Your SlideShare is downloading. ×
0
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Problemløsning i matematikk

10,926

Published on

Published in: Education
0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
10,926
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
6
Actions
Shares
0
Downloads
180
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Matematikk Tor Espen Kristensen Odda, 16. januar 2007
  • 2. Hva vil det si å kunne matematikk? Hvordan utvikle matematisk kompetanse? Hvordan få barna til å tenke matematisk?
  • 3. S- ENC TION AT IK AT TAN MPET O PET NTA MG E KO TEM KEG ENC ÅS KOMRÆSE MA - SP R MA AN E PR FOR CE SVARE I, MED, O M LIN OBLE REP GS- OG OG REDS KABER GSK MB OG TEN OM EHA OL- E PET ND- MB KOMP SY ME ENC E LIS S- KOM ING KOM MUN LERTENCE PET IKAT DEL E PET NTS- HJÆMPETE MO KOMP ENC ION G KO E E S- ENC GE O I MA LPE NCE KOM EME ØR MID T EM N SP SON DEL AT AT IK RÆ -
  • 4. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Fra formålet Kompetanser i matematikk Fra formålet: Problemløysing høyrer med til den matematiske kompetansen. Det er å analysere og omforme eit problem til matematisk form, løyse det og vurdere kor gyldig det er. Dette har òg språklege aspekt, som det å resonnere og kommunisere idear. I det meste av matematisk aktivitet nyttar ein hjelpemiddel og teknologi. Både det å kunne bruke og vurdere hjelpemiddel og teknologi og det å kjenne til avgrensinga deira er viktige delar av faget. Kompetanse i matematikk er ein viktig reiskap for den einskilde, og faget kan leggje grunnlag for å ta vidare utdanning og for deltaking i yrkesliv og fritidsaktivitetar. Tor Espen Kristensen | Matematikk 4
  • 5. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Sist gang: Problembahandlingskompetansen Kantouski: A task is said to be a problem if its solution requires that an individual combines previously known data in a way that is new to him or her. Tor Espen Kristensen | Matematikk 5
  • 6. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Å kunne regne Grunnleggjande ferdigheiter Å kunne rekne i matematikk utgjer ei grunnstamme i matematikkfaget. Det handlar om problemløysing og utforsking som tek utgangspunkt i praktiske, daglegdagse situasjonar og matematiske problem. For å greie det må ein kjenne godt til og meistre rekneoperasjonane, ha evne til å bruke varierte strategiar, gjere overslag og vurdere kor rimelege svara er. Tor Espen Kristensen | Matematikk 6
  • 7. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Problemløsing Hvordan utvikle problembehandlingskompetansen? Lester peker på følgende fire punkt [3]: 1 Elever må løse mange problemer for å forbedre problemløsingsevnen sin. 2 Problemløsingsevnen utvikles langsomt og over en lang periode 3 Elever må tro på at læreren synes at problemløsing er viktig, for at de skal ta til seg undervisning. 4 De fleste elever tjener op systematisk undervisning i problemløsing. Tor Espen Kristensen | Matematikk 7
  • 8. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Problemløsing Hvordan utvikle problembehandlingskompetansen? Lester peker på følgende fire punkt [3]: 1 Elever må løse mange problemer for å forbedre problemløsingsevnen sin. 2 Problemløsingsevnen utvikles langsomt og over en lang periode 3 Elever må tro på at læreren synes at problemløsing er viktig, for at de skal ta til seg undervisning. 4 De fleste elever tjener op systematisk undervisning i problemløsing. Tor Espen Kristensen | Matematikk 7
  • 9. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Problemløsing Hvordan utvikle problembehandlingskompetansen? Lester peker på følgende fire punkt [3]: 1 Elever må løse mange problemer for å forbedre problemløsingsevnen sin. 2 Problemløsingsevnen utvikles langsomt og over en lang periode 3 Elever må tro på at læreren synes at problemløsing er viktig, for at de skal ta til seg undervisning. 4 De fleste elever tjener op systematisk undervisning i problemløsing. Tor Espen Kristensen | Matematikk 7
  • 10. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Problemløsing Hvordan utvikle problembehandlingskompetansen? Lester peker på følgende fire punkt [3]: 1 Elever må løse mange problemer for å forbedre problemløsingsevnen sin. 2 Problemløsingsevnen utvikles langsomt og over en lang periode 3 Elever må tro på at læreren synes at problemløsing er viktig, for at de skal ta til seg undervisning. 4 De fleste elever tjener op systematisk undervisning i problemløsing. Tor Espen Kristensen | Matematikk 7
  • 11. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Problemløsing Lærerens funksjon Haapasalo fire nivåre: 1 Eleven har ingen forestilling om hvordan han eller hun kan gå fram i forbindelse med problemløsing. Læreren fungerer som en modell for dette. 2 Eleven forstår betydningen av problemløsing og tør angripe problemer som virker kjente til en viss grad, ofte som medlem av en gruppe. Læreren fungerer som en støtte eller «protese». 3 Eleven har en god forestilling om hva problemløsing er, og tør å prøve nye strategier. Læreren er leverandør av problemer. 4 Eleven er i stand til å velge passende strategier og produserer nye løsningsmåter. Han eller hun ser muligheter til variasjon og generalisering og presenterer dem for andre. Læreren fungerer som fremmer av kreativt arbeid. Tor Espen Kristensen | Matematikk 8
  • 12. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Problemløsing Lærerens funksjon Haapasalo fire nivåre: 1 Eleven har ingen forestilling om hvordan han eller hun kan gå fram i forbindelse med problemløsing. Læreren fungerer som en modell for dette. 2 Eleven forstår betydningen av problemløsing og tør angripe problemer som virker kjente til en viss grad, ofte som medlem av en gruppe. Læreren fungerer som en støtte eller «protese». 3 Eleven har en god forestilling om hva problemløsing er, og tør å prøve nye strategier. Læreren er leverandør av problemer. 4 Eleven er i stand til å velge passende strategier og produserer nye løsningsmåter. Han eller hun ser muligheter til variasjon og generalisering og presenterer dem for andre. Læreren fungerer som fremmer av kreativt arbeid. Tor Espen Kristensen | Matematikk 8
  • 13. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Problemløsing Lærerens funksjon Haapasalo fire nivåre: 1 Eleven har ingen forestilling om hvordan han eller hun kan gå fram i forbindelse med problemløsing. Læreren fungerer som en modell for dette. 2 Eleven forstår betydningen av problemløsing og tør angripe problemer som virker kjente til en viss grad, ofte som medlem av en gruppe. Læreren fungerer som en støtte eller «protese». 3 Eleven har en god forestilling om hva problemløsing er, og tør å prøve nye strategier. Læreren er leverandør av problemer. 4 Eleven er i stand til å velge passende strategier og produserer nye løsningsmåter. Han eller hun ser muligheter til variasjon og generalisering og presenterer dem for andre. Læreren fungerer som fremmer av kreativt arbeid. Tor Espen Kristensen | Matematikk 8
  • 14. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Problemløsing Lærerens funksjon Haapasalo fire nivåre: 1 Eleven har ingen forestilling om hvordan han eller hun kan gå fram i forbindelse med problemløsing. Læreren fungerer som en modell for dette. 2 Eleven forstår betydningen av problemløsing og tør angripe problemer som virker kjente til en viss grad, ofte som medlem av en gruppe. Læreren fungerer som en støtte eller «protese». 3 Eleven har en god forestilling om hva problemløsing er, og tør å prøve nye strategier. Læreren er leverandør av problemer. 4 Eleven er i stand til å velge passende strategier og produserer nye løsningsmåter. Han eller hun ser muligheter til variasjon og generalisering og presenterer dem for andre. Læreren fungerer som fremmer av kreativt arbeid. Tor Espen Kristensen | Matematikk 8
  • 15. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Tankegangskompetanse Denne kompetansen går ut på å mestre ulike måter å tenke matematisk på. kjenne, forstå og kunne bruke matematiske begreper, det vil si begrepers rekkevidde og begrensninger og deres forankring i diverse domener ha bevissthet rundt hvilke spørsmål som er karakteristiske for matematikk, å kunne stille matematiske spørsmål og «ha blikk for» hvilke typer svar som forventes utvide et begrep ved abstraksjon og forstå hva som ligger i generalisering og selv kunne generalisere. skille mellom påstander, antagelser og bevis. Det vil si skille når det er snakk om utsagn, definisjoner, setninger, enkelttilfeller, spesialtilfeller, påstander basert på intuisjon, matematiske bevis osv. Tor Espen Kristensen | Matematikk 9
