Brief explanation of Kivela's "Multilayer Networks". http://arxiv.org/abs/1309.7233

1. Multilayer Networks輪読会
4.2.5から4.4まで
村田剛志(東工大)

2. 4.2.5 inter-layer diagnostics
• ここまでは、monoplexネットワークの特徴量をmulti-layerに拡張したもの
ばかり
– multi-layerならではの新たなものが欲しい
• layer内networkを比較する特徴量
– global overlap[45]: 2つのlayerで共有する辺の数
– global inter-clustering coefficient[259]:layerにまたがるクラスタ係数
– layer間の隣接行列要素の相関[19]
– degree of multiplexity[178]:(複数の型の辺をもつ頂点ペア数)/(全ての頂点ペ
ア数)
– 次数やlocal clustering coefficientの相関[19,104,182,250,259]
• 純粋にmulti-layerに特有の特徴量
– interdependence[234,250]:最短パスの中で、複数のlayer辺が使われる割合
– 全頂点が全layerにあるmultiplex network以外の特徴量
• 頂点のmultiplexity degree [285]:その頂点が存在するlayerの数
• [67]:社会ネットでmultiplexity degreeが1のものと2以上のもの(bridge)を比較
– layer毎に別communityと解釈なら、assortativityやmodularityも特徴量[226]

3. 4.3 Models of Multiplex Networks
• 人工multiplex networksを作る単純な方法
– 通常の生成モデル(ER random graph や
configuration model)を用いて各層を作り、次に
layer間を辺でつなぐ[125,199,231][125,217]
– 各層を独立に作ったmultiplex networkから始め
て、次に(ノードのラベルを変えるなどして)layer間
の相関を作り出す方法[104]
• Exponential random graph models (ERGMs)は
multilevel networksやmultiplex networksを扱
える푃(퐺푀) = exp 휃 ∙ 푓 퐺푀 푍 휃 [122,273,274][153]
model parameter
を表すベクトル
network diagnostics 正規化関数（異
種辺の△)のベクトル

4. microcanonical/canonical network
ensembles[256,316]
• microcanonical ensembles
– 制約集合を厳密に満たすネットワークの集合
• canonical network ensembles
– Shannon entropy最大化:平均的に制約を満たす
– multiplex networkよりも辺の重なりに対して有効
• (空間に埋め込まれた)spatial networksのモデ
ル化に使われる[150]

5. 他の生成モデル
• 優先的選択などの手法をmultiplex networkに拡
張したもの
– Criado[95](一部の頂点だけを含んだ)layerを増やすこ
とでmultiplex networkの成長をモデル化
– 優先的戦略で辺や頂点を追加するもの[182,214,250]
• layer間の辺が作られる確率は、layer内の次数(からなる関
数)に比例
attachment kernel
• attachment kernelがaffine(平行移動を伴う線形写像)
• 異なるlayerに頂点が異なる回数だけ生成されるのを許すモ
デル
• 非線形のattachment kernel

6. 4.4 Models of interconnected
networks
• monoplexネットワークの生成モデルを他のmultilayer
に一般化
– 動的プロセスの研究にモデルは有効
• 似通ったネットワークモデルの研究
– interacting network, node color, node type, module
– block modelやmixture modelによるモデル化も
• 単純な方法は各layerを作って、異なるlayer間をランダ
ムに辺で結ぶ(lattice, ER random graph, configuration
network, BA network)
– 均一にランダムにする必要はない
• layer間を結ぶ異なる戦略で中心性がどう変わるかの研究
• SIRでの伝搬にどう影響するかの研究

7. configuration modelの拡張
• 複数の次数分布を多変数で表す
푃훼(푘1, … , 푘푏) layer αの頂点がlayer βの頂点kβ個とつながる確率
– [10,200]
– Soderberg
푃(푘1, … , 푘푏) layer独立な多次元分布+ 휏훼훽
– Newman
– Gleeson
– [17] node-colored graphのERモデル
– [9] node-colored 2部グラフのconfiguration model
layerαとβ間
の辺の割合
푃훼(푘) 各layerの次数分布+ mixing matrix layer間の
辺の割合
結合確率行列P 푃훼훽 (푘)
layerαの頂点がk個のlayerβ
の頂点とつながる確率
• layer内-layer間の次数相関を取り入れたモデ
ル
푃훼훽 (푘, 푘′) layerα内で次数kの頂点がk’個のlayerβの頂点とつながる確率
푃훼훽 (푘훼훼, 푘훼훽, 푘′
훽훽, 푘′
훼훽)
layer内次数layer間次数

8. configuration model
• (2頂点をランダムに選んで辺を追加する)
random graphでは次数分布がポアソン分布
• 任意の次数分布のネットワークを生成する手
法
– 与えられた次数の切り株を用意
– 切り株の間をランダムにつなぐ
頂
点
次
数
a 2
b 2
c 3
d 3
e 4
a b c d e
b
c
d e
a
a
b
d
c
e

9. Stochastic block model (1)
http://tuvalu.santafe.edu/~aaronc/courses/5352/fall2013/
• 与えられたグラフの背後にある生成モデルの
パラメータ
– k:グループ数
予め与える
– 푧 :各頂点のグループID
パラメータ
– M:グループ間の結合確率の行列(k*k)
• モデルからグラフを生成
– 頂点iとjの間の辺をMzizjの確率で生成(ziとzjは頂
点iとjが属するグループのID)
• グラフからモデルを推定

10. Stochastic block model (2)
http://tuvalu.santafe.edu/~aaronc/courses/5352/fall2013/
• M(stochastic block matrix)と生成されるグラフ
– グループ内:ランダムグラフ、グループ間:ランダム
2部グラフ
対角成分0.50
それ以外0.01
→グループ内が密
対角成分0.01
それ以外0.12
→グループ間が密