ANUALIDADES

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Aspectos Teóricos y Problemas Resueltos sobre Anualidades, Perpetuidades, Amortización y Fondos de Amortización de Deudas

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ANUALIDADES

  1. 1. MATEMÁTICAS FINANCIERAS TEMA: A N U A L I D A D E S ● CONTENIDO ● AUTOR: Santo Domingo, D. N. Rep. Dom. Tulio A. Mateo Duval
  2. 2. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 1 MATEMÁTICAS FINANCIERAS A N U A L I D A D E S CONTENIDO: 1. Definición 2. Elementos de una Anualidad 3. Clasificación de las Anualidades 4. Anualidad Vencida Simple 4.1 Monto de una Anualidad Vencida Simple 4.1.1 Cálculo de la Renta 4.1.2 Cálculo del Plazo o Duración 4.1.3 Cálculo de la Tasa de Interés 4.2 Valor Actual de las Anualidades Vencidas y Diferidas Simples 4.2.1 Cálculo de la Renta 4.2.2 Cálculo del Plazo o Duración 4.2.3 Cálculo de la Tasa de Interés 5. Anualidad Vencida General 5.1 Cálculo del Monto, Valor Actual, Renta, Plazo y Tasa de Interés de una Anualidad Vencida General 6. Anualidad Anticipada Simple 6.1 Monto de una Anualidad Anticipada Simple 6.1.1 Cálculo de la Renta 6.1.2 Cálculo del Plazo o Duración 6.1.3 Cálculo de la Tasa de Interés 6.2 Valor Actual de las Anualidades Anticipadas y Diferidas Simples 6.2.1 Cálculo de la Renta 6.2.2 Cálculo del Plazo o Duración 6.2.3 Cálculo de la Tasa de Interés 7. Anualidad Anticipada General 7.1 Cálculo del Monto, Valor Actual, Renta, Plazo y Tasa de Interés de una Anualidad Anticipada General 8. Anualidad Perpetua o Perpetuidad 8.1 Anualidad Perpetua Vencida 8.2 Anualidad Perpetua Anticipada 9. Amortización y Fondos de Amortización 9.1 Amortización de Deudas. Tabla de Amortización 9.1.1 Saldo Insoluto, Derechos Adquiridos por el Deudor y Saldo a Favor del Acreedor 9.2 Fondo de Amortización. Tabla de un Fondo de Amortización 9.2.1 Cálculo del Total Acumulado en un Fondo de Amortización y del Saldo Insoluto en Cualquier Fecha 10. Resumen de Fórmulas Relativas a las Anualidades
  3. 3. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 2 MATEMÁTICAS FINANCIERAS ■ A N U A L I D A D E S 1. DEFINICIÓN En las transacciones comerciales y financieras es común emplear, en vez de un pago único al término de un plazo, una anualidad o renta, esto es, un conjunto de abonos fijos a intervalos iguales de tiempo. Ejemplos de anualidades: pago de las cuotas mensuales de un préstamo hipotecario, los dividendos trimestrales sobre acciones preferidas, pagos bimestrales de la prima del seguro de un vehículo, los pagos mensuales de un contrato de alquiler de un apartamento, el cobro quincenal del sueldo, los abonos mensuales efectuados para pagar una nevera comprada a crédito, los depósitos semestrales realizados en un fondo de amortización para financiar la sustitución de una maquinaria, etc. Se denomina Anualidad o Renta a una serie de pagos o sumas de dinero, generalmente de igual cuantía, que vencen a intervalos iguales de tiempo. Aún cuando el vocablo anualidad sugiere que los pagos son anuales, no debemos entenderlo siempre así, pues la frecuencia de los pagos puede ser cualquier otra: semestral, trimestral, bimestral, mensual, etc. En resumen, por anualidad no asumiremos pagos anuales, sino pagos fijos que vencen a intervalos de tiempo iguales. 2. ELEMENTOS DE UNA ANUALIDAD Una anualidad queda completamente definida mediante sus cuatro (4) elementos, a saber: a) Renta o pago periódico de la anualidad (R): es el nombre que se da a la cuantía o valor de cada uno de los pagos periódicos de la anualidad. b) Periodo de los pagos o periodo de la anualidad : es el espacio de tiempo fijado entre el vencimiento de pagos o capitales sucesivos de la misma (año, semestre, bimestre, cuatrimestre, quincena, etc.). c) Plazo o duración de la anualidad : es el intervalo comprendido entre el inicio del primer periodo y la finalización del último, o sea, el número total de periodos o de pagos de la anualidad (n). d) Tasa de interés de la anualidad : es la tasa anual de interés compuesto que aplica a los abonos o depósitos de la anualidad, con capitalización periódica que puede coincidir o no con el periodo de los pagos. ▶ Ejemplo 1 Para financiar la sustitución quinquenal de una maquinaria, una empresa deposita $132,000.00 al término de cada año en un fondo que abona el 8.75% compuesto anual. Identifique los elementos y represente gráficamente la anualidad. SOLUCIÓN: a) Renta o pago periódico: R = $132,000.00 b) Periodo de los pagos = año c) Plazo o duración de la anualidad: n = 5 años d) j = 15% m = 1 0 R = $ 1 3 2 ,0 0 0 1 5 a ñ o s42 3 j = 8 . 7 5 % m = 1
  4. 4. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 3 3. CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES Bajo el título general de anualidades existe una gran variedad de ellas. Una anualidad puede tener o no sus fechas de inicio y término definidas, o pueden sus pagos efectuarse al inicio o al final de cada periodo. Asimismo, la frecuencia de sus abonos puede coincidir o no con la frecuencia de capitalización de los intereses, así como el primer pago puede realizarse en el primer periodo o algunos periodos después. Dependiendo de éstos y otros factores, para fines de estudio, las anualidades se clasifican de acuerdo con los siguientes criterios: CRITERIO TIPO DESCRIPCIÓN CIERTAS En éstas los pagos comienzan y terminan en fechas perfectamente determinadas. TIEMPO (se refiere a las fechas de inicio/término del plazo) CONTINGENTES En éstas la fecha de vencimiento del primer o del último pago, o de ambos, depende de algún suceso previsible, pero cuya fecha de realización no puede fijarse. VENCIDAS Las anualidades vencidas u ordinarias son aquellas en las que los pagos se efectúan al final de cada periodo. VENCIMIENTO DE LOS PAGOS (se refiere al momento en que se efectúan los pagos) ANTICIPADAS Las anualidades anticipadas son aquellas en las que los pagos se efectúan al inicio de cada periodo. SIMPLES En éstas el periodo de los pagos coincide con el periodo de capitalización de los intereses. CONCORDANCIA O NO DE PERIODOS (se refiere a la coincidencia o no del periodo de los pagos y del periodo de capitalización de los intereses) GENERALES En éstas el periodo de los pagos no coincide con el periodo de capitalización de los intereses. INMEDIATAS En éstas el primer pago se efectúa al inicio o al final del primer periodo de la anualidad (anticipada o vencida). INICIACIÓN DE LOS PAGOS (se refiere al momento en que se comienzan a realizar los pagos) DIFERIDAS Son aquellas en las que se estipula que el primer pago debe efectuarse después de transcurrido cierto número de periodos. Como los criterios de clasificación antes vistos no son mutuamente excluyentes, eligiendo una característica de cada criterio se pueden formar diferentes tipos de anualidades, resultando que, en las más usuales, predominan las modalidades: ciertas, simples, inmediatas (vencidas y anticipadas) y diferidas. Cabe mencionar además la anualidad perpetua o perpetuidad, una variante de las anualidades ciertas, la cual se caracteriza porque los pagos periódicos se efectúan por tiempo ilimitado. Abordaremos aquí el estudio de las anualidades ciertas, comenzando con las simples e inmediatas (vencidas y anticipadas) por ser las más empleadas en el sistema financiero. También se analizan las anualidades diferidas y las generales, tomando en cuenta, que en este último caso, “cualquier anualidad general se puede convertir en simple si se emplea la correspondiente tasa de interés equivalente”. Comencemos efectuando el cálculo del monto acumulado al final del plazo de una anualidad vencida simple. ▶ Ejemplo 2 ¿Qué cantidad se acumulará en 2 años si se depositan $20,000.00 al final de cada semestre en una cuenta de inversiones que abona un 10% anual capitalizable semestralmente? SOLUCIÓN: a) Renta o pago periódico: R = $20,000.00 b) Periodo de los pagos = semestre c) Plazo duración de la anualidad: n = 4 semestres d) i = 10/2 = 5% semestral e) S = ?
  5. 5. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 4 0 R = $20,000 1 4 sem32 i = 5% n = 3 n = 2 n = 1 S = ? Si nos ubicamos al final del plazo y efectuamos la sumatoria de los montos de cada uno de los pagos desde sus respectivos vencimientos, obtendremos a “S”: 50.202,86$)05.01(000,20)05.01(000,20)05.01(000,20000,20 321 S 1 4. ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE Una anualidad vencida simple es aquella cuyos pagos vencen al final de cada uno de los periodos que la componen, siempre y cuando éstos coincidan con los periodos de capitalización de los intereses. Ejemplo de este tipo de anualidad, además del caso visto en el Ejemplo 2, lo constituye el conjunto de 12 pagos mensuales por valor de $28,500.00 c/u, correspondientes al alquiler de un local comercial, si los mismos son depositados en una cuenta bancaria que paga intereses a razón del 8% anual convertible mensualmente. 4.1 MONTO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE El monto o valor futuro de una anualidad vencida simple "S" es el valor de dicha anualidad calculado en su fecha de terminación. Se obtiene al sumar los montos que acumulan cada uno de los pagos desde sus respectivos vencimientos hasta el final de la duración de la anualidad. 0 R 1 n2 3 i n-1n-2 S n = número de periodos i = tasa de interés por periodo R = renta o pago periódico S = m onto de la anualidad Para deducir una fórmula que permita obtener directamente el monto o valor futuro de una anualidad vencida simple "S" se ejecuta el mismo proceso seguido en el Ejemplo 2, pero trabajando con pagos “R” invertidos a la tasa de interés “i” por periodo de capitalización y por “n” periodos de capitalización: 121 )1()1()1(   n iRiRiRRS  (A) Multiplicando ambos miembros por )1( i se tiene: n iRiRiRiRiS )1()1()1()1()1( 321   (B) 1 Esta operación es la que se conoce como monto de una anualidad vencida simple.
