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  1. 1. 10 PERPENDICULARIDADES Neste capítulo estudam-se as rectas e os planos nas suas relações de per- pendicularidade, nas diferentes possibilidades: rectas com rectas, planos com planos e rectas com planos. Mostra-se também como se confirmam e se determinam essas relações. Sumário: 2. As perpendicularidades no espaço 3. Perpendicularidades de resolução directa entre rectas e planos 4. Perpendicularidades entre o plano de rampa e a recta de perfil 5. Perpendicularidades de resolução directa entre rectas 6. Perpendicularidades entre rectas oblíquas 7. Perpendicularidades entre rectas de perfil 8. Perpendicularidades entre rectas oblíquas e de perfil 9. Perpendicularidades de resolução directa entre planos 10. Perpendicularidades entre planos de rampa 11. Perpendicularidades entre planos oblíquos 12. Perpendicularidades entre planos oblíquos e de rampa 13. Perpendicularidades entre rectas e planos definidos por rectas 14. Perpendicularidades entre planos definidos por traços e planos definidos por rectas 15. Perpendicularidades entre planos definidos por rectas 16. Perpendicularidades entre uma recta e duas rectas 17 e 18. ExercíciosManual de Geometria Descritiva - António Galrinho Perpendicularidades - 1
  2. 2. As perpendicularidades no espaçoAqui mostram-se as perpendicularidades no espaço entre: uma recta e um plano, dois planos, duasrectas. No espaço é fácil verificar e compreender essas situações de perpendicularidade; contudo,nas projecções nem sempre as situações se apresentam tão óbvias nem de resolução imediata. p Perpendicularidade entre uma recta e um plano Aqui mostra-se um plano horizontal e uma recta vertical. Obviamente, em qualquer posição que I π estejam, uma recta e um plano são perpendicula- res sempre que fazem entre si um ângulo recto. α Perpendicularidade entre dois planos Aqui mostra-se um plano numa posição horizontal, outro numa posição vertical. Contudo, quaisquer planos são perpendiculares entre si sempre que fazem um ângulo recto. θ a I b Perpendicularidade entre duas rectas Duas rectas podem ser perpendiculares sendo concorrentes ou enviesadas. Em qualquer dos casos fazem um ângulo recto entre si. Nalguns casos (situação de baixo), prova-se que as rectas enviesadas são perpendiculares se cruzarmos por r uma delas uma recta paralela à outra, devendo estas ser perpendiculares entre si. r’ I sManual de Geometria Descritiva - António Galrinho Perpendicularidades - 2
  3. 3. Perpendicularidades de resolução directa entre rectas e planosA perpendicularidade entre rectas e planos origina situações muito diversas, umas óbvias e simples,outras complexas. Nesta página observam-se as situações mais simples. Em todos os casos as rec-tas perpendiculares a planos têm as projecções perpendiculares aos traços homónimos dos planos.Não se apresentam traçados dos casos em que a perpendicularidade entre rectas e planos é ime-diata: plano horizontal e recta vertical; plano frontal e recta de topo; plano de perfil e recta fronto-horizontal. fβ fω f2 n2x f1 n1 hω hβ Rectas perpendiculares aos planos de topo e verticalApenas as rectas frontais podem ser perpendiculares aos planos de topo, bastando para isso que a sua projec-ção frontal seja perpendicular ao traço homónimo do plano. No caso do plano vertical, apenas as rectas hori-zontais lhe podem ser perpendiculares, bastando que a sua projecção horizontal seja perpendicular ao traçohomónimo do plano. fπ r2 fα s2x hα hπ s1 r1 Recta perpendicular ao plano oblíquoAs rectas perpendiculares ao plano oblíquo são rectas oblíquas cujas projecções são perpendiculares aos tra-ços homónimos do plano. Apresentam-se aqui duas situações.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Perpendicularidades - 3
  4. 4. Perpendicularidades entre o plano de rampa e a recta de perfilComo se observou na página anterior, cada plano só pode ter um tipo de recta que lhe seja perpen-dicular, e vice-versa. Também só rectas de perfil podem ser perpendiculares ao plano de rampa.Nos casos anteriores pode-se sempre traçar directamente uma recta perpendicular a um plano; con-tudo, isso não é possível entre o plano de rampa e a recta de perfil. As projecções da recta são sem-pre perpendiculares aos traços do plano, mas isso não garante a perpendicularidade entre eles.Para confirmar ou determinar o paralelismo entre um plano de rampa e uma recta de perfil recorre-se aqui ao plano lateral de projecção; contudo, podem também ser utilizados os métodos geométri-cos auxiliares: rebatimentos, rotações ou mudanças de planos. y≡z p2≡p1 F3 lπ F2 p3 H3 x H2≡F1 hπ fπ H1 y≡z lδ F2 F3 A2 A3 H3 x≡hδ≡fδ H2≡F1 H1 p3 A1 p2≡p1 Recta perpendicular ao plano de rampaPara que a recta de perfil e o plano de rampa sejam perpendiculares entre si, a projecção lateral da recta temde ser perpendicular ao traço lateral do plano. O segundo exemplo mostra um plano passante.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Perpendicularidades - 4
