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  • 1. Funciones Precálculo
  • 2. Pruebas para Funciones Representadas Algebraicamente • ¿Cuales de las ecuaciones representan a y como una función de x? 1. x  y  1 2 2.  x  y  1 2
  • 3. Notación de Función • Cuando una ecuación es utilizada para representar una función utilizamos notación de función. • Ejemplo: f  x  1 x 2 – Encuentra f (1), f (0)
  • 4. Evaluando una Función Sea g  x    x  4 x  1. Encuentra: 2 (a) g  2  (b) g  t  (c) g  x  2 
  • 5. Funciones Definidas a Trozos • Evalúa la función cuando x = -1 y cuando x = 0.  x  1, x  0 2 f  x    x  1, x  0
  • 6. Dominio de una Función • Encuentra el dominio de cada función. (a) f :  3, 0  ,  1, 4  ,  0, 2  ,  2, 2  ,  4, 1 (b) g  x   3 x 2  4 x  5 1 (c) h  x   x5 4 3 (d) Volumen de una esfera: V   r 3 (e) k  x   4  3 x
  • 7. Diferencia de Cocientes • Una de las definiciones en cálculo utiliza la razón f  x  h  f  x , h  0. h
  • 8. Diferencia de Cocientes f  x  h  f  x Para f  x   x  4 x  7, encuentra 2 . h
  • 9. Gráficas de Funciones Precálculo
  • 10. Gráfica de una Función • La gráfica de una función es la colección de pares ordenados (x, f(x)) tal que x está en el dominio de f.
  • 11. Encontrando el Dominio y el Alcance de una Función • Utiliza la gráfica provista para 4 y 3 encontrar 2 1 x a) El dominio de f. -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 -2 b) Los valores de f(-1), -3 f(2). -4 -5 c) El alcance de f.
  • 12. Encontrando el Dominio y el Alcance de una Función • Encuentra el dominio y el alcance de f  x  x  4
  • 13. Prueba de la Recta Vertical Si cualquier recta vertical toca la gráfica de una relación en más de una ocasión, entonces la relación no es una función FUNCIÓN NO ES FUNCIÓN
  • 14. Funciones Pares e Impares • Una función f es par si para cada número x en su dominio el número –x también está en su dominio y f(-x) = f(x). • Una función f es impar si para cada número x en su dominio el número –x también está en su dominio y f(-x) = -f(x). Teorema Una función es par si y solamente si es simétrica con respecto al eje de y. Una función es impar si y solamente si es simétrica con respecto a origen.
  • 15. Determinando Funciones Pares e Impares de una Gráfica • Determina cual de las siguientes gráficas representa una función par, impar o ninguna. y y y x x x
  • 16. Identificando Funciones Pares e Impares • Clasifica las siguientes funciones en par, impar o ninguna. Luego establece si es simétrica con respecto a el eje de y o con respecto al origen. (a) f  x   x  5 2 (b) g  x   x 3  1 (c) h  x   5 x  x 3
  • 17. Funciones Crecientes y Decrecientes y 4 3 2 1 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2
  • 18. Funciones Crecientes o Decrecientes Una función f es creciente en un intervalo abierto I si, para cualquier elección de x1 y x2 en I , con x1  x2 , tenemos que f  x1   f  x2  . Una función f es decreciente en un intervalo abierto I si, para cualquier elección de x1 y x2 en I , con x1  x2 , tenemos que f  x1   f  x2  . Una función f es constante en un intervalo abierto I si, para cualquier elección de x1 y x2 en I , con x1  x2 , tenemos que f  x1   f  x2  .
  • 19. Máximos Locales; Mínimos Locales Una función f tiene un máximo local en c si existe un intervalo abierto I que contenga a c tal que, para toda x  c en I , f  x   f  c  . Llamamos a f  c  un máximo local de f . Una función f tiene un mínimo local en c si existe un intervalo abierto I que contenga a c tal que, para toda x  c en I , f  x   f  c  . Llamamos a f  c  un mínimo local de f .
  • 20. Encontrando Máximos y Mínimos Locales de la Gráfica de una Función 1. ¿En qué número(s), si alguno, f tiene un máximo local? 2. ¿Cuál es el máximo local? 3. ¿En qué número(s), si alguno, f tiene un mínimo local? 4. ¿Cuál es el mínimo local? 5. ¿Para cuáles intervalos la función f es creciente y para cuáles es decreciente?
  • 21. Razón de Cambio Promedio Si c está en el dominio de una función y  f  x  , la razón de cambio promedio de f desde c hasta x está definida como y f  x   f  c  Razon de cambio promedio   , xc x xc
  • 22. Encontrando la Razón de Cambio Promedio Encuentra la razón de cambio promedio de f  x   3x 2 : (a) Desde 1 hasta 3. (b) Desde 1 hasta 5. (c) Desde 1 hasta 7. Encuentra la razón de cambio promedio de: (a) f  x   2 x  3 desde 0 hasta x. (b) g  x   3x 2  2 x  3 desde 0 hasta x.
