MATEMÁTICAS FINANCIERAS
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1. Interés Compuesto Continuo
2. Monto Compuesto a Capitalización Continua
3. Equivalencia e...
Tulio A. Mateo Duval Interés Compuesto Continuo
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■ INTERÉS COMPUESTO CONTINUO
Ya es sabido que ...
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Como se demuestra usando el cálculo diferencial que (1 1 )v
v
lim v
...
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▶ Ejemplo 1
Si Oscar Balbuena depositó $32,000.00 al 9% anual capitali...
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Cesar Luzón vende un automóvil recibiendo un pago inicial ...
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▶ Ejemplo 6
¿Qué tasa anual capitalizada continuamente abonaba una cue...
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Igualmente si se procede con ambos miembros de la igualdad ( D ), elev...
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Aspectos Teóricos y Problemas Resueltos sobre el Interés Compuesto Continuo

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  • una persona deposita inicialmente 500 pesos en una cuenta de ahorrros que paga un interes 4 por ciento anual compuesto continuamente suponga que la persona dispone que se depositen automaticamente 10 pesos por semana ala cuenta de ahorros escriba una ecuacion diferencial para PT que es la cantidad en depositos despues de t años encuentre la cantidad en deposito despues de 5 años
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  1. 1. MATEMÁTICAS FINANCIERAS TEMA: 1. Interés Compuesto Continuo 2. Monto Compuesto a Capitalización Continua 3. Equivalencia entre Tasas de Interés Compuesto Discreto y Continuo 4. Equivalencia entre Tasa de Interés Simple y Tasa de Interés Compuesto Continuo 5. Resumen de Fórmulas Relativas al Interés Compuesto Continuo AUTOR: Tulio A. Mateo Duval Santo Domingo, D. N. Rep. Dom. INTERÉS COMPUESTO CONTINUO
  2. 2. Tulio A. Mateo Duval Interés Compuesto Continuo 1 1 MATEMÁTICAS FINANCIERAS ■ INTERÉS COMPUESTO CONTINUO Ya es sabido que para una tasa de interés nominal constante, si la frecuencia de capitalización aumenta, concomitantemente el monto compuesto resultante también aumenta. Cuando la frecuencia con la que el interés se capitaliza crece indefinidamente, se habla de que los intereses generan intereses en forma continua 1 , llamándosele interés compuesto continuo al que se calcula de ese modo. Al trabajar con esta modalidad de interés, el monto compuesto no tiende a ser infinitamente grande como a veces se piensa, sino que tiende a acercarse a un valor límite. Deducción de la Fórmula del Monto Compuesto a Capitalización Continua Consideremos como punto de partida la fórmula del monto compuesto: n iPS )1(  )(A Donde “S” es el monto compuesto o valor futuro de un capital inicial “P ”, “i ” es la tasa de interés por periodo de capitalización y “n “ es el número total de periodos de capitalización. Tomando en cuenta las fórmulas m j i  y .tmn  , se puede expresar la ecuación )(A de la siguiente forma: tm mjPS )1(  )(B Donde "" j es la tasa de interés compuesto anual, ""m la frecuencia de capitalización y ""t el tiempo o plazo (en años). Si hacemos j m v  , de donde: jvm  y sustituimos en )(B , se obtiene: tjv vPS )11(  )(C La ecuación )(C se puede expresar también como: tjv vPS ])11([  La capitalización continua se da cuando la frecuencia de capitalización ""m aumenta en forma indefinida; es decir, cuando ""m tiende a infinito )( m . Si ""m tiende a infinito, entonces ""v también tiende a infinito y, en ese escenario, el monto vendría dado por: tjv v tjv vv vmliPvPmliSmli ])11([])11([   De donde: tjv v vmliPS ])11([   1 Capitalización continua significa que el interés se capitaliza a cada instante.