  6. 6. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 5 Restando miembro a miembro las expresiones “B − A “, se obtiene: RiRiS n  )1(. Factorizando se tiene:  1)1(  n iRiS Despejando a “S” de la expresión anterior, se obtiene la fórmula que permite hallar el monto de una anualidad vencida simple:   i i RS n 1)1(   MONTO ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE [1] ▶ Ejemplo 3 Resolver el Ejemplo 2 empleando la fórmula [1] encontrada anteriormente. SOLUCIÓN: a) Renta o pago periódico: R = $20,000.00 b) Periodo de los pagos = semestre c) Plazo o duración de la anualidad: n = 4 semestres d) i = 10/2 = 5% semestral e) S = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtiene:   50.202,86$ 05.0 1)05.01( 000,20 4   S ▶ Ejemplo 4 Si una persona deposita $1,450.00 al final de cada trimestre en una cuenta bancaria que abona un 12% compuesto trimestralmente, ¿cuánto será el balance de la cuenta al cabo de 9 años? ¿Cuál es el interés total ganado? SOLUCIÓN: R = $1,450.00 j = 12% m = 4 i = 0.12/4 = 3% trimestral t = 9 años trimestresn 3649  S = ? a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtiene el balance de la cuenta al cabo de los 9 años:   12.750,91$ 03.0 1)03.01( 450,1 36   S b) Interés total ganado = S − Depósitos = 91,750.12 − 36 × 1,450 = $39,550.12 ▶ Ejemplo 5 Un señor decide ahorrar $15,000.00 al final de cada bimestre durante 5 años en una institución financiera que paga el 9% anual capitalizable bimestralmente. a) ¿Cuánto será su balance al final del plazo? b) Si al finalizar el plazo no se retira ni se deposita nada, ¿cuál será el balance de la cuenta 3 años después del último depósito? SOLUCIÓN: R = $15,000.00 j = 9% m = 6 i = 0.09/6 = 1.5% bimestral t = 5 años bimestresn 3065  S = ? a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtiene el balance al final del plazo:   22.080,563$ 015.0 1)015.01( 000,15 30   S
  7. 7. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 6 b) Como el balance anterior está disponible al término de los 5 años, luego el mismo se quedará capitalizando los intereses generados durante 18 periodos (3 años × 6 bim.) adicionales. Por tanto, el balance pedido se obtiene al calcular el monto compuesto de los $563,080.22 a la tasa de interés del 1.5% bimestral y al cabo de los 18 bimestres: 65.137,736$)015.01(22.080,563 18 S ▶ Ejemplo 6 Andrés Ramírez efectúa un depósito inicial de $6,000.00 en una cuenta de ahorros que abona el 1% mensual. Si acordó depositar $3,000.00 al final de cada mes durante 1½ años y $4,000.00 al final de cada mes durante los 2 años siguientes, ¿cuál sería el balance de la cuenta al término de los 3½ años? ¿cuánto se ganaría por concepto de intereses? 0 R=$3,000 1 2 18 i =1% S Depósito inicial = $6,000.00 i = tasa de interés por periodo = 1% S1 = monto anualidad con R=$3,000.00 R=$4,000 3 19 42 meses222120… … … … … … $6,000 S2 S1 n=42 n=24 S2 = monto anualidad con R=$4,000.00 S = monto total pedido a los 3½ años Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtienen los montos o valores futuros de las 2 anualidades:   24.844,58$ 01.0 1)01.01( 000,3 18 1   S   86.893,107$ 01.0 1)01.01( 000,4 24 2   S a) Usando la fórmula del monto compuesto, se capitalizan los valores del depósito inicial y del monto de la anualidad "S1", sumándosele al valor de "S2", a los fines de obtener el balance pedido "S" : 17.723,191$86.893,107)01.01(24.844,58)01.01(000,6 2442 S b) Interés total que se ganaría = S − Depósitos = 191,723.17 − 6,000 − 18 × 3,000 − 24 × 4,000 = $35,723.17 4.1.1 CÁLCULO DE LA RENTA En ocasiones se requiere obtener el valor de la renta o de los pagos (o depósitos) periódicos "R", partiendo de un monto o valor futuro específico de una anualidad vencida simple "S", de una duración "n" y una tasa de interés por periodo " i ". En tales casos, el cálculo de la renta se realiza con la expresión que resulta al despejar a "R" de la fórmula [1]: ]1)1[( .   n i iS R VALOR DE LA RENTA [2]
  8. 8. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 7 ▶ Ejemplo 7 ¿Cuánto deberá ahorrar una persona al final de cada semestre en una cuenta bancaria que paga el 8% anual capitalizable semestralmente para acumular la suma de $120,000.00 al cabo de 6 años? ¿Cuánto se gana por concepto de intereses? SOLUCIÓN: S = $120,000.00 j = 8% m = 2 i = 8/2 = 4% semestral t = 6 años n = 6  2 = 12 semestres R = ? I = ? a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [2], se obtiene: 26.986,7$ ]1)04.01[( 04.0000,120 12    R b) El interés total que se gana resulta al restar la suma acumulada "S" menos los depósitos efectuados "n.R" : RnSIt . [3] Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [3], se tiene: 88.164,24$26.986,712000,120 tI ▶ Ejemplo 8 Calcular cuánto se debería ahorrar al final de cada mes durante los próximos 7 años si se deseara acumular $300,000.00 efectuando depósitos en un fondo que paga el 15% compuesto mensualmente. SOLUCIÓN: S = $300,000.00 j = 15% m = 12 i = 15/12 = 1.25% mensual t = 7 años mesesn 84127  R = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [2], se obtiene: 03.039,2$ ]1)0125.01[( 0125.0000,300 84    R ▶ Ejemplo 9 Con un depósito inicial de $5,000.00 y 10 depósitos iguales a efectuarse al final de cada mes se desea llevar el balance de una cuenta bancaria que abona el 1.1% mensual a que alcance la suma de $19,766.27. ¿Cuál sería el valor de los depósitos para que al cabo de los 10 meses se tenga acumulado dicho monto? SOLUCIÓN: 0 R=? 1 2 i =1.1% S Depósito inicial = $5,000.00 i = tasa de interés por periodo = 1.1% 3 10 m eses… … … $5,000 S1 n= 10 S1 = m onto de la anualidad con R=? S = m onto total a acumular 4
  9. 9. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 8 Como vemos, la suma del monto compuesto del depósito inicial (hasta el final del plazo) más el monto de la anualidad deberá alcanzar la suma de $19,766.27. 27.766,19)011.01(000,5 1 10  S A partir de esta relación, se obtiene el valor del monto que se deberá acumular mediante los depósitos periódicos de la anualidad "S1" : 27.766,1904.578,5 1  S 04.578,527.766,191 S 23.188,14$1 S Conocido el monto de la anualidad "S1" y mediante la fórmula [2], se obtiene el valor de los depósitos: 00.350,1$ ]1)011.01[( 011.023.188,14 10    R 4.1.2 CÁLCULO DEL PLAZO O DURACIÓN Si se conoce el monto "S" de una anualidad vencida simple, la tasa de interés por periodo " i " y el valor de la renta "R" , puede calcularse el valor de "n" , o sea, el número total de periodos (o de pagos) de la anualidad, mediante la expresión que resulta al despejar a "n" de la fórmula [1]: )1(log 1log i i R S n          VALOR DE LA DURACIÓN [4] Dado que "n" representa el número total de periodos, por consiguiente si se quisiese el tiempo expresado en años2 se procedería a dividir el valor obtenido con la fórmula [4] entre la frecuencia de los pagos (o de capitalización de la tasa de interés) "m", o sea:   m n t años  [5] ▶ Ejemplo 10 Una persona deposita $900 al final de cada mes en una cuenta bancaria que abona el 12% anual capitalizable mensualmente con el fin de acumular la suma de $14,487.21. ¿Cuántos depósitos deberá hacer? SOLUCIÓN: S = $14,487.21 R = $900.00 j = 12% m = 12 i = 12/12 = 1% mensual ?n Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene: depósitosn 15 )01.01(log 101.0 900 21.487,14 log           2 Después que se tiene el tiempo expresado en años puede hacerse la conversión a cualquier otra unidad (meses, quincenas, semanas, etc.).
  10. 10. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 9 ▶ Ejemplo 11 Miguel Torres necesita reunir $33,585.00 y con ese propósito realiza depósitos quincenales vencidos de $500.00 c/u en un fondo que rinde el 9.024% anual convertible quincenalmente. Determine durante qué tiempo (años) deberá estar efectuando esos depósitos. SOLUCIÓN: S = $33,585.00 R = $500.00 j = 9.024% m = 24 i = 9.024/24 = 0.376% quincenal ?n ?t Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene: quincenasn 60 )00376.01(log 100376.0 500 585,33 log           Mediante la fórmula [5] se calcula el tiempo pedido ( en años):   añosañost años ½25.2 24 60  ▶ Ejemplo 12 Para acumular $22,000.00 un señor efectúa depósitos iguales de $2,500.00 al final de cada mes en una financiera que abona el 1.25% mensual. Determine cuántos depósitos será preciso hacer para acumular dicha suma y el valor de un depósito adicional en caso necesario. SOLUCIÓN: S = $22,000.00 R = $2,500.00 i = 1.25% mensual ?n Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene: depósitosn 40.8 )0125.01(log 10125.0 500,2 000,22 log           Consideraremos que para reunir los $22,000.00 se requieren 8 depósitos completos de $2,500.00 + un depósito adicional que vencerá al final del siguiente mes 3 . Veremos a continuación 2 maneras de obtener el valor del depósito adicional: 0 R=$2,500 1 9 mes2 3 i=1.25% 87 S x = depósito adicional La fecha focal se tomará a los 9 meses S1 = monto de la anualidad (n=8 dep.) S = monto a acumular = $22,000.00 A) Determinación del depósito adicional mediante una ecuación de valor X S1 n =1 FF 3 Se efectuará de esa manera a fin de garantizar que el valor de los depósitos nunca exceda la renta originalmente establecida.
  11. 11. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 10 Cálculo de "S1" :   22.897,20$ 0125.0 1)0125.01( 500,2 8 1   S Luego, a partir de una ecuación de valor con FF: a los 9 meses, se obtendrá el valor del depósito adicional: 00.000,22)0125.01(22.897,20 1  x 00.000,2244.158,21  x 44.158,2100.000,22 x 56.841$x RESP.: Se requieren 8 depósitos completos de $2,500.00 + un depósito adicional de $841.56 B) Cálculo del depósito adicional redondeando el valor de "n" obtenido al entero próximo mayor Como vimos anteriormente, sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene: depósitosn 40.8 )0125.01(log 10125.0 500,2 000,22 log           Como es de suponer, con un valor de "n = 9" resulta un monto acumulado que excede la suma propuesta: 44.658,23$ 0125.0 ]1)0125.01([ 500,2 9   S Finalmente, se determina el valor del exceso, obteniéndose el depósito adicional "x" al restarle dicho exceso a la cuantía del último (noveno) depósito: 44.658,1$000,2244.658,23 excesodelValor 56.841$44.658,1500,2"" xadicionalDepósito RESP.: Se requieren 8 depósitos completos de $2,500.00 + un depósito adicional de $841.56 ▶ Ejemplo 13 Milton Roque realiza depósitos iguales por valor de $1,350.00 al final de cada bimestre en una cuenta bancaria que abona el 21% compuesto bimestral con el fin de acumular la suma de $31,900.00. Determine cuántos depósitos será preciso efectuar para alcanzar dicho monto y el valor de un depósito adicional en caso necesario. SOLUCIÓN: S = $31,900.00 R = $1,350.00 j = 21% m = 6 i = 21/6 = 3.5% bimestral ?n Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene: depósitosn 52.17 )035.01(log 1035.0 350,1 900,31 log          
