 8
  • 12. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Vurdering Når skal det vurderes? Når skal det vurderes? Tor Espen Kristensen | Vurdering 9
  • 13. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Vurdering Når skal det vurderes? Når skal det vurderes? Ole Björkqvist: Undervisning och utvärdering bör uppfattas på ett integrerat sätt, bland annat så att planering av undervisning automatiskt innefattar planering av utvärdering, och omvänt. Tor Espen Kristensen | Vurdering 9
  • 14. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Vurdering Når skal det vurderes? Når skal det vurderes? Ole Björkqvist: Undervisning och utvärdering bör uppfattas på ett integrerat sätt, bland annat så att planering av undervisning automatiskt innefattar planering av utvärdering, och omvänt. Flere ulike relasjoner mellom undervisning og vurdering: lære fra vurdering lære under vurdering vurdering før undervisning vurdering mens en underviser vurdering etter undervisning Undervise mens man vurderer. Tor Espen Kristensen | Vurdering 9
  • 15. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Den didaktiske relasjonsmodell Bjørndal og Lieberg e forutsetnin ktisk ger ida D Eva lue Mål ring Læ ri n gs d ol ak h inn t iv Fag i te t er Tor Espen Kristensen | Vurdering 10
  • 16. KJENNETEGN I MATEMATIKK 7. trinn 24 Lav Høy måloppnåelse måloppnåelse Lav Høy måloppnåelse måloppnåelse Med utgangs- Med punkt i enkle tekster utgangspunkt i og praktiske situasjoner tekster og praktiske løse noen enkle oppgaver og Gjengi og ana- situasjoner utforske pro- arbeide med enkle problem- lysere egenskaper blemstillinger, stille opp Gjengi egen- stillinger med veiledning ved sentrale begreper matematiske modeller skaper ved noen og utnytte sammenhen- og løse oppgaver begreper ger mellom begreper Velge og bruke et bredt spekter av hjelpemidler i ulike situasjoner Utføre addi- Bruke noen sjon, subtraksjon og Utføre addi- utleverte hjelpe- multiplikasjon av brøker sjon, subtraksjon og midler med og uten digitale multiplikasjon av brøker hjelpemidler med vei- med sikkerhet med og ledning Vurdere uten digitale hjelpe- rimelighet av svar i midler tallregning og praktiske situasjoner Vurdere rimelighet av svar i enkle situasjoner Vise selvstendighet og velge egne meto- Gjennomføre der i arbeidet med faget, beregninger med Gjennomføre og kan gjøre antakelser sikkerhet i metodevalg enkle, rutinemessige og stille spørsmål og utøvelse, også uten beregninger med i hoved- digitale hjelpemidler sak én metode, også uten digitale hjelpemidler og bruke standardiserte metoder med veiledning Problemløsning
  • 17. Begreper og ferdigheter Kommunikasjon Gjøre rede for egne reson- Beskrive nement og forklare egne og andres andres resonnement knyttet til enkle problemstillinger med veiledning Bruke og veksle mellom uformelle uttrykksfor- mer, representasjoner og matematiske symboler Bruke FInne informa- uformelle uttrykks- sjon, behandle og former, enkle repre- presentere data ved sentasjoner og noen hjelp av digitale hjelpe- matematiske symboler midler Finne infor- masjon og presen- tere data fra enkle situasjoner ved hjelp av digitale hjelpemidler Høy måloppnåelse Lav måloppnåelse KJENNETEGN I MATEMATIKK 7. trinn 25
  • 18. Karakteren 2 (lav) Karakteren 3 4 (middels) Karakteren 5 6 (høy) ƒ Kan regne med ƒ Kan regne med ƒ Kan i høy grad regne Tall og algebra enkle algebraiske algebraiske uttrykk, med, vurdere og (1P) uttrykk, tierpotenser, løse bearbeide tierpotenser, løse praktiske sammensatte uttrykk enkle praktiske problemstillinger og og problemstillinger problemstillinger og kommentere grafer og og drøfte grafer. ƒ Kan løse komplekse lese av enkle kan i noen grad vurdere grafiske og bearbeide prosent og framstillinger. resultatene forholdsoppgaver. ƒ Kan løse enkle ƒ Kan løse ulike ƒ Kan regne med problemstillinger problemstillinger mht proporsjonale og mht prosent og prosent og forhold. omvendt ƒ Kan regne med forhold. proporsjonale ƒ Kan gjenkjenne proporsjonale størrelser. størrelser. proporsjonale størrelser.
