Lm edo

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Lm edo

  1. 1. Director da colecção Manual. Prof. Paulo Manuel de Araújo de Sá Luísa MadureiraProjecto gráfico. IncomunImpressão e acabamentos. marca-ag.com1: edição. 20002: edição. 20043: edição. 2010Depósito legal n.? 206 451/04 roblemas de equaçõesISBN 978-972-752-124-1© Luísa Madureira . 2000© Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto iferenciais ordinárias Rua Dr. Roberto Frias. 4200-465 Porto http://feupedJe.up.pt transformadas de Laplacelodo os direitos reservados. Nenhuma parte deste livropod 5 r reproduzida por processo mecânico, electrónicoou outro sem autorização escrita do editor. 3.a edição
  2. 2. li dicePr fácio. 11Introdução. 13Capítulo 1 quações diferenciais de primeira ordem. 151.1 Equações diferenciais de variáveis separáveis. 151.2 Equações diferenciais homogéneas. 20 1.2.1 Equações redutíveis a homogéneas. 261.3 Trajectórias ortogonais. 301.1]·Equações diferenciais exactas. Factor integrante. 34 1.4.1 Factor integrante. 38I. quações diferenciais lineares. 42 1.5.1 Equação de Bernoulli. 48 1.5.2 Equação de Riccati. 52I. qu cõ s n o r solvidas em ordem à derivada. 56 1.6.1 EqLI c od L gr ng . 60 1.. I 1~lil (o d Clt ir ut. 3
  3. 3. Capítulo 2 Equações diferenciais de ordem superior à prim ) .1 7 2.1 Redução da ordem das equações diferenciais 67 I 111111111 d, ti! IlIilol íun tl uac dif r nç . 178 2.2 Equações diferenciais lineares de ordem n. 72 " I I I Ilil! 1I tI~ jltlltl tl fi nt .178 2.2.1 Soluções da equação homogénea e não homogénea. 73 , I I I ililliilC,tlS nu i dif r nças divididas. 179 2.2.2 Equações diferenciais lineares homogéneas de coeficientes constantes. 75 " I I I qUtlr, s cI drf r ncas. 180 2.2.3 Equações diferenciais lineares não homogéneas de coeficientes I I ,11111t,,1o ti qu ç o de diferenças. 180 constantes. 81 " 11 d valor inicial. 180 2.3 Equações de Euler. 93 I II qlltl~ dif r nças lineares homogéneas de coeficientes constantes. 182 2.4 Soluções de equações diferenciais em séries de potências. 96 ,11 d p ssoapasso.183 2.4.1 Soluções em série de potências em torno de um ponto não singular. 97 " I) D l rmin ção da solução geral como combinação linear de soluções. 183 2.4.2 Soluções em série de potências generalizada. Método de Frobenius. 103 I, I ,oluV1 d quação de diferenças não homogénea. Método dos coeficientes 1111111 rrnin dos. 188 •. 1 l rminação de uma solução particular. 189 Capítulo 3 Sistemas de equações diferenciais lineares. 111 fia. 193 3.1 Sistemas de equações diferenciais lineares homogéneos de coeficientes constantes. Método de Euler. 113 Itldl r missivo. 195 3.2 Sistemas de equações diferenciais lineares não homogéneos de coeficientes constantes. 125 Capítulo 4 Transformadas de Laplace. 133 4.1 Definição, existência e propriedades da transformada de Laplace. 133 4.2 Transformada de Laplace da derivada. 140 4.3 Inversa da transformada de Laplace e aplicação às equações diferenciais. 143 4.4 Primeiro e segundo teoremas da translação 150 4.5 Transformada de Laplace da "função" Delta de Dirac. 159 4.6 Transformada de Laplace do integral. 162 4.7 Derivada e integral da transformada de Laplace. 165 4.8 Teorema da convolução. 170 I., I 11111
