ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์                                                                                        1บทที่     ...
2                                                                           หลักคณิตศาสตร์ตั้งกติกาวาผูที่ชนะไดรางวัลคื...
ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์                                                                                3                  ...
4                                                                                หลักคณิตศาสตร์ตัวอยางเชน       p       ...
ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์                                                                     5เท็จยอมถือวาเราพูดความจริง ...
6                                                                                           หลักคณิตศาสตร์                ...
ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์                                                                                  7ตัวอยางที่ 1.3 ...
8                                                                                     หลักคณิตศาสตร์       เพื่อความสะดวกใ...
ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์                                                      9  1.9 4 เปนจํานวนเต็มลบ ก็ตอเมื่อ -4     เ...
10                                                                               หลักคณิตศาสตร์1.2 การสมมูลเชิงตรรกศาสตร ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

9789740329909

1,758 views
1,682 views

Published on

หลักคณิตศาสตร์

Published in: Education
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
1,758
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
61
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

9789740329909

  1. 1. ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์ 1บทที่ ตรรกศาสตรและการพิสจน ู ในโลกป จ จุ บั น เรามั ก เผชิ ญ กั บ ป ญ หาการพิ สู จ น ค วามจริงในสิ่ งที่ ได รับ ทราบหรื อตองการทราบวาขั้นตอนในการแกป ญ หาตางๆ คําตอบที่ ได ถูกต องหรือไม เชน เมื่อเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอรเราจะทราบไดอยางไรวาโปรแกรมนั้นทํางานอยางที่ตองการ บางขอความเชน “ดวงอาทิตยขึ้นทางทิศตะวันออก” “หนึ่งสัปดาหมี 9 วัน” คนสวนใหญทราบทันทีวาขอความแรกเปนจริงแตขอความหลังเปนเท็จ บางคําถามไมงายนักที่จะตอบในทันทีวาจริงหรือไมโดยเฉพาะอยางยิ่งขอความทางคณิตศาสตร เชน “ไมวา n