  12. 12. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 11 Con un valor de "n = 18" resulta un monto acumulado que excede la suma propuesta: 58.074,33$ 035.0 ]1)035.01([ 350,1 18   S Finalmente, se determina el valor del exceso, obteniéndose el depósito adicional "x" al restarle dicho exceso a la cuantía del último depósito: 58.174,1$900,3158.074,33 excesodelValor 42.175$58.174,1350,1"" xadicionalDepósito RESP.: Se requieren 17 depósitos completos de $1,350.00 + un depósito adicional de $175.42 4.1.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS En este acápite trataremos sobre el cálculo de la tasa de interés anual, siempre y cuando sean conocidos el monto "S", la duración "n" y el valor de la renta "R" de una anualidad vencida simple. Ante la imposibilidad de despejar a " i " de la fórmula [1], se procede a obtener su valor por tanteo o por tanteo e interpolación. Para desarrollar el proceso de tanteo, trabajaremos con dicha fórmula en el siguiente formato:   R S i i n   1)1( [6] Después de conseguir la tasa de interés por periodo " i " , se procede a multiplicar dicho valor por la frecuencia de capitalización de la tasa de interés "m" , a los fines de obtener la tasa de interés anual " j ", o sea: mij  [7] ▶ Ejemplo 14 Ramón Suero ha depositado $1,700.00 al final de cada mes en una cuenta de ahorros, acumulando la suma de $14,767.52 al cabo de 8 meses. ¿Qué tasa anual convertible mensualmente ha ganado? SOLUCIÓN: S = $14,767.52 R = $1,700.00 n = 8 meses i = ? m = 12 ?j Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [6], se tiene:   6868.8 700,1 52.767,141)1( 8   i i Veamos a continuación 2 maneras de obtener la tasa de interés pedida. A) Usando TANTEO e INTERPOLACIÓN TANTEO (%)""i RS / 1 8.2857 2 8.5830 2.3 8.6745 2.4 8.7052 a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [6] resulte igual o aproximadamente igual a 8.6868. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de capitalización, éste depende directamente de la tasa "i" asumida. c) Como se observa, el valor de 8.6868 se encuentra entre los valores 8.6745 y 8.7052 lo cual indica que el valor buscado de "i " estaría entre las tasas 2.3 y 2.4. Luego, mediante la interpolación se obtiene el valor buscado de "i":
  13. 13. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 12 INTERPOLACIÓN 2.3 8.6745 X 0.0123 0.1 i 8.6868 0.0307 2.4 8.7052 Estableciendo una proporción con las diferencias (suponiendo una variación lineal de los valores), se calcula el valor de “x” y, a partir de éste, se obtiene el valor de "i". Luego con la fórmula [7] se obtiene la tasa anual pedida. 04.0 0307.0 0123.01.0 0307.0 0123.0 1.0    x x %34.204.03.23.2  xi %08.281234.2 j –» Tasa anual convertible mensual pedida B) Usando TANTEO TANTEO (%)""i RS / 1 8.2857 2 8.5830 2.3 8.6745 2.4 8.7052 2.33 8.6837 2.34 8.6868 %34.2i %08.281234.2 j –» Tasa anual convertible mensual ▶ Ejemplo 15 Una persona efectuó depósitos trimestrales vencidos por $1,000.00 c/u en una cuenta bancaria. Si al cabo de 4½ años tiene en su cuenta la suma de $29,398.20, determine qué tasa anual compuesta trimestral le abonó el banco. SOLUCIÓN: S = $29,398.20 R = $1,000.00 n = 4.5 × 4=18 trimestres i = ? m = 4 ?j Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [6], se tiene:   3982.29 000,1 20.398,291)1( 18   i i Procederemos a obtener por tanteo la tasa de interés pedida: a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [6] resulte igual o aproximadamente igual a 8.6868. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de capitalización, éste depende directamente de la tasa "i" asumida. c) Como se observa, el valor de 8.6868 se encuentra entre los valores 8.6745 y 8.7052 lo cual indica que el valor buscado de "i " estaría entre las tasas 2.3 y 2.4. Probando valores entre 2.3 y 2.4, se encuentra el valor buscado de "i ", obteniéndose a continuación la tasa anual pedida "j " mediante la fórmula [7]:
  14. 14. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 13 TANTEO (%)""i RS / 1 19.6147 4 25.6454 5 28.1324 5.4 29.2055 5.5 29.4812 5.49 29.4535 5.48 29.4258 5.47 29.3982 %47.5i %88.21447.5 j –» Tasa anual compuesta trimestral 4.2 VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE El valor actual de una anualidad vencida simple "A" es el valor de dicha anualidad calculado en el momento presente, esto es, en su fecha inicial. Se obtiene al sumar los valores actuales de cada uno de los pagos desde sus respectivos vencimientos hasta el inicio del primer periodo de la anualidad. 0 R 1 n2 3 i n -1n -2 A n = núm ero de periodos i = tasa de interés por periodo R = renta o pago periódico A = valor actual de la anualidad Para deducir una fórmula que permita obtener directamente el valor actual de una anualidad vencida simple "A", nos ubicamos en la fecha inicial y allí efectuamos la sumatoria de los valores actuales de los "n" pagos de cuantía “R", los cuales se descapitalizan en base a la tasa de interés "i" por periodo de capitalización: n iRiRiRiRA   )1()1()1()1( 321  (A) Multiplicando ambos miembros por )1( i se tiene: 121 )1()1()1()1(   n iRiRiRRiA  (B) Restando miembro a miembro las expresiones “B − A “, se obtiene: n iRRiA   )1(. Factorizando se tiene:  n iRiA   )1(1. Despejando a “A” de la expresión anterior, se obtiene la fórmula que permite hallar el valor actual de una anualidad vencida simple:   i i RA n   )1(1 VALOR ACTUAL ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE [8] a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [6] resulte igual a 29.3982. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de capitalización, éste depende directamente de la tasa "i" asumida. c) Como se observa, el valor de 29.3982 se encuentra entre los valores 29.2055 y 29.4812 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 5.4 y 5.5. Probando valores entre 5.4 y 5.5, se encuentra el valor buscado de "i ", obteniéndose a continuación la tasa anual pedida "j " mediante la fórmula [7]: :
  15. 15. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 14 ▶ Ejemplo 16 ¿Cuál es el valor actual o el valor de una deuda al día de hoy, si la misma se debe saldar mediante pagos vencidos de $1,900.00 durante 1½ años, suponiendo una tasa de interés anual del 24% compuesto mensualmente? SOLUCIÓN: R = $1,900.00 n = 1.5 × 12=18 meses j = 24% m = 12 i = 24/12 = 2% mensual A = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [8], se tiene:   86.484,28$ 02.0 )02.01(1 900,1 18     A ▶ Ejemplo 17 Calcular el precio de contado de un artículo que puede adquirirse pagando $30,000.00 de inicial y $2,800.00 al final de cada mes durante 2 años, suponiendo una tasa de interés del 21% anual compuesto mensualmente. SOLUCIÓN: Inic.= $30,000.00 R = $2,800.00 n = 2 × 12=24 meses j = 21% m = 12 i = 21/12 = 1.75% mensual PC=? 0 R 1 24 m es2 3i V A A Inicial = $30,000.00 P C = Inicial + V A A R = renta = $2,800.00 VA A = valor actual de la anualidad P C Inicial PC = precio de contado . . . . . . 2 2 23 Para obtener el precio de contado "PC" se deben referir (o descapitalizar) todos los pagos a la fecha inicial. Esto es, al pago inicial (se queda igual debido a que vence allí) se le añaden las 24 mensualidades de $2,800.00 descapitalizadas (las cuales estamos identificando con "VAA"), resultando: VAAInicialPC  [9] Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [9], se tiene:   92.489,84$ 0175.0 )0175.01(1 800,2000,30 24     PC
  16. 16. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 15 ▶ Ejemplo 18 Un solar valorado en $850,000.00 se puede adquirir mediante un pago inicial y mensualidades vencidas por $13,346.67 durante 5 años. Si la tasa de interés aplicada es de 1% mensual, determine la cuantía del pago inicial. SOLUCIÓN: PC= $850,000.00 R = $13,346.67 n = 5 × 12 = 60 meses i = 1% mensual m =12 Inicial = ? Despejando de la fórmula [9] resulta la expresión con la cual se obtiene la cuantía del pago inicial: VAAPCInicial  [10] Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [10], se tiene:   94.999,249$ 01.0 )01.01(1 67.346,13000,850 60     Inicial ▶ Ejemplo 19 (anualidad diferida simple) El valor de una motocicleta se puede saldar mediante un pago inicial de $51,880.00 y 5 abonos mensuales de $14,211.10, venciendo el primero dentro de 4 meses. Determine el precio de contado de la motocicleta, suponiendo una tasa de interés del 24% anual convertible mensualmente. SOLUCIÓN: Inic.= $51,880.00 R = $14,211.10 n = 5 meses j = 24% m = 12 i = 24/12 = 2% mensual PC=? 0 R=$14,211.10 1 2 6 PC Pago inicial = $51,880.00 i = tasa de interés por periodo = 2% PC = precio de contado 3 Inic = $51,880 A3 A3 = valor actual anualidad vencida simple con duración igual a 5 periodos 4 5 7 8 mes n = 5 n = 3 i = 2% R = renta = $14,211.10 Para obtener el precio de contado "PC" se deben referir (o descapitalizar) todos los pagos a la fecha inicial. Esto es, al pago inicial (se queda igual debido a que vence allí) se le añaden las 5 mensualidades de $14,211.10 descapitalizadas. Ahora bien, como los 5 pagos inician en el mes #4, estamos ante una anualidad diferida 4 , la cual podemos analizar como una anualidad vencida cuyos inicio y final están definidos en el diagrama con los puntos azules. Viéndolo así, referimos las 5 mensualidades de $14,211.10 hasta el mes #3 mediante la fórmula [8], resultando "A3" y a continuación se descontará dicho valor a interés compuesto hasta la fecha "0" para proceder finalmente a sumárselo al pago inicial, obteniéndose así el precio de contado "PC" :   44.983,66$ 02.0 )02.01(1 10.211,14 5     3 A 99.999,114$)02.01(44.983,66880,51 3   PC 4 Una ANUALIDAD DIFERIDA es aquella en la que se estipula que el primer pago se efectúa después de transcurrido cierto número de periodos. Sus elementos (monto, valor actual, plazo, valor de la renta, etc.) se obtienen considerándola como una anualidad inmediata (vencida o anticipada), usándose para ello las fórmulas correspondientes a ésta.
  17. 17. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 16 4.2.1 CÁLCULO DE LA RENTA Esta vez de lo que se trata es de obtener el valor de la renta o de los pagos periódicos "R", partiendo de un valor actual específico de una anualidad vencida simple "A", de una duración "n" y de una tasa de interés por periodo " i ". En tales casos, el cálculo de la renta se realiza con la expresión que resulta al despejar a "R" de la fórmula [8]: ])1(1[ . n i iA R    VALOR DE LA RENTA [11] El uso de esta fórmula aplica para la obtención de la cuantía del pago periódico fijo (capital + interés) con el que se saldaría una deuda "A", así como para el cálculo del valor de la renta fija que se recibiría al realizar una inversión "A" durante un plazo determinado. ▶ Ejemplo 20 Una persona adquiere una computadora valorada en $29,800.00 y acuerda pagarla mediante 10 mensualidades vencidas e iguales. ¿Cuánto tendrá que pagar cada mes si le aplican una tasa de interés del 30% anual capitalizable mensualmente y se la entregan sin pago inicial? ¿Qué interés total envuelve dicho financiamiento? SOLUCIÓN: PC= A= $29,800.00 j = 30% m = 12 i = 30/12 = 2.5% mensual n = 10 meses R = ? a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se tiene: 91.404,3$ ])025.01(1[ 025.0800,29 10      R b) El interés total que envuelve el financiamiento se obtiene al restarle la deuda "A" al total pagado "n.R" : ARnIt  . 5 [12] Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [12], se tiene: 10.249,4$800,2991.404,310 tI ▶ Ejemplo 21 Si se invirtieran $180,000.00 en un fondo que abona el 12% compuesto trimestralmente con el fin de retirar sumas iguales al final de cada trimestre durante 6 años, determine la cuantía de los retiros. SOLUCIÓN: A = $180,000.00 j = 12% m = 4 i = 12/4 = 3% trimestral n = 24 trimestres R=? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se tiene: 53.628,10$ ])03.01(1[ 03.0000,180 24      R 5 Con esta fórmula también se obtiene el interés ganado al realizar una inversión cuya finalidad sea recibir una renta fija. En este caso, el interés total vendría dado por la diferencia del total que se proyecta recibir menos la suma invertida.