  4. 4. I r fácioNrI últimas décadas tem-se assistido ao extraordinário desenvolvimento das capacida- des computacionais existentes e o crescente acesso a poderosos produtos que nos permitem facilmente executar tarefas outrora ciclópicas ou irrealizáveis. É as- sim possível hoje em dia, com recurso a essesprodutos, resolver numericamente sistemas de milhares de equações diferenciais não lineares que caracterizam um vasto número de problemas com que nos deparamos na Engenharia. Estes no- vos paradigmas geram a necessidade de, em muitos aspectos, reequacionarmos a forma como o estudo da Matemática deve ser ministrado aos cursos de Enge- nharia mas também, indubitavelmente, reforçam a necessidade de se adquirir um conhecimento sólido dos princípios elementares da Matemática, no sentido de se ser capaz de desenvolver, interpretar e correctamente utilizar essas novas ferramentas. Há etapas da aprendizagem que não devem ser queimadas sob pena de se hipotecar o desenvolvimento dessas competências.O livro da Prof." Luísa Madureira, Problemas de Equações Diferenciais Ordinárias e Trans- formadas de Laplace, pretende ser um contributo nalgumas dessas etapas fun- damentais. Escrito numa linguagem acessível, mas com rigor, visa sobretudo fornecer ao aluno um conjunto variado de problemas que lhes permitam melhor compreender aqueles assuntos que são ministrados nas aulas teóricas e práticas nos prim ires anos dos cursos de Engenharia. E permanecerá para os alunos futuros ngenheiros como uma fonte de consulta onde poderão encontrar inform c út is p ra a solução de muitos problemas que enfrentarão no seu (utur I lud nt profissionai . I( " ,( ",di <11 , (11111 (!lIIlIlo1I11 ( 11.1 I !lI til<lolcll di 111111 1111011101 cloI lJlllvlI,lcloIill cio I ()J to)
  5. 5. dy y a equação resolve-se integrando ambos os membros de (2) -=n- dx x J g(y) dy = J !(x) dx + C (4) e separando variáveis obtém-se dy dx onde C é uma constante arbitrária. -=n- y x e portantoProblema 1.1Calcular a solução da equação diferencial (I - cosx) y = sen x . y o que conduz a Resolução Escrevendo a equação na forma In Iyl= lnlx"l + In C dy senx dx A solução é então y 1- cosx integrando tem-se y = C x" Inlyl = In 11- cos x] + In C Prohlema 1.3 R olvendo em ordem a y I . acordo com a lei de Newton a velocidade de arrefecimento de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura T desse corpo e a temperatura am- y = C (I - cos x) hi .nte To. Sabendo que uma dada substância se encontra à temperatura 100°C e é colocada num ambiente à temperatura 20°C tendo arrefecido até 80°C ao fim de minutos, determinar quanto tempo será necessário para que a temperatura sejaProblema 1.2 I xluzida para 40°C.Determinar a equação da curva que tem a propriedade do declive da tangente emqualquer dos seus pontos ser n vezes maior que o declive da recta que une esseponto à origem das coordenadas. Resolução A relação de proporcionalidade descrita tem a expressão Resolução dT = k (T - 20) di o declive da tangente à curva é dado por dy e o declive da recta que une um p rando v riáv is obtém-se dx df ponto (x,y) ao ponto (O, O) dado por Z r - () - t: di x fl1l, Intlfl"<!)I,I(dlllltll"(d(lI1.t,H1IP ,IIJ1V(/QIl( 1,11" (), I 11I11,1111, ti" (11 I (lO"