  • 16. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Tankegangskompetanse Denne kompetansen går ut på å mestre ulike måter å tenke matematisk på. kjenne, forstå og kunne bruke matematiske begreper, det vil si begrepers rekkevidde og begrensninger og deres forankring i diverse domener ha bevissthet rundt hvilke spørsmål som er karakteristiske for matematikk, å kunne stille matematiske spørsmål og «ha blikk for» hvilke typer svar som forventes utvide et begrep ved abstraksjon og forstå hva som ligger i generalisering og selv kunne generalisere. skille mellom påstander, antagelser og bevis. Det vil si skille når det er snakk om utsagn, definisjoner, setninger, enkelttilfeller, spesialtilfeller, påstander basert på intuisjon, matematiske bevis osv. Tor Espen Kristensen | Matematikk 9
  • 17. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Tankegangskompetanse Denne kompetansen går ut på å mestre ulike måter å tenke matematisk på. kjenne, forstå og kunne bruke matematiske begreper, det vil si begrepers rekkevidde og begrensninger og deres forankring i diverse domener ha bevissthet rundt hvilke spørsmål som er karakteristiske for matematikk, å kunne stille matematiske spørsmål og «ha blikk for» hvilke typer svar som forventes utvide et begrep ved abstraksjon og forstå hva som ligger i generalisering og selv kunne generalisere. skille mellom påstander, antagelser og bevis. Det vil si skille når det er snakk om utsagn, definisjoner, setninger, enkelttilfeller, spesialtilfeller, påstander basert på intuisjon, matematiske bevis osv. Tor Espen Kristensen | Matematikk 9
  • 18. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Tankegangskompetanse Denne kompetansen går ut på å mestre ulike måter å tenke matematisk på. kjenne, forstå og kunne bruke matematiske begreper, det vil si begrepers rekkevidde og begrensninger og deres forankring i diverse domener ha bevissthet rundt hvilke spørsmål som er karakteristiske for matematikk, å kunne stille matematiske spørsmål og «ha blikk for» hvilke typer svar som forventes utvide et begrep ved abstraksjon og forstå hva som ligger i generalisering og selv kunne generalisere. skille mellom påstander, antagelser og bevis. Det vil si skille når det er snakk om utsagn, definisjoner, setninger, enkelttilfeller, spesialtilfeller, påstander basert på intuisjon, matematiske bevis osv. Tor Espen Kristensen | Matematikk 9
  • 19. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Tankegangskompetanse Grunnleggjande ferdigheiter Å kunne uttrykkje seg munnleg i matematikk inneber å gjere seg opp ei meining, stille spørsmål, argumentere og forklare ein tankegang ved hjelp av matematikk. Det inneber òg å vere med i samtalar, kommunisere idear og drøfte problem og løysingsstrategiar med andre. Tor Espen Kristensen | Matematikk 10
  • 20. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Undersøkelseslandskap Skovsmose har innført begrepet undersøkelseslandskap om oppgaver som innebærer at elevene må være kreative problemløsere. Opp mot undersøkelseslandskapet setter han oppgaveparadigmet, som Botten oversetter med tradisjonelle matematikkoppgaver. Dette er oppgaver som har entydige svar, i motsetning til oppgaver i undersøkelseslandskapet, som er mer åpne. Tor Espen Kristensen | Matematikk 11
  • 21. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Oppgavetyper Tradisjonelle matematikkoppgaver Undersøkelseslandskap med et entydig fasitsvar «Ren» matematikk, (1) (2) uten noen praktisk anvendelse «Semi»-anvendelser (3) (4) av matematikken Ekte, reelle (5) (6) anvendelser av matematikk Tor Espen Kristensen | Matematikk 12
  • 22. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Eksempel Mahavira (800-tallet): Eksempel En tredel av en elefantflokk og tre ganger kvadratroten av resten av flokken ruslet i en fjellskråning, mens en hannelefant og tre hunnelefanter dukket seg i en dam i nærheten. Hvor mange elefanter var det i alt i flokken? Tor Espen Kristensen | Matematikk 13
  • 23. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Eksempel En natt i vårmåneden var en nydelig ung kvinne elskovslykkelig med sin ektemann på gulvet i en herskapelig villa som lå skinnende hvit i månelyset i en lysthage med trær som lutet under vekten av frukt og overdådige blomsterranker, mens lufta fyltes av søte lyder fra papegøyer, gjøker og bier som var beruset av honning fra blomstene i hagen. Så hendte det i elskovskampen mellom det unge paret at kvinnens halskjede ble revet i stykker og perlene spratt omkring. En tredel av perlene trillet til tjenestejenta. En seksdel landet i den myke senga. Halvparten av denne brøkdelen, halvparten av dette igjen, og videre på samme måte i alt seks ganger, samlet seg i hauger på gulvet. Det viste seg at det var igjen 1161 perler på halskjedet. Om du er flink til å regne med brøker, så si meg hvor mange perler det i alt hadde vært på kjedet som prydet den unge kvinnens hals! Tor Espen Kristensen | Matematikk 14
  • 24. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Undersøkelseslandskap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Tor Espen Kristensen | Matematikk 15
  • 25. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Undersøkelseslandskap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Tor Espen Kristensen | Matematikk 15
  • 26. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Undersøkelseslandskap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Tor Espen Kristensen | Matematikk 15
  • 27. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Undersøkelseslandskap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Tor Espen Kristensen | Matematikk 15
  • 28. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Undersøkelseslandskap Læreren har funnet et fenomen som kan fungere som et undersøkelseslandskap. Lærer: Hva tror dere vil skje hvis. . . Elevene ser nøyere på fenomenet og begynner å undersøke – Elev: Men kan det være slik at. . . Elev: Ja, men hva skjer hvis. . . Elev: Og hvis. . . Lærer: Hvorfor det, tro? Elev: Ja, hvorfor det. Kan det være slik at . . . Elev: Men her stemmer ikke akkurat det, kanskje det må være. . . Tor Espen Kristensen | Matematikk 16
  • 29. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Undersøkelseslandskap Elevene befinner seg i et undersøkelseslandskap. inviterer og frister til å utforske. Dette fordrer åpne oppgaver. Tor Espen Kristensen | Matematikk 17
  • 30. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Undersøkelseslandskap Elevene befinner seg i et undersøkelseslandskap. inviterer og frister til å utforske. Dette fordrer åpne oppgaver. Eksempel: Plasser tall fra 1 til 9 i de tre sirklene slik at summen blir 9: = 9 Tor Espen Kristensen | Matematikk 17
  • 31. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Undersøkeseslandskap Ingvill Merete Stedøy-Johansen forteller om Fru Flink [6]. Fru Flink introduserte elevene til Kaprekars konstant: 6174. Tor Espen Kristensen | Matematikk 18
  • 32. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Undersøkeseslandskap Ingvill Merete Stedøy-Johansen forteller om Fru Flink [6]. Fru Flink introduserte elevene til Kaprekars konstant: 6174. Gi meg et tall! Tor Espen Kristensen | Matematikk 18
  • 33. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Undersøkeseslandskap Ingvill Merete Stedøy-Johansen forteller om Fru Flink [6]. Fru Flink introduserte elevene til Kaprekars konstant: 6174. Gi meg et tall! 6953. Tor Espen Kristensen | Matematikk 18
  • 34. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Undersøkeseslandskap Ingvill Merete Stedøy-Johansen forteller om Fru Flink [6]. Fru Flink introduserte elevene til Kaprekars konstant: 6174. Gi meg et tall! 6953. «Skriv tallet i en annen rekkefølge, slik at tallet blir 9653 størst mulig.» «Bytt om rekkefølgen på sifrene, slik at tallet blir så 3569 lite som mulig.» «Trekk det minste fra det største.» 6084 «Gjør dette om igjen og om igjen.» 8640 8640 − 0468 = 8172 8721 − 1278 = 7443 7443 − 3447 = 3996 ... 7641 − 1467 = 6174 Tor Espen Kristensen | Matematikk 18
  • 35. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Undersøkeseslandskap Kaprekars konstant «Da gjør Matt en spennende oppdagelse: ‘Hei, hvis jeg starter med tallet 9753, kommer jeg til Kaprekars konstant med en gang! Jeg lurer på om det skjer med flere tall?’» Tor Espen Kristensen | Matematikk 19
  • 36. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Undersøkeseslandskap Kaprekars konstant «Da gjør Matt en spennende oppdagelse: ‘Hei, hvis jeg starter med tallet 9753, kommer jeg til Kaprekars konstant med en gang! Jeg lurer på om det skjer med flere tall?’» 9973 8862 7751 6640 9863 8752 7641 6530 9753 8642 7531 6420 9643 8532 7421 6310 9533 8422 7311 6200 Tor Espen Kristensen | Matematikk 19