  3. 3. Tulio A. Mateo Duval Interés Compuesto Continuo 2 1 Como se demuestra usando el cálculo diferencial que (1 1 )v v lim v    e, donde “e“ es la base de los logaritmos naturales, entonces se concluye en que: t e .j .PS c FÓRMULA MONTO COMPUESTO CONTINUO [1] Esta fórmula [1] permite obtener el monto compuesto de un capital ""P a una tasa compuesta anual "" j que se capitaliza continuamente2 durante ""t años. El interés compuesto generado a capitalización continua se obtiene mediante la fórmula: PSI  INTERÉS COMPUESTO CONTINUO [2] O bien directamente, con la fórmula que resulta al sustituir a ""S de la fórmula [1] en la fórmula [2]: c j . I P. P t e   1 t e .j PI c INTERÉS COMPUESTO CONTINUO [3] La determinación del capital (o valor actual), del tiempo y de una tasa nominal capitalizada continuamente se efectúa partiendo de la fórmula [1]: t e .j .PS c  Despejando se tiene: 1) Valor Actual t e e .j S t.j S P c c   . [4] 2) Tiempo   cj P SLn t  [5] 3) Tasa Anual de Interés Capitalizable Continuamente   t j P SLn c  [6] 2 Como la capitalización es continua, entonces el capital crece de manera exponencial.
  4. 4. Tulio A. Mateo Duval Interés Compuesto Continuo 3 1 ▶ Ejemplo 1 Si Oscar Balbuena depositó $32,000.00 al 9% anual capitalizable continuamente, determine el monto y el interés total ganado al cabo de 2½ años. SOLUCIÓN: P = $32,000.00 jc = 9% t = 2.5 años S = ? I = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtiene: 33.074,40$000,32 5.209.0   eS La determinación del interés total ganado se efectúa sustituyendo los valores conocidos de ""S y ""P en la fórmula [2]: 33.074,8$000,3233.074,40 I ▶ Ejemplo 2 Marcos Alegría le presta a un amigo $70,000.00 por 9 meses, cobrándole un 15% anual convertible bimestral. Al finalizar ese plazo, deposita el monto obtenido en una cuenta de ahorros que abona el 14.5% compuesto continuamente. Determine qué monto acumulará el Sr. Alegría al cabo de 24 meses. SOLUCIÓN: 1er. Tramo P = $70,000.00 j = 15% m = 6 i = 15/6= 2.5% bimestral t = 0.75 años bimestresn 5.4675.0  S = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula del monto compuesto n iPS )1(  , se obtiene: 78.226,78$)025.01(000,70 5.4 S 2do. Tramo P = $78,226.78 jc = 14.5% t = 24 – 9= 15 meses = 1.25 años S = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtiene: 60.771,93$78.226,78 25.1145.0   eS ▶ Ejemplo 3 ¿Qué cantidad habría que invertir ahora a una tasa del 26.5% compuesto continuamente, para disponer de $65,000.00 dentro de 6 meses? SOLUCIÓN: S = $78,226.78 jc = 26.5% t = 6 meses = 0.5 años P = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene: 69.933,56$000,65 5.0265.0   eP