  6. 6. T (0)=20 + C1 )(I+er)YY=ex obtendo-se assim o valor da constante 11) Ji:I + yy~1 + x2 =0 I I (I + y) = I Tem-se então T (t) = 20 + 80 il I} v + 5 x 4 i = O, y (O) = I Determine-se agora o, valor de k. Sabendo que para t = 2 o valor de T é de 80°C, tem-se T ( 2 ) = 80 = 20 + 80 e k2 11m ponto material de massa I g está animado de movimento rectilíneo, sob 1I 11I,lIO de uma força directamente proporcional ao tempo decorrido desde o mo- o que é equivalente a 1111 1110 I = O e inversamente proporcional à velocidade do ponto. Sabe-se que no 11 11li 11 .nto 1= 10 s a velocidade era de 0,5 m/s e a força era de 4x 10-5N. Qual será k2 80 - 20 e 11 wlo idade do ponto I minuto após o início do movimento? 80 I/I I termine a funçãof(x) que satisfaz a condição: f(x) = 2+ f ;f(t)dt. e portanto 1.7 I termine f(x) que satisfaz a condição: F(x)+2xef(x)=0 e f(O)=O k = ..!..ln 80 - 20 = ..!.. In 2 I H Uma curva de equação cartesiana y = f(x) passa na origem. Linhas traçadas 2 80 2 4 1" li lamente aos eixos coordenados a partir de um ponto arbitrário da curva de- Finalmente para um valor da temperatura igual a 40°C tem-se 1111 Ill um rectângulo conjuntamente com os eixos coordenados. A curva divide o I túngulo em duas áreas uma das quais é n vezes superior à da outra. Determine 40 = 20 + 80 eO,5 In (31/4) , til" :io/(x). 1.1 IJm tanque tem uma secção quadrangular de 60 em de lado. A água escoa-se ou 1111IV:S de um orifício na base de 10 em? de área. Se o nível inicial da água estiver 11 rt() 111 de altura qual o tempo necessário para se situar a 30 em? 0,5In(31/4) 1 e =- 4 o que conduz a oluções 1,tl t = 9,638 min 3 4 ) -=:::""-+C 4Problemas b)y. (x_l)eX1.4 Resolva as equações diferenciais: ) ,I~ • 4 In (I + e,l ) a y. .r: li ti) JII 1 I JI I I •
  7. 7. M(l,Y/X) f)y=-- 1 x5 + 1 g) are tg e x = 2 sen 1 2 y +C M(x,y) N(x,y) = M(Àx,ÀY) N(Àx,ÀY) = I N(1,y/x)x>O M(-l,-y/x) N (-l,-y/x) 1111 VI "fica-se que o resultado se pode escrever como uma função de " equação diferencial .x e O (7) pode ser escrita na forma (8) 1. e portanto x 1.5 v = so.J2gem /s (9) 1.6 f(x) =2 /<-I} o que permite concluir que se a equação diferencial y = F(x,y) é tal que J 17 y=Jn -- F(Àx,ÀY) = F(x,y) (10) 2 x +1 1.8 Y = kx" ou y=kX/" então ela é homogénea. 1.936,897 s 11 011 ma I I !Iu cáo diferencial y = F (x, y) é homogénea então a mudança de variável y = ux ti nsforma esta equação numa equação diferencial em LI, de variáveis separá-1.2 Equações diferenciais homogéneas vis.Uma função M (x,y) diz-se homogénea de grau n se para qualquer À positivo se tem (5) I «111 n tração "1 "(, [u cão é homogénea pode ser escrita comoUma equação diferencial homogénea é do tipo (6) M (x,y)dx+ N(x,y)dy =O I "",leI r - e agora a mudança de variável y = ux. Tem-se em que M (x, y) e N (x,y) são funções homogéneas do mesmo grau n, lIy du -u+x- Neste caso a substituição Y = ux transforma a equação (6) numa equação de variáveis tlx dx separáveis em u e x. Analogamente, a substituição x = vy transforma a equação port nto (6) numa equação de variáveis separáveis em v e y. Se e equação (6) for escrita na forma dll 111-;(- - FCu) lx dy =_ M (x,y) (7) dx N(x,y) I por À , se À>O. Tom nd t r À v I r pod -s substituir por Àx .1 !l1l .IIIVIl nu .1 IIIq"llvo, 11111 ,I