  • 37. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Karakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks 1 «Den gode historien» 2 Halvåpne og åpne oppgaver 3 Oppgaver som kan forstås og løses på ulike nivåer, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger 4 Jakten på mønster og system 5 Oppgaver der det er en fordel å arbeide sammen med andre 6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 7 Oppgaver som gir konkrete resultater 8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre. Tor Espen Kristensen | Matematikk 20
  • 38. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Karakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks 1 «Den gode historien» 2 Halvåpne og åpne oppgaver 3 Oppgaver som kan forstås og løses på ulike nivåer, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger 4 Jakten på mønster og system 5 Oppgaver der det er en fordel å arbeide sammen med andre 6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 7 Oppgaver som gir konkrete resultater 8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre. Tor Espen Kristensen | Matematikk 20
  • 39. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Karakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks 1 «Den gode historien» 2 Halvåpne og åpne oppgaver 3 Oppgaver som kan forstås og løses på ulike nivåer, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger 4 Jakten på mønster og system 5 Oppgaver der det er en fordel å arbeide sammen med andre 6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 7 Oppgaver som gir konkrete resultater 8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre. Tor Espen Kristensen | Matematikk 20
  • 40. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Karakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks 1 «Den gode historien» 2 Halvåpne og åpne oppgaver 3 Oppgaver som kan forstås og løses på ulike nivåer, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger 4 Jakten på mønster og system 5 Oppgaver der det er en fordel å arbeide sammen med andre 6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 7 Oppgaver som gir konkrete resultater 8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre. Tor Espen Kristensen | Matematikk 20
  • 41. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Karakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks 1 «Den gode historien» 2 Halvåpne og åpne oppgaver 3 Oppgaver som kan forstås og løses på ulike nivåer, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger 4 Jakten på mønster og system 5 Oppgaver der det er en fordel å arbeide sammen med andre 6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 7 Oppgaver som gir konkrete resultater 8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre. Tor Espen Kristensen | Matematikk 20
  • 42. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Karakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks 1 «Den gode historien» 2 Halvåpne og åpne oppgaver 3 Oppgaver som kan forstås og løses på ulike nivåer, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger 4 Jakten på mønster og system 5 Oppgaver der det er en fordel å arbeide sammen med andre 6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 7 Oppgaver som gir konkrete resultater 8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre. Tor Espen Kristensen | Matematikk 20
  • 43. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Karakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks 1 «Den gode historien» 2 Halvåpne og åpne oppgaver 3 Oppgaver som kan forstås og løses på ulike nivåer, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger 4 Jakten på mønster og system 5 Oppgaver der det er en fordel å arbeide sammen med andre 6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 7 Oppgaver som gir konkrete resultater 8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre. Tor Espen Kristensen | Matematikk 20
  • 44. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Karakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks 1 «Den gode historien» 2 Halvåpne og åpne oppgaver 3 Oppgaver som kan forstås og løses på ulike nivåer, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger 4 Jakten på mønster og system 5 Oppgaver der det er en fordel å arbeide sammen med andre 6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 7 Oppgaver som gir konkrete resultater 8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre. Tor Espen Kristensen | Matematikk 20
  • 45. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Karakteristiske trekk ved ulike oppgaver Fru Flinks 1 «Den gode historien» 2 Halvåpne og åpne oppgaver 3 Oppgaver som kan forstås og løses på ulike nivåer, avhengig av den enkelte elevs forutsetninger 4 Jakten på mønster og system 5 Oppgaver der det er en fordel å arbeide sammen med andre 6 Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse 7 Oppgaver som gir konkrete resultater 8 Konkurranser, spill og pusleoppgaver 9 Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre. Tor Espen Kristensen | Matematikk 20
  • 46. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Oppgaver Oppgave 1 10 personer møtes og de håndhilser på hverandre. Hvor mange håndtrykk blir det? I en klasse er det 27 elever. Dersom alle skulle håndhilse på hverandre. Hvor mange håndtrykk blir det? Hvor mange håndtrykk blir det når 100 personer skal håndhilse på hverandre? Tor Espen Kristensen | Matematikk 21
  • 47. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Oppgaver Oppgave 2 På sirklene nedenfor er det plassert punkter. Trekk for hver sirkel opp linjestykker mellom hvert par avmerkede punkter. Hvor mange linje stykker blir det? Hvor mange linjestykker blir det dersom vi hadde 10 punkter på en sirkel? Tor Espen Kristensen | Matematikk 22
  • 48. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Oppgaver Oppgave 3 I ei gruppe på 5 personer skal det velges to personer som skal sitte i et utvalg. Hvor mange mulige måter kan vi velge to personer ut av en gruppe på 5 personer? Hvor mange måter kan vi velge to personer ut av en gruppe på 10 personer? Tor Espen Kristensen | Matematikk 23
  • 49. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Resonneringskompetanse Denne kompetansen består i å kunne Følge og bedømme andres matematisk resonnement Vite og forstå hva et matematisk bevis er og ikke er Forstå logikken bak et moteksempel Avdekke de bærende ideer i et matematisk bevis Tenke ut og gjennomføre uformelle og formelle resonnementer på basis av intuisjon. For eksempel omforme heuristiske resonnementer til gyldige bevis. Tor Espen Kristensen | Matematikk 24
  • 50. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Ressoneringskompetanse Har to rektangler som har samme areal også samme omkrets? Dersom vi fordobler arealet, fordobles da også omkretsen? Marie og Per bor hhv. 1,2 km og 2 km fra skolen. Da må de bo 3,2 km fra hverandre. Tor Espen Kristensen | Matematikk 25
  • 51. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Ressoneringskompetanse Har to rektangler som har samme areal også samme omkrets? Dersom vi fordobler arealet, fordobles da også omkretsen? Marie og Per bor hhv. 1,2 km og 2 km fra skolen. Da må de bo 3,2 km fra hverandre. Hva med denne: 2 Vi vet at x + 1 = xx−1 , og siden 12 − 1 = 0, så får vi ved å sette −1 x = 1 inn i likheten over at 2 = 0. Tor Espen Kristensen | Matematikk 25
  • 52. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Resonneringskompetanse Grunnleggjande ferdigheiter Å kunne uttrykkje seg skriftleg i matematikk inneber å løyse problem ved hjelp av matematikk, beskrive og forklare ein tankegang og setje ord på oppdagingar og idear. Ein lagar teikningar, skisser, figurar, tabellar og diagram. I tillegg nyttar ein matematiske symbol og det formelle språket i faget. Tor Espen Kristensen | Matematikk 26
  • 53. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Resonnering Antall som hilser Tor Espen Kristensen | Matematikk 27
  • 54. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Rike problem Karakteriseres ved: 1 Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse løsningsstrategier 2 Problemet skal være lett å forstå og alle skal ha en mulighet til å arbeide med det 3 Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og ta tid 4 Problemet skal kunne løses på flere måter, med ulike strategier og representasjoner 5 Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med utgangspunkt i elevenes løsninger som viser ulike typer strategier, representasjoner og matematiske ideer 6 Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske områder. 7 Problemet skal kunne lede til at elever og lærere formulerer nye interessante problem. Tor Espen Kristensen | Matematikk 28
