Tema IXFunciones Exponenciales y LogarítmicasPrecálculo

Función ExponencialLa función exponencial básica es f(x) = bx, donde la base b es una constante y el exponente x es la variable independiente.ExponenteBase

Función ExponencialConsideremos la función f(x) = 2x

Función ExponencialConsideremos la función f(x) = 2x

Función ExponencialConsideremos la función f(x) = 2x

Función ExponencialConsideremos la función f(x) = 2x

Función ExponencialConsideremos la función f(x) = 2x

Función ExponencialConsideremos la función f(x) = 2x

Función ExponencialConsideremos la función f(x) = 2x

Función ExponencialConsideremos la función f(x) = 2x

Función ExponencialConsideremos la función f(x) = 2x

Función ExponencialConsideremos la función f(x) = 2x

Función ExponencialConsideremos la función f(x) = 2x

Función ExponencialConsideremos la función f(x) = 2x

Función ExponencialConsideremos la función f(x) = 2x

Función ExponencialConsideremos la función f(x) = 2x

Función ExponencialConsideremos la función f(x) = 2x

Función ExponencialConsideremos la función f(x) = 2x

Función ExponencialConsideremos la función f(x) = 2xEsta recta se conoce como una asíntota, una recta a la cual la función graficada se acerca a medida que los valores de x se hacen muy grandes o muy pequeños.

Función Exponencial

Graficando Funciones ExponencialesDetermina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.f(x) = 1.5x

Graficando Funciones ExponencialesDetermina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.g(x) = 30(0.8)x

Graficando Funciones ExponencialesDetermina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.h(x) = 5(1.2)x

Graficando Funciones ExponencialesDetermina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.f(x) = 10(3/4)x

Graficando Funciones ExponencialesDetermina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.f(x) = 100(1.05)x

Crecimiento y DecaimientoNúmero de Periodos de TiempoCantidad InicialCantidad FinalRazón de CambioEn la fórmula, la base de la expresión exponencial, 1 + r,es llamado el factor de crecimiento. Similarmente, 1 – r, es el factor de decaimiento.

AplicacionesTony compró una guitarra Gibson del 1959 por $12,000 en el año 2000. Los expertos estiman que su valor aumentará un 14% por año. Utiliza una gráfica para encontrar cuando el valor de la guitarra será $60,000.

AplicacionesLa población de una ciudad, la cual era inicialmente 15,500, ha ido disminuyendo a una razón de 3% al año. Escribe una función exponencial y grafica la función. Utiliza la gráfica para predecir cuando la población llegará a los 8,000.

Graficando Relaciones InversasGrafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance.

Graficando Relaciones InversasGrafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance.

Graficando Relaciones InversasGrafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance.

Escribiendo Funciones Inversas

Escribiendo y Graficando Funciones Inversas

Escribiendo y Graficando Funciones Inversas

Escribiendo y Graficando Funciones Inversas

AplicacionesJuan compró un CD por Internet con un 20% de descuento del precio regular. El pagó $2.50 por el envío. El cargo total fue $13.70 ¿Cuál es el precio regular del CD?

LogaritmosUn logaritmo es el exponente al cual se eleva una base específica para obtener un valor dado.Puedes escribir una ecuación exponencial como una logarítmica y viceversa.Ecuación ExponencialEcuación Logarítmica

Escribe cada ecuación exponencial en forma logarítmica

Propiedades Especiales de Logaritmos

Evaluando Logaritmos Mentalmente

Propiedad de Producto de Logaritmos

Propiedad de Producto de LogaritmosExpresa como un solo logaritmo. Simplifica si es posible.log5625 + log525log42 + log432log64 + log69

Propiedad de Cociente de Logaritmos

Propiedad de Cociente de LogaritmosExpresa como un solo logaritmo. Simplifica si es posible.log232 – log24log749 – log77log5100 – log54

Propiedad de Potencia de Logaritmos

Propiedad de Potencia de LogaritmosExpresa como un producto. Simplifica si es posible.log3812log5(1/5)3log2326log5252

Propiedades Inversas de LogaritmosÁlgebraEjemplo

Propiedades Inversas de LogaritmosSimplifica cada expresión.log883x + 1log5125log3311log381

Propiedades Inversas de LogaritmosSimplifica cada expresión.

Fórmula de Cambio de Base

Fórmula de Cambio de BaseEvalúa las siguientes expresiones.log927log816log328

Ecuación ExponencialUna ecuación exponencial es una ecuación que contiene una o más variables como un exponente.Para resolver ecuaciones exponenciales puedes utilizar lo siguiente:

Resolviendo Ecuaciones Exponenciales

Resolviendo Ecuaciones Exponenciales

Ecuaciones LogarítmicasUna ecuación logarítmica es una ecuación con una expresión logarítmica que contiene una variable.Para resolver ecuaciones logarítmicas puedes utilizar lo siguiente:

Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas

Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas

Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas

Fórmula de Interés CompuestoDonde:A es la cantidad total,P es el principal,r es la taza de interés anual,n es la cantidad de veces que el interés es compuesto al año yt es el tiempo en años.

Interés ContinuoAsume que se invierte $1 a un 100% de interés (r = 1) compuesto n veces en un año. Lo cual puede ser representado por la función:

Interés ContinuoA medida que n se vuelve un número grande, el interés es compuesto continuamente.Examinemos la gráfica de f(n).

Interés ContinuoA medida que n se vuelve un número grande, el interés es compuesto continuamente.Examinemos la gráfica de f(n).

El número natural e

Graficando Funciones Exponenciales

Graficando Funciones Exponenciales

Logaritmo Natural

Simplificando Expresiones con e o lnSimplifica.

Fórmula de Interés Compuesto ContinuamenteDonde:A es la cantidad total,P es el principal,r es la taza de interés anual,t es el tiempo en años.

Aplicaciones a Economía¿Cuál es la cantidad total para una inversión de $1000 invertido al 5% durante 10 años compuesto continuamente?¿Cuál es la cantidad total para una inversión de $100 invertido al 3.5% por 8 años y compuesto continuamente?

Media – VidaLa media – vida de una sustancia es el tiempo que le toma a la mitad de la sustancia descomponerse o convertirse en otra sustancia durante el proceso de decaimiento.El proceso de decaimiento natural está modelado por la siguiente función.Cantidad inicialTiempoCantidad restanteConstante de decaimiento

Aplicación a PaleontologíaUn paleontólogo descubre un fósil de un tigre dientes de sable en California. El analiza el fósil y concluye que el espécimen contiene 15% de su carbono-14 original. El carbono-14 tiene una media vida de 5730 años. Determina la edad del fósil.Determina cuanto le tomaría a una muestra de 650 mg de cromio-51, el cual tiene una media vida de 28 días, para decaer a 200 mg.