  8. 8. e separando variáveis tem-se 1111( r ndo tem-se du dx 11I111l1I1=lnlxl+lnC F(u)-u x que é uma equação de variáveis separáveis podendo portanto ser integrada I) lu equivalente a IIlH=Cx como descrito em 1.1, após o que se substitui u por I. x • I 1 olucão da equação é CrProblema 1.10 li-eResolver a equação diferencial xi = y(lny-lnx)+ y 1111 Imente substituindo u por 2. obtém-se a solução, x Resolução Verificando que a equação é homogénea começa-se por escrevê-Ia na forma , y (ln y - In x + 1) I. HhlllIIa 1.11 Y = x Fazendo a substituição de x por Âx e y por Ây 1 I 01 v r a equação diferencial xel (xdy - ydx) = l dy. , Ây(lnÂy-lnÂx+I) y(lny+lnÂ-lnx-lnÂ+I) y(lny-lnx)+y y = = = Âx x x R solução efectuando a mudança de variável y = UX, tem-se t az ndo a substituição de x por Âx e y por Ây À,2x2 dy du Âxe ).l,2( ) Âxdy - Âydx )?2 Â -y = dy -=u+x- dx dx A equação escreve-se lU quivalente a du ux ln u + ux u+x-= dx x ou simplificando , implificando verifica-se que a equação é homogénea. Jl d m o screver-se a equação na forma du u+x-=u Inu+u 2 dx til .1 o / _ y2 5 P rando vari v is obtém-s dv • . , .1"1,1 rllI /I 111 11
  9. 9. 1.I.ll- 2xy+x2y = O 1.14 I = y_~x2 + l II .(y+4x)y+y(x+4y)=0 Neste caso efectua-se a mudança de variável x = vy e tem-se dx dv -=v+y- dy (If I•17 I 1/2 dx+ ()1/4 xy dy=O, y(0)=1 e a equação em v e y escreve-se 1.1 K Iy = Y - ~ x2 + l efectuando a mudança para coordenadas polares 1" (r y + xy cos Z)y = x2 cos Z + xy + l cos Z que é equivalente a x x x dv 1 2 y-=-- 11 tly = y(i +x )+ 2x2y v2 dy ve til" 2x3 Separando as variáveis tem-se 2 d oluções ve" dv =-~ y 1.12 x2+i =Cx4 e integrando obtém-se Cx2 113 y=-- Cx+l I 11 x2 + 2Cy = C2 ou 1.1 X 4 Y 4 = ( x+ Y )3 E finalmente tem-se a solução x2 I,I! /---- 1+ scn@Problemas . +l Z)R solv r as s iuint s quaçõ s dif r n .iuis: X I () ,)1.1 1
  10. 10. 1.2.1 Equações redutíveis a homogéneas I! qlldC,dO diferencial resultante em z e x é de variáveis separáveis. " (19)Considere-se a equação não homogénea 1 (11) I ,,!tI. 11111 1.21 na qual se efectua a mudança de variável -quaçao dif - rrerencia. I Y x +Y- 3 = ----- x- y-I (12) li. lução ( !1I1,!cI re-se a mudança de variávelTem-se então dYl = dy = F ( ai xI + ai II + bl YI + bl k + cI ) (13) dXI dx a2xI +a2II+b2YI +b2k+c2Ao escolher II e k tal que 1111,0 a1h+ blk + CI = O (14) { a2II+b2k+C2 =0 tI"I •• xI + II + YI + k - 3 rlrl XI + II - YI - k-l e sendo o sistema tal que ().."ma que determina h e k é l (15) " 1-1<-3=0 { "-/(-1=0 obtém-se a equação diferencial homogénea em xI e YI t t m como solução II = 2 e k = 1. A mudança de variável é então (16) -XI +2Se não se verificar a condição (15) então "-YI +I quação toma a forma rlYI _ xI + YI e (11) pode escrever-se dx, XI - YI (17) h mo n a e portanto aplica-se a mudança de variável )1 = uXI cr v -s Fazendo a mudança de variável z = alx + bl) tem-se tllI .1I 1111 1i I11 (li I I 1/ I (I ) I 11"1"11"
  11. 11. du 1+ u2 -x,=-- dx, l-u ~ldz=dx [ 5z+9 Separando as variáveis tem-se I mt grando obtém-se 7 e integrando obtém-se ::+ -lnI5z+ 91= x+ C 25 ou, nas variáveis iniciais, Então a solução é .1+IOy+71nIIOx+5y+91 =C t=r ~l+u~ 1 arctgu = C x, 11 Ul!hIIIl1S e nas variáveis iniciais x e y tem a expressão I I nlv r as seguintes equações diferenciais: 1(lly+l)dx+(2x+2y-l)dy=O I 3y-7x+7 I - --=----- 3x-7y- 3Problema 1.22 I, (I t-2y+l)dx-(2x+4y+3)dy=OI"eso Iver a equaçao dif ~ - lierenCla. I - dy 2x + y - I = ---"-- dx 4x+2y+5 lfI(l 2y+l)dx-(2x-3)dy=O Resolução I I 1 t-y-2+(I-x)y=O Como a,b2 = a2b,. faz-se a mudança de variável 11(( ry)dx+(x+y-l)dy=O z = 2x+ y I I) y-5+(3x+2y-5)y=O e a equação toma a forma dZ_2=~ luções dx 2z+ 5 Separando as variáveis Tem-se 1. x+2y+ Inlx+y-21=C 2z+5 --dz=dx 5z+9 Cill C[IIÍVtll(lll "
