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CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
 

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    CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA Document Transcript

    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. CAPITULO VIICIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 297
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.I. INTRODUCCIÓN Llamase circuito eléctrico a la conexión de fuentes generadoras de potencia eléctrica con elementos tales como: resistencias, motores, calentadores, lámparas, condensadores, bobinas, etc. La conexión entre la fuente y la carga es hecha mediante soldaduras de alambres con las correspondientes cargas o con dispositivos diseñados previamente llamados terminales. La energía liberada por la fuente es aprovechada por los consumidores de carga. En algunos casos, muchos elementos de circuitos son conectados a la misma carga, la cual es llamada carga común para aquellos elementos. Varias partes del circuito son llamadas elementos del circuito, los cuales pueden estar instalados en serie o en paralelo análogamente como hemos visto en el capítulo sobre capacitores. Decimos que un elemento se encuentra conectado en paralelo cuando aquellos son conectados a la misma diferencia de potencial como se muestra en la figura 7.1a. Por otro lado, cuando los elementos son conectados uno después de otros, tal que la corriente que pasa a través de cada uno de elementos es la misma, se dice que los elementos se encuentran en serie, como se muestra en la figura 7.1b Figura 7.1. Elementos de un circuito conectados: (a) en paralelo y (b) en serie Debe indicarse que con la finalidad de simplificar los esquemas de los elementos, en circuitos existen símbolos de representación de dichos elementos como los mostrados en la figura 7.2 Figura 7.2. Representación de elementos de un circuito En general los circuitos presentan interruptores, los mismos que cuando se encuentran abiertos no permiten el flujo de corriente, mientras que cuando se encuentran cerrados fluye corriente a través del circuito al cual conectan. Por lo tanto podemos tener circuitos cerrados, a través de los cuales hay flujo de corriente, o circuitos abiertos a través de los cuales no fluye corriente. A veces en forma accidental se une dos cables, ocasionando un cortocircuito. Esta situación a veces no es deseable por la liberación de energía durante su ocurrencia llegando a veces a producir incendios en los circuitos correspondientes. Con la finalidad de evitar esto se usan los fusibles, dispositivos que cuando se eleva la temperatura automáticamente se interrumpe el flujo eléctrico. En circuitos eléctricos, algún punto del circuito es conectado a tierra. Este punto es asignado arbitrariamente con un voltaje nulo o cero, y el voltaje de cualquier otro punto del circuito es definido con respecto a este punto es decir como la diferencia entre el potencial del punto del circuito menos el potencial de tierra.II. CALCULO DE LA CORRIENTE EN UN CIRCUITO Consideremos un circuito eléctrico como el mostrado en la figura7.3. En un tiempo dt aparece en R una cantidad de energía en forma de calor dada por dWR =dq = ∆V . IRdq = IR( Idt ) I 2 Rdt dWR = (7.1) 298
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.Figura 7.3. Representación de un circuito simple para determinar la corriente que fluye a través de élDurante este mismo tiempo la fuente hace un trabajo para mover una carga (dq = Idt) dado por dWε ε= ε ( Idt ) ε Idt = dq = (7.2)Según la ley de conservación de la energía se tiene dWε = dWR ⇒ ε Idt = I 2 Rdt ε I= (7.3) RLa corriente también puede determinarse usando el criterio: “La suma algebraica de los cambios de potencialalrededor del circuito completo debe ser nulo” Va + ε − IR =a V ε I= RPara determinar el signo de las diferencias de potencial en las resistencias y en las fuentes cuando la direcciónde la corriente son las mostradas, se usan las reglas mostradas en la figura 7.4,Figura 7.4. Reglas para determinar la diferencia de potencial en elementos de un circuitoPor otro lado, si la fuente tiene una resistencia interna apreciable como se muestra en la figura 7.5, la corrienteque fluye a través del circuito se determina en la forma Va + ε − rI − RI =a V ε (r + R) I = ε I= r+R (7.4) 299
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. (a) (b) Figura 7.5. Circuito eléctrico con una fem que pose una resistencia interna r y una resistencia de carga R, (b) cambio en el potencial eléctrico alrededor de un circuitoIII. RESISTENCIAS EN SERIE Y EN PARALELO Decimos que dos resistores R1 y R2 se encuentran conectados en serie con una fuente cuando son instalados como se muestra en la figura 7.6a. En este caso la corriente que fluye a través del circuito es la misma en cualquiera de los elementos. Figura 7.6. (a) Circuito con resistencias en serie, (b) circuito equivalente En este circuito, se observa que, la intensidad de corriente que fluye a través de cada uno de los resistores es la misma e igual a la intensidad de corriente en el resistor equivalente. Es decir I= I= I= I eq 1 2 3 (7.5) La diferencia de potencial total entre los puntos a y c es igual a la suma algebraica de las diferencias de potencial a través de cada uno de los resistores, esto es, ∆V= I eq Req= I1 R1 + I 2 R2 + I 2 R3 (7.6) Al remplazar la ecuación (7.5) en la ecuación (7.6) se obtiene un resistor equivalente Req como se muestra en la figura 7.3b Req = R1 + R2 + R2 (7.7) El argumento anterior puede ser extendido para N resistores que se encuentran conectados en serie. En este caso la resistencia equivalente se escribe. N Req = R1 + R2 + ... + Ri + ... + RN = ∑R i =1 i (7.8) Debe observarse que si una resistencia R1 es mucho mayor que la otra resistencia Ri, entonces la resistencia equivalente es aproximadamente igual a la resistencia mayor R1. En las figuras 7.7, se observa la forma como se instala las resistencias en serie en las prácticas de un laboratorio. 300
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. (a) (b) (c)Figura 7.7. (a) Instalación de resistencias en serie utilizando un protoboard, (b) Instalación de resistencias utilizando cables y uniones y (c) Instalación de resistencias en serie usando terminales metálicosEn seguida consideremos dos resistencias R1 y R2 que son conectados en paralelos a una fuente de voltaje ∆V,como se muestra en la figura 7.8a.Figura 7.8. (a) Circuito con resistencias en paralelo, (b) circuito equivalentePor conservación de la corriente I, que pasa a través de la fuente de tensión puede dividirse en una corriente I1,la cual fluye a través de la resistencia R1 y una corriente I2 que fluye a través de la resistencia R2. Por otro lado,cada una de las resistencias satisface a la ley de OHM, es decir, ∆V1= I1R1 y ∆V2 = I2R2. Sin embargo ladiferencia de potencial a través de cada uno de los resistores es la misma e igual a la diferencia de potencial enel resistor equivalente. La conservación de la corriente implica que ∆V ∆V ∆V  1 1 1  I = + I 2 + I3 = + I1 + =V  + ∆ +  (7.9) R1 R2 R3  R1 R2 R3 Los dos resistores en paralelo pueden ser remplazados por un resistor equivalente con ∆V = IReq como semuestra en la figura 7.3b. Comparando estos resultados, la resistencia equivalente para dos resistenciasconectadas en paralelo está dada por la ecuación 1 1 1 1 = + + (7.10) Req R1 R2 R3Este resultado puede generalizarse para N resistores en paralelo, obteniéndose 301
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. N 1 1 1 1 1 1 = + Req R1 R2 + ..... + + ... + Ri RN = ∑R i =1 (7.11) i Cuando una resistencia R1 es mucho más pequeña que otra resistencia Ri, entonces, la resistencia equivalente es aproximadamente igual a la resistencia más pequeña R1. En el caso de dos resistencias se tiene. R1 R2 RR =Req = R1  1 2 (7.12) R1 + R2 R2 Es decir, en un circuito la corriente fluirá mayoritariamente por aquella resistencia cuyo valor sea más pequeño y por la resistencia grande fluirá una pequeña fracción de corriente- En la figura 7.9, se muestra la instalación de resistencia en el laboratorio (a) (b) (c) Figura 7.9. (a) Instalación de resistencias en paralelo utilizando un protoboard, (b) Instalación de resistencias en paralelo utilizando cables y uniones y (c) Instalación de resistencias en paralelo usando terminalesIV. TRANSFORMACIONES TRÍANGULO ESTRELLA A veces los elementos pasivos no están conectados en serie o paralelo, resultando más complicada la resolución del circuito. Las otras dos formas estudiadas de conectar elementos son la conexión en estrella y la conexión en triángulo, las mismas que se muestran en la figura 7.10. Figura 7.10. Circuito para transformar resistencias de estrella a triángulos Si intentamos buscar una posibilidad de transformar una red en la otra, veremos que la resistencia vista entre los puntos 1 y 2 debe ser la misma en ambas redes. De tal forma que se cumplen las siguientes igualdades: 302
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. Resistencia entre los nudos 1 y 2: RC ( RA + RB ) R1 + R2 RC //( RA + = = RB ) (7.13) RA + RB + RC Resistencia entre los nudos 2 y 3: RA ( RB + RC ) R2 + R3 RA //( RB + = = RC ) (7.14) RA + RB + RC Resistencia entre los nudos 1 y 3: RB ( RA + RC ) R1 + R3 RB //( RA + = = RC ) (7.15) RA + RB + RC Si la transformación que queremos hacer es de triángulo a estrella, conoceremos el valor de RA, RB y RC, y deseamos calcular los valores de R1, R2 y R3 de la estrella equivalente. A partir de las ecuaciones anteriores obtendremos: RB RC RA RC RA RB =R1 = = ; R2 ; R3 (7.16) RA + RB + RC RA + RB + RC RA + RB + RC Que responden a la forma genérica de Producto de las resistencias conectadas al nudo i Ri = (7.17) Suma de las resistencias del triángulo Si la transformación que queremos hacer es de estrella a triángulo, conoceremos el valor de R1,R2 y R3, y queremos calcular los valores de RA, RB y RC del triángulo equivalente. A partir de las ecuaciones de resistencias entre nudos tendremos: R2 RA R3 RA R3 RB = = = ; ; (7.18) R1 RB R1 RC R2 RC Sustituyendo aquí las expresiones anteriores de la transformación triángulo a estrella, obtendremos: R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R R + R2 R3 + R3 R1=RA = = 1 2 ; RB ; RC (7.19) R1 R2 R3 Que responden a la forma genérica de Suma de los productos de las resitencias de la estrella tomadas por parejas Ri = (7.20) Resistencia de la estrella conetada al nudo opuesto a R iV. LEYES DE KIRCHHOFF Con una o mas fem’s unidas mediante conductores ideales a una o más resistencias eléctricas se forma un circuito eléctrico. La solución del circuito eléctrico implica determinar todas las corrientes que circulan, los voltajes en cada uno de los elementos eléctricos conectados, y las potencias eléctricas suministradas y consumidas. Para simplificar la lectura del circuito se definen algunos conceptos como rama eléctrica, nudo eléctrico y malla eléctrica. 303
