Nanochemie - kwantumchemie deel 2

  • 249 views
Uploaded on

Deze presentatie wordt gebruikt tijdens het hoorcollege Nanotechnologie zoals dit wordt gedoceerd aan het departement Gezondheidszorg en Technologie van de Katholieke Hogeschool Leuven.

Deze presentatie wordt gebruikt tijdens het hoorcollege Nanotechnologie zoals dit wordt gedoceerd aan het departement Gezondheidszorg en Technologie van de Katholieke Hogeschool Leuven.

More in: Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
249
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1

Actions

Shares
Downloads
0
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Hoofdstuk 2 Inleidende begrippen uit de kwantumchemie – deel 2Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 1
  • 2. 2.2 Het golfkarakter van de materie2.2.1 Golffuncties en waarschijnlijkhedenIn de interpretatie van het beschrijven van de materie en straling door de dualiteit van het golf-deeltjes model, kan men een deeltje in de ruimte beschrijven door een golf in de ruimte met degolflengte gerelateerd aan het impulsmoment van het deeltje met behulp van de vergelijking vande Broglie (λ = h/p).In de kwantumchemie zal een deeltje moeten beschreven worden door een golffunctie ψ. Degolffunctie beschrijft tegelijkertijd alle gebieden in de ruimte waar het deeltje kan wordengevonden.Dit introduceert de idee van onzekerheid in de kwantumchemie. De exacte positie van eendeeltje in een gegeven punt in de ruimte is niet gedefinieerd. Enkel het ruimtegebied van allemogelijke posities dat het deeltje kan innemen kan men berekenen.De exacte vorm van de golffunctie is belangrijk omdat de waarschijnlijkheid om een deeltje tevinden in de ruimte proportioneel is aan ψ2 in dat punt.Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 2
  • 3. 2.2.3 De SchrödingervergelijkingDe Schrödingervergelijking is de fundamentele vergelijking van de kwantumchemie en heeft devorm Hamiltoniaan Golffunctie EnergieniveauDe Schrödingervergelijking kan worden geschreven voor elk mogelijk fysisch systeem. Vooreen deeltje met een massa m in één dimensie (langs de x-as) wordt de vergelijking:waarbij -ħ/2m d2/dx2 en V(x) de operatoren zijn voor respectievelijk een kinetische en eenpotentiële energie. Tezamen is dit de Hamiltoniaan operator. Merk op Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 3
  • 4. 2.2.4 De Schrödingervergelijking voor een vrij bewegend deeltjeWe schrijven de Schrödingervergelijking voor een vrij bewegend deeltje dat enkel kinetische energie bezitEen oplossing van bovenstaande differentiaalvergelijking isDit kan worden gecontroleerd door deze functie tweemaal te differentiërenNanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 4
  • 5. 2.2.4 De Schrödingervergelijking voor een vrij bewegend deeltje De golflengte λ van een sinusfunctie met de vorm sin(kx) is golfgetal bijgevolg is de golflengte van de golffunctie van een vrij bewegend deeltje:Deze bovenstaande uitdrukking wordt nu gesubstitueerd in de relatie tussen de kinetische energieen het impulsmoment pHerinner je bovendien dat ħ = h/2πDit finale resultaat is de vergelijking van de Broglie. De Schrödingervergelijking reproduceert de observatiedat een vrij bewegend deeltje kan worden geschreven als een sinusfunctie waarbij de golflengte omgekeerdevenredig is met het impulsmoment van het deeltje!Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 5