  5. 5. Tulio A. Mateo Duval Interés Compuesto Continuo 4 1 ▶ Ejemplo 4 Cesar Luzón vende un automóvil recibiendo un pago inicial y un pagaré por $230,000.00 con intereses al 24% anual convertible trimestral y vencimiento en 18 meses. A los tres meses de realizar la transacción, el Sr. Luzón descuenta el pagaré en su banco en base a un 25% compuesto continuamente. Obtenga el valor líquido del pagaré. 0 j = 24% m = 4 i = 6% $230,000 3 t = 18 m. = 1.5 años t = 15 m. = 1.25 años 18 mesesjc = 25% P= Pd = ? S SOLUCIÓN: P = $230,000.00j = 24% m = 4 i = 24 / 4 = 6% trimestral t = 18 m. = 1.5 años n = 1.5  4 = 6 trimestres S = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula del monto compuesto n iPS )1(  , se obtiene el valor al vencimiento del pagaré: 40.259,326$)06.01(000,230 6 S Para la operación del descuento, tenemos: S = $326,259.40 jc = 25% t = 18 – 3 = 15 meses = 1.25 años Pd = ? Luego, mediante la fórmula [4] se obtiene el valor líquido del pagaré: 48.696,238$40.259,326 25.125.0   ePd ▶ Ejemplo 5 ¿En cuánto tiempo (meses) se saldó un préstamo de $90,000.00 con intereses al 27.5% compuesto continuamente, si se liquidó con un único pago de $105,660.00? SOLUCIÓN: P = $90,000.00 S = $105,660.00 jc = 27.5% anual = 0.275 / 12 meses t = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [3], se obtiene: meses meses nl t 7 )12275.0( )000,90660,105( 
  6. 6. Tulio A. Mateo Duval Interés Compuesto Continuo 5 1 ▶ Ejemplo 6 ¿Qué tasa anual capitalizada continuamente abonaba una cuenta de ahorros, si un depósito de $58,000.00 se capitalizó hasta alcanzar la suma de $71,720.48 en un plazo de 13 meses? SOLUCIÓN: P = $58,000.00 S = $71,720.48 t = 13 meses = 13 / 12 años jc = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [6], se obtiene: anual añoaños nl jc %6.19 196.0 )1213( )000,5848.720,71(  Equivalencia entre Tasas de Interés Compuesto Discreto y Continuo 3 Se dice que dos tasas anuales de interés compuesto, una capitalizada “m ” veces por año y la otra capitalizada continuamente, son equivalentes si, al invertir dos capitales iguales, se alcanzan montos compuestos iguales al cabo del mismo plazo. Si se invierte un capital ""P a un tiempo de ""t años y a una tasa anual de interés compuesto discreto "" j capitalizable ""m veces por año, el monto compuesto resultante ""S será: tm mjPS )1(  )(A De igual forma, si se invierte el mismo capital ""P a un tiempo de ""t años y a una tasa anual de interés compuesto continuo "" cj , el monto compuesto resultante "" cS se obtiene mediante la fórmula [1]: tj c c ePS  )(B Para tasas equivalentes resultarán iguales )(A y )(B : tm mjP )1(  = tjc eP )(C Si ambos miembros se dividen entre “P ” y se elevan a “1/ t “, se tiene: m mj )1(  = cj e )(D Despejando a "" cj se obtiene la fórmula que permite hallar una tasa anual de interés compuesto continuo, equivalente a una tasa anual de interés compuesto discreto "" j capitalizable ""m veces por año: ])([ mj1nLmjc  [7] 3 Tasa de interés discreta es aquella que se aplica cuando el periodo de capitalización es una variable discreta, es decir, cuando el periodo se mide en intervalos fijos de tiempo, tales como años, semestres, meses, días, etc. Cuando el periodo de capitalización es infinitamente pequeño se habla de una tasa de interés continuo.