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.Rama eléctrica: Es cualquier segmento del circuito, que contiene fem’s y/o resistencias eléctricas, y que esrecorrida por una única corriente (la rama eléctrica tiene en cada uno de sus extremos un nudo eléctrico).Nudo eléctrico: Es todo punto de unión de tres o más ramas eléctricas, y a la cual confluyen distintas corrienteseléctricas.Malla eléctrica es cualquier unión de ramas eléctricas formando una trayectoria cerrada. Las ecuaciones básicaspara resolver un circuito eléctrico se derivan de la aplicación de las leyes de Kirchhoff, las cuales a su vez, seinfieren de la validez de la conservación de la energía y de la conservación de la carga eléctrica. Se conocencomo la ley de las mallas y la ley de los nudos, respectivamente.5.1. PRIMERA LEY DE KIRCHOFF o La ley de nudos: Establece que: “La suma algebraica de las corrientes en todo nudo eléctrico debe ser siempre igual a cero”, es decir, Figura 7.11. Aplicación de la primera ley de Kirchhoff Matemáticamente esta ley se expresa en la forma ∑ I ingreasan = ∑ I salen (7.21) I I1 + I 2 = (7.22)5.2. SEGUNDA LEY DE KIRCHOFF o llamada ley de mallas. Establece que: “La suma algebraica de las diferencias de potencial a través de cada uno de los elementos de un circuito que forman un circuito cerrado es nulo”. Esto es ∑ circuito ∆Vi = 0 (7.23) cerrado Para aplicar la segunda ley de Kirchhoff se usa la regla de las diferencias de potencial tomadas en la sección anterior, obteniéndose − R1 I1 + E1 − R4 I 4 + E4 − E3 + R3 I 3 − E2 − R2 I 2 = 0 (7.24) Figura 7.12. Aplicación de la primera ley de Kirchhoff 304
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.VI. CIRCUITOS RC. 6.1 Proceso de carga de un capacitor Consideremos el circuito eléctrico formado por una fuente de fem ε, una resistencia R, un condensador C y un interruptor S, conectado como se muestra en la figura 7.13a. (a) (b) Figura 7.13. (a) diagrama del circuito RC para t < 0 y (b) diagrama de un circuito RC para t > 0 Cuando el interruptor S se encuentra abierto la corriente a través del circuito es nula y el capacitor se encuentra completamente descargado, es decir [q(t = 0) =0]. Si en el instante t = 0 se cierra el interruptor S, comenzará a fluir corriente a través del circuito como se muestra en la figura 7.13b. Esta corriente no es constante sino que depende del tiempo. En particular la corriente instantánea en el circuito inmediatamente después de cerrado el circuito es ε I0 = (7.25) R En este instante, la diferencia de potencial entre los terminales de la batería es la misma que en los extremos del resistor. Conforme transcurre el tiempo el capacitor comienza a cargarse y la diferencia de potencial entre sus bornes comienza a aumentar progresivamente. Siendo el voltaje a su través en cualquier tiempo q (t ) VC (t ) = (7.26) C Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito se obtiene q (t ) ε − I (t ) R − = 0 C dq q ε = R + (7.27) dt C Donde se considera que la corriente en el circuito es I = +dq/dt. Debido a que la corriente I debe ser la misma en todas las partes del circuito, la corriente a través de la resistencia R es igual a la razón de cambio de la carga en las placas del capacitor. El flujo de corriente en el circuito será continuo e irá decreciendo a medida que el capacitor vaya incrementando su carga. El flujo de corriente finalizará cuando el capacitor se haya cargado completamente, adquiriendo una carga total Q. Ello se vuelve evidente cuando escribimos la ecuación en la forma. dq q R = ε− (7.28) dt C Para determinar la carga en cualquier instante sobre el capacitor la ecuación diferencial se escribe en la forma dq 1 q = (ε − ) (7.29) dt R C Esta ecuación puede ser resuelta usando el método de separación de variables. El primer paso es separar los términos que involucran a la carga y al tiempo. Es decir 305
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. dq dt dq 1 = ⇒ = − dt (7.30) q (ε − ) R q − Cε RC CAhora se procede a integrar ambos lados de la ecuación y teniendo en cuanta los límites correspondientes. q dq 1 t ∫0 q − Cε =− RC ∫0 dt (7.31)De donde se obtiene  q − Cε  t ln  = − (7.32)  −Cε  RCDespejando la carga se tiene q (t ) =ε (1 − e − t / RC ) =(1 − e − t / RC ) C Q (7.33)Donde Q = Cε es la máxima carga almacenada en las placas del capacitor. La carga en función del tiempo puedegraficarse como se muestra en la figura 7.14Figura 7.14. Carga en función del tiempo durante el proceso de carga de un capacitorUna vez conocida la carga sobre el capacitor también se puede determinar la diferencia de potencial entre susplacas en cualquier instante esto es q (t ) Cε (1 − e ) − t / RC = VC (t ) = = ε (1 − e − t / RC ) (7.34) C CLa grafica del voltaje como función del tiempo tiene la misma forma que la gráfica de la carga en función deltiempo. De la figura se observa que después de un tiempo suficientemente largo, la carga sobre el capacitor será q (t =∞) =Q (1 − e −∞ / RC ) =Q (7.35)En el mismo tiempo el voltaje entre sus placas será igual al voltaje aplicado por la fuente y la corriente a travésdel circuito será nula q (t = ∞) Cε = VC = = ε (7.36) C CLa corriente que fluye a través del circuito en función del tiempo se obtiene derivando la ecuación de la cargaobteniéndose ε = Cε (1 − e − t / RC )  = e − t / RC dq (t ) d I (t ) = (7.37) dt dt   R 306
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. I (t ) = I 0 e − t / RC (7.38)El coeficiente que antecede al exponencial no es sino la corriente inicial I0. La gráfica corriente en función deltiempo se observa en la figuraFigura 7.15. Intensidad de corriente en función del tiempo durante el proceso de carga de un capacitorDe la gráfica se observa que la corriente en el circuito disminuye exponencialmente y la cantidad τ = RC, sedenomina constante de tiempo capacitiva y es el tiempo necesario para que el capacitor alcanceaproximadamente el 63% de su carga total. En forma similar se puede expresar la diferencia de potencial en lasplacas del capacitor (figura 7.16), esto es VC (t ) ε (1 − e − t /τ ) = (7.39)Figura 7.16. Voltaje en función del tiempo durante el proceso de carga de un capacitor6.2. Proceso de descarga de un capacitor. Supongamos que el interruptor S del circuito se encontraba cerrado durante un tiempo muy grande, esdecir t >>> RC. Entonces el capacitor se ha cargado completamente para todos los fines prácticos alcanzandouna carga Q, siendo la diferencia de potencial entre sus placas V = Q/C. Por otro lado, la diferencia de potencialen el resistor es nula debido a que no existe corriente fluyendo en el circuito I = 0. Ahora supongamos que elinterruptor S se cierra como se muestra en la figura 7.17b.Figura 7.17. Circuito utilizado durante el proceso de descarga de un capacitorEn estas condiciones el capacitor comienza a descargarse fluyendo una corriente que decae exponencialmente através del circuito. Es decir el capacitor actúa como una fuente que entrega corriente al circuito. El flujo decorriente se mantendrá hasta que el capacitor se haya descargado completamente. Se puede calcular ladependencia de la carga y de la corriente en función del tiempo después del cierre del interruptor S, aplicando lasegunda ley de Kirchhoff, como se muestra q (t ) ∆VC + ∆VR = 0 ⇒ − RI = 0 (7.40) C 307
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.La corriente que fluye desde la placa positiva es proporcional a la carga sobre dicha placa y de signo opuesto dq I= − (7.41) dtEl signo negativo en la ecuación es una indicación de que la razón de cambio de la carga es proporcional alnegativo de la carga en el capacitor. Esto se debe a que la carga en la placa positiva del capacitor se encuentradisminuyendo conforma la carga positiva abandona la placa positiva. Así, el cambio satisface la ecuacióndiferencial de primer orden q dq +R = 0 (7.42) C dtEsta ecuación se puede resolver utilizando el método de separación de variables, es decir, dq 1 = − dt (7.43) q RCLa misma que se integra teniendo en cuenta los límites correspondientes, obteniéndose q dq 1 t q t ∫Q q RC ∫0 = dt ⇒ ln   = − Q − RC (7.44)O también q (t ) = Qe − t / RC (7.45)El voltaje a través del capacitor será q (t ) Q − t / RC = VC (t ) = e (7.46) C CUna grafica del voltaje en función del tiempo se muestra en la figura 7.18Figura 7.18. Diferencia de potencial en las placas de un capacitor en función del tiempo para el proceso de descarga del capacitorLa intensidad de corriente que fluye en el circuito durante el proceso de descarga del capacitor también decaeexponencialmente y se encuentra que I (t ) = = ( Qe − t / RC ) = )e − t / RC dq d Q − − ( (7.47) dt dt RCLa gráfica de la intensidad de corriente que fluye a través del circuito tiene la misma forma que el voltaje, en lafigura 7.19 se muestra esta situación. 308
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. Figura 7.19. Intensidad de corriente en función del tiempo para el proceso de descarga del capacitorVII. MEDICIONES ELECTRICAS 7.1. Medición de corrientes. Consideremos un circuito simple formado por una fuente de tensión, un interruptor y una resistencia instalados en serie como se muestra en la figura 7.20a. Si se quiere determinar la corriente que fluye por el circuito se abre el circuito como se muestra en la figura 7.20b y se instala en serie con los demás elementos un amperímetro como se muestra en la figura 7.20c. Figura 7.20. Instalación de un amperímetro para medir la intensidad de corriente que fluye en un circuito 7.2. Medición de diferencias de potencial Supongamos ahora que se quiere determinar la diferencia de potencial en un elemento de un circuito eléctrico mostrado en la figura 7.21a. Para ello se instala el voltímetro en paralelo con dicho elemento como se muestra en la figura 7.21b. Figura 7.21. Instalación de un voltímetro para medir la diferencia de potencial en un elemento de un circuito 7.3. Medición de resistencias 309