  • 6. 2.2.5 GrensvoorwaardenIn principe zijn er 1 oplossingen voor de Schrödingervergelijking.Als sin(kx) een oplossing is dan is asin(bkx) ook een oplossing voor alle waarden van a & b.Nochtans zijn er maar sub-reeksen fysisch toegestaan die bepaald worden door grensvoorwaarden.dieopgelegd worden door het fysisch systeem die de Schrödingervergelijking zal beschrijven.VoorbeeldenDeeltje in een doos (wij)Uitwerking van de Schrödingervergelijking voor het elektron in een waterstofatoom (zie verder!) s-orbitalen Nodale vlakken Nodaal vlakMerk op!Kwantisatie van de energie heeft zijn oorsprong in het feit dat er maar bepaalde waarden van E & ψtoegestane oplossingen zijn van een specifieke Schrödingervergelijking.Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 6
  • 7. 2.2.6 Het onzekerheidsbeginsel van Heisenberg Het is onmogelijk om tegelijkertijd het impulsmoment en de positie van een deeltje te kennen!Stel een vrij bewegend deeltje met een impulsmoment p volgens de x-richting Gelijke waarschijnlijkheid om het deeltje te vinden bij om het even welk van een 1 aantal punten in de x-richting 1,5 1 0,5 ψ = sin(x) 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 -0,5 -1 -1,5 xBesluit: impulsmoment kan wel exact gekend zijn, maar de positie is onzeker!Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 7
  • 8. 2.2.6 Het onzekerheidsbeginsel van Heisenberg Het is onmogelijk om tegelijkertijd het impulsmoment en de positie van een deeltje te kennen! De golffunctie van een deeltje met een nauwkeurig De superpositie van een aantal golffuncties met gedefinieerde positie. verschillende golflengtes. De superpositie van een oneindig aantal golffuncties van verschillende golflengtes is vereist om een nauwkeurig gedefinieerde positie van het deeltje te bepalen.Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 8
  • 9. 2.2.6 Het onzekerheidsbeginsel van Heisenberg Het is onmogelijk om tegelijkertijd het impulsmoment en de positie van een deeltje te kennen! Grootte van de onzekerheid wordt kwantitatief gegeven door: zeer klein Niet observeerbaar bij alledaagse macroscopische lichamen Voorbeeld – de onzekerheid in positie mlichaam = 1,00 kg en vlichaam = 1,0 ×10-3 ms-1 melektron= 9,11×10-31 kg en vlichaam = 1,0×10-3 ms-1Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 9
  • 10. 2.2.7 Een deeltje in een doosDe toepassing van de Schrödingervergelijking op een deeltje dat een ééndimensionaletranslatiebeweging ondergaat tussen beperkte limietwaarden, demonstreert hoe dezegrenscondities leiden tot het begrip kwantisatie.De twee “wanden” van de doos zijn op deposities x = 0 en x = L langs de x-as V=1 V=0 V=1weergegeven. In de doos beweegt het deeltje(massa m) vrij in de x-richting waarbij depotentiële energie V = 0.De potentiële energie stijgt naar oneindig aande muren. ψ=0 ψ=0De Schrödingervergelijking voor een deeltjein een doos is ψ 0 L xNanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 10
  • 11. 2.2.7 Een deeltje in een doosDe Schrödingervergelijking voor een deeltje in een doos is V=1 V=0 V=1Een oplossing voor deze vergelijking is ψ=0 ψ=0 ψDe algemene oplossing voor deze Schrödingervergelijking is 0 L xwaarbij elke waarde van E en a geschikte golffuncties vormen. Het deeltje is echter gedefinieerd in een doos met een beperkte lengte. De wanden leggen grenscondities op tussen dewelke de golffuncties fysisch zijn toegestaan.Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 11
  • 12. 2.2.7 Een deeltje in een doosOmdat de potentiële energie buiten de wanden stijgt naar oneindig is de waarschijnlijkheid omeen deeltje te vinden buiten de doos gelijk aan nul. Daarom moeten alle toegestane golffunctiesexact beschreven zijn in de doos (vergelijk dit met de vibraties van een snaar die aan beideuiteinden vastzitten).Om aan deze voorwaarde tegemoet te komen, zal de golflengte λ van alle toegestanegolffuncties één van de volgende waarden moeten bezitten ofwelDe relatie tussen λ en de mathematische beschrijving van een sinusgolf is sin(2πx/λ)De golflengte van de golffunctie is bijgevolgNanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 12
