Teoría de proporcionalidad y reglas de tres

1. PROPORCIONALIDAD
1

2. 2
SOMBRA PROYECTADA
Darío en un determinado momento
coloca 6 estacas de diferentes alturas y
luego procede a medir la sombra que
proyecta cada una de ellas, todo ello lo
anota en el siguiente cuadro. Veamos:
Altura de cada
estaca (cm)
Sombra
proyectada
(cm)
2 4
3 6
6 12
15 30
18 36
24 48

3. 3
De acuerdo cuadro anterior:
1. ¿Cuánto es la sombra proyectada por 1 estaca de
10 cm de altura?
2. ¿Cuál sería la altura de la estaca si la sombra
proyectada fue de 50cm?
3. ¿Cómo deducirías una fórmula para determinar la
sombra proyectada para cualquier estaca de
diferentes alturas?
4.¿Cómo interpretarías gráficamente el cuadro
anterior?
5. ¿Cómo denominarías a la
gráfica: creciente o decreciente?

4. 4
CONTENIDOS
 MAGNITUD.
 RAZÓN.
 PROPORCIONES.
 MAGNITUDES DIRECTAMENTE
PROPORCIONALES.
 MAGNITUDES INVERSAMENTE
PROPORCIONALES.
 REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA.
 REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA.
 REGLA DE TRES COMPUESTA.

5. 5
MAGNITUDES
Una magnitud es cualquier propiedad
que se puede medir numéricamente, y
por ello variar o cambiar en comparación
con otras.
Ejemplos:
 La capacidad de una botella de agua.
 El dinero obtenido por un trabajo.
 El número de goles marcados por el
equipo A.
 El número de trabajadores de una
empresa.

6. 6
RAZÓN
Razón o relación es el resultado de
comparar dos cantidades.
Razón Aritmética
Comparación entre
dos cantidades por
medio de la
SUSTRACCIÓN
Razón Geométrica
Comparación entre
dos cantidades por
medio de la
DIVISIÓN

7. 7
PROPORCIONES
Proporción es el resultado de
comparar dos razones.
Proporción Aritmética
Comparación entre dos
razones aritméticas
Proporción Geométrica
Comparación entre dos
razones geométricas
a – b = c – d 𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
Donde:
a y d son términos extremos
c y d son términos medios

8. 8
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes A y B son, directamente proporcionales (DP), si
al aumentar o disminuir una de ellas, la otra también aumenta o
disminuye en la misma proporción.
En una tabla de proporcionalidad directa, el cociente de cada pareja
de valores correspondientes es constante.
Este valor recibe el nombre de constante de proporcionalidad.
Se cumple : 
A
C
B
Naranjas
(kg) 2 3 4 5
Precio (S./) 4 6 8 10

5
10
4
8
3
6
2
4
2

9. 9
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes A y B son, inversamente proporcionales (IP), si al
aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye o aumenta en
proporción inversa.
En una tabla de proporcionalidad inversa, el producto de cada pareja
de valores correspondientes es constante.
Este valor recibe el nombre de constante de proporcionalidad.
Se cumple : A . B = C
Operarios 2 3 4 8
Tiempo (h) 12 8 6 3
2 .12 = 3 . 8 = 4 .6 = 8 .3 = 24

10. 10
ESQUEMA
DIRECTAMENTE PROPORCIONALES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
A DP B A IP B
A
C
B
AB C
B
A
A
B
MAGNITUDES
MAGNITUDES PROPORCIONALES

11. Indique cual de estas magnitudes son directamente
proporcionales (DP) e inversamente proporcionales (IP) :
• Velocidad del móvil – Tiempo de viaje ( )
• Número de Personas – Tiempo de trabajo ( )
• Trabajo a realizar – Costo del trabajo ( )
• Trabajo a realizar – Tiempo de trabajo ( )
• Trabajo a realizar – Dificultad del trabajo ( )
• Trabajo a realizar – Eficiencia de las personas ( )
• Eficiencia de las personas – Tiempo de trabajo ( )
• Gastos mensuales – Capacidad de ahorro ( )
IP
DP
IP
IP
IP
IP
DP
DP