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. En algunas situaciones es necesario medir resistencias de los elementos que componen el circuito, para ello se utiliza los multimetros, en la escala de Ohmios y se procede como se muestra en la figura Figura 7.22. Instalación de un multímetro para medir la resistencia de elemento. Debe indicarse además que en circuitos se puede utilizar la ley de Ohm para determinar resistencias de elementos, instalando el circuito como se muestra en la figura Figura 7.23. (a)Circuito para medir la resistencia de una bombilla, (b) diagrama del circuito y (c) circuito utilizado para medir la resistencia de un elemento de cerámica.VIII. MEDIDORES ELÉCTRICOS. 8.1. El galvanómetro. Los instrumentos más comunes para medir corrientes, diferencias de potencial y resistencia se basan en el funcionamiento del galvanómetro de bobina móvil. Este dispositivo está formado por una bobina montada en un cilindro de aluminio el cual se encuentra sostenido en el interior de un campo magnético. Cuando a través de la bobina pasa una intensidad de corriente Ig, la bobina sufre una desviación angular que es proporcional a la intensidad de corriente. Si ahora unimos a la bobina una aguja indicadora larga que está provista de una escala calibrada especialmente para medir corrientes, se obtendrá el valor correspondiente de la intensidad de corriente que fluye por el circuito. En la figura 7,24 se muestra la forma como es el diseño básico de un galvanómetro. 310
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.Figura 7.24. Galvanómetro de bobina móvil utilizado como base en el diseño de medidores eléctricos.8.2. El amperímetro El amperímetro es un aparato que permite medir intensidades de corriente en la rama donde se instale. Debe ser conectado en serie al elemento cuya corriente se va a medir como se muestra en la figura 7.25. Debe instalarse de tal manera que las cargas ingresen por la terminal positiva y salgan por la terminal negativa. Idealmente el amperímetro debe tener una resistencia cero para que la corriente medida no se altere. Figura 7.25. (a) Instalación de un amperímetro en un circuito y (b) instalación de un galvanómetro para medir corrientes. El galvanómetro al ser sensible al paso de corriente se usa como amperímetro, pero debido a su resistencia pequeña se coloca en paralelo con este una resistencia pequeña RP llamada SHUNT como se muestra en la figura 7.25b. Si la resistencia del galvanómetro es Rg y la intensidad de corriente que pasa por el es Ig, la corriente en la resistencia en derivación será Ish. Entonces la aplicación de la primera ley de kirchhoff nos da = I g + I sh I (7.48) Como a resistencia en derivación “shunt” y el galvanómetro están en paralelo, entonces las deferencias de potenciales en estos elementos serás ∆Vg =Rg Ig (7.49) ∆Vsh =Rsh I sh (7.50) 311
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. Figura 7.26. Intensidades de corriente en los elementos del amperímetro construido. Igualando estas diferencias de potencial se obtiene Rg I sh = Ig (7.51) Rsh Al remplazar esta ecuación en la intensidad de corriente total se tiene Rg  Rsh  I = Ig + Ig ⇒ Ig = I   (7.52) Rsh R +R   sh g  De esta ecuación se deduce que cuanto menor es la resistencia del shunt tanto menor será la fracción de intensidad de corriente I que pase por el galvanómetro. Para que la intensidad de corriente Ig del instrumento G sea 1/n parte de la intensidad de corriente I se tiene I  Rsh  I g= I / n ⇒ = I   n  Rsh + R6  Rg Rsh = (7.53) n −18.3. El voltímetro Permite medir diferencias de potencial de los elementos. Se instala en paralelo con el elemento cuya diferencia de potencial se desea medir como se muestra en la figura 7.27a. También es necesario tener en cuenta la polaridad del instrumento. El voltímetro ideal tiene una resistencia infinita que impida que sobre el pase una corriente muy pequeña de tal manera que no influya en la medida de la ddp. Cuando se usa un galvanómetro como voltímetro es necesario colocarle una resistencia grande en serie a fin de disminuir el paso de la corriente (véase la figura 7.27b). Figura 7.27. (a) Instalación de un voltímetro en un circuito y (b) instalación de un galvanómetro para medir voltajes en un circuito. Cuando se mide con este instrumento una ddp, por ejemplo la ddp en los extremos de R de la resistencia mostrada en la figura 7.28, tenemos 312
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. ∆V = V2 − V1 (7.54) Si se quiere una sensibilidad tal que la ddp en R produzca desviación completa de la escala ∆VR = ( Rs + Rg ) I g (7.54) Debido a que la resistencia de protección es mucho mayor que la del galvanómetro ( Rs >> Rg), se tiene ∆VR ∆VR Rs = − Rg ≅ (7.55) I mas I mas La resistencia equivalente del voltímetro será R( Rs + Rg ) RRs =Re ≅ (7.56) R + Rs + Rg R + Rs Cuando la resistencia del elemento cuya diferencia de potencial va a ser medida es mucho menor que la resistencia del voltímetro construido, se tiene Req ≅ R (7.57)8.4. El puente de Wheatstone. Es un circuito especial representado en la figura 7.28, utilizado para medir resistencias desconocidas usando resistencias patrones o calibradas. Para ello se aplica las leyes de kirchooff o las ecuaciones de mallas circulantes para hallar las corrientes. Cuando el puente esta en equilibrio no fluye corriente por el galvanómetro en este caso se obtiene la resistencia desconocida Rx Figura 7.28. (a) instalación de un voltímetro construido usando un galvanómetro para medir la diferencia de potencial entre los extremos de una resistencia. Aplicando las ecuaciones de mallas circulantes se tiene ε − R2 ( I a − I b ) − Rx ( I a − I c ) − rI a = 0 − R1 I b − Rg ( I b − I c ) − R2 ( I b − I a ) = 0 (7.58) − R3 I c − Rx ( I c − I a ) − Rg ( I c − I b ) = 0 313
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. Agrupando las ecuaciones para resolverlas se tiene ( r + R2 + Rx ) I a − R2 I b − Rg I c = ε R2 I a − ( R1 + R2 + Rg ) I b + Rx I c = 0 (7.59) Rx I a + Rg I b − ( R3 + Rx + Rg ) I c = 0 Resolviendo dichas ecuaciones se tiene ε R2 R3 + ε R2 Rx + ε R2 Rg + ε Rx Rg Ib = ∆ (7.60) ε R2 Rg + ε R1 Rx + ε Rx R2 + ε Rx Rg Ic = ∆ La intensidad de corriente que pasa por el galvanómetro será ε I g = Ib − Ic = [ R2 R3 − R1Rx ] (7.61) ∆ Cuando el puente se encuentra en equilibrio la corriente que fluye a través de dicho instrumento es nula. Por lo tanto R2 R3 − R1 Rx = 0 (7.62) R2 Rx = R3 (7.63) R18.5. El potenciómetro El potenciómetro es un circuito que permite determinar fuerzas electromotrices de baterías, pilas, etc, comparándolas con fems patrones. La batería E1cuya fem es ε1 es mayor que la fem εx . Figura 7.29. Circuito denominado potenciómetro utilizado para determinar fems desconocidas. Para determinar la fem desconocida εx se procede de la siguiente manera: Se conecta el conmutador S a la fem ε0 y se ajustan los terminales deslizantes T y T’ hasta que no fluya corriente a través del galvanómetro. Si en esta posición la resistencia entre T y T’ es R1, entonces la diferencia de potencial entre T y T’ será ∆VTT = R1 I1 314
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.  Aplicando la ley de Kirchhoff a la malla I, se obtiene − I1 R + ε1 − I1 R =0 ⇒ ( R + R ) I1 =ε1 (a)  Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla II, nos permite obtener − R2 I 2 − R1 ( I 2 − I1 ) − ε 0 = 0  Debido a que la corriente en el galvanómetro es nula (I2 = 0), la ecuación se reduce a R1 I1 = ε 0 (b)  Combinando las ecuaciones (a) y (b) se obtiene  ε  R1  1  = ε 0 (c)  R´+ R   A continuación se pasa el conmutador S a la posición (2) y se repite el procedimiento, es decir, se ajusta el terminal deslizante hasta que no fluya corriente por el galvanómetro. Si en esta posición la resistencia la resistencia entre T y T’ es R2, la diferencia de potencial es ∆VTT =1 R2 I  La aplicación de la ley de Kirchhoff a la malla I y II nos da − I1 R + ε1 − I1 R =0 ⇒ ( R + R ) I1 =ε1 (d) − Rg I 2 − R2 ( I 2 − I1 ) − ε x = 0  Debido a que la corriente en el galvanómetro es nula (I2 = 0), la ecuación se reduce a R2 I1 = ε x (e)  Combinando las ecuaciones (d) y (e), resulta  ε1  R2   = εx  R´+ R   De las ecuaciones (c) y (f) se tiene ε x R2 = (7.64) ε 0 R1 315
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. R1 = 1 Ω y R2 = 2 Ω entre los terminales de la pila circula una corriente de 2 A. Cuando entre losIX. PROBLEMAS RESUELTOS terminales se conectan las dos resistencias en paralelo circula a través de la pila una corriente deProblema 01 6 A. Determine la fem ε de la pila y su correspondiente resistencia interna r. Una pila de fem ε = 1,06 V y resistencia interna r = 1,8 Ω tiene una resistencia R = 6 Ω conectada Solución entre sus terminales. Determine: (a) la diferencia de potencial existente entre los terminales de la En la figura se muestra el circuito cuando se pila, (b) la corriente en el circuito y (c) la potencia instalan las dos resistencias en serie con la pila. disipada en la pila. Solución En la figura se muestra el diagrama del circuito. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito se tiene ∆Vε + ∆Vr + ∆VR1 + ∆VR2 = 0 Parte (b) Primero se determina la intensidad de +ε − rI1 − R1 I1 + R2 I1 =0 corriente en el circuito, para esto se aplica la segunda ley de Kirchhoff. Es decir, ε − r (2 A) =1Ω(2 A) + 2Ω(2 A) ∆Vε + ∆VR + ∆Vr = 0 ε −2 r = 6 (1) +ε − RI − rI = 0 En la figura se muestra el circuito cuando las dos ε 1, 06 V resistencias son conectadas a los extremos de la = = I pila pero ahora la conexión es en paralelo. R + r 6 Ω + 1,8 Ω I = 0,136 A Parte (a) Diferencia de potencial en los extremos de la pila Va − rI + ε = Vb Vb − Va =ε − rI =1, 06 V − 1,8 Ω(0,136 A) Vb − Va = 0,815 V Las resistencias R1 y R2 se encuentran en paralelo por tanto su resistencia equivalente será Parte (c). Potencia disipada por la pila. Esta R1 R2 1Ω(2Ω) 2 potencia se disipa en la resistencia interna Re= = = Ω (2) (calentamiento de la pila). R1 + R2 1Ω + 2Ω 3 = rI 2 1,8 Ω(0,136 A) 2 P = En la figura se muestra el circuito equivalente en donde se indica las polaridades en cada uno de los P = 33, 29 W elementos.Problema 02 Una pila de fem ε tiene una resistencia interna r. Cuando se conectan en serie dos resistencias de 316