  • 19. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Matematisk kompetanse Mogens Niss og Tomas Højgaard Jensen Å spørre og svare i, med og om Å omgås språk og redskaper i matematikk matematikk Representasjonskompetanse Tankegangskompetanse Kompetanse i symbolbruk og Problembehandlings- formalisme kompetanse Kommunikasjonskompetanse Modelleringskompetanse Hjelpemiddelkompetanse Resonnementskompetanse Tor Espen Kristensen | Vurdering 14
  • 20. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Matematisk kompetanse Mogens Niss og Tomas Højgaard Jensen Å spørre og svare i, med og om Å omgås språk og redskaper i matematikk matematikk Representasjonskompetanse Tankegangskompetanse Kompetanse i symbolbruk og Problembehandlings- formalisme kompetanse Kommunikasjonskompetanse Modelleringskompetanse Hjelpemiddelkompetanse Resonnementskompetanse Grunnleggende ferdigheter: å kunne uttrykke seg muntlig, lese, uttrykke seg skriftlig, regne og å kunne bruke digitale verktøy. Tor Espen Kristensen | Vurdering 14
  • 21. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Vurdering og kompetanser I KOM-prosjektet legges det vekt på at en ikke kun skal fokusere på summativ vurdering, men i mist like så høy grad på formativ vurdering. I KOM-prosjektet gjenkjennes tre dimensjoner i en persons besittelse av en kompetanse: dekningsgrad aksjonsradius teknisk nivå Tor Espen Kristensen | Vurdering 15
  • 22. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Progresjon us di sra Teknisk nivå on sj Ak Dekningsgrad Tor Espen Kristensen | Vurdering 16
  • 23. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Progresjon us = «Senere» di sra Teknisk nivå on = «Tidligere» sj Ak Dekningsgrad Tor Espen Kristensen | Vurdering 16
  • 24. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Hva skal vurderes? – Hvor eleven er i forhold til kompetansemåla i faget Mål for opplæringen er at eleven skal kunne faktorisere polynomer ved hjelp av nullpunkter og polynomdivisjon, og bruke det til å løse likninger med polynomer og rasjonale funksjoner modellere praktiske problemer ved hjelp av lineære likningssystemer med flere ukjente, og løse dem med og uten digitale hjelpemidler Tor Espen Kristensen | Vurdering 17
  • 25. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Hva skal vurderes? – Hvor eleven er i forhold til kompetansemåla i faget Mål for opplæringen er at eleven skal kunne faktorisere polynomer ved hjelp av nullpunkter og polynomdivisjon, og bruke det til å løse likninger med polynomer og rasjonale funksjoner modellere praktiske problemer ved hjelp av lineære likningssystemer med flere ukjente, og løse dem med og uten digitale hjelpemidler Men hva kjennetegner høy, middels og lav måloppnåelse? Tor Espen Kristensen | Vurdering 17
  • 26. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Et forsøk på å lage vurderingskriterier Lav måloppnåelse: Eleven kan finne nullpunkt til kvadratiske likninger, utføre polynomdivisjon og manipulere enkle algebraiske uttrykk. Eleven kan løse enkle likningssystem med to ukjente Middels måloppnåelse: Eleven kan faktorisere polynomer ved hjelp av nullpunkt og polynomdivisjon Eleven kan omforme algebraiske mer avanserte uttrykk Eleven viser god kompetanse i ressonering, kan forklare en tankegang og bruke det matematiske symbolspråket i argumenteringen. Eleven kan løse lineære likningssytem med to eller tre ukjente både med og uten digitale hjelpemidler, samt gi en geometrisk tolkning av løsnigsmengden i tilfellet med to ukjente Eleven kan skrive opp likningere som svarer til opplysninger gitt i et praktisk problem Tor Espen Kristensen | Vurdering 18
  • 27. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Et forsøk på å lage vurderingskriterier Høy måloppnåelse: Eleven kan i tillegg løse sammensatte matematiske problem og argumentere for løsningen. For å få en sekser kreves også et visst presisjonsnivå i argumenteringen. Det bør også være innslag av kreativitet. Tor Espen Kristensen | Vurdering 19
