Conceptos BáSicos De Ecuaciones Diferenciales

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Oscar Antonio Ayala Ramírez, 9310102 …

Oscar Antonio Ayala Ramírez, 9310102
Ingeniero en Mecatrónica.
Conceptos basicos de ecuaciones lineales:
° que son las ecuaciones diferenciales.
° que es orden.
° a que se le llama grado.
° clasificación y tipos de orden y grado.
° solución.
° solución particular.
° solucíon general.
° interpretación geometrica.
° trayectorias ortogonales.
° existencia y unidad.
° campo direccional.

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  • 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES.
    CENTRO DE ENSEÑANZA TÉCNICA INDUSTRIAL
    INGENIERÍA EN MECATRÓNICA
    Nombre del alumno:
    Ayala Ramírez Oscar Antonio
    Nombre de la materia:
    Ecuaciones Diferenciales
    Nombre del profesor:
    Cesar Octavio Martínez Padilla
    Nombre del grupo:
    2H, salón 109
     
    Guadalajara Jalisco 13 de Febrero del 2009
  • 2. ¿Que son las ecuaciones diferenciales?
    Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial.
    Libro de consulta: Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado.
  • 3. ¿Que es orden?
    El orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación. Por ejemplo:
    d2y + 5 dy3 – 4y = x Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.
    dx2dx
    x2dy + y = 0 Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.
    dx
    a2 Ɋ4u + Ɋ4u = 0 Es una ecuación diferencial parcial de cuarto orden.
    Ɋx4 Ɋt4
    Libro de consulta: ecuaciones diferenciales con aplicaciones.
  • 4. ¿A que se le llama grado?
    Se llama grado de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden. La ecuación debe tener una forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
    Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:
    Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
    En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
    Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
  • 5. Clasificación y tipos de orden y grado.
    Orden
    d2y + 5 dy3 – 4y = x Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.
    dx2dx
    x2dy + y = 0 Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.
    dx
    a2 Ɋ4u + Ɋ4u = 0 Es una ecuación diferencial parcial de cuarto orden.
    Ɋx4 Ɋt4
    Grado
    t3/2 √(x3 + y3) Grado de 3/2
    t(x – 3 √ x y + 5y) Grado de 1
  • 6. Solución
    Cualquier función €, definida en un intervalo I y con al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de n- ésimo orden reduce la ecuación a una entidad, se considera solución de la ecuación en el intervalo.
  • 7. Solución particular
    Si asignamos valores a toda o a cada una de las constantes se obtiene una solución particular.
    Ejemplo:
    dy = x2 + 2 ; y(1) = 7
    dx y
    Su solución particular seria la siguiente:
    y2 = x3 + 2x + 22.16
    2 3
  • 8. Solución general
    Si la solución de una ecuación diferencial tiene diferentes constantes, diremos que dicha solución es una solución generalde la ecuación diferencial.
    Ejemplo:
    dy = x2 + 2 ; y(1) = 7
    dx y
    Su solución general es la siguiente:
    y2 = x3 + 2x + C
    2 3
  • 9. Interpretación geométrica
    Caso 1º : Los tres planos se cortan a la vez en un único punto :
    Caso 2º : Los tres planos no tienen ningún punto en común a la vez :
  • 10. Interpretación geométrica
    Caso 3º : Los tres planos tienen infinitos puntos en común (1 parámetro) :
    • Caso 4º : Los tres planos son paralelos :
  • Interpretación geométrica
    Caso 5º : Las 3 ecuaciones son el mismo plano (2 parámetros) :
    http://www.terra.es/personal/ijic0000/interpretacion.htm
  • 11. Trayectorias ortogonales
    Las soluciones de una ecuación diferencial forman un haz de curvas.
    En azul las curvas originales y en rojo las ortogonales, veremos que son respectivamente curvas parabólicas de orden 3 y elipses.
    http://html.rincondelvago.com/ecuaciones-diferenciales-de-orden-uno_1.html
  • 12. Campo direccional
    Defínase una función: , y su derivada , de modo que: . Esta función describe el comportamiento de la pendiente de la curva solución . Vale decir, la dirección que tiene una solución de la ecuación en cada punto.
    En este sentido, el campo de direcciones, es un bosquejo con pequeños segmentos de recta trazados en un sistema de coordenadas cartesianas xy (o simplemente plano xy), donde se muestra el comportamiento de la pendiente (derivada) que le corresponde a la curva solución.
    http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_de_direcciones
  • 13. Fuentes de referencia
    http://www.terra.es/personal/ijic0000/interpretacion.htm
    http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_de_direcciones
    http://html.rincondelvago.com/ecuaciones-diferenciales-de-orden-uno_1.html
    Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Dennis G. Zill, CETI, pagina 3.
    Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis G. Zill, CETI, Octava edición pagina 2.