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. En el nudo b, la corriente se divide en Ibe e Ibd. Esto es I ab I be + I bd = I = I be + I bd (2) 2 En forma análoga la corriente Iac en el nudo c se Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito divide en dos corrientes se tiene I= I cd + I ce ac ∆Vε + ∆VRe + ∆Vr = 0 I +ε − Re I 2 − rI 2 =0 = I cd + I ce (3) 2 2 ε − Ω(6 A) − r (6 A) =0 3 Por razones de simetría se tiene ε −6 r = 4 (3) I bd = I cd (4) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1) y I be = I ce (5) (3) resulta Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo d, = 0,5 Ω r se tiene. ε =7 V I= I bd + I cd de (6)Problema 02 Remplazando la ecuación (4) en (6) resulta En la red indicada todas las resistencias tienen el mismo valor R. La corriente I entra en el nudo a y I de = I bd + I bd = 2 I bd (7) sale por el nudo e. Halle las corrientes en las ramas ab, bd y be. La diferencia de potencial entre los punto be se puede calcular por la rama be o por la rama bde, es decir. ∆Vbe =be RI (8) ∆Vbe = ∆Vbd + ∆Vde ∆Vbe = RI bd + RI de ∆Vbe = RI bd + 2 I bd ∆Vbe = 3I bd (9) Solución El circuito presenta una simetría respecto a la línea Igualando las ecuaciones (8) y (9), resulta ade. I be = 3I bd (10) La corriente que entra en el nudo a se reparte por igual por las ramas ab y ac. Es decir por cada una Remplazando la ecuación (10) en (2) de estas ramas pasa una corriente I I I = I bd + 3I bd ⇒ I bd = (11) I= I= ab ac (1) 2 8 2 La sustitución de la ecuación (11) en la ecuación (10) nos da 317
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. I 3 I ∆V6V + ∆V3Ω + ∆VR = 0 I be= 3   ⇒ I be= 8 8 6V − 3 Ω( I1 ) − Lecturavoltimetro = 0Problema 03 6 V − 3 Ω( I1 ) − 5 V = 0 1 Para el circuito mostrado en la figura. Las lecturas I1 = A (3) del voltímetro indica 5,00 V mientras que el 3 amperímetro indica 2,00 A y la corriente fluye en la Remplazando la ecuación (3) en (1) resulta dirección indicada. Determine: (a) El valor de la resistencia R y (b) el valor de la fem ε. 1 7 2 A + A = I2 ⇒ I2 = A (4) 3 3 Cálculo de R. De la lectura del voltímetro se tiene ∆VR = I2 R 7 5 V [ A]( R) ⇒ R 2,14 Ω = = 3 Problema 04 Solución Para el circuito mostrado en la figura. (a) Encuentre la diferencia de potencial entre los puntos a y b. (b) En la figura se muestra el sentido de las corrientes si laos puntos a y b están conectados por un cable escogidas y las polaridades en las resistencias. con resistencia despreciable, encuentre la corriente en la batería de 12 V Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo d se tiene Solución I A + I1 = I2 Parte a. En la figura se muestra el sentido de la corriente y las polaridades en las resistencias. 2A + I1 = I2 (1) Observe que como los puntos a y b no se Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla encuentran en contacto por esa línea no habrá flujo abcefga se tiene de corriente ∆Vε + ∆V10 Ω + ∆V2 Ω + ∆VR = 0 ε − 10Ω( I A ) − 2 I A − LecV = 0 ε − 10 Ω(2 A) − 2(2 A) − 5 V = 0 ε = 29 V (2) Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla defgh se tiene Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla cdefc se tiene 318
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.∆V1 V + ∆V Ω + ∆V2Ω + ∆V2Ω + ∆V1Ω + ∆V8V + ∆V2Ω + ∆V1Ω =0 21 I1 = 0, 465 A I 2 = 0, 430 A1 V − 12 I − 2Ω I − 2Ω I − 1Ω I − 8V − 2Ω I − 1Ω I = Ω 0 I 3 = 0, 020 A 4 V = 9Ω( I ) Es decir la corriente que pasa a través de la batería I = 0, 44 A (1) de 12 V es I1 = 465 mA.Aplicando el Teorema de la trayectoria se tiene Problema 05Va − 2 I − 1I − 8V − 2 I − 3(0) + 10V − 1(0) = Vb En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) las corrientes I1, I2 e I3; (b) la Va − Vb = 5 I − 2V = 5(0, 44) − 2V diferencia de potencial entre los puntos A y B y (c) Va − Vb =22 V 0, la potencia disipada en la resistencia de 5 Ω. Desprecie las resistencias internas de las baterías.Parte B. Cuando los puntos a y b se encuentranconectados por un alambre se tiene el circuitosiguiente. Solución Parte (a). Para resolver el problema se usa las ecuaciones de mallas circulantes de Maxwell.Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo a setiene Malla I. I= I 2 + I 3 1 24V − 6 I1 − 5( I1 + I 2 ) − 13( I1 + I 3 ) = 0 24 − 24 I1 − 5 I 2 − 13I 3 = 0Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la mallaabcda se tiene 24 I1 + 5 I 2 + 13I 3 = 24 12V − 1I1 − 2 I1 − 1I 3 − 10V − 3I 3 − 1I1 = 0 Malla II. 2= 4 I1 + 4 I 3 V 10V − 3I 2 − 5( I 2 + I1 ) − 2( I 2 − I 3 ) = 0 2 I1 + 2 I 3 = 1 10 − 5 I1 − 10 I 2 + 2 I 3 = 0Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla 5 I1 + 10 I 2 − 2 I 3 = 10abcda se tiene Malla III. 10V + 1I 3 − 2 I 2 − 1I 2 − 8V − 2 I 2 + 3I 3 = 0 30V − 2( I 3 − I 2 ) − 13( I 3 + I1 ) − 20 I 3 = 0 5I 2 − 4 I3 = 2 30 − 13I1 + 2 I 2 − 35 I 3 = 0Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene 13I1 − 2 I 2 + 35 I 3 = 30 Resolviendo el sistema de ecuaciones resulta 319
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. 24 5 13 cerrado el interruptor. (b) ¿Cuál es la intensidad de corriente después de un largo tiempo del cierre del 10 10 −2 interruptor S. (c) Si el interruptor ha estado cerrado durante un tiempo largo y luego se abre, determine 30 − 2 35=I1 = 0,382 A la corriente en función del tiempo que pasa a través 24 5 13 del resistor de 600 kΩ 5 10 −2 13 − 2 35 24 24 13 5 10 −2 13 30 25=I2 = 0,963 A 24 5 13 Solución 5 10 −2 Parte (a). Corriente inicial. En este caso el capacitor 13 − 2 35 se comporta como un conductor pues no tiene resistencia. El circuito entonces queda en la forma 24 5 13 5 10 10 13 − 2 30=I3 = 0, 770 A 24 5 13 5 10 −2 13 − 2 35 Parte (b). Determinación de la diferencia de Aplicando la segunda ley de Kirchhoff, se tiene potencial entre A y B. para eso se usa el teorema de la trayectoria. Esto es 50V − 1, 2.106 I 0 = 0 VA − 20 I 3 + 30V = VB I 0 = 4,17.10−5 A Parte (b) Cálculo de la corriente en régimen VB − VA= 30V − 20Ω(0, 77 A) estacionario. El capacitor después de un tiempo VB − VA = 4 V 15, largo se carga completamente y por la rama donde se ubica no fluye corriente. Entonces el circuito se dibuja en la forma Parte (c). Para determinar la potencia disipada en R = 5Ω, se determina primero la intensidad de corriente en dicho resistor. I 5Ω = I1 + I 2 = 0,382 A + 0,963 A I 5Ω = 1.345 A = I= (1.345 A) 2 (5Ω) P5Ω 2 5 Ω R5 Ω P5Ω = 9, 05 W Aplicando la segunda ley de Kirchhoff se tieneProblema 06 50V − 1, 2.106 Ω( I ∞ ) − 0, 6.106 Ω( I ∞ ) = 0 En el circuito eléctrico mostrado en la figura. ¿Cuál = 1,8.106 Ω( I ∞ ) 50V es la corriente eléctrica inicial suministrada por la fuente inmediatamente inmediatamente después de I ∞ = 2, 78.10−5 A 320
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. Se procede a determinar el voltaje y la carga en el si el amperímetro marca 6 A?. Desprecie la capacitor resistencia del generador y del amperímetro y considere que R2 = 30 Ω. ∆VC == ∆VR 600 k Ω ∆VC I ∞ ( R) 2, 78.10−5 A(600.103 Ω) = = ∆VC = 68 V 16, Qmax = c ) = (2,5.10−6 F ) ∆VC (C 16, 68V Qmax = 41, 70 µ F Parte (c). Al abrir el interruptor S el condensador cargado completamente se descarga a través del resistor R = 600 kΩ. Por tanto se tiene Solución En la figura se muestran las corrientes y las polaridades en las resistencias. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff se tiene q ∆VC + ∆VR = 0 ⇒ − RI = 0 C q dq dq dt − R(− ) =⇒ 0 =− C dt q RC Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo se q dq 1 t tiene ∫Qmax q RC ∫0 dt = − I A I1 + I 2 =  q  t 6 A I1 + I 2 = ln  = −  Qmax  RC Las resistencias R1 y R2 se encuentran en paralelo q = Qmax e − t / RC por lo que sus diferencias de potenciales entre sus extremos serán iguales. Es decir q = [41, 70e − t /1,5 ]µ F ∆VR2 = R1 ⇒ R2 I 2 =I1 ∆V R1 La intensidad de corriente será 30 I 2 = 60 I1 dq d I 2 = 2 I1 I = = [41, 70e − t /1,5 ]µ F  − −   Resolviendo simultáneamente estas ecuaciones se dt dt tiene I = 2, 78.10−5 e − t /1,5 A 6 A I1 + 2 I1 = I1 = 2 AProblema 07 La potencia eléctrica disipada en la espiral R1 es El calorímetro K tiene una espiral de resistencia R1 = 60 Ω. La espiral R1 se conecta a la red como se muestra en la figura. ¿A cuántos grados se = I= (2 A) 2 (60Ω) P1 2 1 R1 calentarán 480 g de agua con que se llena el P = 240 W 1 calorímetro, durante 5 minutos de fluir la corriente, 321
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. La energía disipada en la espiral será 200V − R1 ( I a − I b ) − R2 ( I a − I b ) − rI a = 0 = 240 t (240 J / s )(300 s ) Ep = 200 − ( R1 + R2 + r ) I a + ( R1 + R2 ) = 0 = 7200 J 0, 24(7200)cal EP = 5015 I a − 5000 I b = 200 EP = 17280 J Malla b. En el caso de que se deprecien las pérdidas de − R3 I b − R2 ( I b − I a ) − R1 ( I b − I a ) − R4 I b = 0 energía, esta energía es utilizada en el calentamiento del agua. Es decir, ( R1 + R2 ) I a − ( R1 + R2 + R3 + R4 ) I b = 0 5000 I a = 10000 I b Q = EP I a = 2Ib mwce, w ∆T = 17280 J Resolviendo simultáneamente las ecuaciones 480 g (1cal / g .°C )∆T = 17280 J anteriores resulta ∆T = 36°C 5015(2 I b ) − 5000 I b = 200Problema 08 I b = 0, 039 A En la figura se muestran dos voltímetros V1 y V2 cuyas resistencias son R1 = 3 kΩ y R2 = 2 kΩ, I a = 0, 079 A respectivamente, Sabiendo que R3 = 3 kΩ; R4 = 2 kΩ; ε = 200 V y r = 15 Ω. Determine las lecturas La lectura del voltímetro V1 será las lecturas de los voltímetros así como del amperímetro de resistencia despreciable cuando: V1 = a − I b ) R1 = 079 A − 0, 039 A](3000Ω) (I [0, (a) el interruptor S se encuentra abierto y (b) el interruptor S se encuentra cerrado. V1 = 120 V La lectura del voltímetro V2 será V2 = a − I b ) R1 = 079 A − 0, 039 A](2000Ω) (I [0, V1 = 80 V Parte (b) Determinación de las lecturas de los medidores cuando S se encuentra cerrado. Es decir, el circuito se grafica en la forma mostrada en la figura Solución Parte (a) Determinación de las lecturas de los medidores cuando S se encuentra abierto. Note que los voltímetros tienen resistencias considerables comparadas con las dos resistencias R3 y R4. Uniendo los puntos de igual potencial se observa que R1 se encuentra en paralelo con R4 de igual forma los resistores R2 y R3 están en paralelo. Entonces sus resistencias equivalentes serán Aplicando las ecuaciones de mallas circulantes de Maxwell, se tiene 322