  • 28. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Vurdering og undervisning I engelsktalende land: assessment. Handler om mer en selve vurderingen; også oppgavetyper, hvordan en stiller spørsmål, hvilke mål vi har for undervisningen etc. Tradisjonelle spørsmål Modifiserte spørsmål Finn 35% av 80 Emilie ønsket å kjøpe et skjerf som var på tilbud. Før kostet det 80 m,kr, men nå var det satt ned 35%. Hun har 50 kro- ner. Vil hun få råd til skjerfet? Hvorfor? Hvorfor ikke? Tor Espen Kristensen | Vurdering 20
  • 29. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Vurdering og undervisning Tradisjonelle spørsmål Modifiserte spørsmål Multipliser ut (x + 7)2 Ole multipliserte ut (x + 7)2 på en feil måte og fikk x 2 + 49. Forklar hvor han gjorde feil. Tor Espen Kristensen | Vurdering 21
  • 30. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Vurdering og undervisning Tradisjonelle spørsmål Modifiserte spørsmål Multipliser ut (x + 7)2 Ole multipliserte ut (x + 7)2 på en feil måte og fikk x 2 + 49. Forklar hvor han gjorde feil. Forklar hvorfor x = 7 er en løs- Løs likningen 2x − 4 = x + 3 ning av likningen 2x−4 = x+3. Tor Espen Kristensen | Vurdering 21
  • 31. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Undersøkelseslandskap Skovsmose har innført begrepet undersøkelseslandskap om oppgaver som innebærer at elevene må være kreative problemløsere. Opp mot undersøkelseslandskapet setter han oppgaveparadigmet, som Botten oversetter med tradisjonelle matematikkoppgaver. Dette er oppgaver som har entydige svar, i motsetning til oppgaver i undersøkelseslandskapet, som er mer åpne. Tor Espen Kristensen | Vurdering 22
  • 32. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Oppgavetyper Tradisjonelle Undersøkelseslandskap matematikkoppgaver med et entydig fasitsvar «Ren» matematikk, (1) (2) uten noen praktisk anvendelse «Semi»-anvendelser (3) (4) av matematikken Ekte, reelle (5) (6) anvendelser av matematikk Tor Espen Kristensen | Vurdering 23
  • 33. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Eksempel Mahavira (800-tallet): En tredel av en elefantflokk og tre ganger kvadratroten av resten av flokken ruslet i en fjellskråning, mens en hannelefant og tre hunnelefanter dukket seg i en dam i nærheten. Hvor mange elefanter var det i alt i flokken? Tor Espen Kristensen | Vurdering 24
  • 34. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Eksempel En natt i vårmåneden var en nydelig ung kvinne elskovslykkelig med sin ektemann på gulvet i en herskapelig villa som lå skinnende hvit i månelyset i en lysthage med trær som lutet under vekten av frukt og overdådige blomsterranker, mens lufta fyltes av søte lyder fra papegøyer, gjøker og bier som var beruset av honning fra blomstene i hagen. Så hendte det i elskovskampen mellom det unge paret at kvinnens halskjede ble revet i stykker og perlene spratt omkring. En tredel av perlene trillet til tjenestejenta. En seksdel landet i den myke senga. Halvparten av denne brøkdelen, halvparten av dette igjen, og videre på samme måte i alt seks ganger, samlet seg i hauger på gulvet. Det viste seg at det var igjen 1161 perler på halskjedet. Om du er flink til å regne med brøker, så si meg hvor mange perler det i alt hadde vært på kjedet som prydet den unge kvinnens hals! Tor Espen Kristensen | Vurdering 25
  • 35. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Undersøkelseslandskap Læreren har funnet et fenomen som kan fungere som et undersøkelseslandskap. Lærer: Hva tror dere vil skje hvis. . . Elevene ser nøyere på fenomenet og begynner å undersøke – Elev: Men kan det være slik at. . . Elev: Ja, men hva skjer hvis. . . Elev: Og hvis. . . Lærer: Hvorfor det, tro? Elev: Ja, hvorfor det. Kan det være slik at . . . Elev: Men her stemmer ikke akkurat det, kanskje det må være. . . Tor Espen Kristensen | Vurdering 26