  5. 5. Perpendicularidades de resolução directa entre rectasNesta página exemplificam-se casos em que se podem traçar directamente duas rectas perpendicu-lares entre si, sem necessidade de utilizar qualquer processo auxiliar.Determinados tipos de rectas são sempre perpendiculares, como tal, não se apresentam aqui traça-dos relativos a essas situações: recta fronto-horizontal com as rectas de perfil, de topo e vertical;recta vertical com as rectas horizontal, de topo e fronto-horizontal; recta de topo com as rectas verti-cal, frontal e fronto-horizontal; recta de perfil com a recta fronto-horizontal; recta frontal com a rectade topo; recta horizontal com a recta vertical. n’2 f’2 f2 I2 n2x n’1 n1 f1≡f’1 I1 Perpendicularidades entre rectas horizontais e entre rectas frontaisDuas rectas horizontais são perpendiculares quando as suas projecções horizontais também o são. Duas rec-tas frontais são perpendiculares quando as suas projecções frontais o são. No primeiro caso temos rectasenviesadas, no segundo rectas concorrentes. r2 s2 f2 I2 n2x I1 n1 r1 f1 s1 Recta oblíqua perpendicular às rectas horizontal e frontalPara que as rectas oblíqua e horizontal sejam perpendiculares entre si basta que as suas projecções horizon-tais o sejam. No caso das rectas oblíqua e frontal basta que sejam perpendiculares as suas projecções frontais.A posição relativa entre as outras projecções é indiferente. Também aqui se mostram rectas enviesadas noprimeiro caso e concorrentes no segundo.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Perpendicularidades - 5
  6. 6. Perpendicularidades entre rectas oblíquasMostra-se aqui a perpendicularidade entre rectas oblíquas. Duas rectas oblíquas são perpendicula-res quando uma delas é perpendicular a um plano oblíquo que contém a outra. F2 P2 fα r2 a2 H2 x F1 a1 P1 H1 hα r1 Perpendicularidade entre rectas oblíquas enviesadasA recta r é perpendicular à recta a porque é perpendicular ao plano α, que a contém. Pretende-se que essarecta contenha o ponto P. F2 s2 a2 A2 fα H2 x F1 a1 A1 hα H1 s1 Perpendicularidade entre rectas oblíquas concorrentesEsta situação apresenta-se idêntica à anterior. Simplesmente, a recta s, além de ser perpendicular ao plano α,que contém a recta a, é ainda concorrente com essa recta no ponto A da recta dada.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Perpendicularidades - 6
  7. 7. Perpendicularidades entre rectas de perfilPode-se representar rectas de perfil perpendiculares entre si, ou confirmar se o são, recorrendo àssuas projecções laterais. Também se podem utilizar os métodos geométricos auxiliares: rebatimen-tos, rotações e mudanças de plano. Aqui exemplifica-se com rectas definidas pelos seus traços mas,obviamente, este processo também é válido para rectas definidas por outros pontos. y≡z a1≡a2 b1≡b2 a3 F’2 F’3 F2 F3 H’1 b3 H3 x F1≡H2 F’1≡H’2 H’3 H1 Perpendicularidade entre rectas de perfil enviesadasDuas rectas de perfil perpendiculares, enviesadas ou não, têm projecções laterais perpendiculares entre si. y≡z p1≡p2≡q1≡q2 p3 F’2 F’3 F1 F3 H’1 q3 H3 x F1≡H2F’1≡H’2 H’3 H1 Perpendicularidade entre rectas de perfil concorrentesO exemplo que aqui se mostra é idêntico ao anterior, com a diferença de as rectas de perfil terem a mesmaabcissa, ou seja, serem concorrentes.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Perpendicularidades - 7
  8. 8. Perpendicularidades entre rectas oblíquas e de perfilUma recta oblíqua é perpendicular a uma de perfil quando uma delas é perpendicular a um planooblíquo que a contém. y≡z p1≡p2 q1≡q2 F2 F3 r2 s2 F2 fπ A2 A3 fα B2 B3 F1≡H2 F1≡H2 H3x A1 q3 hα B1 r1 H1 s1 hπ H1 Perpendicularidade entre as rectas oblíqua e de perfil enviesadasA recta de perfil da esquerda é definida pelos seus traços. O plano oblíquo contém essa recta, pelo que qual-quer recta que lhe seja perpendicular é também perpendicular à recta de perfil.A recta de perfil da direita é definida pelos pontos A e B, pelo que se recorre às projecções laterais para deter-minar os seus traços. Daí em diante procede-se da mesma forma. y≡z q1≡q2 F2 F3 a2 Perpendicularidade entre as rectas oblíqua e de perfil concorrentes I2 I3 Esta situação apresenta aspectos das duas fβ anteriores. Sendo a recta de perfil definida pelos seus traços, o plano oblíquo que a con- F1≡H2 H3 tém pode traçar-se directamente. Contudo, é necessário recorrer à projecção lateral da rectax de perfil para se poder escolher o ponto I, de intersecção com a recta a. hβ Se a recta de perfil fosse definida por dois pon- I1 tos que não os traços, procedia-se como no segundo caso de cima, cruzando-se a recta oblíqua com o ponto pretendido. a1 H1Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Perpendicularidades - 8
  9. 9. Perpendicularidades de resolução directa entre planosAs perpendicularidades entre planos apresentam situações muito diversas. Nesta página mostram-se aquelas que se representam sem recurso a qualquer processo auxiliar.Há situações em que a perpendicularidade entre planos é imediata, pelo que não se mostram ostraçados relativos a essas situações: plano horizontal com os planos de perfil, vertical e frontal; pla-no frontal com os planos de perfil, horizontal e de topo; plano de perfil com os planos horizontal,frontal e de rampa; plano de rampa com plano de perfil; plano de topo com plano frontal; plano verti-cal com plano horizontal. fα fβ fθ fωx hθ hω hβ hα Perpendicularidade entre planos de topo e entre planos verticaisDois planos de topo são perpendiculares quando os seus traços frontais o são. No caso dos planos verticais,tem de existir perpendicularidade entre os traços horizontais. fβ fα fπ fρx hπ hα hβ hρ Perpendicularidade entre o plano oblíquo e os planos de topo e verticalUm plano oblíquo é perpendicular a um plano de topo quando os seus traços frontais o são; é perpendicular aum plano vertical quando os seus traços horizontais o são. O ângulo entre os outros traços é indiferente.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Perpendicularidades - 9