เปนจํานวนนับใดๆ n 3 + nเป น จํ า นวนคู เสมอ” บางข อ ความเช น ทฤษฎี บ ทสุ ด ท า ยของ แฟร ม าต (Fermat’s LastTheorem) “สําหรับจํานวนเต็ม n ใดๆ ซึ่ง n > z สมการ x n + y n = z n ไมมีผลเฉลย ซึ่งx , y และ z เปนจํานวนเต็มซึ่งไมใชศูนย (zero)” ขอความอยูในสมุดบันทึกนักคณิตศาสตรชาวฝรั่งเศสผูมีชื่อเสียง ปแยร เดอ แฟรมาต (Pierre de Fermat, 1601-1655) เขากลาววาเนื่ อ งจากเนื้ อ ที่ ในสมุ ด บั น ทึ ก ไม เพี ย งพอจึ งไม ได บั น ทึ ก บทพิ สู จ น ไว นั ก คณิ ต ศาสตรไ ดพยายามพิสูจนทฤษฎีบทสุดทายของแฟรมาตมาตลอดจนเกิดคณิ ตศาสตรแขนงใหมๆ ที่มีประโยชน คนสวนใหญที่เริ่มศึกษาวิทยาศาสตรกายภาพ มักเบื่อหนายตอบทพิสูจนของทฤษฎีบทต า งๆ สนใจเพี ย งการนํ า ไปประยุ ก ต ใช เท า นั้ น หากทุ ก คนคิ ด เช น นี้ วิ ท ยาศาสตร แ ละเทคโนโลยีคงจะไมกาวหนาอยางเชนในปจจุบัน การมีแนวคิดทฤษฎีใหมๆ ยอมเปนผลจากการศึกษาทฤษฎีบทที่มีอยูวามีแนวคิดมาอยางไร และจะยืนยันไดอยางไรวาสิ่งที่เราคิดขึ้นมานั้นถูกตอง เชน หากเราเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอรขึ้นเพื่อทํางานชิ้นหนึ่ง เรามีวิธีตรวจสอบไดอยางไรวาโปรแกรมนั้นทํางานใหไดตามตองการจริงๆ หรือหากมีใครจัดรายการเกมโชวโดย
  2. 2. 2 หลักคณิตศาสตร์ตั้งกติกาวาผูที่ชนะไดรางวัลคือ ผูที่สามารถจัดเรียงแผนกระดาษ 36 แผน ซึ่งแตละแผนมีเลข1, 2, …, 36 เขียนอยูแผนละ 1 หมายเลขบนชองวาง 36 ชองในวงลอนําโชค โดยที่ผลบวกของตัวเลขใน 3 ชองที่ติดกันใดๆ มีคานอยกวา 55 ทานจะทราบไดอยางไรวา ทานสมควรจะเลนเกมนี้หรือไม ในบทนี้เราจะกลาวถึงตรรกศาสตรพื้นฐานสําหรับใชในการพิสูจน และการพิสูจนแบบตางๆ ซึ่งใชในการพิสูจนขอความทางคณิตศาสตร1.1 ประพจนและคาความจริง ขอความที่นาสนใจทางคณิตศาสตรเปนขอความที่เราตัดสินไดวา ตองเปนจริงหรือเปนเท็จอยางใดอยางหนึ่งเทานั้น จะเปนทั้งสองอยางไมได กลาวคือ ถาขอความใดไมเปนจริงแลวขอความนั้นตองเปนเท็จ ในนัยกลับกัน ถาขอความใดไมเปนเท็จแลว ขอความนั้นตองเปนจริงประโยคเชน “จํานวนเฉพาะเปนจํานวนที่สําคัญที่สุด” เปนประโยคที่เราไมสนใจ เพราะเปนประโยคแสดงความคิดเห็นซึ่งมีทั้งผูที่เห็นดวยและผูท่คัดคาน ีบทนิยามที่ 1 ประพจน (proposition หรือ statement) เปนประโยคซึ่งเปนจริงหรือเปนเท็จอยางใดอยางหนึ่งเทานั้นตัวอยางที่ 1.1 ประโยคตอไปนี้เปนประพจน (1) ดวงอาทิตยขึ้นทางทิศตะวันออก (จริง) (2) ประเทศไทยประกอบดวยจังหวัด 20 จังหวัด (เท็จ) (3) 2 เปนจํานวนอตรรกยะ (จริง) (4) ถา x = 1 แลว x = -1 2 (เท็จ) (5) 5 ไมเปนจํานวนจริง (เท็จ) (6) 4597366114 > 28 (จริง) (7) 2 + 1 เปนจํานวนเฉพาะ 4765ขอสังเกต : เราไมสามารถบอกไดทันทีวา ประโยคที่ 7 เปนจริงหรือเท็จ แตหากใหเวลาพอสมควรเราจะบอกไดวา ประโยคนี้จริงหรือเท็จตัวอยางที่ 1.2 ประโยคตอไปนี้ไมเปนประพจน (1) พรุงนี้คุณไปทํางานหรือเปลา (คําถาม)