  • 36. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Undersøkelseslandskap Elevene befinner seg i et undersøkelseslandskap. inviterer og frister til å utforske. Dette fordrer åpne oppgaver. Tor Espen Kristensen | Vurdering 27
  • 37. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Undersøkelseslandskap Elevene befinner seg i et undersøkelseslandskap. inviterer og frister til å utforske. Dette fordrer åpne oppgaver. Eksempel: Plasser tall fra 1 til 9 i de tre sirklene slik at summen blir 9: =9 Tor Espen Kristensen | Vurdering 27
  • 38. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Undersøkeseslandskap Ingvill Merete Stedøy-Johansen forteller om Fru Flink ( kap 1 i «Matematikk i skolen».) Fru Flink introduserte elevene til Kaprekars konstant: 6174. Tor Espen Kristensen | Vurdering 28
  • 39. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Undersøkeseslandskap Ingvill Merete Stedøy-Johansen forteller om Fru Flink ( kap 1 i «Matematikk i skolen».) Fru Flink introduserte elevene til Kaprekars konstant: 6174. Gi meg et tall! Tor Espen Kristensen | Vurdering 28
  • 40. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Undersøkeseslandskap Ingvill Merete Stedøy-Johansen forteller om Fru Flink ( kap 1 i «Matematikk i skolen».) Fru Flink introduserte elevene til Kaprekars konstant: 6174. Gi meg et tall! 6953. Tor Espen Kristensen | Vurdering 28
  • 41. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Undersøkeseslandskap Ingvill Merete Stedøy-Johansen forteller om Fru Flink ( kap 1 i «Matematikk i skolen».) Fru Flink introduserte elevene til Kaprekars konstant: 6174. Gi meg et tall! 6953. «Skriv tallet i en annen rekkefølge, slik at tallet blir 9653 størst mulig.» «Bytt om rekkefølgen på sifrene, slik at tallet blir så 3569 lite som mulig.» «Trekk det minste fra det største.» 6084 «Gjør dette om igjen og om igjen.» 8640 8640 − 0468 = 8172 8721 − 1278 = 7443 7443 − 3447 = 3996 ... 7641 − 1467 = 6174 Tor Espen Kristensen | Vurdering 28
  • 42. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Undersøkeseslandskap Kaprekars konstant «Da gjør Matt en spennende oppdagelse: ‘Hei, hvis jeg starter med tallet 9753, kommer jeg til Kaprekars konstant med en gang! Jeg lurer på om det skjer med flere tall?’» Tor Espen Kristensen | Vurdering 29
  • 43. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Undersøkeseslandskap Kaprekars konstant «Da gjør Matt en spennende oppdagelse: ‘Hei, hvis jeg starter med tallet 9753, kommer jeg til Kaprekars konstant med en gang! Jeg lurer på om det skjer med flere tall?’» 9973 8862 7751 6640 9863 8752 7641 6530 9753 8642 7531 6420 9643 8532 7421 6310 9533 8422 7311 6200 Tor Espen Kristensen | Vurdering 29
  • 44. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Karakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks «Den gode historien» 1 Halvåpne og åpne oppgaver 2 Oppgaver som kan forstås og løses på ulike nivåer, avhengig 3 av den enkelte elevs forutsetninger Jakten på mønster og system 4 Oppgaver der det er en fordel å arbeide sammen med andre 5 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 6 Oppgaver som gir konkrete resultater 7 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 8 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre. 9 Tor Espen Kristensen | Vurdering 30
  • 45. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Rike problem Karakteriseres ved: Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse 1 løsningsstrategier Tor Espen Kristensen | Vurdering 31
  • 46. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Rike problem Karakteriseres ved: Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse 1 løsningsstrategier Problemet skal være lett å forstå og alle skal ha en mulighet til å 2 arbeide med det Tor Espen Kristensen | Vurdering 31