  18. 18. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 17 ▶ Ejemplo 22 Luis Lugo compra un apartamento valorado en $2,400,000.00, pagando un 60% del valor por concepto de inicial y financiando el resto para saldarlo mediante mensualidades vencidas en un plazo de 15 años. Si la tasa de interés aplicada es de un 18% anual convertible mensual, determine la cuantía del abono inicial y de la cuota fija mensual a pagar. SOLUCIÓN: PC = $2,400,000.00 Inicial = 60% PC j = 18% m = 12 i = 18/12 = 1.5% mensual t = 15 años n = 15 × 12 = 180 meses R=? a) Cuantía del abono inicial = 0.60 × 2,400,000 = $1,440,000.00 b) Valor a financiar = A = PC − Inicial = 2,400,000 − 1,440,000 = $960,000.00 Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se tiene: 04.460,15$ ])015.01(1[ 015.0000,960 180      R –» Valor de los pagos mensuales ▶ Ejemplo 23 Sobre la compra del apartamento planteada en el Ejemplo 22, determine: a) ¿Cuál es el balance de la deuda justamente después de efectuado el pago #72? b) ¿Cuánto se le ha abonado a la deuda hasta ese momento? c) ¿A cuánto ascenderían los pagos mensuales, si el balance de la deuda obtenido anteriormente se acordara saldar en un plazo de 4 años? SOLUCIÓN: a) Para obtener el balance de la deuda justamente después de efectuado el pago #72, basta con descontar (a esa fecha) todos los pagos que faltan por efectuar. Como en total eran 180 mensualidades y se han efectuado 72, entonces restan 108 pagos de $15,460.04, los cuales se descapitalizan mediante la fórmula [8], resultando:   69.232,824$ 015.0 )015.01(1 04.460,15 108     A –» Balance de la deuda justo después del pago #72 b) Aunque hasta ese momento se han efectuado 72 pagos por valor de $15,460.04 c/u, a la deuda sólo se le ha abonado una cantidad igual a la diferencia entre el valor del financiamiento menos el balance de deuda ya obtenido: 31.767,135$69.232,824000,960 abonadoValor c) Sustituyendo: A = $824,232.69 i = 1.5% mensual y n = 4 × 12 = 48 meses en la fórmula [11], se obtiene: 83.211,24$ ])015.01(1[ 015.069.232,824 48      R –» Valor de los nuevos pagos mensuales
  19. 19. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 18 ▶ Ejemplo 24 Sergio Lorenzo compra un auto nuevo valorado en $645,000.00 y le reciben uno usado por $225,000.00 como pago inicial, aceptando saldar la suma restante mediante el pago de 36 mensualidades con intereses al 30% anual convertible mensualmente. Determine la cuantía de la mensualidad, si: a) El primer pago se realiza dentro de un mes (anualidad vencida simple) b) El primer pago se realiza dentro de 3 meses (anualidad diferida simple) SOLUCIÓN: PC = $645,000.00 Inicial = $225,000.00 j = 30% m = 12 i = 30/12= 2.5% mensual n = 36 meses R=? Valor a financiar = A = PC − Inicial = 645,000 − 225,000 = $420,000.00 a) Como este caso corresponde a una anualidad vencida simple, la cuota fija mensual a pagar se obtiene directamente mediante la fórmula [11]: 66.829,17$ ])025.01(1[ 025.0000,420 36      R –» Valor de los pagos mensuales b) Como este caso corresponde a una anualidad diferida simple, procederemos a analizarla como una anualidad vencida cuyos inicio y final están definidos en el diagrama con los puntos azules. Viéndolo de ese modo, capitalizamos la deuda hasta el mes #2 (inicio de la anualidad vencida), resultando "A2" (valor de la deuda a los 2 meses): 0 R = ? 1 2 A = $420,000.00 Deuda inicial = $420,000.00 i = tasa de interés por periodo = 2.5 % 3 A2 A2 = valor actual anualidad vencida simple con duración igual a 36 periodos 4 5 38 mes n = 36n = 2 i = 2.5% j = 36% m = 12 R = renta = ? 50.262,441$)025.01(000,420 2 2 A Finalmente, el valor de la mensualidad "R" de la anualidad vencida simple de 36 meses (que se inicia en el mes #2 y termina en el mes #38) se obtiene mediante la fórmula [11]: 29.732,18$ ])025.01(1[ 025.050.262,441 36      R –» Valor de los pagos mensuales
  20. 20. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 19 4.2.2 CÁLCULO DEL PLAZO O DURACIÓN Si se conoce el valor actual "A" de una anualidad vencida simple, la tasa de interés por periodo " i " y el valor de la renta "R" , puede calcularse el valor de "n" , o sea, el número total de periodos (o de pagos) de la anualidad, mediante la expresión que resulta al despejar a "n" de la fórmula [8]: )1(log 1log i i R A n          VALOR DE LA DURACIÓN [13] Dado que "n" representa el número total de periodos, por consiguiente si se quisiese el tiempo expresado en años 6 se procedería a dividir el valor obtenido entre la frecuencia de los pagos (o de capitalización de la tasa de interés) "m", o sea mediante la fórmula [5]:   m n t años  ▶ Ejemplo 25 ¿Cuántos pagos trimestrales vencidos de $700.00 deberán efectuarse para cancelar una deuda de $7,402.74, si la misma se contrajo con intereses a razón del 2% trimestral? SOLUCIÓN: A = $7,402.74 R=$700.00 i = 2% trimestral m = 4 n = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [13], se tiene: pagosn 12 )02.01(log 02.0 700 74.402,7 1log           ▶ Ejemplo 26 Una deuda por $43,315.00 contraída hoy se va a liquidar mediante pagos iguales de $3,100.00 a efectuarse al final de cada quincena. Si la tasa de interés aplicada es de un 12% anual capitalizable quincenalmente, determine el número de pagos completos y el valor de un pago complementario (en caso necesario) requeridos para saldar la deuda. SOLUCIÓN: A = $43,315.00 R=$3,100.00 j = 12% m = 24 i = 12/24 = 0.5% quincenal n = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [13], se tiene: pagosn 52.14 )005.01(log 005.0 100,3 315,43 1log           Consideraremos que para saldar los $43,315.00 se requieren 14 pagos completos de $3,100.00 + un pago complementario adicional que vencerá al final de la siguiente quincena 7 . 6 Después que se tiene el tiempo expresado en años puede hacerse la conversión a cualquier otra unidad (meses, quincenas, semanas, etc.). 7 Se efectuará de esa manera a fin de garantizar que el valor de los pagos nunca exceda la renta originalmente establecida.
  21. 21. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 20 Veremos a continuación 2 maneras de obtener el pago complementario: 0 R=$3,100 1 152 3 i = 0.5% 14 A x = pago complementario La fecha focal se tomará en la fecha “0” A1 = valor actual anualidad (n=14 pagos) A = deuda a saldar = $43,315.00 A) Determinación del pago complementario mediante una ecuación de valor X A1 n = 15 FF quinc Calculamos el valor de "A1" descapitalizando los 14 pagos de $3,100.00 hasta la fecha "0” :   99.814,41$ 005.0 )005.01(1 100,3 14 1     A Luego, se plantea la igualdad entre la deuda "A" y los 15 pagos mediante una ecuación de valor con FF en la fecha "0”. A partir de ésta se obtiene el valor del pago complementario: 00.315,43)005.01(99.814,41 15   x 00.315,43927917.099.814,41  x 99.814,4100.315,43927917.0 x 01.500,1927917.0 x 927917.001.500,1x 53.616,1$x RESP.: Se requieren 14 pagos completos de $3,100.00 + un pago complementario de $1,616.53 B) Cálculo del pago complementario redondeando el valor "n" obtenido al entero próximo menor Como vimos anteriormente, sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [13], se obtiene: pagosn 52.14 )005.01(log 005.0 100,3 315,43 1log           Como es de suponer, con un valor "n = 14" resulta un valor actual "A1" que no compensa la deuda contraída:   99.814,41$ 005.0 )005.01(1 100,3 14 1     A
  22. 22. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 21 Siendo así, se genera un valor faltante que se obtiene de la diferencia de " A − A1": 01.500,1$99.814,41315,43 faltanteValor Finalmente, la cuantía del pago complementario se obtiene al capitalizar el valor faltante desde la fecha "0” hasta la fecha de vencimiento de éste ("n = 15"): 53.616,1$)005.01(01.500,1"" 15 xariocomplementPago RESP.: Se requieren 14 pagos completos de $3,100.00 + un pago complementario de $1,616.53 ▶ Ejemplo 27 Pilar Moreno invierte $158,000.00 en una cuenta de inversiones que abona el 9% compuesto semestralmente con el fin de efectuar retiros iguales de $9,000.00 al final de cada semestre. Determine cuántos retiros completos podrá hacer y, si es preciso, el valor de un retiro adicional. SOLUCIÓN: A = $158,000.00 R=$9,000.00 j = 9% m = 2 i = 9/2 = 4.5% semestral n = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [13], se tiene: retirosn 46.35 )045.01(log 045.0 000,9 000,158 1log           Consideraremos que podrá efectuar 35 retiros completos de $9,000.00 + un retiro adicional al final del siguiente semestre. Como es de suponer, con un valor "n = 35" resulta un valor actual "A1" menor que la inversión efectuada:   11.149,157$ 045.0 )045.01(1 000,9 35 1     A Siendo así, se genera un valor faltante que se obtiene de la diferencia de " A − A1": 89.850$11.149,157000,158 faltanteValor Finalmente, la cuantía del retiro adicional se obtiene al capitalizar el valor faltante desde la fecha "0” hasta la fecha de vencimiento de éste ("n = 36"): 11.150,4$)045.01(89.850""Re 36 xariocomplementtiro RESP.: Podrá efectuar 35 retiros completos de $9000.00 + un retiro adicional de $4,150.11
  23. 23. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 22 4.2.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Examinaremos a continuación el proceso de cálculo de la tasa de interés anual, siempre y cuando sean conocidos el valor actual "A", la duración "n" y el valor de la renta "R" de una anualidad vencida simple. Ante la imposibilidad de despejar a " i " de la fórmula [8], se procede a obtener su valor por tanteo o por tanteo e interpolación. Para llevar a cabo el tanteo, trabajaremos con dicha fórmula en el siguiente formato:   R A i i n    )1(1 [14] Después de conseguir la tasa de interés por periodo " i “, se procede a multiplicar dicho valor por la frecuencia de capitalización de la tasa de interés "m" a fin de obtener la tasa de interés anual " j ", o sea, mediante la fórmula [7]: mij  ▶ Ejemplo 28 Para saldar una deuda de $24,630.00 contraída hoy, se deberán efectuar pagos iguales de $1,873.80 al final de cada trimestre durante 5 años. Determine con qué tasa anual convertible trimestralmente se estaría cargando la operación. SOLUCIÓN: A = $24,630.00 R = $1,873.80 n = 5 × 4 = 20 trimestres i = ? m = 4 ?j Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [14], se tiene:   1444.13 80.873,1 630,24)1(1 20    i i Veamos a continuación 2 maneras de obtener la tasa de interés pedida. a) Usando TANTEO e INTERPOLACIÓN TANTEO (%)""i RA/ 1 18.0456 4 13.5903 4.3 13.2363 4.4 13.1214 INTERPOLACIÓN 4.3 13.2363 X 0.0919 0.1 i 13.1444 0.1149 4.4 13.1214 a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [14] resulte igual o aproximadamente igual a 13.1444. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de descapitalización, éste depende inversamente de la tasa "i" asumida. c) Como se observa, el valor de 13.1444 se encuentra entre los valores 13.2363 y 13.1214 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 4.3 y 4.4. Luego, mediante la interpolación se obtiene el valor buscado de "i":
  24. 24. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 23 Estableciendo una proporción con las diferencias (suponiendo una variación lineal de los valores), se calcula el valor de “x” y, a partir de éste, se obtiene el valor de "i". Luego con la fórmula [7] se obtiene la tasa anual pedida. 08.0 1149.0 0919.01.0 1149.0 0919.0 1.0    x x %38.408.03.23.4  xi %52.17438.4 j –» Tasa anual convertible trimestral pedida b) Usando TANTEO TANTEO (%)""i RA/ 1 18.0456 4 13.5903 4.3 13.2363 4.4 13.1214 4.39 13.1328 4.38 13.1443 %38.4i %52.17438.4 j –» Tasa anual convertible trimestral ▶ Ejemplo 29 ¿Qué tasa anual convertible bimestralmente se le cobró a un crédito de $50,000.00 si el mismo fue saldado mediante 18 pagos bimestrales vencidos de $3,672.42? SOLUCIÓN: A = $50,000.00 R = $3,672.42 n = 18 bimestres i = ? m = 6 ?j Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [14], se tiene:   6150.13 42.672,3 000,50)1(1 18    i i Procederemos a obtener por tanteo la tasa de interés pedida: TANTEO (%)""i RA/ 1 16.3983 2 14.9920 3 13.7535 3.1 13.6380 3.2 13.5238 3.11 13.6265 3.12 13.6150 %47.5i %12.3i %72.18612.3 j –» Tasa anual convertible bimestral a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [14] resulte igual o aproximadamente igual a 13.1444. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de descapitalización, éste depende inversamente de la tasa "i" asumida. c) Como se observa, el valor de 13.1444 se encuentra entre los valores 13.2363 y 13.1214 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 4.3 y 4.4. Probando valores entre 4.3 y 4.4, se encuentra el valor buscado de "i ", obteniéndose a continuación la tasa anual pedida "j " mediante la fórmula [7]: a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [14] resulte igual o aproximadamente igual a 13.6150. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de descapitalización, éste depende inversamente de la tasa "i" asumida. c) Como se observa, el valor de 13.6150 se encuentra entre los valores 13.6380 y 13.5238 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 3.1 y 3.2. Probando valores entre 3.1 y 3.2, se encuentra el valor buscado de "i ", obteniéndose a continuación la tasa anual pedida "j " mediante la fórmula [7]:
  25. 25. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 24 ▶ Ejemplo 30 (Elección entre varias opciones de pago) Lucía Sánchez resultó ganadora en el sorteo de una lavadora nueva y como no piensa usarla decide venderla, recibiendo las siguientes ofertas: a) 12 mensualidades vencidas de $2,100.00 + una mensualidad adicional (#13) de $1,900.00 b) 18 mensualidades vencidas de $1,525.00 ¿Cuál oferta le conviene más, considerando una tasa de interés del 14.4% anual convertible mensualmente? SOLUCIÓN: Las 2 opciones de pago no podrían compararse tal como están expresadas, pues los valores envueltos vencen en fechas diferentes. Para poder realizar la comparación se referirán los pagos a la fecha inicial (ya que en ésta es que se debe tomar la decisión) para obtener los Valores de Contado Equivalentes (VCE) correspondiente a cada opción, procediéndose luego a seleccionar la que arroje el mayor importe a recibir. 1) OPCIÓN “a” 0 R =$2,1 00 1 13 m es2 3 i = 1.2% 12 VC E a R = $2,100.00 V C E : valor de contado equivalente A1 = v alor actual anualidad (n=12 pagos) i = 14.4 / 12 = 1.2% $ 1,900 A1 n = 13   78.966,24$)012.01(900,1 012.0 )012.01(1 100,2 13 12      aVCE A1 2) OPCIÓN “b” 0 R=$1,525 1 18 mes2 3 i = 1.2% VCEb R = $1,525.00 VCE : valor de contado equivalentei = 14.4 / 12 = 1.2%   07.556,24$ 012.0 )012.01(1 525,1 18     b VCE RESPUESTA : Al comparar los valores VCEa y VCEb, se concluye en que se debería elegir la OPCIÓN “a” porque arroja el mayor importe a recibir.