  10. 10. Perpendicularidades entre planos de rampaPara obter dois planos de rampa perpendiculares recorre-se aqui ao plano lateral de projecção.Podem também ser utilizados os métodos geométricos auxiliares: rebatimentos, rotações ou mudan-ças de planos. y≡z fα lπ lα x hπ hα fπ y≡z lδ fα R1 lα x≡hδ≡fδ R3 R2 hα Dois planos de rampa perpendicularesPara que dois planos de rampa sejam perpendiculares entre si é necessário que os seus traços laterais tam-bém sejam perpendiculares.Na situação de baixo, um dos planos é passante e contém o ponto R.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Perpendicularidades - 10
  11. 11. Perpendicularidade entre planos oblíquosPara garantir que dois planos oblíquos são perpendiculares entre si, é necessário que um deles con-tenha uma recta perpendicular ao outro. F2 fα hπ r2 H2 x F1 hα H1 r1 fπ Dois planos oblíquos perpendicularesPodemos observar qualquer dos planos como sendo o dado ou o pedido. Se for π o plano dado, traça-se umarecta r perpendicular a ele; o plano α é-lhe perpendicular por conter essa recta. Se for α o plano dado traça-se arecta r que lhe pertence; o plano π é-lhe perpendicular por ser perpendicular a essa recta.Em ambos os casos é possível traçar um número infinito de planos perpendicular ao outro, caso não se exijaqualquer condição ao plano pedido. Se se exigir que um plano contenha um ponto dado, por exemplo, o planoa traçar já terá de ter esse factor em conta.Estas são duas abordagens a uma situação que, na prática, pode ser utilizada consoante o modo como umenunciado é apresentado.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Perpendicularidades - 11
  12. 12. Perpendicularidades entre planos oblíquos e de rampaNa perpendicularidade entre um plano oblíquo e um plano de rampa seguem-se dois caminhos dife-rentes, consoante o plano dado seja o oblíquo ou o de rampa. F2 fα r2 hπ H2 x F1 hα H1 fπ r1 Plano oblíquo e de rampa perpendiculares, utilizando uma recta oblíquaSendo dado o plano oblíquo, o plano de rampa é-lhe perpendicular porque contém a recta r que lhe é perpendi-cular. y≡z lπ fα lα x hα hπ fπ Plano oblíquo e de rampa perpendiculares, utilizando os traços lateraisUm plano oblíquo e um plano de rampa são perpendiculares entre si se os seus traços laterais forem perpendi-culares.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Perpendicularidades - 12
  13. 13. Perpendicularidades entre rectas e planos definidos por rectasAqui mostra-se como determinar rectas perpendiculares a planos definido por rectas, sem recorreraos traços desses planos. f2 a2 A’2 b2 r2 Recta perpendicular a plano n2 A2 definido por rectas oblíquas B2 Num plano definido por rectas, para saber a direcção de uma recta perpendi- cular, determina-se uma recta horizontal e outra frontal desse plano. Uma rectax perpendicular ao plano deverá ter as suas projecções perpendiculares às pro- B1 jecções inclinadas dessas rectas. A1 A’1 f1 n1 a1 b1 r1 dπ2 s2 f2 D’1 Recta perpendicular a plano N2 n2definido por recta de maior declive D2Como no caso anterior, traça-se uma rec-ta horizontal e outra frontal do plano defi-nido pela recta de maior declive. As pro- xjecções da recta pretendida são perpendi-culares às projecções inclinadas dessas N1 D’1 f1rectas. D1 dπ1 y≡z s1 q2≡q1≡p2≡p1 n1 R2 R3 q3 a2 A2 A3 b2 B2 B3 Recta perpendicular a plano definido por rectas fronto-horizontais S2 S3 Um plano definido por duas rectas fronto- horizontais é de rampa; uma recta perpendi-x p3 cular a esse plano é de perfil. Para a deter- b1 R1 minar utiliza-se aqui a recta de perfil q, do plano. A recta pretendida, p, terá que ser B1 perpendicular a essa, o que se confirma na projecção lateral. S1 a1 A1Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Perpendicularidades - 13
  14. 14. Perpendicularidades entre planos definidos pelos traços e planos definidos por rectasAs situações de perpendicularidade entre um plano definido pelos traços e outro definido por duasrectas são, de um modo geral, simples. Mostram-se aqui vários exemplos. v2 r2 fα≡hα I2 r2 I2 h2 (fπ)x (v1)≡I1 r1 I1 h1 r1 r2 fβ s2 fθ I2 n2 I2 r2x r1 n1 I1 fθ hβ s1 I1 r1 Situações genéricas de perpendicularidades entre rectas e planos definidos por rectasEstas situações mostram planos diferentes mas têm resoluções idênticas, pois basta que uma das rectas sejaperpendicular ao plano definido pelos traços para que os planos sejam perpendiculares entre si. A recta r quesurge em todos os casos pode-se representar de forma aleatória.Nestes exemplos são rectas concorrentes que definem um plano, mas também se pode optar por paralelas.Caso se pretenda um plano em que um dos traços faça um ângulo preciso, acrescenta-se no plano definidopelas rectas uma outra que tenha uma projecção perpendicular à do traço pretendido. y≡z p2≡p1 r2 J2 J3 lδ I3 Situação específica de I2 p3 perpendicularidade entre uma recta e um plano definido por rectasx Com o plano de rampa é necessário confir- J1 mar a sua perpendicularidade com uma hδ recta de perfil do outro plano. Aqui faz-se isso recorrendo ao traço lateral do plano I1 de rampa. A recta r não interfere com o fδ exercício. r1Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Perpendicularidades - 14