  • 47. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Rike problem Karakteriseres ved: Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse 1 løsningsstrategier Problemet skal være lett å forstå og alle skal ha en mulighet til å 2 arbeide med det Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og 3 ta tid Tor Espen Kristensen | Vurdering 31
  • 48. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Rike problem Karakteriseres ved: Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse 1 løsningsstrategier Problemet skal være lett å forstå og alle skal ha en mulighet til å 2 arbeide med det Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og 3 ta tid Problemet skal kunne løses på flere måter, med ulike strategier og 4 representasjoner Tor Espen Kristensen | Vurdering 31
  • 49. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Rike problem Karakteriseres ved: Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse 1 løsningsstrategier Problemet skal være lett å forstå og alle skal ha en mulighet til å 2 arbeide med det Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og 3 ta tid Problemet skal kunne løses på flere måter, med ulike strategier og 4 representasjoner Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med 5 utgangspunkt i elevenes løsninger som viser ulike typer strategier, representasjoner og matematiske ideer Tor Espen Kristensen | Vurdering 31
  • 50. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Rike problem Karakteriseres ved: Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse 1 løsningsstrategier Problemet skal være lett å forstå og alle skal ha en mulighet til å 2 arbeide med det Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og 3 ta tid Problemet skal kunne løses på flere måter, med ulike strategier og 4 representasjoner Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med 5 utgangspunkt i elevenes løsninger som viser ulike typer strategier, representasjoner og matematiske ideer Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike 6 matematiske områder. Tor Espen Kristensen | Vurdering 31
  • 51. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Rike problem Karakteriseres ved: Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse 1 løsningsstrategier Problemet skal være lett å forstå og alle skal ha en mulighet til å 2 arbeide med det Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og 3 ta tid Problemet skal kunne løses på flere måter, med ulike strategier og 4 representasjoner Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med 5 utgangspunkt i elevenes løsninger som viser ulike typer strategier, representasjoner og matematiske ideer Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike 6 matematiske områder. Problemet skal kunne lede til at elever og lærere formulerer nye 7 interessante problem. Tor Espen Kristensen | Vurdering 31
  • 52. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Rike problem Tor Espen Kristensen | Vurdering 32
  • 53. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Oppgave På figuren under er det tegnet inn 8 brikker. Hovedbrikken Brikkene kan flyttes på rutenettet, en plass av gangen. Plassen du flytter en brikke til må være ledig. Det er ikke lov å flytte diagonalt. Hovedbrikken starter alltid lengst oppe til høyre. Hva er det minste antall bevegelser som skal til for å flytte hovedbrikken til det nederste venstre hjørnet? Målplass Kan du generalisere resultatet? Vurder denne oppgaven i forhold til Kunnskapsløftet. Hvilke mål fra læreplanen kan dere knytte denne oppgaven til. Hvilke matematisk kompetanse jobbes med i denne oppgaven. Tor Espen Kristensen | Vurdering 33