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. R1 R4 3000(2000) = Re ,1 = = 1200 Ω R1 + R4 3000 + 2000 R2 R3 2000(3000) = Re ,2 = = 1200 Ω R2 + R3 2000 + 3000Aplicando las leyes de Kirchhoff 200V = (1200 + 1200 + 15) I A I A = 0, 083 ALas lecturas de los voltímetros serán V1 = A = Ω(0, 083 A) = V Re.1 I 1200 99, 6 V2 =I A = Ω(0, 083 A) = V Re.2 1200 99, 6 323
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. PROBLEMAS PROPUESTOS1. Una batería de fem ε = 9 V y resistencia interna r = 1,8 Ω tiene una resistencia R = 60 Ω conectada entre sus terminales. (a) Hallar la diferencia de potencial existente entre las terminales de la batería, (b) la corriente que fluye en el circuito y (c) la potencia disipada e la batería. 6. El amperímetro que se muestra en la figura da una lectura de 2 A. Determine I1, I2 y ε.2. Una pila de fem ε tiene una resistencia interna r. Cuando se conecta en serie dos resistencias de 1 Ω y 2 Ω entre los terminales de la pila circula una corriente de 2 A. Cuando entre los terminales se conecta las dos resistencias en paralelo circula a través de la pila una corriente de 6 A. Halle la fuerza electromotriz ε y la resistencia interna de la pila.3. Tres pilas cada una de fem ε = 1,5 V y una resistencia interna r = 1 ,4 Ω se conectan en serie entre los terminales de una batería desconocida de fem ε2 y resistencia interna r2. Sabiendo que la 7. Una batería de 6 V suministra corriente al circuito resistencia total de los conductores es de 0,3 Ω. La que se muestra en la figura. Cuando el interruptor corriente observada en el circuito es 1,17A. Cuando de doble posición S está abierto como se muestra, se invierten las conexiones a los terminales de la la corriente en la batería es de 1 mA. Cuando el batería, se observa que la corriente es 0,26 A en interruptor S se cierra a la posición 1, la corriente sentido opuesto. (a) ¿Cuál es la fem de la batería?, en la batería es 1,2 mA. Cuando el interruptor se (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los cierra a la posición 2 la corriente en la batería es 2 terminales de la batería con las conexiones mA. Determine las resistencias R1, R2 y R3 originales?, (c) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los terminales de la batería después de invertir las conexiones?.4. Considere el circuito que se muestra en la figura. Determine: (a) la corriente en el resistor de 20Ω y (b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b. 8. Una tetera eléctrica tiene un interruptor multiposición y dos bobinas calefactoras. Cuando sólo una de las bobinas está conectada, la tetera, bien aislada, hierve toda su capacidad de agua en un intervalo de tiempo Δt. Cuando sólo se encuentra conectada la segunda bobina, es necesario un intervalo de tiempo 2Δt, para hervir la misma cantidad de agua. Determine el tiempo que se requiere para hervir el líquido cuando ambas5. Tres resistores de 100 Ω están conectados como se bobinas están conectadas: (a) en serie, (b) en muestra en la figura. La potencia máxima que paralelo. puede ser entregada sin riesgo a cualquiera de los resistores es de 25 W. (a) ¿Cuál es el voltaje 9. En la figura se muestra una red infinita de máximo que se puede aplicar a los terminales a y resistores. Cuál es la resistencia equivalente entre b?. (b) para el voltaje determinado en el inciso (a), ¿Cuál es la potencia entregada a cada resistor?, los bornes a y b. ¿Cuál es la potencia total entregada?. 324
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. 400Ω 300Ω 3 5 R3 150Ω 1 V2 17 V V1 115 V V3 95 V 6 R4 600Ω R6 800Ω10. Sabiendo que la intensidad de corriente en la 0 resistencia de 13,8 Ω. Determine las intensidades de corriente en las demás resistencias 14. En el circuito mostrado determine la corriente I1, I2 e I311. En el circuito indicado en la figura la lectura del 15. En cada una de las disposiciones mostradas en la amperímetro es la misma cuando ambos figura, encuentre la resistencia equivalente. interruptores están abiertos o ambos están cerrados. Determine el valor de la resistencia R. 16. En el circuito eléctrico mostrado en la figura.12. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) la intensidad de corriente que fluye Determine: (a) las intensidades de corriente en R1, a través de cada una de las fuentes, (b) la diferencia R2, R3; (b) la potencia liberada en la resistencia R6. de potencial entre los puntos a y b. 700Ω 900Ω 3 1 V1 R3 R4 V2 125 V 1.1kΩ 1.4kΩ 150 V 6 4 R5 5 R6 400Ω 200Ω 17. En el circuito eléctrico mostrado en la figura.13. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) la intensidad de corriente que fluye Determine: (a) las intensidades de corriente en cada a través de las resistencias de 4 y 6Ω, (b) la Ω una de las resistencias, (b) la potencia liberada en la diferencia de potencial entre los puntos a y b y (c) resistencias R4 y R2 y (c) el potencial eléctrico del la potencia disipada en cada resistor. nodo 4 325
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. 22. Determine la intensidad de corriente en cada una de las ramas del circuito mostrado en la figura.18. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine la resistencia equivalente. 23. En el circuito mostrado en la figura, determine el valor de R para que por ella pase una corriente de 2 A. 24. Determine la potencia disipada en la resistencia R19. Determine la caída de tensión y la potencia de la figura si ésta toma los valores de: 3, 5, 7, 15 y disip da en el resistor d e 2 0 Ω le circuito a d 20 Ω. mostrado. 25. En el circuito mostrado determine: (a) La potencia entregada por la fuente, (b) la resistencia20. En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a) equivalente del circuito. La caída de tensión y la potencia disipada en el resistor de 5 Ω y (b) la potencia entregada por la fuente de tensión. 26. En el circuito mostrado en la figura, determine: (a) la corriente en cada una de las resistencias, (b) la potencia suministrada por la cada fem y (c) la potencia disipada en cada uno de los elementos resistivos.21. Determine el valor de R para que la batería entregue una potencia de 50W. 27. En el circuito mostrado en la figura, determine: (a) la corriente en cada una de las resistencias, (b) la potencia suministrada por la cada fem y (c) la 326
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. potencia disipada en cada uno de los elementos resistivos y (d) la diferencia de potencial entre los puntos a y b28. El amperímetro instalado en el circuito indica 300 mA. Determine: (a) la resistencia interna r de la fuente, (b) la lectura del voltímetro y (c) la intensidad de corriente en la resistencia de 4 Ω. 31. (a) Utilizar los argumentos de simetría para determinar la resistencia equivalente de la red mostrada en la figura. (b) ¿Cuál es la intensidad de corriente en cada resistencia si R es 10 Ω y un a diferencia de potencial se aplica entre los bornes a y b?.29. En el circuito mostrado en la figura, determine: (a) 32. En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a) la corriente en cada una de las resistencias, (b) la la intensidad de corriente en cada una de las potencia suministrada por la cada fem, (c) la resistencias, (b) la diferencia de potencial entre los potencia disipada en cada uno de los elementos puntos A y B y (c) ¿Cuál de los puntos se resistivos y (d) los potenciales en cada uno de los encuentra a mayor potencial A o B?. puntos indicados si el punto a está conectado a tierra. 33. En el circuito eléctrico determine las intensidades de corriente I1, I2 e I3.30. En el circuito mostrado en la figura, determine: (a) la corriente en cada una de las resistencias, (b) la potencia suministrada por la cada fem, (c) la potencia disipada en cada uno de los elementos resistivos y (d) los potenciales en cada uno de los puntos indicados si el punto a está conectado a tierra. 34. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) la intensidad de corriente que fluye a través de las batería, (b) la diferencia de potencial entre las terminales de las baterías de 1,5 y 2Ω, Ω 327
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. respectivamente y (b) las intensidades de corriente 38. En el circuito mostrado la resistencia interna de la que fluyen en las resistencias R3, R4 y R6. fuente de tensión es 1Ω. Determine las indicaciones del amperímetro y el voltímetro ideales. 150Ω R4 100Ω 6 5 R3 50Ω R7 80Ω V1 V2 1 r1 3 2 r2 4 39. En un hornillo eléctrico las resistencias están 1.5Ω 2Ω conectadas según el circuito mostrado. Cuando se 25 V 50 V conectan los bornes A y B a una red, hierven 500 g de agua luego de cierto tiempo. ¿Qué cantidad de agua se puede hervir durante el mismo tiempo si se35. Nueve resistencias de 10 Ω cada una se conectan conectaran los bornes A y C?. La temperatura como se muestra en la figura y se aplica una inicial del agua es la misma en ambos casos. diferencia de potencial de 50 V entre los puntos a y Desprecie las pérdidas térmicas. b. Determine: (a) la resistencia equivalente de esta red, (b) la intensidad de corriente en cada una de las nueve resistencias. 40. El calorímetro K tiene una espiral de resistencia R1 = 60 Ω. La espiral se conecta a la red como se36. En el circuito determine la resistencia equivalente muestra en la figura. ¿A cuántos grados se entre los puntos A y B calentarán 480 g de agua con que se llena el calorímetro, durante 5 minutos de fluir la corriente, si el amperímetro marca 6 A?. Desprecie la resistencia del generador y del amperímetro y considere que R2 = 30 Ω.37. En el circuito mostrado determine la lectura de los amperímetros ideales. 41. En la figura ε es una batera de 120 V de fem, R2 = í 10 Ω, B es una teteraéctrica. El amperímetro el marca 2 A. ¿Cuánto tiempo tarda en hervir 0,5 litros de agua en la tetera, hallándose a la temperatura inicial de 4°C?. Se desprecian las resistencias de la batería y del amperímetro. El rendimiento del hornillo de la tetera es de 76%. 328