  26. 26. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 25 ▶ Ejemplo 31 (Elección entre varias opciones de pago) Una persona que se dispone a comprar un equipo de música valorado en $38,000.00, puede elegir entre 3 planes de pago. Diga cuál le conviene más si la tasa de interés del mercado es de un 30% anual capitalizable mensualmente: a) De contado con un 6% de descuento b) Un pago inicial del 25% del valor y 10 mensualidades vencidas de $2,950.00 c) Un pago inicial de $13,000.00 y 6 mensualidades de $4,495.00 iniciando a los 4 meses de efectuado el pago inicial. SOLUCIÓN: Las 3 opciones de pago no podrían compararse tal como están expresadas, pues los valores envueltos vencen en fechas diferentes. Se obtiene el Valor de Contado (VC) o Valor de Contado Equivalente (VCE) correspondiente a cada opción, procediéndose luego a seleccionar la que arroje la menor erogación. 1) OPCIÓN “a” 0 meses j =30% m=12 VCa $35,720 VCa = $38,000 (1 − 0.06) = $35,720.00 –» Este sería el valor a pagar de contado. 2) OPCIÓN “b” 0 R=$2,950 1 10 meses2 3 VCEb Inicial = 0.25×38,000=$9,500.00 R = renta = $2,950.00 A1 = valor actual de la anualidad A1 Inicial VCE = valor de contado equivalente . . . . . . i = 2.5%   59.318,35$ 025.0 )025.01(1 950,2500,9 10     b VCE A1
  27. 27. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 26 3) OPCIÓN “c” 0 R=$4,495 1 9 meses2 4 VCEc Inicial = $13,000.00 R = renta = $4,495.00 A1 = valor actual de la anualidad A1 Inicial VCE = valor de contado equivalente . . . . . . i = 2.5%53 6 n = 3 21.991,35$)025.01( 025.0 ])025.01(1[ 495,4000,13 3 6      cVCE A1 RESPUESTA : Al comparar los valores VCa, VCEb y VCEc, se concluye en que se debería elegir la OPCIÓN “b” por involucrar la erogación de menor cuantía. ▶ Ejemplo 32 (Ecuaciones de valores equivalentes) Una deuda de $101,000.00 contraída hoy se debe pagar mediante un abono de $30,000 dentro de 4 meses, 15 abonos mensuales de $7,250.00 iniciando a los 7 meses y un último pago a los 24 meses. ¿Cuál es la cuantía del pago final, si la tasa de interés cargada a la operación es de un 3.14% mensual? SOLUCIÓN: 0 R=$7,250 1 24 meses S1 $101,000 . . . . . . i = 3.14% 6 21 n = 3 2 3 4 5 7 8 9 X$30,000 FF n = 20 n = 24 n = 15 pagos Como vemos en el diagrama temporal, la deuda la hemos indicado con una flecha hacia arriba y los pagos con flechas hacia abajo. Para plantear la igualdad de los dos conjuntos de capitales, se obtiene el monto o el valor actual de la anualidad diferida, es decir, debemos trabajar con una sola suma que la represente (en este caso usaremos el monto "S1"). Colocando la fecha focal al final, la ecuación de valor resultante será: X   3 15 2024 )0314.01( 0314.0 ]1)0314.01[( 250,7)0314.01(000,30)0314.01(000,101 S1
  28. 28. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 27 X 92.955,20251.115,212 X 92.955,20251.115,212 59.159,9$X –» Valor del pago final ▶ Ejemplo 33 (Ecuaciones de valores equivalentes) Víctor Ruiz efectuó los siguientes depósitos: $3,800.00 al momento de la apertura de una cuenta bancaria y $700.00 mensuales en los próximos 10 meses. Luego realiza los siguientes retiros: $1,000.00 al cabo de 12 meses y 6 mensualidades de $500.00 iniciando a los 14 meses de la apertura de la cuenta. Si a continuación la cuenta no registra ni depósitos ni retiros, determine su balance a los 26 meses, si la misma abona una tasa del 12% compuesto mensual. SOLUCIÓN: 0 R=$500 1 26 meses S2 $3,800 . . . . . . i = 1% 10 19 n = 7 2 11 12 13 X FF n = 14 n = 26 n = 6 retiros 14 15 $1,000 R=$700 S1 n = 10 depósitos . . . . . . n = 16 Como vemos en el diagrama temporal, los depósitos se han indicado con flechas hacia arriba y los retiros con flechas hacia abajo (el balance pedido es lo que tiene la cuenta disponible para retirar a los 26 meses). Para plantear la igualdad de los dos conjuntos de capitales, se obtiene el monto o el valor actual de las anualidades, es decir, debemos trabajar con una sola suma que represente cada anualidad (en este caso usaremos el monto, por tanto tendremos a "S1" y "S2" ). Colocando la fecha focal al final, la ecuación de valor resultante será: X     7 6 26 )01.01( 01.0 ]1)01.01[( 500)01.01(000,1)01.01( 01.0 ]1)01.01[( 700)01.01(800,3 1416 10 S1 S2 X 37.447,441.509,13 X 37.447,441.509,13 04.062,9$X –» Balance de la cuenta a los 26 meses
  29. 29. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 28 5. ANUALIDAD VENCIDA GENERAL Una anualidad vencida general es aquella cuyos pagos vencen al final de cada uno de los periodos que la componen, siendo éstos diferentes de los periodos de capitalización de los intereses. Ejemplo de este tipo de anualidad lo constituye el conjunto de 10 depósitos iguales de $11,200.00 c/u a efectuarse al final de cada trimestre en una cuenta de ahorros que abona el 10% de interés anual convertible mensualmente. 5.1 CÁLCULO DEL MONTO, VALOR ACTUAL, RENTA, PLAZO Y TASA DE INTERÉS DE UNA ANUALIDAD VENCIDA GENERAL La forma más sencilla de trabajar con una anualidad vencida general es transformarla en una vencida simple, y luego utilizar las fórmulas ya conocidas de ésta para determinar los valores deseados. Una manera de realizar dicha modificación consiste en utilizar la tasa de interés "" 1j capitalizable "" 1m veces por año, equivalente a la tasa de interés anual conocida "" 2j capitalizable "" 2m veces por año 8 :                    11 1 2 2 2 11 m m m j mj TASA DE INTERÉS EQUIVALENTE [15] Si la tasa equivalente deseada fuese una tasa efectiva (ésta se identificaría con "" ej 9 y "" 1m sería igual a 1), entonces se podría trabajar con la expresión simplificada de la fórmula anterior que resulta al sustituir a "" 1m por 1: 11 2 2 2          m e m j j TASA DE INTERÉS EFECTIVA [16] ▶ Ejemplo 34 ¿Cuál es el monto y el valor actual de un conjunto de 20 pagos bimestrales vencidos de $3,000.00 si la tasa de interés aplicada es de un 20.5% anual compuesto trimestralmente? SOLUCIÓN: R = $3,000.00 n = 20 bimestres j = 20.5% m = 4 (trimestral) S = ? A = ? Como estamos ante una anualidad vencida general, primeramente debemos obtener una tasa de interés compuesta bimestralmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una vencida simple: j2 = 20.5% j1 = ? m2 = 4 m1 = 6 Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene: %3288.20203288.0 4 205.0 6 11 )64( 1                j O sea, emplearemos: j = 20.3288% m = 6 i = 20.3288 / 6 = 3.3881% bimestral 8 Si siempre se identifica con “ j2” la tasa de interés compuesto conocida, entonces invariablemente se podrá obtener la tasa de interés equivalente con la fórmula de “ j1 ” , o sea, con la fórmula [15]. 9 Al hallar una tasa “ j1” con una frecuencia m1 =1, es decir, una tasa efectiva, se cambia el subíndice “ 1” por “ e” y se representa con “ je”.