  15. 15. Perpendicularidades entre planos definidos por rectasMostra-se aqui como se representam planos perpendiculares entre si, ambos definidos por rectas.Trata-se de situações cujas resoluções são idênticas às utilizadas em exercícios das páginas prece-dentes, pelo que se aconselha comparar os traçados desta com os dessas páginas.Se num enunciado um plano se apresenta definido por três pontos, traçam-se por eles duas rectasconcorrentes ou paralelas. f2 a2 A’2 b2 s2 Situação genérica de n2 A2 perpendicularidade entre I2 B2 planos definidos por rectas Partindo do plano definido pelas rectas r2 paralelas, determinou-se uma recta horizontal e outra frontal, por terem a direcção dos traços do plano a quex pertencem. O outro plano basta ter uma recta perpendicular a este. A B1 outra recta, r neste caso, tem uma f1 A1 posição aleatória, podendo até ser r1 A’1 paralela à recta s. s1 n1 a1 b1 I1 y≡z q2≡q1≡p2≡p1 I3 q3 r2 I2 a2 A3 A2 B2 B3 b2 J2 J3 x b1 I1 p3 B1 r1 J1 a1 A1 Situação específica de perpendicularidade entre planos definidos por rectasUm plano definido por duas rectas fronto-horizontais é um plano de rampa; uma recta perpendicular a esseplano é de perfil. Para a determinar utiliza-se aqui a recta de perfil q, do plano. A recta pretendida, p, terá queser perpendicular a essa, o que se confirma na projecção lateral. A recta r tem uma posição aleatória.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Perpendicularidades - 15
  16. 16. Perpendicularidades entre uma recta e duas rectasMostram-se aqui três exemplos de uma recta perpendicular a duas. Em dois dos casos, a recta étambém concorrente com as rectas dadas. s2 p2 r’2 r2 Recta perpendicular I2 f2 a duas rectas enviesadas P2 R’2 Para traçar uma recta perpendicular às rectas r S2 e s, passando pelo ponto P, procedeu-se do R2 seguinte modo: cruzou-se por s a recta r’ para- n2 lela a s; traçaram-se as rectas frontal f e hori- zontal n do plano definido por s e r’. Sendo ax recta p perpendicular a esse plano, é também perpendicular às rectas r e s. r1 I1 P1 R’1 p1 S1 f1 p2r’2 // r2 s1 r’1 n1 b2 a2 f2 R1 I2 A’2 Recta perpendicular e concorrente com duas rectas concorrentes A2 B2 n2Este exercício é uma situação específica deperpendicularidade entre uma recta e um planodefinido por duas rectas concorrentes, com a xparticularidade de a recta pedida ter de cruzar a1as outras (o mesmo que dizer o plano definido I1pelas outras) no seu ponto de intersecção. A’1 B1 f1 p2 Q2 s2 n1 P2 b1 r2 A1 = p1 (fπ)≡n2 R2 S2 Recta perpendicular e concorrentex Q1 com duas rectas paralelas n2≡nR P1 Aqui rebate-se o plano definido pelas duas rec- tas. No rebatimento traça-se a recta que lhes é PR’ = R1≡RR perpendicular. Optou-se por cruzar a recta pedi- S1≡SR da com a recta s no ponto P (com que se fez o p1 rebatimento) para poupar traçado. Essa recta r1 cruza r no ponto Q, que se contra-rebate com uma linha perpendicular à charneira. s1 pR PR QR rR sRManual de Geometria Descritiva - António Galrinho Perpendicularidades - 16
  17. 17. Perpendicularidades – ExercíciosPerpendicularidades entre uma recta e um Perpendicularidades entre duas rectasplano 7. Representar a recta horizontal n, que contém o1. Representar o plano de topo σ, que cruza o eixo ponto M(2;4;-1) fazendo 25ºae. Determinar a rectax num ponto com 2cm de abcissa, fazendo 35ºad. oblíqua r, que contém M, é perpendicular a n eDeterminar a recta r, perpendicular a σ e contendo paralela ao β1/3.P(2;2;-4). 8. Representar a recta frontal f, que contém o ponto2. Representar o plano vertical α, que cruza o eixo x T(2;3:-1), fazendo a sua projecção frontal 60ºae.num ponto com -3cm de abcissa, fazendo 55ºae. Determinar a recta oblíqua s, que contém N(-3;-1;4),Determinar a recta s, perpendicular a α e contendo é perpendicular a f e paralela ao β2/4.A(1;-2;2). 9. Representar a recta r, que contém os pontos3. Representar o plano ρ, que cruza o eixo x num A(2;4;-1) e B(2;2;3). Determinar a recta p, perpendi-ponto com -3cm de abcissa, fazendo os seus traços cular a r e passante em P, com 5cm de abcissa.frontal e horizontal 65ºad e 40ºae, respectivamente.Determinar a recta a, perpendicular a ρ e contendo 10. Representar a recta r do exercício anterior.N(-1;1;-4). Determinar a recta s, passante num ponto com 3cm de abcissa, sendo perpendicular a r e fazendo a sua4. Representar o plano ρ do exercício anterior. projecção frontal 50ºae.Determinar a recta b, perpendicular a ρ, passanteem R, com -3cm de abcissa. 11. Representar a recta b que contém S(0;2;3) e T(-2;4;5). Determinar a recta j, que contém T e é5. Representar o plano π, que cruza o eixo x num perpendicular a b, fazendo a sua projecção frontalponto com -2cm de abcissa, fazendo os seus traços 35ºae.frontal e horizontal 45ºad e 30ºad, respectivamente.Determinar a recta a, perpendicular a π e passante 12. Representar a recta c, que contém V(5;-1;4) eem P, com 3cm de abcissa. Z(1;5;2). Determinar a recta de perfil k, perpendicu- lar a c e passante em P, com 2,5cm de abcissa.6. Representar o plano θ, cujos traços frontal e hori-zontal têm, -3cm de afastamento e 4cm de cota, 13. Representar a recta c do exercício anterior.respectivamente. Determinar a recta r, perpendicu- Determinar a recta d, perpendicular a c, contendolar a θ e contendo R(4;3;3). C(2;1;0) e fazendo a sua projecção frontal 25ºae.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Perpendicularidades - 17
  18. 18. Perpendicularidades entre planos Perpendicularidades entre planos definidos por traços e planos definidos por rectas ou14. Representar o plano de topo ψ, que cruza o eixo pontosx num ponto com -2cm de abcissa e faz 50ºae.Determinar o plano de topo ω, que contém P(3;-3;1) 26. Representar o plano ω, perpendicular ao β1/3,e é perpendicular a ψ. que cruza o eixo x num ponto com 2cm de abcissa, fazendo o seu traço horizontal 50ºae. Determinar o15. Representar o plano ψ do exercício anterior. plano ρ, definido por duas rectas oblíquas r e s, queDeterminar o plano oblíquo δ, que contém R(5;2;1), contém o ponto P(-1;4;3) e é perpendicular a ω.é perpendicular a ψ e ao β1/3. 