  12. 12. 4y+5 1.261n 2x-3 I I---=C 2x- 3 (24) 1.27 Y = 1+(x-l)lnC(x-l) I" lo ~ u integral geral. 1.28(x+y)2_2y=C I 1 •• 11" 11I11 1.30 ? ? 1.29 r+3xy+x--5x-5y=C Ii I 1I11 uur a equação da família de curvas ortogonais à seguinte família I 2((." 1.3 Trajectórias ortogonais H luçãoConsidere-se uma família de curvas no plano a um parâmetro C f l.unllla dada é uma família de circunferências com centros no eixo Ox e 11111(1 tes ao eixo Oy (Fig. 1.1). n f(x,y,C) = O (20) y sendofdiferenciável. Calculando a diferencial tem-se af _ af , -(x,y,C)+-(x,y,C)y =0 (21) ax ay e eliminando C nas duas últimas equações obtém-se a equaçâo diferencial 1------~--~--~--I-7 x I (x ,y,y) = O (22) nl- o assim por este processo determinada a equaçâo diferencial que tem como so- lução geral uma família de curvas dada inicialmente. É de especial importância a família das trajectórias ortogonais a essascurvas. Cada curva da família inicial 111 I I é intersectada perpendicularmente por todas as curvas da família designada por família das trajectórias ortogonais. Isto significa que as tangentes às curvas no " 1<i1111Ç , rencial que as caracteriza é obtida por derivação de ambos os dif ponto de intersecção são perpendiculares. 111IllIllI d quação. Obtém-se entãoO d s duas curvas F(xYI)=ü e G(x,Y2)=ü a relação de perpendicularidade entre rectas tangentes a essas curvas é dada pela equação I I 1/ _ 2 I , J Y2 =r+; (23) ,111111111111 O v I r d I C/ que se obtém da equação inicial YIA tr j tória ortogon um famfii d curvas r pres ntada por j(x, y, )- O s o ,1 nt O obti d
  13. 13. , y2 _X2 y=-- 111111l1 . 2.xy I Então a equação diferencial das trajectórias ortogonais é tal que y~rt =-~ y , 2xy I Yort =--2--2 1111 nuund y por ":"; obtém-se a equação diferencial das trajectórias y -x y 11111111 lI,lI que é homogénea. A sua solução é y 1111 11m quação de variáveis separáveis e integrando conduz a que é a família de circunferências de centros no eixo Oy e tangentes ao eixo Ox que se pode ver representada na Figura 1.2. y 1"" 11m família de elipses (Fig. 1.3). y 1--f--I--7 x x Fig. 1.2 IIq 1 1Problema 1.31Determinar as trajectórias ortogonais à família de parábolas x = ai. 1, ,,1111111111/ II II 1111111 11 (I • [uação las trajectórias ortogonais às seguintes famílias de curvas: Resolução Derivando ambos os membros da equação tem-se 1 -O, {/>O I ",2ayy l/I" ( IiIllÍl1dllCl II li I I I
  14. 14. 1.36 cosxchy =a I!lel 1.37 xi - 4ax2 =O AI (.r,y) =- au e N(x,y) =- au (27) õx õy 1.38 x = ae-/ I P t t nto a equação (25) é do tipo 1.39 y c axe" tllJ dx+-dy=O au (28) i), ay I () u integral é então Soluções 2 ? ll(x,y)=C (29) 1.32 2x + y- = C ? 