  30. 30. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 29 a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [1], se obtiene el valor del monto de la anualidad: 22.870,83$ 033881.0 1)033881.01( 000,3 20       S b) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [8], se obtiene el valor actual de la anualidad: 17.072,43$ 033881.0 )033881.01(1 000,3 20         A ▶ Ejemplo 35 Para la compra de un automóvil usado valorado en $350,000.00 se paga un inicial del 40% y el resto con 36 mensualidades vencidas. ¿A cuánto asciende cada mensualidad si se carga un 27.85% de interés anual convertible semanalmente? ¿A cuánto ascienden los intereses? SOLUCIÓN: PC = $350,000.00 Inicial = 0.40 PC = $140,000.00 Valor de la deuda = A = PC – Inicial =$210,000.00 n= 36 meses j = 27.85% m = 52 (semanal) R = ? I = ? Como estamos ante una anualidad vencida general, primeramente debemos obtener una tasa de interés compuesta mensualmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una vencida simple: j2 = 27.85% j1 = ? m2 = 52 m1 = 12 Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene: %0996.28280996.0 52 2785.0 12 11 )12/52( 1                j O sea, emplearemos: j = 28.0996% m = 12 i = 28.0996 / 12 = 2.3416% mensual a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [11], se obtiene el valor de la renta "R" : 61.697,8$ ])023416.01(1[ 023416.0000,210 36      R b) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [12], obtenemos la cuantía de los intereses: 96.113,103$000,21061.697,836 tI
  31. 31. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 30 ▶ Ejemplo 36 Una repostería dispone de las siguientes opciones para vender unos equipos usados: a) Un cliente le ofrece $110,000.00 de contado y 8 mensualidades de $40,500.00 cada una. b) Otro le ofrece $90,000.00 de contado y 15 pagos quincenales de $22,800.00 cada uno. Determine cuál le conviene más si el rendimiento promedio del dinero es del 23% compuesto semestralmente. SOLUCIÓN: Las 2 opciones de pago no podrían compararse tal como están expresadas, pues los valores envueltos vencen en fechas diferentes. Para poder realizar la comparación se referirán los pagos a la fecha inicial (ya que en ésta es que se debe tomar la decisión) para obtener los Valores de Contado Equivalentes (VCE) correspondiente a cada opción, procediéndose luego a seleccionar la que arroje el mayor importe a recibir. Como cada opción envuelve una anualidad vencida general, primeramente debemos obtener una tasa de interés que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una vencida simple: a) OPCIÓN “a” Inicial = $110,000.00 R = $40,500.00 n = 8 meses j = 23% m = 2 (semestral) VCEa= ? Tasa equivalente: j2 = 23% j1 = ? m2 = 2 m1 = 12 Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene: %9696.21219696.0 2 23.0 12 11 )12/2( 1                j O sea, emplearemos: j = 21.9696% m = 12 i = 21.9696 / 12 = 1.8308% mensual Descontando las 8 mensualidades hasta la fecha inicial ( usando la fórmula [8] ) y sumándoselas al pago inicial, obtenemos el Valor de Contado Equivalente de la Opción “a” (VCEa) : 38.857,408$ 018308.0 ])018308.01(1[ 500,40000,110 8     aVCE b) OPCIÓN “b” Inicial = $90,000.00 R= $22,800.00 n = 15 quincenas j = 23% m = 2 (semestral) VCEb= ? Tasa equivalente: j2 = 23% j1 = ? m2 = 2 m1 = 24 Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene: %8699.21218699.0 2 23.0 24 11 )24/2( 1                j O sea, emplearemos: j = 21.8699% m = 24 i = 21.8699 / 24 = 0.911246% quincenal
  32. 32. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 31 Descontando los 15 pagos hasta la fecha inicial ( usando la fórmula [8] ) y sumándoselos al pago inicial, obtenemos el Valor de Contado Equivalente de la Opción “b” (VCEb) : 70.304,408$ 00911246.0 ])00911246.01(1[ 800,22000,90 15     b VCE RESPUESTA : Al comparar los valores VCEa y VCEb, se concluye en que se debería elegir la OPCIÓN “a” porque arroja el mayor importe a recibir. ▶ Ejemplo 37 Si una persona desea acumular $8,500.00 efectuando depósitos trimestrales vencidos de $595.47 en una cuenta de ahorros que abona intereses a razón del 30% compuesto mensualmente, ¿cuántos depósitos deberá realizar para acumular dicha suma? SOLUCIÓN: S = $8,500.00 R = $595.47 (trimestral) j = 30% m = 12 (mensual) n = ? (trimestres) Como estamos ante una anualidad vencida general, primeramente debemos obtener una tasa de interés compuesta trimestralmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una vencida simple: j2 = 30% j1 = ? m2 = 12 m1 = 4 Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene: %7562.30307562.0 12 30.0 4 11 )4/12( 1                j O sea, emplearemos: j = 30.7562% m = 4 i = 30.7562 / 4 = 7.6891% trimestral Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [4], se obtiene: depósitosn 10 )076891.01(log 1076891.0 47.595 500,8 log           ▶ Ejemplo 38 Una deuda por $1,875,000.00 con intereses al 25% compuesto anual se saldará con pagos mensuales vencidos de $125,000.00 cada uno. Determine cuántos pagos completos será preciso hacer para saldar la deuda y obtenga el valor de un pago adicional en caso necesario. SOLUCIÓN: A = $1,875,000.00 R = $125,000.00 (mensual) j = 25% m = 1 (anual) n = ? (meses) Como estamos ante una anualidad vencida general, primeramente debemos obtener una tasa de interés compuesta mensualmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una vencida simple: j2 = 25% j1 = ? m2 = 1 m1 = 12
  33. 33. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 32 Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene: %5231.22225231.0 1 25.0 12 11 )12/1( 1                j O sea, emplearemos: j = 22.5231% m = 12 i = 22.5231 / 12 = 1.8769% mensual Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [13], se obtiene: depósitosn 78.17 )018769.01(log 018769.0 000,125 000,875,1 1log           Como es de suponer, con un valor "n = 17" resulta un valor actual "A1" que no compensa la deuda contraída:   13.003,805,1$ 018769.0 )018769.01(1 000,125 17 1     A Siendo así, se genera un valor faltante que se obtiene de la diferencia de " A − A1": 87.996,69$13.003,805,1000,875,1 faltanteValor Finalmente, la cuantía del pago complementario se obtiene al capitalizar el valor faltante desde la fecha "0” hasta la fecha de vencimiento de éste ("n = 18"): 14.823,97$)018769.01(87.996,69"" 18 xadicionalPago RESP.: Se requieren 17 pagos completos de $125,000.00 + un pago adicional de $97,823.14 ▶ Ejemplo 39 Si un préstamo por $32,000.00 se saldó mediante 24 pagos trimestrales vencidos de $2,251.86 cada uno, ¿qué tasa anual capitalizable mensualmente le aplicaron al préstamo? ¿Cuál es la tasa efectiva equivalente a la encontrada anteriormente? SOLUCIÓN: A = $32,000.00 R = $2,251.86 (trimestral) n = 24 trimestres j = ? m = 12 (mensual) j = ? m = 4 (trimestral) Como estamos ante una anualidad vencida general y la tasa de interés capitalizable mensualmente es la incógnita, inicialmente calcularemos la tasa de interés capitalizable trimestralmente para transformar la anualidad general en una vencida simple (de modo que coincidan el periodo de los pagos y el de capitalización de los intereses). Luego, para responder correctamente la pregunta planteada, obtendremos una tasa de interés equivalente. Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [14], se tiene:   2105.14 86.251,2 000,32)1(1 24    i i Procederemos a obtener por tanteo la tasa de interés "i":
  34. 34. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 33 TANTEO (%)""i RA/ 1 21.2434 4 15.2470 5 13.7986 4.5 14.4955 4.6 14.3519 4.7 14.2105 %47.5i %7.4i %8.1847.4 j –» Tasa anual capitalizable trimestral a) Para calcular la tasa de interés anual capitalizable mensualmente (tasa pedida) empleamos la fórmula [15] que nos permite hallar la tasa equivalente a la obtenida anteriormente: j2 = 18.8% j1 = ? m2 = 4 m1 = 12 Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene: %5129.18185129.0 4 188.0 12 11 )12/4( 1                j –» Tasa anual capitalizable mensual b) Mediante la fórmula [16], se obtiene la tasa efectiva: j2 = 18.5129% je = ? m2 = 12 %1674.20201674.01 12 185129.0 1 12       ej –» Tasa efectiva a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [14] resulte igual o aproximadamente igual a 14.2105. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de descapitalización, éste depende inversamente de la tasa "i" asumida. c) Como se observa, el valor de 14.2105 se encuentra entre los valores 15.2470 y 13.7986 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 4 y 5%. Probando valores entre 4 y 5%, se encuentra el valor buscado de " i ", obteniéndose a continuación la tasa anual " j " mediante la fórmula [7]:
  35. 35. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 34 6. ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE Una anualidad anticipada simple es aquella cuyos pagos vencen al inicio de cada uno de los periodos que la componen, siempre y cuando éstos coincidan con los periodos de capitalización de los intereses. Ejemplo de este tipo de anualidad lo constituye el conjunto de 15 depósitos de $3,400.00 a efectuarse a principio de cada mes en una cuenta bancaria que paga intereses a razón del 9% anual convertible mensualmente. 0 R=$3,400 1 15 m es2 3 i = 0.75% R = renta = $3,400.00 i = j / m = 9 / 12 = 0.75% mensual . . . . . . 14 6.1 MONTO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE El monto o valor futuro de una anualidad anticipada simple "S" es el valor de dicha anualidad calculado en su fecha de terminación. Se obtiene al sumar los montos que acumulan cada uno de los pagos desde sus respectivos vencimientos hasta el final de la duración de la anualidad. 0 R 1 n2 3 i n -1n -2 S n = número de periodos i = tasa de interés por periodo R = renta o pago periódico S = monto de la anualidad …………. Para deducir una fórmula que permita obtener directamente el monto o valor futuro de una anualidad anticipada simple "S" se suman los montos que acumulan cada uno de los depósitos “R” invertidos a la tasa de interés “i”, desde sus respectivos vencimientos hasta el final de la duración de la anualidad: nn iRiRiRiRS )1()1()1()1( 121    (A) Multiplicando ambos miembros por )1( i se tiene: 132 )1()1()1()1()1(   nn iRiRiRiRiS ...... (B) Restando miembro a miembro las expresiones “B − A “, se obtiene: )1()1(. 1 iRiRiS n    Factorizando se tiene: ]1)1([. 1   iiRiS n
  36. 36. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 35 Despejando a “S” de la expresión anterior, se obtiene la fórmula que permite hallar el monto de una anualidad anticipada simple:   i ii RS n 1)1( 1    MONTO ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE [17] ▶ Ejemplo 40 Si en una cuenta bancaria que abona el 10% compuesto trimestralmente se depositan $3,000.00 al inicio de cada trimestre, ¿qué suma se acumulará al cabo de 4½ años? SOLUCIÓN: R = $3,000.00 j = 10% m = 4 (trimestral) i = 10 / 4 = 2.5% trimestral t = 4½ años n = 4.5 × 4 =18 trimestres 10 S = ? 0 R = $3,000 1 18 trim 2 3 i= 2.5% 1716 S n = 18 trim estres i = tasa inte rés p or periodo = 1 0 / 4 = 2.5% R = re nta = $3,000.00 S = m onto de la anualida d … … … … . A n ua lida d A n ticip a da S im ple Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [17], se tiene:   02.838,68$ 025.0 1025.0)025.01( 000,3 118     S ▶ Ejemplo 41 ¿Cuánto se acumula en 7 meses, si se efectúan depósitos quincenales anticipados de $2,300.00, en una cuenta de ahorros que paga el 12% anual convertible quincenalmente? SOLUCIÓN: R = $2,300.00 j = 12% m = 24 i = 12 / 24 = 0.5% quincenal n = 7 × 2 =14 quincenas S = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [17], se tiene:   06.434,33$ 005.0 1005.0)005.01( 300,2 114     S 10 Como son 18 pagos y el primero vence en el cero, luego el último, es decir el pago #18, vence en el 17 (un periodo antes del final de la anualidad, tal como ocurrirá en todas las anualidades anticipadas).
  37. 37. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 36 6.1.1 CÁLCULO DE LA RENTA En ocasiones se requiere calcular el valor de la renta o de los depósitos periódicos "R", partiendo de un monto o valor futuro específico de una anualidad anticipada simple "S", de una duración "n" y de una tasa de interés por periodo " i ". En tales casos, el cálculo de la renta se realiza con la expresión que resulta al despejar a "R" de la fórmula [17]: ]1)1[( . 1    ii iS R n VALOR DE LA RENTA [18] ▶ Ejemplo 42 ¿Cuánto debe invertir una persona, al inicio de cada mes, para acumular la suma de $300,000.00 en un plazo de 5 años, si su inversión gana un 13.2% anual compuesto mensualmente? SOLUCIÓN: S = $300,000.00 j = 13.2% m = 12 i = 13.2 / 12 = 1.1% mensual n = 5 × 12 = 60 meses R = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [18], se tiene: 98.517,3$ ]1011.0)011.01[( 011.0000,300 160      R ▶ Ejemplo 43 ¿Qué cantidad se debe depositar al inicio de cada cuatrimestre durante 6 años para acumular $190,000.00, si la tasa de interés es del 4% cuatrimestral? ¿Qué cantidad de interés se gana? SOLUCIÓN: S = $190,000.00 i = 4% cuatrimestral m = 3 n = 6 × 3 = 18 cuatrimestres R = ? It = ? a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [18], se tiene: 78.123,7$ ]104.0)04.01[( 04.0000,190 118      R b) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [3], se tiene: 96.771,61$78.123,718000,190 tI 6.1.2 CÁLCULO DEL PLAZO O DURACIÓN Si se conoce el monto "S" de una anualidad anticipada simple, la tasa de interés por periodo " i " y el valor de la renta "R" , puede calcularse el valor de "n" , o sea, el número total de periodos (o de pagos) de la anualidad, mediante la expresión que resulta al despejar a "n" de la fórmula [17]: 1 )1(log 1log           i ii R S n VALOR DE LA DURACIÓN [19]
  38. 38. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 37 Dado que "n" representa el número total de periodos, por consiguiente si se quisiese el tiempo expresado en años 11 se procedería a dividir el valor obtenido entre la frecuencia de los pagos (o de capitalización de la tasa de interés) "m", o sea, mediante la fórmula [5]:   m n t años  ▶ Ejemplo 44 José Melo efectúa depósitos anticipados mensuales por valor de $623.57 cada uno en una cuenta de ahorros que abona el 35.64% anual convertible mensualmente. Determine: a) el balance de la cuenta justamente antes del 8vo depósito, y b) durante qué tiempo (años) deberá realizar dichos depósitos si pretende acumular la suma de $15,000.00. SOLUCIÓN: R = $623.57 S= $15,000.00 j = 35.64% m = 12 i = 35.64 / 12 = 2.97% mensual n = ? t (años) = ? a) Como el 8vo. depósito vence en el mes #7, interesa el balance en el mes #7 pero sin incluir el depósito correspondiente a esa fecha, o sea, se pide el monto de la anualidad anticipada simple con "n=7" : 0 R = $ 6 2 3 .5 7 1 7 m e s2 3 i= 2 .9 7 % 65 S E l 8 v o . d e p ó s ito v e n c e e n e l m e s 7 . i = ta s a in te ré s p o r p e rio d o = 3 5 .6 4 /1 2 = 2 .9 7 % R = re n ta = $ 6 2 3 .5 7 S = m o n to d e la a n u a lid a d … … … … . Mediante la fórmula [17], se obtiene el balance justamente antes del 8vo. depósito:   52.915,4$ 0297.0 10297.0)0297.01( 57.623 17     S b) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [19], se tiene la cantidad de periodos requeridos para acumular los $15,000.00: mesesn 181 )0297.01(log 10297.00297.0 57.623 000,15 log           Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [5], se obtiene el tiempo en años: añosañost ½15.1 12 18  11 Después que se tiene el tiempo expresado en años puede hacerse la conversión a cualquier otra unidad (meses, quincenas, semanas, etc.).