  • 55. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Rike problem Karakteriseres ved: 1 Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse løsningsstrategier 2 Problemet skal være lett å forstå og alle skal ha en mulighet til å arbeide med det 3 Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og ta tid 4 Problemet skal kunne løses på flere måter, med ulike strategier og representasjoner 5 Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med utgangspunkt i elevenes løsninger som viser ulike typer strategier, representasjoner og matematiske ideer 6 Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske områder. 7 Problemet skal kunne lede til at elever og lærere formulerer nye interessante problem. Tor Espen Kristensen | Matematikk 28
  • 56. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Rike problem Karakteriseres ved: 1 Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse løsningsstrategier 2 Problemet skal være lett å forstå og alle skal ha en mulighet til å arbeide med det 3 Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og ta tid 4 Problemet skal kunne løses på flere måter, med ulike strategier og representasjoner 5 Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med utgangspunkt i elevenes løsninger som viser ulike typer strategier, representasjoner og matematiske ideer 6 Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske områder. 7 Problemet skal kunne lede til at elever og lærere formulerer nye interessante problem. Tor Espen Kristensen | Matematikk 28
  • 57. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Rike problem Karakteriseres ved: 1 Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse løsningsstrategier 2 Problemet skal være lett å forstå og alle skal ha en mulighet til å arbeide med det 3 Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og ta tid 4 Problemet skal kunne løses på flere måter, med ulike strategier og representasjoner 5 Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med utgangspunkt i elevenes løsninger som viser ulike typer strategier, representasjoner og matematiske ideer 6 Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske områder. 7 Problemet skal kunne lede til at elever og lærere formulerer nye interessante problem. Tor Espen Kristensen | Matematikk 28
  • 58. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Rike problem Karakteriseres ved: 1 Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse løsningsstrategier 2 Problemet skal være lett å forstå og alle skal ha en mulighet til å arbeide med det 3 Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og ta tid 4 Problemet skal kunne løses på flere måter, med ulike strategier og representasjoner 5 Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med utgangspunkt i elevenes løsninger som viser ulike typer strategier, representasjoner og matematiske ideer 6 Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske områder. 7 Problemet skal kunne lede til at elever og lærere formulerer nye interessante problem. Tor Espen Kristensen | Matematikk 28
  • 59. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Rike problem Karakteriseres ved: 1 Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse løsningsstrategier 2 Problemet skal være lett å forstå og alle skal ha en mulighet til å arbeide med det 3 Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og ta tid 4 Problemet skal kunne løses på flere måter, med ulike strategier og representasjoner 5 Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med utgangspunkt i elevenes løsninger som viser ulike typer strategier, representasjoner og matematiske ideer 6 Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske områder. 7 Problemet skal kunne lede til at elever og lærere formulerer nye interessante problem. Tor Espen Kristensen | Matematikk 28
  • 60. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Rike problem Karakteriseres ved: 1 Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse løsningsstrategier 2 Problemet skal være lett å forstå og alle skal ha en mulighet til å arbeide med det 3 Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og ta tid 4 Problemet skal kunne løses på flere måter, med ulike strategier og representasjoner 5 Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med utgangspunkt i elevenes løsninger som viser ulike typer strategier, representasjoner og matematiske ideer 6 Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske områder. 7 Problemet skal kunne lede til at elever og lærere formulerer nye interessante problem. Tor Espen Kristensen | Matematikk 28
  • 61. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Rike problem Stenplattor Tor Espen Kristensen | Matematikk 29
  • 62. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Rike problem Stenplattor Tor Espen Kristensen | Matematikk 30
  • 63. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Rike problem Stenplattor Tor Espen Kristensen | Matematikk 31
  • 64. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Rike problem Stenplattor La h(n) være antall heller på figur n, l(n) antall lyse og m(n) antall mørke heller på figur n. Da er h(n) = (n + 2)2 l(n) = n2 m(n) = h(n) − l(n) = n2 + 4n + 4 − n2 = 3n + 4 Tor Espen Kristensen | Matematikk 32
  • 65. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Rike problem Oppgave 1 Jeg har 8 mynter i lommen min som til sammen blir 30 kroner. Hvilke mynter har jeg da i lommen? Tor Espen Kristensen | Matematikk 33
  • 66. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Rike problem Oppgave 1 Jeg har 8 mynter i lommen min som til sammen blir 30 kroner. Hvilke mynter har jeg da i lommen? Oppgave 2 Lag en tilsvarende oppgave som har mer enn én løsning. Tor Espen Kristensen | Matematikk 33
  • 67. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Både praktisk og teoretisk. . . Fra formålet til LK06: Matematikk er ein del av den globale kulturarven vår. Mennesket har til alle tider brukt og utvikla matematikk for å utforske universet, for å systematisere erfaringar og for å beskrive og forstå samanhengar i naturen og i samfunnet. Ei anna inspirasjonskjelde til utviklinga av faget har vore glede hos menneske over arbeid med matematikk i seg sjølv. ... Matematikkfaget i skolen medverkar til å utvikle den matematiske kompetansen som samfunnet og den einskilde treng. For å oppnå dette må elevane få høve til å arbeide både praktisk og teoretisk. Tor Espen Kristensen | Matematikk 34
  • 68. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Både praktisk og teoretisk. . . Fra formålet til LK06: Matematikk er ein del av den globale kulturarven vår. Mennesket har til alle tider brukt og utvikla matematikk for å utforske universet, for å systematisere erfaringar og for å beskrive og forstå samanhengar i naturen og i samfunnet. Ei anna inspirasjonskjelde til utviklinga av faget har vore glede hos menneske over arbeid med matematikk i seg sjølv. ... Matematikkfaget i skolen medverkar til å utvikle den matematiske kompetansen som samfunnet og den einskilde treng. For å oppnå dette må elevane få høve til å arbeide både praktisk og teoretisk. Tor Espen Kristensen | Matematikk 34
  • 69. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser En praktisk oppgave I en lærebok for tidligere 7. klasse finner vi følgende oppgave: Et borettslag skulle sette gjerde rundt hagen sin. Den hadde følgende form: 70 m 50 m a) Regn ut omkretsen b) Det skal settes ned en gjerdestolpe for hver 3. meter. Hvor mange gjerdestolper går med? Tor Espen Kristensen | Matematikk 35
  • 70. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Hva er en liter? Elevene sitter krumbøyd over en serie med omgjøringsstykker. 1 l = 10 dl 1, 3 l = 12 dl 0, 4 l = 4 dl 12 dl = 1, 2 l osv. De lærer systemet. Etter hvert går det lettere. Kommaer flyttes, nuller settes til. Av og til må læreren komme og bekrefte at det er rett gjort. Til slutt gjennomgås noen av de vanskeligste stykkene, og læreren gjentar reglene sammen med elevene. Tor Espen Kristensen | Matematikk 36
  • 71. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Hva er en liter? I neste time er det heimkunnskap. Rundstykker og kjøttsuppe. Bra! Men frøken! Frøken, her står det 1/4 dl melk til rundstykkene. Hvordan frøken? Og 2,5 l vann til kjøttbeina. Frøken – hvordan vet vi at vi har 2,5 l vann? En rekke studier som viser at det er problematisk å overføre kunnskap fra en situasjon og uttrykksform til en annen.[1] Tor Espen Kristensen | Matematikk 37