  7. 7. Tulio A. Mateo Duval Interés Compuesto Continuo 6 1 Igualmente si se procede con ambos miembros de la igualdad ( D ), elevándolos a “1/m “, restándoles la unidad y luego multiplicándolos por ""m , se obtiene la fórmula con la cual se calcula una tasa anual de interés compuesto discreto "" j capitalizable ""m veces por año, equivalente a una tasa anual de interés compuesto continuo "" cj :         1 j mcemj [8] De la misma manera que las demás tasas de interés compuesto, la tasa nominal capitalizada continuamente "" cj también tiene su correspondiente tasa efectiva. Se le llama tasa efectiva "" ej a la tasa de interés capitalizada una vez por año que produce el mismo monto compuesto en un año que la tasa anual capitalizada continuamente "" cj . En consecuencia, para lograr una expresión para la tasa efectiva "" ej basta con hacer "1" m en la fórmula [8], obteniéndose: 1 cj j ee  [9] ▶ Ejemplo 7 ¿Qué tasa nominal capitalizable continuamente es equivalente a un 19% anual convertible trimestralmente? SOLUCIÓN: j = 19% m = 4 jc = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [7], se obtiene: %5625.18185625.0])419.01([4  nljc ▶ Ejemplo 8 ¿Qué tasa capitalizable mensualmente es equivalente a un 21% anual capitalizable continuamente? SOLUCIÓN: jc = 21% j = ? m = 12 Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [8], se obtiene: %1848.21211848.0]1[12 1221.0  ej ▶ Ejemplo 9 ¿Cuál es la tasa efectiva correspondiente a un 26% anual capitalizable continuamente? SOLUCIÓN: jc = 26% je = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [9], se obtiene: %693.2929693.0126.0  eje
  8. 8. Tulio A. Mateo Duval Interés Compuesto Continuo 7 1 Equivalencia entre Tasa de Interés Simple y Tasa de Interés Compuesto Continuo Se dice que una tasa de interés simple y una tasa de interés compuesto continuo son equivalentes si al invertir dos capitales iguales, uno de ellos a la tasa de interés simple y el otro a la tasa de interés compuesto continuo, alcanzan igual monto al cabo del mismo periodo de tiempo. Si se invierte un capital ""P a una tasa de interés simple anual "" si y por un tiempo de ""t años, el monto resultante "" sS se obtiene mediante la fórmula del monto simple: )1( tiPS ss  )(A Asimismo, si se invierte el mismo capital ""P a un tiempo de ""t años y a una tasa anual de interés compuesto continuo "" cj , el monto compuesto continuo "" cS alcanzado se obtiene mediante la fórmula del monto compuesto continuo: tj c c ePS  )(B Igualando )(A y )(B , se tiene: tj s c ePtiP  )1( )(C Dividiendo ambos miembros entre ""P y despejando a "" si , se obtiene la fórmula que permite hallar una tasa de interés simple anual, equivalente a una tasa de interés compuesto continuo conocida: t 1 t.j e si         c [10] Igualmente si en la igualdad )(C se dividen ambos miembros entre ""P y se despeja a "" cj , se obtiene la fórmula que permite hallar una tasa de interés compuesto continuo, equivalente a una tasa de interés simple conocida:   t t.1 s c i j Ln   [11] ▶ Ejemplo 10 ¿Qué tasa de interés simple anual es equivalente a un 28% anual capitalizable continuamente para un plazo de 2½ años? SOLUCIÓN: jc = 28% anual t = 2.5 años is = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [10], se obtiene: %55.404055.0 5.2 )1( 5.228.0     e is anual
  9. 9. Tulio A. Mateo Duval Interés Compuesto Continuo 8 1 ▶ Ejemplo 11 ¿Qué tasa de interés compuesto continuo es equivalente a una tasa de interés simple anual del 17.5% para un periodo de 9 meses? SOLUCIÓN: is = 17.5% t = 9 meses = 0.75 años jc = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se obtiene: %4431.16164431.0 75.0 )75.0175.01(    nl jc anual ▶ Ejemplo 12 ¿Qué resulta más ventajoso para una inversión a 3 años: colocar el capital al 22% simple anual o al 16.75% compuesto continuamente? SOLUCIÓN: Para realizar la comparación se deben tener las 2 tasas expresadas en la misma forma. Por tanto, se obtendrá una tasa compuesta continuamente que sea equivalente al 22% simple anual. is = 22% t = 3 años jc = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se obtiene: %8939.16168939.0 3 )322.01(    nl jc Como: %75.16%8939.16  RESPUESTA : Conviene invertir al 22% simple anual.
  10. 10. Tulio A. Mateo Duval Interés Compuesto Continuo 9 1

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