  39. 39. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 38 ▶ Ejemplo 45 Un señor deposita $9,000.00 al inicio de cada trimestre en una cuenta de inversiones con la finalidad de acumular $130,000.00. Si la cuenta abona un 10% anual capitalizable trimestralmente, determine cuántos depósitos deberá hacer para lograr su objetivo de reunir los $130,000.00 y el valor de un depósito adicional en caso necesario. SOLUCIÓN: R = $9,000.00 S= $130,000.00 j = 10% m = 4 i = 10 / 4 = 2.5% trimestral n = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [19], se tiene la cantidad de depósitos requeridos para acumular los $130,000.00: depósitosn 22.121 )025.01(log 1025.0025.0 000,9 000,130 log           Consideraremos que para reunir los $130,000.00 se requieren 12 depósitos completos de $9,000.00 + un depósito adicional que vencerá al inicio del siguiente trimestre 12 . Veamos a continuación el cálculo del depósito adicional: 0 R=$9,000 1 13 trim2 3 i = 2.5% 1210 S x = depósito adicional La fecha focal se fijará a los 12 trimestres S1 = monto de la anualidad (n=12 dep.) S = monto a acumular = $130,000.00 Determinación del depósito adicional mediante una ecuación de valor X S1 FF ………. 11 Cálculo de "S1" : 98.263,127$ 025.0 1025.0)025.01( 000,9 112 1         S Luego, a partir de una ecuación de valor con FF: en el trimestre #12, se obtendrá el valor del depósito adicional: 00.000,13098.263,127  x 98.263,12700.000,130 x 02.736,2$x RESP.: Se requieren 12 depósitos completos de $9,000.00 + un depósito adicional de $2,736.02 12 Se efectuará de esa manera a fin de garantizar que el valor de los depósitos nunca exceda la renta originalmente establecida.
  40. 40. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 39 6.1.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS En este acápite trataremos sobre el cálculo de la tasa de interés anual, siempre y cuando sean conocidos el monto "S", la duración "n" y el valor de la renta "R" de una anualidad anticipada simple. Ante la imposibilidad de despejar a " i " de la fórmula [17], se procede a obtener su valor por tanteo o por tanteo e interpolación. Para desarrollar el proceso de tanteo, trabajaremos con dicha fórmula en el siguiente formato:   R S i ii n    1)1( 1 [20] Después de conseguir la tasa de interés por periodo " i “, se procede a multiplicar dicho valor por la frecuencia de capitalización de la tasa de interés "m" a fin de obtener la tasa de interés anual " j ", o sea, mediante la fórmula [7]: mij  ▶ Ejemplo 46 ¿A qué tasa anual convertible bimestralmente se acumulan $145,353.89 luego de efectuarse 15 depósitos bimestrales anticipados de $8,000.00? ¿Cuál es la tasa efectiva equivalente a la obtenida anteriormente? SOLUCIÓN: S = $145,353.89 R = $8,000.00 n = 15 bimestres i = ? m = 6 ?j a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [20], se tiene: 1692.18 000,8 89.353,145 1)1( 115        i ii Procederemos a obtener por tanteo la tasa de interés pedida: TANTEO (%)""i RS / 1 16.2579 2 17.6393 3 19.1569 2.5 18.3802 2.4 18.2292 2.3 18.0797 2.35 18.1543 2.36 18.1692 %36.2i %16.14636.2 j –» Tasa anual convertible bimestralmente b) Mediante la fórmula [16], se obtiene la tasa efectiva: j2 = 14.16% je = ? m2 = 6 %0222.15150222.01 6 1416.0 1 6       ej –» Tasa efectiva a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [20] resulte igual o aproximadamente igual a 18.1692. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de capitalización, éste depende directamente de la tasa "i" asumida. c) Como se observa, el valor de 18.1692 se encuentra entre los valores 18.0797 y 18.2292 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 2.3 y 2.4. Probando valores entre 2.3 y 2.4, se encuentra el valor buscado de "i ", obteniéndose a continuación la tasa anual pedida "j " mediante la fórmula [7]: :
  41. 41. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 40 6.2 VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE El valor actual de una anualidad anticipada simple "A" es el valor de dicha anualidad calculado en el momento presente, esto es, en su fecha inicial. Se obtiene al sumar los valores actuales de cada uno de los pagos desde sus respectivos vencimientos hasta el inicio del primer periodo de la anualidad. 0 R 1 n2 3 i n -1n -2 A n = número de periodos i = tasa de interés por periodo R = renta o pago periódico A = valor actual de la anualidad Para deducir una fórmula que permita obtener directamente el valor actual de una anualidad anticipada simple "A", nos ubicamos en la fecha inicial y allí efectuamos la sumatoria de los valores actuales de los "n" pagos de cuantía “R", los cuales se descapitalizan en base a la tasa de interés "i" por periodo de capitalización: 12321 )1()1()1()1()1(   nn iRiRiRiRiRRA  (A) Multiplicando ambos miembros por )1( i se tiene: 2321 )1()1()1()1()1()1(   nn iRiRiRiRRiRiA  (B) Restando miembro a miembro las expresiones “B − A “, se obtiene: 1 )1()1(.   n iRiRiA Factorizando se tiene:  1 )(. 11   n iiRiA Despejando a “A” de la expresión anterior, se obtiene la fórmula que permite hallar el valor actual de una anualidad anticipada simple:   i ii RA n 1 )1(1    VALOR ACTUAL ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE [21] ▶ Ejemplo 47 Determine el valor actual al día de hoy (precio de contado) de una bicicleta que puede pagarse mediante abonos mensuales anticipados de $950.00 durante 1½ años, si la tasa de interés es del 18% compuesto mensualmente. SOLUCIÓN: R = $950.00 j = 18% m = 12 i = 18 / 12 = 1.5% mensual n = 1.5 × 12 = 18 meses PC = A= ? Para obtener el precio de contado se procede a descapitalizar todos los pagos desde sus respectivos vencimientos hasta el inicio del primer periodo de la anualidad, o sea, hallamos el valor actual de la anualidad anticipada simple usando la fórmula [21]:   27.112,15$ 015.0 )015.01(015.01 950 118     APC
  42. 42. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 41 ▶ Ejemplo 48 Determine el precio de contado de un artículo por el que se efectuaron 20 pagos quincenales iguales de $518.49. El primer pago fue de inmediato y la tasa de interés aplicada a la operación fue del 1% quincenal. ¿Cuánto se pagó por concepto de intereses? SOLUCIÓN: R = $518.49 i = 1% quincenal m = 24 n = 20 quincenas PC= A= ? It = ? a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [21], se obtiene el precio de contado:   00.450,9$ 01.0 )01.01(01.01 49.518 120     APC b) Mediante la fórmula [12], resulta el valor pagado por concepto de intereses: 80.919$450,949.51820 tI ▶ Ejemplo 49 (anualidad diferida simple) Si un señor invierte $100,000.00 en una cuenta bancaria que paga el 0.93% mensual y al cabo de un tiempo puede realizar 60 retiros mensuales e iguales de $3,403.10, determine cuántos meses después de efectuar la inversión podrá realizar el primer retiro. SOLUCIÓN: 0 R=$3,403.10 2 $100,000 i = tasa de interés por mes = 0.93 % n+1 A A= valor actual anualidad anticipada simple con duración igual a 60 periodos …….. n n+ 60 mes n = 60 meses n = ? i = 0.93% 1 n+2 n+ 59 FF …….. En el diagrama temporal se ha indicado la inversión con una flecha hacia abajo y los retiros con flechas hacia arriba. Para obtener el valor de "n" se planteará una ecuación de valores equivalentes con FF en el mes "n" , que es el momento en que se podrá realizar el primer retiro. En la FF se igualará la inversión capitalizada hasta allí con el valor actual de la anualidad diferida 13 compuesta de 60 retiros, la cual analizaremos esta vez como una anualidad anticipada simple, cuyos inicio y final están definidos en el diagrama con los puntos azules. Viéndolo así, referimos los 60 retiros de $3,403.10 hasta el mes "n" mediante la fórmula [21], resultando "A" y eso lo igualamos al monto compuesto de la inversión, obteniéndose de dicha igualdad el valor pedido de "n" : 0093.0 ])0093.01(0093.01[ 10.403,3)0093.01(000,100 160   n A 13 Una ANUALIDAD DIFERIDA es aquella en la que se estipula que el primer pago se efectúa después de transcurrido cierto número de periodos. Sus elementos se obtienen considerándola como una anualidad inmediata (vencida o anticipada). En este caso, la analizamos como una anualidad anticipada, procediéndose a obtener a “n” , esto es, el llamado “periodo de diferimiento o periodo de gracia” de la anualidad.
  43. 43. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 42 27.396,157)0093.01(000,100  n Despejando a “n” de la igualdad anterior, se obtiene el tiempo pedido en meses: mesesn 49 )0093.01(log 000,100 27.396,157 log          6.2.1 CÁLCULO DE LA RENTA Aquí de lo que se trata es de calcular el valor de la renta o de los pagos periódicos "R", partiendo de un valor actual específico de una anualidad anticipada simple "A", de una duración "n" y de una tasa de interés por periodo " i ". En tales casos, la obtención de la renta se realiza con la expresión que resulta al despejar a "R" de la fórmula [21]: ])([ . 1 11    n ii iA R VALOR DE LA RENTA [22] El uso de esta fórmula aplica para la determinación de la cuantía del pago periódico fijo (capital + interés) con el que se saldaría una deuda "A". ▶ Ejemplo 50 Un reloj valorado en $7,200.00 se puede comprar a crédito mediante el pago de 6 mensualidades anticipadas. Determine el valor del pago mensual, si el interés cobrado es del 30% anual capitalizable mensualmente. SOLUCIÓN: PC = A = $7,200.00 j = 30% m = 12 i = 30 /12 = 2.5% mensual n = 6 meses R= ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [22], se obtiene el valor del pago mensual: 28.275,1$ ])025.0(025.0[ 025.0.200,7 16 11      R ▶ Ejemplo 51 Un señor debe pagar hoy $280,000.00, pero al no poder cumplir con su compromiso se pone de acuerdo con el acreedor para cancelar la deuda mediante pagos trimestrales e iguales durante 5½ años, efectuando el primer pago inmediatamente. Si la tasa de interés aplicable a la operación es del 25% compuesto trimestralmente, calcule el valor del pago trimestral y el interés total a pagar por el financiamiento. SOLUCIÓN: A = $280,000.00 j = 25% m = 4 i = 25 / 4 = 6.25% trimestral n = 5.5 × 4 = 22 trimestres R = ? It = ? a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [22], se obtiene el valor del pago trimestral: 01.363,22$ ])0625.0(0625.0[ 0625.0.000,280 122 11      R b) Mediante la fórmula [12], resulta el interés total a pagar por el financiamiento: 22.986,211$000,28001.363,2222 tI
  44. 44. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 43 ▶ Ejemplo 52 (anualidad diferida simple) Fábrica de Muebles Alberto, SRL. compra a crédito una maquinaria valorada en $630,000.00, pagando $230,000.00 de inicial y acordando saldar el resto mediante 24 pagos bimestrales iguales, venciendo el primero en 6 meses. Encuentre el valor del pago bimestral si la tasa de interés aplicada es del 18% anual convertible bimestralmente. SOLUCIÓN: PC = $630,000.00 Inicial = $230,000.00 Valor a Financiar = PC − Inicial = $400,000.00 j = 18% m = 6 i = 18 / 6 = 3% bimestral n = 24 bimestres R = ? 0 R = ? 1 30 bimest2 6 $400,000 i = 18 / 6 = 3% bimestral n = 24 bimestres A = valor actual de la anualidad A anticipada simple . . . . . . i = 3%7 298 n = 6 . . . . . . n = 24 bimestres La anualidad diferida la analizaremos como una anualidad anticipada, cuyos inicio y final están definidos en el diagrama con los puntos azules. Luego, capitalizaremos la deuda hasta el bimestre #6, obteniéndose el valor de la deuda al inicio de la anualidad, o sea el valor actual “A” : 92.620,477$)03.01(000,400 6 A A partir de “A” y con la fórmula [22], se obtiene el valor pedido del pago bimestral: 86.380,27$ ])03.0(03.0[ 03.0.92.620,477 124 11      R 6.2.2 CÁLCULO DEL PLAZO O DURACIÓN De conocerse el valor actual "A" de una anualidad anticipada simple, la tasa de interés por periodo " i " y el valor de la renta "R" , puede calcularse el valor de "n" , o sea, el número total de periodos (o de pagos) de la anualidad, mediante la expresión que resulta al despejar a "n" de la fórmula [21]: )1(log 1log 1 i i R A i n          VALOR DE LA DURACIÓN [23] Dado que "n" representa el número total de periodos, por consiguiente si se quisiese el tiempo expresado en años 14 se procedería a dividir el valor obtenido entre la frecuencia de los pagos (o de capitalización de la tasa de interés) "m", o sea, mediante la fórmula [5]:   m n t años  14 Después que se tiene el tiempo expresado en años puede hacerse la conversión a cualquier otra unidad (meses, quincenas, semanas, etc.).