  • 72. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Matematikk vår tids latin? Hvorfor skal matematikk være et eget skolefag? Professor i spesialpedagogikk ved Universitetet i Oslo, Edvard Befring fikk i gang en heftig debatt i 1999 da han tok til orde for å fjerne matematikken som eget skolefag, under henvisning til forrige århundreskiftes endelige oppgjør med latinen som skolefag: Matematikk er vår tids latin! Tor Espen Kristensen | Matematikk 38
  • 73. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Matematikk vår tids latin? Hvorfor skal matematikk være et eget skolefag? Professor i spesialpedagogikk ved Universitetet i Oslo, Edvard Befring fikk i gang en heftig debatt i 1999 da han tok til orde for å fjerne matematikken som eget skolefag, under henvisning til forrige århundreskiftes endelige oppgjør med latinen som skolefag: Matematikk er vår tids latin! Forskning, nr 7 1999 Mitt utgangspunkt er den mangelfulle og negative læring mange elever har i faget. Dette gjør mange til tapere. Det ville vært en oppdragelsessvikt hvis vi ikke hjalp barna i læring av den praktiske regningen de trenger til daglig. Forslaget om å fjerne matematikken som eget skolefag går ut på å integrere matematikken i andre fag, og gi den praktiske regningen sin renessanse. I grunnskolen bør ikke enkeltfag dyrkes, vi bør tvert imot dempe fagenes stilling. Geografi, samfunnsfag og historie er allerede slått sammen til ett fag, nå er det så å si bare matematikk og norsk som står igjen som isolerte fag. Tor Espen Kristensen | Matematikk 38
  • 74. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser TIMSS og PISA Hva sier forskerne i TIMSS og PISA? Liv Sissel Grønmo: Anvendt matematikk er mer kompleks enn ren matematikk Anvendt matematikk (problemløsing, mathematical literacy) forutsetter En basis av grunnleggende kunnskaper og ferdigheter (ren matematikk) Mathematical literacy er ikke noe alternativ til ren matematikk Tatt fra presentasjon på Matematikksenteret http://www.matematikksenteret.no/attachment.ap?id=326 Tor Espen Kristensen | Matematikk 39
  • 75. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Praktisk matematikk versus teoretisk matematikk Tony Gardiner, 2004: Mathematics teaching may be less effective than most of us would like; but we should hesitate before embracing the idea that school mathematics would automatically be more effective on a large scale if the curriculum focused first on «useful mathematics for all» (numeracy), with more formal, more abstract mathematics to follow for the few. Tor Espen Kristensen | Matematikk 40
  • 76. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Praktisk matematikk versus teoretisk matematikk Tony Gardiner, 2004: Mathematics teaching may be less effective than most of us would like; but we should hesitate before embracing the idea that school mathematics would automatically be more effective on a large scale if the curriculum focused first on «useful mathematics for all» (numeracy), with more formal, more abstract mathematics to follow for the few. «The TIMSS 2003 results support the premise that successful problem solving is grounded in mastery of more fundamental knowledge and skills.» (Mullis mfl. 2004) Tor Espen Kristensen | Matematikk 40
  • 77. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Praktisk matematikk versus teoretisk matematikk En basis av grunnleggende kunnskaper og ferdigheter i ren matematikk er en nødvendig betingelse men ikke en tilstrekkelig betingelse for å anvende matematikk på problemer i dagligliv/samfunnsliv (Mathematical literacy) Tor Espen Kristensen | Matematikk 41
  • 78. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Matematisk kompetanse Asse ssm e nt ng Level III Pyra m id ki anaylsis in Th Over time, of assessment ls Level II ve connections questions Le should quot;fillquot; the pyramid. Level I reproduction difficult ra eb alg e try om Do ge ma er d mb se ins nu & Po of ic s y easy ns Ma tist ilit th sta ob ab t io em p r s at ue ic s Q F 1 Tor Espen Kristensen | Matematikk 42
  • 79. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Freudenthal Freudenthal: horisontale matematisering vertikale matematisering «horisontal matematikk handler om å bevege seg fra virkelighetens verden til symbolenes verden, mens vertikal matematikk handler om å bevege seg inne i symbolenes verden.» Tor Espen Kristensen | Matematikk 43
  • 80. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Realistisk matematikk Nettverk av matematiske relasjoner Vertikal matematisering Matematisk Reelle kontekster modellering Horisontal matematisering Tor Espen Kristensen | Matematikk 44
  • 81. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Praktisk matematikk versus teoretisk matematikk Morten Blomhøj, i Hull i kulturen: En teoretisk forståelse av et matematisk begrep innebærer at elevene kan skille begrepene fra de konkrete situasjonene hvor de anvendes i. En teoretisk forståelse av de begreper som inngår i en gitt matematisk modell er jo en forutsetning for å kunne utøve en faglig kritisk dømmekraft over anvendelsen av modellen. Tor Espen Kristensen | Matematikk 45
  • 82. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Freudenthal Fire typer matematikkundervisning Mekanistisk: «demonstrere, drille og øve» Tor Espen Kristensen | Matematikk 46
  • 83. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Freudenthal Fire typer matematikkundervisning Mekanistisk: «demonstrere, drille og øve» Empiristisk: Elevene jobber med stoff fra den virkelige verden. Det vil si at elevene møter situasjoner hvor de gjør «horisontal matematisering», uten å koble dette til teoretisk matematikk (ingen formler, modeller, etc). Treffers (1991) peker på at denne tilnærmingsmåte ikke blir brukt. (men kanskje i Norge?) Tor Espen Kristensen | Matematikk 46
  • 84. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Freudenthal Fire typer matematikkundervisning Mekanistisk: «demonstrere, drille og øve» Empiristisk: Elevene jobber med stoff fra den virkelige verden. Det vil si at elevene møter situasjoner hvor de gjør «horisontal matematisering», uten å koble dette til teoretisk matematikk (ingen formler, modeller, etc). Treffers (1991) peker på at denne tilnærmingsmåte ikke blir brukt. (men kanskje i Norge?) Strukturalistisk: (eller «moderne matematikk»). Bassert på mengdelære, venn-diagrammer ol. som er en slags horisontal matematisering, men som ikke har noe å gjøre med den lærendes verden. Tor Espen Kristensen | Matematikk 46
  • 85. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Freudenthal Fire typer matematikkundervisning Mekanistisk: «demonstrere, drille og øve» Empiristisk: Elevene jobber med stoff fra den virkelige verden. Det vil si at elevene møter situasjoner hvor de gjør «horisontal matematisering», uten å koble dette til teoretisk matematikk (ingen formler, modeller, etc). Treffers (1991) peker på at denne tilnærmingsmåte ikke blir brukt. (men kanskje i Norge?) Strukturalistisk: (eller «moderne matematikk»). Bassert på mengdelære, venn-diagrammer ol. som er en slags horisontal matematisering, men som ikke har noe å gjøre med den lærendes verden. Realistisk: en reell situasjon som utgangspunkt for å lære matematikk. Dette utforskes ved horisontal matematiseringsaktiviteter. Dette medfører at elevene organiserer problemet, prøver å identifisere matematiske aspekter ved problemet og oppdager sammenhenger. Så, ved å bruke vertikal matematisering, utvikles matematiske begreper. Tor Espen Kristensen | Matematikk 46
  • 86. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Freudenthal Fire typer matematikkundervisning Horisontal Vertikal Type matematisering matematisering Makanistisk – – Empiristisk + – Strukturalistisk – + Realistisk + + Tor Espen Kristensen | Matematikk 47
  • 87. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Realistisk matematikk Modeller i matematikk I RME (Realistic matemathematics education) er modeller definert på ulike nivå. Det tales om modell av en situasjon som eleven kjenner til. Ved generalisering blir modellen et objekt i seg selv. Den blir en modell for matematisk resonnering. Situasjonsbetinget Tor Espen Kristensen | Matematikk 48
  • 88. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Realistisk matematikk Modeller i matematikk I RME (Realistic matemathematics education) er modeller definert på ulike nivå. Det tales om modell av en situasjon som eleven kjenner til. Ved generalisering blir modellen et objekt i seg selv. Den blir en modell for matematisk resonnering. Henvisende Situasjonsbetinget Tor Espen Kristensen | Matematikk 48