2 vondo U (x,y) obtido por 1.33 X- + ny = C x Y 1.34 xy = C se k =2 e /-k = x2-k + C se k " 2 {/ (.r, y) = J M (t , y) dt + J N (Xo ,t) dt (30) Yo ou por x Y U(x,y)= J M(t,Yo}dt+ JN(x,t)dt (31) 1.36 senxsenhy = C Yo 2 1.37 x2+L=C 2 I, 111 r 11111,1 (011 liç o necessária e suficiente para que exista uma função U(x, y) tal que a 1.38 Y = Cex ndição (26) se verifique é que 1.39 i = -2x + In (I + x)2 + C íJM( ,y) aN(x,y) (32) oy ax ( , funçõ s M (x,y) e N(x,y) sejam contínuas num domínio simplesmente n xo.1.4 Equações diferenciais exactas. Factor integranteUma equação diferencial exacta é do tipo 1, ullhlIIl1 1.40 I,"v 11 que ti S iuint quaçã é diferencial exacta e calcular a sua solução geral. M (x,y)dx+ N(x,y)dy =O (25) se o primeiro membro de (25) for a diferencial de uma função U(x, y), isto é (/U M (. ,y)dr N(.r,y)rty (2 ) I , ,I II ( IIr/1I AI 0 I li N 1_ vI I di ul.un ,( ,I, (/Ir/Vddtl, 11t111 itlh
  15. 15. aM = 3x2 I IlIhh 1II11/! ay I I I 11 1/11 as seguintes equações diferenciais são exactas e calcular as suas solu-aN = 3x2ax I IDado que são iguais verifica-se que a equação é exacta. Então existe uma I 11 til 1 dy =0 v~função U(x, y) tal queau-=cosx+3x 2 y II (I I v)d.r+ydy --=0 ax ( I . .1)2eau-=x 3 -y 2 ,,,.:}m:(I-:;)dYO com y(0).2 ayTem-se então, admitindo um percurso de integração com y constante, I I ( I 1)"1 I (x+2y)dy=0que é equivalente a I hU(x,y) = senx+x3y+ f(y) 11 ,/1 IfN - (xdy - ydx)/(x2 + l)em que f (y) é calculado de modo a que / 1,1)1111-(1/ y_3x2 / / )dy=OEntão tem-se "I tlll tlll osxdx=3cos3ycos2xdyf(y)=--+C i 3e está encontrada a função U(x, y). 3U(x,y) = senx+x3y- L+c 3 I1A solução da equação diferencial é I 3 , /111 ,111- 3 I I Isenx+x y-L = C 3 111)
  16. 16. dl 111 dAI IiN N (1 M ily _ N íll n 1 _ M ri In ,LI (36) X~ ? C ti" d l cJx ()y I .11 + Xv + v~ = 1 2 . . tlIII tld I1IIt1I,.í( ( ) P lv I d t rminarfactores integrantes. Os casos mais simples 1i 11<111(1( -rn qu o f tor integrante é uma função só de x ou só de y. 1.47 x2 + l- 2 arctg (y / x) = C 111111 11 ItllllllltlO (J11 quação diferencial (25) é não exacta, se ,3 (37) . Y 1 1.4 --xy--+-sen2y = C 324 1111lima função só de x, sejaf(x), o factor integrante é I. O os2x sen3y = C I () -( , f /(x)dx (38) 1 2 2 y y I. 1 xy+4x y -12e +12ye =C 1111 1111110 laoo se tem que I .11. 1 tor integrante I (()M ON) (39) /11 ()y OX,I 11 (lJllde, (2) não for uma equação diferencial exacta é possível em certos casos I 11111,1 função só de y, seja g(y), então o factcr integrante é 11,111 f rmá-Ia numa equação exacta multiplicando-a por uma função particular.I)" 111 11111 ,LI (x,y) é um factor integrante da equação não exacta se multiplicando a I () -( Y - f f;( .. ))dv (40) qu c o por esta função It(.r,y)[ M (x,y)dx+N(x,y)dy] = O (33) 1111111111 O IljI"II111 ,I prim iramente que fL = ,u(x), então : = O e a equação (36) escreve-se I s reduz a uma equação diferencial exacta. Como as equações (25) e (33) são quivalentes então têm a mesma solução geral. I (fiM _(W)=dIIl/-!=f(x) (41) ( 1 quação (33) é exacta então N (I) õx dx "P Itlnl B -;-(I-LM) = a -(.uN) (34) ()y ax (42) ou " () Id( tOI ínt r nt função só de x iiM 1 ( --- BN) -N--M- a/-! aI-" (35) iJy ãs fi fly (38) 1111111111 I