27. Representar o plano ω do exercício anterior.16. Representar o plano σ, que cruza o eixo x num Determinar o plano δ, passante e perpendicular a ω,ponto com 3cm de abcissa, fazendo os seus traços definido por uma recta oblíqua b e pelo eixo x.frontal e horizontal 65ºae e 35ºad, respectivamente.Determinar o plano α, perpendicular a σ, que 28. Representar o plano ψ, cujos traços frontal econtém S(2;2,5;2), fazendo o seu traço frontal horizontal têm 3cm de cota e 5cm de afastamento,40ºae. respectivamente. Determinar o plano α, perpendicu- lar a ψ, definido pela recta de perfil p e por uma17. Representar o plano σ e o ponto S do exercício recta oblíqua r, concorrentes em A(4;5;3).anterior. Determinar o plano π, que contém S, éperpendicular a σ e ao β2/4. 29. Representar o plano ψ e o ponto A do exercício anterior. Determinar o plano σ, perpendicular a ψ,18. Representar o plano ρ, cujos traços frontal e definido pelas rectas fronto-horizontais a, quehorizontal têm -3cm de cota e 2cm de afastamento, contém P, e b, que dista 2cm de a.respectivamente. Determinar o plano oblíquo θ, quecontém o ponto K(3;3;2), é perpendicular a ρ, Perpendicularidades entre planos definidosfazendo o seu traço horizontal 70ºad. por rectas ou pontos19. Representar o plano ρ do exercício anterior. 30. Representar o plano δ, definido pelos pontosDeterminar o plano passante ω, perpendicular a ρ. A(0;2;1), B(-3;2;4) e C(-5;5;2,5). Determinar o plano θ, perpendicular a δ, definido pelas rectas r, oblíquaPerpendicularidades entre rectas e planos que contém P(4;-2;5), e s, paralela a r.definidos por rectas ou pontos 31. Representar o plano δ e o ponto P do exercício20. Representar o plano δ, definido pelos pontos anterior. Determinar o plano β, perpendicular a δ,A(0;2;1), B(-3;2;4) e C(-5;5;2,5). Determinar a recta definido pelas rectas oblíqua e de perfil, respectiva-r que contém P(4;-2;5) e é perpendicular a δ. mente r e p, concorrentes em P.21. Representar o plano ψ, definido pelas rectas a e 32. Representar o plano ω, definido pelas rectas a eb, paralelas ao β2/4, que contêm, respectivamente, b, paralelas ao β2/4, que contêm, respectivamente,os pontos A(3;6;1) e B(1;3;2), fazendo as suas pro- os pontos A(3;6;1) e B(1;3;2), fazendo as suas pro-jecções frontais 40ºae. Determinar a recta s, per- jecções frontais 40ºae. Determinar o plano ρ, per-pendicular a ψ e passante no ponto Q com -2cm de pendicular a ω, definido pelas rectas s, oblíqua, e h,abcissa. fronto-horizontal, concorrentes em C(-4;5;3).22. Representar o plano α, definido pela recta dα, Perpendicularidades entre uma recta eque contém o ponto L(1;3;1), fazendo as suas pro- duas rectasjecções frontal e horizontal 55ºad e 45ºae, respecti-vamente. Determinar a recta b, que contém L e é 33. Representar o plano ω do exercício anterior.perpendicular a α. Determinar a recta p, perpendicular e concorrente com as rectas dadas do plano, com a recta a no seu23. Representar o plano de rampa σ, definido pelos ponto com 3cm de cota.pontos R(6;5;-2) e S(2;2;3). Determinar a recta q,perpendicular a σ e passante em A, com 4cm de 34. Representar o plano α, definido pelas rectas k eabcissa. j, concorrentes em A(3;4;6). As projecções frontal e horizontal de k fazem 65ºae e 30ºae, as de j fazem24. Representar o plano passante π, definido pela 35ºae e 40ºad, respectivamente. Determinar a rectarecta r, passante no ponto P com 6cm de abcissa, r, perpendicular a α, sendo concorrente com k e j.fazendo as suas projecções frontal e horizontal55ºad e 40ºad, respectivamente. Determinar a recta 35. Representar as rectas r e s. A primeira contém op, perpendicular a π e contendo Z(6;-2;6). ponto R(-3;3;3), fazendo as suas projecções frontal e horizontal 35ºad e 45ºae, respectivamente; a25. Representar o plano passante θ, definido pela segunda contém o ponto S(5;4;5), fazendo as suasrecta de perfil b, que contém P(3;3;2). Determinar a projecções frontal e horizontal 60ºae e 35ºad, res-recta g, que é perpendicular a θ e contém P. pectivamente. Determinar a recta m, que contém M(1;3;4) e é perpendicular a r e a s.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Perpendicularidades - 18
  19. 19. 9 PARALELISMOS Neste capítulo estudam-se as rectas e os planos nas suas relações de para- lelismo, nas diferentes possibilidades: rectas com rectas, planos com planos e rectas com planos. Mostra-se também como se confirmam e se determinam essas relações. Sumário: 2. Os paralelismos no espaço 3. Paralelismos de resolução directa entre rectas 4 e 5. Paralelismos entre rectas de perfil 6. Paralelismos de resolução directa entre planos 7. Paralelismos entre planos de rampa 8 e 9. Plano paralelo a outro contendo um ponto dado 10. Paralelismos de resolução directa entre rectas e planos 11. Paralelismos entre rectas e o plano oblíquo 12. Paralelismos entre rectas e o plano de rampa 13 e 14. Paralelismos entre rectas e planos definidos por rectas 15. Paralelismos entre planos definidos por traços e planos definidos por rectas 16 e 17. Paralelismos entre planos definidos por rectas 18 e 19.. ExercíciosManual de Geometria Descritiva - António Galrinho Paralelismos - 1
  20. 20. Os paralelismos no espaçoMostra-se aqui os paralelismos no espaço entre: duas rectas, dois planos, uma recta e um plano.Nos traçados que aqui se apresentam é fácil verificar e compreender essas situações; contudo, nasprojecções nem sempre se apresentam óbvias ou de resolução imediata. Paralelismo entre duas rectas a Duas rectas paralelas são rectas com a mesma direcção, pelo que são complanares. b π Paralelismo entre dois planos Dois planos que não se intersectam são sempre paralelos. α p Paralelismo entre uma recta e um plano Uma recta que não cruza um plano é paralela a θ esse plano.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Paralelismos - 2