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.42. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. 45. El interruptor S del circuito RC mostrado en la Determine: (a) el valor de la resistencia R, (b) la figura se cierra en el instante t = 0 s. Encuentre la diferencia de potencial entre los puntos a y b y (c) carga sobre el capacitor en el tiempo t = 4,2 ms. la potencia liberada en el resistor R. 2 R1 1 1.5kΩ 3 Key = A 12 V C1 25uF V 4 46. En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a) La intensidad de corriente en cada una de las ramas del circuito y (b) los potenciales de cada uno de los puntos indicados43. En la figura ε es una batera con una fem de 110 V, í K es un calorímetro con 500 g de kerosene. El amperímetro marca 2 A y el voltímetro 10,8 V. (a) ¿A qué es igual la resistencia de la espiral?. (b) ¿Cuál es el calor especifico del kerosene, si a los 5 min de fluir la corriente por la espiral R1 el kerosene a calentado 5°C?. Considere que en el calentamiento del kerosene se invierte el 80% del calor emitido por la espiral. (c) ¿Cuál es el valor de la resistencia en el reóstato R?. Desprecie la resistencia del la fuente y del amperímetro y el voltímetro tiene una resistencia infinita. 47. El amperímetro instalado en el circuito indica una intensidad de corriente de 1 A. determine el valor de la fem ε y la intensidad de corriente que fluye en los demás resistores.44. En el circuito ele´ctrico mostrado en la figura. Determine las lecturas del amperímetro y del voltímetro. Cada una de las resistencias son de 2 Ω 48. En el circuito eléctrico mostrado en la figura, se desprecian las resistencias internas de las baterías. Determine: (a) las intensidades de corriente en cada una de las resistencias y (b) la potencia disipada e la resistencia de 4 Ω. 329
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. circuito, (b) la máxima carga sobre el capacitor y (c) la corriente inicial en el circuito.49. El capacitor del circuito RC mostrado en la figura está inicialmente descargado. Si en el instante t = 0 el interruptor S es cerrado, encuentre: (a) la carga 53. En el circuito mostrado en la figura. Determine la sobre el capacitor y (b) la corriente en el circuito intensidad de corriente en cada resistor y la carga un tiempo (τ = RC) después de ser conectada la en cada uno de los capacitores después de un batería. tiempo largo de que el interruptor S ha sido: (a) abierto y (b) cerrado. 1 2 R 120Ω Key = A 3 9V C 45uF E 450. En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a) la intensidad de corriente proporcionada por la 54. La figura muestra un circuito simplificado para una batería, (b) la diferencia de potencial entre los unidad fotográfica con flash. El circuito consiste de extremos del capacitor y (c) la carga almacenada en una batería de 9,00 V, un resistor de 50 k Ω, un el capacitor. capacitor de 140 μF, un bulbo flash y dos interruptores. Inicialmente el capacitor se encuentra descargado y los dos interruptores están abiertos. Para cargar la unidad, el interruptor S1 es cerrado; para encender el flash, el Interruptor S2 (El cual es conectado a la cámara) es cerrado. ¿Cuánto tiempo le toma a la carga alcanzar 5 V en el capacitor?.51. Si ε = 40 V, R1 = 80 Ω, R2 = 60 Ω, R3 = 40 Ω y el cap acitor C = 4 μF est inicialmente descargado. á Si en t = 0 se cierra el interruptor. Determine: (a) la intensidad de corriente en cada resistor inmediatamente después de cerrar el interruptor y (b) la carga final en el capacitor. 55. En el circuito mostrado en la figura, suponga que el interruptor se encuentra abierto por un período de tiempo muy grande. Considerando que ε = 10 V, R1 = 50 kΩ, R2 = 100 kΩ y C = 10 μF. Si en el instante t = 0 dicho interruptor es súbitamente cerrado. Determine: (a) la constante de tiempo capacitiva antes de cerrar el interruptor, (b) la conste de tiempo capacitiva después de cerrar el interruptor y (c) la corriente que fluye por el interruptor como función del tiempo después de52. Considere el circuito RC mostrado en la figura. Si que el interruptor es cerrado. en el instante t = 0 se cierra el interruptor S. Encuentre: (a) La constante de tiempo para el 330
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. R1 3 2 1 1.2MΩ Key = A E 120 V R2 600kΩ C 470uF 456. Considere el circuito RC mostrado en la figura. Determine: (a) La constante de tiempo y (b) la 59. En el circuito mostrado en la figura, el interruptor corriente inicial para este circuito (c) se desea incrementar la constante de tiempo de este circuito K es inicialmente cerrado y S está abierto. (a) mediante el ajuste del valor de la resistencia de 6,5 Encuentre la diferencia de potencial entre los Ω. Podr la resistencia de ía éste resistor puntos a y b; (b) Posteriormente S es también incrementarse o disminuirse para lograr el objetivo cerrado, ¿cuál es la diferencia de potencial entre los trazado. Explique puntos a y b?; (c) Si ahora K es abierto y S sigue cerrado, ¿cuál es la constante de tiempo para la descarga del capacitor?, ¿Cuál es la corriente y la carga en función del tiempo?. Considere que la batería tiene un resistencia interna 1 Ω57. El circuito mostrado en la figura inicialmente se encuentra con ambos interruptores abiertos y los capacitores se encuentran completamente descargados. Asumiendo que la resistencia interna de la fuente de 50 V es despreciable. (a) ¿Cuál es la corriente de la batería inmediatamente después de cerrar S1 manteniendo S2 abierto?. (b) ¿Cuál es la corriente después de un tiempo largo de 60. Suponga que la batería del circuito mostrado en la cerrar el interruptor S1 y mantener S2 abierto?. (c) figura tiene una resistencia interna de 0,75 Ω. (a) ¿Cuál será las cargas en los capacitores M y N en ¿Cuál será la diferencia de potencial entre los estas condiciones?. (d) Si ahora se cierra el extremos de la batería cuando el interruptor se interruptor S2, ¿Cuál será las cargas sobre los encuentra abierto?, (b) ¿Cuando el interruptor es capacitores M y N en régimen estacionario?. cerrado la diferencia de potencial en la batería incrementará o disminuirá?. Explique. (c) Encuentre la diferencia de potencial en los extremos de la batería después de un tiempo largo después de haber sido cerrado el interruptor. 2 3 Key = A R1 11Ω C 45uF R2 5.6Ω58. El capacitor del circuito RC mostrado en la figura E se encuentra inicialmente descargado. Determine: 1 4 (a) la corriente inicial de la batería inmediatamente 9V después de cerrar el interruptor S; (b) La corriente estacionaria a través de la batería después de transcurrido un largo tiempo y (c) el voltaje 61. Un circuito está formado por un dínamo de 500 V máximo a través del capacitor. de fem y 0,75 Ω de resistencia interna , la l a de íne 1000 m de longitud, 4 mm de diámetro y 1, 75μΩ - cm de resistividad; Además hay n lámparas de incandescencia instaladas en derivación de 60W y 240 Ω cada una. Determine: (a)úmero de el n 331
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. lámparas; (b) la caída de tensión en la línea y (c) el rendimiento del generador.62. El capacitor del circuito RC mostrado en la figura inicialmente se encuentra descargado cuando el interruptor S se encuentra abierto. Si en el instante t = 0 se cierra el interruptor S. (a) Determine la corriente estacionaria a través de la batería después de transcurrido un largo tiempo, (b) determine la diferencia de potencial entre los bornes del 65. En el circuito eléctrico mostrado en la figura, el capacitor, (c) si la batería se desconecta del circuito interruptor es cerrado en t = 0. (a) determine la abriendo nuevamente el interruptor S, determine la carga en el capacitor en t = (b) la diferencia de ∞, corriente en función del tiempo, (d) ¿Cuánto potencial en el capacitor cuando t = 1,5τ, (c) la tiempo tardará el capacitor en descargarse hasta que corriente en R1 en t = 0 y (d) la constante del la diferencia de potencial a su través sea de 1,00 V. tiempo capacitiva del circuito. R1 150ΩJ1A 3 7 Key = A R3 V1 55 V 125Ω R2 4 175Ω C1 250pF 263. El capacitor del circuito mostrado en la figura se 66. En el circuito RC mostrado en la figura el capacitor encuentra inicialmente descargado cuando el de 62 μF se encuentra inicialmente descargado interruptor S se encuentra abierto. (a) ¿Cuál es la cuando el interruptor S se encuentra abierto. (a) corriente inicial en la batería inmediatamente ¿Cuál es la intensidad de corriente inicial después de cerrar el interruptor S?. (b) ¿Cuál es la suministrada por la batería inmediatamente después corriente de la batería un tiempo largo después de de cerrado el interruptor S?, (b) ¿Cuál es la cerrar el interruptor S?. (c) ¿Cómo varía la intensidad de corriente a través de la batería intensidad de corriente en la resistencia de 600 Ω después de un tiempo muy largo de haber cerrado en función del tiempo, después de abrir el S?. (c) si después de haber mantenido el interruptor interruptor S?. cerrado por un tiempo grande, se abre éste determine la intensidad de corriente en función del tiempo que pasa a través de la resistencia de 60 kΩ.64. En el circuito de la figura el capacitor tiene una 67. En el circuito mostrado en la figura, el interruptor capacitancia de 2,5 μF y la resistencia es de 0,5 es cerrado en el instante t = 0. Determine los MΩ. Antes de cerrar el interruptor, la ca ída de valores numéricos de las siguientes cantidades: (a) potencial a través del capacitor es 12 V, como se la diferencia de potencial en el capacitor en t = ∞; indica. Si el interruptor S se cierra en t = 0. (a) (b) la diferencia de potencial en el capacitor en ¿Cuál es la corriente en R inmediatamente después t = 2τ; (c) la intensidad de corriente que pasa por R2 de cerrar S?. (b) ¿Para qué tiempo el voltaje a en t = 0 y (d) la constante de tiempo capacitiva. través del capacitor es de 24 V?. 332