  • 89. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Realistisk matematikk Modeller i matematikk I RME (Realistic matemathematics education) er modeller definert på ulike nivå. Det tales om modell av en situasjon som eleven kjenner til. Ved generalisering blir modellen et objekt i seg selv. Den blir en modell for matematisk resonnering. Generell Henvisende Situasjonsbetinget Tor Espen Kristensen | Matematikk 48
  • 90. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Realistisk matematikk Modeller i matematikk I RME (Realistic matemathematics education) er modeller definert på ulike nivå. Det tales om modell av en situasjon som eleven kjenner til. Ved generalisering blir modellen et objekt i seg selv. Den blir en modell for matematisk resonnering. Formell Generell Henvisende Situasjonsbetinget Tor Espen Kristensen | Matematikk 48
  • 91. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Modellering Virkelige verden Matematiske verden Oversettelse, abstrahering Et matematisk Problem problem Vanskelig vei å Vurdering av manipulering innenfor den gå svar matematiske modellen, løsningsmetoder Løsning Løsning Vurdering av svar, oversettelse Tor Espen Kristensen | Matematikk 49
  • 92. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Modelleringskompetanse Forarbeid: Strukturere, forenkle, idealisere, presisere Matematisk modell: Oversette Lage en matematisk modell Behandle og løse Etterarbeid: Tolke og oversette Analysere Validere: Godkjenne, forkaste, forbedre modell Eventuelt starte prosessen på nytt Tor Espen Kristensen | Matematikk 50
  • 93. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Modelleringskompetanse Oppgave En tube tannkrem inneholder 75 cm3 tannkrem. Åpningen i tuben er sirkelformet og diameteren i åpningen er 6 mm. Alle i en familie på 4 pusser tennene morgen og kveld. For hver tannpuss brukes 1,5 cm tannkrem. Hvor mange dager varer 1 tube tannkrem for denne familien? Tor Espen Kristensen | Matematikk 51
  • 94. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Modelleringskompetanse Oppgave En tube tannkrem inneholder 75 cm3 tannkrem. Åpningen i tuben er sirkelformet og diameteren i åpningen er 6 mm. I en familie er det 4 personer. Hvor mange dager varer 1 tube tannkrem for denne familien? Tor Espen Kristensen | Matematikk 52
  • 95. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Modelleringskompetanse Tre komponenter Å kunne analysere en modell holdbarhet og rekkevidde «Avmatematisere» en modell. Dvs å kunne tolke modellen og resultatene i forhold til en gitt situasjon Å kunne aktivt lage modeller. betrakte en modell som beskriver høyden på norske rekrutter fra 1950 – 1970 Eksponentiell befolkningsvekst N(t) = 4 300 000 1.03t Tor Espen Kristensen | Matematikk 53
  • 96. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Modelleringskompetanse Eksempel fra PISA 2003 SKRITT Bildet viser fotavtrykkene til en mann som går. Skrittlengden P er avstanden mellom bakre kant av to påfølgende fotavtrykk. n For menn gir formelen = 140 et tilnærmet forhold mellom n og P P hvor, n = antall skritt pr. minutt, og P = skrittlengde i meter. Spørsmål 1: SKRITT M124Q01- 0 1 2 9 Hvis formelen gjelder for Haralds måte å gå på og Harald tar 70 skritt pr. minutt, hva blir Haralds skrittlengde? Vis hvordan du fant svaret. Tor Espen Kristensen | Matematikk 54
  • 97. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Eksempler på modellering Strikkskyting Balltrilling Tor Espen Kristensen | Matematikk 55
  • 98. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Modelleringskompetanse Janvier tabellen Fra / til Situasjon Tabell Graf Formel Situasjon måling skisse modellering Tabell avlesning plotting tilpassing Graf tolking avlesing kurvetilpasning Formel gjenkjenning beregning plotting Tor Espen Kristensen | Matematikk 56
  • 99. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Modellering Matematisk modellering, Eleven kan ikke sette Elevene kan se Eleven kan analysere Eleven kan Eleven kan oversette enkle anvendelser opp et matematisk sammenhengen mellom enkle situasjoner fra gjenkjenne (tilpasset alderstrinnet) uttrykk for en praktisk helt enkle virkeligheten og sette matematikken i en problemer fra virkeligheten, Kunne gjenfinne situasjon og kan ikke problemstillinger fra opp et matematisk virkelig situasjon, oversette til matematikk, matematikken i en praktisk tolke en løsning på et virkeligheten og et uttrykk for det. I noen kan oversette til vurdere alternative modeller, situasjon, kunne regnestykke som matematisk uttrykk som tilfeller løser eleven det matematikk, men løse det matematiske matematisere situasjonen, løsning på et praktisk beskriver denne matematiske har problemer enten problemet, vurdere løsningen, dvs. oversette den til et problem. Eleven kan virkeligheten (for problemet, men kan med å løse det oversette tilbake til matematisk språk og løse kjenne igjen en eksempel en situasjon bare delvis drøfte hva matematiske virkeligheten, vurdere de matematiske problemstilling fra med priser, kjøp og salg, dette betyr for den problemet eller med gyldigheten av modellen og problemene. Kunne virkeligheten som en eller beregning av areal opprinnelige å oversette tilbake til kunne si noe om kvaliteten på vurdere om løsningen er matematisk situasjon, ved oppdeling i kjente problemstillingen. virkeligheten. modellen. realistisk, og drøfte men ikke hva slags figurer), men er ikke i Eleven kan til en løsningen i forhold til den matematikk det dreier stand til å finne uttrykket viss grad vurdere om opprinnelige situasjonen. seg om. selv. løsningen er realistisk i forhold til NB: For 4. trinn vil den virkelige denne kompetansen mest situasjonen. dreie seg om anvendelser av matematikk. Problembehandling Eleven kan forstå hva Eleven kan forstå hva Eleven kan tenke ut en Eleven kan løse Eleven kan lett forstå Tor Espen Kristensen | Matematikk 57
  • 100. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Representasjoner Representasjonskompetansen består i å kunne håntere forskjellige representasjoner av matematiske objekter, begreper, fenomener og problemer. forstå (dekode, tolke og skille fra hverandre) og nyttegjøre seg av ulike representasjoner av matematiske objekter forstå relasjoner mellom ulike representasjoner av samme objekt å velge og veksle mellom ulike representasjoner. Tor Espen Kristensen | Matematikk 58
  • 101. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Representasjoner Representasjonskompetansen består i å kunne håntere forskjellige representasjoner av matematiske objekter, begreper, fenomener og problemer. forstå (dekode, tolke og skille fra hverandre) og nyttegjøre seg av ulike representasjoner av matematiske objekter forstå relasjoner mellom ulike representasjoner av samme objekt å velge og veksle mellom ulike representasjoner. Eksempel «fem», 5, V, Ulike representasjoner av lineære funksjoner som f (x) = 2x + 4. Tor Espen Kristensen | Matematikk 58
  • 102. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Representasjoner Marit Holm referer i [4] undersøkelser hvordan barn anvender matematikk utenfor skolen. Skoleungdommer mellom 9 og 15 år som arbeidet med gatesalg klarte å løste aritmetsike oppgaver knyttet til de fire regneartene. årsaken til barnas sikre regneferdigheter i dagliglivet er at de får forholde seg til matematikkoppgaver direkte relatert til de formål eller gjenstander som var involvert i oppgavene som skulle løses. (Carraher) «Når elevene skal regne, er det avgjørende at tallstørrelsene blir uttrykt på måter som barna er fortrolige med» [2] Tor Espen Kristensen | Matematikk 59
  • 103. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Representasjoner Abstrakt Symboler Halv-abstrakt Ikonisk Halv-konkret tegninger, bilder Konkret ting, brikker Tor Espen Kristensen | Matematikk 60
  • 104. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Representasjoner Konkreter Vi kan dele konkretene inn i Strukturerte (eksempel: multibase materiell) Ustrukturerte (eksempler: knapper, vekt, måleband, steiner, pinner, etc) Vi kan bruke konkretene til å simulere virkeligheten. Eksempel I en klasse på 25 elever var det 3 jenter mer enn gutter. Hvor mange jenter og gutter var det i klassen? Tor Espen Kristensen | Matematikk 61
  • 105. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Representasjoner Konkreter Vi kan dele konkretene inn i Strukturerte (eksempel: multibase materiell) Ustrukturerte (eksempler: knapper, vekt, måleband, steiner, pinner, etc) Vi kan bruke konkretene til å simulere virkeligheten. Eksempel I en klasse på 25 elever var det 3 jenter mer enn gutter. Hvor mange jenter og gutter var det i klassen? Eksempel (de velkjente eplene) Ole hadde tre epler. Hvor mange epler hadde han dersom han fikk to til? Tor Espen Kristensen | Matematikk 61