  3. 3. ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์ 3 (2) ฝากซื้อตั๋วละครดวยนะ (ขอรอง) (3) อยาซน (คําสั่ง) (4) a ⋅ b = b ⋅ a (5) x 2 = -1 (6) r เปนจํานวนอตรรกยะขอสังเกต : ประโยคที่ 4, 5 และ 6 ไมเปนประพจนเพราะเราไมสามารถทราบวา a, b, x หรือr คืออะไร จึงตัดสินไมไดวา ประโยคเหลานี้จริงหรือเท็จสัญกรณ เมื่อเราตองการแทนประพจนดวยสัญลักษณเรานิยมแทนดวยอักษรตัวพิมพเล็กในภาษาอังกฤษ เชน p, q, r เปนตน เมื่อประพจน p เปนจริง เรากลาววา p มีคาความจริง (truth value) เปนจริง เขียนแทนคาความจริงเปนจริงดวยสัญลักษณ T และถาประพจน p เปนเท็จ เรากลาววา p มีคาความจริงเปนเท็จ เขียนแทนคาความจริงเปนเท็จดวยสัญลักษณ F (ในทางคอมพิวเตอรนิยมใช “ 1 ” แทน “จริง” และ “ 0 ” แทน “เท็จ”) จะสั ง เกตเห็ น ได ว า ประพจน ใ นตั ว อย า งที่ 1.1 เป น ประพจน เชิ ง เดี่ ย ว (simplestatement) กลาวคือเปนประพจนซึ่งเราไมสามารถแยกออกเปนประพจนยอยมากกวาหนึ่งประพจนได เรายังมีประพจนซึ่งเกิดจากการนิเสธประพจน หรือรวมสองประพจนเขาดวยกันตั ว เชื่ อ ม (connective) (และ)  , (หรื อ )  , (ถ า ...แล ว ...)  หรื อ (ก็ ต อ เมื่ อ ) « เรี ย กประพจนที่ไดวา ประพจนเชิงประกอบ (complex statement) ให p และ q เปนประพจนใดๆ นิเสธ (negation) ของ p เขียนแทนดวยสัญลักษณ p เปนประพจนที่มีคาความจริงตรงกันขามกับ p ดังแสดงในตารางขางลางนี้ ตารางที่ 1.1 p p T F F T
  4. 4. 4 หลักคณิตศาสตร์ตัวอยางเชน p : วันนี้เปนวันเสาร  p : วันนี้ไมใชวันเสาร การรวม (conjunction) ของ p และ q เขียนแทนดวยสัญลักษณ p  q อานวา “ pและ q ” เปนประพจน p  q มีคาความจริงเปนจริงในกรณีเดียวเทานั้น คือ ทั้ง p และ q มีคาความจริงเปนจริงทั้งคูตัวอยางเชน p : เชียงใหมเปนจังหวัดหนึ่งในประเทศไทย q : เชียงใหมตั้งอยูในภาคเหนือของประเทศไทย p  q มีคาความจริงเปนจริง เพราะ p มีคาความจริงเปนจริง และ q มีคาความจริงเปนจริง ประพจน “ภาคตนปการศึกษา 2534 นางสาว สมศรี รักวิทยา ลงทะเบียนเรียนวิชาคณิตศาสตรและวิชาฟสิกส” เขียนในรูปสัญลักษณทางคณิตศาสตรไดคือ r  s โดยที่r : ภาคตนปการศึกษา 2534 นางสาว สมศรี รักวิทยา ลงทะเบียนเรียนวิชาคณิตศาสตรs : ภาคตนปการศึกษา 2535 นางสาว สมศรี รักวิทยา ลงทะเบียนเรียนวิชาฟสิกสประพจนเชนนี้เปนจริงกรณีเดียวเทานั้นคือ r เปนจริง และ s เปนจริง การเลือก (disjunction) ระหวาง p และ q เขียนแทนดวย p  q อานวา “ p หรือq ” แตมีความหมายตรงกับ p และ/หรือ q นั่นคือ ประพจน p  q มีคาความจริงเปนเท็จกรณีเดียวเทานั้นคือ เมื่อ p และ q มีคาความจริงเปนเท็จทั้งคู มองดูอาจขัดกับความรูสึกของเราวาการเลือกควรเลือกเอาสิ่งใดสิ่งหนึ่งไมควรเลือกทั้งสองอยาง