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. 2 R1 3 R2 Key = A 150Ω 50Ω 1 6 R3 150Ω V1 R4 150 V 50Ω 4 C1 3mF 568. En el circuito mostrado en la figura el interruptor 71. En el circuito RC mostrado en la figura los ha estado abierto por mucho tiempo. Si en el capacitores están inicialmente descargados cuando instante t = 0 es cerrado. Determine: (a) la corriente el interruptor K se encuentra abierto. (a) ¿Cuál es la en R3 después de un tiempo t = 1,25 después de τ corriente a través de cada una de las resistencias cerrado el interruptor; (b) la intensidad de corriente inmediatamente después de cerrado el interruptor en R2 en t =∞; (c) usando las leyes de kirchhoff S?. ¿Cuál es la intensidad de corriente a través de encuentre la constante de tiempo capacitiva para cada resistencia después de un tiempo muy grande cargar el capacitor. de haber cerrado el interruptor?. (c) Cuál es la 5 R1 2 R3 carga final sobre cada uno de los capacitores?. Key = A 1.5kΩ 750Ω 3 1 V1 R2 C1 375 V 2.5kΩ 1.5uF 069. Para el circuito mostrado en la figura. En el instante t = 0 s el interruptor S está cerrado y en el instante t 72. En el circuito mostrado en la figura el capacitor = 2 s está abierto. (a) Represente gráficamente el está inicialmente descargado y el interruptor voltaje a través de C y la corriente a través de la abierto. Determine: (a) la corriente que pasa a resistencia de 5 MΩ entre t = 0 s y t = 10 s. (b) través del resistor de 1000 justo despus de Ω, é Determine el voltaje a través del capacitor en los cerrar el interruptor y (b) la corriente en el resitor tiempos t = 2 s y t = 8 s. de 1000 Ω, 1 hora después de cerrar el interruptor. 73. En el circuito mostrado en la figura determine: (a)70. Los capacitores del circuito mostrado en la figura La intensidad de corriente en cada una de las ramas están inicialmente descargados cuando el del circuito, (b) La carga en cada uno de los interruptor S se encuentra abierto. Determine: (a) el capacitores cuando se cargan completamente. valor de la corriente inicialmente suministrada por la batería inmediatamente después de cerrado el circuito, (b) la intensidad de corriente a través de la batería después de un tiempo muy grande de haber cerrado S y (c) las cargas finales sobre cada uno de los capacitores. 333
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. Determine la lectura del amperímetro ideal y del voltímetro. 78. En el circuito mostrado en la figura la fem de la batería es de 110 V y su resistencia es despreciable.74. En el circuito mostrado, determine: (a) la Si la resistencia del voltímetro es Ω. 1 kde intensidad de corriente a través de cada una de las Determine la lectura del amperímetro ideal y del resistencias, (b) la carga sobre cada uno de los voltímetro. capacitores. 79. En el circuito mostrado en la figura la fem de la batería es de 120 V y su resistencia es despreciable.75. En el circuito mostrado en la figura la batería tiene Si la resistencia del voltímetro es Ω. 2 kde una fem de 100 V. ¿Cuál es la lectura del Determine la lectura del amperímetro ideal y del voltímetro si su resistencia interna es deΩ?. k 2 voltímetro. Desprecie la resistencia interna de la batería. 80. Si el voltímetro tiene una resistencia interna de76. En el circuito mostrado en la figura la fem de la 1000 Ω. Determine la ón de este indicaci batería es de 110 V y su resistencia es despreciable. instrumento cuando se le instala en el circuito tal Si la resistencia del voltímetro es de 1 kΩ. como se muestra en la figura. Determine la lectura del amperímetro ideal y del voltímetro. 81. En el circuito mostrado en la figura, determine la lectura del amperímetro. Se desprecian las resistencias internas de las baterías y del77. En el circuito mostrado en la figura la fem de la amperímetro, batería es de 110 V y su resistencia es despreciable. Si la resistencia del voltímetro es Ω. 1 kde 334
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. respectivamente. Determine las lecturas de los voltímetros en los siguientes casos: (a) el interruptor K se mantiene abierto y (b) el interruptor K se encuentra cerrado. Se desprecia la resistencia interna de la batería.82. ¡Qué intensidad de corriente marca el amperímetro de la figura si su resistencia es de 200 Ω. Desprecie la resistencia interna de las baterías. 86. En el estado estacionario la carga sobre el capacitor de 5 μF del circuito mostrado en la figura es de 1000 μC. Determine: (a) la corriente a travs de la é batería y (b) los valores de las resistencias R1, R2 y R3.83. En el circuito mostrado en la figura, determine la lectura del amperímetro. Se desprecian las resistencias internas de las baterías y del amperímetro. 87. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) la corriente que fluye a través de cada una de las fuentes, (b) la potencia liberada en cada resistor y (c) la energía liberada en el resistor84. En la figura V1 y V2 son dos voltímetros cuyas de 3 Ω en un intervalo de tiempo de 5 minutos. resistencias internas son R1 = 3000Ω y R2 = 2000Ω, respectivamente. Determine las lecturas de los voltímetros y de los amperímetros en los siguientes casos: (a) el interruptor K se mantiene abierto y (b) el interruptor K se encuentra cerrado. Se desprecia la resistencia interna de la batería y de los amperímetros 88. Considere que los medidores del circuito mostrado en la figura son perfectos. Determine: (a) La resistencia equivalente, (b) La intensidad de corriente I1, (c) Las lecturas del amperímetro y del voltímetro y (d) la potencia disipada por la resistencia de 2 Ω.85. En la figura V1 y V2 son dos voltímetros cuyas resistencias internas son R1 = 3000Ω y R2 = 2000Ω, 335
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. 92. En el circuito mostrado en la figura, determine la diferencia de potencial entre los puntos a y b. batería tiene una fem 𝜀 = 5 𝑉 y una resistencia89. En el circuito mostrado en a figura cuando el interna de 𝑟 = 1𝛺. Las resistencias son R1 = 3 Ω, 93. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. la interruptor K se abre el amperímetro marca 100 mA. Determine: (a) e valor de la resistencia desconocida R (b) la intensidad de corriente en R2 = 4 Ω y R3 = 2 Ω. Determine las cargas en cada cada una de las resistencias y c) la diferencia de una de las placas de cada uno de los capacitores potencial entre los puntos B y C. 94. En el circuito RC de la figura se coloca el90. En el circuito RC mostrado R = 540 MΩ y C = 120 interruptor K en la posición A en el instante t = 0 s μF. El interruptor es cerrado en t = 0. (a) ¿En qué y después de una constante de tiempo (1τ) se pasa a tiempo alcanzarán el 36% de su máximo valor las la posición B. Determine: (a) el régimen transitorio siguientes cantidades: (a) la energía almacenada y completo de corriente y (b) el régimen transitorio (b) la potencia liberada en R?. de carga. Desprecie las resistencias internas de las baterías. 95. En el circuito mostrado cada uno de los resistores91. En el circuito RC mostrado en la figura, la batería tienen el mismo valor R = 6 Ω Y laía de bater 𝜀 = 6 𝑉. Determine: (a) la resistencia equivalente tiene una fem de 4 V y una resistencia interna de resistencia interna despreciable tiene una fem 1Ω. Sabiendo que R1 = 3Ω y R2 = 2Ω, C1 = 2 μF; C2 = 8 μF; C3 = 4 μF; y C4 = 6 μF. Determine: (a) del sistema, Las corrientes I1, I2 e I3. La intensidad de corriente a través de la resistencia R1, (b) Las cargas en las armaduras de cada uno de los capacitores después de un tiempo muy grande y (c) la potencia entregada al circuito por la batería. 336
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.96. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) Las corrientes en cada una de las ramas, (b) La diferencia de potencial entre los puntos a y b y (c) La potencia disipada en la resistencia de 5 Ω. 100. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) Las corrientes en cada una de las ramas, (b) La diferencia de potencial entre los puntos a y b y (c) La potencia disipada en la resistencia de 15 Ω.97. En el circuito mostrado en la figura el amperímetro ideal indica el paso de una intensidad de corriente de 3A dirigida de a hacia b. Encuentre: (a) la intensidad de corriente que pasa a través de los resisto es d e 8 Ω y 3 Ω y (b) la lectu a d e r r l voltímetro ideal. 101. En el circuito mostrado en la figura, determine la intensidad de corriente a través de la fuente de tensión.98. Los condensadores del circuito mostrado en la figura están inicialmente descargados. El interruptor S se cierra primero y después se cierra el interruptor K. (a) ¿Cuál es la corriente en la batería inmediatamente después de cerrar S?. (b) ¿Cuál es la intensidad de corriente de la batería un tiempo largo después de cerrar ambos interruptores?. (c) ¿Cuáles son los voltajes finales a través los condensadores? Y (d) Después de un tiempo prolongado se abre el interruptor K. ¿Cuál sería la corriente en el resistor de 150Ω en función 102. Halle la resistencia equivalente entre los bornes x e del tiempo?. y de la red mostrada en la figura.99. Para el circuito mostrado en la figura. Determine: (a) La lectura del amperímetro y del voltímetro considerando a estos instrumentos ideales, (b) la potencia disipada en las resistencias de 100 Ω y 50 103. Un tetraedro regular es una pirámide con su base Ω, respectivamente y (c) la potencia entregada por triangular. Si en cada una de sus aristas se las baterías. encuentran instaladas resistencias iguales de R = 20 Ω con uniones en su cuatro v értices. Una batería de 24 V es instalada a dos de sus vértices de la base del tetraedro. (a) ¿Cuál sería la resistencia equivalente entre dos vértices del tetraedro?. (b) 337
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. ¿Cuál es la intensidad de corriente a través de la batería?. 107. El circuito muestra el modelo de un circuito para la transmisión de señal eléctrica, como por ejemplo104. En el circuito mostrado en la figura, suponga que el televisión por cable, a un gran número de usuarios. interruptor ha estado cerrado durante un tiempo Cada usuario conecta una resistencia de carga RL suficientemente largo para que el capacitor se entre la línea de transmisión y la tierra. cargue por completo. Determine: (a) la intensidad Supuestamente la tierra se encuentra a potencial de corriente en estado estacionario en cada uno de cero y es capaza de conducir corriente de cualquier los resistores y (b) la carga Q del capacitor. (c) tamaño entre cualquier conexión a tierra con una Ahora el interruptor se abre en t = 0. Escriba una resistencia despreciable. Determine la resistencia ecuación para la intensidad de corriente a través de equivalente entre los terminales del origen de la la resistencia d e 1 5 Ω como funci del tiempo y ón señal. (d) determine el intervalo de tiempo necesario para que la carga del capacitor se reduzca a un quinto de su valor inicial. 108. Tres bombillas de 60 W, 120 V, están conectadas a una fuente de potencia de 220, como se muestra en la figura. Determine: (a) la potencia total entregada105. El circuito mostrado en la figura contiene dos a las tres bombillas y (b) el voltaje aplicado a cada resistencias R1 = 2 kΩ y R2 = 3 k Ω, si como d o s una de las bombillas. Suponer que la resistencia de una batería cuya fem es 𝜀 = 120 𝑉. Antes de cerrar capacitores, C1 = 2 μF y C2 = 3 μF, conectados a cada bombilla es constante (aun cuando la resistencia varía considerablemente con la el interruptor S los capacitores se encuentran temperatura). completamente descargados. Determine la carga q1 q2, en cada uno de los capacitores después de cerrar los interruptores en función del tiempo. 109. (a) Usando argumentos de simetría muestre que la intensidad de corriente a través d cualquier resistor del circuito mostrado es I/3 o I/6. (b) Si cada uno de los resistores tienen una resistencia R, muestre que la resistencia equivalente entre los bornes a y b es Req = (5/6)R.106. El interruptor S ha estado cerrado durante mucho tiempo de tal manera que el circuito eléctrico mostrado en la figura lleva una corriente constante. Considerando que C1 = 3 μF, C2 = 6 μF, R1 = 4 kΩ y R2 = 7 kΩ y la potencia entregada a R2 es de 2,4 W. (a) Determine la carga en cada uno de los capacitores, (b) Suponga que ahora se abre el interruptor. Después de varios milisegundos, ¿Cuánto ha cambiado la carga en C2?. 110. Un galvanómetro, el cual requiere de una intensidad de corriente de 1 mA para una deflexión de la escala completa, que tiene una resistencia interna de 60 Ω, puede ser utilizado para medir intensidades de corriente mucho mayores. Para permitir que un operador pueda medir corrientes 338