  • 106. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Representasjoner Konkret Kan simulere med f.eks knapper Tor Espen Kristensen | Matematikk 62
  • 107. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Representasjoner Konkret Halv-konkret Kan simulere med f.eks knapper Tor Espen Kristensen | Matematikk 62
  • 108. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Representasjoner Konkret Halv-konkret Halv-abstrakt Kan simulere med f.eks knapper Tor Espen Kristensen | Matematikk 62
  • 109. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Representasjoner Konkret Halv-konkret Halv-abstrakt Abstrakt 3+2=5 Kan simulere med f.eks knapper Tor Espen Kristensen | Matematikk 62
  • 110. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Representasjoner Konkreter Bjørnar Alseth referer i [2] til en undersøkelse der 75 % av femåringene klarte å løse oppgaver av følgende type dersom de fikk «spille» det som skjedde med konkreter: Lise har 20 perler. Hun legger perlene i esker med fire perler i hver eske. Hvor mange esker trenger hun? Jens har tre tyggegummipakker med seks biter i hver pakke. Hvor mange tyggegummibiter har Jens? Tor Espen Kristensen | Matematikk 63
  • 111. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Representasjoner Translasjonsprosesser (Richard Lesh, tatt fra [5]) Tor Espen Kristensen | Matematikk 64
  • 112. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Representasjoner Eksempel Solid idrettslag eier halvparten av Solidhuset. Stord kommune eier 1/3 mens Trott eier resten. Hvor stor del av huset eier Trott? Tor Espen Kristensen | Matematikk 65
  • 113. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser IKT i M87 M87, Læremiddel i matematikk: Datamaskin vil vere eit slik hjelpemiddel til å illustrere matematiske forhold og til å granske matematiske samanhengar. Slik bruk kan knyttast til alle hovudemna i matematikken. Tor Espen Kristensen | Matematikk 68
  • 114. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser IKT i L97 L97, arbeidsmåter i faget . . . I matematikk er regneark et slikt nyttig verktøy, men også annen hensiktsmessig programvare bør tas i bruk. Tor Espen Kristensen | Matematikk 69
  • 115. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser IKT – hva er så bra med det da? Tor Espen Kristensen | Matematikk 70
  • 116. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser IKT – hva er så bra med det da? Hva vil vi med IKT? Det fins gode og dårlige måter å bruke IKT! Tor Espen Kristensen | Matematikk 70
  • 117. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Evalueringen av L97 TIMSS 2003: I L97 understrekes det: «(. . . ) at elevane skal vere aktive, handlande og sjølvstendige. Dei skal få lære ved å gjere, utforske og prøve ut i aktivt arbeid fram mot ny kunnskap og erkjenning» (L97, s. 75). At elevene skal være aktive, er ofte tolket som å drive med ulike aktiviteter av typen gruppearbeid, prosjektarbeid, lek og eksperimenter. Faren ved å fokusere så sterkt på spesielle arbeidsmetoder er at de faglige læringsmålene kan bli nedprioritert. Bruk av ulike læringsaktiviteter synes å ha preg av å være mål i seg selv uten at de relateres til klare læringsmål. Tor Espen Kristensen | Matematikk 72
  • 118. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Evalueringen av L97 TIMSS 2003: I L97 understrekes det: «(. . . ) at elevane skal vere aktive, handlande og sjølvstendige. Dei skal få lære ved å gjere, utforske og prøve ut i aktivt arbeid fram mot ny kunnskap og erkjenning» (L97, s. 75). At elevene skal være aktive, er ofte tolket som å drive med ulike aktiviteter av typen gruppearbeid, prosjektarbeid, lek og eksperimenter. Faren ved å fokusere så sterkt på spesielle arbeidsmetoder er at de faglige læringsmålene kan bli nedprioritert. Bruk av ulike læringsaktiviteter synes å ha preg av å være mål i seg selv uten at de relateres til klare læringsmål. Er IKT et mål i seg selv? Hvilke faglige mål har vi med vår anvendelse av IKT? Tor Espen Kristensen | Matematikk 72
  • 119. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser IKT i LK06 Å kunne bruke digitale verktøy dreier seg først om å håndtere digitale hjelpemidler til spill, lek og utforsking. Senere vil det også handle om å vite om og kunne bruke og vurdere digitale hjelpemidler til problemløsning, simulering og modellering. I tillegg er det viktig å kunne finne informasjon, analysere, behandle og presentere data med passende hjelpemidler, samt forholde seg kritisk til kilder, analyser og resultater. Tor Espen Kristensen | Matematikk 73
  • 120. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser IKT i L06 Kompetansemål etter 7. årstrinn Mål for opplæringen er at eleven skal kunne beskrive referansesystemet og notasjonen som benyttes for formler i et regneark og bruke regneark til å utføre og presentere enkle beregninger (Tall og algebra) bruke koordinater til å beskrive plassering og bevegelse i et koordinatsystem på papiret og digitalt (Geometri) representere data i tabeller og diagrammer framstilt digitalt og manuelt, samt lese, tolke og vurdere hvor hensiktsmessige disse er (Statistikk og sannsynlighet) Tor Espen Kristensen | Matematikk 74
  • 121. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser IKT i L06 Kompetansemål etter 10. årstrinn Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke, med og uten digitale hjelpemidler, tall og variabler i utforskning, eksperimentering, praktisk og teoretisk problemløsning og i prosjekter med teknologi og design (Tall og algebra) ordne og gruppere data, finne og drøfte median, typetall, gjennomsnitt og variasjonsbredde, og presentere data med og uten digitale verktøy (Statistikk og sannsynlighet) Tor Espen Kristensen | Matematikk 75
  • 122. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Programmer Pedagogiske programmer Verktøyprogrammer Tor Espen Kristensen | Matematikk 76
  • 123. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Programmer Regneark Grafplottere/kurvetilpassing dynamisk geometriprogrammer Animasjoner og simuleringer Symbolbehandlende verktøy (CAS) Tor Espen Kristensen | Matematikk 77
  • 124. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Hva vil vi at elevene skal kunne? Leibniz, 1671: It is unworthy of excellent men to lose hours like slaves in the labour of calculation, which could be safely relegated to anyone else if machines were used. Tor Espen Kristensen | Matematikk 78
  • 125. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Hva vil vi at elevene skal kunne? Leibniz, 1671: It is unworthy of excellent men to lose hours like slaves in the labour of calculation, which could be safely relegated to anyone else if machines were used. Gjøre ting mer effektivt Nye typer oppgaver/problemer Tor Espen Kristensen | Matematikk 78
  • 126. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser IKT som forsterker Tor Espen Kristensen | Matematikk 79
  • 127. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Hjelpemiddelkompetanse – slik den beskrives i KOM-prosjektet Denne kompetansen består i å kunne vite om ulike hjelpemidler som egner seg til matematisk virksomhet ha innblikk i muligheter og begrensninger disse hjelpemidlene har i forskjellige slags situasjoner kunne bruke dem på en hensiktsmessig måte i ulike situasjoner Tor Espen Kristensen | Matematikk 80
  • 128. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser IKT i matematikkundervisningen – et didaktisk problemområde Morten Blomhøj: . . . [vi] kan ikke vente oss noen enklere rasjonaliseringsgevinster fra integrering av IT i undervisningen når det gjelder undervisningsressursen som må til for å sikre at elevene lærer matematikk. Tvert imot er det vist at introduksjon av avanserte dataprogrammer i matematikkundervisningen kompliserer den didaktiske situasjonen, [. . . ] behovet for differensiering i undervisningen blir større, og at kravene til lærernes matematiske og didaktiske kvalifikasjoner øker. Tor Espen Kristensen | Matematikk 81
  • 129. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Nye muligheter. . . Innhenget Hva er det største rektangulære innheng vi kan lage når du har 30 meter gjerde? Tor Espen Kristensen | Matematikk 82
  • 130. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Problemløsing med regneark Problem: Noen personer går på kafé. Der kjøper de kaffe til 5 kr. pr. kopp og kake til 9 kr. pr. stykke. Alle bestiller det samme, og til sammen måtte de betale 133 kr. Hvor mange kopper kaffe drakk hver person? http://ans.hsh.no/lu/Mat/mat1/gry/ikt/modellering.xls Tor Espen Kristensen | Matematikk 84