  • 54. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Oppgave Varianter Hva med følgende figur? (Antall rader er 2 og antall kolonner varierer) Hovedbrikken Målplass Tor Espen Kristensen | Vurdering 34
  • 55. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Å tenke matematisk. . . I PISA ble det brukt tre kompetanseklasser: Klasse 1: Reproduksjon, definisjoner og beregninger. Klassen dekker elevers bruk av faktakunnskaper, gjenkjenning av matematiske objekter og egenskaper og utføring av rutinemessige prosedyrer og standardalgoritmer Tor Espen Kristensen | Vurdering 35
  • 56. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Å tenke matematisk. . . I PISA ble det brukt tre kompetanseklasser: Klasse 1: Reproduksjon, definisjoner og beregninger. Klassen dekker elevers bruk av faktakunnskaper, gjenkjenning av matematiske objekter og egenskaper og utføring av rutinemessige prosedyrer og standardalgoritmer Klasse 2: Se forbindelser og kunne integrere informasjon som grunnlag for problemløsning. Elevene skal kunne se sammenhenger mellom ulike områder av matematikken, kunne bruke ulike representasjoner, se sammenhenger mellom definisjoner, bevis, eksempler og påstander. Elevene må kunne bruke et formelt språk. Her er problemene ofte gitt i en sammenheng. Tor Espen Kristensen | Vurdering 35
  • 57. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Å tenke matematisk. . . I PISA ble det brukt tre kompetanseklasser: Klasse 1: Reproduksjon, definisjoner og beregninger. Klassen dekker elevers bruk av faktakunnskaper, gjenkjenning av matematiske objekter og egenskaper og utføring av rutinemessige prosedyrer og standardalgoritmer Klasse 2: Se forbindelser og kunne integrere informasjon som grunnlag for problemløsning. Elevene skal kunne se sammenhenger mellom ulike områder av matematikken, kunne bruke ulike representasjoner, se sammenhenger mellom definisjoner, bevis, eksempler og påstander. Elevene må kunne bruke et formelt språk. Her er problemene ofte gitt i en sammenheng. Klasse 3: «Matematisering», matematisk tenking og generalisering. Dette er den mest omfattende klassen, der elevene stilles overfor kravet om å kunne «matematisere» situasjoner, det vil si komme fram til matematikken som finnes i ulike situasjoner, og å bruke det matematiske verktøyet til å løse problemer, for så å tolke svaret inn i den opprinnelige situasjonen. Slike prosesser inneholder kritisk tenking, analyse og refleksjon. Tor Espen Kristensen | Vurdering 35
  • 58. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Prosgresjon Asse ssm e nt ng Pyra m id Level III ki anaylsis in Th Over time, of assessment ls Level II ve questions connections Le should quot;fillquot; the pyramid. Level I reproduction difficult ra eb alg y etr om ge Do er d ma mb se nu ins Po & ic s y of ns easy tist ilit Ma sta ob ab t io th pr s em ue at Q ic s F 1 Tor Espen Kristensen | Vurdering 36
  • 59. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Nivåer Eksempel: Blooms taksonomier Faktakunnskap: gjengi, angi, liste opp, gjenkjenne 1 Forståelse: forklare, formulere, løse, betegne 2 Anvendelse: bruke kunnskap i nye situasjoner, forutsi, 3 beregne, fortelle med egne ord Analyse: finne likheter og forskjeller, utlede, skille ut, 4 klassifisere Syntese: velge ut og sette sammen kunnskap fra ulike kilder, 5 utlede, planlegge, oppsummere, kombinere, generalisere Vurdere: bedømme, diskutere, begrunne, forsvare, kritisere 6 Tor Espen Kristensen | Vurdering 37
  • 60. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Diagnostisk undervisning Sett ring rundt de regnestykkene som passer til oppgaven. For 7 lodd må du betale 35 kroner. Hvor mye koster 1 lodd? 35 · 7 35 : 7 7 : 35 7 · 35 35 − 7 7 + 35 Prosentvis fordeling av svarene: 4. klasse 6. klasse 8. klasse 35 : 7 27 59 75 7 : 35 5 4 2 35 − 7 9 2 0 Både 35 : 7 og 7 : 35 25 24 10 Både 35 · 7 og 7 · 3 57 6 9 Tor Espen Kristensen | Vurdering 38