  17. 17. (43) ( I 11);- 2 X -3 Y3) d x+ 3x -2 y 2d y= O integrando obtém-se a solução da equação dada o que é equivalente a -? -y 3 C ln u =- f g(y)dy (44) x Inx-x+x =o factor integrante neste caso é então dado pela função só de y Iwhlcma 1.53 (40) I I 01ver a equação diferencial cos xd.x + (y + senx) dy = O, • ResoluçãoProblema 1.52Resolver a equação diferencial (x4ln 2 x - 2xy3)dx+ 3x ldy = O, C Icu Ian d o - aM - -aN e diIVI Indo por M tem-se d" ay õx Resolução ~(aM _ aN) =_1_( -cosx) =-1 4 3 2 ? M ay õx cosx Neste caso M = x In x - 2xy e N = 3x y- Então I m-se neste caso a considerar Il; como função de y aM aN --- = -6xy 2 -6xy 2 ay õx Dividindo por N tem-se Após multiplicação da equação diferencial por este factor integrante a equa- f(x) =-~ çtlo screve-se x e o factor integrante é 4 J --dx I mt r ndo obtém-se a solução /-l(x)=e x ou Inx-4 /-l ()x = e 1111""11I111> I, ItI 11 IIS S iuint s equações diferenciais: que é equivalente a -4 1 () - ( I li ) 1 )1 rly - () Mlllilplll tllldo ,lInl)
  18. 18. I..(,, .1 • c" .om y. ()par;1 .r. () IJIII 11 11111011 I 111 I I I" POdllld II( ) , J( ) I qutli lU I íun do ,« 1111111111.1. IlIlIll I 1t11111 I, !I. I 1,11 lil () (.1) • O ,1 quaçc lrc nsf rm - numa equação diferencial de variáveis ,IJldl, v(i li/- quI.5X (y / x)dx+(i -In x)dY = O I" I 1(.).1 - O (46) d qu ão homogénea associada a (45). Note-se que esta equação não é1.60 (I - x tg x + seny) dx + cos y tg xdy = O lic 111 n a no sentido referido em 1.2. (equação (6)). No entanto é costume 11,,11 a m sma terminologia para designar a equação (46). A solução desta1.61 ( e 2.1 ) 1 - yx dx = -2,xdy ICJlI,IÇ que se designa por Yh é obtida por integração de til - -I (x)dx (47) I Soluções 1111 ,11111, 2 1.54 y+x = Cy 3 1111.11- - f P(x)dx (48) 1.55 Y3 -31nlxl=C x I Jl rt nto a solução da equação homogénea é 3x 2x 1.56 y=e -e (49) I" - -x/2 2 1.57 Y = Ce +x-2 IJ 1111111 () m todo da variação da constante é possível determinar a solução geral da 1 2 1.58 -lnlxl+L=C Iql1tlÇ o não homogénea. Considera-se que a solução geral tem a forma y 2 I.C ( x ) e-fp(rAx-r- (50) C+e-x 1.59y=ln Fx I I m-s 1.60 x cos x + senysenx = C li. "(x)e- f P(x)dx _ p(x)C(x)e- f P(x)dx (51) 1 2x 1.61 ln 1x 1 + - ye - = C 2 1111 1lIllillc1o n quação (45) obtém-se c (0 1)(- f IJ(x)dx _ p(x)C (x)e- f P(x)dx + p(x)C (x) e- f P(x)dx = Q(x) (52) 1.5 Equações diferenciais lineares I !l011,1 l Um equ ç o diferencial linear de primeira ordem em y é do tipo (o/ . ) ( .1 ) { f 1( ) d. (53) (1 )
  19. 19. (111 P 1IIIill lil lIltll (.) (" I) ul: 1IIIIIIIdn 1101 (qUtlc,t 1111 I Il m Fin 1m nte a solução da equação (45) é então (55) , 11111111111 () ~ Problema 1.62 R solver a equação diferencial xy = x3 - 2y. Inlll!,)O n tão Resolução A quação pode escrever-se como I IlIhl. 111111.(13 , 2 2 y+-y=x I. "I 11 -quação diferencial x(x+l)y+y=x(x+l)2senx. x e a equação homogénea associada é II luç o , 2 O Y +-y= ()/I ndo por escrever a equação na forma X ~; I Separando variáveis tem-se , f 1/ I (--) Y = (x + 1) senx .r x+ I / (C/LI o homogénea associada é 1 e integrando obtém-se I" I y=O .I(x+ I) Inlyl = -2Inlxl+ ln C I ~ p r ndo variáveis tem-se ti I c/x ou x( + I) -2 y" = Cx 11 c) nd obt m-se Procurando agora a solução geral na forma I" lu d ,. I tcmso. d riv ndo m ord m x I" H11111,101111
