Tema IX (Funciones Exponenciales Y LogaríTmicas)

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Tema IX (Funciones Exponenciales Y LogaríTmicas)

  1. 1. Tema IXFunciones Exponenciales y Logarítmicas<br />Precálculo<br />
  2. 2.
  3. 3. Función Exponencial<br />La función exponencial básica es f(x) = bx, donde la base b es una constante y el exponente x es la variable independiente.<br />Exponente<br />Base<br />
  4. 4. Función Exponencial<br />Consideremos la función f(x) = 2x<br />
  5. 5. Función Exponencial<br />Consideremos la función f(x) = 2x<br />
  6. 6. Función Exponencial<br />Consideremos la función f(x) = 2x<br />
  7. 7. Función Exponencial<br />Consideremos la función f(x) = 2x<br />
  8. 8. Función Exponencial<br />Consideremos la función f(x) = 2x<br />
  9. 9. Función Exponencial<br />Consideremos la función f(x) = 2x<br />
  10. 10. Función Exponencial<br />Consideremos la función f(x) = 2x<br />
  11. 11. Función Exponencial<br />Consideremos la función f(x) = 2x<br />
  12. 12. Función Exponencial<br />Consideremos la función f(x) = 2x<br />
  13. 13. Función Exponencial<br />Consideremos la función f(x) = 2x<br />
  14. 14. Función Exponencial<br />Consideremos la función f(x) = 2x<br />
  15. 15. Función Exponencial<br />Consideremos la función f(x) = 2x<br />
  16. 16. Función Exponencial<br />Consideremos la función f(x) = 2x<br />
  17. 17. Función Exponencial<br />Consideremos la función f(x) = 2x<br />
  18. 18. Función Exponencial<br />Consideremos la función f(x) = 2x<br />
  19. 19. Función Exponencial<br />Consideremos la función f(x) = 2x<br />
  20. 20. Función Exponencial<br />Consideremos la función f(x) = 2x<br />Esta recta se conoce como una asíntota, una recta a la cual la función graficada se acerca a medida que los valores de x se hacen muy grandes o muy pequeños.<br />
  21. 21. Función Exponencial<br />
  22. 22. Graficando Funciones Exponenciales<br />Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.<br />f(x) = 1.5x<br />
  23. 23. Graficando Funciones Exponenciales<br />Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.<br />g(x) = 30(0.8)x<br />
  24. 24. Graficando Funciones Exponenciales<br />Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.<br />h(x) = 5(1.2)x<br />
  25. 25. Graficando Funciones Exponenciales<br />Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.<br />f(x) = 10(3/4)x<br />
  26. 26. Graficando Funciones Exponenciales<br />Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.<br />f(x) = 100(1.05)x<br />
  27. 27. Crecimiento y Decaimiento<br />Número de Periodos de Tiempo<br />Cantidad Inicial<br />Cantidad Final<br />Razón de Cambio<br />En la fórmula, la base de la expresión exponencial, 1 + r,es llamado el factor de crecimiento. Similarmente, 1 – r, es el factor de decaimiento.<br />
  28. 28. Aplicaciones<br />Tony compró una guitarra Gibson del 1959 por $12,000 en el año 2000. Los expertos estiman que su valor aumentará un 14% por año. Utiliza una gráfica para encontrar cuando el valor de la guitarra será $60,000.<br />
  29. 29. Aplicaciones<br />La población de una ciudad, la cual era inicialmente 15,500, ha ido disminuyendo a una razón de 3% al año. Escribe una función exponencial y grafica la función. Utiliza la gráfica para predecir cuando la población llegará a los 8,000.<br />
  30. 30. Graficando Relaciones Inversas<br />Grafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance.<br />
  31. 31. Graficando Relaciones Inversas<br />Grafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance.<br />
  32. 32. Graficando Relaciones Inversas<br />Grafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance.<br />
  33. 33. Escribiendo Funciones Inversas<br />
  34. 34. Escribiendo y Graficando Funciones Inversas<br />
  35. 35. Escribiendo y Graficando Funciones Inversas<br />
  36. 36. Escribiendo y Graficando Funciones Inversas<br />
  37. 37. Aplicaciones<br />Juan compró un CD por Internet con un 20% de descuento del precio regular. El pagó $2.50 por el envío. El cargo total fue $13.70 ¿Cuál es el precio regular del CD?<br />
  38. 38. Logaritmos<br />Un logaritmo es el exponente al cual se eleva una base específica para obtener un valor dado.<br />Puedes escribir una ecuación exponencial como una logarítmica y viceversa.<br />Ecuación Exponencial<br />Ecuación Logarítmica<br />