  • 61. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Misoppfatninger Definisjon Vi kaller ufullstendige tanker knyttet til et begrep for misoppfatninger. Det er viktig å forstå forskjellen på de feil elevene gjør, og de misoppfatninger de har. En feil kan komme mer eller mindre tilfeldig, fordi en ikke er oppmerksom nok eller ikke leser oppgaven godt nok osv. Misoppfatninger er ikke tilfeldige. Bak dem ligger det en bestemt tenkning – en idé – som en bruker nokså konsekvent. Tor Espen Kristensen | Vurdering 39
  • 62. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Misoppfatninger L97, Arbeidsmåter i faget Elevene kan ha uferdige begreper, gjør av og til feil og viser misoppfatninger. I en tillitsfull og byggende atmosfære skal dette brukes som utgangspunkt for videre læring og dypere innsikt. Tor Espen Kristensen | Vurdering 40
  • 63. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Hva skyldes misoppfatnigner? Ofte: Overgeneralisering av tidligere kunnskaper. Det holder ikke å generalisere ut fra begrensede erfaringer: «Når vi ganger, blir svaret større og når vi deler blir svaret mindre» Tor Espen Kristensen | Vurdering 41
  • 64. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Hva skyldes misoppfatnigner? Ofte: Overgeneralisering av tidligere kunnskaper. Det holder ikke å generalisere ut fra begrensede erfaringer: «Når vi ganger, blir svaret større og når vi deler blir svaret mindre» Eksempel 6 · 4 = 6 + 6 + 6 + 6. Multiplikasjon oppfattes her som en enklere måte å skrive en gjentatt addisjon med like store addender. Et delvis begrep om multiplikasjon. Hvordan kan dette hjelpe eleven til å løse 0,57 · 0,39? Tor Espen Kristensen | Vurdering 41
  • 65. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Hva skyldes misoppfatnigner? Eksempel Elever som er vant til delingsdivisjon, kan mangle begrep når de skal løse en oppgave som 12 : 0,4. Eksempel Barn møter desimaltall i forbindelse med penger eller målinger før emnet blir aktuelt i undervisningen. Sentrale erfaringer blir da: Det er et helt antall kroner på den ene siden av komma og et helt antall ører på den andre siden av komma. 5,7 + 6,5 = 11,12 Tor Espen Kristensen | Vurdering 42
  • 66. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Hva skyldes misoppfatninger? Andre årsaker kan være: Elevene skiller ikke mellom begrep og algoritme. Å kunne multiplikasjon blir å kunne algoritmen eller multiplikasjonstabellen. Tor Espen Kristensen | Vurdering 43
  • 67. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Misoppfatninger Oppgave Hvilket tall er størst av disse tre: 0,274 0,6 0,85 Mange elever vil her svare 0,274. Hvorfor? Tor Espen Kristensen | Vurdering 44
  • 68. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Misoppfatninger Oppgave Hvilket tall er størst av disse tre: 0,274 0,6 0,85 Mange elever vil her svare 0,274. Hvorfor? De ser at 274 er større enn 85 og 6. Misoppfatningen bygger på at et desimaltall består av et par av tall, det ene foran og det andre bak komma. Hva kan årsaken være? Tor Espen Kristensen | Vurdering 44
  • 69. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Misoppfatninger Oppgave Hvilket tall er størst av disse tre: 0,274 0,6 0,85 Mange elever vil her svare 0,274. Hvorfor? De ser at 274 er større enn 85 og 6. Misoppfatningen bygger på at et desimaltall består av et par av tall, det ene foran og det andre bak komma. Hva kan årsaken være? Barn møter desimaltall i forbindelse med blant annet: penger (35 kroner og 50 øre) målinger (2 meter og 70 centimeter) før emnet blir aktuelt i undervisningen. Sentrale erfaringer blir da: Det er et helt antall kroner på den ene siden av komma og et helt antall øre på den andre siden av komma. Tor Espen Kristensen | Vurdering 44