  • 13. 2.2.7 Een deeltje in een doos De toegestane golffuncties van een deeltje in een doos, moeten dus voldoen aan Na herschikking vinden we Het deeltje kan enkel discrete energiewaarden bezitten (kwanta) Het getal n is een voorbeeld van een kwantumgetal De toegestane energieën van het systeem worden de energieniveaus genoemd.Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 13
  • 14. Opmerking De constante a wordt zodanig gekozen dat de totale waarschijnlijkheid om het deeltje te vinden = 1 tussen x = 0 en x= L. Normalizatie Standaard integraal NormalizatiefactorDe totale oplossing van de Schrödingervergelijking wordt dusNanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 14
  • 15. 2.2.7 Een deeltje in een doos De toegestane energieniveaus en de corresponderende golffuncties voor een deeltje in een doos ~ n2 knoop Energieniveaus GolffunctiesNanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 15
  • 16. 2.2.7 Een deeltje in een doos Knoop: de waarschijnlijkheid om een deeltje op deze posities te vinden is gelijk aan nul Merk op! De waarschijnlijkheid om een deeltje met één energiekwantum te vinden is juist in het midden van de twee wanden. De waarschijnlijkheid om een deeltje met twee energiekwanta terug te vinden op deze positie is nul. Het verschil van aangrenzende energieniveaus met kwantumgetallen n en n+1 isNanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 16
  • 17. 2.2.7 Een deeltje in een doos Twee algemene kenmerken van de kwantumchemische beschrijving van fysische systemeni. De energieniveaus liggen dichter bij elkaar als de afmeting van het systeem (L) groter wordt Energie Energie Wand Wand Wand Wand smalle doos brede doosii. De energieniveaus liggen dichter bij elkaar als de massa van het deeltje (m) groter wordt Opmerking! Voor alledaagse objecten liggen de toegestane energieniveaus zo dicht bij elkaar zodat het systeem kan beschreven worden als niet-gekwantiseerd!Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 17
  • 18. 2.2.8 De nulpuntsenergie Omdat het kwantumgetal n niet gelijk mag zijn aan nul, is de laagste energie dat een deeltje kan bezitten niet gelijk aan nul zoals in het geval van de klassieke mechanica. Voor een deeltje in een doos is dit n = 1 De nulpuntsenergie voor een deeltje in een doos is Het bestaan van een nulpuntsenergie komt in principe uit het onzekerheidsbeginsel daar een deeltje kinetische energie moet hebben als het is beperkt tot een eindig gebiedNanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 18
  • 19. 2.2.9 Uitbreiding naar een driedimensionale doos Het deeltje is beperkt tot translatiebewegingen binnenin de doos met dimensies Lx × Ly × Lz Binnenin de doos: V =0 Buiten de doos: V = 1 Lz z y x Ly Lx Analoge uiteenzetting zoals bij een deeltje in een ééndimensionale doos.Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 19
  • 20. 2.2.9 Uitbreiding naar een driedimensionale doosBuiten de doos:Binnen de doos:Met D een normalizatieconstante enHet deeltje wordt nu beschreven door een reeks van gehele getallen (nx, ny, nz)De energie van een deeltje met massa m isNanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 20
  • 21. 2.2.9 Uitbreiding naar een driedimensionale doosGeval 1: Lx = Ly = Lz = LDe energie van een deeltje met massa m is danDe kwantumtoestanden worden bepaald door elke unieke combinatie van een reekskwantumgetallen (nx, ny, nz)Hieruit volgt dat een verschillende permutatie van de kwantumgetallen aanleiding geeft tottoestanden met dezelfde energiewaarde = ontaardingVoorbeeld(nx, ny, nz) = (2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2) = 6E0 met Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 21