  • 131. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Nye muligheter. . . Kjempen Hvor stor er kjempen? Tor Espen Kristensen | Matematikk 85
  • 132. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Mot en matematisk modell Høyden (cm) 160 150 140 130 120 110 7 8 9 10 Hånden (cm) Tor Espen Kristensen | Matematikk 87
  • 133. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Mot en matematisk modell Høyden (cm) 160 150 140 130 120 110 7 8 9 10 Hånden (cm) Tor Espen Kristensen | Matematikk 88
  • 134. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Mot en matematisk modell Høyden (cm) 160 150 140 130 120 110 7 8 9 10 Hånden (cm) Tor Espen Kristensen | Matematikk 88
  • 135. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Dynamisk geometri Med et dynamisk geometriprogram er det mulig å konstruere geometriske objekter og deretter flytte på dem. (GEONExT er gratis og kan lastes ned fra nettsiden http://geonext.de ) Tor Espen Kristensen | Matematikk 89
  • 136. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Dynamisk geometri Problem: I en trekant ABC skal vi innskrive et kvadrat DEFG (Det vil si at D, E, F og G skal ligge på sidene til ABC.) Tor Espen Kristensen | Matematikk 90
  • 137. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Dynamisk geometri Problem: I en trekant ABC skal vi innskrive et kvadrat DEFG (Det vil si at D, E, F og G skal ligge på sidene til ABC.) http://ans.hsh.no/lu/Mat/IKT/geonext/index.html Tor Espen Kristensen | Matematikk 90
  • 138. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Resultater fra IMPACT 2 Rask tilbakemelding fra dataprogrammer når elevene prøver ut nye ideer oppmunter dem til å lage formodninger og utforske disse. (Clements, 2000) Ved å bruke teknologien til å utføre rutinearbeid frigjøres eleven til å fokusere på strategier og oppmuntres til prøve-og-feile prosesser. IKT har vist seg å gi elevene bedre kompetanse i grafisk tolkning. Data kan lett sorteres og ordnes på forskjellige måter, noe som er til hjelp ved utforsking av problemer. Dynamisk geometri gjør at elevene lettere kan manipulere og måle geometriske former på skjermen, og har vist seg å øke innlæringen hos elever. Tor Espen Kristensen | Matematikk 91
  • 139. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Resultater fra IMPACT 2 Rask tilbakemelding fra dataprogrammer når elevene prøver ut nye ideer oppmunter dem til å lage formodninger og utforske disse. (Clements, 2000) Ved å bruke teknologien til å utføre rutinearbeid frigjøres eleven til å fokusere på strategier og oppmuntres til prøve-og-feile prosesser. IKT har vist seg å gi elevene bedre kompetanse i grafisk tolkning. Data kan lett sorteres og ordnes på forskjellige måter, noe som er til hjelp ved utforsking av problemer. Dynamisk geometri gjør at elevene lettere kan manipulere og måle geometriske former på skjermen, og har vist seg å øke innlæringen hos elever. Tor Espen Kristensen | Matematikk 91
  • 140. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Resultater fra IMPACT 2 Rask tilbakemelding fra dataprogrammer når elevene prøver ut nye ideer oppmunter dem til å lage formodninger og utforske disse. (Clements, 2000) Ved å bruke teknologien til å utføre rutinearbeid frigjøres eleven til å fokusere på strategier og oppmuntres til prøve-og-feile prosesser. IKT har vist seg å gi elevene bedre kompetanse i grafisk tolkning. Data kan lett sorteres og ordnes på forskjellige måter, noe som er til hjelp ved utforsking av problemer. Dynamisk geometri gjør at elevene lettere kan manipulere og måle geometriske former på skjermen, og har vist seg å øke innlæringen hos elever. Tor Espen Kristensen | Matematikk 91
  • 141. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Resultater fra IMPACT 2 Rask tilbakemelding fra dataprogrammer når elevene prøver ut nye ideer oppmunter dem til å lage formodninger og utforske disse. (Clements, 2000) Ved å bruke teknologien til å utføre rutinearbeid frigjøres eleven til å fokusere på strategier og oppmuntres til prøve-og-feile prosesser. IKT har vist seg å gi elevene bedre kompetanse i grafisk tolkning. Data kan lett sorteres og ordnes på forskjellige måter, noe som er til hjelp ved utforsking av problemer. Dynamisk geometri gjør at elevene lettere kan manipulere og måle geometriske former på skjermen, og har vist seg å øke innlæringen hos elever. Tor Espen Kristensen | Matematikk 91
  • 142. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Resultater fra IMPACT 2 Rask tilbakemelding fra dataprogrammer når elevene prøver ut nye ideer oppmunter dem til å lage formodninger og utforske disse. (Clements, 2000) Ved å bruke teknologien til å utføre rutinearbeid frigjøres eleven til å fokusere på strategier og oppmuntres til prøve-og-feile prosesser. IKT har vist seg å gi elevene bedre kompetanse i grafisk tolkning. Data kan lett sorteres og ordnes på forskjellige måter, noe som er til hjelp ved utforsking av problemer. Dynamisk geometri gjør at elevene lettere kan manipulere og måle geometriske former på skjermen, og har vist seg å øke innlæringen hos elever. Tor Espen Kristensen | Matematikk 91
  • 143. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Programmer Regneark: Excel OpenOffice.org Calc (http://no.openoffice.org) Dynamisk geometri: Cabri Geonext (http://geonext.uni-bayreuth.de/ Geogebra (http://www.geogebra.org/cms/) Grafplottere Regneark Vrigraf (http://matematikk.hinesna.no/programvare/vrigraf/vrigraf.htm) CAS TI-interaktiv Derive MuPad Tor Espen Kristensen | Matematikk 92
  • 144. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Å tenke matematisk. . . I PISA ble det brukt tre kompetanseklasser: Klasse 1: Reproduksjon, definisjoner og beregninger. Klassen dekker elevers bruk av faktakunnskaper, gjenkjenning av matematiske objekter og egenskaper og utføring av rutinemessige prosedyrer og standardalgoritmer Tor Espen Kristensen | Matematikk 93
  • 145. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Å tenke matematisk. . . I PISA ble det brukt tre kompetanseklasser: Klasse 1: Reproduksjon, definisjoner og beregninger. Klassen dekker elevers bruk av faktakunnskaper, gjenkjenning av matematiske objekter og egenskaper og utføring av rutinemessige prosedyrer og standardalgoritmer Klasse 2: Se forbindelser og kunne integrere informasjon som grunnlag for problemløsning. Elevene skal kunne se sammenhenger mellom ulike områder av matematikken, kunne bruke ulike representasjoner, se sammenhenger mellom definisjoner, bevis, eksempler og påstander. Elevene må kunne bruke et formelt språk. Her er problemene ofte gitt i en sammenheng. Tor Espen Kristensen | Matematikk 93
  • 146. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Å tenke matematisk. . . I PISA ble det brukt tre kompetanseklasser: Klasse 1: Reproduksjon, definisjoner og beregninger. Klassen dekker elevers bruk av faktakunnskaper, gjenkjenning av matematiske objekter og egenskaper og utføring av rutinemessige prosedyrer og standardalgoritmer Klasse 2: Se forbindelser og kunne integrere informasjon som grunnlag for problemløsning. Elevene skal kunne se sammenhenger mellom ulike områder av matematikken, kunne bruke ulike representasjoner, se sammenhenger mellom definisjoner, bevis, eksempler og påstander. Elevene må kunne bruke et formelt språk. Her er problemene ofte gitt i en sammenheng. Klasse 3: «Matematisering», matematisk tenking og generalisering. Dette er den mest omfattende klassen, der elevene stilles overfor kravet om å kunne «matematisere» situasjoner, det vil si komme fram til matematikken som finnes i ulike situasjoner, og å bruke det matematiske verktøyet til å løse problemer, for så å tolke svaret inn i den opprinnelige situasjonen. Slike prosesser inneholder kritisk tenking, analyse og refleksjon. Tor Espen Kristensen | Matematikk 93
  • 147. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Referanser I Bjørnar Alseth. Matematikk på småskoletrinnet. Nasjonalt læremiddelsenter, 1998. Bjørnar Alseth and Mona Røsseland. Boka om GLSM, chapter fem. Universitetsforlaget, 2006. Ole Björgquist. Matematisk problemløsning. In Barbri Grevholm, editor, Matematikk for skolen, chapter 2. Fagbokforlaget, 2003. Tor Espen Kristensen | Matematikk 94
  • 148. Tankegangskompetanse Resonneringskompetanse Praktisk og teoretisk Representasjoner Digitale ferdigheter Referanser Referanser II Marit Holm. Opplæring i matematikk – for elever med matematikkvansker og andre elever. Cappelen akademiske forlag, 2002. Ragnar Solvang. Matematikkdidaktikk. NKI Forlaget, 2 edition, 1996. Ingvild Merete Stedøy-Johansen. Matematikk for skolen, chapter 1. Fagbokforlaget, 2003. Tor Espen Kristensen | Matematikk 95

×