  21. 21. Paralelismos de resolução directa entre rectasDuas rectas paralelas têm sempre as suas projecções homónimas paralelas; eventualmente, poderáhaver coincidência numa das projecções. Obviamente, só rectas do mesmo tipo podem ser parale-las entre si. Não se apresentam aqui as rectas fronto-horizontal, de topo e vertical, já que duas rec-tas de cada um desses tipos são sempre paralelas. n’2 f’2 n2 f2x n1 f1 n’1 f’1 Paralelismo entre rectas horizontais e entre rectas frontaisDuas rectas horizontais ou frontais são paralelas quando as suas projecções homónimas também o são. Sehouver coincidência numa das projecções (como se vê no segundo exemplo de baixo) o paralelismo continua aser válido. a2≡b2 r2 s2x r1 a1 s1 b1 Paralelismo entre rectas oblíquasDuas rectas oblíquas são paralelas quando as suas projecções homónimas são paralelas. Havendo coincidên-cia numa das projecções, o paralelismo continua válido.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Paralelismos - 3
  22. 22. Paralelismos entre rectas de perfilA regra que se aplica nas situações da página anterior não se aplica à recta de perfil. Pode-se repre-sentar rectas de perfil paralelas entre si, ou confirmar se o são, recorrendo às suas projecções late-rais. Aqui exemplifica-se com rectas definidas pelos seus traços mas, obviamente, este processotambém é válido para rectas definidas por outros pontos. y≡z a1≡a2 b1≡b2 F’2 a3 // b3 F’3 a3 F2 F3 b3 H’3 x F1≡H2 F’1≡H’2 H3 H1 H’1 Paralelismo entre rectas de perfil com diferentes abcissasDuas rectas de perfil paralelas têm projecções laterais paralelas ou, eventualmente, coincidentes, caso asmedidas dos seus traços sejam iguais. y≡z p1≡p2≡q1≡q2 p3 // q3 F’2 F’3 q3 F2 F3 p3 H’3 x F1≡F2≡F’1≡H’2 H3 H1 H’1 Paralelismo entre rectas de perfil com a mesma abcissaNo caso de as rectas de perfil possuírem o mesmo valor de abcissa (ou seja, terem projecções coincidentes) asprojecções laterais permitem também confirmar se elas são paralelas ou não.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Paralelismos - 4
  23. 23. Nesta página confirma-se o paralelismo entre duas rectas de perfil recorrendo a traços de planosauxiliares, assim como a rectas paralelas ou concorrentes.Para tal, pode-se ainda fazer uso dos métodos geométricos auxiliares: rebatimentos, rotações emudanças de planos. p1≡p2 p’1≡p’2 b1≡b2 b’1≡b’2 fπ F2 F’2 F’2 F2 fα F1≡H2 F’1≡H’2x F1≡H2 F’1≡H’2 hα H1 hπ H1 H’1 H’1 Confirmação do paralelismo entre rectas de perfil recorrendo aos traços dos planosPara que duas rectas sejam paralelas têm de ser complanares. Aqui, para provar que as rectas de perfil sãoparalelas, representam-se os traços do plano a que pertencem: à esquerda, um plano de rampa; à direita, umplano oblíquo. No primeiro caso pode-se confirmar o paralelismo entra as rectas sem recorrer ao plano de ram-pa, caso se verifique que os traços da recta têm medidas iguais. j1≡j2 r1≡r2 g1≡g2 s1≡s2 b2 A2 D2 C2 A2 B2 a2 I2 B2 D2 b2 C2 a2x A1 A1 D1 b1 B1 B1 I1 C1 a1 a // b D1 C1 b1 a1 Confirmação do paralelismo entre rectas de perfil recorrendo a rectas auxiliaresQuando duas rectas de perfil estão definidas por dois pontos que não os traços, pode-se utilizar um processosimples para confirmar se são paralelas entre si ou não. O processo consiste em passar duas rectas pelos pon-tos. Se essas rectas forem paralelas ou concorrentes (ou seja, complanares) isso significa que as rectas deperfil são paralelas, mas se forem enviesadas as rectas dadas também serão enviesadas.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Paralelismos - 5
  24. 24. Paralelismos de resolução directa entre planosDois planos paralelos têm sempre os traços homónimos paralelos. Obviamente, só planos do mes-mo tipo o podem ser. Dois planos horizontais, frontais ou de perfil são sempre paralelos entre si,pelo que esses casos não se apresentam aqui. fβ fθ fω fρx hω hβ hρ hθ Paralelismo entre planos de topo e entre planos verticaisPara que dois planos de topo sejam paralelos é necessário que os seus traços frontais sejam paralelos, já queos horizontais o são sempre. Para que dois planos verticais sejam paralelos é necessário que os seus traçoshorizontais sejam paralelos, já que os frontais o são sempre. fπ fα fδ fψx hπ hα hψ hδ Paralelismo entre planos oblíquosPara que dois planos oblíquos sejam paralelos é necessário que os seus traços homónimos sejam paralelos.Isso observa-se aqui em duas situações.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Paralelismos - 6
  25. 25. Paralelismos entre planos de rampaA especificidade dos planos de rampa faz com que a posição dos seus traços, sempre paralelos aoeixo x, não seja suficiente para garantir o paralelismo entre dois planos. Aqui mostra-se como resol-ver o problema recorrendo aos traços laterais.Outros processos se podem utilizar para confirmar ou determinar o paralelismo entre planos de ram-pa: rebatimentos, rotações e mudanças de planos. y≡z fα fπ lπ // lα lα lπ x hπ hα y≡z fθ P2 P3 lω // lθ lθ P1 x≡hω≡fω lω hθ Paralelismos entre planos de rampaPara que dois planos de rampa sejam paralelos é necessário que os seus traços laterais também o sejam.Na situação de baixo, um dos planos é passante, definido pelo ponto P.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Paralelismos - 7