หากเราเปรียบเทียบวาประพจนเปนสมบัติที่เราตัดสินไดวาจริงหรือเท็จก็คงพอจะรับ p  q ในเชิงตรรกศาสตรได เชน คุณสมบัติของผูมีสิทธิสมัครงานบริษัทแหงหนึ่งเขียนไววา วุฒิการศึกษา : วิทยาศาสตรบัณฑิต หรือ วิศวกรรมศาสตรบัณฑิต หากสมศรีเรียนจบทั้งสองปริญญาคือ ทั้งวิทยาศาสตรบัณฑิต และวิศวกรรมศาสตรบัณฑิต สมศรียอมมีสิทธิสมัครงานในตําแหนงดังกลาวไดเชนกัน การแจงเหตุ (implication) p สูผล q เขียนแทนดวย p  q อานวา “ถา p แลวq ” หรือ “ p สรุปไดวา q ” หรือ “ p เปนเงื่อนไขที่เพียงพอ (sufficient) สําหรับ q ” หรือ “ qเป น เงื่ อ นไขที่ จํ า เป น (necessary) สํ า หรับ p ” เราเรีย กประพจน p ว า ข อ สมมติ ฐ าน(hypothesis) และเรียกประพจน q วา ผลสรุป (conclusion) p  q มีคาความจริงเปนเท็จกรณีเดียวเทานั้นคือ เมื่อ p มีคาความจริงเปนจริงและq มีคาความจริงเปนเท็จ นั่นคือ เมื่อ p มีคาความจริงเปนเท็จ เราจะสรุปอะไรซึ่งเปนจริงหรือ
  5. 5. ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์ 5เท็จยอมถือวาเราพูดความจริง แตหาก p เปนจริง จะตองไดผล q ซึ่งเปนจริง จึงจะถือวาเราพูดความจริงตัวอยางเชน p : วันนี้เปนวันจันทร q : นายสมชาย เหลืองสด ใสเสื้อสีเหลือง p q : ถาวันนี้เปนวันจันทรแลว นายสมชาย เหลืองสด ใสเสื้อสีเหลืองp  q เปนเท็จก็ตอเมื่อวันนี้เปนวันจันทรแตนายสมชาย เหลืองสด ไมไดใสเสื้อสีเหลือง แตหากเราพบสมชายใสเสื้อสีเหลือง เราจะดวนสรุปวาวันนี้เปนวันจันทรไมได (สมชายอาจชอบสีเหลืองมากจึงใสเสื้อสีเหลืองบอย) แตที่แนๆ ก็คือ วันจันทรเขาจะไมยอมใสเสื้อสีอื่นเลยนอกจากสีเหลือง p  q กลาวไดอีกอยางหนึ่งวา นายสมชาย เหลืองสด ใสเสื้อสีเหลืองทุกวันจันทร การสมมูลกัน (equivalence) ของ p และ q เขียนแทนดวย p « q อานวา “ p ก็ตอเมื่อ (if and only if) q ” หรือ “ p สมมูลกับ q ” หรือ “ p เปนเงื่อนไขที่เพียงพอและจําเปนสําหรับ q ” p « q เปนสัญลักษณแทนประพจน (p  q )  (q  p) ดังนั้น p « q มีคาความจริงเปนจริงกรณีที่ p และ q มีคาความจริงตรงกัน เชนในตัวอยางนายสมชาย เหลืองสด p « q วันนี้เปนวันจันทร ก็ตอเมื่อ นายสมชาย เหลืองสด ใสเสื้อสีเหลือง ประพจนนี้เปนจริง เมื่อสมชายใสเสื้อสีเหลืองในวันจันทร และถาสมชายใสเสื้อสีเหลืองสรุปไดวาวันนี้เปนวันจันทร นั่นคือ สีเสื้อของสมชายเปนเครื่องชี้บอกไดวาวันนั้นเปนวันจันทรหรือไม ตารางที่ 1.1 แสดงคาความจริงของประพจน  p โดยแจกแจงกรณีทั้งหมดที่เปนไปไดของ p เราเรียกตารางซึ่งแสดงคาความจริงของประพจนเชิงประกอบโดยแจกแจงคาความจริงในทุกกรณี ของประพจนยอยเชิงเดียวทั้งหมดที่ประกอบเปนประพจนนั้นวา ตารางคาความจริง (truth table) ของประพจน เพื่อเปนตัวอยาง เราสรุปตารางคาความจริง p  q, p  q, p  q และ p « q ในตารางเดียวกันดังนี้