12. 12
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Para el pintado de una habitación, un pintor
cobra $100 por pintar dos habitaciones.
¿Cuánto nos cobrará por pintar cinco
habitaciones?
Solución:
Por regla de tres:
Nº de Habitaciones Costo
2 100
5 X
250X 
Por magnitudes:
º .N Hab
C
Costo

2 5
100 x

5 100
2
x
x 𝑋 =
5𝑥100
2
250X 

13. 13
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Si 10 obreros han hecho una obra en
90 días, ¿en cuántos días harán la
misma obra 15 obreros?
Por magnitudes:
( )( )Dias Obreros C
(10)(90) (15)X
60x 
Solución:
Por regla de tres:
Obreros Días
10 90
15 X
𝑋 =
10𝑥90
15
𝑋 = 60

14. 14
REGLA DE TRES COMPUESTA
Una ingeniera civil puede construir 600 metros de
carretera con 40 hombres, en 50 días, trabajando 8
h/día. ¿Cuántos días tardará este ingeniero en
construir 800 metros de carretera con 50 obreros
doblemente eficientes que los anteriores en un
terreno de triple dificultad, trabajando 2 horas más
por día?
Solución:
Se determinan todas las magnitudes encontradas en el problema:
Carretera Hombres Días h/día Eficiencia Dificultad

15. 15
Luego ubicamos la magnitud donde se encuentra la variable y
analizamos con respecto a las demás:
Carretera Hombres Días h/día Eficiencia Dificultad
DP
IP
IPIP
DP
De acuerdo al análisis anterior, obtenemos la siguiente FÓRMULA:
(𝑫í𝒂𝒔)(𝐻𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠)(ℎ/𝑑í𝑎)(𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎)
𝐶𝑎𝑟𝑟𝑒𝑡𝑒𝑟𝑎 𝐷𝑖𝑓𝑖𝑐𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑
= 𝐶𝑡𝑒

16. 16
Colocamos los datos del problema y empleamos la fórmula para
determinar lo que se nos pide:
Carretera Hombres Días h/día Eficiencia Dificultad
600 40 50 8 1 1
800 50 X 10 2 3
(𝟓𝟎)(40)(8)(1)
600 1
=
(𝑿)(50)(10)(2)
800 3
𝑋 = 64
La ingeniera tardará 64 días en terminar la obra
Teniendo en cuenta la fórmula anterior, tenemos:

17. 17
PROBLEMA
El valor de una joya es directamente
proporcional al cuadrado de su peso. Si joya
que pesa 50 gramos cuesta $ 4 000. ¿Cuánto
valdrá otra joya de 90 gramos de peso?
k
(Pe)
Pr
2
𝑥 = 12 960
SOLUCIÓN:
4 000
50 2 =
𝑥
200 2
4 000
2500
=
𝑥
90 2
El valor de la joya de 90
gramos de peso es $ 12 960.

18. 18
PROBLEMA
El gasto de un ingeniero es directamente
proporcional a su sueldo, si su sueldo equivale
a s/. 4 000 y ahorra S/. 600. ¿ Cuál será su
sueldo cuando su gasto sea de S/. 4 250?
SOLUCIÓN:
k
S
G
 4 000−600
4000
=
4250
𝑥
𝑥 =
4 250.4 000
3 400
𝑥 = 5000
El sueldo del ingeniero
será S/. 5 000

19. 19
PROBLEMA
El Sr. James , repartió su dinero entre sus
tres hijos: Uno de 24 años, el otro de 20
años y la ultima de 18 años . Si el reparto
entre la cantidad de dinero que reciben es
inversamente proporcional a sus edades. Sí
el hijo mayor recibió S/. 4 200 ¿Cuánto le
correspondió recibir a la ultima hija?
SOLUCIÓN:
Primer hijo : 24 años
Segundo hijo : 20 año
Tercer hija : 18 años
Por dato:
𝑘 = 4200.24 𝑘 = 100 800
𝑘(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)= Dinero recibido . Edad La ultima hija del Sr.James
recibirá S/.5 600.
100 800 = 𝑥 .18
X=5600
𝑆𝑖 𝑥: 𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑏𝑒 𝑙𝑎
𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 ℎ𝑖𝑗𝑎