  26. 26. Plano paralelo a outro contendo um ponto dadoQuando se pretende determinar um plano paralelo a outro, mas contendo um ponto dado, obvia-mente já não se pode traçar esse plano num sítio qualquer. fβ fρ fθ fω P2 x R1 hω P1 hθ hβ hρ R2 Paralelismo entre planos de topo e entre planos verticaisObservam-se aqui duas situações que envolvem planos projectantes. Para que um plano de topo contenha umponto e seja paralelo a outro plano, além de ter os seus traços paralelos aos traços homónimos do outro, o seutraço frontal tem que conter a projecção frontal do ponto. O raciocínio é idêntico para o plano vertical, devendoo traço horizontal deste conter a projecção horizontal do ponto. No primeiro caso é indiferente a medida doafastamento do ponto, no segundo é indiferente a da cota. S2 fρ fα fπ f2 n2 A2 F2 fθ H2x F1 H1 f1 S1 hρ hπ hθ hα A1 n1 Paralelismo entre planos oblíquosNão sendo este um plano projectante, para resolver estes problemas há que utilizar uma recta auxiliar, paralelaao plano e contendo o ponto dado. Essa recta, que convém ser frontal ou horizontal, ficará contida no planopretendido. Ou seja, o ponto pertence ao plano porque pertence a uma recta que pertence ao plano.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Paralelismos - 8
  27. 27. Para determinar um plano de rampa paralelo a outro, e contendo um ponto dado, utilizam-se aquidois processos. y≡z fα P2 P3 fπ lα lπ // lα lπ x P1 hπ hα Determinação do paralelismo entre planos de rampa recorrendo aos traços lateraisJá vimos que dois planos de rampa são paralelos quando têm os traços laterais paralelos. Mas pretende-seaqui encontrar um plano paralelo ao outro contendo um ponto dado. O plano contém esse ponto porque o seutraço lateral contém a projecção lateral do ponto. F’2 fα P2 F2 fπ s2 s // r r2 F1 H2 x F’1 H’2 P1 r1 hπ H1 s1 hα H’1 Determinação do paralelismo entre planos de rampa recorrendo a rectas oblíquasA recta r é uma recta oblíqua qualquer que se traçou no plano dado π. Passando pelo ponto dado P a recta s,paralela à outra, obtém-se um plano paralelo ao primeiro, bastando para tal que esse plano contenha estasegunda recta.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Paralelismos - 9
  28. 28. Paralelismos de resolução directa entre rectas e planosO paralelismo entre rectas e planos dá origem a situações muito diversas, umas óbvias, outras maiscomplexas. Nesta página observam-se as situações mais simples. Contudo, não se apresentam oscasos onde os paralelismos são automáticos: - Plano horizontal com rectas horizontal, fronto-horizontal e de topo - Plano frontal com rectas frontal, fronto-horizontal e vertical - Plano de perfil com rectas de perfil, de topo e vertical - Plano de rampa com recta fronto-horizontal - Plano de topo com recta de topo - Plano vertical com recta vertical fβ fω r2 // fβ f2 // fβ r2 s2 n2 f2x f1 hβ s1 hω n1 r1 n1 // hω s1 // hω Paralelismo entre rectas e os planos de topo e verticalQualquer recta cuja projecção frontal seja paralela ao traço frontal do plano de topo, será paralela ao plano.Qualquer recta cuja projecção horizontal seja paralela ao traço horizontal do plano vertical, será paralela aoplano. As posições das outras projecções não têm qualquer interferência. fπ f2f2 // fπ n2 Paralelismo entre o plano oblíquo e as rectas horizontal e frontal Exceptuando as situações de pertença, uma recta frontal é paralela a um plano oblíquox quando a sua projecção frontal é paralela ao traço homónimo do plano; do mesmo modo, uma recta horizontal é paralela a um plano f1 oblíquo quando a sua projecção horizontal é n1 paralela ao traço homónimo do plano. hπ n1 // hπManual de Geometria Descritiva - António Galrinho Paralelismos - 10
  29. 29. Paralelismos entre rectas e o plano oblíquoObservam-se nesta página paralelismos das rectas oblíqua e de perfil com o plano oblíquo. O para-lelismo das rectas horizontal e frontal com este plano foi abordado na página anterior. r // a F2 δ // β F2 r // β s // β r2 fβ fβ fδ a2 s2x H2 F1 H2 F1 a1 r1 s1 H1 H1 hδ hβ hβ Recta oblíqua paralela a plano oblíquoPode-se traçar rectas oblíquas paralelas ao plano oblíquo de duas maneiras. No primeiro caso é traçada umarecta que pertence ao plano; a recta r, sendo paralela a essa, será também paralela ao plano. No segundo casoé traçado um plano paralelo ao plano dado; a recta s, situada nesse plano será paralela ao outro. a2≡a1 F’2 fβ F2 F2 fδ fβ p2≡p1 H2≡F1x H2≡F1 H’2≡F’1 q2≡q1 hβ hδ H1 H’1 H1 p // a δ // β hβ Recta de perfil paralela a plano oblíquoCom a recta de perfil pode-se proceder de modo idêntico ao observado para as rectas oblíquas: no primeirocaso, representando uma recta paralela a uma recta do plano; no segundo caso, representando a recta numplano paralelo ao plano dado. As linhas paralelas ao eixo x, que passam pelos traços da recta de perfil na pri-meira situação, mostram que essas medidas são iguais.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Paralelismos - 11
  30. 30. Paralelismos entre rectas e o plano de rampaObservam-se nesta página os paralelismos entre as rectas oblíqua e de perfil e o plano de rampa. Oparalelismo entre a recta fronto-horizontal e o plano de rampa é imediato e foi referido duas páginasatrás. y≡z F2 fα fπ s2 F2 F3 lπ a2 P2 r2 r3 H2 F1 H2 F1x H3 P1 r1 a1 s1 H1 H1 hα hπ s // a r3 // lπ Recta oblíqua paralela a plano de rampaPode-se traçar rectas oblíquas paralelas ao plano de rampa de duas maneiras. No primeiro caso é traçada umarecta que pertence ao plano; a recta s, que contém P, sendo paralela a essa será também paralela ao plano.No segundo caso verifica-se que a projecção lateral da recta é paralela ao traço lateral do plano, o que garanteo paralelismo entre ambos. y≡z b2≡b1 F2 fα fπ p2≡p1 a2≡a1 F2 F3 lπ F‘2 H2≡F1 H’2≡F’1 H2≡F1 H3x H’1 b3 H1 H1 hα p // a b3 // lπ Recta de perfil paralela a plano de rampaCom a recta de perfil pode-se proceder de modo idêntico ao observado para as rectas oblíquas. No primeirocaso, representando uma recta paralela a uma recta do plano; no segundo caso, verifica-se que a projecçãolateral da recta é paralela ao traço lateral. As linhas convergentes no eixo x, na primeira situação, garantem queos traços da recta p se mantêm proporcionais aos da recta a. Na segunda situação só é dado o traço frontal doplano, partindo-se do princípio de que este é paralelo à recta.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Paralelismos - 12