  6. 6. 6 หลักคณิตศาสตร์ ตารางที่ 1.2 p q p q p q p q p «q T T T T T T T F F T F F F T F T T F F F F F T T โดยทั่วไปเมื่อประพจนเชิงประกอบ P มีประพจนยอยเชิงเดียวทั้งหมด n ประพจนคือ p1, p2, ..., pn จะแจงกรณี ไดทั้งหมด 2n กรณี เพื่อแจกแจงใหครบทุกกรณี เราทําเปนขั้นตอน ดังนี้ 1. แบงตารางเปน n + 1 หลัก (column) โดยแตละหลักเขียนประพจนเดียวเรียงไปตามลําดับ โดยหลักสุดทายคือประพจน P 2. ในหลัก i ใดๆ (เพื่อใหเปนระบบควรเริ่มจากหลักที่ 1) เขียน T เปนจํานวน 2n -iตัว บรรทัดละตัว สลับกับ F จํานวน 2n-i ตัว บรรทัดละตัว จนกวาจะครบ 2n ตัว เชน p q P p q r P T T T T T T F T T F F T T F T F F T F F F T T F T F F F T F F F 3. ใส ค า ความจริ งให ป ระพจน ย อ ยของ P ซึ่ งเชื่ อ มด ว ยตั ว เชื่ อ มเพี ย งตั ว เดี ย วใตตัวเชื่อมจากวงเล็บในสุดไปเรื่อยๆ จนกวาจะไดคาความจริงของ P เราใชตารางที่ 1.1 และ 1.2 เปนหลักในการสรางตารางคาความจริงของประพจนอ่นๆ ืดังแสดงในตัวอยางตอไปนี้
  7. 7. ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์ 7ตัวอยางที่ 1.3 จงเขียนตารางแสดงคาความจริงประพจน (( p)  q )  p p q (( p)  q )  p T T F F T T F F F T F T T T F F F T F T ลําดับขั้น 1 1 2 3 4 สังเกตวาตารางคาความจริงนี้สรางอยางประหยัดเนื้อที่ บรรทัดสุดท ายซึ่งเขียนวาลําดับขั้นนั้น ตัวเลขที่ปรากฏแสดงถึงลําดับในการแจงคาความจริง ลําดับสุดทาย (ในตัวอยางนี้ตรงกับขั้นที่ 4) เป น คาความจริงของประพจนที่ตองการ เราตีตารางเพื่ อเนน ใหเห็น จากตั ว อย า งข า งต น อ า นได ว า เมื่ อ p เป น จริ ง q เป น จริ ง จะได (( p)  q )  p เป น จริ งดังนี้ เปนตนตัวอยางที่ 1.4 จงเขียนตารางคาความจริงของประพจน (p  (q  r )) « ((p  q )  (p  r )) p q r (p  (q  r )) « ((p  q )  (p  r )) T T T T T T T T T T T F T F T T T T T F T T F T T T T T F F T F T T T T F T T T T T T T T F T F F F T T F F F F T F F T F F T F F F F F T F F F 1 1 1 3 2 4 2 3 2
  8. 8. 8 หลักคณิตศาสตร์ เพื่อความสะดวกในบางครั้งเราอาจตัดวงเล็บบางคูออกไดโดยมีขอตกลงลําดับกอนหลังของตัวเชื่อมดังนี้ 1.  2. ,  (กรณีมีทั้งสองตัวเชื่อมตองใสวงเล็บคั่น) 3.  4. «ตัวอยางเชน(( p)  q )  p เขียนแทนดวย  p q  p(p  (q  r )) « ((p  q )  (p  r )) เขียนแทนดวย p  (q  r ) « (p  q )  (p  r )บทนิ ย ามที่ 2 สั จ นิ รั น ดร (tautology) คื อ ประพจน ที่ มี ค า ความจริ ง เป น จริ ง เสมอ ส ว นประพจนที่มีคาความจริงเปนเท็จเสมอเรียกวา ความขัดแยงกัน (contradiction) จากตัวอยางที่ 1.4 จะเห็นวา (p  (q  r )) « ((p  q )  (p  r )) เปนสัจนิรันดรเราแสดงไดโดยงายวา p  p เปนความขัดแยงกัน แบบฝกหัดที่ 1.11. จงพิจารณาวาประโยคตอไปนี้เปนประพจนหรือไม 1.1 5 + 8 = 20 1.2 จงหาผลเฉลยของสมการ x + 1 = 3 1.3 ถา 1 + 2 = 7 แลว 2(1 + 2) = 14 1.4 ให x > 8 1.5 จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัยเปนมหาวิทยาลัยซึ่งตั้งอยูในภาคเหนือของประเทศไทย 1.6 ประเทศไทยอยูในทวีปเอเชีย 1.7 จงทําดี 1.8 อะ อะ อยาทิ้งขยะ