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. elevadas sin dañar el galvanómetro, se conecta a éste una resistencia muy pequeña (resistencia Shunt) en paralelo como se muestra en la figura permitiendo de esta forma que la mayoría de corriente fluya por la resistencia Shunt. Determine el valor de la resistencia Shunt a utilizar si se quiere medir corrientes de 10 A para una deflexión completa de la escala. 115. Diseñe un voltímetro multirango capaz de obtener una deflexión de la aguja a escala completa para 200 mV, 2 V ; 20 V y 600 V, utilizando un galvanómetro cuya resistencia interna es de 10 Ω el cual permite una deflexión de la aguja a escala completa para 0,5 mA.111. El galvanómetro descrito en el problema anterior puede ser utilizado para medir voltajes. En este caso se conecta en serie con el galvanómetro un resistor grande Rp como se muestra en la figura. El efecto es limitar la corriente que pase por el galvanómetro cuando se apliquen voltajes elevados. La mayor parte de caída de potencial ocurre en el resistor en serie RP. Determine el valor de RP que 116. El galvanómetro tiene una resistencia interna de permita medir al galvanómetro medir un voltaje 20 Ω y requiere de 2 mA para una deflexión de la aplicado de 100 V con una deflexión de escala escala completa. ¿Cuáles serán los valores de las completa. resistencias shunt necesarias para los tres rangos indicados.112. Un galvanómetro con una sensibilidad a escala completa de 1 mA requiere de un resistor de 900 Ω en serie para construir un voltímetro cuya lectura a escala completa sea de 1,00 V cuando sus terminales son conectados. ¿Qué resistencia es requerida para convertir al galvanómetro en un 117. Diseñe un amperímetro rango múltiple capaz de voltímetro que permita leer un voltaje de 50,0 V?. obtener una deflexión de la aguja a escala completa113. Suponiendo que un galvanómetro tiene una para 20 mA, 200 mA y 10A, utilizando un resistencia interna de 60 Ω y requiere una galvanómetro cuya resistencia interna es de 10 Ω el intensidad de corriente de 0,5 mA para producir una cual permite una deflexión de la aguja a escala deflexión de la escala completa. ¿Qué resistencia completa para 1 mA. Rsh debería conectarse en paralelo con el galvanómetro si la combinación debería utilizarse como un amperímetro el cual permite leer una intensidad de corriente de 100 mA para una deflexión de la escala completa?.114. Diseñe un voltímetro multirango capaz de obtener una deflexión de la aguja a escala completa para 1 V ; 10 V y 50 V, utilizando un galvanómetro cuya resistencia interna es de 50 Ω el cual permite una deflexión de la aguja a escala completa para 1 mA. 118. En el circuito mostrado en la figura, encuentre: (a) la corriente inicial que fluye a través de cada uno de los resistores cuando el interruptor es cerrado, (b) la corriente de régimen estacionario en cada 339
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. resistor y (c) la energía final almacenada en capacitor y (d) la constante de tiempo capacitiva cuando el interruptor es abierto. 122. En el circuito mostrado en la figura, la resistencia119. El puente de Wheatstone mostrado en la figura es interna del voltímetro y del amperímetro so utilizado para hacer medidas precisas de RV = 1 kΩ ; RA = 0,1 Ω. El resistor R tiene una resistencias de alambres de conexión. Si R3 = 1 kΩ resistencia de 10 Ω. (a) ¿Cuáles son los valores de y el puente se encuentra balanceado mediante el la corriente y la diferencia de potencial a través del ajuste de R1 tal que R1 = 2,5 R2. Determine el valor resistor?. (b) cuales son la corriente y la diferencia de la resistencia desconocida Rx. de potencial medidas por el los medidores?. 123. En el circuito mostrado en la figura, la resistencia interna del voltímetro y del amperímetro so Rv = 1kΩ; RA = 0,1 Ω . El resistor R tiene una resistencia120. Suponga que el puente de Wheatstone mostrado en la figura del problema anterior se encuentra no de 10 Ω . (a) ¿Cuáles son los valores de la corriente balanceado. Determine la intensidad de corriente y la diferencia de potencial a través del resistor?. que pasa a través del galvanómetro cuando Rx = R3 (b) cuales son la corriente y la diferencia de = 7 Ω, R2 = 21 Ω y R1 = 14 Ω. Suponga que la potencial medidas por el los medidores?. batería de resistencia interna despreciable proporciona una fem de 70 V y que la resistencia interna del galvanómetro es despreciable.121. El circuito mostrado en la figura corresponde a un potenciómetro. Cuando se utiliza una batería estándar con una fem de 1,0186 V en el circuito y la resistencia entre a y d es d e 3 6 Ω, el galvanómetro marca cero. Si la batería estándar es remplazada por una batería cuya fem es ajustada a 48 Ω. Determine el valor de la fem 𝜀 𝑥 . desconocida, el galvanómetro no registra el paso de 124. Sea el circuito eléctrico mostrado en la figura. Se corriente alguna cuando la resistencia entre a y d es conocen: r = 1 Ω, R = 10Ω, la resistencia del voltímetro es Rv = 200 Ω. Calcular el error relativo de las indicaciones del voltímetro, el cual se obtiene al suponer que el voltímetro tiene una resistencia infinitamente grande y que por lo tanto no introduce distorsión alguna en el circuito. 340
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. y por la espiral del calentador?. (b) ¿Cuáles es el valor de la resistencia de la lámpara de iluminación (c) ¿Cuál es el valor la resistencia de la espiral?. (d) ¿Cuánto tiempo demorará en hervir 500 g de agua en el calentador K si su temperatura inicial es 20°C. Considere que en el calentamiento del agua se invierte el 80% del calor emitido por la espiral. Desprecie la resistencia del la fuente y del amperímetro. (ce,w = 4186 J/kg.°C)125. Cada una de las celdas del circuito mostrado tiene una fem de 0,6 V una resistencia interna de r = 0,6Ω. (a) ¿Cuál es la fem neta del circuito?, (b) ¿Cuál es la resistencia interna total de las baterías del circuito?. (c) ¿Cuál es la resistencia neta de carga del circuito?, (d) ¿Cuál es el voltaje V5 a través del resistor R5?, (e) ¿Cuál es la potencia disipada en el resistor R7?. 128. ¿Cuáles son las lecturas del amperímetro y del voltímetro ideales cuando: (a) el interruptor está abierto, (b) el interruptor está cerrado?.126. ¿Cuál es el valor de la intensidad de corriente en el galvanómetro del puente de Wheatstone no balanceado, mostrado en la figura?. Considere que 129. En el circuito mostrado en la figura V1 = 20 V y V2 la resistencia de la fuente de fem es despreciable y = 15 V y las resistencias toman los valores la resistencia interna del galvanómetro es 20Ω. siguientes: R1 = R2 = 10Ω; R3 = 15Ω y R4 = R5 = 20 Ω. Determine: (a) la corriente en cada una de las partes del circuito, (b) la potencia en el resistor R1.127. En la figura ε es una batería con una fem de 120 V; R1 = 10 Ω, R2 es la espiral del calentador eléctrico 130. En la figura ε es una bater con una f.e.m. de 110 ía y R3 es una lámpara de iluminación la cual disipara V y una resistencia interna de 5 Ω, K es un una potencia de 1200 W. Si al cerrar el interruptor S calorímetro con 500 g de kerosene. El amperímetro el amperímetro indica 12 A. (a) ¿Cuáles son las marca 2A, y el voltímetro, 10,8 V. (a) ¿A qué es intensidades de corriente que fluyen por la lámpara igual la resistencia de la espiral?. (b) ¿A qué es 341
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C. igual el calor específico del kerosene, si a los 5 133. Complete la tabla de valores en el circuito minutos de fluir la corriente por la espiral R1 el mostrado. Si el voltímetro indica 2,233 V. kerosene se ha calentado 5ºC?. Considere que en el calentamiento del keroseno se invierte el 80% del calor emitido por la espiral. (c) ¿A qué es igual la resistencia del reóstato R?. El voltímetro y el amperímetro son ideales.131. Complete la tabla de valores para el circuito mostrado en la figura 134. En el circuito mostrado en la figura, obtenga la carga en cada uno de los capacitores cuando se ha alcanzada el régimen permanente. 1uF 1uF 2 R1 C3 1 4 500Ω 3uF R2 200Ω V1 10 V132. Complete la tabla de valores en el circuito 3 C6 mostrado 2uF 5 V2 20 V R3 7 800Ω C4 C5 6 2uF 1uF 135. En el circuito mostrado en la figura: (a) ¿Cuál debe ser la fem ε de la batería para que fluya una corriente de 2 A a través de la batería de 5 V, como se muestra?. Es correcta la polaridad de la batería que se indica?. (b) ¿cuánto tiempo toma producir 60 J de energía térmica en el resistor de 10 Ω?. 342
    • Física General III CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA Toribio Córdova C.136. En el circuito mostrado. (a) Determine el voltaje a través del condensador. (b) Si la batería se desconecta, exprese la corriente del condensador en función del tiempo. (c) ¿Cuánto tiempo tardará en descargarse el condensador hasta que la diferencia de potencial a su través sea de un voltio?. (d) Si el condensador se reemplaza por una resistencia de 30 Ω ¿Cuáles son las intensidades de corriente que fluyen por las resistencias.137. En el circuito eléctrico mostrado en la figura y bajo las condiciones de régimen estable. Determine: (a) las intensidades de corriente I1, I2 e I3, (b) la carga en el capacitor 343