  31. 31. Paralelismos entre rectas e planos definidos por rectasAqui mostra-se como determinar rectas paralelas a planos definido por rectas. É comum um enun-ciado pedir que a recta passe por um ponto dado, pelo que se mostram aqui situações equivalentes. r2 s2 A2 Recta oblíqua qualquer paralela I2 p2 a plano definido por duas rectas Se não se pedir uma recta específica, basta traçar uma paralela a uma dasx rectas desse plano. Neste caso apenas se pretende que a recta contenha o ponto A, pelo que se traçou a recta p I1 A1 paralela à r. p1 s1 r1 p // r c2 d2 C2 P2 D2 r2Recta oblíqua específica paralela s2a plano definido por duas rectasCaso se pretenda uma recta oblíquacom características específicas, há quecruzar com as rectas dadas uma que xtenha essas características. Nestecaso pretende-se uma recta cuja pro-jecção horizontal faça 40ºad e que con- C1tenha o ponto P. D1 P1 r1 c1 d1 s1 r // s c2 d2 C2 D2 h2 Recta horizontal paralela S2 n2 a plano definido por duas rectas Como no caso anterior, também aqui se pretende uma recta diferente das rectas dadas, pelo que há que traçar uma concorrente com essas, que tenhax h1 as características pretendidas. Ao lado traça-se uma paralela a essa. Neste D1 n1 caso trata-se de uma recta horizontal, C1 mas tratando-se de uma recta frontal o S1 processo seria idêntico. d1 n // h c1Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Paralelismos - 13
  32. 32. Mostram-se aqui duas situações que envolvem a recta de perfil. Num dos casos o plano definidopelas rectas é oblíquo, no outro é de rampa passante. b2 q2≡q1 p2≡p1 a2 I2 n2 A2 C2 B’2 n1 B2 D2 x B’1 D1 B1 b1 I1 a1 A1 C1 p // q Recta de perfil paralela a plano definido por rectas oblíquasAqui procede-se de forma idêntica à do exercício anterior, traçando uma recta de perfil no plano. A recta deperfil pretendida tem as características dessa. As linhas paralelas ao eixo x garantem que os pontos de umasão idênticos aos da outra. A recta horizontal serve para confirmar que o plano não é de rampa, pois se o fossea recta de perfil p não poderia ser determinada deste modo, uma vez que pertenceria também ao plano.Caso se pretenda que a recta de perfil contenha um ponto dado, será necessário, por exemplo, recorrer às pro-jecções laterais do ponto e da recta. y≡z p2≡p1 r3≡s3 I2 I3 p3 s2 A2 A3 r2 S1≡S2 R1≡R2 H2 x H3 s1 r1 H1 I1 A2 p3 // r3≡s3 Recta de perfil paralela a plano definido por rectas oblíquas dum plano de rampaNeste caso, as rectas que definem o plano são passantes, o que quer dizer que o plano de rampa que definemé também passante. Após determinar as projecções laterais dessas rectas, que são coincidentes, traça-se umarecta de perfil cuja projecção lateral é paralela às das rectas dadas (que são coincidentes). Aqui a recta estádefinida pelo ponto A e pelo seu traço horizontal.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Paralelismos - 14
  33. 33. Paralelismos entre planos definidos por rectas e planos definidos por traçosAqui mostra-se como determinar o paralelismo entre um plano definido por traços com outro definidopor rectas. a2 b2 r2 s2 fα F2 F’2 P2 I2 H’2 H2x F1 F’1 P1 I1 r1 b1 s1 hα r // a H’1 H1 s // b a1 Plano definido por rectas concorrentes paralelo a um plano de rampaNo plano de rampa definido pelos traços foram marcadas duas rectas oblíquas, ao lado estão traçadas duasrectas paralelas a essas. Deste modo, o plano definido pelas rectas é paralelo ao plano definido pelos traços.Aqui parte-se do princípio de que se pretende determinar um plano paralelo a α, contendo o ponto P. fπ F2 b2 r2 s2 F’2 a2 A2 = = H2 H’2x F1 F’1 - - a1 hπ A1 H’1 r // a s1 r1 s // b H1 b1 Plano definido por rectas paralelas paralelo a um plano oblíquoAqui procede-se como no caso anterior, marcando duas rectas no plano oblíquo definido pelos traços; ao ladoforam traçadas duas rectas paralelas a essas, passando uma delas pelo ponto A, que se pretendia contido nes-se plano. Tratando-se de rectas paralelas, devem manter-se iguais as distâncias entre as suas projecções.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Paralelismos - 15
  34. 34. Paralelismos entre planos definidos por rectasAqui mostram-se algumas situações de paralelismos entre planos definidos por rectas. I2 b2 a2 r2 s2 P2x a // r a1 b // s I1 b1 s1 r1 P1 Planos paralelos definidos por rectas concorrentesAs rectas r e s definem um plano; as rectas a e b definem outro. Sendo a recta a paralela à recta r e a b parale-la à s, os planos por elas definidos são paralelos entre si.Um exercício em que se pedisse para determinar um plano paralelo ao plano definido pelas rectas r e s, conten-do o ponto P, seria assim resolvido, sem necessidade de mais traçados. c2 d2 f’2 D2 f2 C2 n’2 I2 n2 D’2x c1 D1 f1 I1 f’1 C1 D’1 n1 n’ // n d1 f’ // f n’1 Planos paralelos, sendo um definido por rectas oblíquas paralelas e outro definido por uma recta horizontal e outra frontalAs rectas c e d, oblíquas e paralelas entre si, definem um plano. Traçando as rectas f’ e n’, também desse pla-no, ficamos com a direcção a dar às rectas f e n que definem um plano paralelo ao anterior, neste caso conten-do o ponto I.Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Paralelismos - 16

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