  • 22. 2.2.9 Uitbreiding naar een driedimensionale doosGeval 1: Lx = Ly = Lz = LSchematische weergave (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3) 14E0 (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) 12E0 (2, 2, 2) 11E0 (3, 1, 1), (1, 3, 1), (1, 1, 3) 9E0 (2, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2) 6E0 (2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2) 3E0 (1, 1, 1) Energieniveaus Kwantumgetallen (nx, ny, nz)Stel L zeer klein, dan is het potentiaalsysteem beperkt Stel L groot, dan liggen de energieniveaus zeer dichttot de potentiaalwanden in drie dimensies = tegen elkaar.kwantumdotsNanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 22
  • 23. 2.2.9 Uitbreiding naar een driedimensionale doosGeval 2: Lx = Ly = L en Lz >> Lx en LyDe kwantisatieconditie volgens de z-richting verloopt essentieel continuKlein verschil voor kz en de energie voor z en nz+1De energie van een deeltje met massa m is danDe gekwantiseerde band is nu gekarakteriseerd door nx en ny terwijl kz een essentieel continuvariabele isNanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 23
  • 24. 2.2.9 Uitbreiding naar een driedimensionale doosGeval 2: Lx = Ly = L en Lz >> Lx en LySimulatie van de energiewaarden voor een dergelijk systeem in functie van kz 5,00 E (1,3) (2,2) quantum wire (1,2) (n x ,n y )= (1,1) 0,00 -6 k0z 6Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 24
  • 25. 2.2.9 Uitbreiding naar een driedimensionale doosGeval 3: Ly , Lz >> Lx = LDe kwantisatieconditie volgens de y- en z-richtingen verloopt essentieel continuDe energie van een deeltje met massa m is danDe gekwantiseerde band is nu gekarakteriseerd door nx terwijl kz en kz een essentiële continuvariabelen zijn.Wanneer het deeltje beperkt is door een potentiaalwand in één dimensie, maar vrij kan bewegenin de twee andere dimensies staat dit gekend als een quantum well.Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 25
  • 26. 2.2.10 KwantumtunnelingWanneer een deeltje met energie E beperkt is tot een niet-oneindige potentiële energiebarrièreV, toont de kwantumchemie dat er nog steeds een waarschijnlijkheid bestaat om het deeltje terugte vinden aan de andere kant van de barrière, zelfs al is V > E.In de klassieke mechanische beschrijving heefthet deeltje te weinig energie om de barrière teoverbruggen en bezit het deeltje nulwaarschijnlijkheid om zich te bevinden aan deandere kant.De waarschijnlijkheid van dezekwantumtunneling verlaagt als de hoogte ende breedte van de potentiaalbarrièreverhoogt. Kwantumtunneling ontstaat omdat de golffunctie niet abrupt naar nul zakt bij de wanden (behalve als de potentiële energie oneindig is!). De maximum amplitude van de golffunctie zal exponentieel afnemen in de ruimtezone van de potentiaalbarrière en na deze barrière ontstaat er een golffunctie verschillend van nul waardoor er een kans is om het deeltje hier te vinden. Nanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 26
  • 27. 2.2.10 Kwantumtunneling Als een deeltje van links inslaat op een potentiaalbarrière, bestaat de golffunctie uit een golf dat het lineaire impulsmoment naar rechts representeert en uit een gereflecteerde component dat het impulsmoment naar links representeert. In de potentiaalbarrière varieert de golf dan exponentieel (maar ze oscilleert niet) en uit de barrière bestaat de golffunctie uit een beweging naar rechtsNanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 27
  • 28. 2.2.10 Kwantumtunneling Opmerking! De tunnelingwaarschijnlijkheid verlaagt snel - als de massa van een deeltje groter wordt - de breedte van de barrière vergrootNanotechnologie 2 Chemie Tom Mortier 28