  45. 45. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 44 ▶ Ejemplo 53 Andrés Morla compra a crédito un automóvil valorado en $500,000.00 con un financiamiento del 100% del valor del auto al 12.3% anual convertible quincenalmente y acordando realizar pagos quincenales e iguales de $5,560.27 comenzando de inmediato. Determine durante cuántos años se habrán de efectuar dichos pagos. SOLUCIÓN: PC = A = $500,000.00 j = 12.3% m = 24 i = 12.3 / 24= 0.5125% quincenal R= $5,560.27 n = ? t = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [23], se obtiene cantidad de periodos o de pagos: quincenasn 120 )005125.01(log 005125.0 27.560,5 000,500 005125.01log 1           Luego, mediante la fórmula [5] se halla la cantidad de años durante los cuales se habrán de efectuar los pagos: añost 5 24 120  ▶ Ejemplo 54 Un señor debía pagar hoy $14,270.45, pero acuerda con su acreedor cancelar la deuda mediante pagos trimestrales de $1,000.00 comenzando inmediatamente. Si la tasa de interés aplicada a la operación es de un 3.25% trimestral, determine cuántos pagos son necesarios para saldar la deuda y el valor de un pago adicional en caso necesario. SOLUCIÓN: A = $14,270.45 i = 3.25% trimestral m = 4 R= $1,000.00 n = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [23], se obtiene cantidad de periodos o de pagos: trimestresn 65.18 )0325.01(log 0325.0 000,1 45.270,14 0325.01log 1           Consideraremos que para saldar los $14,270.45 se requieren 18 pagos completos de $1,000.00 + un pago adicional que vencerá al final del siguiente trimestre15 . 0 R=$1,000 1 182 3 i = 3.25% trimestral 17 A x = pago complementario con n = 18 pagos A1 = valor actual anualidad anticipada A = deuda a saldar = $14,270.45 Determinación del pago adicional X A1 n = 18 trim …………. 15 Se efectuará de esa manera a fin de garantizar que el valor de los pagos nunca exceda la renta originalmente establecida.
  46. 46. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 45 Como es de suponer, con un valor "n = 18" resulta un valor actual "A1" que no compensa la deuda a saldar:   95.904,13$ 0325.0 )0325.01(0325.01 000,1 118 1     A Siendo así, se genera un valor faltante que se obtiene de la diferencia de " A − A1": 50.365$95.904,1345.270,14 faltanteValor Finalmente, la cuantía del pago complementario se obtiene al capitalizar el valor faltante desde la fecha "0” hasta la fecha de vencimiento de éste ("n = 18"): 99.649$)0325.01(50.365"" 18 xadicionalPago RESP.: Se requieren 18 pagos completos de $1,000.00 + un pago adicional de $649.99 6.2.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Analizaremos a seguidas el proceso de cálculo de la tasa de interés anual, siempre y cuando sean conocidos el valor actual "A", la duración "n" y el valor de la renta "R" de una anualidad anticipada simple. Ante la imposibilidad de despejar a " i " de la fórmula [21], se procede a obtener su valor por tanteo o por tanteo e interpolación. Para llevar a cabo el tanteo, trabajaremos con dicha fórmula en el siguiente formato:   R A i ii n    1 )1(1 [24] Después de conseguir la tasa de interés por periodo " i “, se procede a multiplicar dicho valor por la frecuencia de capitalización de la tasa de interés "m" a fin de obtener la tasa de interés anual " j ", o sea, mediante la fórmula [7]: mij  ▶ Ejemplo 55 Una persona se comprometió a pagar $34,009.00 en la fecha de hoy, pero al no poder cumplir con su compromiso acuerda saldar la deuda mediante 9 pagos semestrales e iguales de $4,600.00 comenzando de inmediato. Obtenga la tasa de interés anual convertible semestralmente aplicada a la operación. SOLUCIÓN: A = $34,009.00 R = $4,600.00 n = 9 semestres i = ? m = 2 ?j Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [24], se tiene:   3933.7 600,4 009,34)1(1 19    i ii Procederemos a obtener por tanteo la tasa de interés pedida: TANTEO (%)""i RA/ 1 8.6517 4 7.7327 5 7.4632 5.2 7.4113 5.3 7.3856 5.25 7.3984 5.27 7.3933 %47.5i a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [24] resulte igual o aproximadamente igual a 7.3933. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de descapitalización, éste depende inversamente de la tasa " i " asumida. c) Como se observa, el valor de 7.3933 se encuentra entre los valores 7.4113 y 7.3856 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 5.2 y 5.3. Probando valores entre 5.2 y 5.3 se encuentra el valor buscado de " i ", obteniéndose a continuación la tasa anual pedida " j " mediante la fórmula [7]: i = 5.27% j = 5.27 × 4 = 21.08%
  47. 47. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 46 ▶ Ejemplo 56 Si me entregan una nevera valorada en $53,800.00 y acepto pagar 24 mensualidades anticipadas de $3,120.59 cada una, determine la tasa de interés anual capitalizable mensualmente cargada a la operación, así como la tasa de interés efectiva. SOLUCIÓN: A = $53,800.00 R = $3,120.59 n = 24 meses i = ? m = 12 ?j ?ej Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [24], se tiene:   2403.17 59.120,3 800,53)1(1 124    i ii a) Procederemos a obtener por tanteo la tasa de interés anual capitalizable mensualmente: TANTEO (%)""i RA/ 1 21.4558 2 19.2922 3 17.4436 3.1 17.2739 3.2 17.1068 3.11 17.2571 3.12 17.2403 %47.5i b) Mediante la fórmula [16], se obtiene la tasa efectiva: j2 = 37.44% je = ? m2 = 12 %5822.44445822.01 12 3744.0 1 12       ej –» Tasa efectiva 7. ANUALIDAD ANTICIPADA GENERAL Una anualidad anticipada general es aquella cuyos pagos vencen al inicio de cada uno de los periodos que la componen, siendo éstos diferentes de los periodos de capitalización de los intereses. Ejemplo de este tipo de anualidad lo constituye el conjunto de 8 pagos iguales por valor de $7,850.00 a efectuarse al inicio de cada cuatrimestre a los fines de saldar una deuda contraída al 19% de interés anual convertible mensualmente. 7.1 CÁLCULO DEL MONTO, VALOR ACTUAL, RENTA, PLAZO Y TASA DE INTERÉS DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA GENERAL La forma más sencilla de trabajar con una anualidad anticipada general es transformarla en una anticipada simple, y luego utilizar las fórmulas ya conocidas de ésta para determinar los valores deseados. Una manera de realizar dicha modificación consiste en utilizar la tasa de interés "" 1j capitalizable "" 1m veces por año, equivalente a la tasa de interés anual conocida "" 2j capitalizable "" 2m veces por año 16 ( fórmula [15] ). 16 Si siempre se identifica con “ j2” la tasa de interés compuesto conocida, entonces invariablemente se podrá obtener la tasa de interés equivalente con la fórmula de “ j1 ” , o sea, con la fórmula [15]. a) Asignamos valores a " i " sabiendo que lo que se busca es que el segundo miembro de la fórmula [24] resulte igual o aproximadamente igual a 17.2403. b) Como la expresión del primer miembro es un factor de descapitalización, éste depende inversamente de la tasa " i " asumida. c) Como se observa, el valor de 17.2403 se encuentra entre los valores 17.2739 y 17.1068 lo cual indica que el valor buscado de " i " estaría entre las tasas 3.1 y 3.2. Probando valores entre 3.1 y 3.2 se encuentra el valor buscado de " i ", obteniéndose a continuación la tasa anual pedida " j " mediante la fórmula [7]: i = 3.12% j = 3.12 × 12 = 37.44%
  48. 48. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 47 ▶ Ejemplo 57 Sandra Lora acuerda efectuar depósitos anticipados de $3,800.00 cada 2 meses en un fondo de inversión que paga un 12.7% anual convertible semestralmente. ¿Cuánto habrá acumulado en el fondo justamente antes de realizar el décimo quinto depósito? SOLUCIÓN: R = $3,800.00 (bimestral) j = 12.7% m = 2 (semestral) n= 14 bimestres S = ? Como estamos ante una anualidad anticipada general, primeramente debemos obtener una tasa de interés compuesta bimestralmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una anticipada simple: j2 = 12.7% j1 = ? m2 = 2 m1 = 6 Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene: %4403.12124403.0 2 127.0 6 11 )6/2( 1                j O sea, emplearemos: j = 12.4403% m = 6 i = 12.4403 / 6 = 2.0734% bimestral 0 R=$3,800 1 15 bim2 3 i = 2.0734% bim 1412 S S = monto a acumular un instante antes de realizar el décimo quinto depósito ………. 13 n = 14 bimestres Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [17], se obtiene el valor acumulado:   58.264,62$ 020734.0 1020734.0)020734.01( 800,3 114     S ▶ Ejemplo 58 Para la compra de una computadora valorada en $34,650.00, una compañía realizó pagos iguales al inicio de cada mes durante un año, a partir de la fecha en que recibió el equipo. Considerando intereses al 28.85% anual capitalizable diariamente, ¿de cuánto fueron los pagos? ¿Qué suma se pagó por concepto de intereses? SOLUCIÓN: PC = A = $34,650.00 j = 28.85% m = 360 (diaria) n = 12 meses R = ? (mensual) It = ? Como estamos ante una anualidad anticipada general, primeramente debemos obtener una tasa de interés compuesta mensualmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una anticipada simple: j2 = 28.85% j1 = ? m2 = 360 m1 = 12 Sustituyendo en la fórmula [15], se tiene:
  49. 49. Tulio A. Mateo Duval Anualidades 48 %1878.29291878.0 360 2885.0 12 11 )12/360( 1                j O sea, emplearemos: j = 29.1878% m = 12 i = 29.1878 / 12 = 2.4323% mensual a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [22], se obtiene el valor del pago mensual: 22.284,3$ ])024323.0(024323.0[ 024323.0650,34 112 11      R b) Mediante la fórmula [12], resulta la suma a pagar por concepto de intereses: 64.760,4$650,3422.284,312 tI ▶ Ejemplo 59 ¿Con cuántos depósitos iguales de $8,500.00, efectuados al comienzo de cada trimestre, se alcanza un monto de $350,000.00, si el dinero rinde un 1.34% mensual? Obtenga el valor de un depósito adicional, si fuera necesario. SOLUCIÓN: R = $8,500.00 (trimestral) S = $350,000.00 i = 1.34% mensual m = 12 j = 1.34 × 12 = 16.08% n = ? (trimestres) Como estamos ante una anualidad anticipada general, primeramente debemos obtener una tasa de interés compuesta trimestralmente que sea equivalente a la tasa de interés dada, a fin de transformar la anualidad en una anticipada simple: j2 = 16.08% j1 = ? m2 = 12 m1 = 4 Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [15], se tiene: %2964.16162964.0 12 1608.0 4 11 )4/12( 1                j O sea, emplearemos: j = 16.2964% m = 4 i = 16.2964 / 4 = 4.0741% trimestral Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [19], se tiene la cantidad de depósitos requeridos para acumular los $350,000.00: depósitosn 04.241 )040741.01(log 1040741.0040741.0 500,8 000,350 log           Consideraremos que para reunir los $350,000.00 se requieren 24 depósitos completos de $8,500.00 + un depósito adicional que vencerá al inicio del siguiente trimestre 17 . Veamos a continuación el cálculo del depósito adicional: 17 Se efectuará de esa manera a fin de garantizar que el valor de los depósitos nunca exceda la renta originalmente establecida.

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