  9. 9. ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์ 9 1.9 4 เปนจํานวนเต็มลบ ก็ตอเมื่อ -4 เปนจํานวนเต็มบวก 1.10 หนังสือ หรือ 7 เปนสัตวเลี้ยงลูกดวยนม 1.11 จะทําการบานหรือเขานอน 1.12 ทุกจํานวนเต็มซึ่งใหญกวา 3 เปนผลบวกของจํานวนเฉพาะสองจํานวน 1.13 มีจํานวนเฉพาะอยูมากกวา 10 ตัว 1.14 x 2 > 0 1.15 a > b ก็ตอเมื่อ a 2 > b 22. จงหาคาความจริงของประพจนใน (1)3. ให p, q, r และ s เปนประพจน จงสรางตารางคาความจริงของประพจนตอไปนี้ 3.1 p  (q  r ) « (p  q )  (p  r ) 3.2 (p  q ) « ( q  p) 3.3 (p  q ) « ( p  q ) 3.4  (p  q ) « p  q 3.5 p  q  p 3.6 ((p  q )  p)  q 3.7 [(p  q )  (r  s )]  ((p  r )  q  s ) 3.8  (p  q )  (s  r ) 3.9  (p  q )  (r   s ) 3.10 p  p 3.11 p  p 3.12 p  (q   q ) « p 3.13 p  (r   r ) 3.14 p  (q   q )4. ประพจนใดในขอ 3 เปนสัจนิรันดร5. ประพจนใดในขอ 3 เปนความขัดแยงกัน
  10. 10. 10 หลักคณิตศาสตร์1.2 การสมมูลเชิงตรรกศาสตร เรานิยาม “ความเหมือน” (การสมมูล) ของของ 2 สิ่งไดอยางไร ในทางเรขาคณิตความเหมือนหมายถึงรูปทรงไมแตกตางกัน เชน สามเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อ สามเหลี่ยมสองรูปมีดานเทากันทุกดาน ดานตอดาน การเหมือนกันของนิพจนของจํานวนจริงสองนิพจนในเชิงพีชคณิต เรากลาววานิพจนทั้งสองเปนเอกลักษณกัน เชน (a + b)2 และ a 2 + 2ab + b 2 เปนเอกลักษณกัน เขียนแทนดวย (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 หมายความวา เมื่อเราแทนคา a และ b ดวยจํานวนจริงใดเชน แทน a ดวย 1 และแทน b ดวย 3 ในนิพ จนทางซายมือและนิพ จนทางขวามือของ 2เครื่องหมาย “ = ” คาที่คํานวณไดจะเทากัน ดังนั้น เราสามารถใชนิพจนที่เปนเอกลักษณกันนี้แทนที่กันไดเสมอ ในเชิ ง ตรรกศาสตร สํ า หรั บ ประพจน ค า ความจริ ง เป น ตั ว บ ง บอกเอกลั ก ษณ ข องประพจนนั้นๆ ดังนั้น ประพจน 2 ประพจน “เหมือนกัน ” ในเชิงตรรกศาสตรหมายความวาประพจนทั้งสองมีคาความจริงตรงกันในทุกกรณี เราสามารถแทนที่ประพจนที่ “เหมือนกัน” นี้ไดเชนกันบทนิยามที่ 3 ให p และ q เป น ประพจน เรากล า วว า p และ q สมมู ล กั น เชิ ง ตรรก-ศาสตร (logically equivalent) เขียนแทนดวยสัญลักษณ p  q ก็ตอเมื่อประพจน p « qเปนสัจนิรันดร นั่นคือ คาความจริงของ p และ q ตรงกันทุกกรณีตัวอยางที่ 1.5 พิจารณาตารางคาความจริงของประพจน p  q,  q  p,  p  qและ q  p p q p q  q  p  p q qp T T T T T T T F F F F T F T T T T F F F T T T T

×