  20. 20. I 10 I ( I li I 11111 lilll1l" 1Ididll snrrc li UIVII ti corda li)p é igual a .1.1, onsid r - agora omo solução da equação dad 11 I, 111111111 I 1t111~! 0./(,1), x+1 "" li. 11uulnnr li sulução ) irul da equação yscn .r « ycosx = I para x E ]O,Jí[. y=C(x)- x s di ferenciais: e portanto I" I I ot - S n 2x Substituindo y e y na equação tem-se I ) , I +.I"Y=2x C (x) x + 1 = (x + 1)senx x I U 1 I - 4e ~ 111 11" __ Y_.I".1e.l" e portanto I !I 11os s guintes problemas: C(x)=xsenx I I iundo ti lei de Newton, a taxa de variação da temperatura de um cor- I" I tlllIll!Im .nrc proporcional à diferença entre a sua temperatura e a do meio donde se obtém para C (x) (s .ia 1111111111 k a constante de proporcionalidade). Se y = f(r) é a temperatura " I IlIlh -cida) do corpo no instante teM (t) designa a temperatura (conhecida) do C (x) = -x cos x + senx + C 1111IIIIIIIli 111.cscrever a equação diferencial que traduz a referida lei de Newton. I 11111 cio arrefece de 200°C a 120°C em meia hora num meio com tempe- obj Finalmente a solução é I 11IIslunlc de 60°C. 11111111 x+l ) x+l I) 11"iI temperatura do objecto ao fim de t minutos? y = C -- - (x + 1 cos x + -- senx x x 11) uul () tempo necessário para que o objecto atinja a temperatura T? I ) I ct .rminar o tempo ao fim do qual a temperatura do objecto é de 90°C. I ItllIlIll(.JO que a temperatura do meio ambiente embora a 60°C quando o ob- 1111Problemas I 111 11 00° diminui de JOC em cada 10 minutos, determinar a nova lei que1.64 Resolver as seguintes equações diferenciais tendo em conta as condições I 11111111111 ratura do objecto ao fim de t minutos.iniciais dadas: I 11 d -xint • ração do elemento rádio é tal que são necessários aproximadamen- x E ]-oo,+oo[ I 11.1111 lHOSpara que uma dada quantidade se reduza a metade. Determinar qual a) y- , 3y=e 2x , y=O para x=O e I I" 1 11 1 de uma dada quantidade de rádio que se desintegra em 100 anos, 5 x E ]O,+oo[ "" IId1 qu 11 lo ida le de desintegração do rádio é directamente proporcional V à b) xy-2y=x , y=l para x =1 e~ 1111111 1110instante considerado.~ dx c) -+x=e 21 , X =1 para t=O e tE ]-00, + oo[ dt x El-oo,+oor ,Olll.& d) y + xy = x3, y=O para x=O e 11111 li) (, a 1.65 rráflco duma fun ã .l x) passa por PO. (O, I) 1 (I, () , I 1111I lodoO ponto urhilrllio (ln lIIViI, p( I, y),lI .urvu stlÍ SilU11(11I 111111i 1(1dI pw d Ih/),
  21. 21. 2 2 1 5 y + p(x)y = Q(x)yP (56) b)y=-x+-x 3 3 2 -t 1 21 com P(x) e Q(x) contínuas num domínio D, e no caso de p " O é redutível a C) X = -e +-e 3 3 uma equação diferencial linear de primeira ordem por uma mudança de variável. Sendo p = O ou p = 1 a equação (56) é linear. _x2 d) y = 2e 2 + x2 - 2 ? 1 orema 1.65 Y = 5x - 6x- + 1 onsidere-se a equação (56). Ao efectuar a mudança de variável x+C 1.66 y=-- senx (57) 1.67 Y =- I( Ce ,.2 -- I) x2 2 a equação transforma-se numa equação diferencial linear de primeira ordem 2 2 C em v e x. 1.68 y=-sen x+-- 3 senx 1.69 y=2+C~ monstração nsidere-se a mudança de variável v = yl-p Obtém-se ? 2 r (58) 1.71 Y = Cx- + X e e ao multiplicar a equação (56) por (I - p) y- (J tem-se 1.72 y = -k(Y- M (t)) (59) 1.73 e é equivalente a a) T = 140e-kl + 60 b) T=~[lnI40-ln(T-60)] v + p (x)( 1- p) v = (1 - p) Q (x) (60) k que é uma equação linear de primeira ordem. Após obter a solução v desta C) 54,542 minutos quação e usando (57) tem-se a solução da equação (56) em y. In7 -ln3 o P >O y == O. • d) T = 140-- 1 ) e -kl +60--+- 1 t Nota: k =--- lli) ,1 d a equação (56) admite sempre como solução ( 10k 10 10k 30 1.74" 4,2% 1/c,hhIIIH 1.75 x I kl 1 minur 11 S ilu I O la IUH 130 Iif rCI1 ial y - 2yeX = 2JYe .1.5.1 Equ ç O d B rnoullili IqloIl .lO dillllll< 1011 cll·111 111<11111 I dI) Ilpo

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