  39. 39. Escribe cada ecuación exponencial en forma logarítmica<br />
  40. 40. Propiedades Especiales de Logaritmos<br />
  41. 41. Evaluando Logaritmos Mentalmente<br />
  42. 42. Propiedad de Producto de Logaritmos<br />
  43. 43. Propiedad de Producto de Logaritmos<br />Expresa como un solo logaritmo. Simplifica si es posible.<br />log5625 + log525<br />log42 + log432<br />log64 + log69<br />
  44. 44. Propiedad de Cociente de Logaritmos<br />
  45. 45. Propiedad de Cociente de Logaritmos<br />Expresa como un solo logaritmo. Simplifica si es posible.<br />log232 – log24<br />log749 – log77<br />log5100 – log54<br />
  46. 46. Propiedad de Potencia de Logaritmos<br />
  47. 47. Propiedad de Potencia de Logaritmos<br />Expresa como un producto. Simplifica si es posible.<br />log3812<br />log5(1/5)3<br />log2326<br />log5252<br />
  48. 48. Propiedades Inversas de Logaritmos<br />Álgebra<br />Ejemplo<br />
  49. 49. Propiedades Inversas de Logaritmos<br />Simplifica cada expresión.<br />log883x + 1<br />log5125<br />log3311<br />log381<br />
  50. 50. Propiedades Inversas de Logaritmos<br />Simplifica cada expresión.<br />
  51. 51. Fórmula de Cambio de Base<br />
  52. 52. Fórmula de Cambio de Base<br />Evalúa las siguientes expresiones.<br />log927<br />log816<br />log328<br />
  53. 53. Ecuación Exponencial<br />Una ecuación exponencial es una ecuación que contiene una o más variables como un exponente.<br />Para resolver ecuaciones exponenciales puedes utilizar lo siguiente:<br />
  54. 54. Resolviendo Ecuaciones Exponenciales<br />
  55. 55. Resolviendo Ecuaciones Exponenciales<br />
  56. 56. Ecuaciones Logarítmicas<br />Una ecuación logarítmica es una ecuación con una expresión logarítmica que contiene una variable.<br />Para resolver ecuaciones logarítmicas puedes utilizar lo siguiente:<br />
  57. 57. Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas<br />
  58. 58. Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas<br />
  59. 59. Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas<br />
  60. 60. Fórmula de Interés Compuesto<br />Donde:<br />A es la cantidad total,<br />P es el principal,<br />r es la taza de interés anual,<br />n es la cantidad de veces que el interés es compuesto al año y<br />t es el tiempo en años.<br />
  61. 61. Interés Continuo<br />Asume que se invierte $1 a un 100% de interés (r = 1) compuesto n veces en un año. Lo cual puede ser representado por la función:<br />
  62. 62. Interés Continuo<br />A medida que n se vuelve un número grande, el interés es compuesto continuamente.<br />Examinemos la gráfica de f(n).<br />
  63. 63. Interés Continuo<br />A medida que n se vuelve un número grande, el interés es compuesto continuamente.<br />Examinemos la gráfica de f(n).<br />
  64. 64. El número natural e<br />
  65. 65. Graficando Funciones Exponenciales<br />
  66. 66. Graficando Funciones Exponenciales<br />
  67. 67. Logaritmo Natural<br />
  68. 68. Simplificando Expresiones con e o ln<br />Simplifica.<br />
  69. 69. Fórmula de Interés Compuesto Continuamente<br />Donde:<br />A es la cantidad total,<br />P es el principal,<br />r es la taza de interés anual,<br />t es el tiempo en años.<br />
  70. 70. Aplicaciones a Economía<br />¿Cuál es la cantidad total para una inversión de $1000 invertido al 5% durante 10 años compuesto continuamente?<br />¿Cuál es la cantidad total para una inversión de $100 invertido al 3.5% por 8 años y compuesto continuamente?<br />
  71. 71. Media – Vida<br />La media – vida de una sustancia es el tiempo que le toma a la mitad de la sustancia descomponerse o convertirse en otra sustancia durante el proceso de decaimiento.<br />El proceso de decaimiento natural está modelado por la siguiente función.<br />Cantidad inicial<br />Tiempo<br />Cantidad restante<br />Constante de decaimiento<br />
  72. 72. Aplicación a Paleontología<br />Un paleontólogo descubre un fósil de un tigre dientes de sable en California. El analiza el fósil y concluye que el espécimen contiene 15% de su carbono-14 original. El carbono-14 tiene una media vida de 5730 años. Determina la edad del fósil.<br />Determina cuanto le tomaría a una muestra de 650 mg de cromio-51, el cual tiene una media vida de 28 días, para decaer a 200 mg.<br />
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