  • 70. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Misoppfatninger Typiske misoppfatninger, innen tall og tallregning: Det lengste tallet har alltid størst verdi En kan ikke dele et lite tall med et stort Multiplikasjon gjør alltid tallet større En kan bare dividere med hele tall 3 : 6 og 6 : 3 gir samme svar Divisjon gjør alltid svaret mindre Kjøttdeig koster 69,50 kroner pr kg, hvor mye koster 0,86 kg? Tor Espen Kristensen | Vurdering 45
  • 71. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Misoppfatninger Typiske misoppfatninger, innen tall og tallregning: Det lengste tallet har alltid størst verdi En kan ikke dele et lite tall med et stort Multiplikasjon gjør alltid tallet større En kan bare dividere med hele tall 3 : 6 og 6 : 3 gir samme svar Divisjon gjør alltid svaret mindre Kjøttdeig koster 69,50 kroner pr kg, hvor mye koster 0,86 kg? «Siden svaret skal bli mindre enn 69,50 kroner, må vi dele» Tor Espen Kristensen | Vurdering 45
  • 72. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Diagnostisk undervisning Eksempel Per subtraherer slik: 78 65 243 -29 -53 -156 = 51 = 12 = 113 Hvordan tenker Per? Hvordan kan vi hjelpe Per? Tor Espen Kristensen | Vurdering 46
  • 73. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Diagnostisk undervisning Eksempel Per subtraherer slik: 78 65 243 -29 -53 -156 = 51 = 12 = 113 Hvordan tenker Per? Hvordan kan vi hjelpe Per? Skape en kognitiv konflikt. 123 - 46 = 123 Tor Espen Kristensen | Vurdering 46
  • 74. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Diagnostiske prøver Oppgaver kan komme før en undervisningssekvens. Det kan gjerne være med noen oppgavetyper som elevene ikke har jobbet med før. Hovedmål: Oppdage hvilke tanker elevene har om ulike begreper. Bli kjent med de vanskene som er knyttet til disse begrepene. Hjelpe læreren å planlegge undervisningen. Tor Espen Kristensen | Vurdering 47
  • 75. Vanlige oppgaver Diagnostiske oppgaver
  • 76. Vanlige oppgaver Diagnostiske oppgaver 0,4 · 0,3 0,4 · 0,2
  • 77. Vanlige oppgaver Diagnostiske oppgaver 0,4 · 0,3 0,4 · 0,2 Hvilke tall er størst av Hvilket tall er størst av 0,45 0,68 0,31 0,247 0,6 0,85
  • 78. Vanlige oppgaver Diagnostiske oppgaver 0,4 · 0,3 0,4 · 0,2 Hvilke tall er størst av Hvilket tall er størst av 0,45 0,68 0,31 0,247 0,6 0,85 Legg 0,1 til 4,5 Legg 0,1 til 4,563
  • 79. Vanlige oppgaver Diagnostiske oppgaver 0,4 · 0,3 0,4 · 0,2 Hvilke tall er størst av Hvilket tall er størst av 0,45 0,68 0,31 0,247 0,6 0,85 Legg 0,1 til 4,5 Legg 0,1 til 4,563 Lag en regnefortelling til Lag en regnefortelling til 18 : 3 = 6 13 : 3,25 = 4
  • 80. Vanlige oppgaver Diagnostiske oppgaver 0,4 · 0,3 0,4 · 0,2 Hvilke tall er størst av Hvilket tall er størst av 0,45 0,68 0,31 0,247 0,6 0,85 Legg 0,1 til 4,5 Legg 0,1 til 4,563 Lag en regnefortelling til Lag en regnefortelling til 18 : 3 = 6 13 : 3,25 = 4 Les av og skriv riktig tall i ruta: Les av og skriv riktig tall i ruta: 6 7 6 7
  • 81. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Hvordan formidler vi vurderingen? Å rette med rødt. (Fra Geir Bottens bok: Meningsfylt matematikk Tor Espen Kristensen | Vurdering 49
  • 82. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Hvordan formidler vi vurderingen? Å rette med rødt. (Fra Geir Bottens bok: Meningsfylt matematikk Tor Espen Kristensen | Vurdering 50
  • 83. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Hvordan formidler vi vurderingen? Å rette med grønt Tor Espen Kristensen | Vurdering 51
  • 84. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Hvordan formidler vi vurderingen? Å rette med grønt Tor Espen Kristensen | Vurdering 52
  • 85. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Hvordan formidler vi vurderingen? Godbitark Tor Espen Kristensen | Vurdering 53
  • 86. Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning Hvordan formidler vi vurderingen? Godbitark Tor Espen Kristensen | Vurdering 54