  • 23. Funciones a Trozos “Piecewise Functions” • Una función a trozos es aquella que está definida por diferentes ecuaciones en diferentes partes del dominio.
  • 24. Funciones a Trozos “Piecewise Functions” • Grafique la función f definida por 1  x si x  1 f  x   2 x si x  1
  • 25. Funciones a Trozos “Piecewise Functions” • Grafique la función f definida por  x3 si x  0 f  x   x  2 si x  0
  • 26. Función Valor Absoluto • La función valor absoluto puede ser definida a través de una función a trozos. y 6 5 x si x  0 4 x   x si x  0 3 2 1 x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
  • 27. Función Parte Entera La función parte entera de cualquier número x es el entero más grande que es menor o igual a x. La parte entera de x está denotada por x . Evalúa las siguientes expresiones: (a) 2.3 (b) 1.9 (c) 0.1 (d) 0.3 (e) 3.7 (f) 3 (g) 2 (h) 0.999
  • 28. Función Parte Entera • Gráfica de la función parte entera. y 3 2 1 x -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3
  • 29. Transformaciones de Funciones • Translaciones Verticales de Gráficas Ecuación Como obtener la gráfica Como se ve la gráfica y  f  x  c y Translación de la gráfica de y = f (x) + c y = f(x), c unidades hacia c arriba.  c  0 y = f (x) x Translación de la gráfica de y  f  x  c y y = f(x), c unidades hacia abajo. y = f (x) c  c  0 y = f (x) − c x
  • 30. Transformaciones de Funciones • Translaciones Horizontales de Gráficas Ecuación Como obtener la gráfica Como se ve la gráfica y  f  x  c y Translación de la gráfica de y = f(x), c unidades hacia la y = f (x − c) derecha.  c  0 c y = f (x) x Translación de la gráfica de y y  f  x  c y = f(x), c unidades hacia la izquierda. c y = f (x)  c  0 y = f (x + c) x
  • 31. Transformaciones de Funciones • Reflexiones de Gráficas Ecuación Como obtener la gráfica Como se ve la gráfica y Reflejando la gráfica de y = y = f (x) f(x) en el eje de x. y   f  x x y = −f (x) y Reflejando la gráfica de y = f(x) en el eje de y. y  f  x y = f (−x) y = f (x) x
  • 32. Transformaciones de Funciones • Estiramientos y Compresiones Verticales de Gráficas Ecuación Como obtener la gráfica Como se ve la gráfica y  af  x  y y = af (x) Estiramiento vertical de la gráfica de y = f(x), por un factor de a.  a  1 y = f (x) x Compresión vertical de la y y  af  x  gráfica de y = f(x), por un factor de a. y = f (x)  0  a  1 y = af (x) x
  • 33. Transformaciones de Funciones • Estiramientos y Compresiones Horizontales de Gráficas Ecuación Como obtener la gráfica Como se ve la gráfica y  f  ax  y Compresión horizontal de la gráfica de y = f(x), por un y = f (ax) factor de 1/a.  a  1 x y = f (x) Estiramiento horizontal de y y  f  ax  la gráfica de y = f(x), por un factor de 1/a. y = f (x)  0  a  1 x y = f (ax)
  • 34. Ejemplos • Asume que la gráfica de f está dada. Describe como podemos obtener la gráfica de las siguientes funciones partiendo de f. (1) y  f  x   4 (2) y  f  x  5  (3) y  3 f  x  (4) y   f  x  (5) y   f  x   5 (6) y  4 f  x  (7) y  f  x  2   3 1 (8) y  f  x   10 2
  • 35. Ejemplos • Grafica las siguientes funciones utilizando transformaciones. (1) f  x    x  2  2 (2) f  x     x  1 2 (3) f  x   x 3  2 1 (4) y  x  4 3 2 (5) y  3  2  x  1 2
  • 36. Operaciones con Funciones Operación Notación Suma  f  g  x   f  x   g  x  Resta  f  g  x   f  x   g  x  Multiplicación  fg  x   f  x   g  x   f  f  x División    x  , donde g  x   0  g g  x
  • 37. Operaciones con Funciones Sean f y g dos funciones definidas como 1 x f  x  y g  x  x2 x 1 Encuentra lo siguiente y determina el dominio en cada caso.  f  (a)  f  g  x  (b)  f  g  x  (c)  f  g  x  (d)    x  g
  • 38. Composición de Funciones Dadas dos funicones f y g , la funcion compuesta f g (también llamada la composición de f y g ) está definida por: f g  x   f  g  x  
  • 39. Encontrando la Composición de Funciones Sea f  x   x 2 y g  x   x  3. (a) Encuentra las funciones f g y g f y sus dominios. (b) Encuentra  f g  5  y  g f  7  .
  • 40. Encontrando la Composición de Funciones Si f  x   x y g  x   2  x , encuentra las siguientes funciones y sus dominios. (a) f g (b) g f (c) f f (d) g g
  • 41. Composición de Tres Funciones x Encuentra f g h si f  x   , g  x   x10 y h  x   x  3. x 1